Taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē veido divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis X'X un Y'Y. Koordinātu asis krustojas punktā O, ko sauc par koordinātu sākumpunktu, uz katras ass tiek izvēlēts pozitīvs virziens.Asu pozitīvais virziens (labās puses koordinātu sistēmā) ir izvēlēts tā, lai tad, kad X'X ass ir pagriezts pretēji pulksteņrādītāja virzienam par 90 °, tā pozitīvais virziens sakrīt ar Y'Y ass pozitīvo virzienu. Četrus leņķus (I, II, III, IV), ko veido X'X un Y'Y koordinātu asis, sauc par koordinātu leņķiem (skat. 1. att.).
Punkta A atrašanās vietu plaknē nosaka divas koordinātas x un y. X-koordināta ir vienāda ar OB segmenta garumu, y-koordināta ir OC segmenta garums atlasītajās vienībās. Segmenti OB un OC ir definēti ar līnijām, kas novilktas no punkta A paralēli Y'Y un X'X asīm, attiecīgi. X koordinātu sauc par punkta A abscisu, y koordinātu par punkta A ordinātu. Viņi to raksta šādi: A (x, y).
Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī I, tad punktam A ir pozitīva abscise un ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī II, tad punktam A ir negatīva abscise un pozitīva ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī III, tad punktam A ir negatīva abscise un ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī IV, tad punktam A ir pozitīva abscise un negatīva ordināta.
Taisnstūra koordinātu sistēma telpā veido trīs savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis OX, OY un OZ. Koordinātu asis krustojas punktā O, ko sauc par koordinātu sākumpunktu, uz katras ass tiek izvēlēts pozitīvais virziens, kas norādīts ar bultiņām, un nogriežņu mērvienība uz asīm. Mērvienības visām asīm ir vienādas. OX - abscisu ass, OY - ordinātu ass, OZ - aplikācijas ass. Asu pozitīvais virziens ir izvēlēts tā, lai, OX asi pagriežot pretēji pulksteņrādītāja virzienam par 90°, tās pozitīvais virziens sakristu ar OY ass pozitīvo virzienu, ja šo griešanos novēro no OZ ass pozitīvā virziena. Šādu koordinātu sistēmu sauc par labo. Ja labās rokas īkšķi pieņem par X virzienu, rādītājpirkstu par Y virzienu un vidējo pirkstu par Z virzienu, tad veidojas labās puses koordinātu sistēma. Līdzīgi kreisās rokas pirksti veido kreiso koordinātu sistēmu. Labo un kreiso koordinātu sistēmu nevar apvienot tā, lai atbilstošās asis sakristu (skat. 2. att.).
Punkta A vietu telpā nosaka trīs koordinātes x, y un z. Koordināta x ir vienāda ar OB segmenta garumu, y koordināte ir OC segmenta garums, z koordināte ir OD segmenta garums atlasītajās vienībās. Nogriežņus OB, OC un OD nosaka plaknes, kas novilktas no punkta A paralēli plaknēm YOZ, XOZ un XOY, attiecīgi. X koordinātu sauc par punkta A abscisu, y koordinātu sauc par punkta A ordinātu, z koordinātu sauc par punkta A aplikāciju. Viņi to raksta šādi: A (a, b, c).
Horts
Taisnstūra koordinātu sistēmu (jebkura izmēra) apraksta arī ortu kopa, kas ir virzīta kopā ar koordinātu asīm. Ortu skaits ir vienāds ar koordinātu sistēmas izmēru, un tie visi ir perpendikulāri viens otram.
Trīsdimensiju gadījumā šādus vektorus parasti apzīmē i j k vai e x e y e z . Šajā gadījumā pareizās koordinātu sistēmas gadījumā ir derīgas šādas formulas ar vektoru vektorreizinājumu:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Vēsture
Renē Dekarts bija pirmais, kurš savā Diskursā par metodi 1637. gadā ieviesa taisnstūra koordinātu sistēmu. Tāpēc taisnstūra koordinātu sistēmu sauc arī - Dekarta koordinātu sistēma. Ģeometrisko objektu aprakstīšanas koordinātu metode lika pamatu analītiskajai ģeometrijai. Pjērs Fermā arī piedalījās koordinātu metodes izstrādē, taču viņa darbs pirmo reizi tika publicēts pēc viņa nāves. Dekarts un Fermā koordinātu metodi izmantoja tikai plaknē.
Trīsdimensiju telpas koordinātu metodi Leonhards Eilers pirmo reizi izmantoja jau 18. gadsimtā.
Skatīt arī
Saites
Wikimedia fonds. 2010 .
Skatiet, kas ir "Dekarta koordinātu sistēma" citās vārdnīcās:
Dekarta koordinātu sistēma, taisnleņķa koordinātu sistēma plaknē vai telpā (parasti ar savstarpēji perpendikulārām asīm un vienādu mērogu gar asīm). Nosaukts R. Dekarta vārdā (skat. Renē DEKARTI). Dekarts pirmo reizi iepazīstināja ar... enciklopēdiskā vārdnīca
KARTĒZIJAS KOORDINĀTU SISTĒMA- taisnstūra koordinātu sistēma plaknē vai telpā, kurā skalas gar asīm ir vienādas un koordinātu asis ir savstarpēji perpendikulāras. D. s. k apzīmē ar burtiem x:, y plaknes punktam vai x, y, z telpas punktam. (Cm……
KARTĪNA KOORDINĀTU SISTĒMA, Renē DEKARTES ieviestā sistēma, kurā punkta pozīciju nosaka attālums no tā līdz savstarpēji krustojošām taisnēm (asīm). Vienkāršākajā sistēmas versijā asis (kas ir apzīmētas kā x un y) ir perpendikulāras. Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca
Dekarta koordinātu sistēma
Taisnlīnija koordinātu sistēma (sk. Koordinātas) plaknē vai telpā (parasti ar tādu pašu mērogu gar asīm). Pats R. Dekarts "Ģeometrijā" (1637) izmantoja tikai koordinātu sistēmu plaknē (kopumā slīpā). Bieži…… Lielā padomju enciklopēdija
Definīciju kopa, kas ievieš koordinātu metodi, tas ir, veidu, kā noteikt punkta vai ķermeņa pozīciju, izmantojot skaitļus vai citus simbolus. Skaitļu kopu, kas nosaka konkrēta punkta atrašanās vietu, sauc par šī punkta koordinātām. ... ... Vikipēdijā
Dekarta sistēma- Dekarto koordinačių sistemos statusas T joma fizika atitikmenys: engl. Dekarta sistēma; Dekarta koordinātu sistēma vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Dekarta sistēma, f; Dekarta sistēma ... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDINĀTU SISTĒMA- nosacījumu kopums, kas nosaka punkta stāvokli uz taisnes, plaknē, telpā. Ir dažādi S. līdz.: Dekarta, slīpi, cilindriski, sfēriski, līklīnijas uc Lineārie un leņķiskie lielumi, kas nosaka pozīciju ... ... Lielā Politehniskā enciklopēdija
Ortonormāla taisnlīnijas koordinātu sistēma Eiklīda telpā. D. p. s. k. plaknē uzrāda divas savstarpēji perpendikulāras tiešās koordinātu asis, uz kurām katra ir izvēlēts pozitīvs virziens un vienības segments ... Matemātiskā enciklopēdija
Taisnstūra koordinātu sistēma ir taisnstūrveida koordinātu sistēma ar savstarpēji perpendikulārām asīm plaknē vai telpā. Vienkāršākā un tāpēc visbiežāk lietotā koordinātu sistēma. Tas ir ļoti viegli un tieši vispārināts ... ... Wikipedia
Grāmatas
- Skaitļošanas šķidruma dinamika. Teorētiskā bāze. Mācību grāmata, Pavlovskis Valērijs Aleksejevičs, Ņikuščenko Dmitrijs Vladimirovičs. Grāmata ir veltīta šķidruma un gāzes plūsmu matemātiskās modelēšanas problēmu noteikšanas teorētisko pamatu sistemātiskam izklāstam. Īpaša uzmanība tiek pievērsta būvniecības jautājumiem ...
Punkta atrašanās vietas noteikšana telpā
Tātad jebkura telpas punkta pozīciju var noteikt tikai attiecībā pret dažiem citiem punktiem. Tiek izsaukts punkts, attiecībā pret kuru tiek ņemta vērā citu punktu atrašanās vieta sākumpunkts . Mēs arī izmantosim citu atsauces punkta nosaukumu - novērošanas punkts . Parasti atskaites punkts (vai novērošanas punkts) ir saistīts ar dažiem koordinātu sistēma , ko sauc atsauces sistēma. Izvēlētajā atskaites sistēmā KATRA punkta atrašanās vietu nosaka TRĪS koordinātas.
Labās Dekarta (vai Dekarta) koordinātu sistēma
Šī koordinātu sistēma sastāv no trim savstarpēji perpendikulārām virzītām līnijām, ko sauc arī par koordinātu asis kas krustojas vienā punktā (izcelsme). Izcelsmes punktu parasti apzīmē ar burtu O.
Koordinātu asis ir nosauktas:
1. Abscisu ass - apzīmēta kā VĒRS;
2. Y ass - apzīmēta kā OY;
3. Ass aplikācija — apzīmēta kā OZ
Tagad mēs paskaidrosim, kāpēc šo koordinātu sistēmu sauc par pareizo. Apskatīsim XOY plakni no OZ ass pozitīvā virziena, piemēram, no punkta A, kā parādīts attēlā.
Pieņemsim, ka mēs sākam griezt OX asi ap punktu O. Tātad pareizajai koordinātu sistēmai ir tāda īpašība, ka, ja paskatās uz XOY plakni no jebkura punkta uz pozitīvās pusass OZ (mums ir punkts A), tad, pagriežot ass OX par 90 pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tās pozitīvais virziens sakritīs ar OY ass pozitīvo virzienu.
Šāds lēmums tika pieņemts zinātnes pasaulē, bet mums atliek pieņemt to tādu, kāds tas ir.
Tātad, pēc tam, kad esam izlēmuši par atskaites sistēmu (mūsu gadījumā pareizo Dekarta koordinātu sistēmu), jebkura punkta atrašanās vieta tiek aprakstīta tā koordinātu vērtībās jeb, citiem vārdiem sakot, projekciju izteiksmē. punktu uz koordinātu asīm.
Tas ir uzrakstīts šādi: A(x, y, z), kur x, y, z ir punkta A koordinātas.
Taisnstūra koordinātu sistēmu var uzskatīt par trīs savstarpēji perpendikulāru plakņu krustošanās taisnēm.
Jāņem vērā, ka taisnstūrveida koordinātu sistēmu var orientēt telpā, kā vien vēlaties, kamēr ir jāievēro tikai viens nosacījums - koordinātu sākumam jāsakrīt ar atskaites centru (vai novērošanas punktu).
Sfēriskā koordinātu sistēma
Punkta atrašanās vietu telpā var aprakstīt citā veidā. Pieņemsim, ka esam izvēlējušies telpas apgabalu, kurā atrodas atskaites punkts O (vai novērošanas punkts), un zinām arī attālumu no atskaites punkta līdz kādam punktam A. Savienosim šos divus punktus ar taisni OA. Šo līniju sauc rādiusa vektors un tiek apzīmēts kā r. Visi punkti, kuriem ir vienāda rādiusa vektora vērtība, atrodas uz sfēras, kuras centrs atrodas atskaites punktā (vai novērošanas punktā), un šīs sfēras rādiuss ir attiecīgi vienāds ar rādiusa vektoru.
Tādējādi mums kļūst skaidrs, ka, zinot rādiusa vektora lielumu, mēs nesniedzam viennozīmīgu atbildi par mums interesējošā punkta atrašanās vietu. Mums ir vajadzīgas vēl DIVAS koordinātes, jo, lai unikāli noteiktu punkta atrašanās vietu, koordinātu skaitam jābūt vienādam ar TRĪS.
Tālāk rīkosimies šādi - konstruēsim divas savstarpēji perpendikulāras plaknes, kuras, dabiski, dos krustojuma līniju, un šī taisne būs bezgalīga, jo pašas plaknes nekas neierobežo. Uzliksim punktu uz šīs līnijas un apzīmēsim to, piemēram, kā punktu O1. Un tagad savienosim šo punktu O1 ar sfēras centru – punktu O un paskatīsimies, kas notiks?
Un izrādās ļoti interesants attēls:
Gan viena, gan otra lidmašīna būs centrālais lidmašīnas.
Tiek apzīmēta šo plakņu krustpunkts ar sfēras virsmu liels aprindās
Viens no šiem apļiem - patvaļīgi, mēs sauksim EKVĀTORS, tad tiks izsaukts otrs loks GALVENAIS MERIDIĀNS.
Divu plakņu krustošanās līnija unikāli noteiks virzienu GALVENĀ MEDIĀNA LĪNIJAS.
Galvenā meridiāna līnijas krustošanās punkti ar sfēras virsmu tiks apzīmēti kā M1 un M2
Caur sfēras punkta O centru galvenā meridiāna plaknē novelkam taisni, kas ir perpendikulāra galvenā meridiāna līnijai. Šo līniju sauc POLĀRĀ ASS .
Polārā ass krustojas ar sfēras virsmu divos punktos, ko sauc LODES POLS. Apzīmēsim šos punktus kā P1 un P2.
Telpas punkta koordinātu noteikšana
Tagad aplūkosim telpas punkta koordinātu noteikšanas procesu, kā arī piešķirsim šīm koordinātām nosaukumus. Lai pabeigtu attēlu, nosakot punkta pozīciju, mēs norādām galvenos virzienus, no kuriem tiek skaitītas koordinātas, kā arī pozitīvo virzienu skaitot.
1. Iestatiet atskaites punkta (vai novērošanas punkta) pozīciju telpā. Atzīmēsim šo punktu kā O.
2. Uzbūvējam sfēru, kuras rādiuss ir vienāds ar punkta A rādiusa vektora garumu. (Punkta A rādiusa vektors ir attālums starp punktiem O un A). Sfēras centrs atrodas atskaites punktā O.
3. Nosakām EQUATOR plaknes pozīciju telpā un attiecīgi GALVENĀ MERIDIĀNA plakni. Jāatgādina, ka šīs plaknes ir savstarpēji perpendikulāras un atrodas centrālas.
4. Šo plakņu krustpunkts ar sfēras virsmu nosaka ekvatora riņķa, galvenā meridiāna apļa stāvokli, kā arī galvenā meridiāna un polārās ass līnijas virzienu.
5. Noteikt polārās ass polu un galvenā meridiāna taisnes polu stāvokli. (Polārās ass stabi ir polārās ass krustošanās punkti ar sfēras virsmu. Galvenā meridiāna līnijas stabi ir galvenā meridiāna līnijas krustošanās punkti ar sfēras virsmu. ).
6. Caur punktu A un polāro asi uzbūvējam plakni, kuru sauksim par punkta A meridiāna plakni. Šai plaknei krustojot ar sfēras virsmu, iegūstam lielu apli, ko sauksim par MERIDIĀNU. punkta A.
7. Punkta A meridiāns kādā punktā šķērsos EQUATOR apli, ko apzīmēsim kā E1
8. Punkta E1 novietojumu uz ekvatoriālā apļa nosaka loka garums, kas atrodas starp punktiem M1 un E1. Atpakaļskaitīšana notiek pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Ekvatoriālā apļa loku, kas atrodas starp punktiem M1 un E1, sauc par punkta A GARUMU. Garumu norāda ar burtu .
Apkoposim starprezultātu. Šobrīd mums ir zināmas DIVAS no TRĪM koordinātām, kas raksturo punkta A pozīciju telpā – tas ir rādiusa vektors (r) un garums (). Tagad mēs definēsim trešo koordinātu. Šo koordinātu nosaka punkta A atrašanās vieta tā meridiānā. Bet sākuma punkta pozīcija, no kuras notiek atpakaļskaitīšana, nav viennozīmīgi definēta: mēs varam sākt skaitīt gan no sfēras pola (punkts P1), gan no punkta E1, tas ir, no meridiānu līniju krustpunkta. punkts A un ekvators (vai citiem vārdiem sakot - no ekvatora).
Pirmajā gadījumā punkta A atrašanās vietu uz meridiāna sauc par POLĀRO ATTĀLUMU (apzīmēts kā R), un to nosaka loka garums, kas atrodas starp punktu P1 (vai sfēras pola punktu) un punktu A. Skaitīšana notiek gar meridiāna līniju no punkta P1 līdz punktam A.
Otrajā gadījumā, kad atpakaļskaitīšana notiek no ekvatora līnijas, punkta A atrašanās vieta uz meridiāna līnijas tiek saukta par LATITUDE (apzīmēta kā un to nosaka loka garums, kas atrodas starp punktu E1 un punktu A.
Tagad beidzot varam teikt, ka punkta A vietu sfēriskajā koordinātu sistēmā nosaka:
sfēras rādiusa garums (r),
garuma loka garums (),
loka garums polārais attālums (p)
Šajā gadījumā punkta A koordinātas tiks uzrakstītas šādi: А(r, , p)
Ja mēs izmantojam citu atskaites sistēmu, tad punkta A atrašanās vieta sfēriskajā koordinātu sistēmā tiek noteikta, izmantojot:
sfēras rādiusa garums (r),
garuma loka garums (),
loka platuma garums ()
Šajā gadījumā punkta A koordinātas tiks uzrakstītas šādi: А(r, , )
Loku mērīšanas metodes
Rodas jautājums – kā mēs varam izmērīt šos lokus? Vienkāršākais un dabiskākais veids ir tieši izmērīt loku garumus ar elastīgu lineālu, un tas ir iespējams, ja sfēras izmēri ir salīdzināmi ar cilvēka izmēriem. Bet ko darīt, ja šis nosacījums nav izpildīts?
Šajā gadījumā mēs izmantosim loka RELATĪVĀ garuma mērīšanu. Standartam mēs ņemsim apkārtmēru, daļa kas ir mūs interesējošais loks. Kā es to varu izdarīt?
Dekarta Dekarta koordinātu sistēmas izveide
uz virsmas
Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē veido divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis VĒRSIS 1 Un VĒRSIS 2 , kas krustojas punktā O, ko sauc par koordinātu sākumpunktu (1. att.). Uz katras ass tiek izvēlēts pozitīvs virziens, kas norādīts ar bultiņām, un segmentu mērvienība uz asīm. Mērvienības parasti ir vienādas visām asīm (kas nav obligāti). IN labā roka koordinātu sistēma, asu pozitīvais virziens ir izvēlēts tā, lai ar ass virzienu VĒRSIS 2 uz augšu, ass VĒRSIS 1 paskatījās pa labi. VĒRSIS 1 - abscisu ass, VĒRSIS 2 -- y ass. Četri leņķi (I, II, III, IV), ko veido koordinātu asis VĒRSIS 1 Un VĒRSIS 2 , sauc par koordinātu leņķiem vai kvadranti.
Punkts B A uz koordinātu asi VĒRSIS 1 ;
Punkts C- punkta ortogonālā projekcija A uz koordinātu asi VĒRSIS 2 ;
Dekarta Dekarta koordinātu sistēmas izveide kosmosā
Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu telpā veido trīs savstarpēji perpendikulāras koordinātu asis VĒRSIS, OY Un oz. Koordinātu asis krustojas punktā O, ko sauc par koordinātu sākumpunktu, uz katras ass tiek izvēlēts pozitīvs virziens, kas norādīts ar bultiņām, un segmentu mērvienība uz asīm. Mērvienības parasti ir vienādas visām asīm (kas nav obligāti). VĒRSIS- abscisu ass, OY-- y ass, oz-- aplikācijas ass.
Ja par virzienu tiek ņemts labās rokas īkšķis X, indekss - virzienam Y un vidējais ir paredzēts virzienam Z, tad tas veidojas taisnība koordinātu sistēma. Līdzīgi kreisās rokas pirksti veido kreiso koordinātu sistēmu. Citiem vārdiem sakot, asu pozitīvais virziens ir izvēlēts tā, lai tad, kad ass tiek pagriezta VĒRSIS pretēji pulksteņrādītāja virzienam par 90° tā pozitīvais virziens sakrita ar ass pozitīvo virzienu OY, ja šo rotāciju novēro no ass pozitīvā virziena puses oz. Labo un kreiso koordinātu sistēmu nevar apvienot tā, lai atbilstošās asis sakristu (2. att.). Punkts F- punkta ortogonālā projekcija A uz koordinātu plakni OXY; Punkts E- punkta ortogonālā projekcija A uz koordinātu plakni OYZ; Punkts G- punkta ortogonālā projekcija A uz koordinātu plakni VĒRSIS Z ;
Dekarta koordinātu sistēmas izkārtojums kosmosā parādīts 3., 4. un 5. attēlā.
Punkta koordinātu noteikšana Dekarta koordinātu sistēmā
Jebkuras koordinātu sistēmas galvenais jautājums ir jautājums par tāda punkta koordinātu noteikšanu, kas atrodas tās plaknē vai telpā.
Punkta koordinātu noteikšana Dekarta koordinātu sistēmas plaknē
Punkta pozīcija A plaknē nosaka divas koordinātas - x Un y (5. att.). Koordināts x vienāds ar segmenta garumu OB, koordinēt y -- segmenta garums OC izvēlētajās mērvienībās. Segmenti OB Un OC ko nosaka no punkta novilktas līnijas A paralēli asīm OY Un VĒRSIS attiecīgi. Koordināts x sauc par abscisu abscisa- segments), koordināte y - ordinātas (lat. koordinātas- sakārtoti secībā) punkti A. Ierakstīts šādi:
Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī I, tad tam ir pozitīva abscisa un ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī II, tad - negatīvā abscisa un pozitīvā ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī III, tad tam ir negatīva abscisa un ordināta. Ja punkts A atrodas koordinātu leņķī IV, tad - pozitīvā abscisa un negatīvā ordināta.
Šādi tiek noteiktas koordinātas Dekarta koordinātu sistēmā plaknē.
Taisnstūra koordinātu sistēma telpā ir trīskāršs savstarpēji perpendikulārs asis, kas krustojas vienā punktā O, ko sauc par sākumpunktu.
Koordinātu asis parasti apzīmē ar burtiem un sauc attiecīgi par abscisu asi, y asi, aplikācijas asi vai Oy asi, asi (33. att.).
Attiecīgi tiek apzīmētas koordinātu asu orts Ox, Oy, Oz vai Mēs galvenokārt izmantosim pēdējo apzīmējumu.
Atšķirt labās un kreisās koordinātu sistēmas.
Koordinātu sistēmu sauc par labo, ja no trešā orta gala līdz pagriezienam no pirmā orta uz otro ortu bija redzams notiek pret pulksteni (34. att., a).
Koordinātu sistēmu sauc par kreiso, ja no trešās vienības vektora beigām redzams, ka rotācija no pirmās ass uz otro asi notiek pulksteņrādītāja virzienā (34. att., b).
Tādējādi, ja skrūvi ieskrūvē vektora k virzienā, pagriežot to no tā brīža labās sistēmas gadījumā, vītnei jābūt pa labi, bet kreisās sistēmas gadījumā - pa kreisi (35. att.).
Daudzi vektoru algebras nosacījumi nav atkarīgi no tā, vai mēs izmantojam labo vai kreiso koordinātu sistēmu. Tomēr dažreiz šim apstāklim ir nozīme. Turpmāk vienmēr izmantosim pareizo koordinātu sistēmu, kā tas ir pieņemts fizikā.