Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūtā leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.
Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.
Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.
Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)
Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.
Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.
Hipotenūza Taisns trīsstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.
Kājas- malas pretī asiem stūriem.
Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.
Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):
Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.
Pierādīsim dažus no tiem.
Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.
Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .
Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?
Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.
Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, visas tā trigonometriskās funkcijas var atrast, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.
Mēs arī sastādīsim sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtību tabulu "labiem" leņķiem no līdz.
Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenses un kotangences nav.
Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.
1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.
Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.
Ciktāl , .
2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.
Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.
Problēma atrisināta.
Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!
Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.
Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.
Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! Eksāmena variantos matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.
Visbiežāk uzdotie jautājumi
Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai labas kvalitātes fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi, un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.
Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat?
Atbilde Samaksāt par dokumentu var brīdī, kad to saņem kurjers, pēc aizpildīšanas pareizības un diploma kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā "Maksājums un piegāde". Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas nosacījumiem.
Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt darba problēmas vai pāriet uz augstāk atalgotu darbu. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par savu pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.
Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Kopumā jā. Mēs šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidojusies gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts augstskolu izsniegto dokumentu datubāze par dažādiem izdošanas gadiem. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties augstskolu, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.
Kā rīkoties, ja dokumentā atrodu drukas un kļūdas?
Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, Jums ir tiesības neizņemt diplomu, un konstatētie trūkumi Jums jānorāda personīgi kurjeram vai rakstiski, nosūtot e-pastu.
Tiklīdz iespējams, labosim dokumentu un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas nosūtām uz klienta pastu topošā dokumenta maketu pārbaudei un galīgās versijas apstiprināšanai. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu mēs arī uzņemam papildu fotoattēlu un video (arī ultravioletajā gaismā), lai jums būtu vizuāls priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūsit.
Kas jādara, lai pasūtītu diplomu savā uzņēmumā?
Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko apliecību u.c.), ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu mājaslapā vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs jums nosūtītu anketas veidlapu, kas jāaizpilda un jānosūta. atpakaļ pie mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.
Jaunākās atsauksmes
Aleksejs:
Man vajadzēja iegūt diplomu, lai iegūtu darbu par vadītāju. Un pats galvenais, man ir gan pieredze, gan prasmes, bet bez dokumenta es nevaru, es dabūšu darbu jebkur. Atrodoties jūsu vietnē, es joprojām nolēmu iegādāties diplomu. Diploms tika noformēts 2 dienās! Tagad man ir darbs, par kuru iepriekš nebiju sapņojis!! Paldies!
Šajā rakstā mēs visaptveroši apskatīsim . Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.
Mēs nekavējoties uzskaitām galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Mēs tos pierakstām tabulā, un tālāk mēs sniedzam šo formulu atvasinājumus un sniedzam nepieciešamos paskaidrojumus.
Lapas navigācija.
Viena leņķa sinusa un kosinusa saistība
Dažreiz viņi runā nevis par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns 
. Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no pamata trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas ar un attiecīgi, un vienādības 
un 
izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Mēs to sīkāk apspriedīsim turpmākajos punktos.
Tas nozīmē, ka īpašu interesi rada vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.
Pirms trigonometriskās pamatidentitātes pierādīšanas sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.
Ļoti bieži tiek izmantota pamata trigonometriskā identitāte trigonometrisko izteiksmju transformācija. Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne retāk pamata trigonometriskā identitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.
Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu
Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar formas un viena leņķa sinusu un kosinusu 
uzreiz izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, 
, un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, 
.
Sakarā ar šo identitāšu acīmredzamību un bieži vien tangensa un kotangenta definīcijas tiek dotas nevis caur abscisu un ordinātu attiecību, bet gan caur sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa tangenss ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, bet kotangenss ir kosinusa attiecība pret sinusu.
Noslēdzot šo sadaļu, jāatzīmē, ka identitātes un turēt uz visiem tādiem leņķiem, kuriem ir jēga tajos esošajām trigonometriskajām funkcijām. Tātad formula ir derīga jebkuram citam, izņemot (pretējā gadījumā saucējs būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .
Attiecības starp tangensu un kotangensu
Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā iepriekšējās divas ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu . Ir skaidrs, ka tas notiek visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.
Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes 
. Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš un , tad 
.
Tātad viena leņķa tangenss un kotangenss, pie kura tiem ir jēga, ir.
Ir norādītas attiecības starp galvenajām trigonometriskajām funkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas arī izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj pazemināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.
Šajā rakstā mēs secībā uzskaitām visas pamata trigonometriskās formulas, ar kurām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim atbilstoši to mērķim un ievadīsim tabulās.
Lapas navigācija.
Pamata trigonometriskās identitātes
Pamata trigonometriskās identitātes iestatiet attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas, kā arī vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju, izmantojot jebkuru citu.
Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasināšanu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.
Lietās formulas
Lietās formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.
Šo formulu pamatojumu, mnemonisko noteikumu to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.
Papildināšanas formulas
Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.
Formulas dubultā, trīskāršā utt. stūris
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana balstās uz saskaitīšanas formulām.
Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis.
Pusleņķa formulas
Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela skaitļa leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.
To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.
Samazināšanas formulas
Trigonometriskās formulas samazinājuma grādiem ir paredzēti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.
Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai
Galvenais mērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas sastāv no pārejas uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī trigonometrisko vienādojumu risināšanā, jo ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.
Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma
Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.
Autortiesības pieder gudriem studentiem
Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Nevienu www.vietnes daļu, ieskaitot iekšējos materiālus un ārējo dizainu, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.
Trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu, kas ļauj atrast jebkuru no šīm funkcijām, ja ir zināma jebkura cita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Šī identitāte saka, ka viena leņķa sinusa kvadrāta un viena leņķa kosinusa kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas praksē ļauj aprēķināt viena leņķa sinusu, ja ir zināms tā kosinuss un otrādi. .
Konvertējot trigonometriskās izteiksmes, ļoti bieži tiek izmantota šī identitāte, kas ļauj viena leņķa kosinusa un sinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu un arī veikt aizstāšanas darbību apgrieztā secībā.
Pieskares un kotangences atrašana caur sinusu un kosinusu
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Šīs identitātes veidojas no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām. Galu galā, ja paskatās, tad pēc definīcijas y ordināta ir sinusa, un x abscisa ir kosinuss. Tad tangenss būs vienāds ar attiecību \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), un attiecība \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- būs kotangenss.
Mēs piebilstam, ka tikai tādiem leņķiem \alpha, kuriem ir jēga tajos iekļautajām trigonometriskajām funkcijām, notiks identitātes, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Piemēram: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ir derīgs \alpha leņķiem, kas atšķiras no \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- leņķim \alpha, kas nav \pi z , z ir vesels skaitlis.
Attiecības starp tangensu un kotangensu
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Šī identitāte ir derīga tikai leņķiem \alpha, kas atšķiras no \frac(\pi)(2) z. Pretējā gadījumā kotangenss vai tangenss netiks noteikts.
Pamatojoties uz iepriekš minētajiem punktiem, mēs to iegūstam tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). No tā izriet, ka tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tādējādi viena leņķa tangenss un kotangenss, kurā tiem ir jēga, ir savstarpēji abpusēji skaitļi.
Attiecības starp tangensu un kosinusu, kotangensu un sinusu
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- leņķa \alpha un 1 pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar šī leņķa kosinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga visiem \alpha, izņemot \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 un leņķa \alpha kotangensa kvadrāta summa ir vienāda ar dotā leņķa sinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga jebkuram \alpha, izņemot \pi z .
Piemēri ar problēmu risinājumiem, izmantojot trigonometriskās identitātes
1. piemērs
Atrodiet \sin \alpha un tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rādīt risinājumu
Risinājums
Funkcijas \sin \alpha un \cos \alpha ir saistītas ar formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Aizstāšana ar šo formulu \cos \alpha = -\frac12, mēs iegūstam:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Šim vienādojumam ir 2 risinājumi:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturtdaļā sinuss ir pozitīvs, tātad \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Lai atrastu tg \alpha , mēs izmantojam formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2. piemērs
Atrodiet \cos \alpha un ctg \alpha if un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rādīt risinājumu
Risinājums
Aizstāšana formulā \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nosacīts numurs \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), saņemam \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Šim vienādojumam ir divi risinājumi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturksnī kosinuss ir negatīvs, tātad \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Lai atrastu ctg \alpha , mēs izmantojam formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mēs zinām atbilstošās vērtības.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).