Šajā rakstā mēs apskatīsim galvenos sakņu īpašības. Sāksim ar aritmētiskās kvadrātsaknes īpašībām, dosim to formulējumus un nodrošināsim pierādījumus. Pēc tam mēs aplūkosim n-tās pakāpes aritmētiskās saknes īpašības.
Lapas navigācija.
Kvadrātsaknes īpašības
Šajā punktā mēs aplūkosim šādus pamata jautājumus Aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības:
Katrā no rakstītajām vienādībām var samainīt kreiso un labo pusi, piemēram, vienādību var pārrakstīt kā 
. Šajā “apgrieztajā” formā aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības tiek lietotas, ja izteicienu vienkāršošana tikpat bieži kā “tiešā” formā.
Pirmo divu īpašību pierādījums ir balstīts uz aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju un uz . Un, lai attaisnotu pēdējo aritmētiskās kvadrātsaknes īpašību, jums būs jāatceras.
Tātad sāksim ar divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības pierādījums: . Lai to izdarītu, saskaņā ar aritmētiskās kvadrātsaknes definīciju pietiek parādīt, ka tas ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a·b. Darīsim to. Izteiksmes vērtība nav negatīva kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Divu skaitļu reizinājuma jaudas īpašība ļauj uzrakstīt vienādību 
, Un tā kā pēc definīcijas aritmētiskās kvadrātsaknes un , Tad .
Līdzīgi ir pierādīts, ka k nenegatīvo faktoru reizinājuma aritmētiskā kvadrātsakne a 1 , a 2 , ..., a k ir vienāda ar šo faktoru aritmētisko kvadrātsakņu reizinājumu. Tiešām, . No šīs vienlīdzības izriet, ka .
Sniegsim piemērus: un.
Tagad pierādīsim koeficienta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība: . Dabas pakāpes koeficienta īpašība ļauj uzrakstīt vienādību 
, A 
, un ir nenegatīvs skaitlis. Šis ir pierādījums.
Piemēram, un 
.
Ir pienācis laiks to sakārtot skaitļa kvadrāta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība, vienādības formā to raksta kā . Lai to pierādītu, apsveriet divus gadījumus: a≥0 un a<0 .
Acīmredzot a≥0 vienādība ir patiesa. Ir arī viegli redzēt, ka a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 un (-a) 2 =a 2 . Tādējādi 
, kas bija tas, kas bija jāpierāda.
Šeit ir daži piemēri: 
Un 
.
Tikko pārbaudītā kvadrātsaknes īpašība ļauj mums pamatot šādu rezultātu, kur a ir jebkurš reāls skaitlis, bet m ir jebkurš . Faktiski īpašība palielināt jaudu par jaudu ļauj mums jaudu a 2 m aizstāt ar izteiksmi (a m) 2, tad 
.
Piemēram, 
Un 
.
N-tās saknes īpašības
Pirmkārt, uzskaitīsim galvenos n-tās saknes īpašības:
Visas rakstiskās vienādības paliek spēkā, ja tiek apmainītas to kreisās un labās puses. Tos bieži izmanto arī šajā formā, galvenokārt, vienkāršojot un pārveidojot izteiksmes.
Visu saknes īpašību pierādīšana balstās uz n-tās pakāpes aritmētiskās saknes definīciju, pakāpes īpašībām un skaitļa moduļa definīciju. Mēs tos pierādīsim prioritārā secībā.
Sāksim ar pierādījumu produkta n-tās saknes īpašības . Nenegatīviem a un b izteiksmes vērtība arī nav negatīva, tāpat kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Produkta īpašība dabiskajam spēkam ļauj mums uzrakstīt vienādību 
. Pēc n-tās pakāpes aritmētiskās saknes definīcijas un tāpēc 
. Tas pierāda aplūkojamās saknes īpašību.
Šī īpašība ir līdzīgi pierādīta k faktoru reizinājumam: nenegatīviem skaitļiem a 1, a 2, …, a n, 
Un .
Šeit ir piemēri produkta n-tās saknes rekvizīta izmantošanai: 
Un .
Pierādīsim koeficienta saknes īpašība. Ja a≥0 un b>0 nosacījums ir izpildīts, un 
.
Parādīsim piemērus: 
Un 
.
Ejam tālāk. Pierādīsim skaitļa n-tās saknes īpašība uz n-to pakāpi. Tas ir, mēs to pierādīsim 
jebkuram reālam a un dabiskajam m. Ja a≥0 mums ir un , kas pierāda vienlīdzību , un vienlīdzību acīmredzot. Kad<0
имеем и 
(pēdējā pāreja ir spēkā pakāpes īpašības dēļ ar vienmērīgu eksponentu), kas pierāda vienādību , un ir taisnība, jo, runājot par nepāra pakāpes sakni, mēs pieņēmām 
jebkuram nenegatīvam skaitlim c.
Šeit ir parsētā saknes rekvizīta izmantošanas piemēri: un 
.
Mēs pārejam pie saknes saknes īpašību pierādīšanas. Apmainīsim labo un kreiso pusi, tas ir, pierādīsim vienādības derīgumu, kas nozīmēs sākotnējās vienādības derīgumu. Nenegatīvam skaitlim a formas sakne ir nenegatīvs skaitlis. Atgādinot īpašību paaugstināt pakāpi līdz pakāpei un izmantojot saknes definīciju, mēs varam uzrakstīt formas vienādību ķēdi 
. Tas pierāda aplūkojamās saknes saknes īpašību.
Līdzīgi tiek pierādīta saknes saknes īpašība utt. Tiešām, 
.
Piemēram, 
Un .
Pierādīsim sekojošo saknes eksponenta kontrakcijas īpašība. Lai to izdarītu, saskaņā ar saknes definīciju pietiek parādīt, ka pastāv nenegatīvs skaitlis, kas, palielinot līdz pakāpei n·m, ir vienāds ar m. Darīsim to. Ir skaidrs, ka, ja skaitlis a ir nenegatīvs, tad skaitļa a n-tā sakne ir nenegatīvs skaitlis. Kurā 
, kas pabeidz pierādījumu.
Šeit ir parsētā saknes rekvizīta izmantošanas piemērs: .
Pierādīsim šādu īpašību – formas pakāpes saknes īpašību 
. Acīmredzot, ja a≥0, pakāpe ir nenegatīvs skaitlis. Turklāt tā n-tā pakāpe ir vienāda ar m, patiešām, . Tas pierāda aplūkojamā grāda īpašību.
Piemēram, 
.
Ejam tālāk. Pierādīsim, ka visiem pozitīviem skaitļiem a un b, kuriem nosacījums a ir izpildīts , tas ir, a≥b. Un tas ir pretrunā ar nosacījumu a
Kā piemēru dosim pareizo nevienlīdzību 
.
Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo n-tās saknes īpašību. Vispirms pierādīsim šīs īpašības pirmo daļu, tas ir, pierādīsim, ka m>n un 0 Līdzīgi ar pretrunu tiek pierādīts, ka m>n un a>1 nosacījums ir izpildīts. Sniegsim piemērus pārbaudītās saknes īpašības pielietošanai konkrētos skaitļos. Piemēram, nevienlīdzības un ir patiesas.
, tas ir, a n ≤a m . Un iegūtā nevienādība m>n un 0
Bibliogrāfija.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8. klasei. izglītības iestādēm.
- Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).
Es vēlreiz paskatījos uz zīmi... Un, ejam!
Sāksim ar kaut ko vienkāršu:
Tikai minūti. tas nozīmē, ka mēs to varam rakstīt šādi:
Sapratu? Lūk, nākamais jums:
Vai iegūto skaitļu saknes nav precīzi iegūtas? Nav problēmu — šeit ir daži piemēri:
Ko darīt, ja ir nevis divi, bet vairāk reizinātāju? Tas pats! Sakņu pavairošanas formula darbojas ar vairākiem faktoriem:
Tagad pilnīgi patstāvīgi:
Atbildes: Labi padarīts! Piekrītu, viss ir ļoti vienkārši, galvenais ir zināt reizināšanas tabulu!
Sakņu dalījums
Mēs esam sakārtojuši sakņu reizināšanu, tagad pāriesim pie dalīšanas īpašuma.
Atgādināšu, ka vispārējā formula izskatās šādi:
Kas nozīmē, ka koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.
Nu, apskatīsim dažus piemērus:
Tāda ir visa zinātne. Šeit ir piemērs:
Viss nav tik gludi kā pirmajā piemērā, bet, kā redzat, nav nekā sarežģīta.
Ko darīt, ja jūs saskaraties ar šo izteicienu:
Jums vienkārši jāpiemēro formula pretējā virzienā:
Un šeit ir piemērs:
Varat arī saskarties ar šo izteicienu:
Viss ir vienāds, tikai šeit jums jāatceras, kā tulkot daļskaitļus (ja neatceraties, apskatiet tēmu un atgriezieties!). Vai tu atceries? Tagad pieņemsim lēmumu!
Esmu pārliecināts, ka esat ar visu tikuši galā, tagad mēģināsim pacelt saknes līdz grādiem.
Paaugstināšana
Kas notiek, ja kvadrātsakne ir kvadrātā? Tas ir vienkārši, atcerieties skaitļa kvadrātsaknes nozīmi - tas ir skaitlis, kura kvadrātsakne ir vienāda ar.
Tātad, ja mēs kvadrātā ņemam skaitli, kura kvadrātsakne ir vienāda, ko mēs iegūstam?
Nu protams,!
Apskatīsim piemērus:
Tas ir vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja sakne ir citā pakāpē? Ir labi!
Ievērojiet to pašu loģiku un atcerieties īpašības un iespējamās darbības ar grādiem.
Izlasiet teoriju par tēmu “”, un viss jums kļūs ārkārtīgi skaidrs.
Piemēram, šeit ir izteiksme:
Šajā piemērā pakāpe ir pāra, bet ja tā ir nepāra? Atkal izmantojiet eksponentu īpašības un faktorējiet visu:
Šķiet, ka ar to viss ir skaidrs, bet kā iegūt skaitļa sakni pakāpē? Šeit, piemēram, ir:
Diezgan vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja grāds ir lielāks par diviem? Mēs ievērojam to pašu loģiku, izmantojot grādu īpašības:
Nu vai viss skaidrs? Pēc tam pats atrisiniet piemērus:
Un šeit ir atbildes:
Ieejot zem saknes zīmes
Ko mēs neesam iemācījušies darīt ar saknēm! Atliek vien vingrināties skaitļa ievadīšanā zem saknes zīmes!
Tas ir patiešām viegli!
Pieņemsim, ka mums ir pierakstīts skaitlis
Ko mēs ar to varam darīt? Nu, protams, paslēpiet trīs zem saknes, atceroties, ka trīs ir kvadrātsakne!
Kāpēc mums tas ir vajadzīgs? Jā, lai paplašinātu mūsu iespējas, risinot piemērus:
Kā jums patīk šī sakņu īpašība? Vai tas padara dzīvi daudz vieglāku? Man tas ir tieši pareizi! Tikai Jāatceras, ka zem kvadrātsaknes zīmes varam ievadīt tikai pozitīvus skaitļus.
Atrisiniet šo piemēru pats -
Vai jums izdevās? Apskatīsim, kas jums jāsaņem:
Labi padarīts! Jums izdevās ievadīt numuru zem saknes zīmes! Pāriesim pie kaut kā tikpat svarīga – apskatīsim, kā salīdzināt skaitļus, kuros ir kvadrātsakne!
Sakņu salīdzinājums
Kāpēc mums jāiemācās salīdzināt skaitļus, kuros ir kvadrātsakne?
Ļoti vienkārši. Bieži eksāmenā sastopamajos lielos un garos izteicienos mēs saņemam neracionālu atbildi (atcerieties, kas tas ir? Par to mēs jau šodien runājām!)
Saņemtās atbildes ir jānovieto uz koordinātu līnijas, piemēram, lai noteiktu, kurš intervāls ir piemērots vienādojuma risināšanai. Un šeit rodas problēma: eksāmenā nav kalkulatora, un bez tā, kā jūs varat iedomāties, kurš skaitlis ir lielāks un kurš ir mazāks? Tieši tā!
Piemēram, nosakiet, kurš ir lielāks: vai?
Jūs nevarat pateikt uzreiz. Nu, izmantosim izjaukto īpašību ievadīt skaitli zem saknes zīmes?
Tad uz priekšu:
Nu, acīmredzot, jo lielāks skaitlis zem saknes zīmes, jo lielāka pati sakne!
Tie. ja tad, .
No tā mēs stingri secinām, ka. Un neviens mūs nepārliecinās par pretējo!
Sakņu iegūšana no liela skaita
Pirms tam mēs ievadījām reizinātāju zem saknes zīmes, bet kā to noņemt? Jums tas vienkārši jāiekļauj faktoros un jāizvelk tas, ko iegūstat!
Bija iespējams izvēlēties citu ceļu un paplašināties citos faktoros:
Nav slikti, vai ne? Jebkura no šīm pieejām ir pareiza, izlemiet, kā vēlaties.
Faktorings ir ļoti noderīgs, risinot tādas nestandarta problēmas kā:
Nebaidīsimies, bet rīkosimies! Sadalīsim katru faktoru zem saknes atsevišķos faktoros:
Tagad izmēģiniet to pats (bez kalkulatora! Tas nebūs eksāmenā):
Vai šīs ir beigas? Neapstāsimies pusceļā!
Tas arī viss, nav tik biedējoši, vai ne?
Vai notika? Labi darīts, tieši tā!
Tagad izmēģiniet šo piemēru:
Bet piemērs ir grūts rieksts, tāpēc jūs nevarat uzreiz izdomāt, kā tam pieiet. Bet, protams, mēs ar to varam tikt galā.
Nu, sāksim faktoringu? Tūlīt atzīmēsim, ka skaitli var dalīt ar (atcerieties dalāmības zīmes):
Tagad izmēģiniet to pats (atkal, bez kalkulatora!):
Nu, vai tas izdevās? Labi darīts, tieši tā!
Apkoposim to
- Nenegatīva skaitļa kvadrātsakne (aritmētiskā kvadrātsakne) ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar.
. - Ja no kaut kā vienkārši ņemam kvadrātsakni, mēs vienmēr iegūstam vienu nenegatīvu rezultātu.
- Aritmētiskās saknes īpašības:
- Salīdzinot kvadrātsaknes, jāatceras, ka jo lielāks skaitlis zem saknes zīmes, jo lielāka ir pati sakne.
Kā ir kvadrātsakne? Viss skaidrs?
Mēs centāmies jums bez kņadas izskaidrot visu, kas jums jāzina eksāmenā par kvadrātsakni.
Tava kārta. Rakstiet mums, vai šī tēma jums ir grūta vai nē.
Vai uzzinājāt ko jaunu vai viss jau bija skaidrs?
Raksti komentāros un veiksmi eksāmenos!
\(\sqrt(a)=b\), ja \(b^2=a\), kur \(a≥0,b≥0\)
Piemēri:
\(\sqrt(49)=7\), kopš \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), jo \(0.2^2=0.04\)
Kā iegūt skaitļa kvadrātsakni?
Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums jāuzdod sev jautājums: kāds skaitlis kvadrātā dos izteiksmi zem saknes?
Piemēram. Izvilkt sakni: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)
a) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(2500\)?
\(\sqrt(2500)=50\)
b) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(\frac(4)(9)\) ?
\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)
c) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(0,0001\)?
\(\sqrt(0,0001)=0,01\)
d) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Lai atbildētu uz jautājumu, tas ir jāpārvērš uz nepareizo.
\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)
komentēt: lai gan \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), atbildiet arī uz jautājumu jautājumiem, bet tie netiek ņemti vērā, jo kvadrātsakne vienmēr ir pozitīva.
Galvenā saknes īpašība
Kā zināms, matemātikā jebkurai darbībai ir apgriezta nozīme. Saskaitīšanai ir atņemšana, reizināšanai dalīšana. Kvadrātvērtības apgrieztā vērtība ir kvadrātsakne. Tāpēc šīs darbības kompensē viena otru:
\((\sqrt(a))^2=a\)
Šī ir galvenā saknes īpašība, kas tiek izmantota visbiežāk (tostarp OGE)
Piemērs . (uzdevums no OGE). Atrodiet izteiksmes vērtību \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)
Risinājums :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)
Piemērs . (uzdevums no OGE). Atrodiet izteiksmes vērtību \((\sqrt(85)-1)^2\)
Risinājums:
Atbilde: \(86-2\sqrt(85)\)Protams, strādājot ar kvadrātsaknēm, ir jāizmanto citi.
Piemērs
. (uzdevums no OGE). Atrodiet izteiksmes vērtību \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Risinājums:
Atbilde: \(220\)
4 noteikumi, kurus cilvēki vienmēr aizmirst
Sakne ne vienmēr tiek iegūta
Piemērs: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) utt. - skaitļa saknes iegūšana ne vienmēr ir iespējama, un tas ir normāli!
Skaitļa sakne, arī skaitļa
Nav nepieciešams apstrādāt \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), nekādā īpašā veidā. Tie ir skaitļi, bet ne veseli skaitļi, jā, bet ne viss mūsu pasaulē tiek mērīts veselos skaitļos.
Sakne tiek ņemta tikai no nenegatīviem skaitļiem
Tāpēc mācību grāmatās jūs neredzēsit šādus ierakstus \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) utt.
Nosaukums: Patstāvīgais un pārbaudes darbs algebrā un ģeometrijā 8. klasei.
Rokasgrāmatā ir patstāvīgie un pārbaudes darbi par visām svarīgākajām 8. klases algebras un ģeometrijas kursa tēmām.
Darbi sastāv no 6 iespējām ar trīs grūtības pakāpēm. Didaktiskie materiāli paredzēti studentu diferencēta patstāvīgā darba organizēšanai.
SATURS
ALĢEBRA 4
C-1 Racionālas izteiksmes. Reducējošās frakcijas 4
C-2 Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana 5
K-1 Racionālās daļas. Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana 7
C-3 Daļskaitļu reizināšana un dalīšana. Daļas daļas palielināšana līdz 10
C-4 Racionālu izteiksmju transformācija 12
C-5 Apgrieztā proporcionalitāte un tās grafiks 14
K-2 Racionālās daļas 16
C-6 Aritmētiskā kvadrātsakne 18
C-7 Vienādojums x2 = a. Funkcija y = y[x 20
C-8 Kvadrātsakne no reizinājuma, daļa, jauda 22
K-3 Aritmētiskā kvadrātsakne un tās īpašības 24
C-9 Reizinātāja pievienošana un atņemšana kvadrātsaknēs 27
C-10 Kvadrātsaknes saturošu izteiksmju konvertēšana 28
K-4 Aritmētiskās kvadrātsaknes īpašību pielietojums 30
S-11 Nepilnīgi kvadrātvienādojumi 32
S-12 33. kvadrātvienādojuma sakņu formula
C-13 Problēmu risināšana, izmantojot kvadrātvienādojumus. Vietas teorēma 34
K-5 kvadrātvienādojumi 36
S-14 Frakcionālie racionālie vienādojumi 38
P-15 Daļējo racionālo vienādojumu pielietošana. Problēmu risināšana 39
K-6 Frakcionālie racionālie vienādojumi 40
C-16 Skaitlisko nevienādību īpašības 43
K-7 Skaitliskās nevienādības un to īpašības 44
S-17 Lineārās nevienādības ar vienu mainīgo 47
S-18 Lineāro nevienādību sistēmas 48
K-8 Lineārās nevienādības un nevienādību sistēmas ar vienu mainīgo 50
C-19 grāds ar negatīvu rādītāju 52
K-9 grāds ar integrālo punktu skaitu 54
K-10 Ikgadējais pārbaudījums 56
ĢEOMETRIJA (pēc Pogorelova teiktā) 58
C-1 Paralelograma īpašības un raksturlielumi." 58
C-2 Taisnstūris. Rombs. Laukums 60
K-1 paralelogramma 62
C-3 Thales teorēma. Trijstūra 63 vidējā līnija
S-4 Trapecveida. Trapeces viduslīnija 66
K-2 trapece. Trijstūra un trapeces viduslīnijas....68
C-5 Pitagora teorēma 70
C-6 teorēma apgriezta Pitagora teorēmai. Perpendikulāri un slīpi 71
C-7 Trijstūra nevienādība 73
K-3 Pitagora teorēma 74
C-8 Taisnīgu trīsstūru atrisināšana 76
C-9 Trigonometrisko funkciju īpašības 78
K-4 Taisnstūris trīsstūris (vispārējais tests) 80
C-10 Nozares vidus koordinātas. Attālums starp punktiem. Apļa vienādojums 82
S-11 Taisnes vienādojums 84
K-5 Dekarta koordinātas 86
S-12 Kustība un to īpašības. Centrālā un aksiālā simetrija. Pagriezieties 88
S-13. Paralēlā pārsūtīšana 90
S-14 Vektora jēdziens. Vektoru vienādība 92
C-15 Darbības ar vektoriem koordinātu formā. Kolineārie vektori 94
S-16 Darbības ar vektoriem ģeometriskā formā 95
C-17 Dot produkts 98
K-6 vektori 99
K-7 Ikgadējais pārbaudījums 102
ĢEOMETRIJA (saskaņā ar Atanasjanu) 104
C-1 Paralelograma īpašības un raksturojums 104
C-2 Taisnstūris. Rombs. 106. laukums
K-1 četrstūri 108
C-3 Taisnstūra laukums, kvadrāts 109
C-4 Paralelograma laukums, rombs, trijstūris 111
S-5 Trapecveida laukums 113
C-6 Pitagora teorēma 114
K-2 kvadrāti. Pitagora teorēma 116
C-7 Līdzīgu trīsstūru noteikšana. Trijstūra leņķa bisektrise īpašība 118
S-8 Trīsstūru līdzības pazīmes 120
K-3 Trīsstūru līdzība 122
C-9 Līdzības pielietošana problēmu risināšanā 124
C-10 Attiecības starp taisnleņķa trijstūra malām un leņķiem 126
K-4 Līdzības pielietojums problēmu risināšanā. Taisnleņķa trijstūra malu un leņķu attiecības 128
C-11 Apļa 130 pieskare
C-12 Centrālie un ierakstītie leņķi 132
C-13 Teorēma par krustojošo akordu segmentu reizinājumu. Ievērojamie trīsstūra punkti 134
C-14 Ierakstīti un norobežoti apļi 136
K-5 137. aplis
S-15 Vektoru saskaitīšana un atņemšana 139
C-16 Vektora reizināšana ar skaitli 141
S-17 Trapeces 142 centra līnija
K-6 vektori. Vektoru pielietojums problēmu risināšanā 144
K-7 Ikgadējais ieskaite 146
ATBILDES 148
LITERATŪRA 157
PRIEKŠVĀRDS
.
1. Vienā salīdzinoši nelielā grāmatiņā ir pilns kontroldarbu komplekts (ieskaitot noslēguma kontroldarbus) visam 8. klases algebras un ģeometrijas kursam, tāpēc pietiek ar vienu grāmatu komplektu katrā klasē.
Pārbaudījumi paredzēti stundai, patstāvīgais darbs - 20-35 minūtes, atkarībā no tēmas. Grāmatas lietošanas ērtībai katra patstāvīgā un pārbaudes darba nosaukums atspoguļo tā tēmu.
2. Krājums ļauj diferencēti kontrolēt zināšanas, jo uzdevumi ir sadalīti trīs sarežģītības līmeņos A, B un C. A līmenis atbilst obligātajām programmas prasībām, B - vidēja sarežģītības pakāpe, paredzēti C līmeņa uzdevumi. skolēniem, kuri izrāda pastiprinātu interesi par matemātiku, kā arī izmantošanai klasēs, skolās, ģimnāzijās un licejos ar padziļinātu matemātikas apguvi. Katram līmenim ir 2 līdzvērtīgas iespējas, kas atrodas blakus viena otrai (kā tās parasti ir rakstītas uz tāfeles), tāpēc nodarbībai pietiek ar vienu grāmatu uz galda.
Lejupielādējiet e-grāmatu bez maksas ērtā formātā, skatieties un lasiet:
Lejupielādēt grāmatu Patstāvīgais un pārbaudes darbs par algebru un ģeometriju 8. klasei. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, ātra un bezmaksas lejupielāde.
- Patstāvīgais un ieskaites darbs par ģeometriju 11. klasei. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Patstāvīgais un ieskaites darbs algebrā un ģeometrijā 9. klasei. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Patstāvīgais un ieskaites darbs algebrā un ģeometrijā, 8. klase, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013.g.