Kas ir racionāls skaitlis. Skaitļi. Racionālie skaitļi

Racionālo skaitļu definīcija:

Racionālais skaitlis ir skaitlis, ko var attēlot kā daļskaitli. Šādas daļdaļas skaitītājs pieder veselu skaitļu kopai, un saucējs pieder naturālu skaitļu kopai.

Kāpēc skaitļus sauc par racionāliem?

Latīņu valodā "attiecība" (attiecība) nozīmē attiecību. Racionālos skaitļus var attēlot kā attiecību, t.i. citiem vārdiem sakot, kā daļu.

Racionālu skaitļu piemērs

Skaitlis 2/3 ir racionāls skaitlis. Kāpēc? Šis skaitlis tiek attēlots kā daļa, kuras skaitītājs pieder veselu skaitļu kopai, bet saucējs - naturālo skaitļu kopai.

Vairāk racionālo skaitļu piemēru skatiet rakstā.

Vienādi racionālie skaitļi

Dažādas frakcijas var attēlot vienu un to pašu racionālo skaitli.

Apsveriet racionālo skaitli 3/5. Šis racionālais skaitlis ir vienāds ar

Samaziniet skaitītāju un saucēju par kopējo koeficientu 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Mēs saņēmām daļu 3/5, kas nozīmē to

) ir skaitļi ar pozitīvu vai negatīvu zīmi (vesels skaitlis un daļskaitlis) un nulle. Precīzāks racionālo skaitļu jēdziens izklausās šādi:

racionāls skaitlis- skaitlis, kas attēlots ar vienkāršu daļskaitli m/n, kur skaitītājs m ir veseli skaitļi un saucējs n- veseli skaitļi, piemēram 2/3.

Bezgalīgas neperiodiskas daļas NAV iekļautas racionālo skaitļu kopā.

a/b, kur a∈ Z (a pieder veseliem skaitļiem) b∈ N (b pieder pie naturālajiem skaitļiem).

Racionālu skaitļu izmantošana reālajā dzīvē.

Reālajā dzīvē racionālo skaitļu kopa tiek izmantota, lai saskaitītu dažu veselu skaitļu dalāmu objektu daļas, piemēram, kūkas vai citi pārtikas produkti, kas tiek sagriezti gabalos pirms patērēšanas, vai lai aptuvenu novērtētu paplašināto objektu telpiskās attiecības.

Racionālo skaitļu īpašības.

Racionālo skaitļu pamatīpašības.

1. sakārtotība a Un b ir noteikums, kas ļauj unikāli identificēt starp tām 1, bet tikai vienu no 3 attiecībām: “<», «>" vai "=". Šis noteikums ir - pasūtīšanas noteikums un formulējiet to šādi:

• 2 pozitīvi skaitļi a=m a /n a Un b = m b / n b saistīti ar tādu pašu attiecību kā 2 veseli skaitļi m a⋅ nb Un m b⋅ n a;
• 2 negatīvi skaitļi a Un b saistīti ar tādu pašu attiecību kā 2 pozitīvi skaitļi |b| Un |a|;
• kad a pozitīvs, un b- tad negatīvi a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Papildināšanas darbība. Visiem racionālajiem skaitļiem a Un bēst summēšanas noteikums, kas sastāda tos korespondencē ar noteiktu racionālu skaitli c. Tomēr pats numurs c- šis summa cipariem a Un b un tiek saukts par (a+b) summēšana.

Summēšanas noteikums izskatās šādi:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ J∃ !(a+b)∈ J

3. reizināšanas operācija. Visiem racionālajiem skaitļiem a Un bēst reizināšanas noteikums, tas saista tos ar noteiktu racionālu skaitli c. Tiek izsaukts cipars strādāt cipariem a Un b un apzīmē (a⋅b), un tiek izsaukts šī numura atrašanas process reizināšana.

reizināšanas noteikums izskatās šādi: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Pasūtījuma attiecības tranzitivitāte. Jebkuriem trim racionāliem skaitļiem a, b Un c ja a mazāk b Un b mazāk c, tad a mazāk c, un ja a vienāds b Un b vienāds c, tad a vienāds c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Saskaitīšanas komutativitāte. No racionālo terminu vietu maiņas summa nemainās.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Papildinājuma asociativitāte. 3 racionālu skaitļu saskaitīšanas secība rezultātu neietekmē.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulles klātbūtne. Ir racionālais skaitlis 0, tas saglabā katru otro racionālo skaitli, kad to pievieno.

∃ 0 ∈ J∀ a∈ Qa+0=a

8. Pretēju skaitļu klātbūtne. Katram racionālajam skaitlim ir pretējs racionālais skaitlis, tos saskaitot kopā, iegūst 0.

∀ a∈ J∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0

9. Reizināšanas komutativitāte. Mainot racionālo faktoru vietas, produkts nemainās.

∀ a,b∈ J a⋅ b=b⋅ a

10. Reizināšanas asociativitāte. 3 racionālu skaitļu reizināšanas secība rezultātu neietekmē.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (dzim⋅ c)

11. Vienības pieejamība. Ir racionālais skaitlis 1, tas saglabā katru otro racionālo skaitli reizināšanas procesā.

∃ 1 ∈ J∀ a∈ J a⋅ 1=a

12. Reciprokālu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim, kas nav nulle, ir apgriezts racionālais skaitlis, reizinot ar to, mēs iegūstam 1 .

∀ a∈ J∃ a-1∈ J a⋅ a−1=1

13. Reizināšanas sadalījums attiecībā pret saskaitīšanu. Reizināšanas darbība ir saistīta ar saskaitīšanu, izmantojot sadales likumu:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Pasūtījuma attiecības savienošana ar pievienošanas darbību. Viens un tas pats racionālais skaitlis tiek pievienots racionālās nevienādības kreisajā un labajā pusē.

∀ a,b,c∈ J a ⇒ a+c

15. Kārtības attiecības saistība ar reizināšanas operāciju. Racionālās nevienlīdzības kreiso un labo pusi var reizināt ar to pašu nenegatīvo racionālo skaitli.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimēda aksioma. Lai kāds būtu racionālais skaitlis a, ir viegli uzņemt tik daudz vienību, ka to summa būs lielāka a.

Racionālo skaitļu definīcija

Racionālie skaitļi ir:

• Dabiski skaitļi, kurus var attēlot kā daļskaitli. Piemēram, $7=\frac(7)(1)$.
• Veseli skaitļi, ieskaitot skaitli nulle, ko var izteikt kā pozitīvas vai negatīvas daļas vai kā nulli. Piemēram, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Parastās daļas (pozitīvas vai negatīvas).
• Jaukti skaitļi, kurus var attēlot kā nepareizu parasto daļskaitli. Piemēram, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ un $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Galīga decimāldaļa un bezgalīga periodiska daļa, ko var attēlot kā parasto daļskaitli. Piemēram, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

1. piezīme

Ņemiet vērā, ka bezgalīga neperiodiska decimālā daļa neattiecas uz racionāliem skaitļiem, jo to nevar attēlot kā parastu daļskaitli.

1. piemērs

Dabiskie skaitļi $7, 670, 21 \ 456 $ ir racionāli.

Veselie skaitļi $76, -76, 0, -555 \ 666$ ir racionāli.

Parastās daļskaitļi $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ ir racionāli skaitļi. .

Tādējādi racionālie skaitļi tiek sadalīti pozitīvajos un negatīvajos. Nulle ir racionāls skaitlis, bet tas nav pozitīvs vai negatīvs racionāls skaitlis.

Formulēsim īsāku racionālo skaitļu definīciju.

3. definīcija

Racionāli izsaukt numurus, kurus var attēlot kā ierobežotu vai bezgalīgu periodisku decimāldaļu.

Var izdarīt šādus secinājumus:

• pozitīvi un negatīvi veseli skaitļi un daļskaitļi pieder pie racionālo skaitļu kopas;
• racionālos skaitļus var attēlot kā daļskaitli, kurai ir vesels skaitītājs un naturālais saucējs un kas ir racionāls skaitlis;
• racionālos skaitļus var attēlot kā jebkuru periodisku decimāldaļu, kas ir racionāls skaitlis.

Kā noteikt, vai skaitlis ir racionāls

1. Skaitlis tiek dots kā skaitliska izteiksme, kas sastāv tikai no racionāliem skaitļiem un aritmētisko darbību zīmēm. Šajā gadījumā izteiksmes vērtība būs racionāls skaitlis.
2. Naturāla skaitļa kvadrātsakne ir racionāls skaitlis tikai tad, ja sakne ir skaitlis, kas ir ideāls kāda naturāla skaitļa kvadrāts. Piemēram, $\sqrt(9)$ un $\sqrt(121)$ ir racionāli skaitļi, jo $9=3^2$ un $121=11^2$.
3. Vesela skaitļa $n$. sakne ir racionāls skaitlis tikai tad, ja skaitlis zem saknes zīmes ir kāda vesela skaitļa $n$. pakāpe. Piemēram, $\sqrt(8)$ ir racionāls skaitlis, jo 8 $ = 2^3 $.

Racionālie skaitļi ir blīvi visur uz skaitļu ass: starp katriem diviem racionālajiem skaitļiem, kas nav vienādi viens ar otru, var atrasties vismaz viens racionālais skaitlis (tātad bezgalīgs skaits racionālo skaitļu). Tajā pašā laikā racionālo skaitļu kopai ir raksturīga saskaitāma kardinalitāte (t.i., visus kopas elementus var numurēt). Senie grieķi pierādīja, ka ir skaitļi, kurus nevar uzrakstīt kā daļskaitli. Viņi parādīja, ka nav racionāla skaitļa, kura kvadrāts būtu vienāds ar $ 2 $. Tad ar racionāliem skaitļiem nepietika, lai izteiktu visus lielumus, kas vēlāk noveda pie reālu skaitļu parādīšanās. Racionālo skaitļu kopa, atšķirībā no reālajiem skaitļiem, ir nulles dimensijas.

Racionālie skaitļi

ceturtdaļas

1. Kārtība. a Un b ir noteikums, kas ļauj unikāli identificēt starp tām vienu un tikai vienu no trim attiecībām: “< », « >' vai '='. Šo noteikumu sauc pasūtīšanas noteikums un ir formulēts šādi: divi nenegatīvi skaitļi un ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā divi veseli skaitļi un ; divi nepozitīvi skaitļi a Un b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā divi nenegatīvi skaitļi un ; ja pēkšņi a nenegatīvs, un b- tad negatīvi a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   daļskaitļu summēšana

2. pievienošanas darbība. Jebkuriem racionāliem skaitļiem a Un b ir ts summēšanas noteikums c. Tomēr pats numurs c sauca summa cipariem a Un b un tiek apzīmēts , un tiek izsaukts šāda skaitļa atrašanas process summēšana. Summēšanas noteikumam ir šāda forma: .
3. reizināšanas operācija. Jebkuriem racionāliem skaitļiem a Un b ir ts reizināšanas noteikums, kas sastāda tos korespondencē ar kādu racionālu skaitli c. Tomēr pats numurs c sauca strādāt cipariem a Un b un tiek apzīmēts , un tiek saukts arī šāda skaitļa atrašanas process reizināšana. Reizināšanas noteikums ir šāds: .
4. Pasūtījuma attiecības tranzitivitāte. Jebkuram racionālu skaitļu trīskāršam a , b Un c ja a mazāk b Un b mazāk c, tad a mazāk c, un ja a vienāds b Un b vienāds c, tad a vienāds c. 6435">Saskaitīšanas komutativitāte. Summa nemainās, mainot racionālo terminu vietas.
5. Papildinājuma asociativitāte. Trīs racionālo skaitļu saskaitīšanas secība rezultātu neietekmē.
6. Nulles klātbūtne. Ir racionāls skaitlis 0, kas saglabā katru otro racionālo skaitli, kad to summējot.
7. Pretēju skaitļu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir pretējs racionālais skaitlis, kuru summējot iegūst 0.
8. Reizināšanas komutativitāte. Mainot racionālo faktoru vietas, produkts nemainās.
9. Reizināšanas asociativitāte. Secība, kādā tiek reizināti trīs racionālie skaitļi, rezultātu neietekmē.
10. Vienības klātbūtne. Ir racionāls skaitlis 1, kas, reizinot, saglabā katru otro racionālo skaitli.
11. Reciprokālu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir apgriezts racionālais skaitlis, kuru reizinot, iegūst 1.
12. Reizināšanas sadalījums attiecībā pret saskaitīšanu. Reizināšanas darbība atbilst saskaitīšanas darbībai, izmantojot sadales likumu:
13. Pasūtījuma attiecības saistība ar pievienošanas darbību. To pašu racionālo skaitli var pievienot racionālās nevienlīdzības kreisajai un labajā pusē. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arhimēda aksioma. Lai kāds būtu racionālais skaitlis a, jūs varat ņemt tik daudz vienību, ka to summa pārsniegs a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildu īpašības

Visas pārējās racionālajiem skaitļiem raksturīgās īpašības netiek izdalītas kā pamata īpašības, jo, vispārīgi runājot, tās vairs nav tieši balstītas uz veselu skaitļu īpašībām, bet gan var tikt pierādītas, pamatojoties uz dotajām pamatīpašībām vai tieši ar skaitļu definīciju. kāds matemātisks objekts. Šādu papildu īpašību ir ļoti daudz. Šeit ir jēga minēt tikai dažus no tiem.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Iestatiet saskaitāmību

Racionālo skaitļu numerācija

Lai novērtētu racionālo skaitļu skaitu, jāatrod to kopas kardinalitāte. Ir viegli pierādīt, ka racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma. Lai to izdarītu, pietiek ar algoritmu, kas uzskaita racionālos skaitļus, t.i., nosaka bijekciju starp racionālo un naturālo skaitļu kopām.

Vienkāršākais no šiem algoritmiem ir šāds. Par katru tiek sastādīta bezgalīga parasto daļskaitļu tabula i-th rinda katrā j kolonna ir daļa. Precizitātes labad tiek pieņemts, ka šīs tabulas rindas un kolonnas ir numurētas no viena. Tabulas šūnas ir apzīmētas , kur i- tabulas rindas numurs, kurā atrodas šūna, un j- kolonnas numurs.

Iegūto tabulu pārvalda "čūska" saskaņā ar šādu formālo algoritmu.

Šie noteikumi tiek skenēti no augšas uz leju, un nākamā pozīcija tiek izvēlēta, pamatojoties uz pirmo sakritību.

Šādas apiešanas procesā katrs jauns racionālais skaitlis tiek piešķirts nākamajam dabiskajam skaitlim. Tas ir, daļdaļām 1/1 tiek piešķirts skaitlis 1, daļdaļām 2/1 - skaitlis 2 utt. Jāņem vērā, ka numurētas ir tikai nereducējamās daļas. Formāla nereducējamības pazīme ir vienādība ar vienu no lielākajiem daļskaitļa skaitītāja un saucēja kopīgajiem dalītājiem.

Pēc šī algoritma var uzskaitīt visus pozitīvos racionālos skaitļus. Tas nozīmē, ka pozitīvo racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma. Ir viegli noteikt bijekciju starp pozitīvo un negatīvo racionālo skaitļu kopām, vienkārši piešķirot katram racionālajam skaitlim tā pretstatu. Tas. negatīvo racionālo skaitļu kopa arī ir saskaitāma. Viņu savienība ir saskaitāma arī pēc saskaitāmo kopu īpašībām. Racionālo skaitļu kopa ir saskaitāma arī kā saskaitāmas kopas savienība ar ierobežotu skaitļu kopu.

Apgalvojums par racionālo skaitļu kopas saskaitāmību var radīt zināmu neizpratni, jo no pirmā acu uzmetiena rodas iespaids, ka tā ir daudz lielāka par naturālo skaitļu kopu. Patiesībā tas tā nav, un ir pietiekami daudz naturālu skaitļu, lai uzskaitītu visus racionālos.

Racionālo skaitļu nepietiekamība

Šāda trīsstūra hipotenūza nav izteikta ar racionālu skaitli

Racionālie skaitļi formā 1 / n brīvībā n var izmērīt patvaļīgi mazus daudzumus. Šis fakts rada maldīgu priekšstatu, ka racionālie skaitļi kopumā var izmērīt jebkādus ģeometriskus attālumus. Ir viegli parādīt, ka tā nav taisnība.

Piezīmes

Literatūra

• I. Kušnirs. Matemātikas rokasgrāmata skolēniem. - Kijeva: ASTARTA, 1998. - 520 lpp.
• P. S. Aleksandrovs. Ievads kopu teorijā un vispārējā topoloģijā. - M.: galva. ed. Fiz.-matemāt. lit. ed. "Zinātne", 1977
• I. L. Hmeļņickis. Ievads algebrisko sistēmu teorijā

Saites

Wikimedia fonds. 2010 .

Šajā apakšnodaļā mēs sniedzam vairākas racionālo skaitļu definīcijas. Neskatoties uz formulējuma atšķirībām, visām šīm definīcijām ir viena un tā pati nozīme: racionālie skaitļi apvieno veselus skaitļus un daļskaitļus, tāpat kā veseli skaitļi apvieno naturālus skaitļus, to pretējos skaitļus un skaitli nulle. Citiem vārdiem sakot, racionālie skaitļi vispārina veselus un daļskaitļus.

Sāksim ar racionālo skaitļu definīcijas kas tiek uztverta kā dabiskākā.

Definīcija.

Racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var uzrakstīt kā pozitīvu kopējo daļskaitli, negatīvu kopējo daļskaitli vai skaitli nulle.

No skanīgās definīcijas izriet, ka racionālais skaitlis ir:

jebkurš naturāls skaitlis n. Patiešām, jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā daļskaitli, piemēram, 3=3/1 .

· Jebkurš vesels skaitlis, jo īpaši skaitlis nulle. Patiešām, jebkuru veselu skaitli var uzrakstīt kā pozitīvu kopējo daļskaitli, kā negatīvu kopējo daļskaitli vai kā nulli. Piemēram, 26=26/1 , .

Jebkura parasta daļa (pozitīva vai negatīva). To tieši nosaka dotā racionālo skaitļu definīcija.

· Jebkurš jaukts numurs. Patiešām, jauktu skaitli vienmēr ir iespējams attēlot kā nepareizu kopējo daļskaitli. Piemēram, un.

· Jebkura galīga decimāldaļdaļa vai bezgalīga periodiska daļa. Tas ir tāpēc, ka norādītās decimāldaļdaļas tiek pārveidotas par parastajām daļām. Piemēram, a 0,(3)=1/3 .

Ir arī skaidrs, ka jebkura bezgalīga decimāldaļa, kas neatkārtojas, NAV racionāls skaitlis, jo to nevar attēlot kā kopējo daļskaitli.

Tagad mēs varam viegli atvest racionālu skaitļu piemēri. Skaitļi 4 ,903 , 100 321 ir racionāli skaitļi, jo tie ir naturāli skaitļi. Veseli skaitļi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 ir arī racionālu skaitļu piemēri. Kopējās frakcijas 4/9 , 99/3 , ir arī racionālu skaitļu piemēri. Racionālie skaitļi arī ir skaitļi.

No iepriekš minētajiem piemēriem var redzēt, ka ir gan pozitīvi, gan negatīvi racionālie skaitļi, un racionālais skaitlis nulle nav ne pozitīvs, ne negatīvs.

Iepriekš minēto racionālo skaitļu definīciju var formulēt īsākā formā.

Definīcija.

Racionālie skaitļi nosauc skaitli, ko var uzrakstīt kā daļskaitli z/n, kur z ir vesels skaitlis un n- dabiskais skaitlis.

Pierādīsim, ka šī racionālo skaitļu definīcija ir līdzvērtīga iepriekšējai definīcijai. Zinām, ka daļskaitļa joslu varam uzskatīt par dalīšanas zīmi, tad no veselo skaitļu dalīšanas īpašībām un veselo skaitļu dalīšanas noteikumiem izriet sekojošo vienādību derīgums un. Tātad tas ir pierādījums.

Mēs sniedzam racionālu skaitļu piemērus, pamatojoties uz šo definīciju. Skaitļi −5 , 0 , 3 , un ir racionāli skaitļi, jo tos var uzrakstīt kā daļas ar veselu skaitītāju un formas naturālo saucēju un attiecīgi.

Racionālo skaitļu definīciju var sniegt arī šādā formulējumā.

Definīcija.

Racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var uzrakstīt kā ierobežotu vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu.

Šī definīcija ir arī līdzvērtīga pirmajai definīcijai, jo jebkura parastā daļa atbilst ierobežotai vai periodiskai decimāldaļai un otrādi, un jebkuru veselu skaitli var saistīt ar decimāldaļskaitli ar nullēm aiz komata.

Piemēram, skaitļi 5 , 0 , −13 , ir racionālu skaitļu piemēri, jo tos var uzrakstīt kā šādas decimāldaļas 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Un −7,(18) .

Mēs pabeidzam šīs sadaļas teoriju ar šādiem apgalvojumiem:

veseli skaitļi un daļskaitļi (pozitīvie un negatīvie) veido racionālo skaitļu kopu;

Katru racionālo skaitli var attēlot kā daļskaitli ar veselu skaitītāju un naturālo saucēju, un katra šāda daļa ir racionāls skaitlis;

Katru racionālo skaitli var attēlot kā ierobežotu vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu, un katra šāda daļa apzīmē kādu racionālu skaitli.

Lapas augšdaļa

Pozitīvu racionālu skaitļu pievienošana ir komutatīva un asociatīva,

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b) + c = a + (b+ c)

Pirms formulēt pozitīvo racionālo skaitļu reizināšanas definīciju, apsveriet šādu problēmu: ir zināms, ka segmenta X garums tiek izteikts kā daļskaitlis pie vienības garuma E, un vienības segmenta garums tiek mērīts, izmantojot vienību E 1 un tiek izteikts kā daļa. Kā atrast skaitli, kas attēlo nogriežņa X garumu, ja to mēra, izmantojot garuma mērvienību E 1?

Tā kā X=E, tad nX=mE, un no tā, ka E =E 1, izriet, ka qE=pE 1 . Mēs reizinām pirmo iegūto vienādību ar q, bet otro ar m. Tad (nq)X \u003d (mq)E un (mq)E \u003d (mp)E 1, no kurienes (nq)X \u003d (mp)E 1. Šī vienādība parāda, ka segmenta x garums vienā garuma vienībā tiek izteikts kā daļskaitlis, un līdz ar to , =, t.i. daļskaitļu reizināšana ir saistīta ar pāreju no vienas garuma vienības uz citu, mērot viena un tā paša segmenta garumu.

Definīcija.Ja pozitīvs skaitlis a ir attēlots ar daļskaitli, bet pozitīvs racionālais skaitlis b ar daļskaitli, tad to reizinājumu sauc par skaitli a b, kas attēlots ar daļskaitli.

Pozitīvu racionālu skaitļu reizināšana komutatīvais, asociatīvais un sadalošais attiecībā uz saskaitīšanu un atņemšanu. Šo īpašību pierādījums ir balstīts uz pozitīvo racionālo skaitļu reizināšanas un saskaitīšanas definīciju, kā arī uz atbilstošajām naturālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašībām.

46. ​​Kā jūs zināt atņemšana ir pievienošanas pretstats.

Ja a Un b - pozitīvi skaitļi, tad skaitļa b atņemšana no skaitļa a nozīmē skaitļa c atrašanu, kuru pievienojot skaitlim b, iegūst skaitli a.
a - b = c vai c + b = a
Atņemšanas definīcija attiecas uz visiem racionālajiem skaitļiem. Tas ir, pozitīvo un negatīvo skaitļu atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu.
Lai no viena skaitļa atņemtu citu, minuendam jāpievieno pretējs skaitlis.
Vai arī citā veidā mēs varam teikt, ka skaitļa b atņemšana ir tāda pati saskaitīšana, bet ar skaitli, kas ir pretējs skaitlim b.
a - b = a + (- b)
Piemērs.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Piemērs.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Ir vērts atcerēties tālāk minētos izteicienus.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Negatīvu skaitļu atņemšanas noteikumi
Skaitļa b atņemšana ir saskaitīšana ar skaitli, kas ir pretējs skaitlim b.
Šis noteikums tiek saglabāts ne tikai atņemot mazāku skaitli no lielāka skaitļa, bet arī ļauj atņemt lielāku skaitli no mazāka skaitļa, tas ir, jūs vienmēr varat atrast atšķirību starp diviem skaitļiem.
Atšķirība var būt pozitīvs skaitlis, negatīvs skaitlis vai nulle.
Negatīvo un pozitīvo skaitļu atņemšanas piemēri.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Ir ērti atcerēties zīmju likumu, kas ļauj samazināt iekavu skaitu.
Plusa zīme nemaina skaitļa zīmi, tāpēc, ja iekavas priekšā ir plus, zīme iekavās nemainās.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Mīnusa zīme iekavu priekšā apvērš skaitļa zīmi iekavās.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
No vienādībām var redzēt, ka, ja iekavās un iekavās ir identiskas zīmes, tad iegūstam “+”, bet, ja zīmes atšķiras, tad iegūstam “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Zīmju likums tiek saglabāts arī tad, ja iekavās nav viens skaitlis, bet gan algebriska skaitļu summa.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Lūdzu, ņemiet vērā, ka, ja iekavās ir vairāki skaitļi un iekavās ir mīnusa zīme, tad zīmēm visu skaitļu priekšā šajās iekavās ir jāmainās.
Lai atcerētos zīmju likumu, varat izveidot tabulu skaitļa zīmju noteikšanai.
Zīmju noteikums skaitļiem + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Vai arī iemācieties vienkāršu noteikumu.
Divi negatīvi padara apstiprinošu,
Plus reizes mīnus ir vienāds ar mīnusu.

Negatīvu skaitļu dalīšanas noteikumi.
Lai atrastu koeficienta moduli, jums ir jāsadala dividendes modulis ar dalītāja moduli.
Tātad, lai sadalītu divus skaitļus ar vienādām zīmēm, jums ir nepieciešams:

Sadaliet dividendes moduli ar dalītāja moduli;

Ielieciet "+" zīmi pirms rezultāta.

Piemēri skaitļu dalīšanai ar dažādām zīmēm:

Lai noteiktu koeficienta zīmi, varat izmantot arī šo tabulu.
Zīmju likums sadalot
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Aprēķinot "garās" izteiksmes, kurās parādās tikai reizināšana un dalīšana, ir ļoti ērti izmantot zīmju likumu. Piemēram, lai aprēķinātu daļu
Var pievērst uzmanību tam, ka skaitītājā ir 2 "mīnusa" zīmes, kuras, reizinot, iedos "plus". Arī saucējā ir trīs mīnusa zīmes, kuras reizinot, tiks iegūts mīnuss. Tāpēc galu galā rezultāts būs ar mīnusa zīmi.
Frakciju samazināšana (turpmākas darbības ar skaitļu moduļiem) tiek veikta tāpat kā iepriekš:
Koeficients, kas dalot nulli ar skaitli, kas nav nulle, ir nulle.
0: a = 0, a ≠ 0
NEdalīt ar nulli!
Visi iepriekš zināmie dalīšanas ar vienu noteikumi attiecas arī uz racionālo skaitļu kopu.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, kur a ir jebkurš racionāls skaitlis.
Atkarības starp reizināšanas un dalīšanas rezultātiem, kas ir zināmi pozitīviem skaitļiem, tiek saglabātas arī visiem racionālajiem skaitļiem (izņemot skaitli nulle):
ja a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ja a: b = c; a = c × b; b=a:c
Šīs atkarības izmanto, lai atrastu nezināmo koeficientu, dividendi un dalītāju (risinot vienādojumus), kā arī pārbaudītu reizināšanas un dalīšanas rezultātus.
Nezināmā atrašanas piemērs.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

Līdzīga informācija.