Vispārīgā gadījumā šis uzdevums ietver radošu pieeju, jo nav universālas metodes tā risināšanai. Tomēr mēģināsim sniegt dažus padomus.
Lielākajā daļā gadījumu polinoma sadalīšana faktoros balstās uz Bezout teorēmas konsekvenci, tas ir, tiek atrasta vai atlasīta sakne un polinoma pakāpe tiek samazināta par vienu, dalot ar. Iegūtajā polinomā tiek meklēta sakne un process tiek atkārtots līdz pilnīgai paplašināšanai.
Ja sakni nevar atrast, tad tiek izmantotas specifiskas sadalīšanas metodes: no grupēšanas līdz papildu savstarpēji izslēdzošu terminu ieviešanai.
Tālākā prezentācija balstās uz prasmēm atrisināt augstākas pakāpes vienādojumus ar veseliem skaitļiem.
Kopējā faktora iekavās.
Sāksim ar vienkāršāko gadījumu, kad brīvais vārds ir vienāds ar nulli, tas ir, polinomam ir forma .
Acīmredzot šāda polinoma sakne ir , tas ir, polinomu var attēlot kā .
Šī metode nav nekas cits kā izņemot kopējo faktoru iekavās.
Piemērs.
Trešās pakāpes polinomu sadaliet faktoros.
Risinājums.
Ir skaidrs, ka tā ir polinoma sakne, tas ir, X var iekavās:
Atrodiet kvadrātveida trinoma saknes 
Pa šo ceļu, 
Lapas augšdaļa
Polinoma faktorizācija ar racionālām saknēm.
Pirmkārt, apsveriet polinoma paplašināšanas metodi ar formas veseliem skaitļiem, koeficients augstākajā pakāpē ir vienāds ar vienu.
Šajā gadījumā, ja polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tie ir brīvā vārda dalītāji.
Piemērs.
Risinājums.
Pārbaudīsim, vai ir vesela skaitļa saknes. Lai to izdarītu, mēs izrakstām skaitļa dalītājus -18
: . Tas ir, ja polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tie ir starp izrakstītajiem skaitļiem. Pārbaudīsim šos skaitļus secīgi pēc Hornera shēmas. Tā ērtība slēpjas arī tajā, ka beigās iegūsim arī polinoma izplešanās koeficientus: 
T.i., x=2 Un x=-3 ir sākotnējā polinoma saknes, un to var attēlot kā reizinājumu:
Atliek paplašināt kvadrātveida trinomu.
Šī trinoma diskriminants ir negatīvs, tāpēc tam nav īstu sakņu.
Atbilde:
komentēt:
Hornera shēmas vietā varētu izmantot saknes atlasi un tai sekojošu polinoma dalīšanu ar polinomu.
Tagad apsveriet polinoma sadalīšanu ar formas veseliem skaitļiem, un koeficients augstākajā pakāpē nav vienāds ar vienu.
Šajā gadījumā polinomam var būt daļēji racionālas saknes.
Piemērs.
Faktorizējiet izteiksmi.
Risinājums.
Mainot mainīgo y=2x, mēs pārejam uz polinomu ar koeficientu, kas vienāds ar vienu augstākajā pakāpē. Lai to izdarītu, mēs vispirms reizinām izteiksmi ar 4
.
Ja iegūtajai funkcijai ir vesela skaitļa saknes, tad tās ir starp brīvā vārda dalītājiem. Pierakstīsim tos:
Secīgi aprēķiniet funkcijas vērtības g(y)šajos punktos līdz nulles sasniegšanai. 
Doti 8 polinomu faktorizācijas piemēri. Tajos ir ietverti piemēri kvadrātvienādojumu un bikvadrātisku vienādojumu risināšanai, piemēri ar atkārtotiem polinomiem un piemēri ar trešās un ceturtās pakāpes polinomu veselu skaitļu sakņu atrašanu.
1. Piemēri ar kvadrātvienādojuma atrisinājumu
Piemērs 1.1
x 4 x 3 — 6 x 2.
Risinājums
Izņemiet x 2
iekavām:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Vienādojuma saknes:
, .
.
Atbilde
Piemērs 1.2
Trešās pakāpes polinoma faktorēšana:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Risinājums
Mēs izņemam x no iekavām:
.
Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2 + 6 x + 9 = 0:
Tās diskriminants ir .
Tā kā diskriminants ir vienāds ar nulli, vienādojuma saknes ir daudzkārtējas: ;
.
No šejienes mēs iegūstam polinoma sadalīšanos faktoros:
.
Atbilde
Piemērs 1.3
Piektās pakāpes polinoma faktorēšana:
x 5–2 x 4 + 10 x 3.
Risinājums
Izņemiet x 3
iekavām:
.
Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2 - 2 x + 10 = 0.
Tās diskriminants ir .
Tā kā diskriminants ir mazāks par nulli, vienādojuma saknes ir sarežģītas: ;
, .
Polinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja mūs interesē faktorings ar reāliem koeficientiem, tad:
.
Atbilde
Faktoringa polinomu piemēri, izmantojot formulas
Piemēri ar bikvadrātiskajiem polinomiem
Piemērs 2.1
Bikvadrātiskā polinoma koeficientu noteikšana:
x 4 + x 2–20.
Risinājums
Pielietojiet formulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).
;
.
Atbilde
Piemērs 2.2
Polinoma koeficientu noteikšana, kas reducējas līdz bikvadrātiskajam:
x 8 + x 4 + 1.
Risinājums
Pielietojiet formulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):
;
;
.
Atbilde
Piemērs 2.3 ar rekursīvu polinomu
Rekursīvā polinoma faktorēšana:
.
Risinājums
Rekursīvajam polinomam ir nepāra pakāpe. Tāpēc tai ir sakne x = - 1
. Mēs sadalām polinomu ar x - (-1) = x + 1. Rezultātā mēs iegūstam:
.
Mēs veicam aizstāšanu:
, ;
;
;
.
Atbilde
Faktoringa polinomu ar veselu skaitļu saknēm piemēri
Piemērs 3.1
Polinoma faktorēšana:
.
Risinājums
Pieņemsim, ka vienādojums
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3–6 6 2 + 11 6–6 = 60.
Tātad, mēs esam atraduši trīs saknes:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Tā kā sākotnējais polinoms ir trešās pakāpes, tam ir ne vairāk kā trīs saknes. Tā kā esam atraduši trīs saknes, tās ir vienkāršas. Tad
.
Atbilde
Piemērs 3.2
Polinoma faktorēšana:
.
Risinājums
Pieņemsim, ka vienādojums
ir vismaz viena vesela skaitļa sakne. Tad tas ir skaitļa dalītājs 2
(biedrs bez x ). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
-2, -1, 1, 2
.
Aizstājiet šīs vērtības pa vienai:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Ja pieņemam, ka šim vienādojumam ir vesela skaitļa sakne, tad tas ir skaitļa dalītājs 2
(biedrs bez x ). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem:
1, 2, -1, -2
.
Aizstāt x = -1
:
.
Tātad mēs esam atraduši citu sakni x 2
= -1
. Varētu, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, dalīt polinomu ar , bet terminus sagrupēsim:
.
Tā kā vienādojums x 2 + 2 = 0 nav reālu sakņu, tad polinoma faktorizācijai ir forma.
Polinomu faktorizācija ir identiska transformācija, kuras rezultātā polinoms tiek pārveidots par vairāku faktoru reizinājumu - polinomiem vai monomiem.
Ir vairāki veidi, kā faktorizēt polinomus.
1. metode. Kopējā faktora iekavās.
Šīs transformācijas pamatā ir reizināšanas sadales likums: ac + bc = c(a + b). Transformācijas būtība ir izdalīt kopējo faktoru abos aplūkojamos komponentos un “izlikt” no iekavām.
Ļaujiet mums faktorizēt polinomu 28x 3 - 35x 4.
Risinājums.
1. Atrodam kopīgu dalītāju elementiem 28x3 un 35x4. 28 un 35 tas būs 7; x 3 un x 4 - x 3. Citiem vārdiem sakot, mūsu kopējais koeficients ir 7x3.
2. Mēs attēlojam katru no elementiem kā faktoru produktu, no kuriem viens
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Kopējā faktora iekavās
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
2. metode. Saīsināto reizināšanas formulu izmantošana. Šīs metodes apguves "meistarība" ir pamanīt izteiksmē vienu no saīsinātās reizināšanas formulām.
Ļaujiet mums faktorizēt polinomu x 6 - 1.
Risinājums.
1. Šai izteiksmei varam pielietot kvadrātu atšķirības formulu. Lai to izdarītu, mēs attēlojam x 6 kā (x 3) 2 un 1 kā 1 2, t.i. 1. Izteiksmei būs šāda forma:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Iegūtajai izteiksmei varam pielietot kubu summas un starpības formulu:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Tātad,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
3. metode. Grupēšana. Grupēšanas metode sastāv no polinoma komponentu apvienošanas tā, lai ar tiem būtu viegli veikt darbības (saskaitīšana, atņemšana, kopējā koeficienta izņemšana).
Mēs faktorizējam polinomu x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Risinājums.
1. Grupējiet komponentus šādā veidā: 1. ar 2. un 3. ar 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. Iegūtajā izteiksmē no iekavām izņemam kopējos faktorus: x 2 pirmajā gadījumā un 5 otrajā.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Izņemam kopējo koeficientu x - 3 un iegūstam:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).
Tātad,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x) 2 + 5).
Sakārtosim materiālu.
Koeficients polinomu a 2 - 7ab + 12b 2 .
Risinājums.
1. Monomālu 7ab attēlojam kā summu 3ab + 4ab. Izteiksmei būs šāda forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Atvērsim iekavas un iegūsim:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Grupējiet polinoma komponentus šādi: 1. ar 2. un 3. ar 4.. Mēs iegūstam:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Izņemsim izplatītākos faktorus:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Izņemsim kopējo koeficientu (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).
Tātad,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Ņemot vērā polinomu reizināšanu, mēs iegaumējām vairākas formulas, proti: formulas (a + b)², (a - b)², (a + b) (a - b), (a + b)³ un priekš (a – b)³.
Ja konkrētais polinoms sakrīt ar kādu no šīm formulām, tad to varēs faktorēt. Piemēram, polinoms a² - 2ab + b², mēs zinām, ir vienāds ar (a - b)² [vai (a - b) (a - b), tas ir, mums izdevās faktorēt a² - 2ab + b² uz 2 faktori]; arī
Apsveriet otro no šiem piemēriem. Mēs redzam, ka šeit norādītais polinoms atbilst formulai, kas iegūta, izliekot kvadrātā divu skaitļu starpību (pirmā skaitļa kvadrāts, mīnus divu reizinājums ar pirmo un otro, plus otrā skaitļa kvadrāts): x 6 ir pirmā skaitļa kvadrāts, un tāpēc , pats pirmais skaitlis ir x 3, otrā skaitļa kvadrāts ir dotā polinoma pēdējais loceklis, t.i., 1, pats otrais skaitlis līdz ar to arī ir 1; skaitļa divi reizinājums ar pirmo un otro ir termins -2x 3, jo 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Tāpēc mūsu polinoms tika iegūts, izliekot kvadrātā starpību starp skaitļiem x 3 un 1, ti, tas ir vienāds uz (x 3 - 12 . Apsveriet vēl vienu ceturto piemēru. Mēs redzam, ka šo polinomu a 2 b 2 - 25 var uzskatīt par divu skaitļu kvadrātu starpību, proti, pirmā skaitļa kvadrāts ir a 2 b 2, tāpēc pats pirmais skaitlis ir ab, kvadrāts otrais skaitlis ir 25, kāpēc pats otrais skaitlis ir 5. Tāpēc mūsu polinomu var uzskatīt par iegūtu, reizinot divu skaitļu summu ar to starpību, t.i.
(ab + 5) (ab - 5).
Dažkārt gadās, ka dotajā polinomā termini nav tādā secībā, kādā esam pieraduši, piemēram.
9a 2 + b 2 + 6ab - mentāli mēs varam pārkārtot otro un trešo vārdu, un tad mums kļūs skaidrs, ka mūsu trinomiāls = (3a + b) 2.
... (garīgi pārkārtojiet pirmo un otro terminu).
25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 utt.
Apsveriet citu polinomu
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Mēs redzam, ka tā pirmais loceklis ir skaitļa a kvadrāts, bet trešais ir skaitļa 2b kvadrāts, bet otrais loceklis nav reizinājums ar pirmo skaitli un otro, šāds reizinājums būtu vienāds ar 2 a 2b = 4ab. Tāpēc šim polinomam nav iespējams piemērot divu skaitļu summas kvadrāta formulu. Ja kāds rakstīja, ka a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, tad tas būtu nepareizi - jums rūpīgi jāapsver visi polinoma nosacījumi, pirms tam piemērojat faktorizāciju pēc formulām.
40. Abu metožu kombinācija. Dažkārt, sadalot polinomus faktoros, ir jāapvieno gan kopfaktora izņemšanas no iekavām tehnika, gan formulu pielietošanas tehnika. Šeit ir daži piemēri:
1. 2a 3 – 2ab 2 . Vispirms no iekavām izņemam kopējo koeficientu 2a un iegūstam 2a (a 2 - b 2). Savukārt koeficients a 2 - b 2 tiek sadalīts pēc formulas faktoros (a + b) un (a - b).
Dažreiz ir nepieciešams atkārtoti piemērot paplašināšanas metodi pēc formulām:
1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)
Mēs redzam, ka pirmais faktors a 2 + b 2 neatbilst nevienai no pazīstamajām formulām; turklāt, atgādinot īpašos dalīšanas gadījumus (37. p.), konstatēsim, ka a 2 + b 2 (divu skaitļu kvadrātu summa) nefaktorē vispār. Otro no iegūtajiem faktoriem a 2 - b 2 (starpība ar divu skaitļu kvadrātu) sadala faktoros (a + b) un (a - b). Tātad,
41. Īpašu sadalīšanas gadījumu pielietošana. Pamatojoties uz 37. punktu, mēs uzreiz varam rakstīt, ka piem.
Apsveriet, izmantojot konkrētus piemērus, kā faktorizēt polinomu.
Mēs izvērsim polinomus saskaņā ar .
Faktorēšanas polinomi:
Pārbaudiet, vai pastāv kopīgs faktors. jā, tas ir vienāds ar 7 cd. Izņemsim to no iekavām:
Izteiksme iekavās sastāv no diviem terminiem. Kopējā faktora vairs nav, izteiksme nav kubu summas formula, kas nozīmē, ka sadalīšana ir pabeigta.
Pārbaudiet, vai pastāv kopīgs faktors. Nē. Polinoms sastāv no trim vārdiem, tāpēc mēs pārbaudām, vai ir pilna kvadrāta formula. Divi termini ir izteiksmju kvadrāti: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trešais vārds ir vienāds ar šo izteiksmju divkāršu reizinājumu: 2∙5x∙3y=30xy. Tātad šis polinoms ir ideāls kvadrāts. Tā kā dubultprodukts ir ar mīnusa zīmi, tad tas ir:
Mēs pārbaudām, vai ir iespējams izņemt kopējo faktoru no iekavām. Ir kopīgs faktors, tas ir vienāds ar a. Izņemsim to no iekavām:
Iekavās ir divi termini. Mēs pārbaudām, vai ir formula kvadrātu atšķirībai vai kubu atšķirībai. a² ir a kvadrāts, 1=1². Tātad izteiksmi iekavās var uzrakstīt pēc kvadrātu atšķirības formulas:
Ir kopīgs koeficients, tas ir vienāds ar 5. Mēs to izņemam no iekavām:
iekavās ir trīs termini. Pārbaudiet, vai izteiksme ir ideāls kvadrāts. Divi vārdi ir kvadrāti: 16=4² un a² ir a kvadrāts, trešais ir vienāds ar 4 un a divkāršu reizinājumu: 2∙4∙a=8a. Tāpēc tas ir ideāls kvadrāts. Tā kā visi termini ir ar "+" zīmi, izteiksme iekavās ir summas pilns kvadrāts:
Kopējais koeficients -2x tiek izņemts no iekavām:
Iekavās ir divu terminu summa. Mēs pārbaudām, vai dotā izteiksme ir kubu summa. 64=4³, x³-kubs x. Tātad binomiālu var paplašināt pēc formulas:
Ir kopīgs faktors. Bet, tā kā polinoms sastāv no 4 locekļiem, mēs vispirms un tikai pēc tam izņemsim kopējo koeficientu no iekavām. Mēs grupējam pirmo terminu ar ceturto, otro - ar trešo:
No pirmajām iekavām mēs izņemam kopējo koeficientu 4a, no otrās - 8b:
Kopēja reizinātāja vēl nav. Lai to iegūtu, no otrajām iekavām mēs izņemsim iekavas “-”, savukārt katra zīme iekavās mainīsies uz pretējo:
Tagad no iekavām izņemam kopējo koeficientu (1-3a):
Otrajās iekavās ir kopīgs koeficients 4 (tas ir tas pats faktors, ko mēs neizņēmām no iekavām piemēra sākumā):
Tā kā polinoms sastāv no četriem terminiem, mēs veicam grupēšanu. Mēs grupējam pirmo terminu ar otro, trešo ar ceturto:
Pirmajās iekavās nav kopēja faktora, bet ir formula kvadrātu atšķirībai, otrajās iekavās kopējais koeficients ir -5:
Ir parādījies kopīgs faktors (4m-3n). Izņemsim to no iekavām.