Rakstā mēs parādīsim kā atrisināt daļskaitļus uz vienkāršiem saprotamiem piemēriem. Izdomāsim, kas ir daļa, un apsvērsim frakciju šķīdums!

Koncepcija frakcijas tiek ieviests matemātikas kursā no vidusskolas 6. klases.

Daļskaitļi ir šādā formā: ± X / Y, kur Y ir saucējs, tas norāda, cik daļās ir sadalīts veselums, un X ir skaitītājs, tas norāda, cik šādu daļu tika ņemtas. Skaidrības labad ņemsim piemēru ar kūku:

Pirmajā gadījumā kūku sagriež vienādi un paņēma vienu pusi, t.i. 1/2. Otrajā gadījumā kūka tika sagriezta 7 gabalos, no kuriem tika ņemti 4 gabali, t.i. 4/7.

Ja daļa no viena skaitļa dalīšanas ar citu nav vesels skaitlis, to raksta kā daļu.

Piemēram, izteiksme 4: 2 = 2 dod veselu skaitli, bet 4: 7 nav pilnībā dalāms, tāpēc šo izteiksmi raksta kā daļskaitli 4/7.

Citiem vārdiem sakot frakcija ir izteiksme, kas apzīmē divu skaitļu vai izteiksmju dalījumu un kas tiek rakstīta, izmantojot daļskaitļu joslu.

Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, daļa ir pareiza, ja, gluži pretēji, tā ir nepareiza. Daļa var ietvert veselu skaitli.

Piemēram, 5 ir 3/4.

Šis ieraksts nozīmē, ka, lai iegūtu veselu 6, trūkst viena daļa no četrām.

Ja vēlaties atcerēties kā atrisināt daļskaitļus 6. klasei, jums tas ir jāsaprot frakciju šķīdums būtībā ir jāsaprot dažas vienkāršas lietas.

• Daļskaitlis būtībā ir daļskaitļa izteiksme. Tas ir, skaitliska izteiksme tam, cik liela daļa dotās vērtības ir no viena veseluma. Piemēram, daļskaitlis 3/5 izsaka, ka, ja mēs kaut ko veselu sadalām 5 daļās un šī veseluma daļu vai daļu skaits ir trīs.
• Daļa var būt mazāka par 1, piemēram, 1/2 (vai faktiski puse), tad tā ir pareiza. Ja daļa ir lielāka par 1, piemēram, 3/2 (trīs pusītes vai pusotra), tad tas ir nepareizi un, lai vienkāršotu risinājumu, labāk izvēlēties visu daļu 3/2 = 1 vesela 1/2 .
• Daļskaitļi ir tādi paši skaitļi kā 1, 3, 10 un pat 100, tikai skaitļi nav veseli skaitļi, bet daļskaitļi. Ar tiem var veikt visas tās pašas darbības kā ar cipariem. Daļskaitļu saskaitīšana nav grūtāka, un mēs to parādīsim tālāk ar konkrētiem piemēriem.

Kā atrisināt daļskaitļus. Piemēri.

Daļskaitļiem ir piemērojamas dažādas aritmētiskās darbības.

Daļas apvienošana līdz kopsaucējam

Piemēram, jūs vēlaties salīdzināt daļskaitļus 3/4 un 4/5.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms atrodam mazāko kopsaucēju, t.i. mazākais skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar katru no daļskaitļu saucējiem

Mazākais kopsaucējs (4,5) = 20

Tad abu daļu saucējs tiek samazināts līdz mazākajam kopsaucējam

Atbilde: 15/20

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana

Ja nepieciešams aprēķināt divu daļskaitļu summu, tās vispirms saliek līdz kopsaucējam, tad saskaita skaitītājus, saucējam paliekot nemainīgam. Atšķirību starp daļskaitļiem aprēķina tādā pašā veidā, vienīgā atšķirība ir tā, ka skaitītāji tiek atņemti.

Piemēram, jums jāatrod daļskaitļu 1/2 un 1/3 summa

Tagad atrodiet atšķirību starp daļām 1/2 un 1/4

Daļskaitļu reizināšana un dalīšana

Šeit frakciju risinājums ir vienkāršs, šeit viss ir pavisam vienkāršs:

• Reizināšana - daļskaitļu skaitītāji un saucēji tiek reizināti savā starpā;
• Dalīšana - vispirms iegūstam otrās daļdaļas apgriezto vērtību, t.i. mēs apmainām tā skaitītāju un saucēju, pēc tam reizinām iegūtās daļas.

Piemēram:

Par šo par kā atrisināt daļskaitļus, viss. Ja jums joprojām ir kādi jautājumi par daļskaitļu atrisināšana, ja kaut kas nav skaidrs, tad rakstiet komentāros un mēs jums noteikti atbildēsim.

Ja esat skolotājs, jums noderēs iespēja lejupielādēt prezentāciju pamatskolai (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html).

1 Kas ir parastās frakcijas. Frakciju veidi.
Daļa vienmēr nozīmē kādu daļu no veseluma. Fakts ir tāds, ka ne vienmēr ir iespējams norādīt daudzumu ar naturāliem skaitļiem, tas ir, pārrēķināt: 1,2,3 utt. Kā, piemēram, jūs domājat pusi arbūza vai ceturtdaļu stundas? Tāpēc parādījās daļskaitļi jeb daļskaitļi.

Iesākumā jāsaka, ka kopumā ir divu veidu daļskaitļi: parastās daļdaļas un decimāldaļdaļas. Parastās daļskaitļus raksta šādi:
Decimāldaļas tiek rakstītas atšķirīgi:

Parastajām daļām ir divas daļas: augšpusē ir skaitītājs, apakšā ir saucējs. Daļskaitļu josla atdala skaitītāju un saucēju. Tāpēc atcerieties:

Jebkura daļa ir daļa no veseluma... Parasti tiek uzņemts viss 1 (vienība). Daļas saucējs parāda, cik daļās veselums ir sadalīts ( 1 ), un skaitītājs ir paņemto daļu skaits. Ja mēs sagriežam kūku 6 identiskos gabalos (matemātikā viņi saka akcijas ), tad katra kūkas daļa būs vienāda ar 1/6. Ja Vasja ēda 4 gabalus, tas nozīmē, ka viņš ēda 4/6.

No otras puses, daļveida josla ir nekas vairāk kā dalījuma zīme. Tāpēc daļskaitlis ir divu skaitļu - skaitītāja un saucēja - koeficients. Problēmu tekstā vai ēdienu receptēs daļdaļas parasti raksta šādi: 2/3, 1/2 utt. Dažām frakcijām ir savs nosaukums, piemēram, 1/2 - "puse", 1/3 - "trešā", 1/4 - "ceturtdaļa"
Tagad izdomāsim, kādi ir parasto frakciju veidi.

2 Parasto frakciju veidi

Pastāv trīs veidu parastās frakcijas: parastās, nepareizās un jauktās:

Pareiza frakcija

Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad šādu daļskaitli sauc pareizi, piemēram: Regulāra daļa vienmēr ir mazāka par 1.

Nepareiza frakcija

Ja skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, šādu daļskaitli sauc nepareizi, piemēram:

Nepareiza daļa, kas ir lielāka par vienu (ja skaitītājs ir lielāks par saucēju) vai vienāds ar vienu (ja skaitītājs ir vienāds ar saucēju)

Jauktā frakcija

Ja daļdaļa sastāv no vesela skaitļa (veselas daļas) un regulāras daļas (daļdaļas), tad šādu daļu sauc sajaukts, piemēram:

Jauktā daļa vienmēr ir lielāka par vienu.

3 Daļskaitļu konvertēšana

Matemātikā parastās daļskaitļi bieži ir jāpārveido, tas ir, jauktā daļa jāpārvērš par nepareizu un otrādi. Tas ir nepieciešams, lai veiktu dažas darbības, piemēram, reizināšanu un dalīšanu.

Tātad, jebkuru jauktu frakciju var pārvērst par nepareizu... Lai to izdarītu, visa daļa tiek reizināta ar saucēju un tiek pievienots daļdaļas skaitītājs. Iegūtā summa tiek ņemta par skaitītāju, un saucējs paliek nemainīgs, piemēram:

Jebkuru neregulāru frakciju var sajaukt. Lai to izdarītu, sadaliet skaitītāju ar saucēju (ar atlikumu). Iegūtais skaitlis būs veselā skaitļa daļa, bet atlikums būs daļdaļas skaitītājs, piemēram:

Tajā pašā laikā viņi saka: "Mēs esam izolējuši visu daļu no nepareizās frakcijas."

Ir vēl viens noteikums, kas jāatceras: Jebkuru veselu skaitli var attēlot kā parastu daļskaitli ar saucēju 1, piemēram:

Parunāsim par to, kā salīdzināt daļskaitļus.

4 Daļskaitļu salīdzinājums

Salīdzinot daļskaitļus, var būt vairākas iespējas: Ir viegli salīdzināt daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, daudz grūtāk, ja saucēji ir atšķirīgi. Un ir arī jaukto frakciju salīdzinājums. Bet neuztraucieties, tagad mēs sīkāk aplūkosim katru iespēju un uzzināsim, kā salīdzināt daļskaitļus.

Daļskaitļu salīdzināšana ar vienu un to pašu saucēju

No diviem daļskaitļiem ar vienādu saucēju, bet dažādiem skaitītājiem, jo ​​lielāka ir daļa ar lielāku skaitītāju, piemēram:

Daļskaitļu salīdzināšana ar tiem pašiem skaitītājiem

No divām daļām ar vienādiem skaitītājiem, bet dažādiem saucējiem, jo ​​lielāka ir daļa ar mazāku saucēju, piemēram:

Jaukto un nepareizo frakciju salīdzinājums ar pareizajām frakcijām

Neregulāra vai jaukta frakcija vienmēr ir lielāka par parasto daļu, piemēram:

Divu jauktu frakciju salīdzinājums

Salīdzinot divas jauktas frakcijas, daļa ar lielāko veselo skaitli ir lielāka, piemēram:

Ja jaukto daļu veselās daļas ir vienādas, jo lielāka ir daļa ar lielāko daļu, piemēram:

Daļskaitļu salīdzināšana ar dažādiem skaitītājiem un saucējiem

Nav iespējams salīdzināt daļskaitļus ar dažādiem skaitītājiem un saucējiem, tos nepārvēršot. Pirmkārt, daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam saucējam, un pēc tam jāsalīdzina to skaitītāji. Jo lielāka ir daļa ar lielāku skaitītāju. Bet kā samazināt daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam, mēs apsvērsim nākamajās divās raksta sadaļās. Pirmkārt, mēs apskatīsim daļskaitļu pamatīpašību un daļskaitļu atcelšanu, un pēc tam tieši reducēsim daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam.

5 Daļas galvenā īpašība. Frakciju samazināšana. GCD jēdziens.

Atcerieties: saskaitīt un atņemt, kā arī salīdzināt, var salīdzināt tikai daļskaitļus ar vienādiem saucējiem... Ja saucēji ir atšķirīgi, tad vispirms ir jāsavieno daļskaitļi līdz vienam saucējam, tas ir, jāpārveido viena no daļām tā, lai tās saucējs kļūtu tāds pats kā otrajai daļai.

Frakcijām ir viena svarīga īpašība, ko sauc arī par frakcijas galvenā īpašība:

Ja gan daļskaitļa skaitītāju, gan saucēju reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, tad daļdaļas vērtība nemainīsies:

Pateicoties šim īpašumam, mēs varam samazināt frakcijas:

Lai atceltu daļskaitli, ir jādala gan skaitītājs, gan saucējs ar vienu un to pašu skaitli.(skatiet piemēru tieši iepriekš). Kad mēs samazinām daļu, mēs varam rakstīt savas darbības šādi:

Biežāk piezīmju grāmatiņā tie samazina daļu šādi:

Bet atcerieties, ka var atcelt tikai faktorus. Ja skaitītājs vai saucējs ir summa vai starpība, jūs nevarat atcelt noteikumus. Piemērs:

Vispirms summa ir jāpārvērš reizinātājā:

Dažreiz, strādājot ar lieliem skaitļiem, lai samazinātu daļu, ir ērti atrast lielākais skaitītāja un saucēja kopsaucējs (gcd)

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) vairāki skaitļi - tas ir lielākais naturālais skaitlis, ar kuru šie skaitļi dalās bez atlikuma.

Lai atrastu divu skaitļu GCD (piemēram, daļskaitļa skaitītāju un saucēju), abi skaitļi ir jāsadala pirmfaktoros, abos paplašinājumos jāatzīmē tie paši faktori un šie faktori jāreizina. Iegūtais produkts būs GCD. Piemēram, mums ir jāsamazina daļa:

Atrodiet skaitļu 96 un 36 GCD:

GCD parāda, ka gan skaitītājam, gan saucējam ir koeficients 12, un mēs varam viegli atcelt daļskaitli.

Dažkārt, lai daļskaitļus pielīdzinātu vienam un tam pašam saucējam, pietiek ar vienu no daļskaitļiem atcelt. Bet biežāk ir nepieciešams izvēlēties papildu faktorus abām frakcijām.Tagad mēs apskatīsim, kā tas tiek darīts. Tātad:

6 Kā pārvērst daļskaitļus vienā saucējā. Visretāk sastopamie vairāki (LCM).

Kad mēs samazinām daļas līdz vienam un tam pašam saucējam, saucējam mēs izvēlamies skaitli, kas dalās gan ar pirmo, gan otro saucēju (tas ir, matemātiskā izteiksmē tas būtu abu saucēju daudzkārtnis). Un vēlams, lai šis skaitlis būtu pēc iespējas mazāks, tāpēc ērtāk saskaitīt. Tādējādi mums ir jāatrod LCM abiem saucējiem.

Divu mazākais kopīgais reizinājums (LCM) ir mazākais naturālais skaitlis, kas dalās ar abiem šiem skaitļiem bez atlikuma. Dažreiz LCM var atrast mutiski, bet biežāk, īpaši strādājot ar lieliem skaitļiem, LCM ir jāatrod rakstiski, izmantojot šādu algoritmu:

Lai atrastu vairāku skaitļu LCM, jums ir nepieciešams:

1. Nosakiet šos skaitļus
2. Paņemiet lielāko paplašinājumu un ierakstiet šos skaitļus kā produktu
3. Citos paplašinājumos atlasiet skaitļus, kas nav sastopami vislielākajā izvēršanā (vai tajā ir sastopami mazāk reižu), un pievienojiet tos izstrādājumam.
4. Reiziniet visus skaitļus produktā, tas būs LCM.

Piemēram, atradīsim skaitļu 28 un 21 LCM:

Tomēr atpakaļ pie mūsu frakcijām. Kad esam izvēlējušies vai rakstiski aprēķinājuši abu saucēju LCM, mums šo daļskaitļu skaitītāji jāreizina ar papildu faktori... Tos var atrast, dalot LCM ar atbilstošās daļas saucēju, piemēram:

Tādējādi mēs savas daļskaitļus salīdzinājām ar vienu un to pašu saucēju - 15.

7 Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana ar vienu un to pašu saucēju

Lai pievienotu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, pievienojiet to skaitītājus un atstājiet saucēju to pašu, piemēram:

Lai atņemtu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, no pirmās daļdaļas skaitītāja atņemiet otrās daļdaļas skaitītāju un atstājiet saucēju to pašu, piemēram:

Saskaita un atņem jauktās daļas ar vienu un to pašu saucēju

Lai pievienotu jauktās frakcijas, jums atsevišķi jāpievieno to veselās daļas, pēc tam jāpievieno to daļdaļas un jāpieraksta rezultāts ar jaukto daļu:

Ja, pievienojot daļdaļas, tiek iegūta nepareiza daļa, atlasiet no tās visu daļu un pievienojiet to visai daļai, piemēram:

Atņemšana tiek veikta tādā pašā veidā: visa daļa tiek atņemta no veseluma, un daļēja daļa tiek atņemta no daļējās daļas:

Ja atņemtā daļdaļa ir lielāka par reducētās daļdaļu, mēs "ņemam" no visas daļas vienu, pārvēršot reducēto par neregulāru daļu, un tad rīkojamies kā parasti:

Tāpat atņemiet daļu no vesela skaitļa:

Kā pievienot veselu skaitli un daļskaitli

Lai pievienotu veselu skaitli un daļskaitli, jums vienkārši jāpievieno šis skaitlis daļskaitļa priekšā, un jūs iegūsit jauktu datni, piemēram:

Ja mēs pievieno veselu skaitli un jaukto datni, mēs pievienojam šo skaitli visai daļskaitļa daļai, piemēram:

Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem saskaitīšana un atņemšana.

Lai pievienotu vai atņemtu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, vispirms tie jāsavieno ar vienu un to pašu saucēju un pēc tam jārīkojas tāpat, kā pievienojot daļskaitļus ar vienādiem saucējiem (pievienojiet skaitītājus):

Atņemot, mēs rīkojamies tāpat:

Ja mēs strādājam ar jauktām daļām, mēs to daļdaļas salīdzinām ar vienu un to pašu saucēju un pēc tam atņemam kā parasti: visu daļu no veseluma un daļskaitli no daļdaļas:

8 Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Parasto daļskaitļu reizināšana un dalīšana ir daudz vienkāršāka nekā saskaitīšana un atņemšana, jo tās nav jāsaliek vienā un tajā pašā saucējā. Atcerieties vienkāršus daļskaitļu reizināšanas un dalīšanas noteikumus:

Pirms skaitļu reizināšanas skaitītājā un saucējā ir ieteicams samazināt daļu, tas ir, atbrīvoties no tiem pašiem faktoriem skaitītājā un saucējā, kā mūsu piemērā.

Lai dalītu daļu ar naturālu skaitli, jums ir jāreizina saucējs ar šo skaitli un skaitītājs nav jāmaina:

Piemēram:

Daļas dalīšana daļā

Lai dalītu vienu daļskaitli ar otru, dividende jāreizina ar dalītāja reciproku (reciprokālu) Kas ir šis atgriezeniskais skaitlis?

Ja mēs apgriežam daļskaitli, tas ir, samaināmies ar skaitītāja un saucēja vietām, tad iegūstam apgriezto vērtību. Daļas un tās apgrieztās daļas reizinājums dod vienu. Matemātikā šādus skaitļus sauc par savstarpēji apgrieztiem skaitļiem:

Piemēram, skaitļi ir savstarpēji apgriezti, jo

Tātad, atgriezīsimies pie daļdaļas dalīšanas ar daļskaitli:

Lai dalītu vienu daļu ar citu, dividende jāreizina ar dalītāja apgriezto skaitli:

Piemēram:

Sadalot jauktās frakcijas, vispirms tās jāpārvērš nepareizās daļās tāpat kā reizinot:

Daļskaitļus reizinot un dalot ar veseliem naturāliem skaitļiem, varat arī attēlot šos skaitļus kā daļskaitļus ar saucēju 1 .

Un plkst dalot veselu skaitli ar daļu mēs attēlojam šo skaitli kā daļu ar saucēju 1 :

Daļas skaitītājs un saucējs. Frakciju veidi. Mēs turpinām apsvērt frakcijas. Pirmkārt, neliela atruna – ņemot vērā daļskaitļus un ar tiem atbilstošos piemērus, pagaidām strādāsim tikai ar tā skaitlisko attēlojumu. Ir arī daļējas burtiskās izteiksmes (ar un bez cipariem).Taču arī uz tiem attiecas visi "principi" un noteikumi, bet par šādiem izteicieniem turpmāk runāsim atsevišķi. Iesaku apmeklēt un soli pa solim izpētīt (atcerēties) daļskaitļu tēmu.

Pats galvenais ir saprast, atcerēties un apzināties, ka DAĻA ir SKAITS !!!

Kopējā frakcija Vai formas skaitlis:

Skaitlis, kas atrodas "augšā" (šajā gadījumā m), tiek saukts par skaitītāju, skaitlis, kas atrodas zemāk (skaitlis n), tiek saukts par saucēju. Tiem, kas tikko pieskārās tēmai, bieži rodas neizpratne - kā sauc.

Šeit ir triks, kā atcerēties mūžīgi – kur ir skaitītājs un kur saucējs. Šis paņēmiens ir saistīts ar verbāli-figurālu asociāciju. Iedomājieties burku ar dubļainu ūdeni. Ir zināms, ka, ūdenim nostājoties, tīrs ūdens paliek virsū, un nogulsnes (netīrumi) nosēžas, atceramies:

CHISSS kausētais ūdens AUGŠU (CHISSS lej no augšas)

Grja ZZZNNN ūdens Apakšā (ZNNN nomaiņa apakšā)

Tātad, tiklīdz radās vajadzība atcerēties, kur ir skaitītājs un kur saucējs, viņi uzreiz vizualizēja burciņu ar nosēdinātu ūdeni, kurā virsū ir tīrs ūdens, bet apakšā netīrs ūdens. Ir arī citi iegaumēšanas paņēmieni, ja tie jums palīdz, tas ir labi.

Parasto daļskaitļu piemēri:

Ko nozīmē horizontālā josla starp cipariem? Tas nav nekas vairāk kā dalījuma zīme. Izrādās, ka daļu var aplūkot kā piemēru ar dalīšanas darbību. Šī darbība ir vienkārši ierakstīta šajā formā. Tas ir, augšējais skaitlis (skaitītājs) tiek dalīts ar apakšējo skaitli (saucējs):

Turklāt ir arī apzīmējuma forma - daļskaitli var uzrakstīt šādi (atdalot ar slīpsvītru):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 un tā tālāk...

Iepriekš minētās daļskaitļus varam uzrakstīt šādi:

Dalīšanas rezultāts, kā jūs zināt, ir skaitlis.

Sapratu - DAĻA IR SKAITS !!!

Kā jau esat pamanījis, parastas daļskaitļa skaitītājs var būt mazāks par saucēju, tas var būt lielāks par saucēju un var būt vienāds ar to. Šeit ir daudz svarīgu punktu, kas ir intuitīvi, bez jebkādas teorētiskas izsmalcinātības. Piemēram:

1. 1. un 3. daļu var uzrakstīt kā 0,5 un 0,01. Skriesim nedaudz uz priekšu – tās ir decimāldaļskaitļi, par tiem parunāsim nedaudz tālāk.

2. 4. un 6. daļskaitļi iegūst veselu skaitli 45: 9 = 5, 11: 1 = 11.

3. 5. frakcija rezultātā iegūst vienību 155: 155 = 1.

Kādi secinājumi liecina par sevi? Sekojošais:

1. Skaitītājs, dalīts ar saucēju, var dot galīgu skaitli. Tas var nedarboties, sadaliet to ar kolonnu 7 ar 13 vai 17 ar 11 — nekādā gadījumā! Jūs varat dalīties bezgalīgi, bet mēs arī par to runāsim tālāk.

2. Daļa var iegūt veselu skaitli. Tāpēc mēs varam attēlot jebkuru veselu skaitli kā daļu vai drīzāk bezgalīgu daļskaitļu sēriju, paskatieties, visas šīs daļas ir vienādas ar 2:

Tomēr! Mēs vienmēr varam uzrakstīt jebkuru veselu skaitli kā daļskaitli - šis skaitlis pats par sevi ir skaitītājā, viens ir saucējā:

3. Vienību vienmēr varam attēlot kā daļskaitli ar jebkuru saucēju:

* Šie punkti ir ārkārtīgi svarīgi, strādājot ar daļām aprēķinos un pārveidojumos.

Frakciju veidi.

Un tagad par parasto daļskaitļu teorētisko dalījumu. Tie ir sadalīti pareizi un nepareizi.

Daļa, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju, tiek saukta par pareizu. Piemēri:

Daļskaitli, kuras skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, sauc par nepareizu. Piemēri:

Jauktā frakcija(jaukts numurs).

Jaukta daļa ir daļskaitlis, kas rakstīts kā vesels skaitlis un regulāra daļa, un to saprot kā šī skaitļa un tā daļdaļas summu. Piemēri:

Jauktu daļu vienmēr var attēlot kā nepareizu daļskaitli un otrādi. Ejam tālāk!

Decimāldaļas.

Mēs tos jau esam pieskārušies iepriekš, tie ir piemēri (1) un (3), tagad sīkāk. Šeit ir decimāldaļskaitļu piemēri: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Daļskaitli, kuras saucējs ir 10, piemēram, 10, 100, 1000 un tā tālāk, sauc par decimāldaļu. Nav grūti uzrakstīt pirmās trīs norādītās frakcijas parasto daļskaitļu veidā:

Ceturtais ir jaukta daļa (jaukts skaitlis):

Decimāldaļai ir šāda apzīmējuma forma - arsākas veselā skaitļa daļa, tad veselā skaitļa un daļdaļas atdalītājs ir punkts vai komats un tad daļdaļa, daļdaļas ciparu skaitu stingri nosaka daļdaļas izmērs: ja tās ir desmitdaļas, daļdaļu raksta ar vienu ciparu; ja tūkstošdaļas - trīs; desmit tūkstošdaļas - četras utt.

Šīs daļas ir ierobežotas un bezgalīgas.

Beigu decimāldaļskaitļu piemēri: 0,234; 0,87; 34,00005; 5.765.

Piemēri ir bezgalīgi. Piemēram, skaitlis Pi ir bezgalīga decimāldaļdaļa, arī 0,333333333333 ... ... 0,16666666666 .... un citi. Arī skaitļu 3, 5, 7 utt saknes izvilkšanas rezultāts. būs bezgalīga daļa.

Daļējā daļa var būt cikliska (tajā ir cikls), divi iepriekš minētie piemēri ir vienādi, vairāk piemēru:

0.123123123123 ... ... 123. cikls

0.781781781718 ... ... cikls 781

0,0250102501 .... cikls 02501

Tos var uzrakstīt kā 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Pī nav cikliska daļa, kā, piemēram, trīs sakne.

Zemāk esošajos piemēros skanēs tādi vārdi kā "apgriezt" daļskaitli — tas nozīmē, ka skaitītājs un saucējs ir apmainīti. Faktiski šādai daļai ir nosaukums - apgrieztā daļa. Apgriezto daļskaitļu piemēri:

Neliels kopsavilkums! Frakcijas ir:

Parastais (pareizais un nepareizais).

Decimālskaitlis (galīgs un bezgalīgs).

Jaukts (jaukti cipari).

Tas ir viss!

Ar cieņu Aleksandrs.

Runājot par matemātiku, nevar neatcerēties daļskaitļus. Viņi daudz laika un uzmanības velta mācībām. Atcerieties, cik daudz piemēru jums bija jāatrisina, lai uzzinātu noteiktus noteikumus darbam ar daļskaitļiem, kā iegaumējāt un pielietojāt daļskaitļa pamatīpašību. Cik daudz nervu tika tērēts, lai atrastu kopsaucēju, it īpaši, ja piemēros bija vairāk nekā divi termini!

Atcerēsimies, kas tas ir, un nedaudz atsvaidzināsim atmiņu, pamatinformāciju un noteikumus darbam ar daļskaitļiem.

Daļskaitļu noteikšana

Sāksim ar pašu svarīgāko – definīcijām. Daļa ir skaitlis, kas sastāv no vienas vai vairākām viena daļām. Daļskaitli raksta kā divus skaitļus, kas atdalīti ar horizontālu vai slīpsvītru. Šajā gadījumā augšējo (vai pirmo) sauc par skaitītāju, bet apakšējo (otro) sauc par saucēju.

Ir vērts atzīmēt, ka saucējs parāda, cik daļās vienība ir sadalīta, un skaitītājs ir ņemto daļu vai daļu skaits. Daļskaitļi, ja tie ir pareizi, bieži ir mazāki par vienu.

Tagad apskatīsim šo skaitļu īpašības un pamatnoteikumus, kas tiek izmantoti, strādājot ar tiem. Bet pirms mēs analizējam tādu jēdzienu kā "racionālas frakcijas galvenā īpašība", parunāsim par frakciju veidiem un to iezīmēm.

Kādas ir frakcijas

Ir vairāki šādu skaitļu veidi. Pirmkārt, tās ir parastās un decimāldaļas. Pirmie apzīmē ieraksta veidu, ko mēs jau esam norādījuši, izmantojot horizontālu vai slīpsvītru. Otrā veida daļskaitļi tiek norādīti, izmantojot tā saukto pozicionālo apzīmējumu, kad vispirms tiek norādīta skaitļa veselā daļa, bet pēc tam pēc komata tiek norādīta daļskaitļa daļa.

Šeit ir vērts atzīmēt, ka matemātikā gan decimāldaļas, gan parastās daļas tiek izmantotas vienādi. Daļas galvenā īpašība ir derīga tikai otrajam variantam. Turklāt parastajās daļās tiek izdalīti pareizie un nepareizie skaitļi. Pirmajam skaitītājs vienmēr ir mazāks par saucēju. Ņemiet vērā arī to, ka šāda daļa ir mazāka par vienu. Gluži pretēji, neregulārā daļā skaitītājs ir lielāks par saucēju, un tas pats ir lielāks par vienu. Šajā gadījumā no tā var iegūt veselu skaitli. Šajā rakstā mēs aplūkosim tikai parastās daļskaitļus.

Frakciju īpašības

Jebkurai parādībai, ķīmiskai, fizikālai vai matemātiskai, ir savas īpašības un īpašības. Daļskaitļi nebija izņēmums. Viņiem ir viena svarīga iezīme, ar kuras palīdzību ar tiem var veikt noteiktas darbības. Kāda ir frakcijas galvenā īpašība? Noteikums saka, ka, ja tā skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar vienu un to pašu racionālo skaitli, mēs iegūstam jaunu daļskaitli, kuras vērtība būs vienāda ar sākotnējās daļskaitļa vērtību. Tas ir, reizinot abas daļskaitļa 3/6 daļas ar 2, mēs iegūstam jaunu daļu 6/12, kamēr tās būs vienādas.

Pamatojoties uz šo īpašību, varat samazināt daļskaitļus, kā arī atlasīt kopsaucējus konkrētam skaitļu pārim.

Operācijas

Lai gan daļskaitļi mums ir sarežģītāki, salīdzinājumā ar tiem varat veikt arī pamata matemātikas darbības, piemēram, saskaitīšanu un atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu. Turklāt ir tāda specifiska darbība kā frakciju samazināšana. Protams, katra no šīm darbībām tiek veikta saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Šo likumu pārzināšana atvieglo darbu ar daļskaitļiem, padara to vieglāku un interesantāku. Tāpēc turpmāk mēs apsvērsim pamatnoteikumus un darbību algoritmu, strādājot ar šādiem skaitļiem.

Bet pirms runāt par tādām matemātiskām darbībām kā saskaitīšana un atņemšana, apskatīsim tādu darbību kā samazināšana līdz kopsaucējam. Šeit mums ir noderīgas zināšanas par to, kāda ir daļdaļas pamatīpašība.

Kopsaucējs

Lai panāktu skaitļa kopsaucēju, vispirms jāatrod divu saucēju mazākais kopsaucējs. Tas ir, mazākais skaitlis, kas vienlaikus dalās ar abiem saucējiem bez atlikuma. Vienkāršākais veids, kā atrast LCM (vismazāko kopskaitu), ir pierakstīt rindā vienam saucējam, pēc tam otrajam un atrast starp tiem atbilstošo skaitli. Gadījumā, ja LCM netiek atrasts, tas ir, šiem skaitļiem nav kopēja reizinājuma, tie ir jāreizina un iegūtā vērtība jāuzskata par LCM.

Tātad, mēs esam atraduši LCM, tagad mums ir jāatrod papildu faktors. Lai to izdarītu, LCM ir pārmaiņus jāsadala daļskaitļu saucējos un katrai no tām jāuzraksta iegūtais skaitlis. Pēc tam jums jāreizina skaitītājs un saucējs ar iegūto papildu koeficientu un jāraksta rezultāti kā jauna daļa. Ja šaubāties, vai saņemtais skaitlis ir vienāds ar iepriekšējo, atcerieties daļskaitļa pamatīpašību.

Papildinājums

Tagad pāriesim tieši uz matemātiskām darbībām ar daļskaitļiem. Sāksim ar vienkāršāko. Ir vairākas frakciju pievienošanas iespējas. Pirmajā gadījumā abiem skaitļiem ir vienāds saucējs. Šajā gadījumā atliek tikai saskaitīt skaitītājus. Bet saucējs nemainās. Piemēram, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Ja daļskaitļiem ir dažādi saucēji, tie jāsavieno vienā un tikai tad jāsaskaita. Kā to izdarīt, mēs esam noskaidrojuši nedaudz augstāk. Šajā situācijā noderēs frakcijas pamatīpašība. Noteikums ļaus jums apvienot skaitļus līdz kopsaucējam. Tas nekādā veidā nemaina vērtību.

Alternatīvi var gadīties, ka frakcija tiek sajaukta. Tad vispirms jāsaskaita veselās daļas un pēc tam daļdaļas.

Reizināšana

Tam nav nepieciešami nekādi triki, un, lai veiktu šo darbību, nav jāzina daļskaitļa pamatīpašība. Pietiek vispirms skaitītājus un saucējus reizināt kopā. Šajā gadījumā skaitītāju reizinājums kļūs par jauno skaitītāju, un saucēji kļūs par jauno saucēju. Kā redzat, nekas sarežģīts.

Vienīgais, kas no jums tiek prasīts, ir zināšanas par reizināšanas tabulu, kā arī uzmanīgums. Turklāt pēc rezultāta iegūšanas obligāti jāpārbauda, ​​vai šo skaitli var vai nevar samazināt. Par to, kā samazināt frakcijas, mēs runāsim nedaudz vēlāk.

Atņemšana

Veicot izpildi, jāvadās pēc tiem pašiem noteikumiem kā pievienojot. Tātad skaitļos ar vienādu saucēju pietiek atņemt atņemtā skaitītāju no reducētā skaitītāja. Ja daļskaitļiem ir dažādi saucēji, tie jāsavieno vienā un pēc tam jāveic šī darbība. Tāpat kā līdzīgā gadījumā ar saskaitīšanu, jums būs jāizmanto algebriskās daļas pamatīpašība, kā arī prasmes atrast LCM un kopējos daļskaitļu faktorus.

Divīzija

Un pēdējā, interesantākā darbība, strādājot ar šādiem skaitļiem, ir dalīšana. Tas ir diezgan vienkārši un nerada īpašas grūtības pat tiem, kuri slikti pārzina, kā strādāt ar daļskaitļiem, jo ​​īpaši veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības. Dalot, ir tāds noteikums kā reizināšana ar apgriezto. Daļas pamatīpašība, tāpat kā reizināšanas gadījumā, šai darbībai netiks izmantota. Apskatīsim tuvāk.

Dalot skaitļus, dividende paliek nemainīga. Dalītāja daļa ir apgriezta, tas ir, skaitītājs un saucējs ir apgriezti. Pēc tam skaitļi tiek reizināti savā starpā.

Samazinājums

Tātad, mēs jau esam analizējuši daļskaitļu definīciju un struktūru, to veidus, noteikumus darbībām ar dotajiem skaitļiem un noskaidrojām algebriskās daļas galveno īpašību. Tagad parunāsim par tādu darbību kā samazināšana. Daļas samazināšana ir tās pārvēršanas process - skaitītāja un saucēja dalīšana ar vienu un to pašu skaitli. Tādējādi frakcija tiek samazināta, nemainot tās īpašības.

Parasti, veicot matemātisko darbību, rūpīgi jāaplūko beigās iegūtais rezultāts un jānoskaidro, vai ir iespējams samazināt iegūto daļu vai nē. Atcerieties, ka gala rezultāts vienmēr ir rakstīts ar nesaīsinātu daļskaitli.

Citas operācijas

Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka mēs neesam uzskaitījuši visas darbības ar daļskaitļiem, minot tikai slavenākās un nepieciešamākās. Daļskaitļus var arī izlīdzināt, pārvērst decimāldaļās un otrādi. Bet šajā rakstā mēs šīs operācijas neapskatījām, jo ​​matemātikā tās tiek veiktas daudz retāk nekā tās, kuras esam snieguši iepriekš.

secinājumus

Mēs runājām par daļskaitļiem un darbībām ar tiem. Mēs arī analizējām galveno īpašību, taču ņemsim vērā, ka visus šos jautājumus mēs izskatījām garāmejot. Mēs esam devuši tikai slavenākos un lietotākos noteikumus, devuši svarīgākos, mūsuprāt, padomus.

Šis raksts ir paredzēts, lai atsvaidzinātu informāciju, kuru esat aizmirsis par daļskaitļiem, nevis lai sniegtu jaunu informāciju un "apglabātu" galvu ar nebeidzamiem noteikumiem un formulām, kas, visticamāk, jums nebūs noderīgas.

Mēs ceram, ka rakstā vienkāršā un kodolīgā veidā sniegtais materiāls ir kļuvis jums noderīgs.

Šis raksts ir par parastās frakcijas... Šeit mēs iepazīsimies ar veseluma daļas jēdzienu, kas mūs novedīs pie parastās daļas definīcijas. Tālāk mēs pakavēsimies pie pieņemtā apzīmējuma parastajām daļām un sniegsim daļskaitļu piemērus, teiksim par daļskaitļa skaitītāju un saucēju. Pēc tam mēs sniegsim pareizo un nepareizo, pozitīvo un negatīvo daļu definīcijas, kā arī ņemsim vērā daļskaitļu atrašanās vietu koordinātu starā. Noslēgumā mēs uzskaitām galvenās darbības ar daļskaitļiem.

Lapas navigācija.

Kopuma akcijas

Vispirms mēs iepazīstinām akciju koncepcija.

Pieņemsim, ka mums ir kāds objekts, kas sastāv no vairākām absolūti identiskām (tas ir, vienādām) daļām. Skaidrības labad varat iedomāties, piemēram, ābolu, kas sagriezts vairākās vienādās daļās, vai apelsīnu, kas sastāv no vairākām vienādām šķēlītēm. Katru no šīm vienādajām daļām, kas veido visu lietu, sauc kopuma akcijas vai vienkārši akcijas.

Ņemiet vērā, ka akcijas ir atšķirīgas. Paskaidrosim to. Pieņemsim, ka mums ir divi āboli. Sagriežam pirmo ābolu divās vienādās daļās, bet otro 6 vienādās daļās. Skaidrs, ka pirmā ābola daļa atšķirsies no otrā ābola daļas.

Atkarībā no sitienu skaita, kas veido visu tēmu, šiem sitieniem ir savi nosaukumi. Analizēsim kopīgu vārdus... Ja objekts sastāv no divām daļām, jebkuru no tām sauc par visa objekta vienas sekundes daļu; ja objekts sastāv no trim daļām, tad jebkuru no tām sauc par vienu trešo daļu utt.

Vienai otrajai akcijai ir īpašs nosaukums - puse... Trešdaļa akcijas tiek izsaukta trešais, un viena ceturtdaļa ir ceturtdaļa.

Īsuma labad ir ieviests sekojošais. akciju apzīmējumi... Viena otrā akcija tiek apzīmēta kā 1/2, viena trešdaļa kā vai 1/3; viena ceturtā daļa ir kā vai 1/4 utt. Ņemiet vērā, ka apzīmējums ar horizontālu joslu tiek izmantots biežāk. Lai konsolidētu materiālu, sniegsim vēl vienu piemēru: ieraksts apzīmē simt sešdesmit septīto daļu no visa.

Daļas jēdziens dabiski sniedzas no objektiem līdz daudzumiem. Piemēram, viens no garuma mērīšanas pasākumiem ir metrs. Lai mērītu garumus, kas ir īsāki par metru, varat izmantot metra daļas. Tātad jūs varat izmantot, piemēram, pusmetru vai desmito vai tūkstošdaļu no metra. Citu daudzumu frakcijas tiek piemērotas tādā pašā veidā.

Kopējās daļskaitļi, definīcijas un daļskaitļu piemēri

Lai aprakstītu sitienu skaitu, izmantojiet parastās frakcijas... Sniegsim piemēru, kas ļaus tuvoties parasto daļskaitļu definīcijai.

Ļaujiet apelsīnam būt 12 daļām. Katrs sitiens šajā gadījumā ir viena divpadsmitā daļa no vesela apelsīna, tas ir,. Norādīsim divas akcijas kā, trīs akcijas - kā un tā tālāk, 12 akcijas norādīsim kā. Katrs no šiem ierakstiem tiek saukts par daļskaitli.

Tagad dosim ģenerāli parasto daļskaitļu definīcija.

Skanīgā parasto daļskaitļu definīcija ļauj mums sniegt parasto daļskaitļu piemēri: 5/10,, 21/1, 9/4,. Un šeit ir ieraksti neatbilst parasto daļskaitļu izteiktajai definīcijai, tas ir, tās nav parastās frakcijas.

Skaitītājs un saucējs

Ērtības labad tiek izdalīta parastā daļa skaitītājs un saucējs.

Definīcija.

Skaitītājs daļa (m / n) ir naturāls skaitlis m.

Definīcija.

Saucējs daļa (m / n) ir naturāls skaitlis n.

Tātad skaitītājs atrodas virs daļskaitļa līnijas (pa kreisi no slīpās slīpsvītras), un saucējs atrodas zem daļskaitļa līnijas (pa labi no slīpās līnijas). Piemēram, iedosim parasto daļskaitli 17/29, šīs daļas skaitītājs ir skaitlis 17, bet saucējs ir skaitlis 29.

Atliek apspriest parastās daļskaitļa skaitītāja un saucēja nozīmi. Daļas saucējs parāda, no cik daļām sastāv viens vienums, skaitītājs savukārt norāda šādu daļu skaitu. Piemēram, daļskaitļa 12/5 saucējs 5 nozīmē, ka vienam vienumam ir piecas daļas, un skaitītājs 12 nozīmē, ka ir 12 šādas daļas.

Dabiskais skaitlis kā daļskaitlis ar saucēju 1

Parastās daļas saucējs var būt vienāds ar vienu. Šajā gadījumā mēs varam pieņemt, ka objekts ir nedalāms, citiem vārdiem sakot, tas ir kaut kas vesels. Šādas daļskaitļa skaitītājs norāda, cik veselu priekšmetu tika paņemti. Tādējādi formas m / 1 parastajai daļai ir naturāla skaitļa m nozīme. Šādi mēs pamatojām vienādības m / 1 = m pamatotību.

Pēdējo vienādību mēs pārrakstām šādi: m = m / 1. Šī vienādība ļauj mums attēlot jebkuru naturālu skaitli m kā parastu daļskaitli. Piemēram, 4 ir daļa no 4/1, un 103 498 ir vienāda ar 103 498/1.

Tātad, jebkuru naturālu skaitli m var attēlot kā parastu daļskaitli ar saucēju 1 kā m / 1, un jebkuru parasto daļskaitli no formas m / 1 var aizstāt ar naturālu skaitli m.

Daļas slīpsvītra kā dalījuma zīme

Sākotnējā priekšmeta attēlojums n daļu veidā ir nekas vairāk kā sadalīšana n vienādās daļās. Pēc tam, kad prece ir sadalīta n daļās, mēs to varam sadalīt vienādi starp n cilvēkiem - katrs saņems vienu daļu.

Ja mums sākotnēji ir m identiski objekti, no kuriem katrs ir sadalīts n daļās, tad mēs varam vienādi sadalīt šos m objektus starp n cilvēkiem, dodot katrai personai vienu daļu no katra no m objektiem. Šajā gadījumā katrai personai būs m daļas 1 / n, un m daļas 1 / n dod parasto daļu m / n. Tādējādi parasto daļskaitli m / n var izmantot, lai apzīmētu m objektu sadalījumu starp n cilvēkiem.

Tātad mēs ieguvām skaidru saikni starp parastajām daļām un dalīšanu (skatiet vispārējo ideju par naturālo skaitļu dalīšanu). Šīs attiecības izpaužas šādi: daļdaļas slīpsvītru var saprast kā dalīšanas zīmi, tas ir, m / n = m: n.

Izmantojot parasto daļskaitli, varat uzrakstīt divu naturālu skaitļu dalīšanas rezultātu, kuriem veselu skaitļu dalīšana netiek veikta. Piemēram, 5 ābolu dalīšanas ar 8 cilvēkiem rezultātu var uzrakstīt kā 5/8, tas ir, katrs iegūs piecas astotdaļas no ābola: 5: 8 = 5/8.

Vienādas un nevienādas parastās daļas, daļskaitļu salīdzināšana

Diezgan dabiska darbība ir parasto daļskaitļu salīdzinājums, galu galā skaidrs, ka 1/12 no apelsīna atšķiras no 5/12, un 1/6 no ābola ir tas pats, kas vēl 1/6 no šī ābola.

Divu parasto daļskaitļu salīdzināšanas rezultātā iegūst vienu no rezultātiem: daļas ir vai nu vienādas, vai nav vienādas. Pirmajā gadījumā mums ir vienādas daļas, un otrajā - nevienādas daļas... Sniegsim vienādu un nevienādu parasto daļskaitļu definīciju.

Definīcija.

ir vienādi ja vienādība a d = b c ir patiesa.

Definīcija.

Divas frakcijas a / b un c / d nav vienāds ja neizpildās vienādība a d = b c.

Šeit ir daži vienādu daļskaitļu piemēri. Piemēram, parasta daļa 1/2 ir vienāda ar 2/4, jo 1 4 = 2 2 (ja nepieciešams, skatiet naturālo skaitļu reizināšanas noteikumus un piemērus). Skaidrības labad varat iedomāties divus identiskus ābolus, pirmo pārgriež uz pusēm, bet otro sagriež 4 daļās. Turklāt ir skaidrs, ka divas ceturtdaļas no ābola ir 1/2 daļa. Citi vienādu daļskaitļu piemēri ir 4/7 un 36/63, kā arī daļskaitļu pāris 81/50 un 1620/1000.

Un parastās daļskaitļi 4/13 un 5/14 nav vienādi, jo 4 · 14 = 56 un 13 · 5 = 65, tas ir, 4 · 14 ≠ 13 · 5. Daļas 17/7 un 6/4 ir vēl viens nevienlīdzīgu parasto daļskaitļu piemērs.

Ja, salīdzinot divas parastās daļskaitļus, izrādījās, ka tie nav vienādi, tad, iespējams, būs jānoskaidro, kura no šīm parastajām daļskaitļiem mazāks cits, un kurš - vairāk... Lai to noskaidrotu, tiek izmantots parasto daļskaitļu salīdzināšanas noteikums, kura būtība ir salīdzināmo daļskaitļu salikšana līdz kopsaucējam un pēc tam skaitītāju salīdzināšana. Sīkāka informācija par šo tēmu ir apkopota rakstā frakciju salīdzinājums: noteikumi, piemēri, risinājumi.

Daļskaitļi

Katra daļa ir rekords daļskaitlis... Tas ir, daļa ir tikai daļskaitļa "apvalks", tā izskats, un visa semantiskā slodze ir ietverta daļskaitlī. Tomēr īsuma un ērtības labad daļskaitļa un daļskaitļa jēdzieni tiek apvienoti un vienkārši izrunāti kā daļskaitlis. Šeit ir vietā pārfrāzēt labi zināmu teicienu: mēs sakām daļskaitli - mēs domājam daļskaitli, mēs sakām daļskaitli - mēs domājam daļskaitli.

Daļiņas uz koordinātu stara

Visiem daļskaitļiem, kas atbilst parastajām daļskaitļiem, ir sava unikālā vieta, tas ir, starp daļām un koordinātu stara punktiem ir atbilstība viens pret vienu.

Lai nokļūtu koordinātu starā līdz punktam, kas atbilst daļai m / n, jums ir jāatliek m segmenti no sākuma pozitīvā virzienā, kuru garums ir 1 / n vienības segmenta daļa. Šādus segmentus var iegūt, sadalot vienības segmentu n vienādās daļās, ko vienmēr var izdarīt, izmantojot kompasu un lineālu.

Kā piemēru parādīsim punktu M uz koordinātu stara, kas atbilst daļai 14/10. Nozares garums ar galiem punktā O un tam tuvākajā punktā, kas atzīmēts ar nelielu vilcienu, ir 1/10 no vienības segmenta. Punkts ar koordinātu 14/10 atrodas 14 šādu segmentu attālumā no sākuma.

Vienādas daļas atbilst vienam un tam pašam daļskaitlim, tas ir, vienādas daļas ir viena un tā paša punkta koordinātas uz koordinātu stara. Piemēram, viens punkts atbilst koordinātām 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 uz koordinātu stara, jo visas ierakstītās daļas ir vienādas (tas atrodas pusvienības segmenta attālumā, iestatīts malā no izcelsmes pozitīvā virzienā).

Horizontālajā un pa labi vērstajā koordinātu starā punkts, kura koordināte ir lielākā daļa, atrodas pa labi no punkta, kura koordināte ir mazākā daļa. Tāpat punkts ar mazāko koordinātu atrodas pa kreisi no punkta ar lielāko koordinātu.

Pareizas un nepareizas daļskaitļi, definīcijas, piemēri

Starp parastajām frakcijām ir pareizās un nepareizās frakcijas... Šis dalījums ir balstīts uz skaitītāja un saucēja salīdzinājumu.

Sniegsim regulāro un neregulāro parasto daļskaitļu definīciju.

Definīcija.

Pareiza frakcija Ir parasta daļa, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju, tas ir, ja m

Definīcija.

Nepareiza frakcija Ir parasta daļa, kurā skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, tas ir, ja m≥n, tad parastā daļa ir nepareiza.

Šeit ir daži parasto daļskaitļu piemēri: 1/4,, 32 765/909 003. Patiešām, katrā no rakstītajām parastajām daļām skaitītājs ir mazāks par saucēju (ja nepieciešams, skatiet rakstu par naturālo skaitļu salīdzināšanu), tāpēc tie pēc definīcijas ir pareizi.

Un šeit ir nepareizo daļskaitļu piemēri: 9/9, 23/4,. Patiešām, pirmās ierakstītās parastās daļas skaitītājs ir vienāds ar saucēju, un atlikušajās daļās skaitītājs ir lielāks par saucēju.

Ir arī pareizo un nepareizo daļskaitļu definīcijas, kuru pamatā ir daļskaitļu salīdzinājums ar vienu.

Definīcija.

pareizi ja tas ir mazāks par vienu.

Definīcija.

Par parasto daļskaitli sauc nepareizi ja tas ir vienāds ar vienu vai lielāks par 1.

Tātad parastā daļa 7/11 ir pareiza, jo 11.07<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 un 27/27 = 1.

Padomāsim, kāpēc parastās daļskaitļi, kuru skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, ir izpelnījušies šādu nosaukumu – “nepareizi”.

Kā piemēru ņemsim nepareizo daļskaitli 9/9. Šī daļa nozīmē, ka esat paņēmis deviņas objekta daļas, kas sastāv no deviņām daļām. Tas ir, no pieejamajām deviņām daļām mēs varam sastādīt veselu objektu. Tas ir, nepareizā daļa 9/9 būtībā dod visu vienumu, tas ir, 9/9 = 1. Parasti neregulāras daļas ar skaitītāju, kas vienāds ar saucēju, apzīmē vienu veselu objektu, un šādu daļu var aizstāt ar naturālu skaitli 1.

Tagad apsveriet nepareizās frakcijas 7/3 un 12/4. Ir pilnīgi skaidrs, ka no šīm septiņām trešdaļām mēs varam izveidot divus veselus objektus (viens vesels objekts ir 3 daļas, tad mums vajag 3 + 3 = 6 daļas, lai izveidotu divus veselus objektus) un viena trešā daļa paliks. Tas ir, nepareizā daļa 7/3 būtībā nozīmē 2 vienības un pat 1/3 šādas vienības daļu. Un no divpadsmit ceturtdaļām mēs varam izgatavot trīs veselus objektus (trīs objektus ar četrām daļām katrā). Tas ir, daļa 12/4 būtībā nozīmē 3 veselus objektus.

Aplūkotie piemēri liek izdarīt šādu secinājumu: nepareizās daļskaitļus var aizstāt vai nu ar naturāliem skaitļiem, kad skaitītāju pilnībā dala ar saucēju (piemēram, 9/9 = 1 un 12/4 = 3), vai ar summu. naturāla skaitļa un regulāras daļskaitļa, ja skaitītājs nedalās vienmērīgi ar saucēju (piemēram, 7/3 = 2 + 1/3). Varbūt tieši tāpēc nepareizās frakcijas ir izpelnījušās šādu nosaukumu - "nepareizi".

Īpaši interesanti ir nepareizas daļskaitļa attēlojums kā naturāla skaitļa un regulāras daļskaitļa summa (7/3 = 2 + 1/3). Šo procesu sauc par visas daļas atdalīšanu no nepareizas daļas, un tas ir pelnījis atsevišķu un rūpīgāku apsvērumu.

Ir arī vērts atzīmēt, ka pastāv ļoti cieša saistība starp nepareizām daļskaitļiem un jauktiem skaitļiem.

Pozitīvās un negatīvās frakcijas

Katra daļa atbilst pozitīvam daļskaitlim (skat. rakstu pozitīvie un negatīvie skaitļi). Tas ir, parastās frakcijas ir pozitīvas frakcijas... Piemēram, parastās daļskaitļi 1/5, 56/18, 35/144 ir pozitīvas daļskaitļi. Kad nepieciešams uzsvērt daļskaitļa pozitivitāti, tad tai priekšā liek plusa zīmi, piemēram, +3/4, +72/34.

Ja parastas daļskaitļa priekšā ievietojat mīnusa zīmi, tad šis ieraksts atbildīs negatīvam daļskaitlim. Šajā gadījumā mēs varam runāt par negatīvās daļas... Šeit ir daži negatīvo daļskaitļu piemēri: −6/10, −65/13, −1/18.

Pozitīvās un negatīvās daļas m / n un -m / n ir pretēji skaitļi. Piemēram, daļskaitļi 5/7 un -5/7 ir pretējas daļas.

Pozitīvās daļskaitļi, tāpat kā pozitīvi skaitļi kopumā, apzīmē saskaitīšanu, ienākumus, jebkuras vērtības izmaiņas uz augšu utt. Negatīvās daļas atbilst izdevumiem, parādiem, jebkuras vērtības izmaiņām uz leju. Piemēram, negatīvu daļu –3/4 var interpretēt kā parādu 3/4.

Negatīvās frakcijas uz horizontālajām un pa labi vērstajām daļām atrodas pa kreisi no izcelsmes. Koordinātu līnijas punkti, kuru koordinātas ir pozitīvā daļa m / n un negatīvā daļa −m / n, atrodas vienādā attālumā no sākuma, bet pretējās punkta O pusēs.

Šeit ir vērts pieminēt formas 0 / n daļas. Šīs daļas ir vienādas ar skaitli nulle, tas ir, 0 / n = 0.

Pozitīvās daļas, negatīvās daļas un 0/n daļas tiek apvienotas, veidojot racionālus skaitļus.

Darbības ar daļskaitļiem

Viena darbība ar parastajām daļskaitļiem - daļskaitļu salīdzināšana - mēs jau apspriedām iepriekš. Vēl četri aritmētika darbības ar daļskaitļiem- daļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Pakavēsimies pie katra no tiem.

Darbību ar daļskaitļiem vispārējā būtība ir līdzīga atbilstošo darbību ar naturāliem skaitļiem būtībai. Izdarīsim analoģiju.

Daļskaitļu reizināšana var uzskatīt par darbību, kurā ir daļskaitļa daļa. Skaidrības labad sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka mums ir 1/6 no ābola un mums ir jāņem 2/3 no tā. Mums vajadzīgā daļa ir daļskaitļu 1/6 un 2/3 reizināšanas rezultāts. Divu parasto daļskaitļu reizināšanas rezultāts ir parasta daļa (kas konkrētajā gadījumā ir vienāda ar naturālu skaitli). Tālāk mēs iesakām izpētīt rakstu daļskaitļu reizināšanas informāciju - noteikumus, piemērus un risinājumus.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika: mācību grāmata 5. klasei izglītības iestādēm.
• Viļenkins N. Ja. un cita matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (ceļvedis tehnikumu reflektantiem).