Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Kvadrātu nevienādības, risinājumu piemēri"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 9. klasei
Elektroniskā mācību grāmata "Saprotamā ģeometrija" 7.-9.klasei
Izglītības komplekss 1C: "Ģeometrija, 9. klase"
Puiši, mēs jau zinām, kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Tagad uzzināsim, kā atrisināt kvadrātiskās nevienādības.
Kvadrātveida nevienlīdzībaŠādu nevienlīdzību sauc:
$ax^2+bx+c>0$.
Nevienlīdzības zīme var būt jebkura, koeficienti a, b, c ir jebkuri skaitļi ($a≠0$).
Šeit darbojas arī visi noteikumi, ko mēs definējām lineārajām nevienādībām. Atkārtojiet šos noteikumus pats!
Ieviesīsim vēl vienu svarīgu noteikumu:
Ja trinomālam $ax^2+bx+c$ ir negatīvs diskriminants, tad, ja aizvietosim jebkuru x vērtību, trinoma zīme būs tāda pati kā koeficienta a y zīme.
Kvadrātiskās nevienlīdzības risināšanas piemēri
var atrisināt, uzzīmējot grafikus vai zīmējot intervālus. Apskatīsim nevienlīdzību risinājumu piemērus.Piemēri.
1. Atrisiniet nevienādību: $x^2-2x-8
Risinājums:
Atrodiet vienādojuma $x^2-2x-8=0$ saknes.
$x_1=4$ un $x_2=-2$.
Uzzīmēsim kvadrātvienādojumu. Abscisu ass krustojas punktos 4 un -2. 2. Atrisiniet nevienlīdzību: $5x-6 Risinājums: Izveidosim kvadrātvienādojuma grafiku, abscisu ass krustojas punktos 2 un 3. 3. Atrisiniet nevienādību: $2^2+2x+1≥0$. Risinājums: 4. Atrisiniet nevienādību: $x^2+x-2 Kvadrātveida nevienlīdzība - "NO un UZ".Šajā rakstā mēs apsvērsim kvadrātvienādību risinājumu, kas tiek saukts par smalkumiem. Iesaku rūpīgi izpētīt raksta materiālu, neko nepalaižot garām. Jūs nevarēsiet apgūt rakstu uzreiz, iesaku to darīt vairākās pieejās, informācijas ir daudz. Saturs: Ievads. Svarīgs! Ievads. Svarīgs! Kvadrātiskā nevienlīdzība ir formas nevienlīdzība: Ja ņemat kvadrātvienādojumu un aizstājat vienādības zīmi ar kādu no iepriekšminētajiem, jūs iegūstat kvadrātvienādību. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atbildēt uz jautājumu, kādām x vērtībām dotā nevienlīdzība būs patiesa. Piemēri: 10
x 2
– 6
x+12 ≤ 0
2
x 2
+ 5
x –500 > 0
– 15
x 2
– 2
x+13 > 0
8
x 2
– 15
x+45≠ 0
Kvadrātisko nevienlīdzību var norādīt netieši, piemēram: 10
x 2
– 6
x+14
x 2
–5
x +2≤ 56
2
x 2
> 36
8
x 2
<–15
x 2
– 2
x+13
0> – 15
x 2
– 2
x+13
Šajā gadījumā ir nepieciešams veikt algebriskās transformācijas un nogādāt to standarta formā (1). * Koeficienti var būt gan daļēji, gan neracionāli, taču šādi piemēri skolu programmās ir reti sastopami, un USE uzdevumos tie nav atrodami vispār. Bet nebaidieties, ja, piemēram, satiekat: Tā ir arī kvadrātiskā nevienlīdzība. Pirmkārt, apsveriet vienkāršu risinājuma algoritmu, kas neprasa izpratni par to, kas ir kvadrātfunkcija un kā tās grafiks izskatās koordinātu plaknē attiecībā pret koordinātu asīm. Ja jūs spējat stingri un ilgi atcerēties informāciju, regulāri to pastiprinot ar praksi, tad algoritms jums palīdzēs. Turklāt, ja jums, kā saka, šāda nevienlīdzība ir jāatrisina "uzreiz", tad algoritms jums palīdzēs. Ievērojot to, jūs viegli ieviesīsiet risinājumu. Ja mācāties skolā, tad ļoti iesaku sākt studēt rakstu no otrās daļas, kurā ir izklāstīta visa risinājuma jēga (skat. zemāk no rindkopas -). Ja ir izpratne par būtību, tad nevajadzēs nemācīties, neiegaumēt norādīto algoritmu, var viegli ātri atrisināt jebkuru kvadrātvienādību. Protams, nekavējoties jāsāk skaidrojums ar kvadrātfunkcijas grafiku un jāpaskaidro pati nozīme, bet es nolēmu rakstu “veidot” šādā veidā. Vēl viens teorētisks moments! Apskatiet formulu kvadrātveida trinoma iedalīšanai faktoros: kur x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma ax 2 saknes+
bx+c=0
*Lai atrisinātu kvadrātvienādību, būs nepieciešams faktorizēt kvadrātveida trinomu. Tālāk sniegtais algoritms tiek saukts arī par intervāla metodi. Tas ir piemērots formas nevienādību risināšanai f(x)>0,
f(x)<0
, f(x)≥0 unf(x)≤0
. Lūdzu, ņemiet vērā, ka var būt vairāk nekā divi reizinātāji, piemēram: (x–10) (x+5) (x–1) (x+104) (x+6) (x–1)<0
Risinājuma algoritms. intervāla metode. Piemēri. Ņemot vērā nevienlīdzību cirvis 2
+
bx+ c > 0 (jebkura zīme).
1. Uzrakstiet kvadrātvienādojumu cirvis 2
+
bx+ c = 0
un mēs to atrisinām. Mēs saņemam x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma saknes. 2. Aizstāt formulas (2) koeficientā a
un saknes. : a(x –
x 1
)(x –
x 2)>0
3. Nosakiet intervālus uz skaitļu līnijas (vienādojuma saknes sadala skaitļa asi intervālos): 4. Mēs nosakām "zīmes" intervālos (+ vai -), izteiksmē aizstājot patvaļīgu vērtību "x" no katra saņemtā intervāla: a(x –
x 1
)(x –
x2)
un svinēt tos. 5. Atliek tikai izrakstīt mūs interesējošos intervālus, tie ir atzīmēti: - zīme "+", ja nevienlīdzība bija ">0" vai "≥0". - zīme "-", ja nevienlīdzība bija "<0» или «≤0».
PIEZĪME!!!
Pašas nevienlīdzības pazīmes var būt: stingrs ir ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Kā tas ietekmē lēmuma iznākumu? Ar stingrām nevienlīdzības zīmēm intervāla robežas NAV IEKĻAUTAS risinājumā, savukārt atbildē pats intervāls tiek rakstīts kā ( x 1
;
x 2
) ir apaļas iekavas. Nestingrām nevienlīdzības zīmēm intervāla robežas IEVIETOJIET risinājumu, un atbilde tiek uzrakstīta kā [ x 1
;
x 2
] – kvadrātiekavas. *Tas attiecas ne tikai uz kvadrātu nevienādībām. Kvadrātiekavas nozīmē, ka risinājumā ir iekļauta pati intervāla robeža. To redzēsit piemēros. Apskatīsim dažus, lai noņemtu visus jautājumus par to. Teorētiski algoritms var šķist nedaudz sarežģīts, patiesībā viss ir vienkāršs. 1. PIEMĒRS: izlemiet x 2
– 60
x+500 ≤ 0
Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2
–60
x+500=0
D =
b 2
–4
ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Sakņu atrašana: Mēs aizstājam koeficientu a x 2
–60
x+500 = (x-50) (x-10)
Mēs rakstām nevienlīdzību formā (х–50) (х–10) ≤ 0
Vienādojuma saknes sadala skaitļa līniju intervālos. Parādīsim tos skaitļu rindā: Mēs saņēmām trīs intervālus (–∞;10), (10;50) un (50;+∞). Nosakām “zīmes” uz intervāliem, to darām, izteiksmē (x–50) (x–10) aizstājot katra saņemtā intervāla patvaļīgas vērtības un apskatām iegūtās “zīmes” atbilstību pierakstīties nevienlīdzībā (х–50) (х–10) ≤ 0:
pie x=2 (x–50) (x–10) =
384 > 0 ir nepareizs pie x=20 (x–50) (x–10) =
–300 < 0 верно
pie x=60 (x–50) (x–10) = 500 > 0 ir nepatiess Risinājums būs intervāls. Visām x vērtībām no šī intervāla nevienlīdzība būs patiesa. *Lūdzu, ņemiet vērā, ka esam iekļāvuši kvadrātiekavas. Ja x = 10 un x = 50, arī nevienādība būs patiesa, tas ir, robežas ir iekļautas risinājumā. Atbilde: x∊ Atkal: - Intervāla robežas IR IEKĻAUTAS nevienādības risinājumā, ja nosacījums satur zīmi ≤ vai ≥ (nestingrā nevienādība). Tajā pašā laikā iegūtās saknes ir ierasts attēlot skicē ar HASHED apli. - Intervāla robežas NAV IEKĻAUTAS nevienādības risinājumā, ja nosacījums satur zīmi< или >(stingra nevienlīdzība). Tajā pašā laikā skicē ir ierasts parādīt sakni ar UNSHATCHED apli. 2. PIEMĒRS. Atrisiniet x 2
+ 4
x–21 > 0
Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2
+ 4
x–21 = 0
D =
b 2
–4
ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Sakņu atrašana: Mēs aizstājam koeficientu a un saknes formulā (2), mēs iegūstam: x 2
+ 4
x–21 = (x–3) (x+7)
Mēs rakstām nevienlīdzību formā (х–3) (х+7) > 0.
Vienādojuma saknes sadala skaitļa līniju intervālos. Atzīmēsim tos uz skaitļu līnijas: *Nevienlīdzība nav stingra, tāpēc sakņu apzīmējums NAV ieēnots. Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;–7), (–7;3) un (3;+∞). Mēs nosakām "zīmes" uz intervāliem, mēs to darām, aizstājot šo intervālu patvaļīgas vērtības izteiksmē (x–3) (x + 7) un aplūkojam atbilstību nevienādībai. (х–3) (х+7)> 0:
pie x= -10 (-10-3) (-10 +7) = 39 > 0 patiess pie x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно
pie x=10 (10–3) (10 +7) = 119 > 0 patiess Atrisinājums būs divi intervāli (–∞;–7) un (3;+∞). Visām x vērtībām no šiem intervāliem nevienlīdzība būs patiesa. *Lūdzu, ņemiet vērā, ka esam iekļāvuši iekavas. Ja x = 3 un x = -7, nevienlīdzība būs nepareiza - robežas nav iekļautas risinājumā. Atbilde: x∊(–∞;–7) U (3;+∞) 3. PIEMĒRS. Atrisiniet –
x 2
–9
x–20 > 0
Atrisinām kvadrātvienādojumu –
x 2
–9
x–20 = 0.
a = –1
b = –9
c = –20
D =
b 2
–4
ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Sakņu atrašana: Mēs aizstājam koeficientu a un saknes formulā (2), mēs iegūstam: –
x 2
–9
x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= – (x+5) (x+4)
Mēs rakstām nevienlīdzību formā –(x+5)(x+4) > 0.
Vienādojuma saknes sadala skaitļa līniju intervālos. Piezīme skaitļu rindā: *Nevienlīdzība ir stingra, tāpēc simboli saknēm nav ieēnoti. Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;–5), (–5; –4) un (–4;+∞). Mēs nosakām "zīmes" uz intervāliem, mēs to darām, aizstājot izteiksmē –(x+5)(x+4) patvaļīgas šo intervālu vērtības un aplūkojiet atbilstību nevienlīdzībai –(x+5)(x+4)>0:
pie x= -10 - (-10+5) (-10 +4) = -30< 0 неверно
pie x= -4,5 - (-4,5+5) (-4,5+4) = 0,25 > 0 patiess pie x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно
*Lūdzu, ņemiet vērā, ka risinājumā robežas nav iekļautas. Ja x = -5 un x = -4, nevienlīdzība nebūs patiesa. KOMENTĒT! Atrisinot kvadrātvienādojumu, mēs varam iegūt vienu sakni vai sakņu nebūs vispār, tad, izmantojot šo metodi akli, var būt grūti noteikt risinājumu. Neliels kopsavilkums! Metode ir laba un ērta lietošanā, it īpaši, ja esat iepazinies ar kvadrātfunkciju un zināt tās grafika īpašības. Ja nē, lūdzu, izlasiet to, pārejiet uz nākamo sadaļu. Kvadrātfunkcijas grafika izmantošana. Iesaki! Kvadrātiskais ir formas funkcija: Tās grafiks ir parabola, parabolas zari ir vērsti uz augšu vai uz leju: Grafiku var novietot šādi: tas var šķērsot x asi divos punktos, var tai pieskarties vienā punktā (augšā), tas nevar šķērsot. Vairāk par to vēlāk. Tagad aplūkosim šo pieeju ar piemēru. Viss lēmuma pieņemšanas process sastāv no trim posmiem. Atrisināsim nevienlīdzību x 2
+2
x –8 >0.
Pirmais posms
Atrisiniet vienādojumu x 2
+2
x–8=0.
D =
b 2
–4
ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Sakņu atrašana: Mēs saņēmām x 1 \u003d 2 un x 2 \u003d - 4. Otrā fāze
Parabolas veidošana y=x 2
+2
x–8
pēc punktiem: Punkti - 4 un 2 ir parabolas un x ass krustošanās punkti. Viss ir vienkārši! Ko viņi izdarīja? Mēs esam atrisinājuši kvadrātvienādojumu x 2
+2
x–8=0.
Apskatiet viņa ziņu šādi: 0 = x2+2x-8
Nulle mums ir "y" vērtība. Kad y = 0, mēs iegūstam parabolas un x-ass krustošanās punktu abscises. Mēs varam teikt, ka "y" nulles vērtība ir x ass. Tagad apskatiet, kādas x vērtības ir izteiksme x 2
+2
x – 8
lielāks (vai mazāks) par nulli? Saskaņā ar parabola grafiku to nav grūti noteikt, kā saka, viss ir skaidri redzams: 1. Pie x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2
+2
x –8
būs pozitīva. 2. Pie -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2
+2
x –8
būs negatīvs. 3. Ja x > 2, parabolas atzars atrodas virs x ass. Dotajam x trinomināls x 2
+2
x –8
būs pozitīva. Trešais posms
No parabolas mēs uzreiz varam redzēt, kura x izteiksme x 2
+2
x–8
lielāks par nulli, vienāds ar nulli, mazāks par nulli. Tāda ir risinājuma trešā posma būtība, proti, saskatīt un noteikt attēlā pozitīvās un negatīvās zonas. Rezultātu salīdzinām ar sākotnējo nevienādību un pierakstām atbildi. Mūsu piemērā ir jānosaka visas x vērtības, kurām ir izteiksme x 2
+2
x–8
Virs nulles. Mēs to izdarījām otrajā solī. Atliek pierakstīt atbildi. Atbilde: x∊(–∞;–4) U (2;∞). Rezumējot: pirmajā solī aprēķinot vienādojuma saknes, iegūtos punktus varam atzīmēt uz x ass (tie ir parabolas krustošanās punkti ar x asi). Tālāk shematiski uzbūvējam parabolu un jau varam redzēt risinājumu. Kāpēc skices? Mums nav vajadzīgs matemātiski precīzs grafiks. Jā, un iedomājieties, piemēram, ja saknes izrādās 10 un 1500, mēģiniet izveidot precīzu grafiku uz lapas šūnā ar šādu vērtību diapazonu. Rodas jautājums! Nu dabūjām saknes, nu, atzīmējām uz x ass, un ieskicējam pašas parabolas atrašanās vietu - ar zariem uz augšu vai uz leju? Šeit viss ir vienkārši! Koeficients pie x 2 jums pateiks: - ja tas ir lielāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu. - ja mazāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz leju. Mūsu piemērā tas ir vienāds ar vienu, tas ir, tas ir pozitīvs. *Piezīme! Ja nevienādībā ir stingra zīme, tas ir, ≤ vai ≥, tad skaitļu līnijas saknes ir jāieēno, tas nosacīti norāda, ka nevienādības risinājumā ir iekļauta pati intervāla robeža. Šajā gadījumā saknes nav noēnotas (izdurtas), jo mūsu nevienlīdzība ir stingra (ir zīme “>”). Ko nozīmē atbilde, šajā gadījumā likt apaļās, nevis kvadrātiekavas (robežas risinājumā nav iekļautas). Daudz rakstīts, kāds apmulsis, iespējams. Bet, ja tu atrisināsi vismaz 5 nevienādības, izmantojot parabolas, tad tavai apbrīnai nebūs robežu. Viss ir vienkārši! Tātad īsumā: 1. Nevienādību pierakstām, pievedam pie standarta. 2. Pierakstām kvadrātvienādojumu un atrisinām to. 3. Uzzīmējiet x asi, iezīmējiet iegūtās saknes, shematiski uzzīmējiet parabolu, sazarojas uz augšu, ja koeficients pie x 2 ir pozitīvs, vai sazarojas uz leju, ja tas ir negatīvs. 4. Nosakām vizuāli pozitīvās vai negatīvās zonas un pierakstām atbildi atbilstoši sākotnējai nevienādībai. Apsveriet piemērus. 1. PIEMĒRS: izlemiet x 2
–15
x+50 > 0
Pirmais posms. Atrisinām kvadrātvienādojumu x 2
–15
x+50=0
D =
b 2
–4
ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Sakņu atrašana: Otrā fāze. Mēs veidojam asi oh. Atzīmēsim iegūtās saknes. Tā kā mūsu nevienlīdzība ir stingra, mēs tās neēnosim. Mēs shematiski veidojam parabolu, tā atrodas ar zariem uz augšu, jo koeficients pie x 2 ir pozitīvs: Trešais posms. Mēs definējam vizuāli pozitīvās un negatīvās zonas, mēs tās atzīmējām šeit dažādas krāsas skaidrības labad jūs to nevarat izdarīt. Mēs pierakstām atbildi. Atbilde: x∊(–∞;5) U (10;∞). *Zīme U apzīmē savienības risinājumu. Tēlaini izsakoties, risinājums ir “šis” UN “šis” intervāls. 2. PIEMĒRS. Atrisiniet –
x 2
+
x+20 ≤ 0
Pirmais posms. Atrisinām kvadrātvienādojumu –
x 2
+
x+20=0
D =
b 2
–4
ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Sakņu atrašana: Otrā fāze. Mēs veidojam asi oh. Atzīmēsim iegūtās saknes. Tā kā mūsu nevienlīdzība nav stingra, mēs ēnojam sakņu apzīmējumus. Mēs shematiski veidojam parabolu, tā atrodas ar zariem uz leju, jo koeficients pie x 2 ir negatīvs (tas ir vienāds ar -1): Trešais posms. Mēs definējam vizuāli pozitīvās un negatīvās zonas. Salīdziniet ar sākotnējo nevienādību (mūsu zīme ≤ 0). Nevienādība būs patiesa x ≤ - 4 un x ≥ 5. Mēs pierakstām atbildi. Atbilde: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac(2) (3);∞)\) Iepriekš minētais algoritms darbojas, ja diskriminants ir lielāks par nulli, tas ir, tam ir \(2\) sakne. Ko darīt citos gadījumos? Piemēram, šie: \(1)x^2+2x+9>0\) \(2) x^2+6x+9≤0\) \(3)-x^2-4x-4>0\) \(4) -x^2-64<0\) \(D=4-36=-32<0\) \(D=-4 \cdot 64<0\) Tas ir, izteiciens: Tas ir, izteiciens: Kā atrast x, kurā kvadrātveida trinomāls ir vienāds ar nulli? Jums jāatrisina atbilstošais kvadrātvienādojums. Izmantojot šo informāciju, atrisināsim kvadrātiskās nevienādības: 1) \(x^2+2x+9>0\) Varētu teikt, ka nevienlīdzība uzdod mums jautājumu: "kādam \(x\) izteiksme kreisajā pusē ir lielāka par nulli?". Iepriekš mēs jau esam noskaidrojuši, ka jebkuram. Atbildē varat rakstīt šādi: “jebkuram \ (x \)”, taču labāk to pašu ideju izteikt matemātikas valodā. Atbilde: \(x∈(-∞;∞)\) 2) \(x^2+6x+9≤0\) Jautājums no nevienlīdzības: "kurai \(x\) izteiksme kreisajā pusē ir mazāka vai vienāda ar nulli?" Tas nevar būt mazāks par nulli, bet tas ir vienāds ar nulli - pilnībā. Un, lai noskaidrotu, saskaņā ar kādu apgalvojumu tas notiks, mēs atrisināsim atbilstošo kvadrātvienādojumu. Veidosim izteiksmi uz \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). Tagad mums traucē tikai laukums. Padomāsim kopā – kurš skaitlis kvadrātā ir nulle? Nulle! Tātad izteiksmes kvadrāts ir nulle tikai tad, ja pati izteiksme ir nulle. \(x+3=0\) Šis skaitlis būs atbilde. Atbilde: \(-3\) 3)\(-x^2-4x-4>0\) Kad izteiksme kreisajā pusē ir lielāka par nulli? Kā tika teikts iepriekš, izteiksme kreisajā pusē ir vai nu negatīva, vai vienāda ar nulli, tā nevar būt pozitīva. Tātad atbilde ir nekad. Rakstīsim "nekad" matemātikas valodā, izmantojot simbolu "tukšā kopa" - \(∅\). Atbilde: \(x∈∅\) 4) \(-x^2-64<0\) Kad izteiksme kreisajā pusē ir mazāka par nulli? Ir vienmēr. Tas nozīmē, ka nevienlīdzība attiecas uz jebkuru \(x\). Atbilde: \(x∈(-∞;∞)\) Uzmanību! Kas notika "kvadrātu nevienlīdzība"? Nav jautājums!) Ja ņemat jebkura kvadrātvienādojumu un mainiet tajā esošo zīmi "="
(vienāds) ar jebkuru nevienlīdzības ikonu ( > ≥ < ≤ ≠
), iegūstam kvadrātisko nevienādību. Piemēram: 1. x2 -8x+12 ≥
0
2. -x 2 + 3x >
0
3. x2 ≤
4
Nu jūs sapratāt...) Es šeit apzināti saistīju vienādojumus un nevienlīdzības. Fakts ir tāds, ka pirmais solis risināšanā jebkura kvadrātveida nevienlīdzība - Atrisiniet vienādojumu, no kura veidojas šī nevienādība.Šī iemesla dēļ - nespēja atrisināt kvadrātvienādojumus automātiski noved pie pilnīgas nevienlīdzības neveiksmes. Vai mājiens ir skaidrs?) Ja kas, apskatiet, kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Tur viss ir sīki aprakstīts. Un šajā nodarbībā mēs tiksim galā ar nevienlīdzību. Risinājumam gatavai nevienlīdzībai ir šāda forma: pa kreisi - kvadrātveida trinomāls cirvis 2 +bx+c, labajā pusē - nulle. Nevienlīdzības zīme var būt pilnīgi jebkas. Pirmie divi piemēri ir šeit ir gatavi lēmumam. Vēl jāsagatavo trešais piemērs. Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.) Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!) var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem. Kvadrātiskās nevienādības definīcija 1. piezīme Kvadrātveida nevienlīdzību sauc tāpēc, ka. mainīgais ir kvadrātā. To sauc arī par kvadrātvienādību otrās pakāpes nevienlīdzības. 1. piemērs Piemērs. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ ir kvadrātiskās nevienādības. Kā redzams no piemēra, ne visi formas $ax^2+bx+c > 0$ nevienādības elementi ir klāt. Piemēram, nevienādībā $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ nav brīva vārda (termiņš $c$), bet nevienādībā $11z^2+8 \le 0$ nav termina ar koeficientu $b$. Šādas nevienādības ir arī kvadrātveida nevienādības, bet tās arī sauc nepilnīgas kvadrātvienādības. Tas nozīmē tikai to, ka koeficienti $b$ vai $c$ ir vienādi ar nulli. Atrisinot kvadrātvienādības, tiek izmantotas šādas pamatmetodes: 2. piezīme Grafisks veids, kā atrisināt kvadrātu nevienādības $ax^2+bx+c > 0$ (vai ar $ zīmi Šie intervāli ir kvadrātiskās nevienādības risinājums. 3. piezīme Intervālu metode kvadrātu nevienādību atrisināšanai formā $ax^2+bx+c > 0$ (nevienādības zīme var būt arī $ Kvadrātvienādības risinājumi ar zīmi $""$ - pozitīvi intervāli, ar zīmēm $"≤"$ un $"≥"$ - negatīvie un pozitīvie intervāli (attiecīgi), ieskaitot punktus, kas atbilst trinoma nullēm. Kvadrātiskās nevienādības atrisināšanas metode, izvēloties binoma kvadrātu, ir pāriet uz ekvivalentu nevienādību formā $(x-n)^2 > m$ (vai ar zīmi $ 4. piezīme Bieži vien, risinot nevienādības, tās jāreducē līdz kvadrātvienādībām formā $ax^2+bx+c > 0$ (nevienlīdzības zīme var būt arī $ nevienādības, kas reducē līdz kvadrātveida vienlīdzībām. 5. piezīme Vienkāršākais veids, kā samazināt nevienādības kvadrātā, var būt, pārkārtojot terminus sākotnējā nevienādībā vai pārnesot tos, piemēram, no labās puses uz kreiso. Piemēram, pārnesot visus nevienādības $7x > 6-3x^2$ nosacījumus no labās puses uz kreiso pusi, tiek iegūta kvadrātiskā nevienādība formā $3x^2+7x-6 > 0$. Ja nevienādības $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ terminus pārkārtosim dilstošā secībā pēc mainīgā $y$ pakāpes, tad tas novedīs pie formas ekvivalentas kvadrātiskās nevienādības. $5,3x^2+1,5g-2 \ge $0. Risinot racionālās nevienādības, bieži izmanto to reducēšanu uz kvadrātvienādību. Šajā gadījumā ir nepieciešams pārnest visus terminus uz kreiso pusi un pārvērst iegūto izteiksmi kvadrātveida trinoma formā. 2. piemērs Piemērs. Nevienādības $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ kvadrātā. Risinājums. Mēs pārnesam visus terminus uz nevienlīdzības kreiso pusi: 7 ASV dolāri \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0 $. Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas un paplašinot iekavas, mēs vienkāršojam izteiksmi nevienādības kreisajā pusē: 7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21,5x-19 > 0$. Atbilde: $x^2-21,5x-19 > 0$.
Mūsu kvadrātveida trinominam ir vērtības, kas ir mazākas par nulli, ja funkcijas grafiks atrodas zem x ass.
Apskatot funkcijas grafiku, mēs saņemam atbildi: $x^2-2x-8 Atbilde: $-2
Pārveidosim nevienādību: $-x^2+5x-6 Sadaliet nevienlīdzību ar mīnus viens. Neaizmirsīsim nomainīt zīmi: $x^2-5x+6>0$.
Atradīsim trīsnoma saknes: $x_1=2$ un $x_2=3$.
Mūsu kvadrātveida trinominam ir vērtības, kas ir lielākas par nulli, ja funkcijas grafiks atrodas virs x ass. Apskatot funkcijas grafiku, mēs saņemam atbildi: $5x-6
Atradīsim mūsu trinoma saknes, tam mēs aprēķinām diskriminantu: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminants ir mazāks par nulli. Izmantosim noteikumu, ko ieviesām sākumā. Nevienādības zīme būs tāda pati kā kvadrāta koeficienta zīme. Mūsu gadījumā koeficients ir pozitīvs, kas nozīmē, ka mūsu vienādojums būs pozitīvs jebkurai x vērtībai.
Atbilde: Visiem x nevienādība ir lielāka par nulli.
Risinājums:
Atradīsim trinoma saknes un novietosim tās uz koordinātu līnijas: $x_1=-2$ un $x_2=1$. 
Ja $x>1$ un $x Ja $x>-2$ un $x Atbilde: $x>-2$ un $xKvadrātisko nevienādību risināšanas uzdevumi
Atrisiniet nevienādības:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. 
Risinājums būs intervāls (-5; -4). Visām "x" vērtībām, kas tai pieder, nevienlīdzība būs patiesa.
Kvadrātvienādības ar negatīvu un nulles diskriminantu
Ja \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
\(x^2+2x+9\) ir pozitīvs jebkuram \(x\), jo \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) — negatīvs jebkuram \(x\), jo \(a=-1<0\)Ja \(D=0\), tad kvadrātveida trinomāls vienai vērtībai \(x\) ir vienāds ar nulli, un visām pārējām tam ir nemainīga zīme, kas sakrīt ar koeficienta \(a\) zīmi.
\(x^2+6x+9\) ir nulle \(x=-3\) un pozitīvs visiem pārējiem x, jo \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) ir vienāds ar nulli \(x=-2\) un negatīvs visiem pārējiem, jo \(a=-1<0\).
\(D=4-36=-32<0\)
\(D=36-36=0\)
\(x=-3\)
\(D=16-16=0\)
\(D=-4 \cdot 64<0\)
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")Ja jums patīk šī vietne...
Kvadrātisko nevienādību risināšanas metodes
Grafiskais veids
Atstarpes metode
Binoma kvadrāta izvēle
Nevienlīdzības, kas samazinās līdz kvadrātam