Formas izteiksme sauca vektoru lineāra kombinācija A 1 , A 2 ,...,A n ar koeficientiem λ 1, λ 2 ,..., λ n.
Vektoru sistēmas lineārās atkarības noteikšana
Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineāri atkarīgi, ja ir skaitļu kopa, kas nav nulle λ 1, λ 2 ,..., λ n, saskaņā ar kuru vektoru lineārā kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +... + λ n * A n vienāds ar nulles vektoru, tas ir, vienādojumu sistēma: ir risinājums, kas atšķiras no nulles.
Ciparu kopa λ 1, λ 2 ,..., λ n nav nulle, ja vismaz viens no skaitļiem λ 1, λ 2 ,..., λ n atšķiras no nulles.
Vektoru sistēmas lineārās neatkarības noteikšana
Piemērs 29.1Vektoru sistēma A 1 , A 2 ,...,A n sauca lineāri neatkarīgs, ja šo vektoru lineārā kombinācija λ 1 * A 1 + λ 2 * A 2 +... + λ n * A n ir vienāds ar nulles vektoru tikai nulles skaitļu kopai λ 1, λ 2 ,..., λ n , tas ir, vienādojumu sistēma: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ir unikāls nulles risinājums.
Pārbaudiet, vai vektoru sistēma ir lineāri atkarīga
Risinājums:
1. Mēs veidojam vienādojumu sistēmu:
2. Mēs to atrisinām, izmantojot Gausa metodi. Sistēmas Jordānijas transformācijas dotas 29.1. tabulā. Aprēķinot, sistēmas labās daļas netiek pierakstītas, jo tās ir vienādas ar nulli un Jordānijas transformācijās nemainās.
3. No pēdējām trim tabulas rindām mēs rakstām atļauto sistēmu, kas ir ekvivalenta oriģinālam sistēma:
4. Mēs iegūstam sistēmas vispārējo risinājumu:
5. Pēc saviem ieskatiem iestatījis brīvā mainīgā vērtību x 3 =1, iegūstam konkrētu risinājumu, kas atšķiras no nulles X=(-3,2,1).
Atbilde: Tādējādi ar nulles skaitļu kopu (-3,2,1) lineārā vektoru kombinācija ir vienāda ar nulles vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Tāpēc lineāri atkarīgu vektoru sistēma.
Vektoru sistēmu īpašības
Īpašums (1)
Ja vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, tad vismaz viens no vektoriem tiek sadalīts pārējo izteiksmē un otrādi, ja vismaz viens no sistēmas vektoriem ir sadalīts pārējo izteiksmē, tad sistēma vektori ir lineāri atkarīgs.
Īpašums (2)
Ja kāda vektoru apakšsistēma ir lineāri atkarīga, tad visa sistēma ir lineāri atkarīga.
Īpašums (3)
Ja vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tad jebkura no tās apakšsistēmām ir lineāri neatkarīga.
Īpašums (4)
Jebkura vektoru sistēma, kas satur nulles vektoru, ir lineāri atkarīga.
Īpašums (5)
M-dimensiju vektoru sistēma vienmēr ir lineāri atkarīga, ja vektoru skaits n ir lielāks par to izmēru (n>m)
Vektoru sistēmas pamati
Vektoru sistēmas pamats A 1 , A 2 ,..., A šādā apakšsistēmā B 1 , B 2 ,...,B r(katrs no vektoriem B 1 , B 2 ,..., B r ir viens no vektoriem A 1 , A 2 ,..., A n), kas atbilst šādiem nosacījumiem:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineāri neatkarīga vektoru sistēma;
2. jebkurš vektors A j sistēmas A 1 , A 2 ,..., A n lineāri izteikts vektoros B 1 ,B 2 ,...,B rr ir bāzē iekļauto vektoru skaits.
Teorēma 29.1. Uz vektoru sistēmas vienības bāzes.Ja m-dimensiju vektoru sistēma satur m dažādu vienību vektoru E 1 E 2 ,..., E m , tad tie veido sistēmas pamatu.
Algoritms vektoru sistēmas pamata atrašanai
Lai atrastu vektoru sistēmas A 1 ,A 2 ,...,A n bāzi, nepieciešams:
- Sastādiet homogēnu vienādojumu sistēmu, kas atbilst vektoru sistēmai A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- atnesiet šo sistēmu
8. piemērs
Ir doti vektori. Parādiet, ka vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē.
Risinājums: Vispirms tiksim galā ar nosacījumu. Pēc nosacījuma ir doti četri vektori, un, kā redzat, tiem jau ir zināmas koordinātas. Kāds ir pamats – mūs neinteresē. Un interesants ir sekojošais: trīs vektori var izveidot jaunu pamatu. Un pirmais solis ir pilnīgi tāds pats kā 6. piemēra risinājums, ir jāpārbauda, vai vektori patiešām ir lineāri neatkarīgi:
Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām: 
, tāpēc vektori ir lineāri neatkarīgi un veido trīsdimensiju telpas pamatu.
! Svarīgs: vektora koordinātas Obligāti pierakstīt kolonnās determinants, nevis stīgas. Pretējā gadījumā turpmākajā risinājuma algoritmā radīsies neskaidrības.
Tagad atcerēsimies teorētisko daļu: ja vektori veido bāzi, tad jebkuru vektoru var unikālā veidā sadalīt dotajā bāzē: , kur ir vektora koordinātas bāzē .
Tā kā mūsu vektori veido trīsdimensiju telpas pamatu (tas jau ir pierādīts), vektoru šajā bāzē var unikālā veidā paplašināt: 
, kur ir vektora koordinātas bāzē .
Pēc nosacījuma un ir jāatrod koordinātas.
Lai atvieglotu skaidrojumu, es apmainīšu daļas: 
. Lai to atrastu, šī vienlīdzība ir jāuzraksta koordinātu veidā: 
Uz kāda pamata tiek sakārtoti koeficienti? Visi kreisās puses koeficienti tiek precīzi pārnesti no determinanta 
, labajā pusē ir ierakstītas vektora koordinātas.
Rezultāts ir trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem. Parasti to izlemj Krāmera formulas, bieži vien pat problēmas stāvoklī ir šāda prasība.
Sistēmas galvenais noteicējs jau ir atrasts:
, tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.
Nākamais ir tehnoloģiju jautājums: 
Tādējādi:
ir vektora izvērsums bāzes izteiksmē .
Atbilde: 
Kā jau minēju, problēmai ir algebrisks raksturs. Tiek ņemti vērā ne vienmēr tie vektori, kurus var uzzīmēt telpā, bet gan, pirmkārt, lineārās algebras kursa abstraktie vektori. Divdimensiju vektoru gadījumā līdzīgu problēmu var formulēt un atrisināt, risinājums būs daudz vienkāršāks. Taču praksē ar šādu uzdevumu nebiju saskāries, tāpēc iepriekšējā sadaļā to izlaidu.
Tā pati problēma ar trīsdimensiju vektoriem neatkarīgam risinājumam:
9. piemērs
Ir doti vektori. Parādiet, ka vektori veido bāzi, un atrodiet vektora koordinātas šajā bāzē. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar Krāmera metodi.
Pilns risinājums un aptuvens apdares paraugs nodarbības beigās.
Līdzīgi var uzskatīt par četrdimensiju, piecdimensiju utt. vektoru telpas, kur vektoriem ir attiecīgi 4, 5 vai vairāk koordinātas. Šīm vektortelpām ir arī lineārās atkarības, vektoru lineārās neatkarības jēdziens, ir pamats, tajā skaitā ortonormāls, vektora izvēršana bāzes izteiksmē. Jā, šādas telpas nevar uzzīmēt ģeometriski, bet tajās darbojas visi divdimensiju un trīsdimensiju gadījumu noteikumi, īpašības un teorēmas - tīrā algebra. Patiesībā jau rakstā biju spiests runāt par filozofiskiem jautājumiem Trīs mainīgo funkciju daļējie atvasinājumi, kas parādījās pirms šīs nodarbības.
Mīlestības vektori un vektori tevi mīlēs!
Risinājumi un atbildes:
2. piemērs: Risinājums: sastāda proporciju no atbilstošajām vektoru koordinātām:
Atbilde:
plkst
4. piemērs: Pierādījums: TrapeceČetrstūri sauc par četrstūri, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas malas nav paralēlas.
1) Pārbaudiet pretējo malu paralēlismu un .
Atradīsim vektorus:
, tāpēc šie vektori nav kolineāri un malas nav paralēlas.
2) Pārbaudiet pretējo malu paralēlismu un .
Atradīsim vektorus:
Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām:
, tāpēc šie vektori ir kolineāri un .
Secinājums:
Četrstūra divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas malas nav paralēlas, tāpēc pēc definīcijas tā ir trapece. Q.E.D.
5. piemērs: Risinājums:
b) Pārbaudiet, vai attiecīgajām vektoru koordinātām ir proporcionalitātes koeficients:
Sistēmai nav risinājuma, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.
Vienkāršāks dizains:
- otrā un trešā koordinātas nav proporcionālas, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri.
Atbilde:
vektori nav kolineāri.
c) Mēs pārbaudām vektoru kolinearitāti 
. Izveidosim sistēmu:
Atbilstošās vektoru koordinātas ir proporcionālas, tātad
Šeit vienkārši nedarbojas "nepatīkamā" dizaina metode.
Atbilde:
6. piemērs: Risinājums: b) Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām (determinants ir izvērsts pirmajā rindā):
, kas nozīmē, ka vektori ir lineāri atkarīgi un neveido trīsdimensiju telpas pamatu.
Atbilde
: šie vektori neveido pamatu
9. piemērs: Risinājums: Aprēķiniet determinantu, kas sastāv no vektoru koordinātām:
Tādējādi vektori ir lineāri neatkarīgi un veido pamatu.
Attēlosim vektoru kā lineāru bāzes vektoru kombināciju:
Koordināta:
Mēs atrisinām sistēmu, izmantojot Krāmera formulas:
, tāpēc sistēmai ir unikāls risinājums.
Atbilde:Vektori veido pamatu,
Augstākā matemātika neklātienes studentiem un ne tikai >>>
(Doties uz galveno lapu)
Vektoru vektorreizinājums.
Vektoru jauktais reizinājums
Šajā nodarbībā mēs apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru krustreizinājums Un vektoru jauktais produkts. Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei, turklāt vektoru punktu reizinājums, vajag arvien vairāk. Tāda ir vektoru atkarība. Var rasties iespaids, ka mēs nonākam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tas ir nepareizi. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz malkas, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai grūtāks par to pašu skalārais produkts, pat būs mazāk tipisku uzdevumu. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi redzēs vai jau ir redzējuši, ir NEMALDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību, un tu būsi laimīgs =)
Ja vektori kaut kur tālu mirdz kā zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi, centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskajā darbā
Kas tevi iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām un pat trīs bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad vispār nav vajadzības žonglēt, jo mēs to apsvērsim tikai telpas vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības – vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Jau vieglāk!
Ģeometrijā vektoru saprot kā virzītu segmentu, un vektori, kas iegūti viens no otra ar paralēlu tulkošanu, tiek uzskatīti par vienādiem. Visi vienādi vektori tiek uzskatīti par vienu un to pašu vektoru. Vektora sākumu var novietot jebkurā telpas vai plaknes punktā.
Ja vektora galu koordinātas ir norādītas telpā: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), tad
= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)
Līdzīga formula darbojas plaknē. Tas nozīmē, ka vektoru var uzrakstīt kā koordinātu virkni. Darbības ar vektoriem, - saskaitīšana un reizināšana ar skaitli, ar virknēm tiek veiktas pēc komponentes. Tas dod iespēju paplašināt vektora jēdzienu, saprotot vektoru kā jebkuru skaitļu virkni. Piemēram, lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu, kā arī jebkuru sistēmas mainīgo vērtību kopu var uzskatīt par vektoru.
Vienāda garuma virknēm pievienošanas darbība tiek veikta saskaņā ar noteikumu
(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)
Virknes reizināšana ar skaitli tiek veikta saskaņā ar noteikumu
l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)
Dotā garuma rindu vektoru kopa n ar norādītajām vektoru saskaitīšanas un reizināšanas ar skaitli operācijām veido algebrisko struktūru, ko sauc n-dimensiju lineārā telpa.
Lineāra vektoru kombinācija ir vektors 
, kur λ 1 , ... , λ m ir patvaļīgi koeficienti.
Vektoru sistēmu sauc par lineāri atkarīgu, ja pastāv tās lineārā kombinācija, kas vienāda ar , kurai ir vismaz viens koeficients, kas nav nulle.
Vektoru sistēmu sauc par lineāri neatkarīgu, ja jebkurā no tās lineārajām kombinācijām, kas vienādas ar , visi koeficienti ir nulle.
Tādējādi vektoru sistēmas lineārās atkarības jautājuma atrisinājums tiek reducēts līdz vienādojuma atrisinājumam.
x 1 + x 2 + … + x m = . (4)
Ja šim vienādojumam ir atrisinājumi, kas nav nulle, tad vektoru sistēma ir lineāri atkarīga. Ja nulles risinājums ir unikāls, tad vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.
Lai atrisinātu sistēmu (4), skaidrības labad vektorus var rakstīt nevis rindu, bet kolonnu formā.
Pēc tam, veicot pārveidojumus kreisajā pusē, mēs nonākam pie lineāro vienādojumu sistēmas, kas līdzvērtīga (4) vienādojumam. Šīs sistēmas galveno matricu veido sākotnējo vektoru koordinātas, kas sakārtotas kolonnās. Brīvo dalībnieku kolonna šeit nav vajadzīga, jo sistēma ir viendabīga.
Pamats vektoru sistēmas (īpaši ierobežotas vai bezgalīgas, jo īpaši visas lineārās telpas) sistēma ir tās netukša lineāri neatkarīga apakšsistēma, caur kuru var izteikt jebkuru sistēmas vektoru.
Piemērs 1.5.2. Atrodiet vektoru sistēmas pamatu = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) un izteikt citus vektorus caur bāzi.
Risinājums. Mēs veidojam matricu, kurā šo vektoru koordinātas ir sakārtotas kolonnās. Šī ir sistēmas matrica x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Mēs izveidojam matricu pakāpeniskā formā:
~ 
~ 
~
Šīs vektoru sistēmas pamatu veido vektori , , , kas atbilst ar apļiem atzīmēto rindu vadošajiem elementiem. Lai izteiktu vektoru, mēs atrisinām vienādojumu x 1 + x 2 + x 4 = . Tas tiek reducēts līdz lineāro vienādojumu sistēmai, kuras matricu iegūst no oriģināla, pārkārtojot kolonnu, kas atbilst , uz brīvo terminu ailes vietu. Tāpēc, reducējot uz pakāpju formu, matricā tiks veiktas tādas pašas transformācijas kā iepriekš. Tas nozīmē, ka iegūto matricu varam izmantot pakāpju formā, veicot tajā nepieciešamās kolonnu permutācijas: kolonnas ar apļiem novietotas pa kreisi no vertikālās joslas, bet vektoram atbilstošā kolonna – pa labi. no bāra.
Mēs secīgi atrodam:
x 4 = 0;
x 2 = 2;
x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;
komentēt. Ja caur bāzi ir nepieciešams izteikt vairākus vektorus, tad katram no tiem tiek konstruēta atbilstošā lineāro vienādojumu sistēma. Šīs sistēmas atšķirsies tikai bezmaksas dalībnieku kolonnās. Šajā gadījumā katra sistēma tiek atrisināta neatkarīgi no pārējām.
VINGRINĀJUMS 1.4. Atrodiet vektoru sistēmas pamatu un izsakiet pārējos vektorus bāzes izteiksmē:
a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);
b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);
c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).
Dotajā vektoru sistēmā bāzi parasti var atšķirt dažādos veidos, taču visām bāzēm būs vienāds vektoru skaits. Lineārās telpas pamatā esošo vektoru skaitu sauc par telpas dimensiju. Priekš n-dimensiju lineārā telpa n ir telpas dimensija, jo šai telpai ir standarta bāze = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Izmantojot šo bāzi, jebkurš vektors = (a 1 , a 2 , … , a n) ir izteikts šādi:
= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =
A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .
Tādējādi komponenti vektora rindā = (a 1 , a 2 , … , a n) ir tā koeficienti izvērsumā standarta bāzes izteiksmē.
Taisnas līnijas plaknē
Analītiskās ģeometrijas problēma ir koordinātu metodes pielietošana ģeometriskām problēmām. Tādējādi problēma tiek tulkota algebriskā formā un atrisināta ar algebras palīdzību.
Rakstā par n-dimensiju vektoriem mēs nonācām pie lineārās telpas jēdziena, ko ģenerē n-dimensiju vektoru kopa. Tagad mums ir jāapsver ne mazāk svarīgi jēdzieni, piemēram, vektoru telpas dimensija un pamats. Tie ir tieši saistīti ar lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas jēdzienu, tāpēc papildus ieteicams sev atgādināt arī šīs tēmas pamatus.
Ieviesīsim dažas definīcijas.
1. definīcija
Vektoru telpas izmērs ir skaitlis, kas atbilst maksimālajam lineāri neatkarīgo vektoru skaitam šajā telpā.
2. definīcija
Vektoru telpas pamats- lineāri neatkarīgu vektoru kopa, kas sakārtota un pēc skaita ir vienāda ar telpas izmēru.
Apsveriet noteiktu n-vektoru telpu. Tās izmērs ir attiecīgi vienāds ar n . Ņemsim n-vienību vektoru sistēmu:
e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)
Izmantosim šos vektorus kā matricas A sastāvdaļas: tā būs vienība ar dimensiju n līdz n . Šīs matricas rangs ir n. Tāpēc vektoru sistēma e (1) , e (2) , . . . , e (n) ir lineāri neatkarīgs. Šajā gadījumā sistēmai nav iespējams pievienot vienu vektoru, nepārkāpjot tās lineāro neatkarību.
Tā kā vektoru skaits sistēmā ir vienāds ar n, tad n-dimensiju vektoru telpas dimensija ir vienāda ar n, un vienības vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) ir norādītās telpas pamats.
No iegūtās definīcijas secinām: jebkura n-dimensiju vektoru sistēma, kurā vektoru skaits ir mazāks par n, nav telpas pamats.
Ja apmainām pirmo un otro vektoru, iegūstam vektoru sistēmu e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Tas būs arī n-dimensiju vektoru telpas pamats. Sastādām matricu, par rindām ņemot iegūtās sistēmas vektorus. Matricu var iegūt no identitātes matricas, apmainot pirmās divas rindas, tās rangs būs vienāds ar n . Sistēma e (2) , e (1) , . . . , e (n) ir lineāri neatkarīgs un ir n-dimensiju vektoru telpas pamats.
Pārkārtojot citus vektorus sākotnējā sistēmā, mēs iegūstam vēl vienu pamatu.
Mēs varam ņemt lineāri neatkarīgu vektoru sistēmu, kas nav vienība, un tā būs arī n-dimensiju vektoru telpas pamats.
3. definīcija
Vektoru telpai ar dimensiju n ir tik daudz bāzu, cik ir lineāri neatkarīgu n-dimensiju vektoru sistēmu ar skaitli n.
Plakne ir divdimensiju telpa – tās pamatā būs jebkuri divi nekolineāri vektori. Jebkuri trīs ne-kopplanāri vektori kalpos par trīsdimensiju telpas pamatu.
Apsveriet šīs teorijas piemērošanu konkrētos piemēros.
1. piemērs
Sākotnējie dati: vektori
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)
Ir nepieciešams noteikt, vai norādītie vektori ir trīsdimensiju vektoru telpas pamatā.
Risinājums
Lai atrisinātu problēmu, mēs pētām doto vektoru sistēmu lineārai atkarībai. Izveidosim matricu, kur rindas ir vektoru koordinātas. Noteiksim matricas rangu.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3
Līdz ar to uzdevuma nosacījuma dotie vektori ir lineāri neatkarīgi, un to skaits ir vienāds ar vektoru telpas dimensiju - tie ir vektoru telpas pamats.
Atbilde:šie vektori ir vektoru telpas pamatā.
2. piemērs
Sākotnējie dati: vektori
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)
Jānoskaidro, vai norādītā vektoru sistēma var būt par pamatu trīsdimensiju telpai.
Risinājums
Uzdevuma nosacījumā norādītā vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, jo maksimālais lineāri neatkarīgo vektoru skaits ir 3. Tādējādi šī vektoru sistēma nevar kalpot par pamatu trīsdimensiju vektoru telpai. Bet ir vērts atzīmēt, ka sākotnējās sistēmas apakšsistēma a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) ir pamats.
Atbilde: norādītā vektoru sistēma nav pamats.
3. piemērs
Sākotnējie dati: vektori
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
Vai tie var būt četrdimensiju telpas pamatā?
Risinājums
Sastādiet matricu, izmantojot doto vektoru koordinātas kā rindas
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
Izmantojot Gausa metodi, mēs nosakām matricas rangu:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4
Tāpēc doto vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga un to skaits ir vienāds ar vektortelpas dimensiju – tie ir četrdimensiju vektortelpas pamats.
Atbilde: dotie vektori ir četrdimensiju telpas pamats.
4. piemērs
Sākotnējie dati: vektori
a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)
Vai tie veido 4-dimensiju telpas pamatu?
Risinājums
Sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, taču tajā esošo vektoru skaits ir nepietiekams, lai kļūtu par četrdimensiju telpas pamatu.
Atbilde: nē, viņi to nedara.
Vektora dekompozīcija bāzes izteiksmē
Mēs pieņemam, ka patvaļīgi vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) ir vektora n-dimensiju telpas pamats. Pievienosim tiem kādu n-dimensiju vektoru x →: iegūtā vektoru sistēma kļūs lineāri atkarīga. Lineārās atkarības īpašības norāda, ka vismaz vienu no šādas sistēmas vektoriem var lineāri izteikt pārējos. Pārformulējot šo apgalvojumu, mēs varam teikt, ka vismaz vienu no lineāri atkarīgās sistēmas vektoriem var paplašināt citu vektoru izteiksmē.
Tādējādi mēs esam nonākuši pie vissvarīgākās teorēmas formulēšanas:
4. definīcija
Jebkurš n-dimensiju vektoru telpas vektors ir unikāli sadalīts bāzes izteiksmē.
1. pierādījums
Pierādīsim šo teorēmu:
iestatiet n-dimensiju vektoru telpas pamatu - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Padarīsim sistēmu lineāri atkarīgu, pievienojot tai n-dimensiju vektoru x →. Šo vektoru var lineāri izteikt ar sākotnējiem vektoriem e:
x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , kur x 1 , x 2 , . . . , x n - daži skaitļi.
Tagad mēs pierādām, ka šāda sadalīšanās ir unikāla. Pieņemsim, ka tas tā nav un ir vēl viens līdzīgs paplašinājums:
x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , kur x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - daži skaitļi.
No šīs vienādības kreisās un labās daļas atņemiet attiecīgi vienādības kreiso un labo daļu x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Mēs iegūstam:
0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)
Bāzes vektoru sistēma e (1) , e (2) , . . . , e (n) ir lineāri neatkarīgs; Pēc vektoru sistēmas lineārās neatkarības definīcijas, augstākminētā vienlīdzība ir iespējama tikai tad, ja visi koeficienti ir (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) būs vienāds ar nulli. No kā tas būs godīgi: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Un tas pierāda vienīgo veidu, kā paplašināt vektoru bāzes izteiksmē.
Šajā gadījumā koeficienti x 1 , x 2 , . . . , x n sauc par vektora x koordinātām → bāzē e (1) , e (2) , . . . , e (n) .
Pierādītā teorija skaidri parāda izteicienu "ir dots n-dimensiju vektors x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": tiek aplūkots vektors x → n-dimensiju vektora telpa, un tā koordinātas ir norādītas kāds pamats. Ir arī skaidrs, ka vienam un tam pašam vektoram citā n-dimensiju telpas bāzē būs dažādas koordinātas.
Apsveriet šādu piemēru: pieņemsim, ka kādā n-dimensiju vektoru telpas bāzē ir dota n lineāri neatkarīgu vektoru sistēma.
un arī dots vektors x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).
Vektori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) šajā gadījumā arī ir šīs vektortelpas pamatā.
Pieņemsim, ka ir nepieciešams noteikt vektora x → koordinātas bāzē e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , apzīmēts ar x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .
Vektors x → tiks attēlots šādi:
x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)
Mēs rakstām šo izteiksmi koordinātu formā:
(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, ..., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2, . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , ... , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))
Iegūtā vienādība ir ekvivalenta n lineāru algebrisku izteiksmju sistēmai ar n nezināmiem lineāriem mainīgajiem x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:
x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n
Šīs sistēmas matrica izskatīsies šādi:
e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)
Lai tā ir matrica A , un tās kolonnas ir lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas e 1 (1) , e 2 (2) , vektori. . . , e n (n) . Matricas rangs ir n, un tā determinants nav nulle. Tas norāda, ka vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, kuru var noteikt jebkurā ērtā veidā: piemēram, ar Kramera metodi vai ar matricas metodi. Tādā veidā mēs varam noteikt koordinātas x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n vektora x → bāzē e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .
Pielietosim aplūkoto teoriju konkrētā piemērā.
6. piemērs
Sākotnējie dati: vektori ir doti trīsdimensiju telpas bāzē
e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)
Ir jāapstiprina fakts, ka vektoru sistēma e (1) , e (2) , e (3) kalpo arī par dotās telpas pamatu, kā arī jānosaka vektora x koordinātas dotajā bāzē. .
Risinājums
Vektoru sistēma e (1) , e (2) , e (3) būs trīsdimensiju telpas pamats, ja tā būs lineāri neatkarīga. Noskaidrosim šo iespēju, nosakot matricas A rangu, kuras rindās ir dotie vektori e (1) , e (2) , e (3) .
Mēs izmantojam Gausa metodi:
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
R a n k (A) = 3 . Tādējādi vektoru sistēma e (1) , e (2) , e (3) ir lineāri neatkarīga un ir pamats.
Lai vektoram x → bāzē ir koordinātes x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Šo koordinātu savienojumu nosaka vienādojums:
x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)
Piemērosim vērtības atbilstoši problēmas apstākļiem:
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7
Mēs risinām vienādojumu sistēmu ar Krāmera metodi:
∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
Tātad vektoram x → bāzē e (1) , e (2) , e (3) ir koordinātes x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .
Atbilde: x = (1 , 1 , 1)
Savienojums starp bāzēm
Pieņemsim, ka kādā n-dimensiju vektoru telpas pamatos ir dotas divas lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas:
c (1) = (c 1 (1), c 2 (1) , . . ., c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2) , . . . (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))
e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))
Šīs sistēmas ir arī dotās telpas bāzes.
Ļaujiet c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - vektora c (1) koordinātas bāzē e (1) , e (2) , . . . , e (3) , tad koordinātu attiecības tiks noteiktas ar lineāru vienādojumu sistēmu:
c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)
Matricas veidā sistēmu var attēlot šādi:
(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Pēc analoģijas izdarīsim tādu pašu apzīmējumu vektoram c (2):
(c 1 (2) , c 2 (2) , . . ., c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Matricas vienādības tiek apvienotas vienā izteiksmē:
c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)
Tas noteiks divu dažādu bāzu vektoru attiecības.
Izmantojot to pašu principu, ir iespējams izteikt visus bāzes vektorus e (1) , e (2) , . . . , e (3) caur bāzi c (1) , c (2) , . . . , c (n) :
e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)
Mēs sniedzam šādas definīcijas:
5. definīcija
Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ir pārejas matrica no bāzes e (1) , e (2) , . . . , e(3)
uz bāzi c (1) , c (2) , . . . , c (n) .
6. definīcija
Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ir pārejas matrica no bāzes c (1) , c (2) , . . . ,c(n)
uz bāzi e (1) , e (2) , . . . , e (3) .
No šīm vienlīdzībām ir skaidrs, ka
c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
tie. pāreju matricas ir savstarpēji apgrieztas.
Apskatīsim teoriju konkrētā piemērā.
7. piemērs
Sākotnējie dati: ir jāatrod pārejas matrica no bāzes
c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) c (3) = (3, 7, 1)
e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)
Jānorāda arī patvaļīga vektora x → koordinātu attiecības dotajās bāzēs.
Risinājums
1. Lai T ir pārejas matrica, tad vienādība būs patiesa:
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1
Reiziniet abas vienādojuma puses ar
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
un saņemt:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
2. Definējiet pārejas matricu:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. Definējiet vektora x → koordinātu attiecību:
pieņemsim, ka bāzē c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektoram x → ir koordinātas x 1 , x 2 , x 3 , tad:
x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,
un bāzē e (1) , e (2) , . . . , e (3) ir koordinātas x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , tad:
x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Jo šo vienādību kreisās daļas ir vienādas, varam pielīdzināt arī labās daļas:
(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Reiziniet abas puses labajā pusē ar
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
un saņemt:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 ) , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Citā pusē
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Pēdējās vienādības parāda vektora x → koordinātu attiecības abās bāzēs.
Atbilde: pārejas matrica
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Vektora x → koordinātas dotajās bāzēs ir saistītas ar sakarību:
(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Analizējot n-dimensiju vektora jēdzienus un ieviešot darbības ar vektoriem, mēs noskaidrojām, ka visu n-dimensiju vektoru kopa ģenerē lineāru telpu. Šajā rakstā mēs runāsim par svarīgākajiem saistītajiem jēdzieniem - par vektoru telpas dimensiju un pamatu. Mēs arī aplūkojam teorēmu par patvaļīga vektora paplašināšanu attiecībā uz bāzi un savienojumu starp dažādām n-dimensiju telpas bāzēm. Detalizēti analizēsim tipisku piemēru risinājumus.
Lapas navigācija.
Vektortelpas dimensijas un bāzes jēdziens.
Vektortelpas dimensijas un bāzes jēdzieni ir tieši saistīti ar lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas jēdzienu, tāpēc iesakām, ja nepieciešams, atsaukties uz rakstu vektoru sistēmas lineārā atkarība, lineārās atkarības un neatkarības īpašības.
Definīcija.
Vektoru telpas izmērs sauc par skaitli, kas vienāds ar maksimālo lineāri neatkarīgo vektoru skaitu šajā telpā.
Definīcija.
Vektoru telpas pamats ir sakārtota šīs telpas lineāri neatkarīgu vektoru kopa, kuru skaits ir vienāds ar telpas izmēru.
Mēs sniedzam dažus argumentus, kuru pamatā ir šīs definīcijas.
Apsveriet n-dimensiju vektoru telpu.
Parādīsim, ka šīs telpas izmērs ir vienāds ar n .
Ņemsim n formas formas vienību vektoru sistēmu
Ņemsim šos vektorus kā matricas A rindas. Šajā gadījumā matrica A būs n x n identitātes matrica. Šīs matricas rangs ir n (ja nepieciešams, skatiet rakstu). Tāpēc vektoru sistēma 
ir lineāri neatkarīgs, un šai sistēmai nevar pievienot vektoru, nepārkāpjot tās lineāro neatkarību. Tā kā vektoru skaits sistēmā vienāds ar n, tad n-dimensiju vektoru telpas dimensija ir n, un vienības vektori ir šīs telpas pamatā.
No pēdējā apgalvojuma un bāzes definīcijas mēs varam secināt, ka jebkura n-dimensiju vektoru sistēma, kuras vektoru skaits ir mazāks par n, nav pamats.
Tagad apmainīsim pirmo un otro sistēmas vektoru . Ir viegli parādīt, ka iegūtā vektoru sistēma 
ir arī n-dimensiju vektoru telpas pamats. Sastādām matricu, ņemot to par šīs sistēmas vektoru rindām. Šo matricu var iegūt no identitātes matricas, apmainot pirmo un otro rindu, tāpēc tās rangs būs n . Tādējādi n vektoru sistēma ir lineāri neatkarīgs un ir n-dimensiju vektoru telpas pamats.
Ja apmainām citus sistēmas vektorus , mēs iegūstam citu pamatu.
Ja ņemam lineāri neatkarīgu nevienības vektoru sistēmu, tad tā ir arī n-dimensiju vektoru telpas pamats.
Tādējādi vektoru telpai ar dimensiju n ir tik daudz bāzu, cik ir lineāri neatkarīgu n n-dimensiju vektoru sistēmu.
Ja mēs runājam par divdimensiju vektoru telpu (tas ir, par plakni), tad tās pamatā ir jebkuri divi nekolineāri vektori. Trīsdimensiju telpas pamats ir jebkuri trīs nekopplanāri vektori.
Apskatīsim dažus piemērus.
Piemērs.
Vai vektori ir 3D vektoru telpas pamatā?
Risinājums.
Apskatīsim šo vektoru sistēmu lineārai atkarībai. Lai to izdarītu, mēs izveidosim matricu, kuras rindas būs vektoru koordinātas, un atradīsim tās rangu: 
Tādējādi vektori a , b un c ir lineāri neatkarīgi un to skaits ir vienāds ar vektoru telpas dimensiju, tāpēc tie ir šīs telpas pamats.
Atbilde:
Jā viņi ir.
Piemērs.
Vai vektoru sistēma var būt vektoru telpas pamatā?
Risinājums.
Šī vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, jo maksimālais lineāri neatkarīgo trīsdimensiju vektoru skaits ir trīs. Tāpēc šī vektoru sistēma nevar būt par pamatu trīsdimensiju vektoru telpai (lai gan sākotnējā vektoru sistēmas apakšsistēma ir pamats).
Atbilde:
Nē viņš nevar.
Piemērs.
Pārliecinieties, ka vektori 
var būt četrdimensiju vektoru telpas pamats.
Risinājums.
Izveidosim matricu, pieņemot to kā sākotnējo vektoru rindas: 
Atradīsim: 
Tātad vektoru sistēma a, b, c, d ir lineāri neatkarīga un to skaits ir vienāds ar vektoru telpas izmēru, tāpēc a, b, c, d ir tās pamats.
Atbilde:
Sākotnējie vektori patiešām ir četrdimensiju telpas pamats.
Piemērs.
Vai vektori veido 4-dimensiju vektoru telpas pamatu?
Risinājums.
Pat ja sākotnējā vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga, tajā esošo vektoru skaits nav pietiekams, lai būtu četrdimensiju telpas pamats (šādas telpas pamats sastāv no 4 vektoriem).
Atbilde:
Nē, tā nav.
Vektora dekompozīcija vektora telpas bāzes izteiksmē.
Ļaujiet patvaļīgiem vektoriem ir n-dimensiju vektoru telpas pamats. Ja pievienosim tiem kādu n-dimensiju vektoru x, tad iegūtā vektoru sistēma būs lineāri atkarīga. No lineārās atkarības īpašībām mēs zinām, ka vismaz viens lineāri atkarīgās sistēmas vektors ir lineāri izteikts pārējos. Citiem vārdiem sakot, vismaz viens no lineāri atkarīgas sistēmas vektoriem tiek sadalīts pārējos vektoros.
Tādējādi mēs nonākam pie ļoti svarīgas teorēmas.
Teorēma.
Jebkurš n-dimensiju vektoru telpas vektors ir unikāli sadalīts bāzes izteiksmē.
Pierādījums.
Ļaujiet - n-dimensiju vektoru telpas pamats. Pievienosim šiem vektoriem n-dimensiju vektoru x. Tad iegūtā vektoru sistēma būs lineāri atkarīga un vektoru x var lineāri izteikt vektoros : , kur daži skaitļi. Tātad mēs ieguvām vektora x paplašinājumu bāzes izteiksmē. Atliek pierādīt, ka šī sadalīšanās ir unikāla.
Pieņemsim, ka ir vēl viens sadalījums , kur 
- daži skaitļi. No pēdējās vienādības kreisās un labās daļas atņemiet attiecīgi vienādības kreiso un labo daļu:
Tā kā bāzes vektoru sistēma ir lineāri neatkarīgs, tad, saskaņā ar vektoru sistēmas lineārās neatkarības definīciju, iegūtā vienādība ir iespējama tikai tad, ja visi koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc , kas pierāda vektora izplešanās unikalitāti bāzes izteiksmē.
Definīcija.
Koeficientus sauc vektora x koordinātas bāzē .
Iepazīstoties ar teorēmu par vektora paplašināšanu bāzes izteiksmē, mēs sākam izprast izteikuma “mums ir dots n-dimensiju vektors” būtību. 
". Šī izteiksme nozīmē, ka mēs aplūkojam n-dimensiju vektoru telpas vektoru x, kura koordinātas ir norādītas kādā bāzē. Tajā pašā laikā mēs saprotam, ka tam pašam vektoram x citā n-dimensiju vektoru telpas bāzē būs koordinātas, kas atšķiras no .
Apsveriet šādu problēmu.
Pieņemsim, ka kādā n-dimensiju vektoru telpas bāzē mums ir dota n lineāri neatkarīgu vektoru sistēma 
un vektors . Tad vektori ir arī šīs vektortelpas pamatā.
Ļaujiet mums bāzē atrast vektora x koordinātas . Apzīmēsim šīs koordinātas kā .
Vektors x bāzē ir ideja. Mēs rakstām šo vienādību koordinātu formā:
Šī vienādība ir ekvivalenta n lineāru algebrisko vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem :
Šīs sistēmas galvenajai matricai ir forma 
Apzīmēsim to kā A. Matricas A kolonnas ir lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas vektori , tāpēc šīs matricas rangs ir n , tāpēc tās determinants nav nulle. Šis fakts norāda, ka vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar jebkuru metodi, piemēram, vai .
Tātad vajadzīgās koordinātas tiks atrastas vektors x bāzē .
Analizēsim teoriju ar piemēriem.
Piemērs.
Dažos trīsdimensiju vektoru telpas pamatos vektori 
Pārliecinieties, ka vektoru sistēma ir arī šīs telpas pamatā, un atrodiet vektora x koordinātas šajā bāzē.
Risinājums.
Lai vektoru sistēma būtu trīsdimensiju vektoru telpas pamatā, tai jābūt lineāri neatkarīgai. Noskaidrosim, nosakot matricas A rangu, kuras rindas ir vektori . Rangu atrodam pēc Gausa metodes 
tāpēc Rank(A) = 3 , kas parāda vektoru sistēmas lineāro neatkarību.
Tātad vektori ir pamats. Ļaujiet vektoram x šajā bāzē būt koordinātas. Tad, kā mēs parādījām iepriekš, šī vektora koordinātu attiecības nosaka vienādojumu sistēma 
Aizvietojot tajā vērtības, kas zināmas no nosacījuma, mēs iegūstam 
Atrisināsim to ar Krāmera metodi: 
Tādējādi vektoram x bāzē ir koordinātas 
.
Atbilde:
Piemērs.
Kaut kādā veidā 
četrdimensiju vektoru telpai ir dota lineāri neatkarīga vektoru sistēma 
Ir zināms, ka 
. Atrast vektora x koordinātas bāzē .
Risinājums.
Tā kā vektoru sistēma 
ir lineāri neatkarīgs pēc pieņēmuma, tad tas ir četrdimensiju telpas pamats. Tad vienlīdzība nozīmē, ka vektors x bāzē ir koordinātas. Apzīmē vektora x koordinātas bāzē Kā .
Vienādojumu sistēma, kas nosaka vektora x koordinātu attiecības bāzēs Un ir forma 
Mēs ar to aizstājam zināmās vērtības un atrodam vajadzīgās koordinātas: 
Atbilde:
.
Komunikācija starp bāzēm.
Dotas divas lineāri neatkarīgas vektoru sistēmas kādā n-dimensiju vektoru telpas bāzē 
Un
tas ir, tie ir arī šīs telpas pamati.
Ja 
- vektora koordinātas bāzē , tad koordinātu attiecības 
Un tiek dota ar lineāru vienādojumu sistēmu (par to mēs runājām iepriekšējā punktā): 
, ko matricas formā var uzrakstīt kā 
Līdzīgi vektoram mēs varam rakstīt 
Iepriekšējās matricas vienādības var apvienot vienā, kas būtībā nosaka divu dažādu bāzu vektoru attiecības 
Līdzīgi mēs varam izteikt visus bāzes vektorus caur pamatu 
:
Definīcija.
Matrica 
sauca pārejas matrica no bāzes uz pamatu , tad vienlīdzība 
Reizinot abas šī vienādojuma puses labajā pusē ar
mēs saņemam 
Atradīsim pārejas matricu, bet nekavēsimies pie apgrieztās matricas atrašanas un matricu reizināšanas (ja nepieciešams, skatiet rakstus un): 
Atliek noskaidrot vektora x koordinātu attiecības dotajās bāzēs.
Lai vektora x pamatā ir koordinātas 
un bāzē vektoram x ir koordinātes , tad 
Tā kā pēdējo divu vienādību kreisās daļas ir vienādas, mēs varam pielīdzināt labās daļas: 
Ja mēs reizinām abas labās puses ar
tad saņemam 
Citā pusē 
(pats atrodiet apgriezto matricu).
Pēdējās divas vienādības dod mums vēlamo vektora x koordinātu attiecību bāzēs un .
Atbilde:
Pārejas matricai no bāzes uz bāzi ir forma 
;
vektora x koordinātas bāzēs un ir saistītas ar relācijām 
vai .
Mēs izskatījām vektoru telpas dimensijas un bāzes jēdzienus, uzzinājām, kā sadalīt vektoru pēc bāzes, un atklājām saikni starp dažādām n-dimensiju vektoru telpas bāzēm, izmantojot pārejas matricu.