Definīcija 7.1. Tiek saukta visu plaknes punktu kopa, kurai attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem F 1 un F 2 ir dota konstante elipse.
Elipses definīcija sniedz šādu veidu, kā to ģeometriski konstruēt. Mēs nofiksējam divus punktus F 1 un F 2 plaknē un apzīmējam nenegatīvu konstanti ar 2a. Lai attālums starp punktiem F 1 un F 2 ir vienāds ar 2c. Iedomājieties, ka, piemēram, punktos F 1 un F 2, izmantojot divas adatas, tiek fiksēts nepaplašināms pavediens ar garumu 2a. Ir skaidrs, ka tas ir iespējams tikai ≥ c. Izstiepjot pavedienu ar zīmuli, novelciet līniju, kas būs elipse (7.1. att.).
Tātad aprakstītā kopa nav tukša, ja a ≥ c. Ja a = c, elipse ir segments ar galiem F 1 un F 2, un c = 0, t.i. ja elipses definīcijā norādītie fiksētie punkti sakrīt, tas ir aplis ar rādiusu a. Atmetot šos deģenerētos gadījumus, mēs parasti pieņemsim, ka a> c> 0.
Fiksētos punktus F 1 un F 2 elipses definīcijā 7.1 (skat. 7.1. att.) sauc elipses perēkļi, attālums starp tiem, kas apzīmēts ar 2c, ir fokusa attālums, un segmenti F 1 M un F 2 M, kas savieno patvaļīgu elipses punktu M ar tā fokusiem, ir fokusa rādiusi.
Elipses formu pilnībā nosaka fokusa attālums | F 1 F 2 | = 2с un parametrs a, un tā atrašanās vieta plaknē ir punktu pāris F 1 un F 2.
No elipses definīcijas izriet, ka tā ir simetriska attiecībā pret taisni, kas iet cauri fokusiem F 1 un F 2, kā arī attiecībā pret taisni, kas sadala segmentu F 1 F 2 uz pusēm un ir perpendikulāra uz to (7.2. att., a). Šīs līnijas sauc elipses asis... To krustošanās punkts O ir elipses simetrijas centrs, un to sauc elipses centrs, un elipses krustpunktus ar simetrijas asīm (7.2. att. punkti A, B, C un D, a) - elipses virsotnes.
Tiek izsaukts numurs a elipses daļēji galvenā ass, un b = √ (a 2 - c 2) ir tā daļēji mazā ass... Ir viegli redzēt, ka c> 0 puslielākā ass a ir vienāda ar attālumu no elipses centra līdz tām virsotnēm, kas atrodas uz vienas ass ar elipses fokusa punktiem (virsotnes A un B 7.2. att., a), un daļēji mazā ass b ir vienāda ar attālumu no centra elipses līdz tās pārējām divām virsotnēm (virsotnēm C un D 7.2. attēlā, a).
Elipses vienādojums. Aplūkosim plaknē kādu elipsi ar fokusiem punktos F 1 un F 2, kas ir galvenā ass 2a. Lai 2c ir fokusa attālums, 2c = | F 1 F 2 |
Izvēlēsimies taisnstūra koordinātu sistēmu Oxy plaknē tā, lai tās izcelsme sakristu ar elipses centru un fokuss būtu uz abscisu ass(7.2. att., b). Šo koordinātu sistēmu sauc kanonisks aplūkotajai elipsei, un atbilstošie mainīgie ir kanonisks.
Izvēlētajā koordinātu sistēmā fokusiem ir koordinātas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Izmantojot formulu attālumam starp punktiem, mēs pierakstām nosacījumu | F 1 M | + | F 2 M | = 2a koordinātēs:
√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Šis vienādojums ir neērts, jo tajā ir divi kvadrātveida radikāļi. Tāpēc mēs to pārveidojam. Pārvietojiet otro radikāli vienādojumā (7.2) uz labo pusi un apzīmējiet to kvadrātā:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Pēc iekavu atvēršanas un līdzīgu terminu samazināšanas mēs iegūstam
√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx
kur ε = c / a. Atkārtojam kvadrātošanas darbību, lai noņemtu arī otro radikāli: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 vai, ņemot vērā ievadītā parametra ε vērtību, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Tā kā a 2 - c 2 = b 2> 0, tad
x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1, a> b> 0. (7.4.)
Vienādojumu (7.4) apmierina visu elipsē esošo punktu koordinātas. Bet, atvasinot šo vienādojumu, tika izmantotas sākotnējā vienādojuma (7.2) neekvivalentas transformācijas - divas kvadrātveida, noņemot kvadrātveida radikāļus. Vienādojuma sadalīšana kvadrātā ir līdzvērtīga transformācija, ja abās pusēs ir vērtības ar vienu un to pašu zīmi, taču mēs to nepārbaudījām savās transformācijās.
Mēs varam nepārbaudīt transformāciju līdzvērtību, ja ņemam vērā sekojošo. Punktu pāris F 1 un F 2, | F 1 F 2 | = 2c, plaknē definē elipsi saimi ar perēkļiem šajos punktos. Katrs plaknes punkts, izņemot nogriežņa F 1 F 2 punktus, pieder pie kādas norādītās saimes elipses. Šajā gadījumā divas elipses nekrustojas, jo fokusa rādiusu summa unikāli nosaka konkrētu elipsi. Tātad aprakstītā elipšu saime bez krustojumiem aptver visu plakni, izņemot segmenta F 1 F 2 punktus. Aplūkosim punktu kopu, kuru koordinātas apmierina vienādojumu (7.4) ar doto parametra a vērtību. Vai šo kopu var sadalīt pa vairākām elipsēm? Daži kopas punkti pieder elipsei ar daļēji galveno asi a. Lai šī kopa satur punktu, kas atrodas uz elipses ar daļēji galveno asi a. Tad šī punkta koordinātas pakļaujas vienādojumam
tie. vienādojumiem (7.4) un (7.5) ir kopīgi risinājumi. Tomēr ir viegli redzēt, ka sistēma
nav risinājumu г ≠ a. Lai to izdarītu, pietiek izslēgt, piemēram, x no pirmā vienādojuma:
kas pēc transformācijām noved pie vienādojuma
kurai nav atrisinājumu г ≠ a, jo. Tātad, (7.4) ir vienādojums elipsei ar puslielo asi a> 0 un daļēji mazo asi b = √ (a 2 - c 2)> 0. To sauc kanoniskais elipses vienādojums.
Elipses skats. Iepriekš aplūkotā elipses konstruēšanas ģeometriskā metode sniedz pietiekamu priekšstatu par elipses izskatu. Bet elipses formu var izpētīt arī ar tās kanoniskā vienādojuma (7.4) palīdzību. Piemēram, pieņemot, ka y ≥ 0, mēs varam izteikt y ar x: y = b√ (1 - x 2 / a 2), un pēc šīs funkcijas izskatīšanas izveidot tās grafiku. Ir vēl viens veids, kā izveidot elipsi. Apli ar rādiusu a, kura centrs atrodas elipses (7.4) kanoniskās koordinātu sistēmas sākumpunktā, apraksta ar vienādojumu x 2 + y 2 = a 2. Ja saspiežam to ar koeficientu a / b> 1 gar ordinātu asis, tad jūs iegūstat līkni, kas aprakstīta ar vienādojumu x 2 + (ya / b) 2 = a 2, tas ir, elipsi.
Piezīme 7.1. Ja tas pats aplis ir saspiests ar a / b attiecību
Elipses ekscentriskums... Elipses fokusa attāluma attiecību pret tās galveno asi sauc elipses ekscentriskums un tiek apzīmēti ar ε. Par doto elipsi
kanoniskais vienādojums (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Ja (7.4) parametri a un b ir saistīti ar nevienādību a
Ja c = 0, kad elipse pārvēršas par apli, un ε = 0. Citos gadījumos 0
Vienādojums (7.3) ir līdzvērtīgs (7.4) vienādojumam, jo vienādojumi (7.4) un (7.2) ir līdzvērtīgi. Tāpēc arī elipses vienādojums ir (7.3). Turklāt sakarība (7.3) ir interesanta ar to, ka tā sniedz vienkāršu, bez radikāļiem formulu garumam |F 2 M | viens no elipses punkta M (x; y) fokusa rādiusiem: | F 2 M | = a + εx.
Līdzīgu formulu otrajam fokusa rādiusam var iegūt no simetrijas apsvērumiem vai atkārtojot aprēķinus, kuros pirmais radikālis tiek pārnests uz labo pusi, nevis otrais, pirms vienādojuma (7.2) kvadrāta. Tātad jebkuram elipses punktam M (x; y) (sk. 7.2. att.)
| F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7.6)
un katrs no šiem vienādojumiem ir elipses vienādojums.
Piemērs 7.1. Atradīsim kanonisko vienādojumu elipsei ar puslielo asi 5 un ekscentricitāti 0,8 un konstruēsim to.
Zinot elipses puslielo asi a = 5 un ekscentricitāti ε = 0,8, atrodam tās pusmazo asi b. Tā kā b = √ (a 2 - c 2) un c = εa = 4, tad b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Tātad kanoniskajam vienādojumam ir forma x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Elipses konstruēšanai ērti uzzīmēt kanoniskās koordinātu sistēmas sākumpunktā centrētu taisnstūri, kura malas ir paralēlas elipses simetrijas asīm un vienādas ar tai atbilstošajām asīm (7.4. att.). . Šis taisnstūris krustojas ar
elipses asis tās virsotnēs A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), un tajā ir ierakstīta pati elipse. attēlā. 7.4, norādīti arī F 1,2 (± 4; 0) elipses perēkļi.
Elipses ģeometriskās īpašības. Mēs pārrakstām pirmo vienādojumu (7.6) kā | F 1 M | = (a / ε - x) ε. Ņemiet vērā, ka lielums a / ε - x a> c ir pozitīvs, jo fokuss F 1 nepieder elipsei. Šī vērtība ir attālums līdz vertikālajai taisnei d: x = a / ε no punkta M (x; y), kas atrodas pa kreisi no šīs taisnes. Elipses vienādojumu var uzrakstīt kā
| F 1 M | / (a / ε - x) = ε
Tas nozīmē, ka šī elipse sastāv no tiem plaknes punktiem M (x; y), kuriem fokusa rādiusa garuma F 1 M attiecība pret attālumu līdz taisnei d ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar ε (att. 7.5).
Taisnei d ir "dvīnis" - vertikālā līnija d ", kas ir simetrisks pret d ap elipses centru, ko iegūst ar vienādojumu x = -a / ε. Attiecībā uz d elipse ir aprakstīta tāpat kā attiecībā uz d. Tiek izsauktas abas rindas d un d elipses virziens... Elipses virzieni ir perpendikulāri elipses simetrijas asij, uz kuras atrodas tās perēkļi, un atrodas attālumā no elipses centra attālumā a / ε = a 2 / c (sk. 7.5. att.).
Tiek saukts attālums p no virziena līdz tuvākajam fokusam elipses fokusa parametrs... Šis parametrs ir
p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c
Elipsei ir vēl viena svarīga ģeometriskā īpašība: fokusa rādiusi F 1 M un F 2 M veido vienādus leņķus ar elipses pieskari punktā M (7.6. att.).
Šim īpašumam ir skaidra fiziska nozīme. Ja gaismas avots tiek novietots fokusā F 1, tad no šī fokusa izplūstošais stars pēc atstarošanas no elipses iet pa otro fokusa rādiusu, jo pēc atstarošanas tas būs tādā pašā leņķī pret līkni kā pirms atstarošanas. Tādējādi visi stari, kas iziet no fokusa F 1, tiks koncentrēti otrajā fokusā F 2 un otrādi. Pamatojoties uz šo interpretāciju, tiek izsaukts norādītais īpašums elipses optiskā īpašība.
11.1. Pamatjēdzieni
Apsveriet līnijas, kas noteiktas ar otrās pakāpes vienādojumiem attiecībā pret pašreizējām koordinātām
Vienādojuma koeficienti ir reāli skaitļi, bet vismaz viens no skaitļiem A, B vai C nav nulle. Šādas līnijas sauc par otrās kārtas līnijām (līknēm). Tālāk tiks noteikts, ka vienādojums (11.1) definē apli, elipsi, hiperbolu vai parabolu plaknē. Pirms turpināt šo apgalvojumu, izpētīsim uzskaitīto līkņu īpašības.
11.2. Aplis
Vienkāršākā otrās kārtas līkne ir aplis. Atgādinām, ka aplis ar rādiusu R, kura centrs ir punktā, ir visu plaknes punktu Μ kopa, kas atbilst nosacījumam. Pieņemsim, ka punktam taisnstūra koordinātu sistēmā ir koordinātes x 0, y 0 un - patvaļīgs riņķa punkts (skat. 48. att.).
Tad no nosacījuma iegūstam vienādojumu
(11.2)
Vienādojumu (11.2) apmierina jebkura dotā riņķa punkta koordinātas un neapmierina jebkura punkta, kas neatrodas uz apļa, koordinātas.
Tiek izsaukts vienādojums (11.2). apļa kanoniskais vienādojums
Konkrēti, uzstādot un, mēs iegūstam apļa vienādojumu, kura centrs ir sākuma punktā 
.
Apļa vienādojums (11.2) pēc vienkāršām pārvērtībām iegūs formu. Salīdzinot šo vienādojumu ar otrās kārtas līknes vispārējo vienādojumu (11.1), ir viegli redzēt, ka apļa vienādojumam ir izpildīti divi nosacījumi:
1) koeficienti pie x 2 un y 2 ir vienādi;
2) nav termina, kas satur pašreizējo koordinātu reizinājumu xy.
Apsveriet apgriezto problēmu. Ievietojot vērtības un vienādojumā (11.1), mēs iegūstam
Pārveidosim šo vienādojumu:
(11.4)
No tā izriet, ka vienādojums (11.3) definē apli saskaņā ar nosacījumu 
... Tās centrs atrodas punktā 
un rādiuss
.
Ja 
, tad vienādojumam (11.3) ir forma
.
Tas ir apmierināts ar viena punkta koordinātām 
... Šajā gadījumā viņi saka: “aplis ir deģenerējies par punktu” (tam ir nulles rādiuss).
Ja 
, tad vienādojums (11.4) un līdz ar to arī ekvivalentais vienādojums (11.3) nedefinēs nevienu līniju, jo vienādojuma (11.4) labā puse ir negatīva, bet kreisā nav negatīva (teiksim: “iedomātais aplis”).
11.3. Elipse
Kanoniskais elipses vienādojums
Elipse sauc par visu plaknes punktu kopu, kuru attālumu summa no katra no tiem līdz diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, saukta triki , pastāv nemainīga vērtība, kas ir lielāka par attālumu starp fokusiem.
Mēs apzīmējam fokusus ar F 1 un F 2, attālums starp tiem 2 c, un attālumu summa no patvaļīga elipses punkta līdz fokusam - pēc 2 a(skat. 49. att.). Pēc definīcijas 2 a > 2c, t.i. a
> c.
Lai atvasinātu elipses vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu, lai fokuss F 1 un F 2 atrodas uz ass, un izcelsme sakrita ar segmenta viduspunktu F 1 F 2... Tad fokusiem būs šādas koordinātas: un.
Ļaut būt patvaļīgs elipses punkts. Tad saskaņā ar elipses definīciju, t.i.
Tas būtībā ir elipses vienādojums.
Mēs pārveidojam vienādojumu (11.5) uz vienkāršāku formu šādi:
Jo a>ar, tad. Mēs liekam
(11.6)
Tad pēdējais vienādojums iegūst formu vai
(11.7)
Var pierādīt, ka vienādojums (11.7) ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam. To sauc kanoniskais elipses vienādojums .
Elipse ir otrās kārtas līkne.
Elipses formas izpēte pēc vienādojuma
Noteiksim elipses formu, izmantojot tās kanonisko vienādojumu.
1. Vienādojums (11.7) satur x un y tikai pāra pakāpēs, tāpēc, ja punkts pieder elipsei, tad tai pieder arī punkti ,,. No tā izriet, ka elipse ir simetriska pret asīm un, kā arī par punktu, ko sauc par elipses centru.
2. Atrodiet elipses krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Liekot, atrodam divus punktus un, kuros ass krustojas ar elipsi (skat. 50. att.). Ievietojot vienādojumu (11.7), atrodam elipses krustošanās punktus ar asi: un. Punkti A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 tiek saukti elipses virsotnes... Segmenti A 1 A 2 un B 1 B 2, kā arī to garumi 2 a un 2 b tiek attiecīgi nosaukti lielas un mazas asis elipse. Skaitļi a un b tiek saukti attiecīgi par lieliem un maziem puscirvji elipse.
3. No (11.7) vienādojuma izriet, ka katrs vārds kreisajā pusē nepārsniedz vienību, t.i. nevienlīdzības un vai un. Tāpēc visi elipses punkti atrodas taisnstūra iekšpusē, ko veido taisnas līnijas.
4. (11.7) vienādojumā nenegatīvu vārdu summa un ir vienāda ar vienu. Līdz ar to, pieaugot vienam termiņam, otrs samazināsies, tas ir, ja palielinās, tad samazinās un otrādi.
No teiktā izriet, ka elipsei ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 50 (ovāla slēgta līkne).
Uzziniet vairāk par elipsi
Elipses forma ir atkarīga no attiecības. Kad elipse pārvēršas par apli, elipses vienādojums (11.7) iegūst formu. Attiecību bieži izmanto kā elipses formas raksturlielumu. Puses attāluma starp fokusiem un elipses daļēji galveno asi attiecību sauc par elipses ekscentriskumu, un o6o apzīmē ar burtu ε ("epsilon"):
un 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
No tā var redzēt, ka jo mazāka elipses ekscentriskums, jo mazāk saplacināta elipse; ja liekam ε = 0, tad elipse pārvēršas par riņķi.
Pieņemsim, ka M (x; y) ir patvaļīgs elipses punkts ar fokusiem F 1 un F 2 (skat. 51. att.). Nogriežņu garumus F 1 M = r 1 un F 2 M = r 2 sauc par punkta Μ fokusa rādiusiem. Acīmredzot
Derīgas ir šādas formulas
Tiek sauktas taisnas līnijas
Teorēma 11.1. Ja ir attālums no patvaļīga elipses punkta līdz kādam fokusam, d ir attālums no tā paša punkta līdz virzienam, kas atbilst šim fokusam, tad attiecība ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar elipses ekscentriskumu:
No vienlīdzības (11.6) izriet, ka. Ja tomēr, tad vienādojums (11.7) definē elipsi, kuras galvenā ass atrodas uz Oy ass, bet mazā ass uz Ox ass (skat. 52. att.). Šādas elipses perēkļi atrodas punktos un kur 
.
11.4. Hiperbola
Kanoniskais hiperbolas vienādojums
Hiperbola tiek saukta visu plaknes punktu kopa, kuras modulis ir starpības starp attālumiem no katra no tiem līdz diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, ko sauc. triki , pastāv nemainīga vērtība, kas ir mazāka par attālumu starp fokusiem.
Mēs apzīmējam fokusus ar F 1 un F 2 attālums starp tiem cauri 2c, un starpības modulis starp attālumiem no katra hiperbolas punkta līdz fokusam cauri 2a... A-prior 2a < 2c, t.i. a < c.
Lai iegūtu hiperbolas vienādojumu, mēs izvēlamies koordinātu sistēmu, lai fokuss F 1 un F 2 atrodas uz ass, un izcelsme sakrita ar segmenta viduspunktu F 1 F 2(skat. 53. att.). Tad perēkļiem būs koordinātes un
Ļaut ir patvaļīgs hiperbolas punkts. Tad saskaņā ar hiperbolas definīciju 
vai, tas ir. Pēc vienkāršošanas, kā tas tika darīts, atvasinot elipses vienādojumu, mēs iegūstam
kanoniskais hiperbolas vienādojums
(11.9)
(11.10)
Hiperbola ir otrās kārtas līnija.
Hiperbolas formas izpēte pēc tās vienādojuma
Noteiksim hiperbolas formu, izmantojot tās kakonisko vienādojumu.
1. Vienādojums (11.9) satur x un y tikai pāra pakāpēs. Līdz ar to hiperbola ir simetriska pret asīm un, kā arī par punktu, ko sauc hiperbolas centrs.
2. Atrodiet hiperbolas krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Ievietojot vienādojumu (11.9), mēs atrodam divus hiperbolas krustošanās punktus ar asi: un. Ieliekot (11.9), iegūstam to, kas nevar būt. Līdz ar to hiperbola nekrustojas ar Oy asi.
Punkti un tiek saukti virsotnes hiperbola un segments
reālā ass , sadaļa - īsta pusass hiperbola.
Tiek saukts segments, kas savieno punktus iedomātā ass , numurs b - iedomātā pusass ... Taisnstūris ar malām 2a un 2b sauca galvenais hiperbolas taisnstūris .
3. No (11.9) vienādojuma izriet, ka samazināmā vērtība nav mazāka par vienu, tas ir, ka vai. Tas nozīmē, ka hiperbolas punkti atrodas pa labi no taisnes (hiperbolas labais atzars) un pa kreisi no taisnes (hiperbolas kreisais atzars).
4. No hiperbolas vienādojuma (11.9) redzams, ka, palielinoties, tad arī palielinās. Tas izriet no fakta, ka starpība paliek nemainīga, vienāda ar vienu.
No teiktā izriet, ka hiperbolai ir 54. attēlā parādītā forma (līkne, kas sastāv no diviem neierobežotiem zariem).
Hiperbolas asimptotes
Līniju L sauc par asimptotu 
neierobežota līkne K, ja attālumam d no līknes K punkta M līdz šai taisnei ir tendence uz nulli punkta M neierobežotā attālumā pa līkni K no sākuma. 55. attēlā parādīts asimptotes jēdziens: līnija L ir līknes K asimptote.
Parādīsim, ka hiperbolai ir divi asimptoti:
(11.11)
Tā kā taisnes (11.11) un hiperbola (11.9) ir simetriskas attiecībā pret koordinātu asīm, pietiek ņemt vērā tikai tos norādīto līniju punktus, kas atrodas pirmajā ceturksnī.
Paņemiet punktu N uz taisnes ar tādu pašu abscisu x kā punktu uz hiperbolas 
(skat. 56. att.), un atrodiet atšķirību ΜΝ starp taisnes ordinātām un hiperbolas atzaru:
Kā redzat, x pieaugot, daļskaitļa saucējs palielinās; skaitītājs ir konstante. Tāpēc segmenta garums 
ΜΝ ir tendence uz nulli. Tā kā ΜΝ ir lielāks par attālumu d no punkta Μ līdz taisnei, tad d vēl vairāk tiecas uz nulli. Tātad taisnās līnijas ir hiperbolas (11.9) asimptoti.
Konstruējot hiperbolu (11.9), vēlams vispirms konstruēt hiperbolas galveno taisnstūri (skat. 57. att.), novilkt taisnas līnijas, kas iet caur šī taisnstūra pretējām virsotnēm - hiperbolas asimptotes, un atzīmēt virsotnes un. , hiperbolas.
Vienādmalu hiperbolas vienādojums.
kuru asimptoti ir koordinātu asis
Hiperbolu (11.9) sauc par vienādmalu, ja tās pusasis ir vienādas (). Viņas kanoniskais vienādojums
(11.12)
Vienādmalu hiperbolas asimptotiem ir vienādojumi, un tāpēc tie ir koordinātu leņķu bisektrise.
Aplūkosim šīs hiperbolas vienādojumu jaunā koordinātu sistēmā (skat. 58. att.), kas iegūta no vecās, pagriežot koordinātu asis par leņķi. Mēs izmantojam formulas koordinātu asu pagriešanai:
Aizstājiet x un y vērtības vienādojumā (11.12):
Vienādmalu hiperbolas vienādojumam, kuram asis Ox un Oy ir asimptotes, būs forma.
Uzziniet vairāk par hiperbolu
Ekscentriskums hiperbolu (11.9) sauc par attāluma starp perēkļiem attiecību pret hiperbolas reālās ass lielumu, ko apzīmē ar ε:
Tā kā hiperbolai hiperbolas ekscentricitāte ir lielāka par vienu:. Ekscentriskums raksturo hiperbolas formu. Patiešām, no vienlīdzības (11.10.) izriet, ka tas ir, un 
.
Tādējādi var redzēt, ka jo zemāka ir hiperbolas ekscentricitāte, jo zemāka ir tās pusasu attiecība un līdz ar to, jo garāks ir tās galvenais taisnstūris.
Vienādmalu hiperbolas ekscentriskums ir. Tiešām,
Fokālais rādiuss 
un 
labā zara punktiem hiperbolām ir forma un, bet kreisajam zaram, 
un 
.
Taisnās līnijas sauc par hiperbolas virzieniem. Tā kā hiperbolai ε> 1, tad. Tas nozīmē, ka labais virziens atrodas starp hiperbolas centru un labo virsotni, bet kreisais atrodas starp centru un kreiso virsotni.
Hiperbolu virzieniem ir tāda pati īpašība kā elipses virzieniem.
Ar vienādojumu definētā līkne ir arī hiperbola, kuras reālā ass 2b atrodas uz Oy ass, bet iedomātā ass 2 a- uz Vērša ass. 59. attēlā tas parādīts ar punktētu līniju.
Ir acīmredzams, ka hiperbolām un tām ir kopīgas asimptotes. Šādas hiperbolas sauc par konjugātiem.
11.5. Parabola
Kanoniskais parabolas vienādojums
Parabola ir visu plaknes punktu kopa, no kuriem katrs atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par fokusu, un noteiktas taisnes, ko sauc par virzienu. Attālumu no fokusa F līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p (p> 0).
Lai iegūtu parabolas vienādojumu, mēs izvēlamies Oxy koordinātu sistēmu tā, lai Ox ass iet caur fokusu F perpendikulāri virzienam virzienā no virziena uz F, un koordinātu sākumpunkts O atrodas vidū starp fokusu un virziens (sk. 60. att.). Atlasītajā sistēmā fokusam F ir koordinātas, un virziena vienādojumam ir forma vai.
1. (11.13) vienādojumā mainīgais y iekļauts pāra pakāpē, kas nozīmē, ka parabola ir simetriska ap Vērša asi; Vērša ass ir parabolas simetrijas ass.
2. Tā kā ρ> 0, no (11.13) izriet, ka. Līdz ar to parabola atrodas pa labi no Oy ass.
3. Jo mums ir y = 0. Līdz ar to parabola iet caur izcelsmi.
4. Pieaugot x bezgalīgi, arī modulis y bezgalīgi palielinās. Parabolai ir tāda forma (forma), kas parādīta 61. attēlā. Punktu O (0; 0) sauc par parabolas virsotni, segmentu FM = r sauc par punkta M fokusa rādiusu.
Vienādojumi,, ( p> 0) definē arī parabolas, tās parādītas 62. attēlā
Ir viegli parādīt, ka kvadrātveida trinoma grafiks, kur B un C ir jebkuri reāli skaitļi, ir parabola tās definīcijas izpratnē.
11.6. Otrās kārtas līniju vispārīgais vienādojums
Otrās kārtas līkņu vienādojumi ar simetrijas asīm, kas ir paralēlas koordinātu asīm
Vispirms atradīsim vienādojumu elipsei, kuras centrā ir punkts, kura simetrijas asis ir paralēlas koordinātu asīm Ox un Oy, un pusass ir attiecīgi vienādas a un b... Elipses O 1 centrā ievietojam jaunās koordinātu sistēmas sākumpunktu, kuras asis un pusasis a un b(skat. 64. att.):
Visbeidzot, 65. attēlā parādītajām parabolām ir atbilstoši vienādojumi.
Vienādojums
Elipses, hiperbolas, parabolas vienādojumus un apļa vienādojumu pēc pārveidojumiem (atvērt iekavas, pārvietot visus vienādojuma nosacījumus vienā virzienā, atnest līdzīgus terminus, ieviest jaunus koeficientu apzīmējumus) var uzrakstīt, izmantojot vienu formas vienādojums
kur koeficienti A un C vienlaikus nav vienādi ar nulli.
Rodas jautājums: vai kāds formas (11.14) vienādojums nosaka kādu no otrās kārtas līknēm (aplis, elipse, hiperbola, parabola)? Atbildi sniedz šāda teorēma.
Teorēma 11.2... Vienādojums (11.14) vienmēr definē: vai nu apli (ja A = C), vai elipsi (ja A C> 0), vai hiperbolu (ja A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Vispārējais otrās kārtas vienādojums
Apsveriet tagad vispārējo otrās pakāpes vienādojumu ar diviem nezināmiem:
Tas atšķiras no vienādojuma (11.14) ar termina klātbūtni ar koordinātu reizinājumu (B¹ 0). Ir iespējams, pagriežot koordinātu asis pa leņķi a, šo vienādojumu pārveidot tā, lai tajā nebūtu neviena vārda ar koordinātu reizinājumu.
Izmantojot asu rotācijas formulas
mēs izsakām vecās koordinātas ar jaunajām:
Izvēlēsimies leņķi a tā, lai koeficients pie x "· y" izzustu, tas ir, lai vienādība
Tādējādi, pagriežot asis pa leņķi a, izpildot nosacījumu (11.17), vienādojums (11.15) tiek reducēts uz vienādojumu (11.14).
Izvade: vispārīgais otrās kārtas vienādojums (11.15) definē šādas līknes uz plaknes (izņemot deģenerācijas un sabrukšanas gadījumus): aplis, elipse, hiperbola, parabola.
Piezīme: Ja A = C, tad vienādojums (11.17) zaudē savu nozīmi. Šajā gadījumā cos2α = 0 (sk. (11.16)), tad 2α = 90 °, t.i., α = 45 °. Tātad, ja A = C, koordinātu sistēma jāpagriež par 45 °.
Elipse ir plaknes punktu lokuss, kura attālumu summa no katra līdz diviem dotajiem punktiem F_1, un F_2 ir nemainīga vērtība (2a), kas ir lielāka par attālumu (2c) starp šiem dotajiem punktiem (3.36. attēls). a). Šī ģeometriskā definīcija izsaka fokālās elipses īpašība.
Elipses fokusa īpašība
Punktus F_1 un F_2 sauc par elipses fokusa punktiem, attālums starp tiem ir 2c = F_1F_2 - fokusa attālums, segmenta vidus O F_1F_2 - elipses centrs, skaitlis 2a - galvenās daļas garums. elipses ass (attiecīgi skaitlis a - elipses puslielā ass). Nogriežņus F_1M un F_2M, kas savieno patvaļīgu elipses punktu M ar tā fokusiem, sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Nozaru, kas savieno divus elipses punktus, sauc par elipses hordu.
Attiecību e = \ frac (c) (a) sauc par elipses ekscentriskumu. No definīcijas (2a> 2c) izriet, ka 0 \ leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Elipses ģeometriskā definīcija, kas izsaka tās fokusa īpašību, ir līdzvērtīga tās analītiskajai definīcijai - taisnei, ko nosaka elipses kanoniskais vienādojums:
Patiešām, mēs ieviešam taisnstūra koordinātu sistēmu (3.36. Attēls, c). Elipses centrs O tiek ņemts par koordinātu sistēmas sākumpunktu; taisne, kas iet caur fokusu (fokusa asi vai elipses pirmā ass), tiek ņemta par abscisu asi (pozitīvais virziens uz tās no punkta F_1 uz punktu F_2); taisne, kas ir perpendikulāra fokusa asij un iet caur elipses centru (otrā elipses asi), tiek ņemta par ordinātu (virziens uz ordinātas ir izvēlēts tā, lai taisnstūra koordinātu sistēma Oxy būtu pareiza).
Sastādām elipses vienādojumu, izmantojot tās ģeometrisko definīciju, kas izsaka fokusa īpašību. Izvēlētajā koordinātu sistēmā nosakiet fokusu koordinātas F_1 (-c, 0), ~ F_2 (c, 0)... Patvaļīgam punktam M (x, y), kas pieder elipsei, mums ir:
\ vline \, \ overrightarrow (F_1M) \, \ vline \, + \ vline \, \ overrightarrow (F_2M) \, \ vline \, = 2a.
Ierakstot šo vienādību koordinātu formā, mēs iegūstam:
\ sqrt ((x + c) ^ 2 + y ^ 2) + \ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = 2a.
Mēs pārvietojam otro radikāli uz labo pusi, kvadrātā abas vienādojuma puses un dodam līdzīgus terminus:
(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a \ sqrt ((xc) ^ 2 + y ^ 2) + (xc) ^ 2 + y ^ 2 ~ \ bultiņa pa kreisi ~ 4a \ sqrt ((xc) ) ^ 2 + y ^ 2) = 4a ^ 2-4 cx.
Dalot ar 4, mēs vienādojuma abas puses kvadrātā:
a ^ 2 (xc) ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 4-2a ^ 2cx + c ^ 2x ^ 2 ~ \ bultiņa pa kreisi ~ (a ^ 2-c ^ 2) ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2).
Iezīmējot b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2)> 0, saņemam b ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2b ^ 2... Sadalot abas puses ar ^ 2b ^ 2 \ ne0, mēs nonākam pie elipses kanoniskā vienādojuma:
\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1.
Tāpēc izvēlētā koordinātu sistēma ir kanoniska.
Ja elipses perēkļi sakrīt, tad elipse ir aplis (3.36.6. attēls), jo a = b. Šajā gadījumā jebkura taisnstūra koordinātu sistēma ar sākuma punktu punktā būs kanoniska O \ ekvivalents F_1 \ ekvivalents F_2, vienādojums x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ir vienādojums aplim, kura centrs ir O un rādiuss a.
Veicot spriešanu apgrieztā secībā, var parādīt, ka visi punkti, kuru koordinātes atbilst (3.49) vienādojumam, un tikai tie pieder punktu lokusam, ko sauc par elipsi. Citiem vārdiem sakot, elipses analītiskā definīcija ir līdzvērtīga tās ģeometriskajai definīcijai, kas izsaka elipses fokusa īpašību.
Elipses direktorija īpašums
Elipses virziens ir divas taisnes, kas iet paralēli kanoniskās koordinātu sistēmas ordinātu asij tādā pašā attālumā \ frac (a ^ 2) (c) no tās. Ja c = 0, kad elipse ir aplis, virzienu nav (var pieņemt, ka virzieni atrodas bezgalīgi tālu).
Elipse ar ekscentricitāti 0
Patiešām, piemēram, fokusam F_2 un virzienam d_2 (3.37.6. att.), nosacījums \ frac (r_2) (\ rho_2) = e var rakstīt koordinātu formā:
\ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = e \ cdot \! \ pa kreisi (\ frac (a ^ 2) (c) -x \ pa labi)
Atbrīvošanās no iracionalitātes un aizstāšana e = \ frac (c) (a), ~ a ^ 2-c ^ 2 = b ^ 2, mēs nonākam pie elipses (3.49) kanoniskā vienādojuma. Līdzīgu argumentāciju var veikt fokusam F_1 un virzienam d_1 \ colon \ frac (r_1) (\ rho_1) = e.
Elipses vienādojums polāro koordinātu sistēmā
Elipses vienādojumam polārajā koordinātu sistēmā F_1r \ varphi (3.37. att., c un 3.37 (2)) ir forma
r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)
kur p = \ frac (b ^ 2) (a) ir elipses fokusa parametrs.
Patiešām, par polāro koordinātu sistēmas polu izvēlēsimies elipses kreiso fokusu F_1, bet par polāro asi – staru F_1F_2 (3.37. attēls, c). Tad patvaļīgam punktam M (r, \ varphi) saskaņā ar elipses ģeometrisko definīciju (fokusa īpašību) mums ir r + MF_2 = 2a. Mēs izsakām attālumu starp punktiem M (r, \ varphi) un F_2 (2c, 0) (sk.):
\ sākums (līdzināts) F_2M & = \ sqrt ((2c) ^ 2 + r ^ 2-2 \ cdot (2c) \ cdot r \ cos (\ varphi-0)) = \\ & = \ sqrt (r ^ 2 - 4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2). \ Beigas (līdzināts)
Tāpēc koordinātu formā elipses vienādojumam F_1M + F_2M = 2a ir forma
r + \ sqrt (r ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2) = 2 \ cdot a.
Mēs izdalām radikāli, kvadrātā abas vienādojuma puses, dalām ar 4 un dodam līdzīgus terminus:
r ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2 ~ \ bultiņa pa kreisi ~ a \ cdot \! \ kreisi (1- \ frac (c) (a) \ cdot \ cos \ varphi \ right) \! \ cdot r = a ^ 2-c ^ 2.
Izsakiet polāro rādiusu r un nomainiet e = \ frac (c) (a), ~ b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2, ~ p = \ frac (b ^ 2) (a):
r = \ frac (a ^ 2-c ^ 2) (a \ cdot (1-e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Leftright bultiņa \ quad r = \ frac (b ^ 2) (a \ cdot (1) -e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Leftright bultiņa \ quad r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),
Q.E.D.
Koeficientu ģeometriskā nozīme elipses vienādojumā
Atradīsim elipses (sk. 3.37. att., a) krustpunktus ar koordinātu asīm (zllipses virsotnēm). Aizvietojot vienādojumā y = 0, mēs atrodam elipses krustošanās punktus ar abscisu asi (ar fokusa asi): x = \ pm a. Tāpēc elipsē ietvertā fokusa ass segmenta garums ir 2a. Šo segmentu, kā minēts iepriekš, sauc par elipses galveno asi, un skaitli a sauc par elipses galveno asi. Aizvietojot x = 0, mēs iegūstam y = \ pm b. Tāpēc elipses otrās ass segmenta garums, kas atrodas elipsē, ir vienāds ar 2b. Šo segmentu sauc par elipses mazo asi, un skaitli b sauc par elipses mazo asi.
Tiešām, b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2) \ leqslant \ sqrt (a ^ 2) = a, un vienādība b = a tiek iegūta tikai tad, ja c = 0, kad elipse ir aplis. Attieksme k = \ frac (b) (a) \ leqslant1 sauc par elipses saspiešanas pakāpi.
Piezīmes 3.9
1. Taisnes x = \ pm a, ~ y = \ pm b ierobežo koordinātu plaknē galveno taisnstūri, kura iekšpusē atrodas elipse (sk. 3.37. att., a).
2. Elipsi var definēt kā punktu lokuss, kas iegūts, saspiežot apli līdz tā diametram.
Patiešām, pieņemsim, ka taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy apļa vienādojumam ir forma x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2. Saspiežot uz abscisu asi ar koeficientu 0 \ sākums (gadījumi) x "= x, \\ y" = k \ cdot y. \ end (gadījumi) Apļa vienādojumā aizstājot x = x "un y = \ frac (1) (k) y", iegūstam vienādojumu punkta M (x) attēla koordinātām M "(x", y ") , y): (x ") ^ 2 + (\ kreisi (\ frac (1) (k) \ cdot y" \ pa labi) \^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} jo b = k \ cdot a. Šis ir elipses kanoniskais vienādojums. 3. Koordinātu asis (kanoniskā koordinātu sistēma) ir elipses simetrijas asis (sauktas par elipses galvenajām asīm), un tās centrs ir simetrijas centrs. Patiešām, ja punkts M (x, y) pieder elipsei. tad pie vienas elipses pieder arī punkti M "(x, -y) un M" "(- x, y), kas ir simetriski punktam M attiecībā pret koordinātu asīm. 4. No elipses vienādojuma polāro koordinātu sistēmā r = \ frac (p) (1-e \ cos \ varphi)(sk. 3.37. attēlu, c), tiek precizēta fokusa parametra ģeometriskā nozīme - tā ir puse no elipses horda garuma, kas iet caur tās fokusu perpendikulāri fokusa asij (r = p at \ varphi = \ frac (\ pi) (2)). 5. Ekscentriskums e raksturo elipses formu, proti, atšķirību starp elipsi un apli. Jo vairāk e, jo izstieptāka ir elipse, un jo tuvāk e ir nullei, jo tuvāk elipse atrodas aplim (3.38. attēls, a). Patiešām, ņemot vērā, ka e = \ frac (c) (a) un c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2, mēs iegūstam e ^ 2 = \ frac (c ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2) = 1 - (\ pa kreisi (\ frac (a) (b) \ pa labi ) \^2=1-k^2,
!} kur k ir elipses saspiešanas pakāpe, 0 6. Vienādojums \ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1 pie a 7. Vienādojums \ frac ((x-x_0) ^ 2) (a ^ 2) + \ frac ((y-y_0) ^ 2) (b ^ 2) = 1, ~ a \ geqslant b definē elipsi, kas centrēta punktā O "(x_0, y_0), kuras asis ir paralēlas koordinātu asīm (3.38. att., c). Šis vienādojums tiek reducēts uz kanonisko, izmantojot paralēlo tulkošanu (3.36). Ja a = b = R vienādojums (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = R ^ 2 apraksta apli ar rādiusu R, kura centrs ir punktā O "(x_0, y_0). Parametriskā elipses vienādojums kanoniskajā koordinātu sistēmā ir forma \ sākums (gadījumi) x = a \ cdot \ cos (t), \\ y = b \ cdot \ sin (t), \ beigas (gadījumi) 0 \ leqslant t<2\pi.
Patiešām, aizstājot šīs izteiksmes vienādojumā (3.49), mēs nonākam pie galvenās trigonometriskās identitātes \ cos ^ 2t + \ sin ^ 2t = 1. Piemērs 3.20. Uzzīmējiet elipsi \ frac (x ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 kanoniskajā koordinātu sistēmā Oxy. Atrodiet pusass, fokusa attālumu, ekscentriskumu, saspiešanas pakāpi, fokusa parametru, virziena vienādojumus. Risinājums. Salīdzinot doto vienādojumu ar kanonisko, nosakām pusass: a = 2 - puslielā ass, b = 1 - elipses pussīvā ass. Mēs veidojam galveno taisnstūri ar malām 2a = 4, ~ 2b = 2, kas centrētas sākuma punktā (3.39. attēls). Ņemot vērā elipses simetriju, mēs to ievietojam galvenajā taisnstūrī. Ja nepieciešams, nosakiet dažu elipses punktu koordinātas. Piemēram, elipses vienādojumā aizstājot x = 1, mēs iegūstam \ frac (1 ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 \ ceturtdaļa \ Kreisā labā bultiņa \ quad y ^ 2 = \ frac (3) (4) \ četrinieks \ Kreisā labā bultiņa \ quad y = \ pm \ frac (\ sqrt (3)) (2). Tāpēc punkti ar koordinātām \ pa kreisi (1; \, \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ right) \ !, ~ \ left (1; \, - \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ right)- pieder elipsei. Aprēķiniet saspiešanas pakāpi k = \ frac (b) (a) = \ frac (1) (2); fokusa attālums 2c = 2 \ sqrt (a ^ 2-b ^ 2) = 2 \ sqrt (2 ^ 2-1 ^ 2) = 2 \ sqrt (3); ekscentriskums e = \ frac (c) (a) = \ frac (\ sqrt (3)) (2); fokusa parametrs p = \ frac (b ^ 2) (a) = \ frac (1 ^ 2) (2) = \ frac (1) (2)... Mēs veidojam virziena vienādojumus: x = \ pm \ frac (a ^ 2) (c) ~ \ bultiņa pa kreisi ~ x = \ pm \ frac (4) (\ sqrt (3)). Lekcijas par algebru un ģeometriju. 1. semestris. Lekcija 15. Elipse. Nodaļa 15. Elipse. 1. punkts. Pamatdefinīcijas. Definīcija. Elipsi sauc par plaknes GMT, kuras attālumu summa līdz diviem fiksētiem plaknes punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība. Definīcija. Attālumu no plaknes patvaļīga punkta M līdz elipses fokusam sauc par punkta M fokusa rādiusu. Leģenda: Pēc elipses definīcijas punkts M ir elipses punkts tad un tikai tad ievērojiet, tas Pēc elipses definīcijas tās perēkļi ir fiksēti punkti, tāpēc attālums starp tiem ir arī nemainīga vērtība konkrētai elipsei. Definīcija. Attālumu starp elipses fokusiem sauc par fokusa attālumu. Apzīmējums: Ārpus trīsstūra Ar b apzīmē skaitli, kas vienāds ar Definīcija. Attieksme sauc par elipses ekscentriskumu. Ieviesīsim šajā plaknē koordinātu sistēmu, ko elipsei sauksim par kanonisku. Definīcija. Asi, uz kuras atrodas elipses perēkļi, sauc par fokusa asi. Konstruēsim elipsei kanonisko PDSC, skat. 2. att.. Mēs izvēlamies fokusa asi kā abscisu asi un novelkam ordinātu asi caur segmenta vidu Tad fokusiem ir koordinātas 2. punkts. Elipses kanoniskais vienādojums. Teorēma. Elipses kanoniskajā koordinātu sistēmā elipses vienādojumam ir šāda forma: Pierādījums. Mēs veicam pierādīšanu divos posmos. Pirmajā posmā mēs pierādīsim, ka jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz elipses, atbilst (4) vienādojumam. Otrajā posmā pierādīsim, ka jebkurš (4) vienādojuma atrisinājums dod uz elipses esošā punkta koordinātas. No tā izriet, ka vienādojumu (4) apmierina tie un tikai tie koordinātu plaknes punkti, kas atrodas uz elipses. No tā un no līknes vienādojuma definīcijas izriet, ka (4) vienādojums ir elipses vienādojums. 1) Pieņemsim, ka punkts M (x, y) ir elipses punkts, t.i. tā fokusa rādiusu summa ir 2a: Mēs izmantosim formulu attālumam starp diviem punktiem koordinātu plaknē un izmantosim šo formulu, lai atrastu dotā punkta M fokusa rādiusus: Pārvietosim vienu sakni uz vienādības labo pusi un kvadrātā: Samazinot, mēs iegūstam: Mēs dodam līdzīgus, samazinām tos par 4 un izdalām radikāli: Kvadrātēšana Izvērsiet iekavas un saīsiniet līdz no kurienes mēs iegūstam: Izmantojot vienādību (2), mēs iegūstam: Pēdējo vienādību dalot ar 2) Tagad lai skaitļu pāris (x, y) apmierina vienādojumu (4) un lai M (x, y) ir atbilstošais punkts koordinātu plaknē Oxy. Tad no (4) izriet: Mēs aizstājam šo vienādību punkta M fokusa rādiusu izteiksmē: Šeit mēs esam izmantojuši vienādību (2) un (3). Tādējādi Tagad ņemiet vērā, ka vienlīdzība (4) to nozīmē No tā savukārt izriet, ka No vienādībām (5) izriet, ka Teorēma ir pierādīta. Definīcija. Vienādojumu (4) sauc par elipses kanonisko vienādojumu. Definīcija. Elipses kanoniskās koordinātu asis sauc par elipses galvenajām asīm. Definīcija. Elipses kanoniskās koordinātu sistēmas izcelsmi sauc par elipses centru. 3. lpp. Elipses īpašības. Teorēma. (Elipses īpašības.) 1. Elipses kanoniskajā koordinātu sistēmā visas elipses punkti atrodas taisnstūrī 2. Punkti atrodas uz 3. Elipse ir līkne, kas ir simetriska attiecībā pret to galvenās asis. 4. Elipses centrs ir tās simetrijas centrs. Pierādījums. 1, 2) Tūlīt izriet no elipses kanoniskā vienādojuma. 3, 4) M (x, y) ir elipses patvaļīgs punkts. Tad tā koordinātas atbilst (4) vienādojumam. Bet tad arī punktu koordinātas izpilda vienādojumu (4), un tāpēc tie ir elipses punkti, no kurienes izriet teorēmas apgalvojumi. Teorēma ir pierādīta. Definīcija. Lielumu 2a sauc par elipses galveno asi, lielumu a sauc par elipses puslielo asi. Definīcija. Lielumu 2b sauc par elipses mazo asi, lielumu b sauc par elipses mazo asi. Definīcija. Elipses krustpunktus ar tās galvenajām asīm sauc par elipses virsotnēm. komentēt. Elipsi var izveidot šādi. Lidmašīnā ieejiet trikos "mēs āmuru gar naglu" un piestipriniet uz tiem garuma pavedienu No ekscentriskuma definīcijas izriet, ka Piefiksēsim skaitli a un ļaujiet ciparam c būt nullei. Tad plkst Pacentīsimies tagad 4. punkts. Elipses parametriskie vienādojumi. Teorēma. Ļaujiet būt ir elipses parametriskie vienādojumi elipsei kanoniskajā koordinātu sistēmā. Pierādījums. Pietiek pierādīt, ka (6) vienādojumu sistēma ir līdzvērtīga (4) vienādojumam, t.i. tiem ir vienāds risinājumu kopums. 1) Pieņemsim, ka (x, y) ir sistēmas (6) patvaļīgs risinājums. Sadaliet pirmo vienādojumu ar a, otro ar b, abus vienādojumus sadaliet kvadrātā un pievienojiet: Tie. jebkurš sistēmas (6) risinājums (x, y) apmierina (4) vienādojumu. 2) Un otrādi, lai pāris (x, y) ir (4) vienādojuma risinājums, t.i. Šī vienlīdzība nozīmē, ka punkts ar koordinātām No sinusa un kosinusa definīcijas uzreiz izriet, ka Teorēma ir pierādīta. komentēt. Elipsi var iegūt, vienmērīgi "saspiežot" apli ar rādiusu a pret abscisu asi. Ļaujiet būt Ar šo transformāciju katrs riņķa punkts "pāriet" uz citu plaknes punktu, kuram ir tāda pati abscisa, bet mazāka ordināta. Izteiksim punkta veco ordinātu ar jauno: un aizstājiet to apļa vienādojumā: No šejienes mēs iegūstam: No tā izriet, ka, ja pirms "saspiešanas" transformācijas punkts M (x, y) atrodas uz apļa, t.i. tā koordinātes apmierināja apļa vienādojumu, tad pēc "saspiešanas" transformācijas šis punkts "pārgāja" punktā 5. lpp. Elipses pieskare. Teorēma. Ļaujiet būt Tad šīs elipses pieskares vienādojums punktā Pierādījums. Pietiek ņemt vērā gadījumu, kad pieskares punkts atrodas koordinātu plaknes pirmajā vai otrajā ceturksnī: Mēs izmantojam funkcijas grafika pieskares vienādojumu kur Aizvietojiet atrasto atvasinājuma vērtību pieskares vienādojumā (10): no kurienes mēs iegūstam: Tas nozīmē: Mēs dalām šo vienādību ar Atliek to atzīmēt Līdzīgi tiek pierādīts arī pieskares līnijas (8) vienādojums pieskares punktā, kas atrodas koordinātu plaknes trešajā vai ceturtajā ceturksnī. Un visbeidzot, mēs viegli redzam, ka vienādojums (8) sniedz pieskares līnijas vienādojumu punktos Teorēma ir pierādīta. 6. lpp. Elipses spoguļa īpašība. Teorēma. Elipses pieskarei ir vienādi leņķi ar pieskares punkta fokusa rādiusiem. Ļaujiet būt Teorēma nosaka, ka Šo vienlīdzību var interpretēt kā no tā fokusa izstarotās elipses gaismas stara krišanas un atstarošanas leņķu vienādību. Šo īpašību sauc par elipses spoguļattēlu: No elipses fokusa izstarotais gaismas stars pēc atstarošanas no elipses spoguļa iziet cauri citam elipses fokusam. Teorēmas pierādījums. Lai pierādītu leņķu (11) vienādību, mēs pierādām trīsstūru līdzību Parametriskā elipses vienādojums
- elipses perēkļi, 
Vai punkta M fokusa rādiusi.
- nemainīga vērtība. Šo konstanti parasti apzīmē ar 2a:
.
(1)
.
.
tam seko 
, t.i.
.
, t.i.
.
(2)
(3)
perpendikulāri fokusa asij.
,
.
.
(4)
.
,
, no kurienes mēs iegūstam:
.
:
.
, iegūstam vienādību (4), sk.d.
.
.
... Tāpat 
.
vai 
un kopš 
, tad no tā izriet nevienlīdzība:
.
vai 
un
,
.
(5)
, t.i. punkts M (x, y) ir elipses punkts, ch.d.
,
.
... Tad ņemam zīmuli un ar to velkam pavedienu. Tad mēs pārvietojam zīmuļa vadu pa plakni, pārliecinoties, ka pavediens ir nostiepts.
,
un 
... Ierobežojumā, ko mēs iegūstam
vai 
- apļa vienādojums.
... Tad 
,
un mēs redzam, ka robežā elipse deģenerējas taisnās līnijas segmentā 
apzīmējumā 3. attēlā.
- patvaļīgi reālie skaitļi. Tad vienādojumu sistēma
,
(6)
.
.
atrodas uz apļa ar vienības rādiusu, kura centrs ir sākuma punktā, t.i. ir trigonometriskā apļa punkts, kas atbilst kādam leņķim 
:
,
, kur 
, no kurienes izriet, ka pāris (x, y) ir sistēmas (6) risinājums, p.a.
- apļa vienādojums, kura centrs ir sākuma punktā. Apļa "sarukšana" līdz abscisu asij ir nekas vairāk kā koordinātu plaknes transformācija, kas tiek veikta saskaņā ar šādu noteikumu. Katram punktam M (x, y) mēs atbilstoši ievietojam vienas plaknes punktu 
, kur 
,
- "saspiešanas" koeficients.
.
.
(7)
kuru koordinātas apmierina elipses vienādojumu (7). Ja mēs vēlamies iegūt elipses vienādojumu ar daļēji mazo asi b, tad mums ir jāņem kompresijas pakāpe
.
- patvaļīgs elipses punkts
.
izskatās kā:
.
(8)
... Elipses vienādojums augšējā pusplaknē ir:
.
(9)
punktā 
:
- šīs funkcijas atvasinājuma vērtība punktā 
... Elipsi pirmajā ceturksnī var aplūkot kā funkcijas grafiku (8). Atradīsim tā atvasinājumu un vērtību pieskares punktā:
,
... Šeit mēs esam izmantojuši faktu, ka pieskāriena punkts 
ir elipses punkts un tāpēc tā koordinātes apmierina elipses vienādojumu (9), t.i.
.
,
:
.
kopš punktu 
pieder elipsei, un tās koordinātas atbilst tās vienādojumam.
,
:
vai 
, un 
vai 
.
- pieskāriena punkts, 
,
Vai pieskares punkta fokusa rādiusi, P un Q ir fokusa projekcijas uz pieskares punktu, kas pievilkts elipsei punktā 
.
.
(11)
un 
kurā puses 
un 
būs līdzīgi. Tā kā trīsstūri ir taisnleņķi, pietiek ar to, lai pierādītu vienādību