Funkcijas maiņa noteiktā punktā un tiek definēta kā funkcijas pieauguma robeža līdz argumenta pieaugumam, kam ir tendence uz nulli. Lai to atrastu, izmantojiet atvasinājumu tabulu. Piemēram, funkcijas y = x3 atvasinājums būs vienāds ar y’ = x2.
Pielīdziniet šo atvasinājumu nullei (šajā gadījumā x2=0).
Atrodiet dotā mainīgā vērtību. Tās būs vērtības, kad šis atvasinājums būs vienāds ar 0. Lai to izdarītu, izteiksmē x vietā aizstājiet patvaļīgus skaitļus, pie kuriem visa izteiksme kļūs par nulli. Piemēram:
2-2x2=0
(1-x) (1+x) = 0
x1=1, x2=-1
Uzklājiet iegūtās vērtības uz koordinātu līnijas un aprēķiniet atvasinājuma zīmi katrai no iegūtajām vērtībām. Uz koordinātu līnijas tiek atzīmēti punkti, kas tiek ņemti par sākuma punktu. Lai aprēķinātu vērtību intervālos, aizstājiet patvaļīgas vērtības, kas atbilst kritērijiem. Piemēram, iepriekšējai funkcijai līdz intervālam -1 varat izvēlēties vērtību -2. No -1 līdz 1 varat izvēlēties 0, bet vērtībām, kas lielākas par 1, izvēlieties 2. Atvasinājumā aizstājiet šos skaitļus un noskaidrojiet atvasinājuma zīmi. Šajā gadījumā atvasinājums ar x = -2 būs vienāds ar -0,24, t.i. negatīvs, un šajā intervālā būs mīnusa zīme. Ja x=0, tad vērtība būs vienāda ar 2, un šim intervālam tiek uzlikta zīme. Ja x=1, tad arī atvasinājums būs vienāds ar -0,24 un tiek likts mīnuss.
Ja, ejot caur punktu uz koordinātu līnijas, atvasinājums maina savu zīmi no mīnusa uz plusu, tad tas ir minimālais punkts, un, ja no plusa uz mīnusu, tad tas ir maksimālais punkts.
Saistītie video
Lai atrastu atvasinājumu, ir tiešsaistes pakalpojumi, kas aprēķina vajadzīgās vērtības un parāda rezultātu. Šādās vietnēs jūs varat atrast atvasinājumu līdz 5 pasūtījumiem.
Avoti:
- Viens no pakalpojumiem atvasināto instrumentu aprēķināšanai
- funkcijas maksimālais punkts
Funkcijas maksimālos punktus kopā ar minimālajiem punktiem sauc par galējībām. Šajos punktos funkcija maina savu uzvedību. Ekstrēmas tiek noteiktas ar ierobežotiem skaitliskiem intervāliem un vienmēr ir lokālas.
Instrukcija
Vietējo ekstrēmu atrašanas procesu sauc par funkciju, un to veic, analizējot funkcijas pirmo un otro atvasinājumu. Pirms izpētes uzsākšanas pārliecinieties, vai norādītais argumentu vērtību diapazons pieder atļautās vērtības. Piemēram, funkcijai F=1/x argumenta x=0 vērtība nav derīga. Vai arī funkcijai Y=tg(x) argumentam nevar būt vērtība x=90°.
Pārliecinieties, vai Y funkcija ir diferencējama visā dotajā intervālā. Atrodiet pirmo atvasinājumu Y". Ir acīmredzams, ka pirms lokālā maksimuma punkta sasniegšanas funkcija palielinās, un, izejot cauri maksimumam, funkcija samazinās. Pirmais atvasinājums savā fiziskajā nozīmē raksturo lokālā maksimuma izmaiņu ātrumu. funkcija. Kamēr funkcija palielinās, šī procesa ātrums ir pozitīva vērtība. Izejot cauri lokālajam maksimumam, funkcija sāk samazināties, un funkcijas maiņas procesa ātrums kļūst negatīvs. Likmes pāreja funkcijas maiņa līdz nullei notiek vietējā maksimuma punktā.
$E \apakškopa \mathbb(R)^(n)$. Runā, ka $f$ ir vietējais maksimums punktā $x_(0) \in E$, ja punktam $x_(0)$ ir tāda apkārtne $U$, ka visiem $x \in U$ nevienādība $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.
Tiek saukts lokālais maksimums stingri , ja apkārtni $U$ var izvēlēties tā, lai visiem $x \in U$, kas atšķiras no $x_(0)$, ir $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definīcija
Lai $f$ ir reāla funkcija atvērtai kopai $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Runā, ka $f$ ir vietējais minimums punktā $x_(0) \in E$, ja punktam $x_(0)$ ir tāda apkārtne $U$, ka visiem $x \in U$ nevienādība $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.
Vietējais minimums tiek uzskatīts par stingru, ja apkārtni $U$ var izvēlēties tā, lai visiem $x \in U$ atšķiras no $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\pa labi)$.
Lokālais ekstrēmums apvieno lokālā minimuma un lokālā maksimuma jēdzienus.
Teorēma (nepieciešams nosacījums diferencējamas funkcijas galējībai)
Lai $f$ ir reāla funkcija atvērtai kopai $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ja punktā $x_(0) \in E$ funkcijai $f$ arī šajā punktā ir lokāls ekstrēmums, tad $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Vienādība ar nulli ir līdzvērtīga faktam, ka visi ir vienādi ar nulli, t.i. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
Viendimensijas gadījumā tas ir . Apzīmējiet $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kur $h$ ir patvaļīgs vektors. Funkcija $\phi$ ir definēta pietiekami mazām moduļu vērtībām $t$. Turklāt attiecībā uz , tas ir diferencējams, un $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Ļaujiet $f$ lokālajam maksimumam x $0$. Tādējādi funkcijai $\phi$ pie $t = 0$ ir lokālais maksimums un saskaņā ar Fermā teorēmu $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Tātad, mēs saņēmām, ka $df \left(x_(0)\right) = 0 $, t.i. funkcijas $f$ punktā $x_(0)$ nulle uz jebkura vektora $h$.
Definīcija
Punkti, kuros diferenciālis ir vienāds ar nulli, t.i. tos, kuros visi parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, sauc par stacionāriem. kritiskie punkti funkcijas $f$ ir tie punkti, kuros $f$ nav diferencējams vai ir vienāds ar nulli. Ja punkts ir stacionārs, tad vēl neizriet, ka funkcijai šajā punktā ir ekstrēms.
1. piemērs
Ļaujiet $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tad $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tātad $\left(0,0\right)$ ir stacionārs punkts, bet funkcijai šajā punktā nav galējības. Patiešām, $f \left(0,0\right) = 0$, taču ir viegli redzēt, ka jebkurā punkta $\left(0,0\right)$ tuvumā funkcijai ir gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.
2. piemērs
Funkcijai $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ir koordinātu sākumpunkts kā stacionārs punkts, taču ir skaidrs, ka šajā punktā nav galējības.
Teorēma (pietiekams nosacījums ekstrēmam).
Lai funkcija $f$ ir divreiz nepārtraukti diferencējama atklātā kopā $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Lai $x_(0) \in E$ ir stacionārs punkts un $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Tad
- ja $Q_(x_(0))$ – , tad funkcijai $f$ punktā $x_(0)$ ir lokāls ekstrēmums, proti, minimums, ja forma ir pozitīva-noteikta un maksimums, ja forma ir negatīvs-noteikts;
- ja kvadrātveida forma $Q_(x_(0))$ ir nenoteikta, tad funkcijai $f$ punktā $x_(0)$ nav galējības.
Izmantosim izvērsumu pēc Teilora formulas (12.7 lpp. 292) . Ņemot vērā, ka pirmās kārtas daļējie atvasinājumi punktā $x_(0)$ ir vienādi ar nulli, iegūstam $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1) (2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ daļēja x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kur $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ un $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$, tad labā puse ir pozitīva jebkuram pietiekami maza garuma vektoram $h$.
Tādējādi esam nonākuši pie secinājuma, ka kādā punkta $x_(0)$ tuvumā nevienādība $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ir izpildīta, ja tikai $ x \neq x_ (0)$ (liekam $x=x_(0)+h$\right). Tas nozīmē, ka punktā $x_(0)$ funkcijai ir stingrs lokālais minimums, un tādējādi tiek pierādīta mūsu teorēmas pirmā daļa.
Pieņemsim, ka tagad $Q_(x_(0))$ ir nenoteikta forma. Tad ir tādi vektori $h_(1)$, $h_(2)$, ka $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Tad mēs iegūstam $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ kreisi[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pietiekami maziem $t>0$ labā puse ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka jebkurā punkta $x_(0)$ tuvumā funkcijai $f$ ir vērtības $f \left(x\right)$, kas ir lielākas par $f \left(x_(0)\right)$.
Līdzīgi mēs iegūstam, ka jebkurā punkta $x_(0)$ tuvumā funkcijai $f$ ir vērtības, kas mazākas par $f \left(x_(0)\right)$. Tas kopā ar iepriekšējo nozīmē, ka funkcijai $f$ nav ekstrēma punktā $x_(0)$.
Apskatīsim šīs teorēmas īpašo gadījumu funkcijai $f \left(x,y\right)$ diviem mainīgajiem, kas definēti kādā punkta $\left(x_(0),y_(0)\right) tuvumā. $ un kam ir nepārtraukti pirmās un otrās kārtas daļējie atvasinājumi. Lai $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ir stacionārs punkts un $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Tad iepriekšējā teorēma iegūst šādu formu.
Teorēma
Ļaujiet $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pēc tam:
- ja $\Delta>0$, tad funkcijai $f$ ir lokāls ekstrēmums punktā $\left(x_(0),y_(0)\right)$, proti, minimums, ja $a_(11)> 0$ , un maksimums, ja $a_(11)<0$;
- ja $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Problēmu risināšanas piemēri
Algoritms daudzu mainīgo funkcijas galējības atrašanai:
- Atrodam stacionārus punktus;
- 2. kārtas diferenciāli atrodam visos stacionārajos punktos
- Izmantojot pietiekamu nosacījumu vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmam, mēs uzskatām otrās kārtas diferenciāli katrā stacionārs punkts
- Izpētiet funkciju līdz galam $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
RisinājumsAtrodiet daļējus pirmās kārtas atvasinājumus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastādiet un atrisiniet sistēmu: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ No 2. vienādojuma mēs izsakām $x=4 \cdot y^(2)$ — aizstājiet 1. vienādojumā: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ pa labi )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Rezultātā tiek iegūti 2 stacionāri punkti:
1) $y=0 \labā bultiņa x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Pārbaudīsim pietiekamā ekstrēma nosacījuma izpildi:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Punktam $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cpunkts B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) $M_(2)$ punktam:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, tātad punktā $M_(2)$ ir ekstrēmums, un tā kā $A_(2)>0 $, tad tas ir minimums.
Atbilde: Punkts $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ ir funkcijas $f$ minimālais punkts. - Izpētiet funkciju ekstremitātei $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
RisinājumsAtrodiet stacionāros punktus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Sastādiet un atrisiniet sistēmu: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Labā bultiņa \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\beigas(gadījumi) \labā bultiņa x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ ir stacionārs punkts.
Pārbaudīsim pietiekamā ekstrēmuma nosacījuma izpildi: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Atbilde: ekstrēmu nav.
Laika ierobežojums: 0
Navigācija (tikai darba numuri)
Pabeigts 0 no 4 uzdevumiem
Informācija
Aizpildiet šo viktorīnu, lai pārbaudītu savas zināšanas par tikko izlasīto tēmu — Daudzu mainīgo funkciju lokālā ekstrēma.
Jūs jau esat kārtojis testu iepriekš. Jūs to nevarat palaist vēlreiz.
Notiek testa ielāde...
Lai sāktu testu, jums ir jāpiesakās vai jāreģistrējas.
Lai sāktu šo testu, jums ir jāaizpilda šādi testi:
rezultātus
Pareizās atbildes: 0 no 4
Tavs laiks:
Laiks ir beidzies
Jūs ieguvāt 0 no 0 punktiem (0)
Jūsu rezultāts ir ierakstīts līderu sarakstā
- Ar atbildi
- Izrakstīts
2. uzdevums no 4
2 .
Punktu skaits: 1Vai funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$
1. uzdevums no 4
1 .
Punktu skaits: 1Izpētiet funkciju $f$ ekstrēmumam: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Taisnība
Nav pareizi
Funkcijas galējais punkts ir punkts funkcijas domēnā, kurā funkcijas vērtība iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Funkciju vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām (minimālo un maksimālo)..
Definīcija. Punkts x1 funkciju apjoms f(x) tiek saukts funkcijas maksimālais punkts , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par funkcijas vērtībām pietiekami tuvu tai punktos, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimums.
Definīcija. Punkts x2 funkciju apjoms f(x) tiek saukts funkcijas minimālais punkts, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir mazāka par funkcijas vērtībām punktos, kas atrodas pietiekami tuvu tai, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka funkcijai ir punktā x2 minimums.
Teiksim būtību x1 - funkcijas maksimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x1 funkcija palielinās, tāpēc funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0), un intervālā pēc x1 funkcija samazinās, tāpēc funkcijas atvasinājums mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Pieņemsim arī, ka punkts x2 - funkcijas minimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x2 funkcija samazinās, un funkcijas atvasinājums ir mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija palielinās un funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0). Šajā gadījumā arī punktā x2 funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē.
Fermā teorēma (nepieciešams kritērijs funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Ja punkts x0 - funkcijas galējais punkts f(x), tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli ( f "(x) = 0 ) vai neeksistē.
Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti .
1. piemērs Apskatīsim funkciju.
Punktā x= 0 funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli, tāpēc punkts x= 0 ir kritiskais punkts. Tomēr, kā redzams funkcijas grafikā, tas palielinās visā definīcijas jomā, tāpēc punkts x= 0 nav šīs funkcijas galējības punkts.
Tādējādi nosacījumi, ka funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli vai nepastāv, ir nepieciešami nosacījumi galējībai, bet nav pietiekami, jo var sniegt citus funkciju piemērus, kurām šie nosacījumi ir izpildīti, bet funkcija nav ekstrēma attiecīgajā punktā. Tāpēc jābūt pietiekamām norādēm, ļaujot spriest, vai konkrētajā kritiskajā punktā ir ekstrēms un kurš - maksimums vai minimums.
Teorēma (pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 f(x) , ja funkcijas atvasinājums maina zīmi, ejot cauri šim punktam, un ja zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad maksimālais punkts, un ja no "mīnus" uz "pluss", tad minimālais punkts. .
Ja tuvu punktam x0 , pa kreisi un pa labi no tā atvasinājums saglabā savu zīmi, tas nozīmē, ka funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās kādā punkta apkārtnē. x0 . Šajā gadījumā punktā x0 nav nekāda ekstrēma.
Tātad, lai noteiktu funkcijas galējos punktus, jums jāveic šādas darbības :
- Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
- Pielīdziniet atvasinājumu nullei un nosakiet kritiskos punktus.
- Garīgi vai uz papīra atzīmējiet kritiskos punktus uz skaitliskās ass un nosakiet funkcijas atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos. Ja atvasinājuma zīme mainās no "plus" uz "mīnusu", tad kritiskais punkts ir maksimālais punkts, un, ja no "mīnus" uz "pluss", tad kritiskais punkts ir minimālais punkts.
- Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.
2. piemērs Atrodiet funkcijas galējības 
.
Risinājums. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:
Pielīdziniet atvasinājumu nullei, lai atrastu kritiskos punktus:
.
Tā kā jebkurai "x" vērtībai saucējs nav vienāds ar nulli, tad mēs pielīdzinām skaitītāju nullei:
Ir viens kritisks punkts x= 3. Mēs nosakām atvasinājuma zīmi intervālos, ko norobežo šis punkts:
diapazonā no mīnus bezgalības līdz 3 - mīnus zīme, tas ir, funkcija samazinās,
diapazonā no 3 līdz plus bezgalībai - plus zīme, tas ir, funkcija palielinās.
Tas ir, punkts x= 3 ir minimālais punkts.
Atrodiet funkcijas vērtību minimālajā punktā:
Tādējādi tiek atrasts funkcijas galējais punkts: (3; 0) , un tas ir minimālais punkts.
Teorēma (otrais pietiekams kritērijs funkcijas ekstrēma esamībai). Kritiskais punkts x0 ir funkcijas galējais punkts f(x), ja funkcijas otrais atvasinājums šajā punktā nav vienāds ar nulli ( f ""(x) ≠ 0 ), turklāt, ja otrais atvasinājums ir lielāks par nulli ( f ""(x) > 0 ), tad maksimālais punkts un, ja otrais atvasinājums ir mazāks par nulli ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Piezīme 1. Ja kādā punktā x0 pazūd gan pirmais, gan otrais atvasinājums, tad šajā brīdī nav iespējams spriest par ekstrēma esamību pēc otrās pietiekamās zīmes. Šajā gadījumā ir jāizmanto pirmais pietiekošais kritērijs funkcijas galējībai.
2. piezīme. Otrs pietiekams funkcijas ekstrēma kritērijs nav piemērojams arī tad, ja stacionārajā punktā neeksistē pirmais atvasinājums (tad neeksistē arī otrs atvasinājums). Šajā gadījumā ir nepieciešams arī izmantot pirmo pietiekamo kritēriju funkcijas ekstremitātei.
Funkcijas ekstrēmu lokālais raksturs
No iepriekšminētajām definīcijām izriet, ka funkcijas ekstrēmam ir lokāls raksturs - tā ir lielākā un mazākā funkcijas vērtība, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām.
Pieņemsim, ka apsverat savus ienākumus viena gada laika posmā. Ja maijā jūs nopelnījāt 45 000 rubļu, aprīlī 42 000 rubļu un jūnijā 39 000 rubļu, tad maija ienākumi ir maksimālā peļņas funkcija, salīdzinot ar tuvākajām vērtībām. Bet oktobrī jūs nopelnījāt 71 000 rubļu, septembrī 75 000 rubļu un novembrī 74 000 rubļu, tātad oktobra peļņa ir peļņas funkcijas minimums, salīdzinot ar tuvējām vērtībām. Un jūs varat viegli redzēt, ka maksimums starp aprīļa-maija-jūnija vērtībām ir mazāks par septembra-oktobra-novembra minimumu.
Vispārīgi runājot, funkcijai vienā intervālā var būt vairākas galējības, un var izrādīties, ka jebkurš funkcijas minimums ir lielāks par jebkuru maksimumu. Tātad, funkcijai, kas parādīta iepriekš attēlā, .
Tas ir, nevajadzētu domāt, ka funkcijas maksimums un minimums ir attiecīgi tās maksimālās un minimālās vērtības visā aplūkojamā segmentā. Maksimālajā punktā funkcijai ir lielākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir visos punktos pietiekami tuvu maksimālajam punktam, un minimālajā punktā mazākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir pietiekami tuvu maksimālajam punktam. tā visos punktos ir pietiekami tuvu minimālajam punktam.
Tāpēc mēs varam precizēt iepriekš minēto funkcijas ekstremālo punktu jēdzienu un nosaukt minimālos punktus par vietējiem minimālajiem punktiem, bet maksimālos punktus par vietējiem maksimālajiem punktiem.
Mēs kopā meklējam funkcijas galējību
3. piemērs
Risinājums Funkcija ir definēta un nepārtraukta veselā skaitļa rindā. Tā atvasinājums 
eksistē arī visā skaitļu rindā. Tāpēc šajā gadījumā tikai tie, kuros , t.i., kalpo kā kritiskie punkti. , no kurienes un . Kritiskos punktus un sadaliet visu funkcijas domēnu trīs monotonības intervālos: . Katrā no tiem izvēlamies vienu kontrolpunktu un šajā punktā atrodam atvasinājuma zīmi.
Intervālam atskaites punkts var būt: mēs atrodam . Ņemot punktu intervālā, mēs iegūstam , un, ņemot punktu intervālā, mums ir . Tātad, intervālos un , Un intervālā . Saskaņā ar pirmo pietiekamo ekstrēma zīmi punktā nav ekstrēma (jo atvasinājums saglabā savu zīmi intervālā ), un funkcijai punktā ir minimums (jo atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, kad iet garām caur šo punktu). Atrodiet atbilstošās funkcijas vērtības: , un . Intervālā funkcija samazinās, jo šajā intervālā , un intervālā tā palielinās, jo šajā intervālā.
Lai precizētu grafa uzbūvi, atrodam tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Iegūstot vienādojumu, kura saknes un , t.i., ir atrasti divi funkcijas grafika punkti (0; 0) un (4; 0). Izmantojot visu saņemto informāciju, mēs veidojam grafiku (skatiet piemēra sākumā).
4. piemērs Atrodiet funkcijas galējību un izveidojiet tās grafiku.
Funkcijas domēns ir visa skaitļa līnija, izņemot punktu, t.i. .
Lai saīsinātu pētījumu, mēs varam izmantot faktu, ka šī funkcija ir pat, jo 
. Tāpēc tā grafiks ir simetrisks pret asi Oy un pētījumu var veikt tikai intervālam .
Atvasinājuma atrašana 
un funkcijas kritiskie punkti:
1) 
;
2) 
,
taču funkcija šajā brīdī tiek pārtraukta, tāpēc tā nevar būt galējības punkts.
Tādējādi dotajai funkcijai ir divi kritiskie punkti: un . Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs pārbaudām tikai punktu ar otro pietiekamo ekstrēma zīmi. Lai to izdarītu, mēs atrodam otro atvasinājumu 
un noteikt tās zīmi pie : mēs saņemam . Kopš un , tad ir funkcijas minimālais punkts, while 
.
Lai iegūtu pilnīgāku priekšstatu par funkcijas grafiku, noskaidrosim tās uzvedību definīcijas domēna robežās:
(šeit simbols norāda vēlmi x uz nulli labajā pusē un x paliek pozitīvs; līdzīgi nozīmē tiekšanos x uz nulli kreisajā pusē un x paliek negatīvs). Tādējādi, ja , tad . Tālāk mēs atrodam
,
tie. ja tad .
Funkcijas grafikam nav krustošanās punktu ar asīm. Attēls ir piemēra sākumā.
Kopā turpinām meklēt funkcijas ekstrēmus
8. piemērs Atrodiet funkcijas galējību.
Risinājums. Atrodiet funkcijas domēnu. Tā kā nevienlīdzībai ir jābūt spēkā, mēs iegūstam no .
Atradīsim funkcijas pirmo atvasinājumu:
Atradīsim funkcijas kritiskos punktus.
Tiek uzskatīts, ka funkcijai ir iekšējs punkts 
apgabali D
vietējais maksimums(minimums), ja tāda punkta apkārtne ir 
, par katru punktu 
kas apmierina nevienlīdzību
Ja funkcijai ir punktā 
vietējais maksimums vai vietējais minimums, tad mēs sakām, ka tas ir šajā brīdī vietējais ekstrēms(vai vienkārši ekstrēmi).
Teorēma
(nepieciešams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai). Ja diferencējamā funkcija punktā sasniedz galējību 
, tad katrs funkcijas pirmās kārtas daļējais atvasinājums 
pazūd šajā brīdī.
Tiek izsaukti punkti, kuros pazūd visi pirmās kārtas daļējie atvasinājumi funkcijas stacionārie punkti
. Šo punktu koordinātas var atrast, atrisinot sistēmu no 
vienādojumi
.
Nepieciešamo nosacījumu ekstrēma pastāvēšanai diferencējamas funkcijas gadījumā var īsi formulēt šādi:
Ir gadījumi, kad noteiktos punktos dažiem daļējiem atvasinājumiem ir bezgalīgas vērtības vai tie neeksistē (kamēr pārējie ir vienādi ar nulli). Tādus punktus sauc funkcijas kritiskie punkti. Arī šie punkti ir jāuzskata par "aizdomīgiem" ekstrēmam, kā arī stacionāri.
Divu mainīgo funkcijas gadījumā ekstrēmuma nepieciešamajam nosacījumam, proti, daļējo atvasinājumu (diferenciāļa) vienādībai ar nulli galējā punktā, ir ģeometriska interpretācija: pieskares plakne pret virsmu 
galējā punktā jābūt paralēlam plaknei 
.
20. Pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai
Izpilde kādā brīdī nepieciešamais nosacījums ekstrēma esamība nemaz negarantē ekstrēma esamību tur. Kā piemēru varam ņemt visur diferencējamo funkciju 
. Punktā pazūd gan tā daļējie atvasinājumi, gan pati funkcija 
. Tomēr jebkurā šī punkta apkārtnē ir gan pozitīvi (lieli 
) un negatīvs (mazāks 
) šīs funkcijas vērtības. Tāpēc šajā brīdī pēc definīcijas nav ekstrēma. Tāpēc ir jāzina pietiekami apstākļi, kādos punkts, par kuru ir aizdomas par ekstrēmu, ir pētāmās funkcijas ekstrēma punkts.
Apsveriet divu mainīgo funkcijas gadījumu. Pieņemsim, ka funkcija 
ir definēts, nepārtraukts, un tam ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi līdz otrajai secībai (ieskaitot) kāda punkta tuvumā 
, kas ir funkcijas stacionārais punkts 
, tas ir, atbilst nosacījumiem
,
.
Iepazīstinām ar apzīmējumu:
Teorēma
(pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai). Ļaujiet funkcijai 
atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem, proti: diferencējams kādā stacionārā punkta apkārtnē 
un ir divreiz diferencējams pašā punktā 
. Tad ja
Ja 
tad funkcija 
punktā 
sasniedz
vietējais maksimums plkst 
Un
vietējais minimums plkst 
.
Kopumā funkcijai 
pietiekams nosacījums pastāvēšanai punktā 
vietējaisminimums(maksimums) ir pozitīvs(negatīvs) otrā diferenciāļa noteiktība.
Citiem vārdiem sakot, sekojošais apgalvojums ir patiess.
Teorēma
.
Ja punktā 
funkcijai 
jebkuram, kas tajā pašā laikā nav vienāds ar nulli 
, tad šajā brīdī funkcijai ir minimums(līdzīgi maksimums, ja 
).
18. piemērs.Atrodiet funkcijas lokālos galējības punktus 
Risinājums. Atrodiet funkcijas daļējos atvasinājumus un pielīdziniet tos nullei:
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam divus iespējamos galējības punktus:
Atradīsim šīs funkcijas otrās kārtas daļējos atvasinājumus:
Pirmajā stacionārajā punktā , tāpēc un 
Tāpēc šim punktam ir nepieciešami turpmāki pētījumi. Funkcijas vērtība 
šajā brīdī ir nulle: 
Tālāk,
plkst 
bet
plkst 
Tāpēc jebkurā punkta apkārtnē 
funkcija 
uztver vērtības tikpat lielas 
, un mazāks 
, un līdz ar to punktā 
funkcija 
, pēc definīcijas, nav lokālas ekstrēmas.
Otrajā stacionārajā punktā 
tāpēc, tātad, kopš 
tad punktā 
funkcijai ir lokālais maksimums.