Parasti vienādojumu, kura pakāpe ir augstāka par 4, nevar atrisināt radikāļos. Bet dažreiz augstākās pakāpes vienādojumā joprojām varam atrast polinoma saknes kreisajā pusē, ja mēs to pārstāvam kā polinomu produktu ne vairāk kā grādos 4. Šādu vienādojumu risinājums ir balstīts uz polinoma iekļaušanu faktoros, tāpēc pirms šī raksta izpētīšanas iesakām atkārtot šo tēmu.
Visbiežāk nākas saskarties ar augstāku grādu vienādojumiem ar veselu skaitļu koeficientiem. Šajos gadījumos mēs varam mēģināt atrast racionālās saknes un pēc tam faktorizēt polinomu, lai pēc tam to pārveidotu par zemākas pakāpes vienādojumu, kuru būs viegli atrisināt. Šī materiāla ietvaros mēs apsvērsim tieši šādus piemērus.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Augstākās pakāpes vienādojumi ar veselu skaitļu koeficientiem
Visi formas a n x n + a n - 1 x n - 1 + vienādojumi. ... ... + a 1 x + a 0 \u003d 0, mēs varam samazināt līdz vienādas pakāpes vienādojumam, reizinot abas puses ar n n - 1 un mainot mainīgo formas y \u003d a n x formā:
a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 \u003d 0 ann xn + an - 1 ann - 1 xn - 1 +… + a 1 (an) n - 1 x + a 0 (an) n - 1 \u003d 0 y \u003d trauksme ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 +… + b 1 y + b 0 \u003d 0
Iegūtie koeficienti arī būs veseli. Tādējādi mums būs jāatrisina n-tās pakāpes reducētais vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem, kura forma ir x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 \u003d 0.
Mēs aprēķinām visas vienādojuma saknes. Ja vienādojumam ir veselu skaitļu saknes, tie jāmeklē starp brīvā termina a 0 dalītājiem. Pierakstīsim tos un pēc kārtas aizstāsim sākotnējā vienlīdzībā, pārbaudot rezultātu. Kad esam ieguvuši identitāti un atraduši vienu no vienādojuma saknēm, to varam uzrakstīt formā x - x 1 · P n - 1 (x) \u003d 0. Šeit x 1 ir vienādojuma sakne, un P n - 1 (x) ir x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 dalīšanas ar x - x 1 koeficients.
Aizstāj pārējos dalītājus, kas izrakstīti P n - 1 (x) \u003d 0, sākot ar x 1, jo saknes var atkārtot. Pēc identitātes iegūšanas sakne x 2 tiek uzskatīta par atrastu, un vienādojumu var uzrakstīt kā (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. Šeit P n - 2 (x) būs P n - 1 (x) dalīšanas ar x - x 2 koeficients.
Mēs turpinām atkārtot dalītājus. Atrodiet visas saknes un apzīmējiet to skaitu kā m. Pēc tam sākotnējo vienādojumu var attēlot kā x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · P n - m (x) \u003d 0. Šeit P n - m (x) ir n - m pakāpes polinoms. Skaitīšanai ir ērti izmantot Hornera shēmu.
Ja mūsu sākotnējam vienādojumam ir veseli skaitļu koeficienti, mēs nevaram nonākt pie daļējām saknēm.
Rezultātā ieguvām vienādojumu P n - m (x) \u003d 0, kura saknes var atrast jebkurā ērtā veidā. Tie var būt neracionāli vai sarežģīti.
Parādīsim ar konkrētu piemēru, kā tiek piemērota šāda risinājuma shēma.
1. piemērs
Stāvoklis: atrodiet vienādojuma x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0 risinājumu.
Lēmums
Sāksim ar visu sakņu atrašanu.
Mums ir bezmaksas termins, kas vienāds ar mīnus trīs. Tam ir dalītāji 1, - 1, 3 un - 3. Aizstāsim tos sākotnējā vienādojumā un redzēsim, kurš no tiem radīs identitātes.
Ja x ir vienāds ar vienu, mēs iegūstam 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, kas nozīmē, ka viens būs šī vienādojuma sakne.
Tagad kolonnā dalām polinomu x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 pēc (x - 1):
Tādējādi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 \u003d 0
Mēs ieguvām identitāti, kas nozīmē, ka esam atraduši citu vienādojuma sakni, kas vienāda ar - 1.
Sadaliet polinomu x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ar (x + 1) kolonnā:
Mēs to saprotam
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Aizstājiet nākamo dalītāju vienādībā x 2 + x + 3 \u003d 0, sākot ar - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Rezultātā iegūtās vienādības būs nepareizas, kas nozīmē, ka vienādojumam vairs nav integrālu sakņu.
Atlikušās saknes būs izteiksmes x 2 + x + 3 saknes.
D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0
No tā izriet, ka šim kvadrātveida trinomiālam nav reālu sakņu, bet tam ir sarežģītas konjugētas: x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
Paskaidrosim, ka garas dalīšanas vietā mēs varam izmantot Hornera shēmu. Tas tiek darīts šādi: pēc tam, kad esam noteikuši vienādojuma pirmo sakni, mēs aizpildām tabulu.
Koeficientu tabulā mēs uzreiz varam redzēt polinomu dalījuma koeficienta koeficientus, kas nozīmē, ka x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
Pēc nākamās saknes atrašanas, kas vienāda ar - 1, mēs iegūstam sekojošo:
Atbilde: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.
2. piemērs
Stāvoklis: Atrisiniet vienādojumu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.
Lēmums
Brīvajam terminam ir dalītāji 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.
Mēs tos pārbaudām secībā:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 \u003d 0
Tādējādi x \u003d 2 būs vienādojuma sakne. Izmantojot Hornera shēmu, daliet x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 ar x - 2:
Rezultātā iegūstam x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 \u003d 0
Tādējādi 2 atkal būs sakne. Daliet x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 ar x - 2:
Rezultātā iegūstam (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.
Nav jēgas pārbaudīt atlikušos dalītājus, jo vienādību x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 ir ātrāk un ērtāk atrisināt, izmantojot diskriminantu.
Atrisināsim kvadrātvienādojumu:
x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 D \u003d 3 2 - 4 1 3 \u003d - 3< 0
Mēs iegūstam sarežģītu konjugātu sakņu pāri: x \u003d - 3 2 ± i 3 2.
Atbilde: x \u003d - 3 2 ± i 3 2.
3. piemērs
Stāvoklis: atrodiet vienādojuma x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 reālās saknes.
Lēmums
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0
Mēs veicam vienādojuma abu pušu reizināšanu 2 3:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 \u003d 0
Mainīt mainīgos y \u003d 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 \u003d 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 \u003d 0
Rezultātā mēs ieguvām standarta 4. pakāpes vienādojumu, kuru var atrisināt pēc standarta shēmas. Pārbaudīsim dalītājus, sadalīsim un beigās iegūsim, ka tam ir 2 reālas saknes y \u003d - 2, y \u003d 3 un divas sarežģītas saknes. Mēs šeit neiesniegsim pilnīgu risinājumu. Aizstāšanas dēļ šī vienādojuma patiesās saknes būs x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 un x \u003d y 2 \u003d 3 2.
Atbilde: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2
Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter
Pamatmērķi:
- Lai konsolidētu visa racionālā t pakāpes vienādojuma jēdzienu.
- Formulējiet galvenās metodes augstāku grādu (n > 3).
- Iemācīt augstāko pakāpju vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
- Mācīt pēc vienādojuma veida, lai noteiktu visefektīvāko veidu, kā to atrisināt.
Veidlapas, metodes un pedagoģiskās metodes, kuras skolotājs izmanto stundā:
- Lekciju-semināru apmācības sistēma (lekcijas - jauna materiāla skaidrojums, semināri - problēmu risināšana).
- Informācijas un komunikācijas tehnoloģijas (frontāla aptauja, mutisks darbs ar klasi).
- Diferencēta mācīšana, grupu un individuālās formas.
- Pētījuma metodes izmantošana mācībā, kuras mērķis ir attīstīt katra konkrētā studenta matemātisko aparātu un domāšanas spējas.
- Iespiests materiāls - individuāls īss nodarbības kopsavilkums (pamatjēdzieni, formulas, apgalvojumi, lekciju materiāls tiek saspiests diagrammu vai tabulu veidā).
Nodarbības plāns:
- Laika organizēšana.
Posma mērķis: iekļaut skolēnus izglītojošās aktivitātēs, noteikt stundas saturu. - Studentu zināšanu atjaunošana.
Posma mērķis: atjaunināt studentu zināšanas par iepriekš studētām saistītām tēmām - Jaunas tēmas izpēte (lekcija). Posma mērķis: formulēt galvenās metodes augstāku grādu (n > 3)
- Apkopojot.
Posma mērķis: vēlreiz izcelt galvenos punktus stundā pētītajā materiālā. - Mājasdarbs.
Posma mērķis: formulēt studentiem mājas darbus.
Nodarbības kopsavilkums
1. Organizācijas brīdis.
Nodarbības tēmas formulējums: “Augstāko pakāpju vienādojumi. To risināšanas metodes ”.
2. Studentu zināšanu atjaunināšana.
Teorētiskā aptauja - saruna. Dažas iepriekš izpētītas teorijas informācijas atkārtošana. Studenti formulē pamatdefinīcijas un formulē nepieciešamās teorēmas. Tiek doti piemēri, lai parādītu iepriekš iegūto zināšanu līmeni.
- Vienādojuma jēdziens vienā mainīgajā.
- Vienādojuma saknes jēdziens, vienādojuma risinājums.
- Lineārā vienādojuma jēdziens vienā mainīgajā, kvadrātvienādojuma jēdziens vienā mainīgajā.
- Vienādojumu ekvivalences jēdziens, vienādojums-sekas (svešo sakņu jēdziens), pāreja nav sekas (sakņu zaudēšanas gadījums).
- Jēdziens par veselu racionālu izteicienu ar vienu mainīgo.
- Visa racionāla vienādojuma jēdziens n-tā pakāpe. Visa racionālā vienādojuma standarta forma. Samazināts viss racionālais vienādojums.
- Pāreja uz zemāku grādu vienādojumu kopumu, koeficientējot sākotnējo vienādojumu.
- Polinoma koncepcija n-trā pakāpe no x... Bezouta teorēma. Sekas no Bezouta teorēmas. Sakņu teorēmas ( Z-saknes un J-roots) vesels racionāls vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem (attiecīgi samazināts un nesamazināts).
- Hornera shēma.
3. Jaunas tēmas izpēte.
Mēs apsvērsim visu racionālo vienādojumu nstandarta formas pakāpe ar vienu nezināmu mainīgo x: P n (x) \u003d 0, kur P n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 - polinoms n-trā pakāpe no x, a n ≠ 0. Ja a n \u003d 1, tad šādu vienādojumu sauc par visu samazināto racionālo vienādojumu n-tā pakāpe. Apsveriet šādus vienādojumus dažādām vērtībām n un uzskaitiet galvenās metodes to risināšanai.
n \u003d 1 - lineārais vienādojums.
n \u003d 2 - kvadrātvienādojums. Diskriminējoša formula. Formula sakņu aprēķināšanai. Vietas teorēma. Pilnīga kvadrāta izvēle.
n \u003d 3 - kubiskais vienādojums.
Grupēšanas metode.
Piemērs: x 3 - 4x 2 - x+ 4 \u003d 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, x 3 = -1.
Formas apgrieztais kubiskais vienādojums cirvis 3 + bx 2 + bx + a \u003d 0. Atrisiniet, apvienojot terminus ar vienādiem koeficientiem.
Piemērs: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.
Z sakņu atlase, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Piemērojot šo metodi, ir jāuzsver, ka meklēšana šajā gadījumā ir ierobežota, un mēs izvēlamies saknes saskaņā ar noteiktu algoritmu saskaņā ar teorēmu Z-samazinātā visa racionālā vienādojuma saknes ar veselu skaitļu koeficientiem.
Piemērs: x 3 – 9x 2 + 23x- 15 \u003d 0. Dots vienādojums. Pierakstīsim brīvā termina dalītājus ( + 1; + 3; + 5; + 15). Pielietosim Hornera shēmu:
| x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | izeja | |
| 1 | -9 | 23 | -15 | ||
| 1 | 1 | 1 x 1 - 9 \u003d -8 | 1 x (-8) + 23 \u003d 15 | 1 x 15 - 15 \u003d 0 | 1 - sakne |
| x 2 | x 1 | x 0 |
Mēs saņemam ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.
Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q sakņu atlase, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Piemērojot šo metodi, ir jāuzsver, ka uzskaitījums šajā gadījumā ir ierobežots, un mēs izvēlamies saknes pēc noteikta algoritma saskaņā ar teorēmu par J- visa nereducējama racionāla vienādojuma ar veselu skaitļu koeficientiem saknes.
Piemērs: 9 x 3 + 27x 2 – x - 3 \u003d 0. Vienādojums netiek samazināts. Pierakstīsim brīvā termina dalītājus ( + 1; + 3). Pierakstīsim koeficienta dalītājus ar nezināmā lielāko jaudu. ( + 1; + 3; + 9) Tāpēc starp vērtībām meklēsim saknes ( + 1; + ; + ; + 3). Pielietosim Hornera shēmu:
| x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | izeja | |
| 9 | 27 | -1 | -3 | ||
| 1 | 9 | 1 x 9 + 27 \u003d 36 | 1 x 36 - 1 \u003d 35 | 1 x 35 - 3 \u003d 32 ≠ 0 | 1 - nav sakne |
| -1 | 9 | -1 x 9 + 27 \u003d 18 | -1 x 18 - 1 \u003d -19 | -1 x (-19) - 3 \u003d 16 ≠ 0 | -1 - nav sakne |
| 9 | x 9 + 27 \u003d 30 | x 30 - 1 \u003d 9 | x 9 - 3 \u003d 0 | sakne | |
| x 2 | x 1 | x 0 |
Mēs saņemam ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.
Aprēķina ērtībai, izvēloties Q -saknes var būt ērti veikt mainīgā lieluma maiņu, doties uz samazināto vienādojumu un atlasīt Z -saknes.
- Ja brīvais termiņš ir 1
- Ja varat izmantot formas aizstāšanu y \u003d kx
Formula Cardano. Ir universāla kubisko vienādojumu risināšanas metode - tā ir Cardano formula. Šī formula ir saistīta ar itāļu matemātiķu Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipiona del Ferro (1465-1526) vārdiem. Šī formula ir ārpus mūsu kursa darbības jomas.
n \u003d 4 - ceturtās pakāpes vienādojums.
Grupēšanas metode.
Piemērs: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.
Mainīga aizstāšanas metode.
- Formas divkvadrātiskais vienādojums cirvis 4 + bx 2 + s = 0 .
Piemērs: x 4 + 5x 2 - 36 \u003d 0. Aizstāšana y = x 2. No šejienes y 1 = 4, y 2 \u003d -9. tāpēc x 1,2 = + 2 .
- Formas ceturtās pakāpes apgrieztais vienādojums cirvis 4 + bx 3 + c x 2 + bx + a = 0.
Mēs atrisinām, apvienojot terminus ar vienādiem koeficientiem, aizstājot formu
- cirvis 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.
- Vispārējs formas ceturtās pakāpes atgriešanās vienādojums cirvis 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2a \u003d 0.
- Vispārējā skata aizstāšana. Daži standarta aizstājēji.
3. piemērs . Vispārējā skata aizstāšana (izriet no konkrēta vienādojuma formas).
n = 3.
Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q sakņu montāža n = 3.
Vispārējā formula. Ir universāla metode ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanai. Šī formula ir saistīta ar Ludovico Ferrari (1522-1565) vārdu. Šī formula ir ārpus mūsu kursa darbības jomas.
n > 5 - piektās un augstākās pakāpes vienādojumi.
Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Z sakņu atlase, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Algoritms ir līdzīgs tam, kas tika apsvērts iepriekš n = 3.
Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q sakņu montāža pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Algoritms ir līdzīgs tam, kas tika apsvērts iepriekš n = 3.
Simetriski vienādojumi. Jebkuram nepāra pakāpes atgriešanās vienādojumam ir sakne x \u003d -1, un pēc faktūrfaktorizēšanas iegūstam, ka vienam faktoram ir forma ( x + 1), un otrais faktors ir vienmērīga grāda atgriešanās vienādojums (tā pakāpe ir par vienu mazāka par sākotnējā vienādojuma pakāpi). Jebkurš pāra pakāpes atgriešanās vienādojums kopā ar formas sakni x \u003d φ satur arī sugas sakni. Izmantojot šos apgalvojumus, mēs atrisinām problēmu, pazeminot pētāmā vienādojuma pakāpi.
Mainīga aizstāšanas metode. Izmantojot vienveidību.
Nav vispārējas formulas visu piektās pakāpes vienādojumu atrisināšanai (to parādīja itāļu matemātiķis Paolo Ruffini (1765-1822) un norvēģu matemātiķis Niels Henriks Ābels (1802-1829)) un augstākos grādos (to parādīja Franču matemātiķis Evariste Galois (1811-1832))).
- Atgādināsim vēlreiz, ka praksē to ir iespējams izmantot kombinācijas iepriekš uzskaitītās metodes. Ir ērti pāriet uz zemāku grādu vienādojumu kopu ar sākotnējā vienādojuma faktorizācija.
- Plaši izmantots praksē palika ārpus mūsu šodienas diskusijas. grafiskās metodes risinot vienādojumus un aptuvenas risinājuma metodes augstāku grādu vienādojumi.
- Pastāv situācijas, kad vienādojumam nav R sakņu. Tad risinājums tiek samazināts, lai parādītu, ka vienādojumam nav sakņu. Pierādījumam mēs analizējam apskatāmo funkciju uzvedību monotonitātes intervālos. Piemērs: Vienādojums x 8 – x 3 + 1 \u003d 0 nav sakņu.
- Izmantojot funkciju monotoniskuma īpašību ... Pastāv situācijas, kad dažādu funkciju īpašību izmantošana ļauj vienkāršot uzdevumu.
1. piemērs: vienādojums x 5 + 3x - 4 \u003d 0 ir viena sakne x\u003d 1. Analizēto funkciju monotoniskuma dēļ citu sakņu nav.
2. piemērs: vienādojums x 4 + (x - 1) 4 \u003d 97 ir saknes x 1 \u003d -2 un x 2 \u003d 3. Izanalizējot atbilstošo funkciju uzvedību monotonitātes intervālos, mēs secinām, ka citu sakņu nav.
4. Apkopojot.
Kopsavilkums: Tagad mēs esam apguvuši dažādu augstāku grādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes (n > 3). Mūsu uzdevums ir iemācīties efektīvi izmantot iepriekš uzskaitītos algoritmus. Atkarībā no vienādojuma veida mums būs jāapgūst, kā noteikt, kura risinājuma metode šajā gadījumā ir visefektīvākā, kā arī pareizi jāpiemēro izvēlētā metode.
5. Mājas darbs.
: 7. lpp., 164.-174. lpp., Nr. 33-36, 39-44, 46.47.
: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.
Iespējamās ziņojumu tēmas vai tēzes:
- Formula Cardano
- Grafiskā metode vienādojumu risināšanai. Risinājumu piemēri.
- Metodes aptuvenam vienādojumu risinājumam.
Materiāla asimilācijas analīze un studentu interese par tēmu:
Pieredze rāda, ka studentus galvenokārt interesē iespējas pieņemt darbā Z-saknes un J-vienādojumu saknes, izmantojot diezgan vienkāršu algoritmu, izmantojot Hornera shēmu. Studenti ir ieinteresēti arī dažādos mainīgo aizvietotāju standarta tipos, kas var ievērojami vienkāršot problēmu. Parasti īpašu interesi rada grafisko risinājumu metodes. Šajā gadījumā jūs varat papildus izjaukt uzdevumus grafiskā metodē vienādojumu risināšanai; apspriediet 3, 4, 5 grādu polinoma grafika vispārējo skatu; analizējiet, kā vienādojumu 3, 4, 5 grādu sakņu skaits ir saistīts ar atbilstošā grafika tipu. Zemāk ir saraksts ar grāmatām, kurās varat atrast papildinformāciju par šo tēmu.
Atsauces:
- Viļenkins N. Ja. et al. “Algebra. Mācību grāmata 9. klases skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi ”- M., Izglītība, 2007 - 367 lpp.
- Viļenkins N.Ja., Šibasovs L.P., Šibasova Z.F. “Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Aritmētika. Algebra. 10.-11.klase ”- M., Izglītība, 2008. - 192 lpp.
- Vigodskis M. Ja. "Matemātikas rokasgrāmata" - M., AST, 2010 - 1055 lpp.
- Galitsky M.L.“Problēmu kolekcija algebrā. Mācību grāmata 8.-9. Klasei ar padziļinātu matemātikas izpēti ”- M., Izglītība, 2008 - 301 lpp.
- Zvavich L.I. et al. “Algebra un analīzes sākums. 8-11 kl. Rokasgrāmata skolām un klasēm ar padziļinātu matemātikas izpēti ”- M., Bustard, 1999 - 352 lpp.
- Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N. "Uzdevumi matemātikā, lai sagatavotos rakstiskajam eksāmenam 9. klasē" - M., Izglītība, 2007 - 112 lpp.
- Ivanovs A.A., Ivanovs A.P. “Tematiskie testi zināšanu sistematizēšanai matemātikā” 1. daļa - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 lpp.
- Ivanovs A.A., Ivanovs A.P. “Tematiskie testi zināšanu sistematizēšanai matemātikā” 2. daļa - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 lpp.
- Ivanovs A.P. “Testi un testi matemātikā. Apmācība ". - M., Fizmatkniga, 2008. - 304 lpp.
- Leibsons K.L. “Praktisko vingrinājumu kolekcija matemātikā. 2-9. Daļas pakāpe "- M., MCNMO, 2009 - 184 lpp.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. Papildu nodaļas 9. klases skolas mācību grāmatai. Mācību grāmata skolēniem skolās un klasēs ar padziļinātu matemātikas apguvi. " - M., Izglītība, 2006 - 224 lpp.
- Mordkovičs A.G. "Algebra. Padziļināts pētījums. 8. klase. Mācību grāmata "- M., Mnemosina, 2006 - 296 lpp.
- Savins A.P. “Jauna matemātiķa enciklopēdiska vārdnīca” - M., Pedagoģija, 1985 - 352 lpp.
- Survillo G.S., Simonov A.S. “Didaktiskie materiāli par algebru 9. klasei ar padziļinātu matemātikas izpēti” - M., Izglītība, 2006 - 95 lpp.
- Čulkovs P.V. “Vienādojumi un nevienlīdzība skolas matemātiķu kursā. 1. – 4. Lekcija ”- M., 2006. gada 1. septembris - 88 lpp.
- Čulkovs P.V. “Vienādojumi un nevienlīdzība skolas matemātiķu kursā. Lekcijas 5. – 8. ”- M., 2009. gada 1. septembris - 84 lpp.
Darba teksts tiek ievietots bez attēliem un formulām.
Darba pilnā versija ir pieejama cilnē "Darba faili" PDF formātā
Ievads
Augstākas pakāpes algebrisko vienādojumu risināšana ar vienu nezināmu ir viena no visgrūtākajām un senākajām matemātiskajām problēmām. Ar šīm problēmām nodarbojās izcilākie senatnes matemātiķi.
N-tās pakāpes vienādojumu risināšana ir svarīgs uzdevums arī mūsdienu matemātikā. Interese par tiem ir diezgan liela, jo šie vienādojumi ir cieši saistīti ar vienādojumu sakņu meklēšanu, kas nav ņemti vērā skolas mācību programmā matemātikā.
Problēma: prasmju trūkums dažādu veidu augstākas pakāpes vienādojumu risināšanā skolēnu vidū neļauj veiksmīgi sagatavoties gala sertifikātam matemātikā un matemātikas olimpiādēs, mācot specializētā matemātikas klasē.
Noteiktie uzskaitītie fakti atbilstība mūsu darba "Augstāku grādu vienādojumu risināšana".
Vienkāršāko n-tās pakāpes vienādojumu risināšanas veidu izmantošana samazina uzdevuma izpildes laiku, no kura atkarīgs darba rezultāts un mācību procesa kvalitāte.
Darba mērķis: zināmu metožu izpēte augstāku grādu vienādojumu risināšanai un praktiski izmantojamāko no tām noteikšana.
Pamatojoties uz šo mērķi, darbs identificēja sekojošo uzdevumi:
Mācību literatūra un interneta resursi par šo tēmu;
Iepazīstieties ar vēsturiskajiem faktiem, kas saistīti ar šo tēmu;
Aprakstiet dažādus veidus, kā atrisināt augstākas pakāpes vienādojumus
salīdzināt katra no tiem sarežģītības pakāpi;
Iepazīstināt klasesbiedrus ar augstāku pakāpju vienādojumu risināšanas metodēm;
Izveidojiet vienādojumu kopumu katras aplūkotās metodes praktiskai pielietošanai.
Pētījuma objekts - augstāku grādu vienādojumi ar vienu mainīgo.
Pētījuma priekšmets - veidi, kā atrisināt augstākas pakāpes vienādojumus.
Hipotēze:nav vispārējas metodes un vienota algoritma, kas ļauj atrast n-tās pakāpes vienādojumu risinājumus ierobežotā skaitā soļu.
Pētījuma metodes:
- bibliogrāfiskā metode (literatūras analīze par pētījuma tēmu);
- klasifikācijas metode;
- kvalitatīvās analīzes metode.
Teorētiskā nozīmepētījums sastāv no metožu sistematizācijas augstākas pakāpes vienādojumu risināšanai un to algoritmu aprakstā.
Praktiskā nozīme - iesniegtais materiāls par šo tēmu un mācību grāmatas izstrāde studentiem par šo tēmu.
1 AUGSTĀKĀS PAMATAS LĪDZEKĻI
1.1 n-tās pakāpes vienādojuma jēdziens
1. definīcija.N-tās pakāpes vienādojums ir formas vienādojums
a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an \u003d 0, kur koeficienti a 0, a 1, a 2…, an -1, an- jebkurš reāls skaitlis un , a 0 ≠ 0 .
Polinoms a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an sauc par n pakāpes polinomu. Koeficientus izšķir pēc to nosaukumiem: a 0 - vecāko koeficients; an ir brīvs biedrs.
2. definīcija. Dotā vienādojuma risinājumi vai saknes ir visas mainīgā vērtības x, kas šo vienādojumu pārvērš par patiesu skaitlisku vienādību vai kurā polinomu a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an pazūd. Šī mainīgā vērtība xsauc arī par polinoma sakni. Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes vai konstatēt, ka tās nav.
Ja a 0 \u003d 1, tad šādu vienādojumu sauc par visu samazināto racionālo vienādojumu n th grāds.
Trešās un ceturtās pakāpes vienādojumiem ir Cardano un Ferrari formulas, kas šo vienādojumu saknes izsaka radikāļu izteiksmē. Izrādījās, ka praksē tos izmanto reti. Tādējādi, ja n ≥ 3 un polinoma koeficienti ir patvaļīgi reālie skaitļi, tad vienādojuma sakņu atrašana nav viegls uzdevums. Neskatoties uz to, daudzos īpašos gadījumos šī problēma tiek atrisināta līdz galam. Pakavēsimies pie dažiem no tiem.
1.2. Vēsturiski fakti par augstāku pakāpju vienādojumu risināšanu
Jau senatnē cilvēki saprata, cik svarīgi ir iemācīties atrisināt algebriskos vienādojumus. Apmēram pirms 4000 gadiem Babilonijas zinātnieki apguva kvadrātvienādojuma risinājumu un atrisināja divu vienādojumu sistēmas, no kurām viena ir otrās pakāpes. Ar augstāku pakāpju vienādojumu palīdzību tika atrisinātas dažādas mērniecības, arhitektūras un militāro lietu problēmas, līdz tām tika samazināti daudzi un dažādi prakses un dabaszinātņu jautājumi, jo precīzā matemātikas valoda ļauj vienkārši izteikt faktus un attiecības tas, parastā valodā runājot, var šķist mulsinoši un sarežģīti ...
Universāla formula algebriskā vienādojuma sakņu atrašanai n grāds Nr. Daudzi, protams, nāca ar vilinošu ideju atrast jebkurai jaudai n formulas, kas izteiks vienādojuma saknes pēc koeficientiem, tas ir, atrisinās vienādojumu radikāļos.
Tikai 16. gadsimtā itāļu matemātiķiem izdevās virzīties tālāk - atrast formulas n \u003d 3 un n \u003d 4. Tajā pašā laikā Scipio, Dal, Ferro un viņa studenti Fiori un Tartaglia iesaistījās jautājumā par vispārēju risinājumu no 3. pakāpes vienādojumiem.
1545. gadā tika publicēta itāļu matemātiķa D. Kardano grāmata "Lielā māksla jeb algebras likumi", kurā līdzās citiem algebras jautājumiem tika aplūkotas kubisko vienādojumu risināšanas vispārīgās metodes, kā arī metode risinot 4. pakāpes vienādojumus, kurus atklājis viņa students L. Ferrari.
F. Viets sniedza pilnīgu jautājumu izklāstu, kas saistīts ar trešās un ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanu.
19. gadsimta 20. gados norvēģu matemātiķis N. Ābels pierādīja, ka piektās pakāpes vienādojumu saknes nevar izteikt radikāļos.
Pētījuma gaitā tika atklāts, ka mūsdienu zinātne zina daudzus veidus, kā atrisināt n-tās pakāpes vienādojumus.
Meklējot metodes augstāku grādu vienādojumu risināšanai, kuras nevar atrisināt ar skolu mācību programmās aplūkotajām metodēm, tika iegūtas metodes, kuru pamatā bija Vieta teorēmas piemērošana (grādu vienādojumiem). n\u003e 2), Bezouta teorēmas, Hornera shēmas, kā arī Cardano un Ferrari formula kubisko vienādojumu un ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanai.
Darbā ir izklāstītas vienādojumu un to veidu risināšanas metodes, kas mums kļuva par atklājumu. Tie ietver - nenoteiktu koeficientu metodi, pilnas pakāpes izvēli, simetriskus vienādojumus.
2. AUGSTĀKO GRĀDU INTEGRĀLO LĪDZEKĻU RISINĀJUMS AR INTEGERA KOEFICIENTIEM
2.1. 3. pakāpes vienādojumu risināšana. Formula D. Cardano
Apsveriet formas vienādojumus x 3 + px + q \u003d 0.Mēs pārveidojam vispārējo vienādojumu formā: x 3 + px 2 + qx + r \u003d 0. Uzrakstīsim summas kuba formulu; Mēs to pievienojam sākotnējai vienlīdzībai un aizstājam ar y... Mēs iegūstam vienādojumu: y 3 + (q -) (y -) + (r - \u003d 0. Pēc pārveidojumiem mums ir: y 2 + py + q \u003d 0. Tagad atkal uzrakstiet summas kuba formulu:
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d a 3 + b 3 + 3ab (a + b), aizvietot ( a + b) uz x, mēs iegūstam vienādojumu x 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Tagad jūs varat redzēt, ka sākotnējais vienādojums ir ekvivalents sistēmai: un, risinot sistēmu, mēs iegūstam:
Esam ieguvuši 3. pakāpes reducētā vienādojuma atrisināšanas formulu. Viņa nes itāļu matemātiķa Cardano vārdu.
Apskatīsim piemēru. Atrisiniet vienādojumu :.
Mums ir r \u003d 15 un q \u003d 124, tad, izmantojot Cardano formulu, mēs aprēķinām vienādojuma sakni
Secinājums: šī formula ir laba, bet nav piemērota visu kubisko vienādojumu risināšanai. Tomēr tas ir apgrūtinoši. Tāpēc praksē to lieto reti.
Bet tas, kurš pārzina šo formulu, to var izmantot, risinot eksāmenā trešās pakāpes vienādojumus.
2.2 Vieta teorēma
No matemātikas kursa mēs zinām šo kvadrātvienādojuma vienādojumu, taču maz cilvēku zina, ka to izmanto arī augstāku grādu vienādojumu risināšanai.
Apsveriet vienādojumu:
faktorizē vienādojuma kreiso pusi, dala ar ≠ 0.
Mēs pārveidojam vienādojuma labo pusi formā
; no tā izriet, ka sistēmā var ierakstīt šādas vienādības:
Formulas, kuras Viet atvasina kvadrātvienādojumiem un kuras mēs parādījām trešās pakāpes vienādojumiem, ir attiecināmas arī uz augstākas pakāpes polinomiem.
Atrisināsim kubisko vienādojumu:
Secinājums: šī metode ir universāla un pietiekami viegli saprotama studentiem, jo \u200b\u200bVieta teorēma viņiem ir pazīstama no skolas mācību programmas n = 2. Tajā pašā laikā, lai atrastu vienādojumu saknes, izmantojot šo teorēmu, jābūt labām skaitļošanas prasmēm.
2.3 Bezout teorēma
Šī teorēma ir nosaukta 18. gadsimta franču matemātiķa J. Bezouta vārdā.
Teorēma.Ja vienādojums a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an \u003d 0, kurā visi koeficienti ir veseli skaitļi, un brīvais termins ir nulle, ir vesels skaitlis sakne, tad šī sakne ir brīvā vārda dalītājs.
Ņemot vērā, ka vienādojuma kreisajā pusē atrodas n-tās pakāpes polinoms, teorēmu interpretē atšķirīgi.
Teorēma. Dalot n pakāpes polinomu attiecībā pret x binomāls x - a atlikums ir vienāds ar dividenžu vērtību x \u003d a... (vēstule a var apzīmēt jebkuru reālu vai iedomātu skaitli, t.i. jebkurš komplekss skaitlis).
Pierādījumi: ļaujiet būt f (x) apzīmē patvaļīgu n-tās pakāpes polinomu attiecībā pret mainīgo x un ļauj, dalot ar binomu ( x-a) notika privāti q (x), un pārējā daļā R... Tas ir acīmredzami q (x) būs kāds polinoms (n - 1) th grāds attiecībā uz xun atlikušo R būs nemainīga vērtība, t.i. neatkarīgi no x.
Ja atlikušo R bija pirmās pakāpes polinoms attiecībā pret x, tad tas nozīmētu, ka dalījums nav apmierināts. Tātad, R no x nav atkarīgs. Pēc dalījuma definīcijas mēs iegūstam identitāti: f (x) \u003d (x-a) q (x) + R.
Vienādība ir derīga jebkurai x vērtībai, kas nozīmē, ka tā ir derīga arī x \u003d a, mēs iegūstam: f (a) \u003d (a-a) q (a) + R... Simbols f (a) apzīmē polinoma f vērtību (x) plkst x \u003d a, q (a) apzīmē vērtību q (x) plkst x \u003d a.Atgādinājums R palika tāds pats kā iepriekš, kopš R no x nav atkarīgs. Sastāvs ( x-a) q (a) \u003d 0, jo koeficients ( x-a) \u003d 0, un faktors q (a) ir noteikts skaitlis. Tāpēc no līdztiesības mēs iegūstam: f (a) \u003d R,h.t.d.
1. piemērs.Atrodiet atlikušo polinoma dalījuma daļu x 3 - 3x 2 + 6x-5 uz binomāla
x-2. Pēc Bezouta teorēmas : R \u003d f(2) = 23-322 + 62 -5 \u003d 3. Atbilde: R \u003d3.
Ņemiet vērā, ka Bezouta teorēma ir svarīga ne tik daudz pati par sevi, cik tās sekās. (1. pielikums)
Pakavēsimies pie dažām metodēm, kā Bezout teorēmu pielietot praktisku problēmu risināšanā. Jāatzīmē, ka, risinot vienādojumus, izmantojot Bezout teorēmu, ir nepieciešams:
Atrodiet visus brīvā termina veselo skaitļu dalītājus;
Atrodiet vismaz vienu vienādojuma sakni no šiem dalītājiem;
Sadaliet vienādojuma kreiso pusi ar (Ha);
Pierakstiet dalītāja un koeficienta reizinājumu kreisajā vienādojuma pusē;
Atrisiniet iegūto vienādojumu.
Apsveriet, piemēram, vienādojuma x atrisināšanu 3 + 4x 2 + x -6 = 0 .
Risinājums: atrodiet brīvā termina dalītājus ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Aprēķināsim vērtības pie x \u003d1, 1 3 + 41 2 + 1–6 \u003d 0. Daliet vienādojuma kreiso pusi ar ( x-1). Mēs veiksim dalīšanu "ar stūri", iegūstam:
Secinājums: Bezouta teorēma, viens no veidiem, ko mēs apsveram savā darbā, tiek pētīta izvēles stundu programmā. To ir grūti saprast, jo, lai to iegūtu, jums jāzina visas no tā izrietošās sekas, taču tajā pašā laikā Bezouta teorēma ir viens no galvenajiem studentu palīgiem eksāmenā.
2.4 Hornera shēma
Lai sadalītu polinomu ar binomu x-α jūs varat izmantot īpašu vienkāršu triku, kuru izgudroja 17. gadsimta angļu matemātiķi, vēlāk sauktu par Hornera shēmu. Papildus vienādojumu sakņu atrašanai saskaņā ar Hornera shēmu ir vieglāk aprēķināt to vērtības. Lai to izdarītu, mainīgā lielums ir jāaizstāj ar polinomu Pn (x) \u003d a 0 xn + a 1 x n-1 + a 2 xⁿ - ² +… ++ an -1 x + an. (viens)
Apsveriet polinoma (1) dalījumu ar binomu x-α.
Izteiksim nepilnīgā koeficienta b koeficientus 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 un atlikušo r attiecībā uz polinoma Pn koeficientiem ( x) un numuru α. b 0 \u003d a 0 , b 1 = α b 0 + a 1 , b 2 = α b 1 + a 2 …, bn -1 =
= α bn -2 + an -1 = α bn -1 + an .
Aprēķini pēc Hornera shēmas ir parādīti šādas tabulas veidā:
|
un 0 |
a 1 |
a 2 , |
|||
|
b 0 \u003d a 0 |
b 1 = α b 0 + a 1 |
b 2 = α b 1 + a 2 |
r \u003d αb n-1 + an |
Ciktāl r \u003d Pn (α), tad α ir vienādojuma sakne. Lai pārbaudītu, vai α ir daudzsakne, Hornera shēmu var attiecināt uz koeficientu b 0 x +b 1 x + ... +bn -1 pēc tabulas. Ja slejā zem bn -1 atkal izrādās 0, tātad α ir daudzsakne.
Apsveriet piemēru: Atrisiniet vienādojumu x 3 + 4x 2 + x -6 = 0.
Mēs pieliekam vienādojuma kreisajā pusē polinoma koeficientu, Hornera shēmu - vienādojuma kreisajā pusē.
Risinājums: atrodiet brīvā termina dalītājus ± 1; ± 2; ±3; ± 6.
|
6 ∙ 1 + (-6) = 0 |
Dalītāji ir skaitļi 1, 5, 6, un atlikums ir r \u003d 0.
Līdzekļi, x 3 + 4x 2 + x - 6 = (x - 1) (x 2 + 5x + 6) = 0.
Tādējādi: x - 1 \u003d 0 vai x 2 + 5x + 6 = 0.
x = 1, x 1 = -2; x 2 = -3. Atbilde:1,- 2, - 3.
Secinājums: tādējādi vienā vienādojumā mēs parādījām divu dažādu polinomu faktorēšanas metožu izmantošanu. Mūsuprāt, Hornera shēma ir vispraktiskākā un ekonomiskākā.
2.5 4. pakāpes vienādojumu risināšana. Ferrari metode
Cardano audzēknis Ludovičs Ferrari atklāja veidu, kā atrisināt 4. pakāpes vienādojumu. Ferrari metode sastāv no diviem posmiem.
I posms: formas vienādojumi tiek attēloti kā divu kvadrātveida trinomu produkts, tas izriet no fakta, ka vienādojums ir 3. pakāpes un vismaz viens risinājums.
II posms: iegūtie vienādojumi tiek atrisināti, izmantojot faktorizāciju, bet, lai atrastu nepieciešamo faktorizāciju, ir jāatrisina kubiskie vienādojumi.
Ideja ir attēlot vienādojumus formā A 2 \u003d B 2, kur A \u003d x 2 + s,
B lineārā funkcija x... Tad atliek atrisināt vienādojumus A \u003d ± B.
Skaidrības labad apsveriet vienādojumu: Mēs vienatnē esam 4. pakāpi, mēs iegūstam: Jebkuram dizteiksme būs ideāls kvadrāts. Pievienojiet abām iegūtā vienādojuma pusēm
Kreisajā pusē ir pilns laukums, kuru varat uzņemt dtā, lai labā puse (2) arī kļūtu par pilnīgu kvadrātu. Iedomāsimies, ka mēs to esam sasnieguši. Tad mūsu vienādojums izskatās šādi:
Pēc tam atrast sakni nebūs grūti. Lai izvēlētos pareizo d ir nepieciešams, lai labās puses (3) atšķirība izzustu, t.i.
Tātad, lai atrastu d, ir nepieciešams atrisināt šo 3. pakāpes vienādojumu. Šādu palīgvienādojumu sauc izšķirtspēja.
Mēs viegli varam atrast visu šķīdinātāja sakni: d \u003d1
Vienādojumu aizstājot ar (1), iegūstam
Secinājums: Ferrari metode ir universāla, taču sarežģīta un apgrūtinoša. Tajā pašā laikā, ja risinājuma algoritms ir skaidrs, tad ar šo metodi var atrisināt 4. pakāpes vienādojumus.
2.6. Nedefinētu koeficientu metode
Panākumi, kā atrisināt 4. pakāpes vienādojumu ar Ferrari metodi, ir atkarīgs no tā, vai mēs atrisinām rezolūto - 3. pakāpes vienādojumu, kas, kā zināms, ne vienmēr ir iespējams.
Nenoteiktu koeficientu metodes būtība ir tāda, ka tiek uzminēts faktoru veids, kurā sadalās dots polinoms, un šo faktoru (arī polinomu) koeficientus nosaka, reizinot faktorus un vienādojot koeficientus vienādās pakāpēs. mainīgais.
Piemērs: Atrisiniet vienādojumu:
Pieņemsim, ka mūsu vienādojuma kreiso pusi var sadalīt divos kvadrātveida trinomālos ar veseliem skaitļiem, lai identitāte
Acīmredzot koeficientiem vienības priekšā jābūt vienādiem ar 1, un brīvajiem noteikumiem jābūt vienādiem ar vienu + 1, otram ir 1.
Koeficienti priekšā x... Apzīmēsim tos ar un un, lai tos noteiktu, reizinām abus trinomus vienādojuma labajā pusē.
Rezultātā mēs iegūstam:
Koeficientu pielīdzināšana vienādos grādos xvienlīdzības kreisajā un labajā pusē (1) iegūstam sistēmu, lai atrastu un
Pēc šīs sistēmas atrisināšanas mums būs
Tātad, mūsu vienādojums ir vienāds ar vienādojumu
To atrisinājuši, mēs iegūstam šādas saknes:.
Nenoteiktu koeficientu metode balstās uz šādiem apgalvojumiem: jebkuru vienādojuma ceturtās pakāpes polinomu var sadalīt divu otrās pakāpes polinomu reizinājumā; divi polinomi ir identiski vienādi tikai tad, ja to koeficienti ir vienādi vienādos grādos x.
2.7. Simetriski vienādojumi
Definīcija.Formas vienādojumu sauc par simetrisku, ja vienādojumā kreisie pirmie koeficienti ir vienādi ar pirmajiem labajā pusē.
Mēs redzam, ka pirmie koeficienti kreisajā pusē ir vienādi ar pirmajiem koeficientiem labajā pusē.
Ja šādam vienādojumam ir nepāra pakāpe, tad tam ir sakne x= - 1. Pēc tam mēs varam pazemināt vienādojuma pakāpi, dalot to ar ( x +viens). Izrādās, ka, simetrisko vienādojumu dalot ar ( x +1) tiek iegūts simetrisks pāra pakāpes vienādojums. Koeficientu simetrijas pierādījums ir parādīts zemāk. (6. pielikums) Mūsu uzdevums ir iemācīties atrisināt simetriskus vienāda pakāpes vienādojumus.
Piemēram: (1)
Mēs atrisinām vienādojumu (1), dalām ar x 2 (vidējs) \u003d 0.
Grupēsim terminus ar simetriskiem
) + 3(x +. Mēs apzīmējam plkst= x +, kvadrātosim abas puses, līdz ar to \u003d plkst 2 Tātad, 2 ( plkst 2 vai 2 plkst 2 + 3 atrisinot vienādojumu, mēs saņemam plkst = , plkst \u003d 3. Pēc tam atgriezīsimies pie nomaiņas x + \u003d un x + \u003d 3. Mēs iegūstam vienādojumus un Pirmajam nav risinājuma, bet otrajam ir divas saknes. Atbilde :.
Secinājums: šāda veida vienādojumi nav bieži sastopami, taču, ja jūs ar to saskaraties, tad to var viegli un vienkārši atrisināt, neizmantojot apgrūtinošus aprēķinus.
2.8. Pilnas pakāpes izolēšana
Apsveriet vienādojumu.
Kreisā puse ir summas kubs (x + 1), t.i.
Mēs izvelkam trešās pakāpes sakni no abām daļām:, tad mēs iegūstam
Kur ir vienīgā sakne.
PĒTĪJUMA REZULTĀTI
Pamatojoties uz darba rezultātiem, mēs nonācām pie šādiem secinājumiem:
Pateicoties pētītajai teorijai, mēs iepazināmies ar dažādām metodēm visu augstāku grādu vienādojumu atrisināšanai;
D. Cardano formulu ir grūti izmantot, un tā dod lielu varbūtību kļūdīties aprēķinā;
- L. Ferrari metode ļauj samazināt ceturtās pakāpes vienādojuma risinājumu līdz kubiskajam;
- Bezouta teorēmu var piemērot gan kubiskajiem vienādojumiem, gan ceturtās pakāpes vienādojumiem; tas ir saprotamāks un vizuālāks, ja to piemēro vienādojumu risinājumam;
Hornera shēma palīdz ievērojami samazināt un vienkāršot aprēķinus vienādojumu risināšanā. Papildus sakņu atrašanai saskaņā ar Hornera shēmu ir vieglāk aprēķināt vienādojuma kreisajā pusē esošo polinomu vērtības;
Īpaši interesants bija vienādojumu risinājums ar nedefinētu koeficientu metodi, simetrisku vienādojumu risinājums.
Pētnieciskā darba gaitā tika konstatēts, ka skolēni matemātikas izvēles klasēs, sākot no 9. vai 10. klases, kā arī īpašos matemātikas apmeklēšanas kursos iepazīstas ar vienkāršākajām metodēm augstākās pakāpes vienādojumu risināšanai. skolas. Šis fakts tika konstatēts MBOU "9. vidusskolas" matemātikas skolotāju un skolēnu aptaujas rezultātā, un skolēni parādīja pastiprinātu interesi par "matemātikas" priekšmetu.
Populārākās augstāko pakāpju vienādojumu risināšanas metodes, kas sastopamas olimpiādes, konkurences problēmu risināšanā un studentu sagatavošanas eksāmeniem rezultātā, ir metodes, kuru pamatā ir Bezouta teorēmas, Hornera shēmas un jauna mainīgā ieviešana.
Pētnieciskā darba rezultātu demonstrēšana, t.i. veidi, kā atrisināt vienādojumus, kas netiek pētīti skolas mācību programmā matemātikā, ieinteresētie klasesbiedri.
Secinājums
Izpētījis izglītības un zinātnisko literatūru, interneta resursus jaunatnes izglītības forumos
Marina A. Trifanova
matemātikas skolotājs, SM "48. ģimnāzija (daudznozaru)", Talnakh
Nodarbības trīsvienīgais mērķis:
Izglītības:
zināšanu sistematizēšana un vispārināšana par augstāku grādu vienādojumu risināšanu.
Attīstība:
veicināt loģiskās domāšanas attīstību, spēju strādāt patstāvīgi, savstarpējas kontroles un paškontroles prasmes, spēju runāt un klausīties.
Izglītības:
veidojot pastāvīgas nodarbināšanas paradumu, veicinot atsaucību, centību, precizitāti.
Nodarbības veids:
nodarbība zināšanu, prasmju un iemaņu kompleksā pielietošanā.
Nodarbības forma:
vēdināšana, fiziskā sagatavotība, dažādas darba formas.
Aprīkojums:
pamata piezīmes, kartes ar uzdevumiem, nodarbību uzraudzības matrica.
NODARBĪBU LAIKĀ
I. Organizatoriskais moments
- Stundas mērķa paziņošana studentiem.
- Mājas darbu pārbaude (1. pielikums). Darbs ar atsauces piezīmēm (2. pielikums).
Vienādojumi un atbildes par katru no tiem ir rakstīti uz tāfeles. Studenti pārbauda atbildes un ātri analizē katra vienādojuma risinājumu vai atbild uz skolotāja jautājumiem (frontālā aptauja). Paškontrole - skolēni sev piešķir atzīmes un nodod piezīmju grāmatiņas, lai skolotājs pārbaudītu, vai viņi labo atzīmes vai to apstiprināšanu. Novērtējuma skola ir rakstīta uz tāfeles:
“5+” - 6 vienādojumi;
“5” - 5 vienādojumi;
“4” - 4 vienādojumi;
“3” - 3 vienādojumi.
Skolotāja mājas jautājumi:
1 vienādojums
- Kādas mainīgo izmaiņas tiek veiktas vienādojumā?
- Kāds vienādojums tiek iegūts pēc mainīgo mainīšanas?
2 vienādojums
- Kādā polinomā sadalījās abas vienādojuma puses?
- Kādas mainīgo izmaiņas tika iegūtas?
3 vienādojums
- Kādi polinomi jums jāreizina, lai vienkāršotu šī vienādojuma risinājumu?
4 vienādojums
- Nosauciet funkciju f (x).
- Kā tika atrastas pārējās saknes?
5. vienādojums
- Cik plaisas tika iegūtas, lai atrisinātu vienādojumu?
6 vienādojums
- Kādā veidā šo vienādojumu varētu atrisināt?
- Kurš risinājums ir racionālāks?
II. Nodarbības galvenā daļa ir grupas darbs.
Klase ir sadalīta 4 grupās. Katrai grupai tiek izsniegta kartīte ar teorētiskiem un praktiskiem (3. pielikums) jautājumiem: "Dekonstruējiet piedāvāto vienādojuma risināšanas metodi un izskaidrojiet to, izmantojot šo piemēru."
- Grupas darbs 15 minūtes.
- Piemēri ir rakstīti uz tāfeles (tāfele ir sadalīta 4 daļās).
- Grupas ziņojums aizņem 2 - 3 minūtes.
- Skolotājs izlabo grupu ziņojumus un palīdz grūtību gadījumā.
Grupas darbs turpinās ar kartēm 5 - 8. Katram vienādojumam tiek dotas 5 minūtes grupas diskusijai. Tad dēlī ir ziņojums par šo vienādojumu - īsa risinājuma analīze. Vienādojums var nebūt pilnībā atrisināts - tas tiek pabeigts mājās, bet tā risinājuma secība klasē tiek apspriesta visā.
III. Patstāvīgs darbs.4. papildinājums.
- Katrs students saņem individuālu uzdevumu.
- Laika darbs aizņem 20 minūtes.
- 5 minūtes pirms stundas beigām skolotājs sniedz bezgalīgas atbildes uz katru vienādojumu.
- Studenti maina piezīmju grāmatiņas lokā un pārbauda drauga atbildes. Piešķiriet atzīmes.
- Klades tiek pasniegtas skolotājam, lai pārbaudītu un labotu atzīmes.
IV. Nodarbības kopsavilkums.
Mājasdarbs.
Pārbaudiet nepabeigto vienādojumu risinājumu. Sagatavojieties kontroles šķēlei.
Novērtēšana.
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet sev Google kontu (kontu) un piesakieties tajā: \u200b\u200bhttps://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Augstāku grādu vienādojumi (polinoma saknes vienā mainīgajā).
Plānojiet lekcijas. Nr. 1. Augstāko pakāpju vienādojumi skolas matemātikas kursā. Nr. 2. Polinoma standarta forma. № 3. Polinoma integrālās saknes. Hornera shēma. № 4. Polinoma daļējas saknes. № 5. Formas vienādojumi: (x + a) (x + b) (x + c)… \u003d A № 6. Atgriezeniskie vienādojumi. № 7. Homogēni vienādojumi. № 8. Nenoteiktu koeficientu metode. Nr. 9. Funkcionālā - grafiskā metode. № 10. Vieta formulas augstāku grādu vienādojumiem. № 11. Nestandarta metodes augstāku grādu vienādojumu risināšanai.
Augstāko pakāpju vienādojumi skolas matemātikas kursā. 7. klase. Polinoma standarta forma. Darbības ar polinomiem. Polinoma faktors. Parastajā klasē 42 stundas, īpašajā klasē 56 stundas. 8 īpašā klase. Polinoma saknes veselumā, polinomu dalījums, atkārtoti vienādojumi, binomāta n - tā spēka starpība un summa, nenoteiktu koeficientu metode. Yu.N. Makarychev "Papildu nodaļas 8. klases algebras skolas kursam", MLGalitsky Uzdevumu kolekcija algebras 8. - 9. klasē. 9 īpašā klase. Polinoma racionālas saknes. Vispārīgi atdeves vienādojumi. Vieta formulas augstāku grādu vienādojumiem. N. Ya. Viļenkins “9. pakāpes algebra ar padziļinātu izpēti. 11 īpašā klase. Polinomu identitāte. Polinoms vairākos mainīgajos. Funkcionālā - grafiskā metode augstāku grādu vienādojumu risināšanai.
Polinoma standarta forma. Polinoms P (x) \u003d a ⁿ x ⁿ + a n-1 x n-1 +… + a₂x ² + a₁x + a₀. To sauc par standarta polinomu. a n x ⁿ ir augstākais polinoma un n ir augstākā polinoma koeficienta koeficients. Ja n \u003d 1, P (x) sauc par reducētu polinomu. un ₀ ir polinoma P (x) brīvais termins. n ir polinoma pakāpe.
Polinoma saknes vesels skaitlis. Hornera shēma. Teorēma Nr. 1. Ja vesels skaitlis a ir polinoma P (x) sakne, tad a ir brīvā termina P (x) dalītājs. 1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu. X⁴ + 2x³ \u003d 11x² - 4x - 4 Pielāgosim vienādojumu tā standarta formā. X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 \u003d 0. Mums ir polinoms P (x) \u003d x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 Brīvā termina dalījumi: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 vienādojuma sakne, jo P (1) \u003d 0, x \u003d 2 ir vienādojuma sakne, jo P (2) \u003d 0 Bezouta teorēma. Atlikums, dalot polinomu P (x) ar binomu (x - a), ir vienāds ar P (a). Sekas. Ja a ir polinoma P (x) sakne, tad P (x) dalās ar (x - a). Mūsu vienādojumā P (x) dalās ar (x - 1) un (x - 2), tātad ar (x - 1) (x - 2). Dalot P (x) ar (x ² - 3x + 2) koeficientā, iegūstam trinomu x ² + 5x + 2 \u003d 0, kura saknes ir x \u003d (- 5 ± √17) / 2
Polinoma daļējas saknes. 2. teorēma. Ja p / g ir polinoma P (x) sakne, tad p ir brīvā termina dalītājs, g ir galvenā termina P (x) koeficienta dalītājs. 2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu. 6x³ - 11x² - 2x + 8 \u003d 0. Brīvā laika dalītāji: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Neviens no šiem skaitļiem neapmierina vienādojumu. Nav neskartu sakņu. Vadošā termina P (x) koeficienta dabiskie dalītāji: 1, 2, 3, 6. Vienādojuma iespējamās frakcionētās saknes: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka P (4/3) \u003d 0. X \u003d 4/3 ir vienādojuma sakne. Saskaņā ar Hornera shēmu mēs dalām P (x) ar (x - 4/3).
Neatkarīga risinājuma piemēri. Atrisiniet vienādojumus: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 \u003d 0, X ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, X⁴ - 3x² + 2 \u003d 0, x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4x² + 5x + 2 \u003d 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4x³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Atbildes: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -viens; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; viens.
Formas (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) vienādojumi… \u003d A. 3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. a \u003d 1, b \u003d 2, c \u003d 3, d \u003d 4 a + d \u003d b + c. Pirmo kronšteinu mēs reizinām ar ceturto un otro ar trešo. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) \u003d 24. Ļaujiet x2 + 5x + 4 \u003d y , tad y (y + 2) \u003d 24, y² + 2y - 24 \u003d 0 y₁ \u003d - 6, y₂ \u003d 4.x² + 5x + 4 \u003d -6 vai x² + 5x + 4 \u003d 4.x² + 5x + 10 \u003d 0, D
Neatkarīga risinājuma piemēri. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3) ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) \u003d 24, (x - 3) (x - 4) ( x - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, norāde: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) Atbildes: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -viens; -4 ± √3.
Refleksijas vienādojumi. 1. definīcija. Formas vienādojumu: ax⁴ + in ³ + cx ² + in + a \u003d 0 sauc par ceturtās pakāpes atgriešanās vienādojumu. Definīcijas numurs 2. Formas vienādojumu: ah⁴ + bx ³ + cx ² + bx + k² a \u003d 0 sauc par vispārinātu ceturtās pakāpes atdeves vienādojumu. k2 a: a \u003d k2; kv: v \u003d k. Piemērs Nr. 6. Atrisiniet vienādojumu x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. Sadaliet abas vienādojuma puses ar x ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Ļaujiet x + 1 / x \u003d y. Mēs sakārtojam abas līdztiesības puses. x ² + 2 + 1 / x ² \u003d y², x ² + 1 / x ² \u003d y² - 2. Iegūstam kvadrātvienādojumu y² - 7y + 12 \u003d 0, y₁ \u003d 3, y₂ \u003d 4.x + 1 / x \u003d 3 vai x + 1 / x \u003d 4. Mēs iegūstam divus vienādojumus: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. 7. piemērs. 3x⁴ - 2x³ - 31x² + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. Vispārējā atgriešanās vienādojuma nosacījums ir izpildīts k \u003d -5. Atrisināts līdzīgi 6. piemēram. Sadaliet abas vienādojuma puses ar x ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0,3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. Ļaujiet x - 5 / x \u003d y, mēs kvadrātu abas vienādības puses x ² - 10 + 25 / x ² \u003d y², x ² + 25 / x ² \u003d y² + 10. Mums ir kvadrātvienādojums 3y² - 2y - 1 \u003d 0, y₁ \u003d 1, y₂ \u003d - 1 / 3. x - 5 / x \u003d 1 vai x - 5 / x \u003d -1/3. Mēs iegūstam divus vienādojumus: x ² - x - 5 \u003d 0 un 3x² + x - 15 \u003d 0
Neatkarīga risinājuma piemēri. 1,78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 \u003d 0, 2.x - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3.x ⁴ - x ³ - 10x² + 2x + 4 \u003d 0, 4.6x⁴ + 5x³ - 38x² - 10x + 24 \u003d 0,5 x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 \u003d 0,6 x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Atbildes: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.
Homogēni vienādojumi. Definīcija. Formas a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ \u003d 0 vienādojumu sauc par homogēnu trešās pakāpes vienādojumu attiecībā pret u v. Definīcija. Formas a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ \u003d 0 vienādojumu sauc par ceturtās pakāpes homogēnu vienādojumu attiecībā pret u v. 8. piemērs. Atrisiniet vienādojumu (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 Trešās pakāpes viendabīgs vienādojums attiecībā pret u \u003d x ² - x + 1, v \u003d x ². Abas vienādojuma puses dalām ar x ⁶. Iepriekš pārbaudījām, vai x \u003d 0 nav vienādojuma sakne. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y³ + 2y-3 \u003d 0, y \u003d 1 vienādojuma sakne. Pēc Hornera shēmas mēs dalām polinomu P (x) \u003d y³ + 2y - 3 ar y - 1. Dalījumā mēs iegūstam trinomu, kam nav sakņu. Atbilde: 1.
Neatkarīga risinājuma piemēri. 1,2 (x² + 6x + 1) ² + 5 (X² + 6X + 1) (X² + 1) + 2 (X² + 1) ² \u003d 0, 2. (X + 5) ⁴ - 13X² (X + 5) ² + 36X⁴ \u003d 0, 3,2 (X² + X + 1) ² - 7 (X - 1) ² \u003d 13 (X³ - 1), 4,2 (X -1) ⁴ - 5 (X² - 3X + 2) ² + 2 ( x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, atbildes: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Nav sakņu.
Nedefinētu koeficientu metode. Teorēma №3. Divi polinomi P (x) un G (x) ir identiski tikai tad, ja tiem ir vienāda pakāpe un mainīgā lieluma vienādu pakāpju koeficienti abos polinomos ir vienādi. 9. piemērs. Faktors polinoms y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1.y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 \u003d (y2 + wu + c) (y2 + v₁y + c₁) \u003d y ⁴ + y³ (b₁ + b) + y² ( s₁ + s + b₁v) + y (saule ₁ + sv ₁) + ss ₁. Saskaņā ar 3. teorēmu mums ir vienādojumu sistēma: s₁ + s \u003d -4, s₁ + s + s₁v \u003d 5, ss ₁ + sv ₁ \u003d -4, ss ₁ \u003d 1. Sistēma ir jāatrisina veselos skaitļos . Pēdējam vienādojumam veselos skaitļos var būt risinājumi: c \u003d 1, c₁ \u003d 1; c \u003d -1, c \u003d \u003d -1. Ļaujiet с \u003d с ₁ \u003d 1, tad no pirmā vienādojuma mums ir в₁ \u003d -4 –в. Sistēmas otrajā vienādojumā mēs aizstājam в² + 4в + 3 \u003d 0, в \u003d -1, в₁ \u003d -3 vai в \u003d -3, в₁ \u003d -1. Šīs vērtības atbilst trešajam vienādojumam sistēmā. Ar c \u003d c ₁ \u003d -1 D
Piemērs Nr. 10. Faktors polinoms y³ - 5y + 2. y³ -5y + 2 \u003d (y + a) (y² + wu + c) \u003d y³ + (a + b) y² + (ab + c) y + ac. Mums ir vienādojumu sistēma: a + b \u003d 0, ab + c \u003d -5, ac \u003d 2. Trešā vienādojuma iespējamie veselu skaitļu risinājumi: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1; -2). Ļaujiet a \u003d -2, c \u003d -1. No sistēmas pirmā vienādojuma в \u003d 2, kas apmierina otro vienādojumu. Aizstājot šīs vērtības vēlamajā vienādībā, mēs saņemam atbildi: (y - 2) (y2 + 2y - 1). Otrais veids. Y³ - 5y + 2 \u003d y³ -5y + 10 - 8 \u003d (y³ - 8) - 5 (y - 2) \u003d (y - 2) (y² + 2y -1).
Neatkarīga risinājuma piemēri. Izņemiet polinomus: 1.y⁴ + 4y³ + 6y² + 4y -8, 2.y⁴ - 4y³ + 7y² - 6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4.y⁴ -8y³ + 24y² -32y + 15.5. vienādojums, izmantojot faktorizācijas metodi: a) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Atbildes: 1) (y² + 2y -2) (y² + 2y +4), 2) ( y - 1) ² (y² -2y + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (y - 1) (y - 3) (y² - 4y + 5) 5a) ± 1; ± √2, 5b) 0; viens.
Funkcionālā - grafiskā metode augstāku grādu vienādojumu risināšanai. 11. piemērs. Atrisiniet vienādojumu x ⁵ + 5x -42 \u003d 0. Funkcija y \u003d x ⁵ palielinās, funkcija y \u003d 42 - 5x samazinās (k
Neatkarīga risinājuma piemēri. 1. Izmantojot funkcijas monotonitātes īpašību, pierādi, ka vienādojumam ir viena sakne, un atrodi šo sakni: a) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Atbildes: a) 2, b) √2. 2. Atrisiniet vienādojumu, izmantojot funkcionāli grafisko metodi: a) x \u003d ³ √x, b) l x l \u003d ⁵ √x, c) 2 \u003d 6 - x, d) (1/3) \u003d x +4, d) (x - 1) ² \u003d log₂ x, e) log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √x \u003d ln x, h) √x - 2 \u003d 9 / x. Atbildes: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, e) 1; 2, f) 1, g) 1, h) 9.
Vieta formulas augstāku grādu vienādojumiem. 5. teorēma (Vieta teorēma). Ja vienādojumam ax ⁿ + ax ⁿ +… + a₁x + a₀ ir n dažādas reālas saknes x ₁, x ₂,…, x, tad tās apmierina vienādības: kvadrātvienādojumam ax² + bx + c \u003d o: x ₁ + x ₂ \u003d -v / a, x₁x ₂ \u003d s / a; Kubiskā vienādojuma a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ \u003d o: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d -a₂ / a₃; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d a₁ / a₃; х₁х₂х ₃ \u003d -а₀ / а₃; ..., n-tās pakāpes vienādojumam: x ₁ + x ₂ + ... x \u003d - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + xx \u003d a / a, ..., x₁x ₂ ... · x \u003d (- 1) ⁿ a₀ / a. Arī pretējā teorēma ir spēkā.
Piemērs Nr. 13. Uzrakstiet kubisko vienādojumu, kura saknes ir apgrieztas ar vienādojuma x ³ - 6x² + 12x - 18 \u003d 0 saknēm, un koeficients pie x ³ ir 2. 1. Pēc Vieta teorēmas par kubisko vienādojumu mums ir: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d 6, x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d 12, x₁x₂x ₃ \u003d 18. 2. Mēs sastādām doto sakņu reciprokus un tiem pielietojam apgriezto Vieta teorēmu. 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ \u003d (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂x ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x ₃ + 1 / x₂x ₃ \u003d (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂x ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x₁x₂x ₃ \u003d 1/18. Iegūstam vienādojumu x ³ + 2 / 3x² + 1 / 3x - 1/18 \u003d 0,2 Atbilde: 2x³ + 4 / 3x² + 2 / 3x -1/9 \u003d 0.
Neatkarīga risinājuma piemēri. 1. Uzrakstiet kubisko vienādojumu, kura saknes ir apgrieztas ar vienādojuma x ³ - 6x² + 11x - 6 \u003d 0 sakņu kvadrātiem, un koeficients pie x ³ ir 8. Atbilde: 8x³ - 98 / 9x² + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Nestandarta metodes augstāku grādu vienādojumu risināšanai. Piemērs Nr. 12. Atrisiniet vienādojumu x ⁴ -8x + 63 \u003d 0. Faktors ir vienādojuma kreisajā pusē. Atlasīsim precīzus kvadrātus. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16x² + 64) - (16x² + 8x + 1) \u003d (x² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (x ² - 4x + 7) \u003d 0. Abi diskriminanti ir negatīvi. Atbilde: nav sakņu.
Piemērs Nr. 14. Atrisiniet vienādojumu 21x³ + x² - 5x - 1 \u003d 0. Ja vienādojuma brīvais termins ir ± 1, tad vienādojums tiek pārveidots par reducēto vienādojumu, aizstājot x \u003d 1 / y. 21 / у³ + 1 / у² - 5 / у - 1 \u003d 0 · у³, у³ + 5у² -у - 21 \u003d 0. у \u003d -3 ir vienādojuma sakne. (y + 3) (y² + 2y -7) \u003d 0, y \u003d -1 ± 2√2. x ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, X₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 ... Piemērs Nr. 15. Atrisiniet vienādojumu 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 \u003d 0. Mēs ieviešam jaunu mainīgo y \u003d 2x, iegūstam samazināto vienādojumu y³ - 5y² + 14y -10 \u003d 0, y \u003d 1 ir vienādojuma sakne. (y - 1) (y2 - 4y + 10) \u003d 0, D
Piemērs Nr. 16. Pierādiet, ka vienādojumam x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 ir viena pozitīva sakne. Ļaujiet f (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f ’(x) \u003d 4x³ + 3x² + 1\u003e o x\u003e o. Funkcija f (x) palielinās, ja x\u003e o, un vērtība f (o) \u003d -2. Acīmredzot vienādojumam ir viena pozitīva sakne ch.d. Piemērs Nr. 17. Atrisiniet vienādojumu 8x (2x² - 1) (8x⁴ - 8x² + 1) \u003d 1. IF Sharygin "Izvēles kurss matemātikā 11. klasei" .M. Apgaismība 1991, 90. lpp. 1. l x l 1 2x² - 1\u003e 1 un 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. Veiciet aizstāšanu x \u003d mājīgs, y € (0; n). Citām y vērtībām x vērtības tiek atkārtotas, un vienādojumam ir ne vairāk kā 7 saknes. 2x² - 1 \u003d 2 cos²y - 1 \u003d cos2y, 8x⁴ - 8x² + 1 \u003d 2 (2x² - 1) ² - 1 \u003d 2 cos²2y - 1 \u003d cos4y. 3. Vienādojums kļūst par 8 cosycos2ycos4y \u003d 1. Reiziniet abas vienādojuma puses ar grēcīgo. 8 sinycosycos2ycos4y \u003d grēcīgs. Piemērojot dubultleņķa formulu 3 reizes, iegūstam vienādojumu sin8y \u003d grēks, sin8y - grēcīgs \u003d 0
17. piemēra risinājuma pabeigšana. Pielietojiet sinusa starpības formulu. 2 sin7y / 2 cos9y / 2 \u003d 0. Ņemot vērā, ka y € (0; n), y \u003d 2nk / 3, k \u003d 1, 2, 3 vai y \u003d n / 9 + 2nk / 9, k \u003d 0, 1, 2, 3. Atgriežoties pie mainīgā x, mēs iegūstam atbildi: Cos2 n / 7, cos4 n / 7, cos6 n / 7, cos n / 9, ½, cos5 n / 9, cos7 n / 9. Neatkarīga risinājuma piemēri. Atrodiet visas a vērtības, kurām vienādojumam (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d a ir tieši trīs saknes. Atbilde ir 9/16. Padoms: uzzīmējiet vienādojuma kreiso pusi. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Taisnā līnija y \u003d 9/16 trīs punktos krusto funkcijas grafiku. Atrisiniet vienādojumu (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Atbilde: -4; 2. Atrisiniet vienādojumu (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Atbilde: -5; -3. Atrisiniet vienādojumu 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). Atbilde: -1; -1/2, 2; 4 Atrodiet vienādojuma x ³ - 12x + 10 \u003d 0 reālo sakņu skaitu uz [-3; 3/2]. Padoms: atrodiet atvasinājumu un izpētiet monot.
Neatkarīga risinājuma piemēri (turpinājums). 6. Atrodiet vienādojuma x ⁴ reālo sakņu skaitu ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Atbilde: 2 7. Ļaujiet x ₁, x ₂, x the būt polinoma P (x) \u003d x ³ - saknēm 6x² -15x + 1. Atrodiet X₁² + x ₂² + x ₃². Atbilde: 66. Virziens: pielietojiet Vieta teorēmu. 8. Pierādiet, ka a\u003e o un patvaļīgam reālam vienādojumā x ³ + ax + b \u003d o ir tikai viena reālā sakne. Padoms: veiciet pierādījumus pēc pretrunām. Pielietojiet Vieta teorēmu. 9. Atrisiniet vienādojumu 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Atbilde: ½; viens; (3 ± √13) / 2. Padoms: samaziniet vienādojumu līdz viendabīgam, izmantojot vienādības X² + 2 \u003d x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Atrisiniet vienādojumu sistēmu x + y \u003d x ², 3y - x \u003d y². Atbilde: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Atrisiniet sistēmu: 4y² -3xy \u003d 2x -y, 5x² - 3y² \u003d 4x - 2y. Atbilde: (o; o), (1; 1), (297/265; - 27/53).
Pārbaude. 1. variants. 1. Atrisiniet vienādojumu (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Atrisiniet vienādojumu (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d - 15 3. Atrisiniet vienādojumu 12x² (x - 3) + 64 (x - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Atrisiniet vienādojumu x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 \u003d 0 5. Atrisiniet vienādojumu sistēmu: x² + 2y² - x + 2y \u003d 6, 1,5x² + 3y² - x + 5y \u003d 12.
2. variants 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0,2 x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24,3 x ⁴ + 18 (x + 4) ² \u003d 11x² (x + 4). 4.x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 \u003d 0. 5.x² - 2xy + y² + 2x²y - 9 \u003d 0, x - y - x²y + 3 \u003d 0.3 opcija. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x-3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35,3 x4 + 8x² ( x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4.x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5.x + y + x ² + y ² \u003d 18, xy + x ² + y² \u003d 19.
4. variants. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d o. (x -7) (x-4) (x-2) (x + 1) \u003d -36. X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4x² (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 \u003d 0. X² + 3xy + y² \u003d - 1, 2x² - 3xy - 3y² \u003d - 4. Papildu uzdevums: Atlikums, dalot polinomu P (x) ar (x - 1), ir 4, atlikuma dalīšana ar (x + 1) ir vienāda ar 2, un, dalot ar (x - 2), ir vienāda ar 8. Atrodiet P (x) dalījuma atlikumu ar (x ³ - 2x² - x + 2).
Atbildes un norādījumi: variants Nr. 1 Nr. 2. Nr. 3. Nr. 4. Nr. 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -pieci; -četras; viens; 2. Homogēns vienādojums: u \u003d x -3, v \u003d x² -2; -viens; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Indikācija: 1 · (-3) + 2,2 2, -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - četri; - 2,1 ± √11; četri; - 2. Homogēns vienādojums: u \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- trīsdesmit). Indikācija: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; četri; 12 -3; -2; četri; 12 -6; -3; -viens; 2. Homogēns u \u003d x + 2, v \u003d x2 -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Padoms: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Pamatnostādne: 1 4 + 2.
Papildu uzdevuma risinājums. Pēc Bezouta teorēmas: P (1) \u003d 4, P (-1) \u003d 2, P (2) \u003d 8. P (x) \u003d G (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + no. 1. aizstājējs; - viens; 2. P (1) \u003d G (1) · 0 + a + b + c \u003d 4, a + b + c \u003d 4. P (-1) \u003d a - b + c \u003d 2, P (2) \u003d 4a² + 2b + c \u003d 8. Atrisinot iegūto trīs vienādojumu sistēmu, iegūstam: a \u003d b \u003d 1, c \u003d 2. Atbilde: x ² + x + 2.
Kritērijs Nr. 1 - 2 punkti. 1 punkts - viena skaitļošanas kļūda. Nr. 2,3,4 - pa 3 punktiem. 1 punkts - noveda pie kvadrātvienādojuma. 2 punkti - viena skaitļošanas kļūda. Nr. 5. - 4 punkti. 1 punkts - izsaka vienu mainīgo caur citu. 2 punkti - ieguva vienu no risinājumiem. 3 punkti - viena skaitļošanas kļūda. Papildu uzdevums: 4 punkti. 1 punkts - Bezouta teorēma tika piemērota visiem četriem gadījumiem. 2 punkti - veido vienādojumu sistēmu. 3 punkti - viena skaitļošanas kļūda.