Skaitļu, īpaši naturālo skaitļu izpratne ir viena no vecākajām matemātiskajām "prasmēm". Daudzas civilizācijas, pat mūsdienu, skaitļiem ir piedēvušas dažas mistiskas īpašības, jo tiem ir liela nozīme dabas raksturošanā. Lai gan mūsdienu zinātne un matemātika neatbalsta šīs "maģiskās" īpašības, skaitļu teorijas nozīme ir nenoliedzama.
Vēsturiski sākumā parādījās daudz naturālu skaitļu, pēc tam diezgan drīz tiem tika pievienotas daļdaļas un pozitīvi neracionālie skaitļi. Nulles un negatīvie skaitļi tika ieviesti pēc šīm reālo skaitļu kopas apakškopām. Pēdējā kopa, komplekso skaitļu kopa, parādījās tikai līdz ar mūsdienu zinātnes attīstību.
Mūsdienu matemātikā skaitļi netiek ievadīti vēsturiskā secībā, lai gan diezgan tuvu tai.
Dabiskie skaitļi $ \ mathbb (N) $
Dabisko skaitļu kopa bieži tiek apzīmēta kā $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $, un bieži vien tiek apzīmēta ar nulli, lai apzīmētu $ \ mathbb (N) _0 $.
Laukā $ \ mathbb (N) $ saskaitīšanas (+) un reizināšanas ($ \ cdot $) darbības ir definētas ar šādiem rekvizītiem jebkuram $ a, b, c \ in \ mathbb (N) $:
1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ kopa $ \ mathbb (N) $ tiek slēgta saskaņā ar saskaitīšanas un reizināšanas darbībām
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ komutativitāte
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) $ saistība
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ sadales
5. $ a \ cdot 1 = a $ ir neitrāls reizināšanas elements
Tā kā kopa $ \ mathbb (N) $ satur neitrālu elementu reizināšanai, bet ne saskaitīšanai, nulles pievienošana šai kopai nodrošina, ka tajā ir iekļauts neitrāls saskaitīšanas elements.
Papildus šīm divām operācijām kopā $ \ mathbb (N) $ relācijas "mazāk nekā" ($
1. $ a b $ trihotomija
2.ja $ a \ leq b $ un $ b \ leq a $, tad $ a = b $ antisimetrija
3. ja $ a \ leq b $ un $ b \ leq c $, tad $ a \ leq c $ ir tranzitivitāte
4.ja $ a \ leq b $, tad $ a + c \ leq b + c $
5. ja $ a \ leq b $, tad $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $
Veseli skaitļi $ \ mathbb (Z) $
Veselu skaitļu piemēri:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Vienādojuma $ a + x = b $ atrisināšanai, kur $ a $ un $ b $ ir zināmi naturāli skaitļi, bet $ x $ ir nezināms naturāls skaitlis, nepieciešams ieviest jaunu operāciju - atņemšanu (-). Ja ir naturāls skaitlis $ x $, kas apmierina šo vienādojumu, tad $ x = b-a $. Tomēr šim konkrētajam vienādojumam ne vienmēr ir atrisinājums kopā $ \ mathbb (N) $, tāpēc praktiskiem apsvērumiem ir jāpaplašina naturālo skaitļu kopa, lai iekļautu šāda vienādojuma risinājumus. Tā rezultātā tiek ieviesta veselu skaitļu kopa: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.
Tā kā $ \ mathbb (N) \ apakškopa \ mathbb (Z) $, ir loģiski pieņemt, ka iepriekš ieviestās operācijas $ + $ un $ \ cdot $ un attiecības $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ ir neitrāls elements papildinājumiem
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ ir pretējs skaitlis $ -a $ $ a $
Īpašums 5 .:
5. ja $ 0 \ leq a $ un $ 0 \ leq b $, tad $ 0 \ leq a \ cdot b $
Kopa $ \ mathbb (Z) $ tiek aizvērta arī ar atņemšanas darbību, tas ir, $ (\ forall a, b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $.
Racionālie skaitļi $ \ mathbb (Q) $
Racionālu skaitļu piemēri:
$ \ frac (1) (2), \ frac (4) (7), - \ frac (5) (8), \ frac (10) (20) ... $
Tagad apsveriet vienādojumus formā $ a \ cdot x = b $, kur $ a $ un $ b $ ir zināmi veseli skaitļi, un $ x $ nav zināmi. Lai risinājums būtu iespējams, ir jāievieš dalīšanas operācija ($: $), un risinājums iegūst formu $ x = b: a $, tas ir, $ x = \ frac (b) (a) $ . Atkal rodas problēma, ka $ x $ ne vienmēr pieder $ \ mathbb (Z) $, tāpēc veselo skaitļu kopa ir jāpaplašina. Tādējādi mēs ieviešam racionālo skaitļu kopu $ \ mathbb (Q) $ ar elementiem $ \ frac (p) (q) $, kur $ p \ in \ mathbb (Z) $ un $ q \ in \ mathbb (N) $. Kopa $ \ mathbb (Z) $ ir apakškopa, kurā katrs elements ir $ q = 1 $, tāpēc $ \ mathbb (Z) \ apakškopa \ mathbb (Q) $ un saskaitīšanas un reizināšanas darbības tiek attiecinātas uz šo kopu. saskaņā ar šādiem noteikumiem, kas saglabā visas iepriekš minētās īpašības komplektā $ \ mathbb (Q) $:
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $
Sadalījums tiek ieviests šādi:
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $
Kopā $ \ mathbb (Q) $ vienādojumam $ a \ cdot x = b $ ir unikāls risinājums katram $ a \ neq 0 $ (dalījums ar nulli nav definēts). Tas nozīmē, ka ir apgriezts $ \ frac (1) (a) $ vai $ a ^ (- 1) $:
$ (\ forall a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ pastāv \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a) \ cdot a = a) $
Kopas $ \ mathbb (Q) $ secību var paplašināt šādi:
$ \ frac (p_1) (q_1)
Kopai $ \ mathbb (Q) $ ir viena svarīga īpašība: starp jebkuriem diviem racionālajiem skaitļiem ir bezgala daudz citu racionālu skaitļu, tāpēc atšķirībā no naturālo un veselo skaitļu kopām nav divu blakus esošu racionālu skaitļu.
Iracionāli skaitļi $ \ mathbb (I) $
Iracionālu skaitļu piemēri:
$ \ sqrt (2) \ aptuveni 1,41422135 ... $
$ \ pi \ aptuveni 3,1415926535 ... $
Ņemot vērā to, ka starp jebkuriem diviem racionālajiem skaitļiem ir bezgalīgi daudz citu racionālu skaitļu, ir viegli izdarīt kļūdainu secinājumu, ka racionālo skaitļu kopa ir tik blīva, ka nav vajadzības to tālāk paplašināt. Pat Pitagors savulaik pieļāva šādu kļūdu. Taču jau viņa laikabiedri atspēkoja šo secinājumu, pētot vienādojuma $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) risinājumus racionālo skaitļu kopai. Lai atrisinātu šādu vienādojumu, ir jāievieš kvadrātsaknes jēdziens, un tad šī vienādojuma atrisinājumam ir forma $ x = \ sqrt (2) $. Vienādojumam ar tipu $ x ^ 2 = a $, kur $ a $ ir zināms racionāls skaitlis un $ x $ ir nezināms, ne vienmēr ir risinājums racionālo skaitļu kopai, un atkal rodas vajadzība lai paplašinātu komplektu. Rodas iracionālu skaitļu kopa, un tādi skaitļi kā $ \ sqrt (2) $, $ \ sqrt (3) $, $ \ pi $ ... pieder šai kopai.
Reālie skaitļi $ \ mathbb (R) $
Racionālo un iracionālo skaitļu kopu savienība ir reālo skaitļu kopa. Tā kā $ \ mathbb (Q) \ apakškopa \ mathbb (R) $, atkal ir loģiski pieņemt, ka ieviestās aritmētiskās darbības un relācijas saglabā savas īpašības jaunajā kopā. Formāls to pierādīt ir ļoti sarežģīts, tāpēc iepriekš minētās aritmētisko darbību īpašības un attiecības uz reālo skaitļu kopu tiek ieviestas kā aksiomas. Algebrā šādu objektu sauc par lauku, tāpēc viņi saka, ka reālo skaitļu kopa ir sakārtots lauks.
Lai reālo skaitļu kopas definīcija būtu pilnīga, ir jāievieš papildu aksioma, kas atšķir kopas $ \ mathbb (Q) $ un $ \ mathbb (R) $. Pieņemsim, ka $ S $ ir netukša reālo skaitļu kopas apakškopa. Elementu $ b \ in \ mathbb (R) $ sauc par kopas $ S $ augšējo robežu, ja $ \ forall x \ in S $ ir patiess $ x \ leq b $. Tad tiek uzskatīts, ka kopa $ S $ ir ierobežota iepriekš. Kopas $ S $ mazāko augšējo robežu sauc par supremumu un apzīmē ar $ \ sup S $. Apakšējās robežas, no apakšas ierobežotas kopas un infinum $ \ inf S $ jēdzieni tiek ieviesti līdzīgi. Trūkstošā aksioma tagad ir formulēta šādi:
Jebkurai reālo skaitļu kopas apakškopai, kas nav tukša un ar augšējo robežu, ir virssumma.
Varat arī pierādīt, ka reālo skaitļu lauks, kas definēts iepriekšminētajā veidā, ir unikāls.
Kompleksie skaitļi $ \ mathbb (C) $
Komplekso skaitļu piemēri:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ kur $ i = \ sqrt (-1) $ vai $ i ^ 2 = -1 $
Komplekso skaitļu kopa attēlo visus sakārtotos reālo skaitļu pārus, tas ir, $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ reizes \ mathbb (R) $, uz kuriem saskaita un reizināšanas darbības tiek definētas šādi:
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $
Ir vairāki komplekso skaitļu apzīmējumu veidi, no kuriem visizplatītākais ir $ z = a + ib $, kur $ (a, b) $ ir reālu skaitļu pāris un skaitlis $ i = (0,1) $ sauc par iedomātu vienību.
Ir viegli parādīt, ka $ i ^ 2 = -1 $. Kopas $ \ mathbb (R) $ paplašināšana līdz kopai $ \ mathbb (C) $ ļauj noteikt negatīvo skaitļu kvadrātsakni, kas bija iemesls komplekso skaitļu kopas ieviešanai. Ir arī viegli parādīt, ka kopas $ \ mathbb (C) $ apakškopa, kas definēta kā $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $, apmierina visas reālo skaitļu aksiomas, tāpēc $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $ vai $ R \ apakškopa \ mathbb (C) $.
Kopas $ \ mathbb (C) $ algebriskajai struktūrai attiecībā uz saskaitīšanas un reizināšanas operācijām ir šādas īpašības:
1.saskaitīšanas un reizināšanas komutējamība
2.saskaitīšanas un reizināšanas asociativitāte
3. $ 0 + i0 $ - neitrāls elements pievienošanai
4. $ 1 + i0 $ - neitrāls elements reizināšanai
5.reizināšana ir sadaloša attiecībā uz saskaitīšanu
6. gan saskaitīšanai, gan reizināšanai ir viens apgrieztais elements.
Definīcija: Par naturāliem skaitļiem sauc skaitļus, kurus izmanto objektu skaitīšanai (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Cipars 0 nav dabisks. Tam ir sava atsevišķa vēsture matemātikas vēsturē, un tā parādījās daudz vēlāk nekā dabiskie skaitļi.]
Visu naturālo skaitļu kopa (1, 2, 3, 4, 5, ...) tiek apzīmēta ar burtu N.
Veseli skaitļi
Iemācījušies skaitīt, nākamais, ko darām, ir iemācīties veikt aritmētiskās darbības ar skaitļiem. Parasti vispirms (uz skaitīšanas kociņiem) iemācās veikt saskaitīšanu un atņemšanu.Ar saskaitīšanu viss ir skaidrs: saskaitot jebkurus divus naturālus skaitļus, rezultātā vienmēr iegūstam arī naturālu skaitli. Bet, atņemot, mēs atklājam, ka mēs nevaram atņemt lielāko no mazākā, lai rezultāts būtu naturāls skaitlis, mēs nevaram. (3 - 5 = kas?) Šeit parādās ideja par negatīviem skaitļiem. (Negatīvie skaitļi vairs nav dabiski)
Negatīvu skaitļu parādīšanās stadijā (un tie parādījās vēlāk nekā daļēji) bija arī viņu pretinieki, kuri tos uzskatīja par muļķībām. (Uz pirkstiem var parādīt trīs objektus, desmit var parādīt, tūkstoš objektu var attēlot pēc analoģijas. Un kas ir "mīnus trīs maisi"? - Tolaik, lai gan skaitļus jau lietoja paši, izolēti no konkrētajiem objekti, kuru skaitu tie apzīmē, joprojām bija cilvēku prātos daudz tuvāk šiem konkrētajiem priekšmetiem nekā mūsdienās.) Taču, tāpat kā iebildumi un galvenais arguments par labu negatīviem skaitļiem, radās praksē: negatīvi skaitļi to padarīja. iespējams ērti sekot līdzi parādiem. 3 - 5 = −2 - man bija 3 monētas, es iztērēju 5. Tātad, man ne tikai beidzās monētas, bet es arī kādam esmu parādā 2 monētas. Ja atgriežu vienu, parāds mainīsies −2 + 1 = −1, bet to var attēlot arī ar negatīvu skaitli.
Rezultātā matemātikā parādījās negatīvi skaitļi, un tagad mums ir bezgalīgs skaits naturālo skaitļu (1, 2, 3, 4, ...) un ir tikpat daudz pretējo skaitļu (-1, -2, -). 3, -4, ...). Pievienosim tiem vēl 0. Un visu šo skaitļu kopa tiks saukta par veseliem skaitļiem.
Definīcija: Dabiskie skaitļi, to pretstats un nulle veido veselu skaitļu kopu. To apzīmē ar burtu Z.
Jebkurus divus veselus skaitļus var atņemt vienu no otra vai pievienot, un rezultāts ir vesels skaitlis.
Ideja par veselu skaitļu pievienošanu jau liecina par reizināšanas iespēju kā vienkāršu ātrāku saskaitīšanas veidu. Ja mums ir 7 maisi pa 6 kilogramiem, mēs varam pievienot 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (pašreizējai kopsummai septiņas reizes pievienot 6), vai arī varam vienkārši atcerēties, ka šādas darbības rezultātā vienmēr būs 42 Tāpat kā sešu septītnieku saskaitīšana 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 vienmēr dos 42.
Papildināšanas darbības rezultāti noteikti numurs ar sevi noteikts tiek izrakstīts reižu skaits visiem skaitļu pāriem no 2 līdz 9 un sastādīta reizināšanas tabula. Lai reizinātu veselus skaitļus, kas lielāki par 9, ir izgudrots kolonnu reizināšanas noteikums. (Tas attiecas arī uz decimāldaļskaitļiem un tiks apspriests vienā no nākamajiem rakstiem.) Reizinot jebkurus divus veselus skaitļus ar otru, jūs vienmēr iegūstat veselu skaitli.
Racionālie skaitļi
Tagad sadalīšana. Pēc analoģijas ar to, kā atņemšana ir saskaitīšanas apgrieztā vērtība, mēs nonākam pie domas par dalīšanu kā reizināšanas apgriezto vērtību.Kad mums bija 7 maisi pa 6 kilogramiem, izmantojot reizināšanu, mēs viegli aprēķinājām, ka maisu satura kopējais svars ir 42 kilogrami. Iedomāsimies, ka visu maisu saturu sabērām vienā kopējā kaudzē 42 kilogramus smagā. Un tad viņi pārdomāja un gribēja saturu sadalīt atpakaļ 7 maisos. Cik kilogrami iekritīs vienā maisā, ja sadalīsim vienādi? - Ir skaidrs, ka 6.
Ko darīt, ja mēs vēlamies sadalīt 42 kilogramus 6 maisos? Šeit mēs padomāsim par to, ko varētu iegūt tos pašus kopējos 42 kilogramus, ja mēs sabērtu kaudzē 6 maisus pa 7 kilogramiem. Un tas nozīmē, ka sadalot 42 kilogramus ar 6 maisiem, vienā 7 kilogramu maisā iegūstam vienādas daļas.
Un ja sadala 42 kilogramus vienādi 3 maisos? Un arī šeit mēs sākam atlasīt skaitli, kuru reizinot ar 3, mēs iegūtu 42. "Tabulas" vērtībām, piemēram, gadījumā 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, mēs veicam dalīšanu. darbību, tikai atceroties reizināšanas tabulu. Sarežģītākos gadījumos tiek izmantots garais dalījums, kas tiks apspriests kādā no nākamajiem rakstiem. 3 un 42 gadījumā ar “atlasi” varam atgādināt, ka 3 · 14 = 42. Tātad 42: 3 = 14. Katrā somā būs 14 kilogrami.
Tagad mēģināsim sadalīt 42 kilogramus vienādi 5 maisos. 42: 5 =?
Ņemiet vērā, ka 5 8 = 40 (maz) un 5 9 = 45 (daudz). Tas ir, ne 8 kilogramus maisā, ne 9 kilogramus, no 5 maisiem mēs nesaņemsim 42 kilogramus. Tajā pašā laikā ir skaidrs, ka patiesībā nekas neliedz mums jebkuru daudzumu (graudaugi, piemēram) sadalīt 5 vienādās daļās.
Darbība, kas sadala veselus skaitļus savā starpā, ne vienmēr rada veselu skaitli. Tātad mēs nonācām pie daļskaitļa jēdziena. 42: 5 = 42/5 = 8 punkti 2/5 (ja skaita parastās daļskaitļos) vai 42: 5 = 8,4 (ja skaita decimāldaļdaļās).
Daļdaļas un decimāldaļas
Mēs varam teikt, ka jebkura parasta daļa m / n (m ir jebkurš vesels skaitlis, n ir jebkurš naturāls) ir tikai īpaša forma, kurā tiek ierakstīts rezultāts, dalot skaitli m ar skaitli n. (m sauc par daļskaitļa skaitītāju, n ir saucējs) Rezultātu, piemēram, dalot skaitli 25 ar skaitli 5, var uzrakstīt arī kā parastu daļskaitli 25/5. Bet tas nav nepieciešams, jo rezultātu, dalot 25 ar 5, var vienkārši uzrakstīt kā veselu skaitli 5. (Un 25/5 = 5). Bet rezultātu, dalot skaitli 25 ar skaitli 3, vairs nevar attēlot ar veselu skaitli, tāpēc šeit kļūst nepieciešams izmantot daļskaitli, 25: 3 = 25/3. (Var atlasīt visu daļu 25/3 = 8 veselas 1/3. Sīkāk parastās daļskaitļi un darbības ar parastajām daļskaitļiem tiks aplūkotas turpmākajos rakstos.)Parastās daļskaitļi ir labi, jo, lai attēlotu rezultātu, dalot jebkurus divus veselus skaitļus ar šādu daļskaitli, daļskaitļa skaitītājā ir jāieraksta dividende, bet saucējā - dalītājs. (123: 11 = 123/11, 67: 89 = 67/89, 127: 53 = 127/53, ...) Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļu un/vai atlasiet visu daļu (šīs darbības ar parastajām daļām tiks detalizēti apspriests turpmākajos rakstos). Problēma ir tā, ka aritmētisko darbību veikšana (saskaitīšana, atņemšana) ar parastajām daļām vairs nav tik ērta kā ar veseliem skaitļiem.
Rakstīšanas ērtībai (vienā rindā) un aprēķinu ērtībai (ar iespēju aprēķināt kolonnā, kā parastiem veseliem skaitļiem) papildus parastajām daļskaitļiem ir izgudrotas arī decimāldaļdaļas. Decimāldaļdaļa ir speciāli rakstīta parasta daļa ar saucēju 10, 100, 1000 utt. Piemēram, parastā daļa 7/10 ir tāda pati kā decimāldaļdaļa 0,7. (8/100 = 0,08; 2 veseli skaitļi 3/10 = 2,3; 7 veseli skaitļi 1/1000 = 7 001). Atsevišķs raksts tiks veltīts parasto daļskaitļu pārvēršanai decimāldaļās un otrādi. Darbības ar decimāldaļskaitļiem - citi raksti.
Jebkuru veselu skaitli var attēlot kā daļu ar saucēju 1. (5 = 5/1; −765 = −765/1).
Definīcija: Visus skaitļus, kurus var attēlot kā parastu daļskaitli, sauc par racionāliem skaitļiem. Racionālo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu Q.
Dalot jebkurus divus veselus skaitļus vienu ar otru (izņemot gadījumu, kad tiek dalīts ar 0), rezultātā vienmēr iegūstam racionālu skaitli. Parastajām daļām ir saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas noteikumi, kas ļauj veikt atbilstošo darbību ar jebkurām divām daļām un iegūt arī racionālu skaitli (daļskaitli vai veselu skaitli).
Racionālo skaitļu kopa ir pirmā no mūsu aplūkotajām kopām, kurā var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt (izņemot dalīšanu ar 0), nekad nepārsniedzot šo kopu (tas ir, vienmēr iegūstot skaitli rezultātā racionāli) ...
Šķiet, ka citu skaitļu nav, visi skaitļi ir racionāli. Bet arī tas tā nav.
Reāli skaitļi
Ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu m / n (kur m ir vesels skaitlis, n ir naturāls skaitlis).Kādi ir šie skaitļi? Mēs vēl neesam aptvēruši paaugstināšanas darbību. Piemēram, 4 2 = 4 4 = 16,5 3 = 5 5 5 = 125. Tāpat kā reizināšana ir ērtāks saskaitīšanas rakstīšanas un aprēķināšanas veids, tā arī kāpināšana ir viena un tā paša skaitļa reizināšanas veids ar noteiktu skaitu reižu.
Bet tagad apskatīsim kāpināšanas apgriezto darbību – saknes izvilkšanu. Kvadrātsakne no 16 ir skaitlis kvadrātā, lai iegūtu 16, kas ir 4. Kvadrātsakne no 9 ir 3. Bet kvadrātsakne no 5 vai 2, piemēram, nevar tikt attēlota kā racionāls skaitlis. (Šī apgalvojuma pierādījumus, citus iracionālo skaitļu piemērus un to vēsturi var atrast, piemēram, Vikipēdijā)
GIA 9. klasē ir uzdevums noteikt, vai skaitlis, kura ierakstā ir sakne, ir racionāls vai neracionāls. Izaicinājums ir mēģināt pārvērst šo skaitli ne-saknes formā (izmantojot sakņu īpašības). Ja nevar atbrīvoties no saknes, tad skaitlis ir neracionāls.
Vēl viens iracionāla skaitļa piemērs ir π, kas visiem ir pazīstams no ģeometrijas un trigonometrijas.
Definīcija: Racionālos un iracionālos skaitļus kopā sauc par reāliem (vai reāliem) skaitļiem. Visu reālo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu R.
Reālos skaitļos, atšķirībā no racionālajiem skaitļiem, mēs varam izteikt attālumu starp jebkuriem diviem punktiem uz taisnes vai plaknes.
Ja zīmējat līniju un uz tās izvēlaties divus patvaļīgus punktus vai izvēlaties divus patvaļīgus punktus plaknē, var gadīties, ka precīzu attālumu starp šiem punktiem nevar izteikt ar racionālu skaitli. (Piemēram, taisnleņķa trijstūra hipotenūza ar kājiņām 1 un 1, saskaņā ar Pitagora teorēmu, būs vienāda ar sakni no divi - tas ir, iracionāls skaitlis. Tas ietver arī precīzu diagonāles garumu piezīmju grāmatiņas šūna (jebkura ideāla kvadrāta diagonāles garums ar veselām malām).
Un reālo skaitļu kopā jebkurus attālumus uz taisnes, plaknē vai telpā var izteikt ar atbilstošo reālo skaitli.
Skaitļa jēdziens. Ciparu veidi.
Skaitlis ir abstrakcija, ko izmanto objektu kvantitatīvai noteikšanai. Skaitļi radās primitīvā sabiedrībā saistībā ar cilvēku vajadzību skaitīt objektus. Laika gaitā, attīstoties zinātnei, skaitlis ir kļuvis par vissvarīgāko matemātisko jēdzienu.
Lai atrisinātu problēmas un pierādītu dažādas teorēmas, jums ir jāsaprot, kādi ir skaitļu veidi. Galvenie skaitļu veidi ir: dabiskie skaitļi, veselie skaitļi, racionālie skaitļi, reālie skaitļi.
Veseli skaitļi- tie ir skaitļi, kas iegūti, dabiski skaitot objektus vai drīzāk pēc to numerācijas ("pirmais", "otrais", "trešais" ...). Dabisko skaitļu kopa tiek apzīmēta ar latīņu burtu N (var iegaumēt, pamatojoties uz angļu vārdu natural). Mēs to varam teikt N ={1,2,3,....}
Veseli skaitļi Vai skaitļi no kopas (0, 1, -1, 2, -2, ....). Šī kopa sastāv no trim daļām – naturāliem skaitļiem, negatīviem veseliem skaitļiem (pretēji naturālajiem skaitļiem) un skaitļa 0 (nulles). Veselus skaitļus apzīmē ar latīņu burtu Z ... Mēs to varam teikt Z ={1,2,3,....}.
Racionālie skaitļi Ir skaitļi, kurus var attēlot kā daļskaitli, kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Latīņu burts tiek izmantots, lai attēlotu racionālus skaitļus. J ... Visi naturālie skaitļi un veseli skaitļi ir racionāli.
Reāli (reāli) skaitļi Ir skaitlis, ko izmanto nepārtrauktu daudzumu mērīšanai. Reālo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar latīņu burtu R. Reālie skaitļi ietver racionālos skaitļus un iracionālos skaitļus. Iracionālie skaitļi ir skaitļi, kas iegūti, veicot dažādas darbības ar racionālajiem skaitļiem (piemēram, saknes ekstrakcija, logaritmu aprēķināšana), bet nav racionāli.
1. Skaitļu sistēmas.
Ciparu sistēma ir skaitļu nosaukšanas un rakstīšanas veids. Atkarībā no skaitļu attēlošanas metodes to iedala pozicionālajā-decimālajā un nepozicionālajā-romiešu valodā.
Datorā tiek izmantota 2 ciparu, 8 ciparu un 16 ciparu numuru sistēmas.
Atšķirības: skaitļa ieraksts 16. sistēmā ir daudz īsāks salīdzinājumā ar citu ierakstu, t.i. prasa mazāku bitu dziļumu.
Pozicionālo skaitļu sistēmā katrs cipars saglabā nemainīgu vērtību neatkarīgi no pozīcijas, ko tas ieņem skaitļā. Pozicionālā skaitļu sistēmā katrs cipars nosaka ne tikai tā nozīmi, bet arī ir atkarīgs no pozīcijas, ko tas ieņem skaitļā. Katru skaitļu sistēmu raksturo radikss. Bāze ir dažādu ciparu skaits, ko izmanto, lai ierakstītu skaitļus noteiktā skaitļu sistēmā. Bāze parāda, cik reizes mainās viena un tā paša cipara vērtība, pārejot uz blakus pozīciju. Dators izmanto 2 ciparu sistēmu. Sistēmas bāze var būt jebkurš skaitlis. Aritmētiskās darbības ar skaitļiem jebkurā pozīcijā tiek veiktas saskaņā ar 10 skaitļu sistēmai līdzīgiem noteikumiem. Skaitļu sistēmai 2 tiek izmantota binārā aritmētika, kas tiek realizēta datorā, lai veiktu aritmētiskos aprēķinus.
Binārā saskaitīšana: 0 + 0 = 1; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10
Atņemšana: 0-0 = 0; 1-0 = 1; 1-1 = 0; 10-1 = 1
Reizināšana: 0 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 0 = 0; 1 * 1 = 1
Datorā plaši tiek izmantota 8 skaitļu sistēma un 16 skaitļu sistēma. Tos izmanto, lai saīsinātu bināro skaitļu apzīmējumu.
2. Kopas jēdziens.
Jēdziens "kopa" ir matemātikas pamatjēdziens, un tam nav definīcijas. Jebkuras kopas paaudzes raksturs ir daudzveidīgs, jo īpaši apkārtējie objekti, savvaļas dzīvnieki utt.
1. definīcija: tiek izsaukti objekti, no kuriem tiek veidota kopa šī komplekta elementi... Lai apzīmētu kopu, tiek izmantoti latīņu alfabēta lielie burti: piemēram, X, Y, Z, un cirtainajās iekavās, kas atdalītas ar komatiem, tās elementi tiek rakstīti ar mazajiem burtiem, piemēram: (x, y, z) .
Komplekta un tās elementu apzīmējuma piemērs:
X = (x 1, x 2,…, x n) ir kopa, kas sastāv no n elementiem. Ja elements x pieder kopai X, tad tas jāraksta: xÎX, pretējā gadījumā elements x nepieder kopai X, kuru raksta: xÏX. Abstraktās kopas elementi var būt, piemēram, cipari, funkcijas, burti, formas utt. Matemātikā jebkurā sadaļā tiek izmantots kopas jēdziens. Jo īpaši var minēt dažas konkrētas reālo skaitļu kopas. Reālo skaitļu kopa x, kas apmierina nevienādības:
Tiek izsaukts A ≤ x ≤ b segmentu un to norāda;
A ≤ x< b или а < x ≤ b называется pussegments un to norāda:;
· a< x < b называется intervāls un apzīmē ar (a, b).
2. definīcija: Kopu, kurā ir ierobežots elementu skaits, sauc par ierobežotu. Piemērs. X = (x 1, x 2, x 3).
3. definīcija: komplekts tiek izsaukts bezgalīgs ja tas sastāv no bezgala daudzu elementu. Piemēram, visu reālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Ieraksta piemērs. X = (x 1, x 2, ...).
4. definīcija: kopu, kurā nav elementu, sauc par tukšu kopu un apzīmē ar simbolu Æ.
Kopas īpašība ir kardinalitātes jēdziens. Jauda ir tās elementu skaits. Kopai Y = (y 1, y 2, ...) ir tāda pati kardinalitāte kā kopai X = (x 1, x 2, ...), ja pastāv atbilstība viens pret vienu y = f (x) ) starp šo kopu elementiem. Šādiem komplektiem ir vienāda kardinalitāte vai tie ir vienādi. Tukšajā komplektā kardinalitāte ir nulle.
3. Kopu noteikšanas metodes.
Tiek uzskatīts, ka komplektu dod tā elementi, t.i. komplekts ir dots, ja par kādu objektu var teikt: pieder šai kopai vai nepieder. Jūs varat definēt kopu šādos veidos:
1) Ja kopa ir ierobežota, tad to var norādīt, uzskaitot visus tās elementus. Tātad, ja komplektā A sastāv no elementiem 2, 5, 7, 12 tad raksti A = (2, 5, 7, 12). Elementu skaits komplektā A vienāds 4 , rakstiet n (A) = 4.
Bet, ja kopa ir bezgalīga, tad tās elementus nevar uzskaitīt. Ir grūti definēt kopu ar uzskaiti un ierobežotu kopu ar lielu elementu skaitu. Šādos gadījumos tiek izmantots cits kopas definēšanas veids.
2) Kopu var precizēt, norādot tās elementu raksturīgo īpašību. Raksturīgs īpašums- šī ir īpašība, kas piemīt katram elementam, kas pieder kopai, un nav nevienam elementam, kas tai nepieder. Apsveriet, piemēram, divciparu skaitļu kopu X: katras kopas elementa īpašība ir "būt divciparu skaitlim". Šī raksturīgā īpašība ļauj izlemt, vai objekts pieder kopai X vai nē. Piemēram, šajā komplektā ir ietverts skaitlis 45, jo tas ir divciparu, un skaitlis 4 nepieder pie kopas X, jo tas ir nepārprotami un nav divvērtīgs. Gadās, ka vienu un to pašu kopu var norādīt, norādot dažādas tās elementu raksturīgās īpašības. Piemēram, kvadrātu kopu var definēt kā taisnstūru kopu ar vienādām malām un kā rombu kopu ar taisniem leņķiem.
Gadījumos, kad kopas elementu raksturīgo īpašību var attēlot simboliskā formā, ir iespējams attiecīgs apzīmējums. Ja komplekts V sastāv no visiem naturāliem skaitļiem, kas mazāki par 10, tad viņi raksta В = (x N | x<10}.
Otrā metode ir vispārīgāka un ļauj norādīt gan ierobežotas, gan bezgalīgas kopas.
4. Skaitļu kopas.
Skaitlis - kopa, kuras elementi ir skaitļi. Ciparu kopas ir norādītas uz reālo skaitļu ass R. Uz šīs ass tiek atlasīta skala un norādīta izcelsme un virziens. Visizplatītākās skaitļu kopas ir:
· - naturālu skaitļu kopa;
· - veselu skaitļu kopa;
· - racionālu vai daļskaitļu kopa;
· - reālu skaitļu kopa.
5. Kopas kardinalitāte. Sniedziet ierobežotu un bezgalīgu kopu piemērus.
Kopas sauc par ekvipotentām, ekvivalentām, ja starp tām pastāv atbilstība viens pret vienu vai viens pret vienu, tas ir, šāda pāru atbilstība. kad katrs vienas kopas elements ir saistīts ar vienu citas kopas vienu elementu un otrādi, savukārt vienas kopas dažādie elementi tiek salīdzināti ar cita kopas dažādiem elementiem.
Piemēram, ņemsim trīsdesmit studentu grupu un izsniegsim eksāmenu biļetes, katram studentam vienu biļeti no trīsdesmit biļešu kaudzes, tāda 30 studentu un 30 biļešu sarakste pa pāriem būs viens pret vienu.
Divas vienādas jaudas kopas ar vienu un to pašu trešo kopu ir ar vienādu jaudu. Ja kopas M un N ir ar vienādu jaudu, tad arī katras šīs kopas M un N visu apakškopu kopas ir ar vienādu jaudu.
Dotās kopas apakškopa tiek saprasta kā kopa, kuras katrs elements ir šīs kopas elements. Tik daudz automašīnu un kravas automašīnu būs daudzu automašīnu apakškopas.
Reālo skaitļu kopas kardinalitāti sauc par kontinuuma kardinalitāti un apzīmē ar burtu "Aleph" א ... Mazākais bezgalīgais laukums ir naturālo skaitļu kopas kardinalitāte. Visu naturālo skaitļu kopas kardinalitāti parasti apzīmē (aleph-nulle).
Pilnvaras bieži sauc par kardināliem. Šo jēdzienu ieviesa vācu matemātiķis G. Kantors. Ja kopas apzīmē ar simboliskiem burtiem M, N, tad kardinālos skaitļus apzīmē ar m, n. G. Kantors pierādīja, ka dotās kopas M visu apakškopu kopai ir lielāka kardinalitāte nekā kopai M.
Kopu, kas vienāda ar visu naturālo skaitļu kopu, sauc par saskaitāmu kopu.
6. Norādītās kopas apakškopas.
Ja no savas kopas atlasīsim vairākus elementus un sagrupēsim tos atsevišķi, tā būs mūsu kopas apakškopa. Ir daudz kombināciju, no kurām var iegūt apakškopu; kombināciju skaits ir atkarīgs tikai no elementu skaita sākotnējā komplektā.
Pieņemsim, ka mums ir divas kopas A un B. Ja katrs kopas B elements ir kopas A elements, tad kopu B sauc par A apakškopu. To apzīmē: B ⊂ A. Piemērs.
Cik kopas apakškopu A = 1; 2; 3.
Risinājums. Apakškopas, kas sastāv no mūsu kopas elementiem. Pēc tam mums ir 4 iespējas apakškopas elementu skaitam:
Apakškopā var būt 1 vienums, 2, 3 vienumi un tā var būt tukša. Pierakstīsim mūsu elementus pa vienam.
1 preces apakškopa: 1,2,3
2 vienumu apakškopa: 1,2,1,3,2,3.
3 vienumu apakškopa: 1; 2; 3
Neaizmirsīsim, ka tukšā kopa ir arī mūsu kopas apakškopa. Tad mēs iegūstam, ka mums ir 3 + 3 + 1 + 1 = 8 apakškopas.
7. Operācijas komplektos.
Kopās varat veikt noteiktas darbības, kas dažos aspektos ir līdzīgas darbībām ar reāliem skaitļiem algebrā. Tāpēc mēs varam runāt par kopu algebru.
Konsolidācija komplektu (savienošana). A un V tiek saukta kopa (simboliski to apzīmē ar), kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A vai V... Veidā NS kopu savienību raksta šādi
Ieraksts skan: "arodbiedrība A un V"vai" A apvienojumā ar V».
Darbības ar kopām ir grafiski attēlotas, izmantojot Eilera apļus (dažreiz tiek lietots termins "Venna-Eilera diagrammas"). Ja visi komplekta elementi A tiks koncentrēti apļa ietvaros A, un kopas elementi V- apļa ietvaros V, tad savienošanas darbību, izmantojot Eilera apļus, var attēlot šādā formā
1. piemērs... Apvienojot komplektu A= (0, 2, 4, 6, 8) pāra cipari un kopas V= (1, 3, 5, 7, 9) nepāra cipari ir visu decimālciparu kopa = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
8. Kopu grafiskais attēlojums. Eilera-Vena diagrammas.
Eilera-Vena diagrammas ir kopu ģeometriski attēlojumi. Diagrammas konstrukcija sastāv no liela taisnstūra attēla, kas attēlo universālu komplektu U, un tā iekšpusē - apļi (vai kādas citas slēgtas figūras), kas attēlo kopas. Formām ir jākrustojas visvispārīgākajā veidā, ko prasa uzdevums, un tās attiecīgi jāatzīmē. Punktus, kas atrodas dažādos diagrammas apgabalos, var uzskatīt par atbilstošo kopu elementiem. Pēc diagrammas izveidošanas ir iespējams ēnot noteiktus laukumus, lai apzīmētu jaunizveidotās kopas.
Tiek uzskatīts, ka darbības ar komplektiem iegūst jaunas kopas no esošajām.
Definīcija. Konsolidācija kopas A un B sauc par kopu, kas sastāv no visiem tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A, B (1. att.):
Definīcija. Šķērsojums kopas A un B sauc par kopu, kas sastāv no visiem tiem un tikai tiem elementiem, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B (2. att.):
Definīcija. Atšķirība kopas A un B sauc par visu to un tikai to A elementu kopu, kas neietilpst B (3. att.):
Definīcija. Simetriskā atšķirība komplekti A un B sauc par šo kopu elementu kopu, kas pieder vai nu tikai kopai A, vai tikai kopai B (4. att.):
Dekarta (vai tiešā) kopu reizinājumsA un B tiek saukta par šādu iegūto formas pāru kopu ( x,y) konstruēts tā, lai pirmais elements no kopas A, un otrais pāra elements ir no kopas B... Kopējais apzīmējums:
A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}
Trīs vai vairāk komplektu izstrādājumus var izgatavot šādi:
A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}
Formas darbi A× A,A× A× A,A× A× A× A utt. ir ierasts rakstīt grāda formā: A 2 ,A 3 ,A 4 (grāda bāze ir reizinātājs, rādītājs ir darbu skaits). Viens lasāms tāds ieraksts kā "Dekarta kvadrāts" (kubs utt.). Pamatkomplektiem ir arī citi rādījumi. Piemēram, R n ir pieņemts lasīt kā "er nnoe".
Īpašības
Apsveriet vairākas Dekarta produkta īpašības:
1. Ja A,B tad ir ierobežotas kopas A× B- fināls. Un otrādi, ja viena no reizinātāju kopām ir bezgalīga, tad to reizinājuma rezultāts ir bezgalīga kopa.
2. Dekarta reizinājuma elementu skaits ir vienāds ar reizinātāju kopu elementu skaitu (ja tie, protams, ir galīgi): | A× B|=|A|⋅|B| .
3. A np ≠(A n) lpp- pirmajā gadījumā ir ieteicams uzskatīt Dekarta reizinājuma rezultātu kā matricu ar izmēriem 1 × np, otrajā - kā izmēru matrica n× lpp .
4. Komutatīvais likums nav izpildīts, kopš Dekarta reizinājuma rezultāta elementu pāri tiek sakārtoti: A× B≠B× A .
5. Asociatīvais likums nav izpildīts: ( A× B)× C≠A×( B× C) .
6. Sadalījums attiecībā uz kopu pamatoperācijām notiek: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}
10. Izteikuma jēdziens. Elementāri un salikti apgalvojumi.
Izteikums- Šis ir apgalvojums vai deklaratīvs teikums, par kuru mēs varam teikt, ka tas ir patiess (I-1) vai nepatiess (L-0), bet ne abi vienlaikus.
Piemēram, "Šodien līst", "Ivanovs pabeidza laboratorijas darbu Nr. 2 fizikā."
Ja mums ir vairāki sākotnējie paziņojumi, tad izmantojot loģiskās alianses vai daļiņas mēs varam veidot jaunus apgalvojumus, kuru patiesuma vērtība ir atkarīga tikai no sākotnējo apgalvojumu patiesuma vērtībām un no konkrētajiem savienojumiem un daļiņām, kas piedalās jauna apgalvojuma konstruēšanā. Vārdi un izteicieni "un", "vai", "nē", "ja ... tad", "tāpēc", "tad un tikai tad" ir šādu savienību piemēri. Sākotnējie paziņojumi tiek saukti vienkārši , un no tiem veidoti jauni apgalvojumi ar dažādu loģisku savienību palīdzību - sastāvdaļa ... Protams, vārdam "vienkāršs" nav nekāda sakara ar sākotnējo apgalvojumu būtību vai struktūru, kas paši par sevi var būt ļoti sarežģīti. Šajā kontekstā vārds "vienkāršs" ir sinonīms vārdam "oriģināls". Svarīgi ir tas, ka tiek pieņemts, ka vienkāršu apgalvojumu patiesības vērtības ir zināmas vai dotas; katrā ziņā tie nekādā veidā netiek apspriesti.
Lai gan tāds apgalvojums kā "Šodien nav ceturtdiena" nesastāv no diviem dažādiem vienkāršiem apgalvojumiem, konstrukcijas konsekvences labad tas tiek uzskatīts arī par saliktu, jo tā patiesības vērtību nosaka cita apgalvojuma "Šodien ir ceturtdiena" patiesuma vērtība.
2. piemērs.Šādi apgalvojumi tiek uzskatīti par saliktiem:
Es lasu Moskovska Komsomoļecu un lasu Kommersantu.
Ja viņš to teica, tad tā ir taisnība.
Saule nav zvaigzne.
Ja būs saulains laiks un temperatūra pārsniegs 25 0, atbraukšu ar vilcienu vai auto
Vienkārši apgalvojumi, kas ir daļa no savienojuma, paši par sevi var būt pilnīgi patvaļīgi. Jo īpaši tie paši var būt salikti. Tālāk aprakstītie salikto apgalvojumu pamatveidi tiek noteikti neatkarīgi no vienkāršajiem apgalvojumiem, kas tos veido.
11. Operācijas ar paziņojumiem.
1. Negācijas darbība.
Noliedzot izteikumus A ( skan "nē A"," Tā nav taisnība A"), Kas ir taisnība, kad A viltus un nepatiesi kad A- taisnība.
Noliedzot viens otru A un tiek saukti pretī.
2. Savienojuma darbība.
Savienojums paziņojumi A un V ir apzīmēts paziņojums A B(lasa " A un V"), kuru patiesās vērtības tiek noteiktas tad un tikai tad, ja ir abi paziņojumi A un V ir patiesas.
Izteikumu konjunkciju sauc par loģisku produktu un bieži apzīmē AB.
Lai paziņojums tiek sniegts A- "martā gaisa temperatūra ir no plkst 0 C uz + 7 C"Un paziņojums V- "Vitebskā līst." Tad A B būs šādi: “martā gaisa temperatūra no plkst 0 C uz + 7 C un Vitebskā līst. Šis savienojums būs patiess, ja ir apgalvojumi A un V taisnība. Ja izrādās, ka temperatūra bija mazāka 0 C vai Vitebskā lietus nebija, tad A B būs nepatiess.
3 ... Disjunkcijas darbība.
Disjunkcija paziņojumi A un V sauc par izteikumu A B (A vai V), kas ir patiesa tad un tikai tad, ja vismaz viens no apgalvojumiem ir patiess un nepatiess – ja abi apgalvojumi ir nepatiesi.
Izteikumu disjunkciju sauc arī par loģisko summu A + B.
Teiciens " 4<5 vai 4=5 "Ir patiess. Kopš teiciena " 4<5 "- taisnība, un apgalvojums" 4=5 "- tad nepatiesi A B atspoguļo patieso teicienu " 4 5 ».
4 ... Implikācijas darbība.
Netiešā veidā paziņojumi A un V sauc par izteikumu A B("ja A, tad V", "no A vajadzētu V"), kuras vērtība ir nepatiesa tad un tikai tad A taisnība, un V viltus.
Netiešā veidā A B izteikums A tiek saukti pamats, vai paku, un izrakstu V – sekas, vai secinājums.
12. Apgalvojumu patiesuma tabulas.
Patiesības tabula ir tabula, kas nosaka atbilstību starp visām iespējamām loģiskajā funkcijā iekļautajām loģisko mainīgo kopām un funkcijas vērtībām.
Patiesības tabulas tiek izmantotas:
Sarežģītu apgalvojumu patiesuma aprēķināšana;
Izteikumu līdzvērtības noteikšana;
Tautoloģiju definīcijas.
Matemātiskā analīze ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar funkciju izpēti, pamatojoties uz ideju par bezgalīgi mazām funkcijām.
Matemātiskās analīzes pamatjēdzieni ir vērtība, kopa, funkcija, bezgalīgi maza funkcija, robeža, atvasinājums, integrālis.
Lielums sauc visu, ko var izmērīt un izteikt ar skaitli.
Daudzi sauc par dažu elementu kopu, ko vieno kāda kopīga iezīme. Kopas elementi var būt skaitļi, figūras, objekti, jēdzieni utt.
Kopas ir apzīmētas ar lielajiem burtiem, bet elementi ir apzīmēti ar daudzkārtņiem ar mazajiem burtiem. Komplekta elementi ir ietverti cirtainos lencēs.
Ja elements x pieder komplektam X tad raksti x∈NS (∈
- pieder).
Ja kopa A ir daļa no kopas B, tad rakstiet A ⊂ B (⊂
- satur).
Kopu var norādīt vienā no diviem veidiem: uzskaitot un izmantojot definējošu īpašību.
Piemēram, šādas kopas ir norādītas ar uzskaitījumu:- A = (1,2,3,5,7) - skaitļu kopa
- X = (x 1, x 2, ..., x n) - dažu elementu kopa x 1, x 2, ..., x n
- N = (1,2, ..., n) - naturālu skaitļu kopa
- Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) — veselu skaitļu kopa
Tiek izsaukta kopa (-∞; + ∞). skaitļa līnija, un jebkurš skaitlis ir šīs līnijas punkts. Lai a ir patvaļīgs punkts uz skaitļa līnijas un δ ir pozitīvs skaitlis. Intervāls (a-δ; a + δ) tiek izsaukts δ-punkta a apkārtne.
Kopa X ir ierobežota augšā (zemāk), ja ir tāds skaitlis c, ka jebkuram x ∈ X ir spēkā nevienādība x≤с (x≥c). Šajā gadījumā tiek izsaukts skaitlis c augšējā (apakšējā) mala kopa X. Tiek izsaukta kopa, kas ir ierobežota gan augšā, gan zemāk ierobežots... Tiek saukta mazākā (lielākā) no kopas augšējās (apakšējās) robežām precīza augšējā (apakšējā) malašis komplekts.
Pamata numuru kopas
| N | (1,2,3, ..., n) Visu kopa |
| Z | (0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Komplekts veseli skaitļi. Veselo skaitļu kopa ietver daudzus naturālus skaitļus. |
| J |
Daudz racionālie skaitļi. Papildus veseliem skaitļiem ir arī daļskaitļi. Daļa ir formas izteiksme, kur lpp- vesels skaitlis, q-dabisks. Decimāldaļas var rakstīt arī kā. Piemēram: 0,25 = 25/100 = 1/4. Veselus skaitļus var rakstīt arī kā. Piemēram, kā daļskaitli ar saucēju "viens": 2 = 2/1. Tādējādi jebkuru racionālu skaitli var uzrakstīt kā decimālo daļu – protams, vai bezgalīgu periodisku. |
| R |
Daudzi no visiem reāli skaitļi. Iracionālie skaitļi ir bezgalīgas neperiodiskas daļas. Tie ietver: Kopā divas kopas (racionālie un iracionālie skaitļi) - veido reālu (vai reālu) skaitļu kopu. |
Ja kopa nesatur nevienu elementu, tad tā tiek izsaukta tukšs komplekts un tiek ierakstīts Ø .
Loģiskās simbololoģijas elementi
Apzīmējums ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
KvantorsKvantifikatorus bieži izmanto, rakstot matemātiskās izteiksmes.
Kvantifikators ir loģisks simbols, kas raksturo šādus elementus kvantitatīvā izteiksmē.
- ∀- vispārīguma kvantors, tiek lietots vārdu "visiem", "jebkuram" vietā.
- ∃- eksistenciālais kvantors, tiek lietots vārdu "pastāv", "ir" vietā. Tiek izmantota arī rakstzīmju kombinācija ∃ !, kas tiek lasīta, jo ir tikai viena.
Iestatīt operācijas
Divas kopas A un B ir vienādas(A = B), ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem.
Piemēram, ja A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2), tad A = B.
Konsolidācija (summa) kopas A un B sauc par kopu A ∪ B, kuras elementi pieder vismaz vienai no šīm kopām.
Piemēram, ja A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), tad A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Krustojums (produkts) kopas A un B sauc par kopu A ∩ B, kuras elementi pieder gan kopai A, gan kopai B.
Piemēram, ja A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), tad A ∩ B = (2,4)
Atšķirība kopas A un B sauc par kopu AB, kuras elementi pieder kopai A, bet nepieder kopai B.
Piemēram, ja A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), tad AB = (1,2)
Simetriska atšķirība kopas A un B sauc par kopu A Δ B, kas ir kopu AB un BA atšķirību savienība, tas ir, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Piemēram, ja A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), tad A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5, 6)
Kopu operāciju īpašības
Permutācijas īpašībasA ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Saskaitāmas un nesaskaitāmas kopas
Lai salīdzinātu jebkuras divas kopas A un B, starp to elementiem tiek noteikta atbilstība.
Ja šī atbilstība ir viens pret vienu, tad kopas sauc par līdzvērtīgām vai līdzvērtīgām, A B vai B A.
1. piemērsTrijstūra ABC kājas BC un hipotenūzas AC punktu kopai ir vienāda jauda.
Valsts izglītības iestāde
vidējā profesionālā izglītība
Tulas reģions
"Aleksinska mašīnbūves tehnikums"
Skaitlis
ļaudīm
Projektējis
skolotājs
matemātika
Hristoforova M.Ju.
Numurs - pamatkoncepcija izmanto raksturlielumi, salīdzinājumi, un to daļas. Rakstiskas zīmes skaitļiem ir , un matemātiskā .
Skaitļa jēdziens radās senatnē no cilvēku praktiskām vajadzībām un attīstījās cilvēka attīstības procesā. Cilvēka darbības lauks paplašinājās un attiecīgi pieauga nepieciešamība pēc kvantitatīvā apraksta un izpētes. Sākumā skaitļa jēdzienu noteica tās skaitīšanas un mērīšanas vajadzības, kas radās cilvēka praktiskajā darbībā, kļūstot arvien sarežģītākas. Vēlāk skaitlis kļūst par matemātikas pamatjēdzienu, un šīs zinātnes vajadzības nosaka šī jēdziena tālāko attīstību.
Kopas, kuru elementi ir skaitļi, sauc par skaitliskām.
Skaitļu kopu piemēri ir:
N = (1; 2; 3; ...; n; ...) - naturālu skaitļu kopa;
Zo = (0; 1; 2; ...; n; ...) - nenegatīvu veselu skaitļu kopa;
Z = (0; ± 1; ± 2; ...; ± n; ...) - veselu skaitļu kopa;
Q = (m/n: m Z, n N) ir racionālo skaitļu kopa.
Reālo skaitļu R-kopa.
Starp šīm kopām pastāv saistība
N Zo Z J R.
Skaitļi patīkN = (1, 2, 3, ....) tiek sauktidabisks . Dabiskie skaitļi parādījās saistībā ar nepieciešamību skaitīt objektus.
Jebkurš , kas ir lielāks par vienu, var tikt attēlots kā pirmskaitļu pakāpju reizinājums unikālā veidā līdz pat faktoru secībai. Piemēram, 121968 = 2 4 · 3 2 7 11 2
Jam, n, k - naturālie skaitļi, tad parm - n = k viņi tā sakam - samazinās, n - atņem, k - starpība; plkstm: n = k viņi tā sakam - dividende, n - dalītājs, k - koeficients, numurum ko sauc arī parvairākas ciparin, un numurun - dalītājs ciparim, Ja numursm - vairākas non, tad ir naturāls skaitlisk, tāds, kam = kn.
No skaitļiem tiek apkopotas aritmētiskās zīmes un iekavasskaitliskās izteiksmes. Ja jūs veicat norādītās darbības skaitliskā izteiksmē, ievērojot pieņemto pasūtījumu, jūs saņemat numuru, kas tiek izsauktsizteiksmes vērtība .
Aritmētisko darbību secība: vispirms tiek veiktas darbības iekavās; jebkurās iekavās vispirms tiek veikta reizināšana un dalīšana un pēc tam saskaitīšana un atņemšana.
Ja naturāls skaitlism nedalās ar naturālu skaitlin, tie. tāda navdabiskais skaitlis k, kasm = kn, tad apsverietdalīšana ar atlikumu: m = np + r, kurm - dividende, n - dalītājs (m> n), p - koeficients, r - atlikums .
Ja skaitlim ir tikai divi dalītāji (pats skaitlis un vienība), tad to saucvienkārši : ja skaitlim ir vairāk nekā divi dalītāji, tad tas tiek izsauktssalikts.
Jebkurš salikts naturāls skaitlis var būtizslēgt , un tikai vienā veidā. Ieskaitot skaitļus primārajos faktoros, izmantojietdalāmības kritēriji .
a unb Var būt atrastslielākais kopīgais faktors. Tas ir norādītsD (a, b). Ja skaitļia unb ir tādiD (a, b) = 1, tad skaitļia unb tiek sauktisavstarpēji vienkārši.
Jebkuriem naturāliem skaitļiema unb Var būt atrastsvismazākais daudzkārtnis. Tas ir apzīmētsK (a, b). Jebkurš kopīgs skaitļu daudzkārtnisa unb dalīts arK (a, b).
Ja skaitļia unb coprime , t.i.D (a, b) = 1, tadK (a, b) = ab.
Veidlapas numuri:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) tiek saukti veseli skaitļi , tie. veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, kas ir pretēji naturālajiem skaitļiem, un skaitlis 0.
Naturālos skaitļus 1, 2, 3, 4, 5 ... sauc arī par pozitīviem veseliem skaitļiem. Skaitļus -1, -2, -3, -4, -5, ..., kas ir pretēji naturālajiem skaitļiem, sauc par negatīviem veseliem skaitļiem.
Nozīmīgi skaitļi skaitļi ir visi tā cipari, izņemot sākuma nulles.
Tiek saukta secīgi atkārtota ciparu grupa aiz komata skaitļa decimāldaļāsperiodā, un tiek izsaukta bezgalīga decimāldaļdaļa, kuras apzīmējumā ir šāds punktsperiodiski . Ja periods sākas tūlīt pēc komata, tad tiek izsaukta daļskaitlīneto periodisks ; ja starp komatu un punktu ir citas decimāldaļas, tad tiek izsaukta daļdaļajaukta periodiska .
Tiek izsaukti skaitļi, kas nav veseli vai daļskaitļineracionāli .
Katrs neracionālais skaitlis tiek attēlots kā neperiodiska bezgalīga decimāldaļdaļa.
Tiek izsaukta visu galīgo un bezgalīgo decimālo daļu kopadaudzums reāli skaitļi : racionāls un iracionāls.
Reālo skaitļu kopai R ir šādas īpašības.
1. Tas ir sakārtots: jebkuriem diviem dažādiem skaitļiem α un b, viena no divām sakarībām a
2. Kopa R ir blīva: starp jebkuriem diviem dažādiem skaitļiem a un b ir bezgalīga reālu skaitļu kopa x, tas ir, skaitļi, kas apmierina nevienlīdzību a<х
Tātad, ja a
(a 2a< a+ ba+ b<2b 2 a a<(a+b)/2
Reālos skaitļus var attēlot kā punktus uz skaitļu līnijas. Lai iestatītu skaitlisku taisni, ir jāatzīmē punkts uz taisnes, kas atbildīs skaitlim 0 - izcelsmei, un pēc tam atlasiet vienības segmentu un norāda pozitīvu virzienu.
Katrs koordinātu līnijas punkts atbilst skaitlim, kas tiek definēts kā segmenta garums no sākuma līdz attiecīgajam punktam, bet vienība tiek uzskatīta par vienības segmentu. Šis skaitlis ir punkta koordinātas. Ja punkts ir ņemts pa labi no sākuma, tad tā koordināte ir pozitīva, un, ja pa kreisi, tā ir negatīva. Piemēram, punktiem O un A ir attiecīgi 0 un 2 koordinātes, kuras var uzrakstīt šādi: 0 (0), A (2).