Lielākie kopīgo dalītāju piemēri. Nok un nod noteikuma atrašana

GCD ir lielākais kopīgais dalītājs.

Lai atrastu vairāku skaitļu lielāko kopīgo dalītāju:

• noteikt abiem skaitļiem kopīgos faktorus;
• atrast kopīgu faktoru produktu.

GCD atrašanas piemērs:

Atrodiet skaitļu 315 un 245 GCD.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Uzrakstiet abus skaitļus kopīgos faktorus:

3. Atrodiet kopējo faktoru reizinājumu:

gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Atbilde: GCD(315; 245) = 35.

NOC atrašana

LCM ir mazākais kopīgais daudzkārtnis.

Lai atrastu vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizni:

• sadalīt skaitļus pirmfaktoros;
• uzrakstiet faktorus, kas iekļauti viena skaitļa izvēršanā;
• pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no otrā skaitļa paplašināšanas;
• atrast iegūto faktoru reizinājumu.

NOC atrašanas piemērs:

Atrodiet skaitļu 236 un 328 LCM:

1. Mēs sadalām skaitļus galvenajos faktoros:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Pierakstiet faktorus, kas iekļauti viena no skaitļiem, un pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no otrā skaitļa izvēršanas:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Atrodiet iegūto faktoru reizinājumu:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Atbilde: LCM(236; 328) = 19352.

Lai atrastu divu skaitļu GCD (lielāko kopīgo dalītāju), jums ir nepieciešams:

2. Iegūtajos paplašinājumos atrodiet (pasvītrojiet) visus kopīgos pirmfaktorus.

3. Atrodiet kopējo pirmfaktoru reizinājumu.

Lai atrastu divu skaitļu LCM (vismazāko daudzkārtni), jums ir nepieciešams:

1. Sadaliet šos skaitļus pirmfaktoros.

2. Papildiniet viena no tiem izplešanos ar tiem otra skaitļa izplešanās faktoriem, kuri nav pirmā skaitļa izplešanās.

3. Aprēķināt iegūto faktoru reizinājumu.

Šis raksts ir par lielākā kopīgā dalītāja atrašana (gcd) divi vai vairāki skaitļi. Pirmkārt, apsveriet Eiklida algoritmu, kas ļauj atrast divu skaitļu GCD. Pēc tam mēs pakavēsimies pie metodes, kas ļauj mums aprēķināt skaitļu GCD kā to kopējo primāro faktoru reizinājumu. Tālāk mēs nodarbosimies ar trīs vai vairāku skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanu, kā arī sniegsim piemērus negatīvo skaitļu GCD aprēķināšanai.

Lapas navigācija.

Eiklida algoritms GCD atrašanai

Ņemiet vērā, ka, ja mēs būtu pievērsušies pirmskaitļu tabulai no paša sākuma, mēs būtu uzzinājuši, ka skaitļi 661 un 113 ir pirmskaitļi, no kuriem uzreiz varētu teikt, ka to lielākais kopīgais dalītājs ir 1.

Atbilde:

gcd(661, 113)=1 .

GCD atrašana, iedalot skaitļus galvenajos faktoros

Apsveriet citu veidu, kā atrast GCD. Lielāko kopīgo dalītāju var atrast, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Formulēsim noteikumu: Divu pozitīvu veselu skaitļu a un b gcd ir vienāds ar visu kopējo primāro faktoru reizinājumu a un b faktoros galvenajos faktoros.

Sniegsim piemēru, lai izskaidrotu GCD atrašanas noteikumu. Nosauciet skaitļu 220 un 600 izvērsumus pirmfaktoros, tiem ir forma 220=2 2 5 11 un 600=2 2 2 3 5 5 . Kopējie pirmfaktori, kas iesaistīti skaitļu 220 un 600 izvēršanā, ir 2, 2 un 5. Tāpēc gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Tādējādi, ja skaitļus a un b sadalīsim pirmfaktoros un atrodam visu to kopīgo faktoru reizinājumu, tad tiks atrasts lielākais skaitļu a un b kopīgo dalītājs.

Apsveriet piemēru, kā atrast GCD saskaņā ar paziņoto noteikumu.

Piemērs.

Atrodiet 72 un 96 lielāko kopīgo dalītāju.

Risinājums.

Faktorizēsim skaitļus 72 un 96:

Tas ir, 72 = 2 2 2 3 3 un 96 = 2 2 2 2 2 3 . Parastie pirmie koeficienti ir 2, 2, 2 un 3. Tātad gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Atbilde:

gcd(72, 96)=24 .

Šīs sadaļas noslēgumā mēs atzīmējam, ka iepriekš minētā noteikuma derīgums gcd atrašanai izriet no lielākā kopīgā dalītāja īpašības, kas nosaka, ka GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), kur m ir jebkurš pozitīvs vesels skaitlis.

Trīs vai vairāk skaitļu GCD atrašana

Trīs vai vairāku skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanu var reducēt uz divu skaitļu gcd secīgu atrašanu. Mēs to pieminējām, pētot GCD īpašības. Tur mēs formulējām un pierādījām teorēmu: vairāku skaitļu lielākais kopīgais dalītājs a 1 , a 2 , …, ak ir vienāds ar skaitli dk , kas atrodams gcd(a 1 , a 2)=d 2 secīgā aprēķinā. , gcd(d 2 , a 3) = d 3 , GCD(d 3 , a 4) = d 4 , …, GCD(d k-1 , ak) = dk .

Aplūkosim, kā izskatās vairāku skaitļu GCD atrašanas process, ņemot vērā piemēra risinājumu.

Piemērs.

Atrodiet četru skaitļu 78, 294, 570 un 36 lielāko kopīgo dalītāju.

Risinājums.

Šajā piemērā a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .

Pirmkārt, izmantojot Eiklida algoritmu, mēs nosakām pirmo divu skaitļu 78 un 294 lielāko kopīgo dalītāju d 2 . Dalot iegūstam vienādības 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 un 18=6 3 . Tādējādi d 2 = GCD(78, 294) = 6 .

Tagad aprēķināsim d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Atkal pielietojam Eiklida algoritmu: 570=6·95 , tāpēc d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Atliek aprēķināt d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Tā kā 36 dalās ar 6, tad d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Tādējādi četru doto skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir d 4 =6 , tas ir, gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Atbilde:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Skaitļu sadalīšana pirmfaktoros ļauj arī aprēķināt trīs vai vairāku skaitļu GCD. Šajā gadījumā lielākais kopējais dalītājs tiek atrasts kā visu doto skaitļu kopējo pirmkoeficientu reizinājums.

Piemērs.

Aprēķiniet skaitļu GCD no iepriekšējā piemēra, izmantojot to primārās faktorizācijas.

Risinājums.

Skaitļus 78, 294, 570 un 36 sadalām pirmfaktoros, iegūstam 78=2 3 13, 294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3. 3. Visu doto četru skaitļu kopējie pirmfaktori ir skaitļi 2 un 3. Sekojoši, GCD(78; 294; 570; 36) = 2 3 = 6.

Viens no uzdevumiem, kas sagādā problēmas mūsdienu skolēniem, kuri ir pieraduši lietot sīkrīkos iebūvētos kalkulatorus vietā un nevietā, ir atrast divu vai vairāku skaitļu lielāko kopīgo dalītāju (GCD).

Nav iespējams atrisināt nevienu matemātisko problēmu, ja nav zināms, kas patiesībā tiek jautāts. Lai to izdarītu, jums jāzina, ko nozīmē šis vai cits izteiciens. izmanto matemātikā.

Jāzina:

1. Ja ar noteiktu skaitli var saskaitīt dažādus objektus, piemēram, deviņus stabus, sešpadsmit mājas, tad tas ir dabiski. Mazākais no tiem būs viens.
2. Ja naturāls skaitlis dalās ar citu naturālu skaitli, mazākais skaitlis tiek uzskatīts par lielākā skaitļa dalītāju.
3. Ja divi vai vairāki dažādi skaitļi dalās ar noteiktu skaitli bez atlikuma, tad viņi saka, ka pēdējais būs to kopējais dalītājs (OD).
4. Lielāko no OD sauc par lielāko kopīgo dalītāju (GCD).
5. Tādā gadījumā, kad skaitlim ir tikai divi dabiskie dalītāji (pats un viens), to sauc par pirmskaitļu. Mazākais no tiem ir divnieks, turklāt tas ir vienīgais pāra skaitlis viņu sērijā.
6. Ja diviem skaitļiem maksimālais kopējais dalītājs ir viens, tad tie būs pirmskaitļi.
7. Skaitli ar vairāk nekā diviem dalītājiem sauc par saliktu skaitli.
8. Procesu, kad tiek atrasti visi pirmfaktori, kurus reizinot savā starpā, matemātikā tiks iegūta reizinājuma sākotnējā vērtība, sauc par sadalīšanos pirmfaktoros. Turklāt tie paši faktori paplašināšanā var rasties vairāk nekā vienu reizi.

Matemātikā tiek pieņemti šādi apzīmējumi:

1. Dalītāji D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
2. OD (8;18) = (1;2).
3. GCD (8;18) = 2.

Dažādi veidi, kā atrast GCD

Visvieglāk atbildams jautājums kā atrast NOD kad mazākais skaitlis ir lielākā dalītājs. Šajā gadījumā tas būs lielākais kopīgais dalītājs.

Piemēram, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Bet šādi gadījumi matemātikā ir ļoti reti, tāpēc, lai atrastu GCD, tiek izmantoti sarežģītāki paņēmieni, lai gan joprojām ir ļoti ieteicams pirms darba uzsākšanas pārbaudīt šo iespēju.

Pirmfaktoros sadalīšanas metode

Ja jums ir jāatrod divu vai vairāku dažādu skaitļu GCD, pietiek katru no tiem sadalīt vienkāršos faktoros un pēc tam veikt to reizināšanas procesu, kas atrodas katrā no tiem.

1. piemērs

Apsveriet, kā atrast GCD 36 un 90:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Tagad redzēsim, kā to pašu atrast trīs skaitļu gadījumā, piemēram, 54; 162; 42.

Mēs jau zinām, kā sadalīt 36, tiksim galā ar pārējo:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Tādējādi GCD (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Jāņem vērā, ka dekompozīcijas vienību ierakstīšana ir absolūti obligāta.

Apsveriet ceļu cik viegli ir faktorizēt, šim nolūkam kreisajā pusē mēs ierakstīsim vajadzīgo skaitli, bet labajā pusē - vienkāršus dalītājus.

Kolonnas var atdalīt ar dalījuma zīmi vai vienkāršu vertikālu joslu.

1. 36/2 mēs turpināsim savu sadalīšanas procesu;
2. 18/2 tālāk;
3. 9/3 un vēlreiz;
4. 3/3 tagad ir diezgan elementārs;
5. 1 - rezultāts ir gatavs.

Vēlamais 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3.

Eiklīda ceļš

Šī iespēja cilvēcei ir zināma kopš senās Grieķijas civilizācijas laikiem, tā ir daudz vienkāršāka, un tiek attiecināta uz izcilo matemātiķi Eiklidu, lai gan ļoti līdzīgi algoritmi tika izmantoti arī iepriekš. Šī metode ir izmantot šādu algoritmu, mēs dalām lielāko skaitli ar atlikumu ar mazāko. Pēc tam dalām dalītāju ar atlikušo daļu un turpinām šādi rīkoties pa apli, līdz dalīšana ir pabeigta. Pēdējā vērtība izrādīsies vēlamais lielākais kopējais dalītājs.

Sniegsim šī algoritma izmantošanas piemēru:

Mēģināsim noskaidrot, kurš GCD paredzēts 816 un 252:

1. 816 / 252 = 3 un atlikums ir 60. Tagad mēs sadalām 252 ar 60;
2. 252 / 60 = 4, atlikums šoreiz būs 12. Turpināsim apļveida procesu, sadaliet sešdesmit ar divpadsmit;
3. 60 / 12 = 5. Tā kā šoreiz mēs nesaņēmām atlikumu, mums ir gatavs rezultāts, divpadsmit būs vērtība, kuru mēs meklējam.

Tātad, mūsu procesa beigās mēs saņēmām NOD (816;252) = 12.

Darbības, ja nepieciešams noteikt GCD, ja ir norādītas vairāk nekā divas vērtības

Mēs jau esam izdomājuši, kā rīkoties gadījumā, ja ir divi dažādi skaitļi, tagad uzzināsim, kā rīkoties, ja tādi ir. 3 vai vairāk.

Neskatoties uz šķietamo sarežģītību, šis uzdevums mums nesagādās nekādas problēmas. Tagad mēs izvēlamies jebkurus divus skaitļus un nosakām tiem vajadzīgo vērtību. Nākamais solis ir atrast iegūtā rezultāta GCD un trešo no dotajām vērtībām. Tad atkal rīkojamies pēc mums jau zināmā principa par ceturto piekto un tā tālāk.

Secinājums

Tā kā sākotnēji mums izvirzītais uzdevums šķiet ļoti sarežģīts, patiesībā viss ir vienkārši, galvenais, lai sadalīšanas procesu varētu veikt bez kļūdām un pieturieties pie jebkura no diviem iepriekš aprakstītajiem algoritmiem.

Lai gan abas metodes ir diezgan pieņemamas, vispārizglītojošā skolā pirmā metode tiek izmantota daudz biežāk.. Tas ir saistīts ar faktu, ka sadalīšana galvenajos faktoros būs nepieciešama, pētot nākamo izglītības tēmu - lielākā kopīgā daudzkāršā (LCM) definīciju. Bet tomēr ir vērts vēlreiz atzīmēt, ka Eiklida algoritma izmantošanu nekādā gadījumā nevar uzskatīt par kļūdainu.

Video

Ar video palīdzību jūs varat uzzināt, kā atrast lielāko kopīgo dalītāju.

Vai nesaņēmāt atbildi uz savu jautājumu? Ieteikt tēmu autoriem.

Šis raksts ir veltīts tādam jautājumam kā lielākā kopīgā dalītāja atrašana. Pirmkārt, mēs paskaidrosim, kas tas ir, un sniegsim dažus piemērus, iepazīstināsim ar 2, 3 vai vairāku skaitļu lielākā kopējā dalītāja definīcijām, pēc tam mēs pakavēsimies pie šī jēdziena vispārīgajām īpašībām un pierādīsim tās.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas ir kopīgie dalītāji

Lai saprastu, kas ir lielākais kopīgais dalītājs, mēs vispirms formulējam, kas ir kopīgs dalītājs veseliem skaitļiem.

Rakstā par reizinātājiem un dalītājiem mēs teicām, ka veselam skaitlim vienmēr ir vairāki dalītāji. Šeit mūs interesē noteikta skaita veselu skaitļu dalītāji, īpaši kopīgi (identiski) visiem. Pierakstīsim galveno definīciju.

1. definīcija

Vairāku veselu skaitļu kopējais dalītājs būs skaitlis, kas var būt katra skaitļa dalītājs no norādītās kopas.

1. piemērs

Šeit ir šāda dalītāja piemēri: trīskāršs būs kopīgs dalītājs skaitļiem - 12 un 9, jo vienādības 9 = 3 · 3 un − 12 = 3 · (− 4) ir patiesas. Skaitļiem 3 un - 12 ir citi kopīgi dalītāji, piemēram, 1 , - 1 un - 3 . Ņemsim citu piemēru. Četriem veseliem skaitļiem 3 , − 11 , − 8 un 19 būs divi kopīgi dalītāji: 1 un - 1 .

Zinot dalāmības īpašības, varam teikt, ka jebkuru veselu skaitli var dalīt ar vienu un mīnus viens, kas nozīmē, ka jebkurai veselu skaitļu kopai jau būs vismaz divi kopīgi dalītāji.

Ņemiet vērā arī to, ka, ja mums ir kopīgs dalītājs vairākiem skaitļiem b, tad tos pašus skaitļus var dalīt ar pretēju skaitli, tas ir, ar - b. Principā varam ņemt tikai pozitīvos dalītājus, tad arī visi kopīgie dalītāji būs lielāki par 0 . Šo pieeju var arī izmantot, taču nevajadzētu pilnībā ignorēt negatīvos skaitļus.

Kāds ir lielākais kopīgais dalītājs (gcd)

Saskaņā ar dalāmības īpašībām, ja b ir vesela skaitļa a dalītājs, kas nav vienāds ar 0, tad b modulis nevar būt lielāks par a moduli, tāpēc jebkuram skaitlim, kas nav vienāds ar 0, ir ierobežots dalītāju skaits. . Tas nozīmē, ka vairāku veselu skaitļu kopējo dalītāju skaits, no kuriem vismaz viens atšķiras no nulles, arī būs galīgs, un no visas to kopas mēs vienmēr varam atlasīt lielāko skaitli (mēs jau runājām par jēdzienu lielākā un mazākie veselie skaitļi, mēs iesakām atkārtot doto materiālu).

Turpmākajā spriešanā pieņemsim, ka vismaz viena no skaitļu kopas, kurai jāatrod lielākais kopīgais dalītājs, atšķirsies no 0 . Ja tie visi ir vienādi ar 0, tad to dalītājs var būt jebkurš vesels skaitlis, un, tā kā to ir bezgalīgi daudz, mēs nevaram izvēlēties lielāko. Citiem vārdiem sakot, skaitļu kopai, kas vienāda ar 0, nav iespējams atrast lielāko kopīgo dalītāju.

Mēs pārejam pie galvenās definīcijas formulējuma.

2. definīcija

Vairāku skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais veselais skaitlis, kas dala visus šos skaitļus.

Rakstot lielāko kopējo dalītāju visbiežāk apzīmē ar saīsinājumu GCD. Diviem skaitļiem to var uzrakstīt kā gcd (a, b) .

2. piemērs

Kāds ir GCD piemērs diviem veseliem skaitļiem? Piemēram, 6 un -15 tas būtu 3 . Pamatosim to. Vispirms mēs pierakstām visus dalītājus no sešiem: ± 6, ± 3, ± 1, un pēc tam visus dalītājus no piecpadsmit: ± 15, ± 5, ± 3 un ± 1. Pēc tam mēs izvēlamies parastos: tie ir − 3 , − 1 , 1 un 3 . No tiem jums jāizvēlas lielākais skaits. Šis būs 3.

Trīs vai vairāk skaitļiem lielākā kopējā dalītāja definīcija būs vienāda.

3. definīcija

Trīs vai vairāku skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais veselais skaitlis, kas dala visus šos skaitļus vienlaikus.

Skaitļiem a 1 , a 2 , … , a n dalītāju ērti apzīmē kā GCD (a 1 , a 2 , … , a n) . Pati dalītāja vērtība tiek uzrakstīta kā GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b .

3. piemērs

Šeit ir vairāku veselu skaitļu lielākā kopējā dalītāja piemēri: 12 , - 8 , 52 , 16 . Tas būs vienāds ar četriem, kas nozīmē, ka mēs varam rakstīt, ka gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.

Jūs varat pārbaudīt šī apgalvojuma pareizību, pierakstot visus šo skaitļu dalītājus un pēc tam izvēloties lielāko no tiem.

Praksē bieži ir gadījumi, kad lielākais kopējais dalītājs ir vienāds ar kādu no skaitļiem. Tas notiek, ja visus pārējos skaitļus var dalīt ar noteiktu skaitli (raksta pirmajā daļā mēs sniedzām šī apgalvojuma pierādījumu).

4. piemērs

Tātad skaitļu 60, 15 un - 45 lielākais kopīgais dalītājs ir 15, jo piecpadsmit dalās ne tikai ar 60 un - 45, bet arī pats ar sevi, un visiem šiem skaitļiem nav lielāka dalītāja.

Kopirmā skaitļi ir īpašs gadījums. Tie ir veseli skaitļi ar lielāko kopīgo dalītāju 1.

GCD un Eiklida algoritma galvenās īpašības

Vislielākajam kopējam dalītājam ir dažas raksturīgas īpašības. Mēs tos formulējam teorēmu veidā un pierādam katru no tiem.

Ņemiet vērā, ka šīs īpašības ir formulētas veseliem skaitļiem, kas ir lielāki par nulli, un mēs ņemam vērā tikai pozitīvos dalītājus.

4. definīcija

Skaitļiem a un b ir lielākais kopīgais dalītājs, kas vienāds ar gcd attiecībā uz b un a , t.i., gcd (a , b) = gcd (b , a) . Numuru vietu maiņa gala rezultātu neietekmē.

Šis īpašums izriet no pašas GCD definīcijas, un tam nav nepieciešami pierādījumi.

5. definīcija

Ja skaitli a var dalīt ar skaitli b, tad šo divu skaitļu kopīgo dalītāju kopa būs līdzīga skaitļa b dalītāju kopai, tas ir, gcd (a, b) = b.

Pierādīsim šo apgalvojumu.

1. pierādījums

Ja skaitļiem a un b ir kopīgi dalītāji, tad ar tiem var dalīt jebkuru no tiem. Tajā pašā laikā, ja a ir b daudzkārtnis, tad jebkurš b dalītājs būs arī a dalītājs, jo dalāmībai ir tāda īpašība kā tranzitivitāte. Tādējādi jebkurš dalītājs b būs kopīgs skaitļiem a un b. Tas pierāda, ka, ja varam dalīt a ar b , tad abu skaitļu visu dalītāju kopa sakrīt ar viena skaitļa dalītāju kopu b . Un tā kā jebkura skaitļa lielākais dalītājs ir pats skaitlis, tad arī skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs būs vienāds ar b, t.i. gcd(a, b) = b. Ja a = b , tad gcd (a , b) = gcd (a , a) = gcd (b , b) = a = b, piemēram, gcd (132 , 132) = 132 .

Izmantojot šo īpašību, mēs varam atrast divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, ja vienu no tiem var dalīt ar otru. Šāds dalītājs ir vienāds ar vienu no šiem diviem skaitļiem, ar kuru var dalīt otro skaitli. Piemēram, gcd (8, 24) = 8, jo 24 ir astoņkārtējs.

6. definīcija 2. pierādījums

Mēģināsim pierādīt šo īpašību. Sākotnēji mums ir vienādība a = b q + c , un jebkurš a un b kopīgs dalītājs dalīs arī c , kas izskaidrojams ar atbilstošo dalāmības īpašību. Tāpēc jebkurš b un c kopīgs dalītājs sadalīs a . Tas nozīmē, ka kopējo dalītāju kopa a un b sakritīs ar dalītāju kopu b un c, ieskaitot lielāko no tiem, kas nozīmē, ka vienādība gcd (a, b) = gcd (b, c) ir patiesa.

7. definīcija

Sekojošo īpašību sauc par Eiklida algoritmu. Ar to jūs varat aprēķināt divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, kā arī pierādīt citas GCD īpašības.

Pirms īpašības formulēšanas iesakām atkārtot teorēmu, ko pierādījām rakstā par dalīšanu ar atlikumu. Saskaņā ar to dalāmo skaitli a var attēlot kā bq + r, un šeit b ir dalītājs, q ir kāds vesels skaitlis (to sauc arī par nepilnu koeficientu), un r ir atlikums, kas apmierina nosacījumu 0 ≤ r ≤ b.

Pieņemsim, ka mums ir divi veseli skaitļi, kas lielāki par 0 un kuriem būs patiesas šādas vienādības:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Šīs vienādības beidzas, kad r k + 1 kļūst vienāds ar 0 . Tas noteikti notiks, jo secība b > r 1 > r 2 > r 3 , … ir dilstošu veselu skaitļu virkne, kas var ietvert tikai noteiktu skaitu. Tādējādi r k ir lielākais a un b kopīgais dalītājs, tas ir, r k = gcd (a , b) .

Vispirms jāpierāda, ka r k ir skaitļu a un b kopīgs dalītājs, un pēc tam r k ir nevis tikai dalītājs, bet gan lielākais divu doto skaitļu kopīgais dalītājs.

Apskatīsim iepriekš minēto vienlīdzību sarakstu no apakšas uz augšu. Saskaņā ar pēdējo vienādību,
r k − 1 var dalīt ar r k . Pamatojoties uz šo faktu, kā arī uz iepriekš pierādīto lielākā kopdalītāja īpašību, var apgalvot, ka r k − 2 var dalīt ar r k , jo
r k − 1 dalās ar r k un r k dalās ar r k .

Trešā vienādība no apakšas ļauj secināt, ka r k − 3 var dalīt ar r k utt. Otrais no apakšas ir tas, ka b dalās ar r k , un pirmais ir tas, ka a dalās ar r k . No tā visa secinām, ka r k ir a un b kopīgs dalītājs.

Tagad pierādīsim, ka r k = gcd (a , b) . Kas man jādara? Parādiet, ka jebkurš a un b kopīgs dalītājs dalīs r k . Apzīmēsim to ar r 0 .

Apskatīsim to pašu vienlīdzību sarakstu, bet no augšas uz leju. Pamatojoties uz iepriekšējo īpašību, varam secināt, ka r 1 dalās ar r 0, kas nozīmē, ka saskaņā ar otro vienādību r 2 dalās ar r 0. Mēs ejam cauri visām vienādībām un no pēdējās secinām, ka r k dalās ar r 0 . Tāpēc r k = gcd (a , b) .

Apsverot šo īpašību, secinām, ka a un b kopējo dalītāju kopa ir līdzīga šo skaitļu gcd dalītāju kopai. Šis apgalvojums, kas ir Eiklida algoritma sekas, ļaus mums aprēķināt visus divu doto skaitļu kopīgos dalītājus.

Pāriesim pie citiem īpašumiem.

8. definīcija

Ja a un b ir veseli skaitļi, kas nav vienādi ar 0, tad ir jābūt diviem citiem veseliem skaitļiem u 0 un v 0, kuriem būs spēkā vienādība gcd (a , b) = a u 0 + b v 0.

Īpašības paziņojumā dotā vienādība ir a un b lielākā kopīgā dalītāja lineārs attēlojums. To sauc par Bezout koeficientu, un skaitļus u 0 un v 0 sauc par Bezout koeficientiem.

3. pierādījums

Pierādīsim šo īpašību. Mēs pierakstām vienādību secību saskaņā ar Eiklida algoritmu:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Pirmā vienādība norāda, ka r 1 = a − b · q 1 . Apzīmējiet 1 = s 1 un − q 1 = t 1 un pārrakstiet šo vienādību kā r 1 = s 1 · a + t 1 · b. Šeit skaitļi s 1 un t 1 būs veseli skaitļi. Otrā vienādība ļauj secināt, ka r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Apzīmējiet − s 1 q 2 = s 2 un 1 − t 1 q 2 = t 2 un pārrakstiet vienādību kā r 2 = s 2 a + t 2 b , kur s 2 un t 2 arī būs veseli skaitļi. Tas ir tāpēc, ka veselu skaitļu summa, to reizinājums un starpība arī ir veseli skaitļi. Tieši tādā pašā veidā mēs iegūstam no trešās vienādības r 3 = s 3 · a + t 3 · b , no sekojošā r 4 = s 4 · a + t 4 · b utt. Visbeidzot, secinām, ka r k = s k a + t k b veseliem skaitļiem s k un t k . Tā kā rk \u003d GCD (a, b) , mēs apzīmējam sk \u003d u 0 un tk \u003d v 0. Rezultātā mēs varam iegūt lineāru GCD attēlojumu vajadzīgajā formā: GCD (a, b) \u003d au 0 + bv 0.

9. definīcija

gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) jebkurai dabas vērtībai m.

4. pierādījums

Šo īpašumu var attaisnot šādi. Reiziniet ar skaitli m katras vienādības abas puses Eiklida algoritmā un iegūstam, ka gcd (m a , m b) = m r k , un r k ir gcd (a , b) . Tādējādi gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Tieši šī lielākā kopējā dalītāja īpašība tiek izmantota, meklējot GCD ar faktorizēšanas metodi.

10. definīcija

Ja skaitļiem a un b ir kopīgs dalītājs p , tad gcd (a: p , b: p) = gcd (a , b) : p . Gadījumā, ja p = gcd (a , b) iegūstam gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1, tāpēc skaitļi a: gcd (a , b) un b : gcd (a , b) ir pirmskaitļi.

Tā kā a = p (a: p) un b = p (b: p) , tad, pamatojoties uz iepriekšējo īpašību, varam izveidot vienādības formā gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , starp kuriem būs šīs īpašības pierādījums. Mēs izmantojam šo apgalvojumu, kad mēs reducējam parastās daļskaitļus līdz nereducējamai formai.

11. definīcija

Lielākais kopīgais dalītājs a 1 , a 2 , ... , ak būs skaitlis dk , ko var atrast, secīgi aprēķinot gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , gcd (dk - 1 , ak) = dk .

Šis īpašums ir noderīgs, lai atrastu trīs vai vairāk skaitļu lielāko kopīgo dalītāju. Ar to jūs varat samazināt šo darbību līdz darbībām ar diviem cipariem. Tās pamatā ir Eiklīda algoritma secinājums: ja kopējo dalītāju kopa a 1 , a 2 un a 3 sakrīt ar kopu d 2 un a 3 , tad tā sakrīt arī ar dalītājiem d 3 . Skaitļu a 1 , a 2 , a 3 un a 4 dalītāji sakritīs ar d 3 dalītājiem, kas nozīmē, ka tie sakritīs arī ar d 4 dalītājiem utt. Rezultātā iegūstam, ka skaitļu a 1 , a 2 , … , ak kopējie dalītāji sakritīs ar dalītājiem dk , un tā kā pats skaitlis būs skaitļa dk lielākais dalītājs, tad gcd (a 1 , a 2 , … , ak) = dk .

Tas ir viss, ko mēs vēlētos runāt par lielākā kopīgā dalītāja īpašībām.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Tagad un turpmāk mēs pieņemsim, ka vismaz viens no šiem skaitļiem atšķiras no nulles. Ja visi dotie skaitļi ir vienādi ar nulli, tad to kopējais dalītājs ir jebkurš vesels skaitlis, un, tā kā veselo skaitļu ir bezgalīgi daudz, nevar runāt par lielāko no tiem. Tāpēc nevar runāt par lielāko kopējo skaitļu dalītāju, no kuriem katrs ir vienāds ar nulli.

Tagad mēs varam dot atrast lielāko kopīgo dalītāju divi cipari.

Definīcija.

Lielākais kopīgais dalītājs no diviem veseliem skaitļiem ir lielākais veselais skaitlis, kas dala divus dotos veselus skaitļus.

Saīsinājumu GCD bieži izmanto, lai saīsinātu lielāko kopīgo dalītāju - Greatest Common Divisor. Arī divu skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs bieži tiek apzīmēts kā gcd(a, b) .

Atvedīsim Lielākā kopējā dalītāja (gcd) piemērs divi veseli skaitļi. 6 un –15 lielākais kopīgais dalītājs ir 3. Pamatosim to. Pierakstīsim visus skaitļa sešiniekus: ±6, ±3, ±1, un skaitļa −15 dalītāji ir skaitļi ±15, ±5, ±3 un ±1. Tagad jūs varat atrast visus kopējos skaitļu 6 un -15 dalītājus, tie ir skaitļi -3, -1, 1 un 3. Kopš −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Trīs vai vairāku veselu skaitļu lielākā kopējā dalītāja definīcija ir līdzīga divu skaitļu gcd definīcijai.

Definīcija.

Lielākais kopīgais dalītājs trīs vai vairāk veseli skaitļi ir lielākais veselais skaitlis, kas vienlaikus dala visus dotos skaitļus.

Lielāko n veselo skaitļu kopējo dalītāju a 1 , a 2 , …, a n apzīmēsim kā gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Ja ir atrasta šo skaitļu lielākā kopīgā dalītāja vērtība b, tad varam rakstīt GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.

Piemēram, ņemot vērā četru veselu skaitļu -8, 52, 16 un -12 gcd, tas ir vienāds ar 4, tas ir, gcd(-8, 52, 16, -12)=4. To var pārbaudīt, pierakstot visus doto skaitļu dalītājus, izvēloties no tiem kopīgos dalītājus un nosakot lielāko kopīgo dalītāju.

Ņemiet vērā, ka lielākais veselo skaitļu kopējais dalītājs var būt vienāds ar vienu no šiem skaitļiem. Šis apgalvojums ir patiess, ja visi dotie skaitļi dalās ar vienu no tiem (pierādījums dots šī raksta nākamajā rindkopā). Piemēram, gcd(15, 60, -45)=15 . Tā ir taisnība, jo 15 dala 15 , 60 un –45 , un nav kopēja dalītāja 15 , 60 un –45 , kas būtu lielāks par 15 .

Īpaši interesanti ir tā sauktie nosacīti pirmskaitļi, tādi veseli skaitļi, kuru lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar vienu.

Vislielākās kopējās dalītāju īpašības, Eiklida algoritms

Vislielākajam kopējam dalītājam ir vairāki raksturīgi rezultāti, citiem vārdiem sakot, vairākas īpašības. Tagad mēs uzskaitīsim galvenos lielākā kopīgā dalītāja (gcd) īpašības, mēs tos formulēsim teorēmu veidā un nekavējoties sniegsim pierādījumus.

Mēs formulēsim visas pozitīvo veselo skaitļu lielākā kopīgā dalītāja īpašības, savukārt ņemsim vērā tikai šo skaitļu pozitīvos dalītājus.

A un b lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar b un a lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, gcd(a, b)=gcd(a, b) .

Šī GCD īpašība tieši izriet no lielākā kopīgā dalītāja definīcijas.

Ja a dalās ar b , tad a un b kopīgo dalītāju kopa ir tāda pati kā b dalītāju kopa, konkrēti gcd(a, b)=b .

Pierādījums.

Jebkurš skaitļu a un b kopīgs dalītājs ir katra no šiem skaitļiem, ieskaitot skaitli b, dalītājs. No otras puses, tā kā a ir b daudzkārtnis, tad jebkurš skaitļa b dalītājs ir arī skaitļa a dalītājs tādēļ, ka dalāmībai piemīt pārejoši īpašība, tāpēc jebkurš skaitļa b dalītājs ir a skaitļu a un b kopējais dalītājs. Tas pierāda, ka, ja a dalās ar b, tad skaitļu a un b dalītāju kopa sakrīt ar viena skaitļa b dalītāju kopu. Un tā kā skaitļa b lielākais dalītājs ir pats skaitlis b, tad arī skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar b , tas ir, gcd(a, b)=b .

Jo īpaši, ja skaitļi a un b ir vienādi, tad gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Piemēram, gcd(132, 132)=132 .

Pierādītā lielākā dalītāja īpašība ļauj mums atrast divu skaitļu gcd, ja viens no tiem dalās ar otru. Šajā gadījumā GCD ir vienāds ar vienu no šiem skaitļiem, ar kuru cits skaitlis dalās. Piemēram, gcd(8, 24)=8, jo 24 ir astoņkārtnis.

Ja a=b q+c , kur a , b , c un q ir veseli skaitļi, tad skaitļu a un b kopīgo dalītāju kopa sakrīt ar skaitļu b un c kopīgo dalītāju kopu, jo īpaši gcd( a, b)=gcd (b, c) .

Pamatosim šo GCD īpašību.

Tā kā spēkā ir vienādība a=b·q+c, tad jebkurš kopīgs skaitļu a un b dalītājs dala arī c (tas izriet no dalāmības īpašībām). Tā paša iemesla dēļ katrs b un c kopīgais dalītājs dala a . Tāpēc skaitļu a un b kopējo dalītāju kopa ir tāda pati kā skaitļu b un c kopīgo dalītāju kopa. Jo īpaši jāsakrīt arī lielākajam no šiem kopīgajiem dalītājiem, tas ir, šādai vienādībai ir jābūt derīgai gcd(a, b)=gcd(b, c) .

Tagad mēs formulējam un pierādam teorēmu, kas ir Eiklida algoritms. Eiklida algoritms ļauj atrast divu skaitļu GCD (skatiet GCD atrašanu, izmantojot Eiklida algoritmu). Turklāt Eiklida algoritms ļaus mums pierādīt šādas lielākās kopējās dalītāja īpašības.

Pirms teorēmas apgalvojuma sniegšanas iesakām atsvaidzināt teorēmas atmiņu no teorijas sadaļas, kurā teikts, ka dividendi a var attēlot kā bq + r, kur b ir dalītājs, q ir kāds vesels skaitlis, ko sauc par daļējo koeficientu, un r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumam, ko sauc par atlikumu.

Tātad, pieņemsim, ka diviem pozitīviem veseliem skaitļiem a un b vienādību sērija ir patiesa

beidzas, kad r k+1 =0 (kas ir neizbēgami, jo b>r 1 >r 2 >r 3 , … ir dilstošu veselu skaitļu virkne, un šajā rindā nevar būt vairāk par noteiktu skaitu pozitīvu skaitļu), tad rk – ir a un b lielākais kopīgais dalītājs, tas ir, rk =gcd(a, b) .

Pierādījums.

Vispirms pierādīsim, ka r k ir skaitļu a un b kopīgs dalītājs, pēc tam parādīsim, ka r k ir ne tikai dalītājs, bet gan lielākais skaitļu a un b kopīgais dalītājs.

Mēs virzīsimies pa rakstītajām vienādībām no apakšas uz augšu. No pēdējās vienādības varam teikt, ka r k−1 dalās ar r k . Ņemot vērā šo faktu, kā arī iepriekšējo GCD īpašību, priekšpēdējā vienādība rk−2 =rk−1 qk +rk ļauj apgalvot, ka rk−2 dalās ar rk , jo rk−1 dalās ar rk un rk dalās ar rk. ar rk . Pēc analoģijas no trešās vienādības no apakšas secinām, ka r k−3 dalās ar r k . utt. No otrās vienādības iegūstam, ka b dalās ar r k , un no pirmās vienādības iegūstam, ka a dalās ar r k . Tāpēc r k ir a un b kopīgs dalītājs.

Atliek pierādīt, ka r k =gcd(a, b) . Jo pietiek parādīt, ka jebkurš kopīgs skaitļu a un b dalītājs (to apzīmējam ar r 0 ) dala r k .

Mēs virzīsimies pa sākotnējām vienādībām no augšas uz leju. Iepriekšējās īpašības dēļ no pirmās vienādības izriet, ka r 1 dalās ar r 0 . Tad no otrās vienādības iegūstam, ka r 2 dalās ar r 0 . utt. No pēdējās vienādības iegūstam, ka r k dalās ar r 0 . Tādējādi r k =gcd(a, b) .

No lielākā kopīgā dalītāja aplūkotās īpašības izriet, ka skaitļu a un b kopējo dalītāju kopa sakrīt ar šo skaitļu lielākā kopīgā dalītāja kopu. Šis Eiklida algoritma secinājums ļauj mums atrast visus kopīgos divu skaitļu dalītājus kā šo skaitļu gcd dalītājus.

Lai a un b ir veseli skaitļi, kas nav vienlaikus vienādi ar nulli, tad ir tādi veseli skaitļi u 0 un v 0 , tad ir spēkā vienādība gcd(a, b)=a u 0 +b v 0. Pēdējā vienādība ir skaitļu a un b lielākā kopīgā dalītāja lineārs attēlojums, šo vienādību sauc par Bezout attiecību, un skaitļus u 0 un v 0 sauc par Bezout koeficientiem.

Pierādījums.

Saskaņā ar Eiklida algoritmu mēs varam uzrakstīt šādas vienādības



No pirmās vienādības mums ir r 1 =a−b q 1 , un, apzīmējot 1=s 1 un −q 1 =t 1 , šī vienādība iegūst formu r 1 =s 1 a+t 1 b , un skaitļi s 1 un t 1 ir veseli skaitļi. Tad no otrās vienādības iegūstam r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Apzīmējot −s 1 q 2 =s 2 un 1−t 1 q 2 =t 2 , pēdējo vienādību var uzrakstīt kā r 2 =s 2 a+t 2 b, un s 2 un t 2 ir veseli skaitļi (jo summa , starpība un veselu skaitļu reizinājums ir vesels skaitlis). Līdzīgi no trešās vienādības iegūstam r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, no ceturtās r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b utt. Visbeidzot, r k =s k ·a+t k ·b, kur s k un t k ir veseli skaitļi. Tā kā r k =gcd(a, b) , un apzīmējot s k =u 0 un t k =v 0 , iegūstam vajadzīgās formas gcd lineāru attēlojumu: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .

Ja m ir jebkurš naturāls skaitlis, tad gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Šīs lielākās kopējās dalītāja īpašības pamatojums ir šāds. Ja reizinām ar m abas Eiklida algoritma vienādības puses, iegūstam, ka gcd(m a, m b)=m r k , un r k ir gcd(a, b) . Sekojoši, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Šī lielākā kopējā dalītāja īpašība ir pamats GCD noteikšanas metodei, izmantojot primāro faktorizāciju.

Lai p ir jebkurš kopīgs skaitļu a un b dalītājs, tad gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, jo īpaši, ja p=gcd(a, b) mums ir gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, tas ir, skaitļi a:gcd(a, b) un b:gcd(a, b) ir pirmskaitļi.

Tā kā a=p (a:p) un b=p (b:p) , un iepriekšējās īpašības dēļ mēs varam uzrakstīt formas vienādību ķēdi gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , no kurienes izriet pierādāmā vienādība.

Vislielākā kopīgā dalītāja īpašība tikko izrādījās pamatā.

Tagad izrunāsim GCD īpašību, kas samazina trīs vai vairāku skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanas problēmu līdz divu skaitļu GCD secīgai atrašanai.

Ciparu lielākais kopīgais dalītājs a 1 , a 2 , ..., ak ir vienāds ar skaitli dk , kas atrodams GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a). 3)=d3, GCD(d3, a 4)=d4, …, gcd(d k-1, ak)=dk .

Pierādījums ir balstīts uz Eiklida algoritma secinājumu. Kopējie skaitļu a 1 un a 2 dalītāji ir tādi paši kā d 2 dalītāji. Tad skaitļu a 1 , a 2 un a 3 kopējie dalītāji sakrīt ar skaitļu d 2 un a 3 kopīgajiem dalītājiem, tāpēc tie sakrīt ar d 3 dalītājiem. Skaitļu a 1 , a 2 , a 3 un a 4 kopīgie dalītāji ir tādi paši kā d 3 un a 4 kopīgie dalītāji, tātad tādi paši kā d 4 dalītāji. utt. Visbeidzot, skaitļu a 1 , a 2 , …, a k kopējie dalītāji sakrīt ar d k dalītājiem. Un tā kā skaitļa d k lielākais dalītājs ir pats skaitlis d k, tad GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.

Ar to noslēdzies lielākā kopējā dalītāja galveno īpašību apskats.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.Ya. utt. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
• Mihelovičs Sh.Kh. Skaitļu teorija.
• Kuļikovs L.Ja. u.c.. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu krājums: Mācību grāmata fiz.-mat. pedagoģisko institūtu specialitātes.