Tāpat kā apgabala atrašanas problēmai, jums ir nepieciešamas pārliecinātas zīmēšanas prasmes - tas ir gandrīz vissvarīgākais (jo paši integrāļi bieži vien būs viegli). Jūs varat apgūt kompetentu un ātru grafiku veidošanas tehniku, izmantojot metodiskos materiālus un grafiku ģeometriskās transformācijas. Bet patiesībā es vairākkārt esmu runājis par zīmējumu nozīmi stundā.

Kopumā integrāļa aprēķinos ir daudz interesantu pielietojumu; izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt figūras laukumu, apgriezienu ķermeņa tilpumu, loka garumu, rotācijas virsmas laukumu. , un daudz vairāk. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!

Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Pārstāvēts? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā platību. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:

- ap abscisu asi;
- ap y asi.

Šajā rakstā tiks apspriesti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, tas sagādā vislielākās grūtības, bet patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un pastāstīt, kā atrast apgabalu otrajā veidā – pa asi. Pat ne tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.

Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.

plakana figūra ap asi

1. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, ap asi pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas.

Risinājums: Tāpat kā apgabala problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir nepieciešams izveidot figūru, ko ierobežo līnijas , , vienlaikus neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi. Kā zīmējumu uztaisīt racionālāk un ātrāk, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības un Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Šis ir ķīniešu atgādinājums, un es neapstājos.

Zīmējums šeit ir diezgan vienkāršs:

Vēlamā plakanā figūra ir ietonēta zilā krāsā, un tieši tā griežas ap asi.Rotācijas rezultātā tiek iegūts tāds nedaudz olveidīgs lidojošs šķīvītis, kas ir simetrisks pret asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, taču ir pārāk slinks, lai kaut ko norādītu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.

Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu?

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas:

Formulā pirms integrāļa ir jābūt skaitlim. Sanāca tā – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Kā noteikt integrācijas "a" un "be" robežas, manuprāt, ir viegli uzminēt no pabeigtā zīmējuma.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru no augšas ierobežo parabola grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina – integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir diezgan loģiski.

Aprēķiniet apgriezienu korpusa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

Atbildē nepieciešams norādīt izmēru - kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 "kubi". Kāpēc tieši kub vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, var būt kubikmetri, var būt kubikkilometri utt., tik daudz mazu zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ietilpt lidojošā šķīvī.

2. piemērs

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

3. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: uzzīmējiet zīmējumā plakanu figūru, kuru ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts tāds sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Apgriezienu korpusa tilpumu aprēķina kā ķermeņa tilpuma atšķirība.

Vispirms apskatīsim figūru, kas ir apvilkta sarkanā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu kā .

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .

Un, acīmredzot, apjomu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donča”.

Apgriezienu ķermeņa tilpuma noteikšanai mēs izmantojam standarta formulu:

1) Sarkanā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa tilpums:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek pieņemts īsāks, piemēram:

Tagad paņemsim pārtraukumu un parunāsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko Perelmans (cits) pamanīja grāmatā Interesanta ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visu mūžu dzer šķidrumu, kura tilpums ir 18 kvadrātmetri, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Kopumā PSRS izglītības sistēma tiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, spriešanu un māca meklēt oriģinālus nestandarta risinājumus problēmām. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, pieejams pat humanitāriem. Nē, jums nav jāsmaida, ka es ierosināju bezrūpīgu laika pavadīšanu, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.

Pēc liriskas atkāpes vienkārši der atrisināt radošo uzdevumu:

4. piemērs

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .

Šis ir “dari pats” piemērs. Ņemiet vērā, ka joslā viss notiek, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments dalās ar divi: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi

Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Testos diezgan biežs apmeklētājs ir arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap y asi. Tiks izskatīts garāmejot figūras laukuma atrašanas problēma otrs veids - integrācija pa asi, tas ļaus ne tikai uzlabot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast izdevīgāko risinājumu. Tam ir arī praktiska nozīme! Kā smaidot atcerējās mana matemātikas mācību metožu skolotāja, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: “Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām savus darbiniekus.” Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).

Iesaku izlasīt visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrās rindkopas asimilētais materiāls būs nenovērtējams palīgs dubultintegrāļu aprēķināšanā..

5. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro rindkopu, vispirms obligāti izlasi pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izpildīsim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija definē parabolas augšējo atzaru, bet funkcija nosaka parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast "parastajā" veidā, kas tika aplūkots nodarbībā. Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt skaitļa laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā ;
- segmentā.

Tātad:

Kas šajā gadījumā nav kārtībā ar parasto risinājumu? Pirmkārt, ir divi integrāļi. Otrkārt, saknes zem integrāļiem un saknes integrāļos nav dāvana, turklāt var apjukt integrācijas robežu aizstāšanā. Patiesībā integrāļi, protams, nav nāvējoši, bet praksē viss ir daudz bēdīgāk, es vienkārši paņēmu uzdevumam “labākas” funkcijas.

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārejas uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā pāriet uz apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka "x" caur "y". Vispirms tiksim galā ar parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju viss ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Turklāt segmentā taisne atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule, un nekas vairāk.

! Piezīme: Jāiestata integrācijas ierobežojumi gar asi stingri no apakšas uz augšu!

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Pievērsiet uzmanību tam, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrācija tiek veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežot šo figūru ap asi.

Zīmējumu pārzīmēšu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir "lidojošs tauriņš", kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums ir jāpāriet uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot apgriezienu korpusa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo apjomu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to caur iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kā tas atšķiras no iepriekšējās rindkopas formulas? Tikai vēstulēs.

Un šeit ir integrācijas priekšrocība, par kuru es runāju pirms kāda laika, to ir daudz vieglāk atrast nekā paaugstināt integrandu līdz 4. pakāpei.

Atbilde:

Tomēr slimīgs tauriņš.

Ņemiet vērā, ka, ja ap asi pagriež vienu un to pašu plakanu figūru, tad izrādīsies pavisam cits revolūcijas ķermenis ar atšķirīgu, dabiski, tilpumu.

6. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas, un ass.

1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo .
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Šis ir “dari pats” piemērs. Tie, kas vēlas, var arī atrast figūras laukumu "parastajā" veidā, tādējādi aizpildot 1. punkta testu. Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat ap asi plakanu figūru, tad jūs iegūstat pilnīgi citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt).

Divu piedāvāto uzdevuma punktu pilnīgs risinājums nodarbības beigās.

Ak, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas ietvaros!

plakana figūra ap asi

3. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.

2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro rindkopu, vispirms obligāti izlasi pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izpildīsim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija definē parabolas augšējo atzaru, bet funkcija nosaka parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast "parastā" veidā. Turklāt skaitļa laukums tiek atrasts kā laukumu summa:

- segmentā ;

- segmentā.

Tātad:

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārejas uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā pāriet uz apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka "x" caur "y". Vispirms tiksim galā ar parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju viss ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Turklāt segmentā taisne atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule, un nekas vairāk.

! Piezīme : asu integrācijas robežas būtu jāsakārtostingri no apakšas uz augšu !

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Pievērsiet uzmanību tam, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrācija tiek veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežot šo figūru ap asi.

Zīmējumu pārzīmēšu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir "lidojošs tauriņš", kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums ir jāpāriet uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot apgriezienu korpusa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo apjomu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to caur iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kā tas atšķiras no iepriekšējās rindkopas formulas? Tikai vēstulēs.

Un šeit ir integrācijas priekšrocība, par kuru es runāju pirms kāda laika, to ir daudz vieglāk atrast nekā provizoriski pacelt integrandu līdz 4.pakāpei.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka, ja ap asi pagriež vienu un to pašu plakanu figūru, tad izrādīsies pavisam cits revolūcijas ķermenis ar atšķirīgu, dabiski, tilpumu.

7. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līknes un .

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Pa ceļam iepazīstamies ar dažu citu funkciju grafikiem. Tik interesants pāra funkcijas grafiks...

Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, pietiek izmantot figūras labo pusi, kuru es iekrāsoju zilā krāsā. Abas funkcijas ir pāra, to grafiki ir simetriski pret asi, un arī mūsu figūra ir simetriska. Tādējādi ēnotā labā daļa, kas griežas ap asi, noteikti sakritīs ar kreiso nešķīloto daļu.

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas:

Formulā pirms integrāļa ir jābūt skaitlim. Sanāca tā – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Kā noteikt integrācijas "a" un "be" robežas, manuprāt, ir viegli uzminēt no pabeigtā zīmējuma.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru ierobežo paraboliskais grafiks augšpusē. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina - integrands formulā ir kvadrātā:, tātad integrālis vienmēr nav negatīvs , kas ir diezgan loģiski.

Aprēķiniet apgriezienu korpusa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

Atbildē nepieciešams norādīt izmēru - kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 "kubi". Kāpēc tieši kub vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, var būt kubikmetri, var būt kubikkilometri utt., tik daudz mazu zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ietilpt lidojošā šķīvī.

2. piemērs

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas,

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

3. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: uzzīmēsim zīmējumā plakanu figūru, kuru ierobežo līnijas ,,,, neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts tāds sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Apgriezienu korpusa tilpumu aprēķina kā ķermeņa tilpuma atšķirība.

Vispirms apskatīsim figūru, kas ir apvilkta sarkanā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Šī nošķelta konusa tilpumu apzīmē ar.

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .

Un, acīmredzot, apjomu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donča”.

Apgriezienu ķermeņa tilpuma noteikšanai mēs izmantojam standarta formulu:

1) Sarkanā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa tilpums:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek pieņemts īsāks, piemēram:

Tagad paņemsim pārtraukumu un parunāsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko Perelmans (cits) pamanīja grāmatā Interesanta ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visu mūžu dzer šķidrumu, kura tilpums ir 18 kvadrātmetri, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Kopumā PSRS izglītības sistēma tiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, spriešanu un māca meklēt oriģinālus nestandarta risinājumus problēmām. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, pieejams pat humanitāriem. Nē, jums nav jāsmaida, ka es ierosināju bezrūpīgu laika pavadīšanu, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.

Pēc liriskas atkāpes vienkārši der atrisināt radošo uzdevumu:

4. piemērs

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas,, kur.

Šis ir “dari pats” piemērs. Ņemiet vērā, ka joslā viss notiek, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas : ja arguments dalās ar divi: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

3. definīcija. Apgriezienu ķermenis ir ķermenis, ko iegūst, pagriežot plakanu figūru ap asi, kas nekrustojas ar figūru un atrodas vienā plaknē ar to.

Rotācijas ass var arī krustot figūru, ja tā ir figūras simetrijas ass.

2. teorēma.
, ass
un taisnu līniju segmenti
un

griežas ap asi
. Tad iegūtā apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas

(2)

Pierādījums. Šādam korpusam sadaļa ar abscisu ir rādiusa aplis
, nozīmē
un formula (1) dod vēlamo rezultātu.

Ja skaitlis ir ierobežots ar divu nepārtrauktu funkciju grafikiem
un
, un līniju segmenti
un
, Turklāt
un
, tad, griežot ap abscisu asi, iegūstam ķermeni, kura tilpums

3. piemērs Aprēķiniet tora tilpumu, kas iegūts, pagriežot apli, ko ierobežo aplis

ap x asi.

R risinājums. Norādīto apli no apakšas ierobežo funkcijas grafiks
, un augstāk -
. Šo funkciju kvadrātu atšķirība:

Vēlamais apjoms

(integranda grafiks ir augšējais pusloks, tāpēc iepriekš uzrakstītais integrālis ir pusloka laukums).

4. piemērs Parabolisks segments ar pamatni
, un augstums , griežas ap pamatni. Aprēķiniet iegūtā ķermeņa (Cavalieri "citrona") tilpumu.

R risinājums. Novietojiet parabolu, kā parādīts attēlā. Tad tā vienādojums
, un
. Noskaidrosim parametra vērtību :
. Tātad, vēlamais skaļums:

3. teorēma. Ļaujiet veidot līknes trapecveida formu, ko ierobežo nepārtrauktas nenegatīvas funkcijas grafiks
, ass
un taisnu līniju segmenti
un
, Turklāt
, griežas ap asi
. Tad iegūtā apgriezienu ķermeņa tilpumu var atrast pēc formulas

(3)

pierādījuma ideja. Segmenta sadalīšana
punkti

, daļās un zīmējiet taisnas līnijas
. Visa trapecveida forma sadalīsies sloksnēs, kuras var uzskatīt aptuveni par taisnstūriem ar pamatni
un augstums
.

Cilindrs, kas rodas, pagriežot šādu taisnstūri, tiek sagriezts gar ģenerātoru un atlocīts. Mēs iegūstam “gandrīz” paralēlskaldni ar izmēriem:
,
un
. Tās apjoms
. Tātad revolūcijas korpusa tilpumam mēs iegūsim aptuvenu vienādību

Lai iegūtu precīzu vienlīdzību, mums jāpāriet līdz robežai plkst
. Iepriekš uzrakstītā summa ir funkcijas integrālā summa
, tāpēc limitā iegūstam integrāli no formulas (3). Teorēma ir pierādīta.

1. piezīme. 2. un 3. teorēmā nosacījums
var izlaist: formula (2) parasti ir nejutīga pret zīmi
, un formulā (3) ar to pietiek
aizvietots ar
.

5. piemērs Paraboliskais segments (bāze
, augstums ) griežas ap augstumu. Atrodiet iegūtā ķermeņa tilpumu.

Risinājums. Sakārtojiet parabolu, kā parādīts attēlā. Un, lai gan rotācijas ass šķērso figūru, tā - ass - ir simetrijas ass. Tāpēc jāņem vērā tikai segmenta labā puse. Parabolas vienādojums
, un
, nozīmē
. Mums ir apjoms:

2. piezīme. Ja līknes trapeces līknes robežu nosaka parametru vienādojumi
,
,
un
,
tad ar aizstāšanu var izmantot formulas (2) un (3). uz
un
uz
kad tas mainās t no
pirms tam .

6. piemērs Figūru ierobežo pirmais cikloīda loks
,
,
, un abscisu ass. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot šo skaitli ap: 1) asi
; 2) asis
.

Risinājums. 1) Vispārējā formula
Mūsu gadījumā:

2) Vispārīgā formula
Mūsu figūrai:

Aicinām skolēnus visus aprēķinus veikt pašiem.

3. piezīme. Ļaujiet izliekts sektors, ko ierobežo nepārtraukta līnija
un stari
,

, griežas ap polāro asi. Iegūtā ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas.

7. piemērs Daļa no figūras, ko ierobežo kardioīds
, kas atrodas ārpus apļa
, griežas ap polāro asi. Atrodiet iegūtā ķermeņa tilpumu.

Risinājums. Abas līnijas un līdz ar to arī skaitlis, ko tās ierobežo, ir simetriski pret polāro asi. Tāpēc jāņem vērā tikai tā daļa, kurai
. Līknes krustojas pie
un

plkst
. Turklāt skaitli var uzskatīt par divu sektoru starpību, un līdz ar to apjomu var aprēķināt kā divu integrāļu starpību. Mums ir:

Uzdevumi neatkarīgam risinājumam.

1. Apļveida segments, kura pamatne
, augstums , griežas ap pamatni. Atrodiet revolūcijas ķermeņa tilpumu.

2. Atrodiet apgriezienu paraboloīda tilpumu, kura bāze , un augstums ir .

3. Attēls, ko ierobežo astroīds
,
griežas ap x asi. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas tiek iegūts šajā gadījumā.

4. Attēls, ko ierobežo līnijas
un
griežas ap x asi. Atrodiet revolūcijas ķermeņa tilpumu.

Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu
izmantojot noteiktu integrāli?

Kopumā integrāļa aprēķinos ir daudz interesantu pielietojumu, ar noteikta integrāļa palīdzību jūs varat aprēķināt figūras laukumu, rotācijas ķermeņa tilpumu, loka garumu, rotācijas virsmas laukums un daudz kas cits. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!

Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Pārstāvēts? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā platību. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:

- ap x asi;
- ap y asi.

Šajā rakstā tiks apspriesti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, tas sagādā vislielākās grūtības, bet patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un pastāstīt, kā atrast apgabalu otrajā veidā – pa asi. Pat ne tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.

Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.

plakana figūra ap asi

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, ap asi pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas.

Risinājums: Tāpat kā apgabala problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir nepieciešams izveidot figūru, ko ierobežo līnijas , , vienlaikus neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi. Kā zīmējumu uztaisīt racionālāk un ātrāk, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības un . Šis ir ķīniešu atgādinājums, un es neapstājos.

Zīmējums šeit ir diezgan vienkāršs:

Vēlamā plakanā figūra ir ietonēta zilā krāsā, un tieši tā griežas ap asi.Rotācijas rezultātā tiek iegūts tāds nedaudz olveidīgs lidojošs šķīvītis, kas ir simetrisks pret asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, taču ir pārāk slinks, lai kaut ko norādītu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.

Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu?

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt pēc formulas:

Formulā pirms integrāļa ir jābūt skaitlim. Tā notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Kā noteikt integrācijas "a" un "be" robežas, manuprāt, ir viegli uzminēt no pabeigtā zīmējuma.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru no augšas ierobežo parabola grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina – integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir diezgan loģiski.

Aprēķiniet apgriezienu korpusa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

Atbildē nepieciešams norādīt izmēru - kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 "kubi". Kāpēc tieši kub vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, var būt kubikmetri, var būt kubikkilometri utt., tik daudz mazu zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ietilpt lidojošā šķīvī.

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: uzzīmējiet zīmējumā plakanu figūru, kuru ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts tāds sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Apgriezienu korpusa tilpumu aprēķina kā ķermeņa tilpuma atšķirība.

Vispirms apskatīsim figūru, kas ir apvilkta sarkanā krāsā. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu kā .

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .

Un, acīmredzot, apjomu starpība ir tieši mūsu "donča" tilpumā.

Apgriezienu ķermeņa tilpuma noteikšanai mēs izmantojam standarta formulu:

1) Sarkanā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru no augšas ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa tilpums:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek pieņemts īsāks, piemēram:

Tagad paņemsim pārtraukumu un parunāsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko Perelmans (cits) pamanīja grāmatā Interesanta ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visu mūžu dzer šķidrumu, kura tilpums ir 18 kvadrātmetri, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Pēc liriskas atkāpes vienkārši der atrisināt radošo uzdevumu:

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .

Šis ir “dari pats” piemērs. Ņemiet vērā, ka joslā viss notiek, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments dalās ar divi: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi

Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Testos diezgan biežs apmeklētājs ir arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap y asi. Tiks izskatīts garāmejot figūras laukuma atrašanas problēma otrs veids - integrējot pa asi, tas ļaus ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast izdevīgāko risinājumu. Tam ir arī praktiska nozīme! Kā smaidot atcerējās mana matemātikas mācību metožu skolotāja, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: “Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām savus darbiniekus.” Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).

Iesaku izlasīt visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrās rindkopas asimilētais materiāls būs nenovērtējams palīgs dubultintegrāļu aprēķināšanā..

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro rindkopu, noteikti vispirms izlasiet pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izpildīsim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija definē parabolas augšējo atzaru, bet funkcija nosaka parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast "parastajā" veidā, kas tika aplūkots nodarbībā. Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt skaitļa laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā ;
- segmentā.

Tātad:

Kas šajā gadījumā nav kārtībā ar parasto risinājumu? Pirmkārt, ir divi integrāļi. Otrkārt, saknes zem integrāļiem un saknes integrāļos nav dāvana, turklāt var apjukt integrācijas robežu aizstāšanā. Patiesībā integrāļi, protams, nav nāvējoši, bet praksē viss ir daudz bēdīgāk, es vienkārši paņēmu uzdevumam “labākas” funkcijas.

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārejas uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā pāriet uz apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka "x" caur "y". Vispirms tiksim galā ar parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju viss ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Turklāt segmentā taisne atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule, un nekas vairāk.

! Piezīme: Jāiestata integrācijas ierobežojumi gar asi stingri no apakšas uz augšu!

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Pievērsiet uzmanību tam, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūts sākotnējais integrands, kas nozīmē, ka integrācija tiek veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežot šo figūru ap asi.

Zīmējumu pārzīmēšu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir "lidojošs tauriņš", kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums ir jāpāriet uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot apgriezienu korpusa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo apjomu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to caur iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kā tas atšķiras no iepriekšējās rindkopas formulas? Tikai vēstulēs.

Un šeit ir integrācijas priekšrocība, par kuru es runāju pirms kāda laika, to ir daudz vieglāk atrast nekā provizoriski pacelt integrandu līdz 4.pakāpei.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka, ja ap asi pagriež vienu un to pašu plakanu figūru, tad izrādīsies pavisam cits revolūcijas ķermenis ar atšķirīgu, dabiski, tilpumu.

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas, un ass.

1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo .
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Šis ir “dari pats” piemērs. Tie, kas vēlas, var arī atrast figūras laukumu "parastajā" veidā, tādējādi aizpildot 1. punkta testu. Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat ap asi plakanu figūru, tad jūs iegūstat pilnīgi citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt).

Divu piedāvāto uzdevuma punktu pilnīgs risinājums nodarbības beigās.

Ak, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas ietvaros!

Es gribēju, tas jau bija, pabeigt rakstu, bet šodien viņi atnesa interesantu piemēru, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu ap y asi. Svaigs:

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līknes un .

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Pa ceļam iepazīstamies ar dažu citu funkciju grafikiem. Tik interesants pāra funkcijas grafiks...