1. Eksponenciālā funkcija ir forma y (x) = ax atkarībā no eksponenta x a pakāpes bāzes nemainīgai vērtībai, kur a> 0, a ≠ 0, xϵR (R ir kopa no reāliem skaitļiem).
Apsveriet funkcijas grafiks, ja bāze neizpilda nosacījumu: a> 0
a) a< 0
Ja< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Ja a = 0 - funkcija y = ir definēta un tai ir nemainīga vērtība 0
c) a = 1
Ja a = 1 - funkcija y = ir definēta un tai ir nemainīga vērtība 1
Funkciju definīcijas apgabals (OOF) Funkcijas pieņemamo vērtību diapazons (ODZ) 3. Funkcijas nulles (y = 0) 4. Krustošanās punkti ar ordinātu asi oy (x = 0) 5. Funkciju palielināšana, samazināšanās Ja, tad funkcija f (x) palielinās 6. Paritāte, nepāra funkcija Funkcija y = nav simetriska pret 0y asi un izcelsmi, tāpēc tā nav ne pāra, ne nepāra. (Vispārējā funkcija) 7. Funkcijai y = nav ekstrēmu 8. Pakāpes ar reālo eksponentu īpašības: Ļaujiet a> 0; a ≠ 1 Tad xϵR; yϵR: Pakāpes monotonitātes īpašības: ja tad Ja a> 0, tad. 9. Funkcijas relatīvā atrašanās vieta Jo lielāka bāze a, jo tuvāk asīm oh un oh a> 1, a = 20 1. piemērs. Vispirms iepazīstināsim ar eksponenciālās funkcijas definīciju. Eksponenciālā funkcija $ f \ left (x \ right) = a ^ x $, kur $ a> 1 $. Iepazīstinām ar eksponenciālās funkcijas īpašībām $ a> 1 $. \ \ [saknes \ nr. \] \ Krustpunkts ar koordinātu asīm. Funkcija nešķērso $ Ox $ asi, bet krusto $ Oy $ asi punktā $ (0,1) $. $ f "" \ pa kreisi (x \ pa labi) = (\ pa kreisi (a ^ xlna \ pa labi)) "= a ^ x (ln) ^ 2a $ \ \ [saknes \ nr. \] \ Grafiks (1. att.). 1. attēls. Funkcijas $ f \ kreisi (x \ pa labi) = a ^ x, \ grafiks \ a> 1 $. Iepazīstinām ar eksponenciālās funkcijas īpašībām par USD 0 Darbības joma ir visi reālie skaitļi. $ f \ left (-x \ right) = a ^ (- x) = \ frac (1) (a ^ x) $ - funkcija nav ne pāra, ne nepāra. $ f (x) $ ir nepārtraukts visā domēnā. Vērtību diapazons ir intervāls $ (0, + \ infty) $. $ f "(x) = \ pa kreisi (a ^ x \ pa labi)" = a ^ xlna $ \ \ [saknes \ nr. \] \ \ [saknes \ nr. \] \ Funkcija ir izliekta visā domēnā. Rīcība darbības jomas beigās: \ [(\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) a ^ x \) = + \ infty \] \ [(\ mathop (lim) _ (x \ līdz + \ infty) a ^ x \) = 0 \] Grafiks (2. att.). Izpētiet un izveidojiet diagrammu funkciju $ y = 2 ^ x + 3 $. Risinājums. Veiksim pētījumu, izmantojot iepriekš minētās shēmas piemēru: Darbības joma ir visi reālie skaitļi. $ f \ left (-x \ right) = 2 ^ (- x) + 3 $ - funkcija nav ne pāra, ne nepāra. $ f (x) $ ir nepārtraukts visā domēnā. Diapazons ir $ (3, + \ infty) $. $ f "\ pa kreisi (x \ pa labi) = (\ pa kreisi (2 ^ x + 3 \ pa labi))" = 2 ^ xln2> 0 $ Funkcija palielinās visā definīcijas jomā. $ f (x) \ ge 0 $ visā domēnā. Krustpunkts ar koordinātu asīm. Funkcija nekrustojas ar $ Ox $ asi, bet šķērso $ Oy $ asi punktā ($ 0,4) $ $ f "" \ pa kreisi (x \ pa labi) = (\ pa kreisi (2 ^ xln2 \ pa labi)) "= 2 ^ x (ln) ^ 22> 0 $ Funkcija ir izliekta visā domēnā. Rīcība darbības jomas beigās: \ [(\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) a ^ x \) = 0 \] \ [(\ mathop (lim) _ (x \ līdz + \ infty) a ^ x \) = + \ infty \] Grafiks (3. att.). 3. attēls. Funkcijas $ f \ kreisi (x \ pa labi) = 2 ^ x + 3 $ grafiks Uzmanības koncentrācija: Definīcija. Funkcija
sugas sauc eksponenciālā funkcija
. komentēt. Izslēgšana no bāzes vērtībām a skaitļi 0; 1 un negatīvas vērtības a ir izskaidrojams ar šādiem apstākļiem: Pati analītiskā izteiksme a xšajos gadījumos tas saglabā savu nozīmi un ar to var saskarties problēmu risināšanā. Piemēram, izteiksmei x y punktu x = 1; y = 1
ir iekļauts derīgo vērtību diapazonā. Veidojiet funkciju grafikus: un. Eksponenciālās funkcijas īpašības Kad tabula ir aizpildīta, paralēli aizpildīšanai tiek risināti uzdevumi. Uzdevuma numurs 1. (Lai atrastu funkcijas definīcijas domēnu). Kādas argumentu vērtības ir derīgas funkcijām: Uzdevums numurs 2. (Lai atrastu funkcijas vērtību diapazonu). Attēlā parādīts funkcijas grafiks. Norādiet funkcijas darbības jomu un vērtību diapazonu: Uzdevuma numurs 3. (Lai norādītu salīdzināšanas intervālus ar mērvienību). Salīdziniet katru no šiem grādiem ar vienību: Uzdevums numurs 4. (Izpētīt funkciju monotonijai). Salīdziniet lielākos reālos skaitļus m un n ja: Uzdevums numurs 5. (Izpētīt funkciju monotonijai). Pamatojoties uz to, izdariet secinājumu a, ja: y (x) = 10 x; f (x) = 6 x; z (x) - 4 x Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir viens pret otru, ja x> 0, x = 0, x<
0? Funkciju grafiki ir attēloti vienā koordinātu plaknē: y (x) = (0,1) x; f (x) = (0,5) x; z (x) = (0,8) x. Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir viens pret otru, ja x> 0, x = 0, x<
0? Numurs e Tam ir īpaša loma matemātiskajā analīzē. Eksponenciālā funkcija
ar pamatu e, sauc par eksponenciālu
un apzīmēts y = e x. Pirmās pazīmes cipari
e viegli atcerēties: divi, komats, septiņi, Ļeva Tolstoja dzimšanas gads - divas reizes, četrdesmit pieci, deviņdesmit, četrdesmit pieci.
Mājasdarbs: Kolmogorovs 35. lpp.; Nr.445-447; 451; 453. Atkārtojiet algoritmu, lai attēlotu funkciju grafikus, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes. Atrodiet izteiksmes vērtību dažādām mainīgā x = 2 racionālām vērtībām; 0; -3; - Ņemiet vērā, ka neatkarīgi no tā, ar kādu skaitli mēs aizstājam mainīgo x, jūs vienmēr varat atrast šīs izteiksmes vērtību. Tādējādi mēs apsveram eksponenciālu funkciju (spēle ir vienāda ar trīs ar x pakāpju), kas definēta racionālo skaitļu kopā:. Izveidosim šīs funkcijas grafiku, izveidojot tās vērtību tabulu. Novelkam gludu līniju, kas iet caur šiem punktiem (1. att.) Izmantojot šīs funkcijas grafiku, apsveriet tās īpašības: 3. Palielinās visā definīcijas apgabalā. 8. Funkcija ir izliekta uz leju. Ja veido funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā; y = (spēle ir vienāda ar divi ar pakāpju x, spēle ir vienāda ar pieci ar jaudu x, spēle ir septiņa ar jaudu x), tad var redzēt, ka tiem ir tādas pašas īpašības kā y = ( spēle ir vienāda ar trīs ar pakāpju x) (.2. att.), tas ir, visām y = formas funkcijām būs šādas īpašības (a vērtība ir vienāda ar a pakāpei x, lielākai nekā vienotība) Uzzīmēsim funkciju: 1. Tā vērtību tabulas sastādīšana. Iegūtos punktus atzīmēsim koordinātu plaknē. Novelsim gludu līniju, kas iet caur šiem punktiem (3. attēls). Izmantojot šīs funkcijas grafiku, mēs norādām tās īpašības: 1. Definīcijas joma - visu reālo skaitļu kopa. 2. Tas nav ne pāra, ne nepāra. 3. Samazinās visā definīcijas jomā. 4. Tam nav ne augstākās, ne zemākās vērtības. 5. Ierobežots apakšā, bet nav ierobežots augšpusē. 6. Nepārtraukts visā domēnā. 7. vērtību diapazons no nulles līdz plus bezgalībai. 8. Funkcija ir izliekta uz leju. Līdzīgi, ja vienā koordinātu sistēmā tiek uzzīmēti funkciju grafiki; y = (spēle ir vienāda ar vienu sekundi ar koeficientu x, spēle ir vienāda ar vienu piektdaļu ar pakāpi no x, spēle ir vienāda ar vienu septīto ar koeficientu x), tad jūs varat redzēt ka tām ir tādas pašas īpašības kā y = (spēle ir viena trešdaļa no jaudas x) (4. att.), tas ir, visām y = formas funkcijām būs šādas īpašības (spēle ir vienāda ar vienu, kas dalīts ar a pakāpē x, ja ir lielāka par nulli, bet mazāka par vienu) Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju grafikus tātad arī funkciju y = y = grafiki būs simetriski (ig ir vienāds ar a ar x pakāpju un ig ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar a un x pakāpe) tai pašai a vērtībai. Vispārināsim teikto, sniedzot eksponenciālās funkcijas definīciju un norādot tās galvenās īpašības: Definīcija: Funkciju formā y =, kur (y ir vienāds ar a ar x pakāpju, kur a ir pozitīva un atšķiras no viena), sauc par eksponenciālu funkciju. Jāatceras atšķirības starp eksponenciālo funkciju y = un eksponenciālo funkciju y =, a = 2,3,4,…. gan pēc auss, gan vizuāli. Eksponenciālā funkcija NS ir pakāpe un jaudas funkcija NS ir pamats. 1. piemērs: atrisiniet vienādojumu (trīs līdz x jaudai ir deviņi) (y ir vienāds ar trīs ar x pakāpju un y ir vienāds ar deviņiem) 7. att Ņemiet vērā, ka tiem ir viens kopīgs punkts M (2; 9) (em ar koordinātām divas; deviņas), kas nozīmē, ka punkta abscisa būs šī vienādojuma sakne. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne x = 2. 2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu Vienā koordinātu sistēmā konstruēsim divus funkcijas y = grafikus (spēle ir vienāda ar pieci ar x pakāpju un spēle ir vienāda ar vienu divdesmit piekto) 8. att. Grafiki krustojas vienā punktā T (-2; (te ar koordinātām mīnus divi; viena divdesmit piektā). Līdz ar to vienādojuma sakne ir x = -2 (skaitlis mīnus divi). 3. piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y = grafikus (y ir vienāds ar trīs ar x pakāpju un y ir vienāds ar divdesmit septiņiem). 9. att. Funkcijas grafiks atrodas virs funkcijas y = at grafika x Tāpēc nevienlīdzības risinājums ir intervāls (no mīnus bezgalības līdz trīs) 4. piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidosim divus funkcijas y = grafikus (spēle ir vienāda ar vienu ceturtdaļu ar x pakāpju un spēle ir sešpadsmit). (10. att.). Grafiki krustojas vienā punktā K (-2; 16). Tas nozīmē, ka nevienādības atrisinājums ir intervāls (-2; (no mīnus divi līdz plus bezgalība), jo funkcijas y = grafiks atrodas zem funkcijas grafika pie x Mūsu argumentācija ļauj mums pārbaudīt šādu teorēmu derīgumu: 1. teorēma: Ja ir taisnība tad un tikai tad, ja m = n. 2. teorēma: ja tā ir patiesa tad un tikai tad, nevienlīdzība ir patiesa tad un tikai tad (*. att.) 4. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, ja (** att.), nevienādība ir patiesa tad un tikai tad, ja 3. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, ja m = n. 5. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y = Modificēsim funkciju, pielietojot pakāpes īpašību y = Konstruēsim papildus koordinātu sistēmu un jaunajā koordinātu sistēmā uzzīmēsim funkciju y = (spēle ir vienāda ar divi ar x spēku) 11. att. 6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y = grafikus (Y ir vienāds ar septiņiem X pakāpē un Y ir astoņi mīnus X) 12. att. Grafiki krustojas vienā punktā E (1; (e ar koordinātām viena; septiņas). Līdz ar to vienādojuma sakne ir x = 1 (x vienāds ar vienu). 7. piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y = grafikus (Y ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no X pakāpes un Y ir vienāds ar X plus pieci). Funkcijas y = grafiks atrodas zem funkcijas y = x + 5 at grafika, nevienādības atrisinājums ir intervāls x (no mīnus viens līdz plus bezgalībai). Funkciju un to grafiku īpašību izpēte ieņem nozīmīgu vietu gan skolas matemātikā, gan turpmākajos kursos. Turklāt ne tikai matemātiskās un funkcionālās analīzes kursos un pat ne tikai citās augstākās matemātikas sadaļās, bet arī šauri profesionālajos priekšmetos. Piemēram, ekonomikā - lietderības, izmaksu, pieprasījuma, piedāvājuma un patēriņa funkcijas ..., radiotehnikā - vadības funkcijas un atbildes funkcijas, statistikā - sadales funkcijas ... funkcijas. Lai to izdarītu, pēc tālāk esošās tabulas izpētes iesaku sekot saitei "Funkciju grafu transformācijas".
2. Apskatīsim eksponenciālo funkciju sīkāk:
0
Ja, tad funkcija f (x) samazinās
Funkcija y =, pie 0
Tas izriet no pakāpes monotonitātes īpašībām ar reālu eksponentu.
b> 0; b ≠ 1
Piemēram:
Eksponenciālā funkcija ir nepārtraukta jebkurā punktā ϵ R.
Ja a0, tad eksponenciālā funkcija iegūst formu, kas ir tuvu y = 0.
Ja a1, tad tālāk no asīm oxy un oy un grafs iegūst formu, kas ir tuvu funkcijai y = 1.
Grafiks y =
Eksponenciālā funkcija $ f \ left (x \ right) = a ^ x $, kur $ 0
Problēmas piemērs eksponenciālas funkcijas konstruēšanai
Eksponenciālās funkcijas grafiks
y = a x, a> 1
y = a x , 0< a < 1
Eksponenciālās funkcijas īpašības
y = a x, a> 1
y = a x , 0< a <
1
2. Funkcijas vērtību diapazons
3. Intervāli salīdzināšanai ar mērvienību
plkst x> 0, a x
>
1
plkst x > 0, 0< a x < 1
plkst x < 0, 0< a x < 1
plkst x < 0, a x
>
1
4. Paritāte, dīvainība.
Funkcija nav ne pāra, ne nepāra (vispārīga funkcija).
5. Monotonija.
monotoni palielinās par R
monotoni samazinās par R
6. Galējības.
Eksponenciālajai funkcijai nav ekstrēmu.
7 asimptote
O ass x ir horizontālā asimptote.
8. Jebkurām derīgām vērtībām x un y;
Numurs
viena no svarīgākajām konstantēm matemātikā. Pēc definīcijas tā ir vienāds ar secības ierobežojumu
ar neierobežotu
palielinot n
... Apzīmējums e ieviests Leonards Eilers
1736. gadā viņš aprēķināja šī skaitļa pirmos 23 ciparus decimāldaļās, un pats skaitlis tika nosaukts par godu Napier "neper skaitlim".
Skolas matemātikas kursā tiek apgūts sekojošais
elementāras funkcijas.Funkcijas nosaukums
Funkcijas formula
Funkciju grafiks
Diagrammas nosaukums
Komentārs
Lineārs
y = kx
Taisni
Vienkāršākais konkrētais lineārās atkarības gadījums ir tiešā proporcionalitāte y = kx, kur k≠ 0 - proporcionalitātes koeficients. Attēlā parādīts piemērs k= 1, t.i. patiesībā dotais grafiks ilustrē funkcionālo atkarību, kas nosaka funkcijas vērtības vienādību ar argumenta vērtību.
Lineārs
y = kx + b
Taisni
Vispārīgs lineārās atkarības gadījums: koeficienti k un b- jebkuri reāli skaitļi. Šeit k = 0.5, b = -1.
Kvadrātiskais
y = x 2
Parabola
Vienkāršākais kvadrātiskās atkarības gadījums ir simetriska parabola ar virsotni sākumā.
Kvadrātiskais
y = cirvis 2 + bx + c
Parabola
Kvadrātiskās atkarības vispārīgs gadījums: koeficients a- patvaļīgs reāls skaitlis, kas nav vienāds ar nulli ( a pieder R, a ≠ 0), b, c- jebkuri reāli skaitļi.
Jauda
y = x 3
Kubiskā parabola
Vienkāršākais gadījums ir nepāra vesela skaitļa pakāpei. Gadījumi ar koeficientiem tiek pētīti sadaļā "Funkciju grafiku kustība".
Jauda
y = x 1/2
Funkciju grafiks
y = √x
Vienkāršākais gadījums daļējai jaudai ( x 1/2 = √x). Gadījumi ar koeficientiem tiek pētīti sadaļā "Funkciju grafiku kustība".
Jauda
y = k / x
Hiperbola
Vienkāršākais gadījums negatīvam veselam skaitļa pakāpēm ( 1/x = x-1) - apgriezti proporcionāla attiecība. Šeit k = 1.
Indikatīvs
y = e x
Izstādes dalībnieks
Eksponenciālo atkarību sauc par bāzes eksponenciālo funkciju e- iracionāls skaitlis, kas aptuveni vienāds ar 2,7182818284590 ...
Indikatīvs
y = a x
Eksponenciālās funkcijas grafiks
a> 0 un a a... Šeit ir piemērs y = 2 x (a = 2 > 1).
Indikatīvs
y = a x
Eksponenciālās funkcijas grafiks
Eksponenciālā funkcija ir definēta priekš a> 0 un a≠ 1. Funkcijas grafiki būtībā ir atkarīgi no parametra vērtības a... Šeit ir piemērs y = 0,5 x (a = 1/2 < 1).
Logaritmisks
y= ln x
Bāzes logaritmiskās funkcijas grafiks e(dabiskais logaritms) dažreiz tiek saukts par logaritmu.
Logaritmisks
y= baļķis a x
Logaritmisko funkciju grafiks
Logaritmi ir definēti priekš a> 0 un a≠ 1. Funkcijas grafiki būtībā ir atkarīgi no parametra vērtības a... Šeit ir piemērs y= žurnāls 2 x (a = 2 > 1).
Logaritmisks
y = žurnāls a x
Logaritmisko funkciju grafiks
Logaritmi ir definēti priekš a> 0 un a≠ 1. Funkcijas grafiki būtībā ir atkarīgi no parametra vērtības a... Šeit ir piemērs y= log 0,5 x (a = 1/2 < 1).
Sinuss
y= grēks x
Sinusoīds
Sinusa trigonometriskā funkcija. Gadījumi ar koeficientiem tiek pētīti sadaļā "Funkciju grafiku kustība".
Kosinuss
y= cos x
Kosinuss
Trigonometriskā kosinusa funkcija. Gadījumi ar koeficientiem tiek pētīti sadaļā "Funkciju grafiku kustība".
Pieskares
y= tg x
Tangensoīds
Trigonometriskā pieskares funkcija. Gadījumi ar koeficientiem tiek pētīti sadaļā "Funkciju grafiku kustība".
Kotangenss
y= ctg x
Kotangensoīds
Trigonometriskā kotangentes funkcija. Gadījumi ar koeficientiem tiek pētīti sadaļā "Funkciju grafiku kustība".
Apgrieztās trigonometriskās funkcijas.
Funkcijas nosaukums
Funkcijas formula
Funkciju grafiks
Diagrammas nosaukums