Videokursā "Saņem A" ir iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai veiksmīgi nokārtotu eksāmenu matemātikā 60-65 ballēs. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikā uzdevumi 1-13. Piemērots arī pamata eksāmena kārtošanai matemātikā. Ja gribi nokārtot eksāmenu par 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 eksāmena punkti, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa teorija, kas jums nepieciešama. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Izjauca visus 1. daļas attiecīgos uzdevumus no FIPI uzdevumu bankas. Kurss pilnībā atbilst eksāmena-2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir sniegta no nulles, vienkārša un vienkārša.
Simtiem eksāmenu uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, grādi un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2.daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas pamats.
Nepieciešamas zināšanas par trigonometrijas pamatformulām - sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pieskares izteiksmi caur sinusu un kosinusu un citām. Tiem, kuri tos ir aizmirsuši vai nezina, iesakām izlasīt rakstu "".
Tātad, mēs zinām pamata trigonometriskās formulas, ir pienācis laiks tās izmantot praksē. Trigonometrisko vienādojumu risināšana ar pareizo pieeju tā ir diezgan aizraujoša nodarbe, kā, piemēram, Rubika kuba risināšana.
Pamatojoties uz pašu nosaukumu, ir skaidrs, ka trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir tā sauktie vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Šādi tie izskatās: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Apsveriet kā atrisināt šādus trigonometriskos vienādojumus, skaidrības labad izmantosim jau pazīstamo trigonometrisko apli.
sinx = a
cos x = a
tg x = a
gultiņa x = a
Jebkurš trigonometriskais vienādojums tiek atrisināts divos posmos: vienādojumu veido vienkāršākā formā un pēc tam atrisina kā vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Ir 7 galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
Mainīgo aizstāšana un aizstāšanas metode
Trigonometrisko vienādojumu risināšana, izmantojot faktorizēšanu
Reducēšana uz homogēnu vienādojumu
Vienādojumu atrisināšana, pārejot uz pusleņķi
Ieviest palīgleņķi
Atrisiniet vienādojumu 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0
Izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam:
2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0
Vienkāršības labad aizstājiet cos (x + / 6) ar y un iegūstiet parasto kvadrātvienādojumu:
2g 2 - 3g + 1 + 0
Kuru saknes y 1 = 1, y 2 = 1/2
Tagad iesim apgrieztā secībā
Mēs aizvietojam atrastās y vērtības un iegūstam divas atbildes:
Kā atrisināt vienādojumu sin x + cos x = 1?
Pārvietojiet visu pa kreisi, lai 0 paliktu labajā pusē:
sin x + cos x - 1 = 0
Izmantosim iepriekš minētās identitātes, lai vienkāršotu vienādojumu:
sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0
Veicam faktorizēšanu:
2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0
2sin (x / 2) * = 0
Mēs iegūstam divus vienādojumus
Vienādojums ir viendabīgs attiecībā pret sinusu un kosinusu, ja visi tā noteikumi attiecībā uz sinusu un kosinusu ir vienādi viena un tā paša leņķa pakāpe. Lai atrisinātu viendabīgu vienādojumu, rīkojieties šādi:
a) pārvietot visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;
b) no iekavām izņemt visus izplatītos faktorus;
c) visus faktorus un iekavas pielīdzina 0;
d) iekavās iegūts mazākas pakāpes viendabīgs vienādojums, to savukārt sadala sinusā vai kosinusā augstākajā pakāpē;
e) atrisiniet iegūto vienādojumu tg.
Atrisiniet vienādojumu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Izmantosim formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 un atbrīvosimies no atvērtajiem diviem labajā pusē:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Sadaliet ar cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Aizstājiet tg x ar y un iegūstiet kvadrātvienādojumu:
y 2 + 4y +3 = 0, kura saknes y 1 = 1, y 2 = 3
Šeit mēs atrodam divus sākotnējā vienādojuma risinājumus:
x 2 = arctan 3 + k
Atrisiniet vienādojumu 3sin x - 5cos x = 7
Pārejot uz x/2:
6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)
Pārvietojiet visu pa kreisi:
2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0
Sadalīt ar cos (x / 2):
tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0
Apsvēršanai ņemiet vienādojumu šādā formā: a sin x + b cos x = c,
kur a, b, c ir daži patvaļīgi koeficienti, un x nav zināms.
Sadaliet abas vienādojuma puses:
Tagad vienādojuma koeficientiem pēc trigonometriskajām formulām ir īpašības sin un cos, proti: to modulis nav lielāks par 1 un kvadrātu summa = 1. Apzīmēsim tos attiecīgi kā cos un sin, kur ir tā sauktais palīgleņķis. Tad vienādojumam būs šāda forma:
cos * sin x + sin * cos x = С
vai grēks (x +) = C
Šī vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma risinājums ir
x = (-1) k * arcsin С - + k, kur
Ņemiet vērā, ka cos un sin tiek lietoti kā sinonīmi.
Atrisiniet vienādojumu sin 3x - cos 3x = 1
Šajā vienādojumā koeficienti ir:
a =, b = -1, tāpēc abas puses sadalām ar = 2
Trigonometriskie vienādojumi nav vieglākais temats. Sāpīgi tie ir dažādi.) Piemēram, piemēram:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
utt...
Bet šiem (un visiem citiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas īpašības. Pirmais - jūs neticēsiet - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: tiek atrastas visas izteiksmes ar x šajās pašās funkcijās. Un tikai tur! Ja x parādās jebkurā vietā ārā, piemēram, sin2x + 3x = 3, tas jau būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Mēs tos šeit neapskatīsim.
Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim visvienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo risinājums jebkura trigonometriskajiem vienādojumiem ir divi posmi. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums tiek reducēts uz vienkāršu, izmantojot dažādas transformācijas. Otrajā gadījumā šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nav.
Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)
Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Šeit a apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.
Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs x, bet gan kaut kāda izteiksme, piemēram:
cos (3x + π / 3) = 1/2
utt. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.
Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs apsvērsim šo ceļu šeit. Otrs veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apspriests nākamajā nodarbībā.
Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir stiprāka par atmiņu!)
Vienādojumu atrisināšana, izmantojot trigonometrisko apli.
Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Nezinu kā!? Tomēr ... jums ir grūti trigonometrijā ...) Bet tas nav svarīgi. Apskatiet nodarbības "Trigonometriskais aplis ...... Kas tas ir?" un "Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no apmācībām...)
Ak, zini!? Un pat apguvis "Praktisko darbu ar trigonometrisko apli" !? Apsveicu. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Kas ir īpaši patīkami, trigonometriskajam aplim ir vienalga, kuru vienādojumu jūs atrisināt. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss – viņam viss ir viens. Ir tikai viens risinājuma princips.
Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:
cosx = 0,5
Mums jāatrod X. Cilvēciskā izteiksmē tev vajag atrodi leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.
Kā mēs izmantojām apli agrāk? Mēs uzzīmējām tai stūri. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēts šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uzzīmēsim uz apļa kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un uzreiz skat injekcija. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!
Uzzīmējiet apli un atzīmējiet kosinusu 0,5. Uz kosinusa ass, protams. Kā šis:
Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Pārvietojiet peles kursoru virs zīmējuma (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un skat tieši šajā stūrī NS.
Kāds leņķis ir kosinuss 0,5?
x = π / 3
cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5
Kāds skeptiski pasmiesies, jā... Saka, vai bija vērts riņķot, kad viss jau skaidrs... Var, protams, pasmieties...) Bet fakts ir tāds, ka šī ir kļūdaina atbilde. Pareizāk sakot, nepietiekami. Apļa cienītāji saprot, ka šeit joprojām ir vesela kaudze leņķu, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5.
Ja pagriežat OA kustīgo pusi pilns pagrieziens, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies 360 ° vai 2π radiāni un kosinuss nav. Jaunais leņķis 60 ° + 360 ° = 420 ° arī būs mūsu vienādojuma risinājums, jo
Jūs varat uztīt bezgalīgi daudz šādu pilnu pagriezienu... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tie visi kaut kā ir jāpieraksta kā atbilde. Viss. Citādi lēmums netiek ņemts vērā, jā...)
Matemātika zina, kā to izdarīt vienkārši un eleganti. Vienā īsā atbildē rakstiet bezgalīgs komplekts risinājumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:
x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Es atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni patīkamāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)
π / 3 - tas ir tas pats stūris, kas mēs ieraudzīja uz apļa un identificēts saskaņā ar kosinusa tabulu.
2π ir viens pilnīgs radiānos apvērsums.
n ir pilnais skaits, t.i. vesels revolūcijas. Ir skaidrs ka n var būt 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... un tā tālāk. Kā norādīts īsā piezīmē:
n∈Z
n pieder ( ∈ ) uz veselu skaitļu kopu ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n burtus var izmantot k, m, t utt.
Šis ieraksts nozīmē, ka varat uzņemt jebkuru veselumu n ... Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko tu gribi. Ja savā atbildē pievienosit šo skaitli, jūs iegūsit konkrētu leņķi, kas noteikti atrisinās mūsu skarbo vienādojumu.)
Vai, citiem vārdiem sakot, x = π / 3 ir vienīgā bezgalīgās kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π / 3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2π n radiāns.
Viss? Nē. Es apzināti stiepju prieku. Lai to labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ne viena sakne, tā ir vesela virkne sakņu, kas uzrakstītas īsā formā.
Bet ir arī leņķi, kas arī dod kosinusu 0,5!
Atgriezīsimies pie mūsu attēla, kas tika izmantots atbildes pierakstīšanai. Tur viņa ir:
Novietojiet peles kursoru virs attēla un skat vēl viens stūris, ka dod arī kosinusu 0,5. Ar ko, jūsuprāt, tas ir līdzvērtīgs? Trijstūri ir vienādi... Jā! Tas ir vienāds ar stūri NS , tikai atgriezt negatīvā virzienā. Šis ir stūris -NS. Bet mēs jau esam izdomājuši x. π / 3 vai 60 °. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:
x 2 = - π / 3
Protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti, veicot pilnus apgriezienus:
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Tagad tas ir viss.) Trigonometriskajā aplī mēs ieraudzīja(kas saprot, protams)) visi leņķi, kas dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Un viņi uzrakstīja šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde radīja divas bezgalīgas sakņu sērijas:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Šī ir pareizā atbilde.
ceru, trigonometrisko vienādojumu risināšanas vispārējais princips apļa lietošana ir skaidra. Uz apļa atzīmējam kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu) no dotā vienādojuma, uzzīmējam tam atbilstošos leņķus un pierakstām atbildi. Protams, jums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam ieraudzīja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, tāpēc es teicu, ka šeit ir nepieciešama loģika.)
Piemēram, apskatīsim citu trigonometrisko vienādojumu:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.
Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējiet apli, atzīmējiet (protams, uz sinusa ass!) 0,5. Mēs uzreiz uzzīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam. Iegūsim šādu attēlu:
Vispirms jātiek galā ar leņķi NS pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Tā ir vienkārša lieta:
x = π / 6
Mēs atceramies pilnos pagriezienus un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Pusgatavs. Bet tagad mums ir jādefinē otrais stūris... Tas ir viltīgāk nekā kosinusos, jā... Bet loģika mūs izglābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Jā Viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris NS vienāds ar leņķi NS ... Tikai to mēra no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei ir nepieciešams leņķis, pareizi izmērīts no pozitīvās OX pusass, t.i. no 0 grādu leņķa.
Novietojiet kursoru virs attēla un skatiet visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Leņķis, kas mūs interesē (zīmēts zaļā krāsā), būs vienāds ar:
π - x
X mēs to zinām π / 6 ... Tāpēc otrais leņķis būs:
π - π / 6 = 5π / 6
Mēs vēlreiz atgādinām pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Tas ir viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Vienādojumus ar tangensu un kotangensu var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja, protams, jūs zināt, kā uz trigonometriskā apļa uzzīmēt tangensu un kotangensu.
Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju tabulas sinusa un kosinusa vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina obligāti. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tāpēc izlemiet!)
Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šis trigonometriskais vienādojums:
Īsās tabulās šādas kosinusa vērtības nav. Mēs aukstasinīgi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējiet apli, atzīmējiet 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējiet atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam tieši šādu attēlu.
Vispirms izdomāsim ar leņķi pirmajā ceturtdaļā. Ja es būtu zinājis, kas ir X, viņi uzreiz būtu uzrakstījuši atbildi! Mēs nezinām ... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika nepamet savējos grūtībās! Viņa izdomāja arkosīnus šim gadījumam. Nezinu? Velti. Uzziniet, tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Zem šīs saites nav neviena viltīga pieburta par "apgrieztām trigonometriskām funkcijām" ... Tas ir lieki šajā tēmā.
Ja jūs zināt, pietiek pateikt sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir 2/3". Un uzreiz, tikai pēc arkosīna definīcijas, jūs varat rakstīt:
Mēs atceramies papildu pagriezienus un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:
x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Gandrīz automātiski tiek ierakstīta arī otrā sakņu sērija otrajam leņķim. Viss ir pa vecam, tikai x (arccos 2/3) būs ar mīnusu:
x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Un tas arī viss! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Jums nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šis attēls ar atrisinājumu caur apgriezto kosinusu būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.
tieši tā! Vispārējais princips ir vispārējais! Speciāli uzzīmēju divas gandrīz vienādas bildes. Aplis mums parāda leņķi NS pēc tā kosinusa. Tabula ir kosinuss, vai ne - aplis nezina. Kāds ir šis leņķis, π / 3, vai kāds apgrieztais kosinuss - tas ir atkarīgs no mums.
Ar sine tā pati dziesma. Piemēram:
Vēlreiz uzzīmējiet apli, atzīmējiet sinusu, kas vienāds ar 1/3, uzzīmējiet stūrus. Attēls izskatās šādi:
Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sāciet pie stūra pirmajā ceturtdaļā. Kas ir x, ja tā sinuss ir 1/3? Nekādu problēmu!
Tātad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Mēs tiekam galā ar otro stūri. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija:
π - x
Tātad šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši pierakstīt otro sakņu iepakojumu:
x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Šī ir absolūti pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir saprotams, es ceru.)
Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tas ir tas, kurš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu izvēli noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz grūtāki par standarta.
Pielietosim savas zināšanas praksē?)
Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:
Sākumā tas ir vienkāršāk, tieši no šīs nodarbības.
Tagad grūtāk.
Padoms: Šeit jums ir jāpārdomā aplis. Personīgi.)
Un tagad tie ir ārēji nepretenciozi ... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Padoms: šeit jums ir jānoskaidro aplī, kur ir divas atbilžu sērijas, un kur ir viena ... Un kā pierakstīt vienu, nevis divas atbilžu sērijas. Jā, lai nezaudētu nevienu bezgalīgā skaitļa sakni!)
Nu, ļoti vienkārši):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arcsīns, arkosīns? Kas ir loka tangenss, loka kotangenss? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)
Atbildes, protams, ir haoss):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Vai viss neizdodas? Tas notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds ...) Un sekojiet saitēm. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrijā tas ir kā šķērsot ceļu ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Tūlītēja apstiprināšanas pārbaude. Mācīšanās - ar interesi!)
var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad vietnē atstājat pieprasījumu, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un ziņot par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņas.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šīs programmas.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesas procesā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sociāli svarīgu iemeslu dēļ.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei - tiesību pārņēmējam.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai pārliecinātos, ka jūsu personīgā informācija ir drošībā, mēs saviem darbiniekiem iepazīstinām ar konfidencialitātes un drošības noteikumiem un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu īstenošanu.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes
2. ievads
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes 5
Algebriskā 5
Vienādojumu risināšana, izmantojot vienādības nosacījumu tāda paša nosaukuma trigonometriskām funkcijām 7
Faktorings 8
Reducēšana uz viendabīgu 10. vienādojumu
Papildu stūra ievads 11
Pārvērst darbu par summu 14
Universālā aizstāšana 14
17. secinājums
Ievads
Līdz desmitajai klasei daudzu vingrinājumu, kas ved uz mērķi, darbību secība, kā likums, ir nepārprotami noteikta. Piemēram, lineārie un kvadrātvienādojumi un nevienādības, daļvienādojumi un vienādojumi, kas reducējami uz kvadrātvienādojumu utt. Detalizēti neizpētot katra no iepriekšminētajiem piemēriem risināšanas principu, atzīmēsim, kas ir kopīgs, kas nepieciešams to veiksmīgam risinājumam.
Vairumā gadījumu ir jānosaka, pie kāda veida uzdevums pieder uzdevums, jāatgādina darbību secība, kas noved pie mērķa sasniegšanas, un jāveic šīs darbības. Acīmredzot studenta panākumi vai neveiksmes vienādojumu risināšanas metožu apguvē galvenokārt ir atkarīgi no tā, cik labi viņš spēj pareizi noteikt vienādojuma veidu un atcerēties visu tā risināšanas posmu secību. Protams, tas paredz, ka skolēnam ir prasmes veikt identiskus pārveidojumus un aprēķinus.
Pavisam cita situācija rodas, kad skolēns sastopas ar trigonometriskiem vienādojumiem. Tajā pašā laikā nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, atrodot darbību secību, kas novestu pie pozitīva rezultāta. Un šeit students saskaras ar divām problēmām. Pēc vienādojuma izskata ir grūti noteikt veidu. Un, nezinot veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo formulu no vairākiem desmitiem pieejamo.
Lai palīdzētu skolēniem atrast pareizo ceļu sarežģītā trigonometrisko vienādojumu jūklī, viņi vispirms tiek iepazīstināti ar vienādojumiem, kas pēc jauna mainīgā ieviešanas tiek reducēti uz kvadrātveida. Pēc tam homogēnie vienādojumi tiek atrisināti un reducēti uz tiem. Viss, kā likums, beidzas ar vienādojumiem, kuru atrisināšanai nepieciešams faktorēt kreiso pusi, pēc tam katru no faktoriem pielīdzinot nullei.
Saprotot, ka ar pusotru duci stundās analizēto vienādojumu nepārprotami nepietiek, lai skolēns uzsāktu patstāvīgu braucienu pa trigonometrisko "jūru", skolotājs pievieno vēl dažus ieteikumus no sevis.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, jāmēģina:
Samazināt visas vienādojumā iekļautās funkcijas līdz "vienādiem leņķiem";
Samaziniet vienādojumu līdz "identiskām funkcijām";
Koeficients vienādojuma kreiso pusi utt.
Bet, neskatoties uz zināšanām par trigonometrisko vienādojumu pamatveidiem un vairākiem to risinājuma atrašanas principiem, daudzi studenti joprojām atrodas strupceļā pirms katra vienādojuma, kas nedaudz atšķiras no tiem, kas tika atrisināti iepriekš. Joprojām nav skaidrs, uz ko jātiecas, ja ir tāds vai cits vienādojums, kāpēc vienā gadījumā ir jāpiemēro dubultā leņķa formulas, otrā - puse, bet trešajā - saskaitīšanas formulas utt.
1. definīcija. Trigonometriskais ir vienādojums, kurā nezināmais ir ietverts trigonometrisko funkciju zīmē.
2. definīcija. Viņi saka, ka trigonometriskajam vienādojumam ir vienādi leņķi, ja visām tajā iekļautajām trigonometriskajām funkcijām ir vienādi argumenti. Tiek uzskatīts, ka trigonometriskajam vienādojumam ir tādas pašas funkcijas, ja tajā ir tikai viena no trigonometriskajām funkcijām.
3. definīcija. Trigonometriskās funkcijas saturoša monoma pakāpe ir tajā iekļauto trigonometrisko funkciju pakāpju summa.
4. definīcija. Vienādojumu sauc par viendabīgu, ja visiem tajā iekļautajiem monomiem ir vienāda pakāpe. Šo pakāpi sauc par vienādojuma secību.
5. definīcija. Trigonometriskais vienādojums, kas satur tikai funkcijas grēks un cos, sauc par viendabīgu, ja visiem monomiem attiecībā uz trigonometriskajām funkcijām ir vienāda pakāpe, pašām trigonometriskajām funkcijām ir vienādi leņķi un monomu skaits ir par 1 vairāk nekā vienādojuma secība.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
Trigonometrisko vienādojumu risināšana sastāv no diviem posmiem: vienādojuma pārveidošana, lai iegūtu tā vienkāršāko formu, un iegūtā vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma atrisināšana. Ir septiņas pamata metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
es. Algebriskā metode.Šī metode ir labi zināma no algebras. (Mainīgā aizstāšana un aizstāšanas metode).
Atrisiniet vienādojumus.
1)
Iepazīstinām ar apzīmējumu x=2 grēks3 t, saņemam
Atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūstam: 
vai 
tie. var uzrakstīt
Ierakstot saņemto lēmumu zīmju klātbūtnes dēļ 
grāds 
nav jēgas pierakstīt.
Atbilde: 
Mēs apzīmējam 
Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu 
... Tās saknes ir skaitļi 
un 
... Tāpēc šis vienādojums tiek reducēts līdz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem 
un 
... Atrisinot tos, mēs to atklājam 
vai 
.
Atbilde: 
; 
.
Mēs apzīmējam 
neapmierina nosacījumu 
Līdzekļi 
Atbilde: 
Pārveidosim vienādojuma kreiso pusi:
Tādējādi šo sākotnējo vienādojumu var uzrakstīt šādi:
, t.i.
Iezīmējot 
, saņemam 
Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mums ir:
neapmierina nosacījumu 
Mēs pierakstām sākotnējā vienādojuma risinājumu:
Atbilde: 
Aizstāšana 
samazina šo vienādojumu par kvadrātvienādojumu 
... Tās saknes ir skaitļi 
un 
... Jo 
, tad dotajam vienādojumam nav sakņu.
Atbilde: nav sakņu.
II... Vienādojumu atrisināšana, izmantojot vienu un to pašu trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumu.
a) 
, ja
b) 
, ja
v) 
, ja 
Izmantojot šos nosacījumus, apsveriet šādu vienādojumu risinājumu:
6) 
Izmantojot a) daļā teikto, mēs atklājam, ka vienādojumam ir risinājums tad un tikai tad 
.
Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam 
.
Mums ir divas risinājumu grupas: 
.
7) Atrisiniet vienādojumu: 
.
Izmantojot nosacījumu b), mēs to secinām 
.
Atrisinot šos kvadrātvienādojumus, mēs iegūstam:
.
8) Atrisiniet vienādojumu 
.
No šī vienādojuma mēs to secinām. Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mēs to atklājam 
.
III... Faktorizācija.
Mēs aplūkojam šo metodi, izmantojot piemērus.
9) Atrisiniet vienādojumu 
.
Risinājums. Pārvietojiet visus vienādojuma nosacījumus pa kreisi:.
Pārveidojiet un faktorizējiet izteiksmi vienādojuma kreisajā pusē: 
.
.
.
1)
2) 
Jo 
un 
neņemiet nulles vērtību
tajā pašā laikā mēs sadalām abas daļas
vienādojumi priekš 
, 
Atbilde: 
10) Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums.
vai 
Atbilde: 
11) Atrisiniet vienādojumu
Risinājums:
1)
2)
3)
, 
Atbilde: 
IV... Reducēšana uz homogēnu vienādojumu.
Lai atrisinātu homogēnu vienādojumu, jums ir nepieciešams:
Pārvietojiet visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;
Pārvietojiet visus izplatītos faktorus no iekavām;
Iestatiet visus faktorus un iekavas uz nulli;
Nullei pielīdzinātās iekavas dod mazākas pakāpes viendabīgu vienādojumu, kas jādala ar 
(vai 
) vecākajā pakāpē;
Atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu priekš 
.
Apskatīsim dažus piemērus:
12) Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums.
Sadaliet abas vienādojuma puses ar 
, 
Iepazīstinām ar apzīmējumu 
, nosaukts
šī vienādojuma saknes: 
tātad 1) 
2) 
Atbilde: 
13) Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulas un pamata trigonometrisko identitāti, mēs samazinām šo vienādojumu līdz pusei argumenta:
Pēc līdzīgu terminu samazināšanas mums ir:
Dalot pēdējo viendabīgo vienādojumu ar 
, saņemam
Es iecelšu 
, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu 
kuru saknes ir skaitļi 
Tādējādi 
Izteiksme 
pazūd plkst 
, t.i. plkst 
, 
.
Mūsu vienādojuma risinājums neietver šos skaitļus.
Atbilde: 
, .
V... Palīgleņķa ieviešana.
Apsveriet formas vienādojumu
Kur a, b, c- koeficienti, x- nezināmais.
Mēs sadalām abas šī vienādojuma puses ar 
Tagad vienādojuma koeficientiem ir sinusa un kosinusa īpašības, proti: katra no tiem modulis nepārsniedz vienu, un to kvadrātu summa ir 1.
Tad mēs varam tos attiecīgi apzīmēt 
(šeit 
- palīgleņķis), un mūsu vienādojums ir šāds:.
Tad 
Un viņa lēmums
Ņemiet vērā, ka ieviestie apzīmējumi ir savstarpēji aizvietojami.
14) Atrisiniet vienādojumu: 
Risinājums. Šeit 
, tāpēc mēs sadalām abas vienādojuma puses ar 
Atbilde: 
15) Atrisiniet vienādojumu
Risinājums. Jo 
, tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam
Jo 
, tad ir tāds leņķis, ka 
, 
(tie. 
).
Mums ir 
Jo 
, tad beidzot iegūstam:
.
Ņemiet vērā, ka formas vienādojumam ir risinājums tad un tikai tad 
16) Atrisiniet vienādojumu:
Lai atrisinātu šo vienādojumu, mēs grupējam trigonometriskās funkcijas ar tiem pašiem argumentiem
Sadaliet abas vienādojuma puses ar diviem
Mēs pārveidojam trigonometrisko funkciju summu produktā:
Atbilde: 
VI... Darba pārvēršana summā.
Šeit tiek izmantotas atbilstošās formulas.
17) Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums. Pārvērtiet kreiso pusi uz summu:
Vii.Vispārēja aizstāšana.
, 
šīs formulas ir patiesas visiem 
Aizstāšana 
sauc par universālu.
18) Atrisiniet vienādojumu: 
Risinājums: nomainiet un 
to izteiksmei cauri 
un apzīmē 
.
Mēs iegūstam racionālo vienādojumu 
kas pārvēršas kvadrātā 
.
Šī vienādojuma saknes ir skaitļi 
.
Tāpēc problēma tika samazināta līdz divu vienādojumu atrisināšanai 
.
Mēs to atrodam 
.
Skatīt vērtību 
neapmierina sākotnējo vienādojumu, ko pārbauda, pārbaudot - šīs vērtības aizstāšanu t sākotnējā vienādojumā.
Atbilde: 
.
komentēt. 18. vienādojumu var atrisināt citādi.
Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar 5 (t.i., ar 
): 
.
Jo 
, tad ir tāds skaitlis 
, kas 
un 
... Tāpēc vienādojumam ir šāda forma: 
vai 
... No tā mēs to atklājam 
kur 
.
19) Atrisiniet vienādojumu 
.
Risinājums. Tā kā funkcijas 
un 
kuru lielākā vērtība ir vienāda ar 1, tad to summa ir vienāda ar 2, ja 
un 
, vienlaikus, tas ir 
.
Atbilde: 
.
Atrisinot šo vienādojumu, tika izmantota funkciju un robeža.
Secinājums.
Strādājot pie tēmas "Trigonometrisko vienādojumu risinājumi", katram skolotājam ir lietderīgi ievērot šādus ieteikumus:
Sistematizēt trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
Izvēlieties sev vienādojuma analīzes soļus un vienas vai citas risinājuma metodes izmantošanas piemērotības pazīmes.
Pārdomājiet savas darbības paškontroles veidus metodes ieviešanai.
Iemācieties sastādīt "savus" vienādojumus katrai no pētītajām metodēm.
1. pielikums
Atrisiniet viendabīgus vai viendabīgus vienādojumus.
1. | Resp. |
Resp. |
|
Resp. |
|
5. | Resp. |
Resp. |
|
7. | Resp. |
Resp. |
|
