stūris starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.
Telpā tiks dotas divas taisnas līnijas:
Acīmredzot leņķi φ starp līnijām var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad saskaņā ar formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam
Divu taisnu paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumi ir līdzvērtīgi to virziena vektoru paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem un:
Divi taisni ir paralēli tad un tikai tad, ja to attiecīgie koeficienti ir proporcionāli, t.i. l 1 paralēle l 2 tad un tikai tad, ja paralēli 
.
Divi taisni perpendikulāri tad un tikai tad, ja atbilstošo koeficientu reizinājumu summa ir vienāda ar nulli: .
Plkst mērķis starp līniju un plakni
Ļaujiet līnijai d- nav perpendikulāra plaknei θ;
d′− taisnas līnijas projekcija d uz plakni θ;
Mazākais no leņķiem starp taisnām līnijām d un d'' mēs piezvanīsim leņķis starp līniju un plakni.
Apzīmēsim to kā φ=( d,θ)
Ja d⊥θ , tad ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− taisnstūra koordinātu sistēma.
Plaknes vienādojums:
θ: Ax+Autors+cz+D=0
Mēs uzskatām, ka līniju nosaka punkts un virziena vektors: d[M 0,lpp→]
Vektors n→(A,B,C)⊥θ
Tad atliek noskaidrot leņķi starp vektoriem n→ un lpp→, apzīmējiet to kā γ=( n→,lpp→).
Ja leņķis γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ja leņķis γ>π/2 , tad nepieciešamais leņķis φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Tad leņķis starp līniju un plakni var aprēķināt, izmantojot formulu:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lpp 21+lpp 22+lpp 23
29. jautājums. Kvadrātiskās formas jēdziens. Kvadrātformu zīme-noteiktība.
Kvadrātiskā forma j (x 1, x 2, ..., x n) n reāli mainīgie x 1, x 2, ..., x n sauc par formas summu 
, (1)
kur aij ir daži skaitļi, ko sauc par koeficientiem. Nezaudējot vispārīgumu, mēs to varam pieņemt aij = a ji.
Kvadrātiskā forma tiek saukta derīgs, ja aij
О GR. Kvadrātiskās formas matrica sauc par matricu, kas sastāv no tās koeficientiem. Kvadrātiskā forma (1) atbilst unikālai simetriskai matricai 
t.i. A T = A. Tāpēc kvadrātisko formu (1) var ierakstīt matricas formā j ( X) = x T Ah, kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Un otrādi, jebkura simetriska matrica (2) atbilst unikālai kvadrātveida formai līdz mainīgo apzīmējumam.
Kvadrātiskās formas pakāpe sauc par tās matricas rangu. Kvadrātiskā forma tiek saukta nedeģenerēts, ja tā matrica nav vienskaitlī A. (atcerieties, ka matrica A sauc par nedeģenerētu, ja tā determinants nav nulle). Pretējā gadījumā kvadrātiskā forma ir deģenerēta.
pozitīvs noteikts(vai stingri pozitīvs), ja
j ( X) > 0 , jebkuram X = (X 1 , X 2 , …, x n), Turklāt X = (0, 0, …, 0).
Matrica A pozitīva noteikta kvadrātiskā forma j ( X) sauc arī par pozitīvu noteiktu. Tāpēc pozitīva noteikta kvadrātiskā forma atbilst unikālai pozitīvai noteiktai matricai un otrādi.
Tiek saukta kvadrātiskā forma (1). negatīvs noteikts(vai stingri negatīvs), ja
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Turklāt X = (0, 0, …, 0).
Līdzīgi kā iepriekš, negatīvi noteikta kvadrātiskā matrica tiek saukta arī par negatīvi noteiktu.
Tāpēc pozitīvi (negatīvi) noteikta kvadrātiskā forma j ( X) sasniedz minimālo (maksimālo) vērtību j ( X*) = 0 par X* = (0, 0, …, 0).
Ņemiet vērā, ka lielākā daļa kvadrātisko formu nav noteiktas ar zīmi, tas ir, tās nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Šādas kvadrātiskās formas izzūd ne tikai koordinātu sistēmas sākumā, bet arī citos punktos.
Kad n> 2, ir nepieciešami īpaši kritēriji, lai pārbaudītu kvadrātveida formas zīmes noteiktību. Apsvērsim tos.
Lielākie nepilngadīgie kvadrātveida formas sauc par nepilngadīgajiem:
tas ir, tie ir nepilngadīgie 1., 2., …, n matricas A, kas atrodas augšējā kreisajā stūrī, pēdējais no tiem sakrīt ar matricas determinantu A.
Pozitīvas noteiktības kritērijs (Silvestra kritērijs)
X) = x T Ah ir pozitīvs noteikts, ir nepieciešams un pietiekami, lai visi matricas galvenie nepilngadīgie A bija pozitīvas, tas ir: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatīvās noteiktības kritērijs Lai kvadrātveida forma j ( X) = x T Ah ir negatīvs noteikts, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā galvenie pāra secības minori būtu pozitīvi, bet nepāra kārtas ir negatīvi, t.i.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
LEŅĶIS STARP PLAKNĒM
Apskatīsim divas plaknes α 1 un α 2, kas attiecīgi dotas vienādojumos:
Zem stūris starp divām plaknēm mēs domājam vienu no divšķautņu leņķiem, ko veido šīs plaknes. Acīmredzot leņķis starp normāliem vektoriem un plaknēm α 1 un α 2 ir vienāds ar vienu no norādītajiem blakus esošajiem divskaldņu leņķiem vai 
. Tātad 
. Jo 
un 
, tad
.
Piemērs. Nosakiet leņķi starp plaknēm x+2y-3z+4=0 un 2 x+3y+z+8=0.
Divu plakņu paralēlisma nosacījums.
Divas plaknes α 1 un α 2 ir paralēlas tad un tikai tad, ja to normālie vektori un ir paralēli, un līdz ar to 
.
Tātad divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja koeficienti attiecīgajās koordinātēs ir proporcionāli:
vai
Plakņu perpendikulitātes nosacījums.
Ir skaidrs, ka divas plaknes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālie vektori ir perpendikulāri, un līdz ar to vai .
Pa šo ceļu, .
Piemēri.
TIEŠI KOSMOSĀ.
VEKTORU VIENĀDOJUMS TIEŠAIS.
PARAMETRISKIE VIENĀDĀJUMI TIEŠI
Taisnas līnijas novietojums telpā tiek pilnībā noteikts, norādot jebkuru no tās fiksētajiem punktiem M 1 un vektoru, kas ir paralēls šai taisnei.
Tiek saukts vektors, kas ir paralēls taisnei vadotšīs līnijas vektors.
Tātad ļaujiet taisni l iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1) atrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla vektoram .
Apsveriet patvaļīgu punktu M(x,y,z) uz taisnas līnijas. No attēla var redzēt, ka 
.
Vektori un ir kolineāri, tāpēc ir šāds skaitlis t, kas , kur ir reizinātājs t atkarībā no punkta atrašanās vietas var iegūt jebkuru skaitlisku vērtību M uz taisnas līnijas. Faktors t sauc par parametru. Apzīmē punktu rādiusu vektorus M 1 un M attiecīgi caur un , mēs iegūstam . Šo vienādojumu sauc vektors taisnās līnijas vienādojums. Tas parāda, ka katra parametra vērtība t atbilst kāda punkta rādiusa vektoram M guļ uz taisnas līnijas.
Mēs rakstām šo vienādojumu koordinātu formā. Ievērojiet, ka, 
un no šejienes
Iegūtos vienādojumus sauc parametrisks taisnu līniju vienādojumi.
Mainot parametru t mainās koordinātas x, y un z un punkts M pārvietojas taisnā līnijā.
KANONISKIE VIENĀDĀJUMI TIEŠI
Ļaujiet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas l, un 
ir tā virziena vektors. Atkal paņemiet patvaļīgu punktu uz taisnes M(x,y,z) un apsveriet vektoru .
Ir skaidrs, ka vektori un ir kolineāri, tāpēc to attiecīgajām koordinātām jābūt proporcionālām
– kanonisks taisnu līniju vienādojumi.
1. piezīme.Ņemiet vērā, ka līnijas kanoniskos vienādojumus var iegūt no parametriskajiem vienādojumiem, izslēdzot parametru t. Patiešām, no parametru vienādojumiem mēs iegūstam 
vai .
Piemērs. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu 
parametriskā veidā.
Apzīmē 
, tātad x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
2. piezīme. Lai līnija būtu perpendikulāra vienai no koordinātu asīm, piemēram, asij Vērsis. Tad taisnes virziena vektors ir perpendikulārs Vērsis, tātad, m=0. Līdz ar to taisnās līnijas parametriskie vienādojumi iegūst formu
Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam taisnās līnijas vienādojumus formā
Tomēr arī šajā gadījumā mēs piekrītam formāli rakstīt taisnās līnijas kanoniskos vienādojumus formā 
. Tādējādi, ja vienas daļas saucējs ir nulle, tas nozīmē, ka līnija ir perpendikulāra attiecīgajai koordinātu asij.
Līdzīgi arī kanoniskie vienādojumi 
atbilst taisnei, kas ir perpendikulāra asīm Vērsis un Oy vai paralēlā ass Oz.
Piemēri.
VISPĀRĒJIE VIENĀDĀJUMI TIEŠA LĪNIJA KĀ DIVU PLAKMEŅU PĀRSĒJES LĪNIJA
Caur katru taisnes līniju telpā iet bezgalīgs skaits plakņu. Jebkuri divi no tiem, kas krustojas, definē to telpā. Tāpēc jebkuru divu šādu plakņu vienādojumi, aplūkoti kopā, ir šīs līnijas vienādojumi.
Kopumā jebkuras divas neparalēlas plaknes, ko nosaka vispārīgie vienādojumi
noteikt to krustojuma līniju. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni.
Piemēri.
Izveidojiet taisnu līniju, kas dota ar vienādojumu 
Lai izveidotu līniju, pietiek atrast jebkurus divus tās punktus. Vienkāršākais veids ir izvēlēties taisnes krustošanās punktus ar koordinātu plaknēm. Piemēram, krustošanās punkts ar plakni xOy iegūstam no taisnes vienādojumiem, pieņemot z= 0:
Atrisinot šo sistēmu, mēs atrodam būtību M 1 (1;2;0).
Tāpat, pieņemot y= 0, iegūstam taisnes krustpunktu ar plakni xOz:
No taisnas līnijas vispārīgajiem vienādojumiem var pāriet uz tās kanoniskajiem vai parametriskajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kāds punkts M 1 uz līnijas un līnijas virziena vektors.
Punkta koordinātas M 1 mēs iegūstam no šīs vienādojumu sistēmas, piešķirot vienai no koordinātām patvaļīgu vērtību. Lai atrastu virziena vektoru, ņemiet vērā, ka šim vektoram jābūt perpendikulāram abiem normāliem vektoriem 
un 
. Tāpēc taisnes virziena vektoram l jūs varat ņemt normālu vektoru krustojumu:
.
Piemērs. Norādiet taisnās līnijas vispārīgos vienādojumus 
uz kanonisko formu.
Atrodiet punktu uz taisnas līnijas. Lai to izdarītu, mēs patvaļīgi izvēlamies vienu no koordinātām, piemēram, y= 0 un atrisiniet vienādojumu sistēmu:
Taisni definējošo plakņu normāliem vektoriem ir koordinātas 
Tāpēc virziena vektors būs taisns
. Tāpēc l: 
.
LEŅĶIS STARP TIESĪBĀM
stūris starp taisnēm telpā mēs sauksim jebkuru no blakus leņķiem, ko veido divas taisnes, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.
Telpā tiks dotas divas taisnas līnijas:
Acīmredzot leņķi φ starp līnijām var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad saskaņā ar formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam
Šis materiāls ir veltīts tādam jēdzienam kā leņķis starp divām krustojošām taisnēm. Pirmajā rindkopā mēs paskaidrosim, kas tas ir, un parādīsim to ilustrācijās. Pēc tam mēs analizēsim, kā jūs varat atrast šī leņķa sinusu, kosinusu un pašu leņķi (atsevišķi aplūkosim gadījumus ar plakni un trīsdimensiju telpu), sniegsim nepieciešamās formulas un ar piemēriem parādīsim, kā tieši tās tiek pielietotas. praksē.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Lai saprastu, kas ir leņķis, kas veidojas divu līniju krustpunktā, jāatceras pati leņķa definīcija, perpendikularitāte un krustošanās punkts.
1. definīcija
Mēs saucam divas līnijas, kas krustojas, ja tām ir viens kopīgs punkts. Šo punktu sauc par abu līniju krustošanās punktu.
Katra līnija pēc krustošanās punkta tiek sadalīta staros. Šajā gadījumā abas līnijas veido 4 leņķus, no kuriem divi ir vertikāli un divi atrodas blakus. Ja zinām vienas no tām mēru, tad varam noteikt pārējos atlikušos.
Pieņemsim, ka mēs zinām, ka viens no leņķiem ir vienāds ar α. Šādā gadījumā leņķis, kas ir vertikāls pret to, arī būs vienāds ar α. Lai atrastu atlikušos leņķus, mums jāaprēķina starpība 180 ° - α . Ja α ir vienāds ar 90 grādiem, tad visi leņķi būs taisni. Taisnes, kas krustojas taisnā leņķī, sauc par perpendikulārām (perpendikulitātes jēdzienam ir veltīts atsevišķs raksts).
Apskatiet attēlu:
Turpināsim pie galvenās definīcijas formulēšanas.
2. definīcija
Leņķis, ko veido divas krustojošas līnijas, ir mazākā no 4 leņķiem, kas veido šīs divas līnijas, mērs.
No definīcijas jāizdara svarīgs secinājums: leņķa lielums šajā gadījumā tiks izteikts ar jebkuru reālu skaitli intervālā (0, 90] . Ja līnijas ir perpendikulāras, tad leņķis starp tām jebkurā gadījumā būs vienāds ar 90 grādiem.
Spēja atrast leņķa mēru starp divām krustojošām līnijām ir noderīga daudzu praktisku problēmu risināšanai. Risinājuma metodi var izvēlēties no vairākām iespējām.
Iesācējiem mēs varam izmantot ģeometriskās metodes. Ja mēs zinām kaut ko par papildu leņķiem, tad varam tos savienot ar mums nepieciešamo leņķi, izmantojot vienādu vai līdzīgu formu īpašības. Piemēram, ja mēs zinām trijstūra malas un ir jāaprēķina leņķis starp taisnēm, uz kurām šīs malas atrodas, tad kosinusa teorēma ir piemērota atrisināšanai. Ja nosacījumā mums ir taisnleņķa trijstūris, tad aprēķiniem mums būs jāzina arī leņķa sinuss, kosinuss un tangenss.
Koordinātu metode ir ļoti ērta arī šāda veida problēmu risināšanai. Paskaidrosim, kā to pareizi lietot.
Mums ir taisnstūra (dekarta) koordinātu sistēma O x y ar divām taisnēm. Apzīmēsim tos ar burtiem a un b. Šajā gadījumā taisnas līnijas var aprakstīt, izmantojot jebkurus vienādojumus. Sākotnējām līnijām ir krustošanās punkts M . Kā noteikt vēlamo leņķi (apzīmēsim to ar α) starp šīm līnijām?
Sāksim ar leņķa atrašanas pamatprincipa formulēšanu dotajos apstākļos.
Mēs zinām, ka tādi jēdzieni kā virzīšana un normāls vektors ir cieši saistīti ar taisnes jēdzienu. Ja mums ir kādas taisnes vienādojums, mēs no tā varam ņemt šo vektoru koordinātas. Mēs to varam izdarīt uzreiz divām krustojošām līnijām.
Leņķi, ko veido divas krustojošas līnijas, var atrast, izmantojot:
- leņķis starp virziena vektoriem;
- leņķis starp normāliem vektoriem;
- leņķis starp vienas taisnes normālvektoru un otras taisnes virziena vektoru.
Tagad apskatīsim katru metodi atsevišķi.
1. Pieņemsim, ka mums ir taisne a ar virziena vektoru a → = (a x , a y) un taisne b ar virziena vektoru b → (b x , b y) . Tagad atcelsim divus vektorus a → un b → no krustojuma punkta. Pēc tam redzēsim, ka tie katrs atradīsies savā līnijā. Tad mums ir četras viņu relatīvās pozīcijas iespējas. Skatīt ilustrāciju:
Ja leņķis starp diviem vektoriem nav neass, tad tas būs leņķis, kas mums nepieciešams starp krustojošām taisnēm a un b. Ja tas ir neass, tad vēlamais leņķis būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim a → , b → ^ . Tādējādi α = a → , b → ^, ja a → , b → ^ ≤ 90 ° , un α = 180 ° - a → , b → ^ ja a → , b → ^ > 90 ° .
Pamatojoties uz to, ka vienādu leņķu kosinusi ir vienādi, iegūtās vienādības varam pārrakstīt šādi: cos α = cos a → , b → ^ ja a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ja a → , b → ^ > 90° .
Otrajā gadījumā tika izmantotas reducēšanas formulas. Pa šo ceļu,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Pēdējo formulu rakstīsim vārdos:
3. definīcija
Leņķa kosinuss, ko veido divas krustojošas līnijas, būs vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp tā virziena vektoriem.
Formulas vispārīgā forma leņķa kosinusam starp diviem vektoriem a → = (a x, a y) un b → = (b x, b y) izskatās šādi:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
No tā mēs varam iegūt formulu leņķa kosinusam starp divām noteiktām līnijām:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tad pašu leņķi var atrast, izmantojot šādu formulu:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Šeit a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir doto līniju virziena vektori.
Sniegsim piemēru problēmas risināšanai.
1. piemērs
Taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē ir dotas divas krustošanās taisnes a un b. Tos var aprakstīt ar parametru vienādojumiem x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R un x 5 = y - 6 - 3 . Aprēķiniet leņķi starp šīm līnijām.
Risinājums
Mums nosacījumā ir parametrisks vienādojums, kas nozīmē, ka šai taisnei mēs varam uzreiz pierakstīt tās virziena vektora koordinātas. Lai to izdarītu, mums ir jāņem koeficientu vērtības pie parametra, t.i. taisnei x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R būs virziena vektors a → = (4 , 1) .
Otrā taisne ir aprakstīta, izmantojot kanonisko vienādojumu x 5 = y - 6 - 3 . Šeit mēs varam ņemt koordinātas no saucējiem. Tādējādi šai taisnei ir virziena vektors b → = (5 , - 3) .
Tālāk mēs turpinām tieši ar leņķa atrašanu. Lai to izdarītu, vienkārši aizvietojiet pieejamās divu vektoru koordinātas iepriekš minētajā formulā α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Mēs iegūstam sekojošo:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Atbilde: šīs līnijas veido 45 grādu leņķi.
Mēs varam atrisināt līdzīgu problēmu, atrodot leņķi starp normāliem vektoriem. Ja mums ir taisne a ar normālu vektoru na → = (nax , nay) un taisne b ar normālu vektoru nb → = (nbx , nby) , tad leņķis starp tām būs vienāds ar leņķi starp na → un nb → vai leņķis, kas būs blakus na → , nb → ^ . Šī metode ir parādīta attēlā:
Formulas leņķa kosinusa aprēķināšanai starp krustojošām līnijām un pašu šo leņķi, izmantojot normālu vektoru koordinātas, izskatās šādi:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Šeit n a → un n b → apzīmē divu doto taisnes normālos vektorus.
2. piemērs
Taisnstūra koordinātu sistēmā ir dotas divas taisnes, izmantojot vienādojumus 3 x + 5 y - 30 = 0 un x + 4 y - 17 = 0 . Atrodiet starp tiem esošā leņķa sinusu, kosinusu un paša šī leņķa lielumu.
Risinājums
Sākotnējās taisnes ir dotas, izmantojot parastos taisnvienādojumus formā A x + B y + C = 0 . Apzīmē normālvektoru n → = (A , B) . Atradīsim pirmā normālvektora koordinātas vienai taisnei un pierakstīsim: n a → = (3 , 5) . Otrajai rindai x + 4 y - 17 = 0 normālajam vektoram būs koordinātas n b → = (1 , 4) . Tagad pievienojiet iegūtās vērtības formulai un aprēķiniet kopējo:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ja mēs zinām leņķa kosinusu, tad varam aprēķināt tā sinusu, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti. Tā kā taisnu līniju veidotais leņķis α nav strups, tad sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
Šajā gadījumā α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Atbilde: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analizēsim pēdējo gadījumu – leņķa atrašanu starp taisnēm, ja zinām vienas taisnes virzošā vektora un otras normālvektora koordinātas.
Pieņemsim, ka taisnei a ir virziena vektors a → = (a x , a y) , bet taisnei b ir normāls vektors n b → = (n b x , n b y) . Mums ir jāatliek šie vektori no krustošanās punkta un jāapsver visas to relatīvās pozīcijas iespējas. Skatīt attēlu:
Ja leņķis starp dotajiem vektoriem nav lielāks par 90 grādiem, izrādās, ka tas papildinās leņķi starp a un b līdz taisnam leņķim.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , ja a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ja tas ir mazāks par 90 grādiem, mēs iegūstam sekojošo:
a → , n b → ^ > 90 ° , tad a → , n b → ^ = 90 ° + α
Izmantojot vienādu leņķu kosinusu vienādības likumu, mēs rakstām:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pie a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pie a → , n b → ^ > 90 ° .
Pa šo ceļu,
sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Formulēsim secinājumu.
4. definīcija
Lai atrastu leņķa sinusu starp divām līnijām, kas krustojas plaknē, jāaprēķina leņķa kosinusa modulis starp pirmās līnijas virziena vektoru un otrās normālo vektoru.
Pierakstīsim vajadzīgās formulas. Leņķa sinusa atrašana:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Paša stūra atrašana:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Šeit a → ir pirmās rindas virziena vektors, un n b → ir otrās rindas normālais vektors.
3. piemērs
Divas krustojošas taisnes ir dotas ar vienādojumu x - 5 = y - 6 3 un x + 4 y - 17 = 0 . Atrodiet krustojuma leņķi.
Risinājums
No dotajiem vienādojumiem ņemam virzošā un normālā vektora koordinātas. Izrādās, a → = (- 5, 3) un n → b = (1, 4). Mēs ņemam formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 un apsveram:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Ņemiet vērā, ka mēs paņēmām vienādojumus no iepriekšējās problēmas un ieguvām tieši tādu pašu rezultātu, bet citā veidā.
Atbilde:α = a r c sin 7 2 34
Šeit ir vēl viens veids, kā atrast vēlamo leņķi, izmantojot doto līniju slīpuma koeficientus.
Mums ir taisne a , kas ir definēta taisnstūra koordinātu sistēmā, izmantojot vienādojumu y = k 1 · x + b 1 , un taisne b , kas definēta kā y = k 2 · x + b 2 . Tie ir līniju vienādojumi ar slīpumu. Lai atrastu krustojuma leņķi, izmantojiet formulu:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kur k 1 un k 2 ir doto līniju slīpumi. Lai iegūtu šo ierakstu, tika izmantotas formulas leņķa noteikšanai caur normālu vektoru koordinātām.
4. piemērs
Plaknē krustojas divas taisnes, kas dotas ar vienādojumiem y = - 3 5 x + 6 un y = - 1 4 x + 17 4 . Aprēķiniet krustojuma leņķi.
Risinājums
Mūsu līniju slīpumi ir vienādi ar k 1 = - 3 5 un k 2 = - 1 4 . Saskaitīsim tos formulai α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 un aprēķināsim:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Atbilde:α = a r c cos 23 2 34
Šīs rindkopas secinājumos jāatzīmē, ka šeit dotās formulas leņķa atrašanai nav jāiemācās no galvas. Lai to izdarītu, pietiek zināt doto līniju vadotņu un/vai normālvektoru koordinātas un prast tās noteikt, izmantojot dažāda veida vienādojumus. Bet leņķa kosinusa aprēķināšanas formulas ir labāk atcerēties vai pierakstīt.
Kā aprēķināt leņķi starp krustojošām līnijām telpā
Šāda leņķa aprēķinu var reducēt līdz virziena vektoru koordinātu aprēķināšanai un šo vektoru veidotā leņķa lieluma noteikšanai. Šādiem piemēriem mēs izmantojam to pašu argumentāciju, ko esam snieguši iepriekš.
Pieņemsim, ka mums ir taisnstūra koordinātu sistēma, kas atrodas 3D telpā. Tajā ir divas taisnes a un b ar krustpunktu M . Lai aprēķinātu virziena vektoru koordinātas, mums jāzina šo līniju vienādojumi. Apzīmē virziena vektorus a → = (a x , a y , a z) un b → = (b x , b y , b z) . Lai aprēķinātu leņķa kosinusu starp tiem, mēs izmantojam formulu:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Lai atrastu pašu leņķi, mums ir nepieciešama šī formula:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5. piemērs
Mums ir taisna līnija, kas definēta 3D telpā, izmantojot vienādojumu x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Ir zināms, ka tas krustojas ar O z asi. Aprēķiniet krustošanās leņķi un šī leņķa kosinusu.
Risinājums
Aprēķināmo leņķi apzīmēsim ar burtu α. Pierakstīsim virziena vektora koordinātas pirmajai taisnei - a → = (1 , - 3 , - 2) . Aplikācijas asij kā orientieri varam ņemt koordinātu vektoru k → = (0 , 0 , 1). Mēs esam saņēmuši nepieciešamos datus un varam pievienot tos vēlamajai formulai:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Rezultātā mēs saņēmām, ka mums vajadzīgais leņķis būs vienāds ar a r c cos 1 2 = 45 °.
Atbilde: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Oi-oi-oi-oi... nu slinki, it kā pie sevis teikumu nolasītu =) Tomēr tad palīdzēs atslābums, jo īpaši tāpēc, ka šodien nopirku piemērotus aksesuārus. Tāpēc pāriesim pie pirmās sadaļas, es ceru, ka līdz raksta beigām es saglabāšu jautru noskaņojumu.
Divu taisnu līniju savstarpēja izkārtošanās
Gadījums, kad zāle dzied līdzi korī. Divas rindas var:
1) sērkociņš;
2) būt paralēli: ;
3) vai krustojas vienā punktā: .
Palīdzība manekeniem : lūdzu, atcerieties matemātikas zīmi krustojumos, tas notiks ļoti bieži. Ieraksts nozīmē, ka līnija krustojas ar līniju punktā.
Kā noteikt divu līniju relatīvo stāvokli?
Sāksim ar pirmo gadījumu:
Divas līnijas sakrīt tad un tikai tad, ja to attiecīgie koeficienti ir proporcionāli, tas ir, ir tāds skaitlis "lambda", ka vienādības
Aplūkosim taisnes un no atbilstošajiem koeficientiem sastādīsim trīs vienādojumus: . No katra vienādojuma izriet, ka tāpēc šīs līnijas sakrīt.
Patiešām, ja visi vienādojuma koeficienti 
reiziniet ar -1 (izmainiet zīmes) un visus vienādojuma koeficientus 
Samazinot par 2, jūs iegūstat to pašu vienādojumu: .
Otrais gadījums, kad līnijas ir paralēlas:
Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to koeficienti pie mainīgajiem ir proporcionāli: 
, bet.
Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Mēs pārbaudām atbilstošo koeficientu proporcionalitāti mainīgajiem lielumiem: 
Tomēr ir skaidrs, ka.
Un trešais gadījums, kad līnijas krustojas:
Divas taisnes krustojas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti NAV proporcionāli, proti, NAV tādas "lambdas" vērtības, lai vienādības tiktu izpildītas 
Tātad taisnām līnijām mēs izveidosim sistēmu: 
No pirmā vienādojuma izriet, ka , un no otrā vienādojuma: , tātad, sistēma ir nekonsekventa (nav risinājumu). Tādējādi koeficienti pie mainīgajiem nav proporcionāli.
Secinājums: līnijas krustojas
Praktiskos uzdevumos var izmantot tikko aplūkoto risinājuma shēmu. Starp citu, tas ir ļoti līdzīgs vektoru kolinearitātes pārbaudes algoritmam, kuru mēs aplūkojām nodarbībā. Vektoru lineārās (ne)atkarības jēdziens. Vektoru pamats . Bet ir arī civilizētāka pakete:
1. piemērs
Uzziniet līniju relatīvo novietojumu: 
Risinājums pamatojoties uz taisnu līniju virzīšanas vektoru izpēti:
a) No vienādojumiem atrodam līniju virziena vektorus: 
.
, tāpēc vektori nav kolineāri un līnijas krustojas.
Katram gadījumam krustojumā nolikšu akmeni ar rādītājiem:
Pārējie lec pāri akmenim un seko tālāk, taisni uz Kaščeju bezmirstīgo =)
b) Atrodiet līniju virziena vektorus: 
Līnijām ir vienāds virziena vektors, kas nozīmē, ka tās ir paralēlas vai vienādas. Šeit determinants nav nepieciešams.
Acīmredzot nezināmo koeficienti ir proporcionāli, savukārt .
Noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa: 
Pa šo ceļu,
c) Atrodiet līniju virziena vektorus: 
Aprēķināsim determinantu, kas sastāv no šo vektoru koordinātām: 
, tāpēc virziena vektori ir kolineāri. Līnijas ir paralēlas vai sakrīt.
Proporcionalitātes koeficientu "lambda" ir viegli redzēt tieši no kolineāro virzienu vektoru attiecības. Tomēr to var atrast arī, izmantojot pašu vienādojumu koeficientus: 
.
Tagad noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa. Abi bezmaksas nosacījumi ir nulle, tāpēc:
Iegūtā vērtība apmierina šo vienādojumu (jebkurš skaitlis parasti to apmierina).
Tādējādi līnijas sakrīt.
Atbilde:
Ļoti drīz jūs iemācīsities (vai pat jau esat iemācījušies) atrisināt apdomāto problēmu verbāli burtiski dažu sekunžu laikā. Šajā sakarā es neredzu iemeslu piedāvāt kaut ko neatkarīgam risinājumam, labāk ir ielikt vēl vienu svarīgu ķieģeļu ģeometriskajā pamatnē:
Kā novilkt līniju, kas ir paralēla noteiktajai?
Par šī vienkāršākā uzdevuma nezināšanu Lakstīgala Laupītājs bargi soda.
2. piemērs
Taisni dod vienādojums . Uzrakstiet vienādojumu paralēlai taisnei, kas iet caur punktu.
Risinājums: Nezināmo rindu apzīmē ar burtu . Ko par to saka nosacījums? Līnija iet caur punktu. Un, ja taisnes ir paralēlas, tad ir acīmredzams, ka taisnes "ce" virzošais vektors ir piemērots arī taisnes "te" konstruēšanai.
Mēs izņemam virziena vektoru no vienādojuma:
Atbilde:
Piemēra ģeometrija izskatās vienkārša: 
Analītiskā pārbaude sastāv no šādām darbībām:
1) Pārbaudām, vai līnijām ir vienāds virziena vektors (ja taisnes vienādojums nav pareizi vienkāršots, tad vektori būs kolineāri).
2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu.
Analītiskā pārbaude vairumā gadījumu ir viegli izdarāma mutiski. Apskatiet divus vienādojumus, un daudzi no jums ātri sapratīs, kā līnijas ir paralēlas bez zīmējuma.
Piemēri pašrisināšanai šodien būs radoši. Jo jums joprojām ir jāsacenšas ar Baba Yagu, un viņa, jūs zināt, ir visu veidu mīklu cienītāja.
3. piemērs
Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei if
Ir racionāls un ne pārāk racionāls risinājums. Īsākais ceļš ir nodarbības beigās.
Nedaudz pastrādājām ar paralēlām līnijām un pie tām atgriezīsimies vēlāk. Sakrītošo līniju gadījums ir maz interesants, tāpēc apskatīsim problēmu, kas jums ir labi zināma no skolas mācību programmas:
Kā atrast divu līniju krustošanās punktu?
Ja taisni 
krustojas punktā , tad tā koordinātas ir risinājums lineāro vienādojumu sistēmas
Kā atrast līniju krustošanās punktu? Atrisiniet sistēmu.
Lūk, jums divu lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem ģeometriskā nozīme ir divas plaknes krustojošas (visbiežāk) taisnes.
4. piemērs
Atrodiet līniju krustošanās punktu
Risinājums: Ir divi risināšanas veidi – grafiskais un analītiskais.
Grafiskais veids ir vienkārši uzzīmēt dotās līnijas un tieši no zīmējuma uzzināt krustošanās punktu: 
Šeit ir mūsu punkts: . Lai pārbaudītu, tās koordinātas jāievieto katrā taisnes vienādojumā, tām ir jāiekļaujas gan tur, gan tur. Citiem vārdiem sakot, punkta koordinātas ir sistēmas risinājums. Faktiski mēs apsvērām grafisku risinājumu lineāro vienādojumu sistēmas
ar diviem vienādojumiem, diviem nezināmiem.
Grafiskā metode, protams, nav slikta, taču ir manāmi trūkumi. Nē, runa nav par to, ka septītklasnieki šādi izlemj, bet gan par to, ka pareiza un PRECĪZA zīmējuma uztaisīšana prasīs laiku. Turklāt dažas līnijas nav tik vienkārši uzbūvējamas, un pats krustošanās punkts var atrasties kaut kur trīsdesmitajā valstībā ārpus piezīmju grāmatiņas lapas.
Tāpēc krustošanās punktu lietderīgāk ir meklēt ar analītisko metodi. Atrisināsim sistēmu: 
Sistēmas risināšanai tika izmantota vienādojumu termiskās saskaitīšanas metode. Lai attīstītu attiecīgās prasmes, apmeklējiet nodarbību Kā atrisināt vienādojumu sistēmu?
Atbilde:
Pārbaude ir triviāla – krustojuma punkta koordinātām jāapmierina katrs sistēmas vienādojums.
5. piemērs
Atrodiet līniju krustošanās punktu, ja tās krustojas.
Šis ir “dari pats” piemērs. Uzdevumu var ērti sadalīt vairākos posmos. Stāvokļa analīze liecina, ka ir nepieciešams:
1) Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu.
2) Uzrakstiet taisnes vienādojumu.
3) Noskaidro līniju relatīvo novietojumu.
4) Ja līnijas krustojas, tad atrodiet krustošanās punktu.
Darbības algoritma izstrāde ir raksturīga daudzām ģeometriskām problēmām, un es vairākkārt pievērsīšos tam.
Pilns risinājums un atbilde apmācības beigās:
Apavu pāris vēl nav nolietots, jo tikām pie otrās nodarbības sadaļas:
Perpendikulāras līnijas. Attālums no punkta līdz līnijai.
Leņķis starp līnijām
Sāksim ar tipisku un ļoti svarīgu uzdevumu. Pirmajā daļā mēs iemācījāmies izveidot taisni paralēli dotajai, un tagad būda uz vistu kājām pagriezīsies par 90 grādiem:
Kā novilkt līniju, kas ir perpendikulāra noteiktai?
6. piemērs
Taisni dod vienādojums . Uzrakstiet vienādojumu perpendikulārai taisnei, kas iet caur punktu.
Risinājums: Ir zināms, ka . Būtu jauki atrast taisnes virziena vektoru. Tā kā līnijas ir perpendikulāras, triks ir vienkāršs:
No vienādojuma “noņemam” normālvektoru: , kas būs taisnes virzošais vektors.
Mēs veidojam taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un virziena vektoru:
Atbilde: 
Izvērsim ģeometrisko skici:
Hmm... Oranžas debesis, oranža jūra, oranžs kamielis.
Risinājuma analītiskā pārbaude:
1) Izvelciet no vienādojumiem virziena vektorus 
un ar palīdzību vektoru punktu reizinājums
secinām, ka taisnes patiešām ir perpendikulāras: .
Starp citu, jūs varat izmantot parastos vektorus, tas ir vēl vienkāršāk.
2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu 
.
Pārbaudi atkal ir viegli veikt mutiski.
7. piemērs
Atrodiet perpendikulāru līniju krustpunktu, ja vienādojums ir zināms 
un punkts.
Šis ir “dari pats” piemērs. Uzdevumā ir vairākas darbības, tāpēc ir ērti sakārtot risinājumu pa punktam.
Mūsu aizraujošais ceļojums turpinās:
Attālums no punkta līdz līnijai
Mūsu priekšā ir taisna upes josla, un mūsu uzdevums ir sasniegt to visīsākajā ceļā. Šķēršļu nav, un optimālākais maršruts būs kustība pa perpendikulu. Tas ir, attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikulāra segmenta garums.
Attālums ģeometrijā tradicionāli tiek apzīmēts ar grieķu burtu "ro", piemēram: - attālums no punkta "em" līdz taisnei "de".
Attālums no punkta līdz līnijai 
tiek izteikts ar formulu
8. piemērs
Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai 
Risinājums: viss, kas jums nepieciešams, ir rūpīgi aizstāt skaitļus formulā un veikt aprēķinus:
Atbilde: 
Izpildīsim zīmējumu: 
Atrastais attālums no punkta līdz līnijai ir tieši sarkanā segmenta garums. Ja uz rūtainā papīra veido zīmējumu mērogā 1 vienība. \u003d 1 cm (2 šūnas), tad attālumu var izmērīt ar parastu lineālu.
Apsveriet citu uzdevumu saskaņā ar to pašu zīmējumu:
Uzdevums ir atrast punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret taisni 
. Ierosinu darbības veikt patstāvīgi, tomēr risinājuma algoritmu izklāstīšu ar starprezultātiem:
1) Atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra taisnei.
2) Atrodiet līniju krustošanās punktu: 
.
Abas darbības ir detalizēti apspriestas šajā nodarbībā.
3) Punkts ir segmenta viduspunkts. Mēs zinām vidus un viena gala koordinātas. Autors formulas segmenta vidusdaļas koordinātām atrast.
Nebūs lieki pārbaudīt, vai arī attālums ir vienāds ar 2,2 vienībām.
Šeit var rasties grūtības aprēķinos, bet tornī ļoti palīdz mikrokalkulators, kas ļauj saskaitīt parastās daļskaitļus. Daudzas reizes esmu ieteikusi un ieteikšu vēlreiz.
Kā atrast attālumu starp divām paralēlām līnijām?
9. piemērs
Atrodiet attālumu starp divām paralēlām līnijām
Šis ir vēl viens neatkarīga risinājuma piemērs. Neliels mājiens: ir bezgala daudz veidu, kā atrisināt. Apspriešana nodarbības beigās, bet labāk pamēģini uzminēt pats, manuprāt, tev izdevās labi izkliedēt savu atjautību.
Leņķis starp divām līnijām
Neatkarīgi no stūra, tad aploda: 
Ģeometrijā leņķis starp divām taisnēm tiek ņemts par MAZĀKO leņķi, no kura automātiski izriet, ka tas nevar būt neass. Attēlā sarkanā loka norādītais leņķis netiek uzskatīts par leņķi starp krustojošām līnijām. Un tā “zaļais” kaimiņš vai pretēji orientēts sārtināts stūrītis.
Ja līnijas ir perpendikulāras, par leņķi starp tām var uzskatīt jebkuru no 4 leņķiem.
Kā atšķiras leņķi? Orientēšanās. Pirmkārt, stūra "ritināšanas" virziens ir ļoti svarīgs. Otrkārt, negatīvi orientētu leņķi raksta ar mīnusa zīmi, piemēram, ja .
Kāpēc es to teicu? Šķiet, ka var iztikt ar ierasto leņķa jēdzienu. Fakts ir tāds, ka formulās, pēc kurām mēs atradīsim leņķus, var viegli iegūt negatīvu rezultātu, un tam nevajadzētu jūs pārsteigt. Leņķis ar mīnusa zīmi nav sliktāks, un tam ir ļoti specifiska ģeometriskā nozīme. Negatīvā leņķa zīmējumā obligāti jānorāda tā orientācija (pulksteņrādītāja virzienā) ar bultiņu.
Kā atrast leņķi starp divām līnijām? Ir divas darba formulas:
10. piemērs
Atrodiet leņķi starp līnijām
Risinājums un Pirmā metode
Apsveriet divas taisnas līnijas, kas dotas ar vienādojumiem vispārīgā formā: 
Ja taisni nav perpendikulāri, tad orientēts leņķi starp tiem var aprēķināt, izmantojot formulu: 
Pievērsīsim īpašu uzmanību saucējam - tieši tā skalārais produkts
taisnu līniju virziena vektori:
Ja , tad formulas saucējs pazūd, un vektori būs ortogonāli un līnijas būs perpendikulāras. Tāpēc formulējumā tika izteikta atruna par līniju neperpendikularitāti.
Pamatojoties uz iepriekš minēto, risinājums ir ērti formalizēts divos posmos:
1) Aprēķiniet taisnu līniju virzīšanas vektoru skalāro reizinājumu:
tāpēc līnijas nav perpendikulāras.
2) Mēs atrodam leņķi starp līnijām pēc formulas:
Izmantojot apgriezto funkciju, ir viegli atrast pašu leņķi. Šajā gadījumā mēs izmantojam loka tangensa dīvainību (sk. Elementāro funkciju grafiki un īpašības
):
Atbilde: 
Atbildē mēs norādām precīzu vērtību, kā arī aptuveno vērtību (vēlams gan grādos, gan radiānos), kas aprēķināta, izmantojot kalkulatoru.
Nu, mīnuss, tik mīnuss, tas ir labi. Šeit ir ģeometriska ilustrācija: 
Nav pārsteidzoši, ka leņķis izrādījās negatīvas orientācijas, jo uzdevuma stāvoklī pirmais skaitlis ir taisna līnija un tieši no tās sākās leņķa “vērpšanās”.
Ja jūs patiešām vēlaties iegūt pozitīvu leņķi, jums ir jāmaina taisnās līnijas, tas ir, jāņem koeficienti no otrā vienādojuma 
, un ņemt koeficientus no pirmā vienādojuma . Īsāk sakot, jums jāsāk ar tiešo 
.