Platības formula ir nepieciešams, lai noteiktu figūras laukumu, kas ir reālās vērtības funkcija, kas definēta uz noteiktas figūru klases Eiklīda plaknē un atbilst 4 nosacījumiem:
- Pozitīvs — laukums nevar būt mazāks par nulli;
- Normalizācija - kvadrāta ar vienotības malu laukums ir 1;
- Kongruence - sakritīgām figūrām ir vienāds laukums;
- Summitāte - 2 figūru savienības laukums bez kopīgiem iekšējiem punktiem ir vienāds ar šo figūru laukumu summu.
| Ģeometriskā figūra | Formula | Zīmējums |
|---|---|---|
|
Rezultāts, saskaitot attālumus starp izliekta četrstūra pretējo malu viduspunktiem, būs vienāds ar tā pusperimetru. |
||
|
Apļa sektors. Apļa sektora laukums ir vienāds ar tā loka reizinājumu ar pusi no rādiusa. |
|
|
|
apļa segments. Lai iegūtu segmenta ASB laukumu, pietiek ar trijstūra AOB laukumu atņemt no sektora AOB laukuma. |
S = 1/2 R(s — maiņstrāva) |
|
|
Elipses laukums ir vienāds ar elipses lielāko un mazāko pusasu garumu reizinājumu ar pi. |
|
|
|
Elipse. Vēl viena iespēja, kā aprēķināt elipses laukumu, ir caur tās diviem rādiusiem. |
|
|
|
Trīsstūris. Caur pamatni un augstumu. Apļa laukuma formula tā rādiusa un diametra izteiksmē. |
||
|
Kvadrāts . Caur viņa pusi. Kvadrāta laukums ir vienāds ar tā malas garuma kvadrātu. |
|
|
|
Kvadrāts. Caur savu diagonāli. Kvadrāta laukums ir puse no tā diagonāles garuma kvadrāta. |
||
|
regulārs daudzstūris. Lai noteiktu regulāra daudzstūra laukumu, tas ir jāsadala vienādos trīsstūros, kuriem būtu kopīga virsotne ierakstītā apļa centrā. |
S= r p = 1/2 r n a |
Ja plānojat pats veikt remontu, tad būs jāsastāda būvmateriālu un apdares materiālu tāme. Lai to izdarītu, jums būs jāaprēķina telpas platība, kurā plānojat veikt remontu. Galvenais palīgs šajā jomā ir īpaši izstrādāta formula. Telpas platība, proti, tās aprēķins, ļaus ietaupīt daudz naudas uz būvmateriāliem un novirzīt atbrīvotos finanšu resursus nepieciešamākā virzienā.
Telpas ģeometriskā forma
Telpas platības aprēķināšanas formula ir tieši atkarīga no tās formas. Mājas konstrukcijām raksturīgākās ir taisnstūrveida un kvadrātveida telpas. Tomēr pārbūves laikā standarta forma var tikt izkropļota. Numuri ir:
- Taisnstūrveida.
- Kvadrāts.
- Sarežģīta konfigurācija (piemēram, apaļa).
- Ar nišām un dzegām.
Katram no tiem ir savas aprēķina funkcijas, taču parasti tiek izmantota viena un tā pati formula. Var aprēķināt jebkuras formas un izmēra telpas platību tā vai citādi.
Taisnstūra vai kvadrātveida istaba
Lai aprēķinātu taisnstūra vai kvadrātveida telpas platību, pietiek atcerēties skolas ģeometrijas nodarbības. Tāpēc jums nevajadzētu būt grūti noteikt telpas platību. Aprēķina formula izskatās šādi:
S istabas=A*B, kur
A ir telpas garums.
B ir telpas platums.
Lai izmērītu šīs vērtības, jums būs nepieciešama regulāra mērlente. Lai iegūtu visprecīzākos aprēķinus, ir vērts izmērīt sienu no abām pusēm. Ja vērtības nesaplūst, par pamatu ņemiet iegūto datu vidējo vērtību. Bet atcerieties, ka visos aprēķinos ir savas kļūdas, tāpēc materiāls jāiegādājas ar rezervi.
Istaba ar sarežģītu konfigurāciju
Ja jūsu istaba neatbilst definīcijai "tipisks", t.i. ir apļa, trīsstūra, daudzstūra forma, tad aprēķiniem var būt nepieciešama cita formula. Varat mēģināt nosacīti sadalīt telpas platību ar šādu raksturlielumu taisnstūra elementos un veikt aprēķinus standarta veidā. Ja tas jums nav iespējams, izmantojiet šādas metodes:
- Formula apļa laukuma atrašanai:
S istaba \u003d π * R 2, kur
R ir telpas rādiuss.
- Trijstūra laukuma atrašanas formula ir šāda:
S telpa = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), kur
P ir trijstūra pusperimetrs.
A, B, C ir tā malu garumi.
Tādējādi P \u003d A + B + C / 2
Ja aprēķinu procesā jums ir kādas grūtības, tad labāk nav spīdzināt sevi un vērsties pie profesionāļiem.
Telpas zona ar dzegām un nišām
Bieži sienas ir dekorētas ar dekoratīviem elementiem dažādu nišu vai dzegas veidā. Arī to klātbūtne var būt saistīta ar nepieciešamību paslēpt dažus neestētiskus jūsu telpas elementus. Izciļņu vai nišu klātbūtne uz jūsu sienas nozīmē, ka aprēķins jāveic pakāpeniski. Tie. vispirms tiek atrasts sienas plakanas posma laukums, un tad tam tiek pievienots nišas vai dzegas laukums.
Sienas laukumu nosaka pēc formulas:
S sienas \u003d P x C, kur
P - perimetrs
C - augstums
Jāņem vērā arī logu un durvju klātbūtne. To laukums ir jāatņem no iegūtās vērtības.
Numurs ar daudzlīmeņu griestiem
Daudzlīmeņu griesti neapgrūtina aprēķinus tik daudz, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Ja tam ir vienkāršs dizains, tad aprēķinus var veikt pēc principa, lai atrastu sienu laukumu, ko sarežģī nišas un dzegas.
Tomēr, ja jūsu griestu dizainā ir izliekti un viļņaini elementi, tad pareizāk ir noteikt to laukumu, izmantojot grīdas laukumu. Šim nolūkam jums ir nepieciešams:
- Atrodiet visu sienu taisno posmu izmērus.
- Atrodiet grīdas laukumu.
- Reiziniet vertikālo sekciju garumu un augstumu.
- Summējiet iegūto vērtību ar grīdas laukumu.
Soli pa solim instrukcijas kopsummas noteikšanai
grīdas platība
- Atbrīvojiet istabu no nevajadzīgām lietām. Mērīšanas procesā jums būs nepieciešama brīva piekļuve visām jūsu istabas zonām, tāpēc jums ir jāatbrīvojas no visa, kas to var traucēt.
- Vizuāli sadaliet telpu regulāras un neregulāras formas daļās. Ja jūsu istabai ir stingri kvadrātveida vai taisnstūrveida forma, tad šo soli var izlaist.
- Izveidojiet patvaļīgu telpas izkārtojumu. Šis zīmējums ir nepieciešams, lai visi dati vienmēr būtu pa rokai. Turklāt tas nedos jums iespēju apjukt daudzos mērījumos.
- Mērījumi jāveic vairākas reizes. Šis ir svarīgs noteikums, lai izvairītos no kļūdām aprēķinos. Arī tad, ja izmantojat, pārliecinieties, ka sija atrodas plakaniski uz sienas virsmas.
- Atrodiet telpas kopējo platību. Telpas kopējās platības formula ir atrast visu telpas atsevišķo daļu platību summu. Tie. S kopā = S sienas + S grīdas + S griesti
Ģeometrisko figūru laukumi ir skaitliskās vērtības, kas raksturo to lielumu divdimensiju telpā. Šo vērtību var izmērīt sistēmas un nesistēmas vienībās. Tā, piemēram, ārpussistēmas platības vienība ir simts hektārs. Tas ir gadījumā, ja izmērītā virsma ir zemes gabals. Sistēmas laukuma vienība ir garuma kvadrāts. SI sistēmā ir pieņemts uzskatīt, ka plakanas virsmas laukuma vienība ir kvadrātmetrs. CGS platības mērvienību izsaka kvadrātcentimetros.
Ģeometrija un laukuma formulas ir nesaraujami saistītas. Šī saistība slēpjas faktā, ka plakano figūru laukumu aprēķins ir balstīts tieši uz to pielietojumu. Daudzām figūrām ir atvasinātas vairākas iespējas, pēc kurām tiek aprēķināti to kvadrātu izmēri. Pamatojoties uz problēmas paziņojuma datiem, mēs varam noteikt vienkāršāko veidu, kā to atrisināt. Tas atvieglo aprēķinu un samazina aprēķinu kļūdu iespējamību līdz minimumam. Lai to izdarītu, apsveriet galveno skaitļu apgabalu ģeometrijā.
Formulas jebkura trīsstūra laukuma atrašanai tiek parādītas vairākos veidos:
1) Trijstūra laukumu aprēķina no pamatnes a un augstuma h. Pamatne ir tā figūras puse, uz kuras augstums ir pazemināts. Tad trīsstūra laukums ir:
2) Taisnstūra trīsstūra laukumu aprēķina tieši tādā pašā veidā, ja hipotenūzu uzskata par pamatu. Ja tomēr kāju ņem par pamatu, tad taisnleņķa trijstūra laukums būs vienāds ar uz pusi pārdalīto kāju reizinājumu.
Jebkura trijstūra laukuma aprēķināšanas formulas ar to nebeidzas. Cita izteiksme satur malas a, b un sinusoidālo funkciju leņķim γ starp a un b. Sinusa vērtība ir atrodama tabulās. To var atrast arī, izmantojot kalkulatoru. Tad trīsstūra laukums ir:
Saskaņā ar šo vienādību jūs varat arī pārliecināties, ka taisnleņķa trīsstūra laukums tiek noteikts caur kāju garumiem. Jo leņķis γ ir taisns leņķis, tāpēc taisnleņķa trijstūra laukumu aprēķina, nereizinot ar sinusa funkciju.
3) Aplūkosim īpašu gadījumu - regulāru trīsstūri, kurā mala a ir zināma pēc nosacījuma vai risinot var atrast tās garumu. Par figūru ģeometrijas uzdevumā nekas vairāk nav zināms. Kā tad atrast apgabalu ar šo nosacījumu? Šajā gadījumā tiek piemērota regulāra trīsstūra laukuma formula:
Taisnstūris
Kā atrast taisnstūra laukumu un izmantot to malu izmērus, kurām ir kopīga virsotne? Aprēķina izteiksme ir šāda:
Ja vēlaties izmantot diagonāļu garumus, lai aprēķinātu taisnstūra laukumu, jums ir nepieciešama leņķa sinusa funkcija, kas veidojas, kad tās krustojas. Taisnstūra laukuma formula ir šāda:
Kvadrāts
Kvadrāta laukumu definē kā malas garuma otro pakāpi:
Pierādījums izriet no definīcijas, ka taisnstūri sauc par kvadrātu. Visām malām, kas veido kvadrātu, ir vienādi izmēri. Tāpēc šāda taisnstūra laukuma aprēķins tiek samazināts līdz reizināšanai ar otru, t.i., līdz malas otrajai pakāpei. Un kvadrāta laukuma aprēķināšanas formula iegūs vēlamo formu.
Kvadrāta laukumu var atrast citā veidā, piemēram, ja izmantojat diagonāli:
Kā aprēķināt figūras laukumu, ko veido plaknes daļa, ko ierobežo aplis? Lai aprēķinātu laukumu, izmantojiet šādas formulas:
Paralēlogramma
Paralelogramam formula satur malas lineāros izmērus, augstumu un matemātisko darbību - reizināšanu. Ja augstums nav zināms, tad kā atrast paralelograma laukumu? Ir vēl viens aprēķina veids. Nepieciešama noteikta vērtība, ko ņems blakus esošo malu veidotā leņķa trigonometriskā funkcija, kā arī to garums.
Paralelograma laukuma formulas ir šādas:
Rombs
Kā atrast četrstūra laukumu, ko sauc par rombu? Romba laukumu nosaka, izmantojot vienkāršas matemātiskas darbības ar diagonālēm. Pierādījums balstās uz faktu, ka diagonālie segmenti d1 un d2 krustojas taisnā leņķī. Sinusu tabula parāda, ka taisnā leņķī šī funkcija ir vienāda ar vienu. Tāpēc romba laukumu aprēķina šādi:
Romba laukumu var atrast arī citā veidā. To arī nav grūti pierādīt, ņemot vērā, ka tā malas ir vienāda garuma. Pēc tam aizstājiet to reizinājumu ar līdzīgu izteiksmi paralelogramam. Galu galā šīs konkrētās figūras īpašs gadījums ir rombs. Šeit γ ir romba iekšējais leņķis. Romba laukumu nosaka šādi:
Trapece
Kā atrast trapeces laukumu caur pamatnēm (a un b), ja uzdevumā ir norādīti to garumi? Šeit bez zināmas augstuma garuma h vērtības nebūs iespējams aprēķināt šādas trapeces laukumu. Jo šī vērtība satur aprēķina izteiksmi:
Tādā pašā veidā var aprēķināt arī taisnstūra trapeces kvadrāta izmēru. Tajā pašā laikā tiek ņemts vērā, ka taisnstūra trapecveida formā tiek apvienoti augstuma un sānu jēdzieni. Tāpēc taisnstūra trapecveida formai ir jānorāda malas garums, nevis augstums.
Cilindrs un paralēlskaldnis
Apsveriet, kas nepieciešams, lai aprēķinātu visa cilindra virsmu. Šīs figūras laukums ir apļu pāris, ko sauc par pamatnēm, un sānu virsma. Apļus veidojošo apļu rādiusa garums ir vienāds ar r. Cilindra laukumam tiek veikts šāds aprēķins:
Kā atrast paralēlskaldņa laukumu, kas sastāv no trim seju pāriem? Tās mērījumi atbilst konkrētam pārim. Pretējām sejām ir vienādi parametri. Vispirms atrodiet S(1), S(2), S(3) - nevienādu seju kvadrātu izmērus. Tad paralēlskaldņa virsmas laukums:
Gredzens
Divi apļi ar kopīgu centru veido gredzenu. Tie arī ierobežo gredzena laukumu. Šajā gadījumā abās aprēķina formulās ir ņemti vērā katra apļa izmēri. Pirmais, kas aprēķina gredzena laukumu, satur lielākus R un mazākus r rādiusus. Biežāk tos sauc par ārējiem un iekšējiem. Otrajā izteiksmē gredzena laukums tiek aprēķināts, izmantojot lielākus D un mazākus d diametrus. Tādējādi gredzena laukumu pēc zināmajiem rādiusiem aprēķina šādi:
Gredzena laukumu, izmantojot diametru garumus, nosaka šādi:
Daudzstūris
Kā atrast laukumu daudzstūrim, kura forma nav pareiza? Nav vispārīgas formulas šādu skaitļu laukumam. Bet, ja tas ir attēlots, piemēram, uz koordinātu plaknes, tas var būt rūtains papīrs, tad kā šajā gadījumā atrast virsmas laukumu? Šeit viņi izmanto metodi, kas neprasa aptuveni izmērīt skaitli. Viņi to dara: ja viņi atrod punktus, kas iekrīt šūnas stūrī vai kuriem ir veselas koordinātas, tad tiek ņemti vērā tikai tie. Lai pēc tam uzzinātu, kas ir apgabals, izmantojiet Pick pierādīto formulu. Ir nepieciešams pievienot punktu skaitu, kas atrodas polilīnijas iekšpusē, uz kuras atrodas puse no punktiem, un atņemt vienu, t.i., tas tiek aprēķināts šādi:
kur C, D - punktu skaits, kas atrodas attiecīgi visā polilīnijā un uz tās.
Zināšanas par Zemes mērīšanu parādījās senatnē un pakāpeniski veidojās ģeometrijas zinātnē. No grieķu valodas šis vārds ir tulkots kā "mērniecība".
Zemes plakanas zonas garuma mērs garumā un platumā ir laukums. Matemātikā to parasti apzīmē ar latīņu burtu S (no angļu valodas "square" - "area", "quare") vai grieķu burtu σ (sigma). S apzīmē figūras laukumu plaknē vai ķermeņa virsmas laukumu, un σ ir stieples šķērsgriezuma laukums fizikā. Šie ir galvenie simboli, lai gan var būt arī citi simboli, piemēram, materiālu stiprības laukā A ir profila šķērsgriezuma laukums.
Saskarsmē ar
Aprēķinu formulas
Zinot vienkāršu figūru apgabalus, varat atrast sarežģītāku parametrus.. Senie matemātiķi izstrādāja formulas, pēc kurām tos var viegli aprēķināt. Šādas figūras ir trīsstūris, četrstūris, daudzstūris, aplis.
Lai atrastu sarežģītas plakanas figūras laukumu, tas ir sadalīts daudzās vienkāršās formās, piemēram, trīsstūros, trapecveida formās vai taisnstūros. Tad matemātiskās metodes iegūst formulu šī attēla laukumam. Līdzīga metode tiek izmantota ne tikai ģeometrijā, bet arī matemātiskajā analīzē, lai aprēķinātu figūru laukumus, ko ierobežo līknes.
Trīsstūris
Sāksim ar visvienkāršāko formu - trīsstūri. Tie ir taisnstūrveida, vienādsānu un vienādmalu. Paņem jebkuru trijstūri ABC ar malām AB=a, BC=b un AC=c (∆ ABC). Lai atrastu tās apgabalu, atcerēsimies no skolas matemātikas kursa zināmās sinusu un kosinusu teorēmas. Atbrīvojoties no visiem aprēķiniem, mēs nonākam pie šādām formulām:
- S=√ - visiem zināmā Gārņa formula, kur p=(a+b+c)/2 - trijstūra pusperimetrs;
- S=a h/2, kur h ir augstums, kas nolaists uz sānu a;
- S=a b (sin γ)/2, kur γ ir leņķis starp malām a un b;
- S=a b/2, ja ∆ ABC ir taisnstūrveida (šeit a un b ir kājas);
- S=b² (sin (2 β))/2, ja ∆ ABC ir vienādsānu (šeit b ir viens no “gurniem”, β ir leņķis starp trijstūra “gurniem”);
- S=a² √¾, ja ∆ ABC ir vienādmalu (šeit a ir trijstūra mala).
Četrstūris
Lai ir četrstūris ABCD ar AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Lai atrastu patvaļīga 4 stūra laukumu S, tas ir jāsadala ar diagonāli divos trīsstūros, kuru laukumi S1 un S2 parasti nav vienādi.
Pēc tam, izmantojot formulas, aprēķiniet tās un saskaitiet, t.i., S=S1+S2. Tomēr, ja kvadracikls pieder noteiktai klasei, tad tā laukumu var atrast, izmantojot iepriekš zināmās formulas:
- S=(a+c) h/2=eh, ja kvadracikls ir trapece (šeit a un c ir pamati, e ir trapeces viduslīnija, h ir augstums, kas pazemināts uz vienu no trapeces pamatiem ;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ja ABCD ir paralelograms (šeit φ ir leņķis starp malām a un b, h ir augstums, kas pazemināts uz malu a, d1 un d2 ir diagonāles);
- S=a b=d²/2, ja ABCD ir taisnstūris (d ir diagonāle);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ja ABCD ir rombs (a ir romba mala, φ ir viens no tā stūriem, P ir perimetrs);
- S=a²=P²/16=d²/2, ja ABCD ir kvadrāts.
Daudzstūris
Lai atrastu n-stūra laukumu, matemātiķi to sadala vienkāršākajos vienādos trīsstūros, atrod katra no tiem laukumu un pēc tam tos saskaita. Bet, ja daudzstūris pieder regulāro klasei, tad tiek izmantota formula:
S=anh/2=a² n/=P²/, kur n ir daudzstūra virsotņu (vai malu) skaits, a ir n-stūra mala, P ir tā perimetrs, h ir apotēms, ti, segments, kas novilkts no daudzstūra centra uz vienu no tā malām 90° leņķī.
Aplis
Aplis ir ideāls daudzstūris ar bezgalīgu skaitu malu.. Mums ir jāaprēķina izteiksmes robeža labajā pusē daudzstūra laukuma formulā ar malu skaitu n līdz bezgalībai. Šajā gadījumā daudzstūra perimetrs pārvērtīsies par apļa garumu ar rādiusu R, kas būs mūsu apļa robeža, un kļūs vienāds ar P=2 π R. Aizvietojiet šo izteiksmi iepriekš minētajā formulā. Mēs iegūsim:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Atradīsim šīs izteiksmes robežu kā n→∞. Lai to izdarītu, mēs ņemam vērā, ka lim (cos (180°/n)) n→∞ ir vienāds ar cos 0°=1 (lim ir robežas zīme), un lim = lim n→∞ ir vienāds ar 1/π (mēs esam pārveidojuši grādu mēru radiānā, izmantojot attiecību π rad=180°, un piemērojuši pirmo ievērojamo robežu lim (sin x)/x=1 pie x →∞). Aizstājot iegūtās vērtības S pēdējā izteiksmē, mēs nonākam pie labi zināmās formulas:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Vienības
Tiek piemērotas sistēmiskas un nesistēmas mērvienības. Sistēmas vienības tiek sauktas par SI (System International). Tas ir kvadrātmetrs (kvadrātmetrs, m²) un no tā atvasinātās vienības: mm², cm², km².
Kvadrātmilimetros (mm²), piemēram, tie mēra vadu šķērsgriezuma laukumu elektrotehnikā, kvadrātcentimetros (cm²) - sijas šķērsgriezumu konstrukcijas mehānikā, kvadrātmetros (m²). ) - dzīvoklis vai māja, kvadrātkilometros (km²) - teritorija ģeogrāfijā .
Tomēr dažreiz tiek izmantotas nesistēmiskas mērvienības, piemēram: aušana, ar (a), hektārs (ha) un akrs (ac). Mēs sniedzam šādas attiecības:
- 1 pinums \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
- 1 ha = 100 a = 100 akriem = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
- 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 has = 0,405 ha.
Figūras laukuma aprēķināšanaŠī, iespējams, ir viena no grūtākajām problēmām apgabalu teorijā. Skolas ģeometrijā māca atrast tādus ģeometrisko pamatformu laukumus kā, piemēram, trijstūris, rombs, taisnstūris, trapece, aplis utt. Tomēr bieži nākas saskarties ar sarežģītāku figūru laukumu aprēķinu. Tieši šādu problēmu risināšanā ir ļoti ērti izmantot integrālrēķinu.
Definīcija.
Līklīnijas trapecveida forma tiek izsaukta kāda figūra G, kuru ierobežo taisnes y = f(x), y = 0, x = a un x = b, un funkcija f(x) ir nepārtraukta segmentā [a; b] un nemaina savu zīmi uz tā (1. att.). Līklīnijas trapeces laukumu var apzīmēt ar S(G).
Noteiktais integrālis ʃ a b f(x)dx funkcijai f(x), kas ir nepārtraukts un nenegatīvs segmentā [a; b], un ir atbilstošās līknes trapeces laukums.
Tas ir, lai atrastu skaitļa G laukumu, ko ierobežo līnijas y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a un x \u003d b, ir jāaprēķina noteikts integrālis ʃ abf (x) dx.
Pa šo ceļu, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Ja funkcija y = f(x) nav pozitīva uz [a; b], tad līknes trapeces laukumu var atrast pēc formulas S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
1. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Risinājums.
Dotās līnijas veido figūru ABC, kas tiek parādīta ar izšķilšanos rīsi. 2.
Vēlamais laukums ir vienāds ar starpību starp līknes trapeces DACE un kvadrāta DABE laukumiem.
Izmantojot formulu S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), atrodam integrācijas robežas. Lai to izdarītu, mēs atrisinām divu vienādojumu sistēmu:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Tādējādi mums ir x 1 \u003d 1 - apakšējā robeža un x \u003d 2 - augšējā robeža.
Tātad, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadrātvienības).
Atbilde: 11/4 kv. vienības
2. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y \u003d √x; y = 2; x = 9.
Risinājums.
Dotās līnijas veido figūru ABC, kuru no augšas ierobežo funkcijas grafiks
y \u003d √x, un no apakšas funkcijas y \u003d 2 grafiks. Iegūtais skaitlis tiek parādīts, izvelkot rīsi. 3.
Vēlamais laukums ir vienāds ar S = ʃ a b (√x - 2). Atradīsim integrācijas robežas: b = 9, lai atrastu a, atrisinām divu vienādojumu sistēmu:
(y = √x,
(y = 2.
Tādējādi mums ir, ka x = 4 = a ir apakšējā robeža.
Tātad, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadrātvienības).
Atbilde: S = 2 2/3 kv. vienības
3. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Risinājums.
Atzīmēsim funkciju y \u003d x 3 - 4x, ja x ≥ 0. Lai to izdarītu, mēs atrodam atvasinājumu y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pie х = ±2/√3 ≈ 1,1 ir kritiskie punkti.
Ja uzzīmējam kritiskos punktus uz reālās ass un novietojam atvasinājuma zīmes, iegūstam, ka funkcija samazinās no nulles līdz 2/√3 un palielinās no 2/√3 līdz plus bezgalībai. Tad x = 2/√3 ir minimālais punkts, funkcijas y minimālā vērtība ir min = -16/(3√3) ≈ -3.
Noteiksim grafikas krustpunktus ar koordinātu asīm:
ja x \u003d 0, tad y \u003d 0, kas nozīmē, ka A (0; 0) ir krustošanās punkts ar Oy asi;
ja y \u003d 0, tad x 3 - 4x \u003d 0 vai x (x 2 - 4) \u003d 0, vai x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, no kurienes x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nav piemērots, jo x ≥ 0).
Punkti A(0; 0) un B(2; 0) ir grafika krustošanās punkti ar Ox asi.
Dotās līnijas veido OAB figūru, kas tiek parādīta ar izšķilšanos rīsi. 4.
Tā kā funkcija y \u003d x 3 - 4x iegūst (0; 2) negatīvu vērtību, tad
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Mums ir: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 / 4 - 4x 2 / 2)| 0 2 \u003d -4, no kurienes S = 4 kvadrātmetri. vienības
Atbilde: S = 4 kv. vienības
4. piemērs
Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, taisnes x \u003d 0, y \u003d 0 un šīs parabolas pieskari punktā ar abscisu x 0 \u003d 2.
Risinājums.
Pirmkārt, mēs sastādām parabolas y \u003d 2x 2 - 2x + 1 pieskares vienādojumu punktā ar abscisu x₀ \u003d 2.
Tā kā atvasinājums y' = 4x - 2, tad pie x 0 = 2 mēs iegūstam k = y'(2) = 6.
Atrodiet pieskāriena punkta ordinātu: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Tāpēc pieskares vienādojumam ir šāda forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) vai y \u003d 6x - 7.
Izveidosim figūru, ko ierobežo līnijas:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x = 0, y = 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: A(0; 1) - ar Oy asi; ar Vērša asi - krustpunktu nav, jo vienādojumam 2x 2 - 2x + 1 = 0 nav atrisinājumu (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, tas ir, parabolas punkta B virsotnei ir koordinātes B (1/2; 1/2).
Tātad skaitlis, kura laukums ir jānosaka, tiek parādīts ar izšķilšanos rīsi. 5.
Mums ir: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Atrodiet punkta D koordinātas no nosacījuma:
6x - 7 = 0, t.i. x \u003d 7/6, pēc tam līdzstrāva \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Mēs atrodam trīsstūra DBC laukumu, izmantojot formulu S ADBC = 1/2 · DC · BC. Pa šo ceļu,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 kv. vienības
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 / 2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadrātvienības).
Visbeidzot mēs iegūstam: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kv. vienības).
Atbilde: S = 1 1/4 kv. vienības
Mēs esam izskatījuši piemērus noteikto līniju ierobežoto figūru laukumu atrašana. Lai sekmīgi atrisinātu šādas problēmas, jāprot uz plaknes uzbūvēt līniju un funkciju grafikus, atrast līniju krustpunktus, pielietot apgabala atrašanas formulu, kas nozīmē spēju un prasmes aprēķināt noteiktus integrāļus.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.