Ja funkcija f(x) ir kādā intervālā, kas satur punktu A, visu secību atvasinājumi, tad tai var piemērot Teilora formulu:
Kur rn- tā sauktais atlikušais termins vai rindas atlikums, to var novērtēt, izmantojot Lagranža formulu:
, kur skaitlis x ir ietverts starp X Un A.
Ja par kādu vērtību x r n®0 plkst n®¥, tad limitā Teilora formula šai vērtībai pārvēršas par konverģentu formulu Teilora sērija:
Tātad funkcija f(x) aplūkotajā punktā var paplašināt par Teilora sēriju X, Ja:
1) tai ir visu pasūtījumu atvasinājumi;
2) konstruētās rindas šajā punktā saplūst.
Plkst A=0 mēs iegūstam sēriju, ko sauc netālu no Maklarinas:
1. piemērs f(x)= 2x.
Risinājums. Ļaujiet mums atrast funkcijas un tās atvasinājumu vērtības pie X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f¢¢(x) = 2x 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Aizvietojot iegūtās atvasinājumu vērtības Teilora sērijas formulā, mēs iegūstam:
Šīs rindas konverģences rādiuss ir vienāds ar bezgalību, tāpēc šis paplašinājums ir derīgs -¥