Daļējo nevienādību risināšana ar intervālu metodi. Racionālu nevienādību risināšana ar intervālu metodi

Atstarpes metode ir vienkāršs veids, kā atrisināt daļējas racionālās nevienādības. Šis ir nevienādību nosaukums, kas satur racionālas (vai daļēja-racionālas) izteiksmes, kas ir atkarīgas no mainīgā.

1. Apsveriet, piemēram, šādu nevienlīdzību

Intervālu metode ļauj to atrisināt pāris minūtēs.

Šīs nevienlīdzības kreisajā pusē ir daļēja racionāla funkcija. Racionāls, jo nesatur ne saknes, ne sinusus, ne logaritmus – tikai racionālas izteiksmes. Labajā pusē ir nulle.

Intervālu metode ir balstīta uz šādu daļējas racionālas funkcijas īpašību.

Daļēja racionāla funkcija var mainīt zīmi tikai tajos punktos, kur tā ir vienāda ar nulli vai neeksistē.

Atgādiniet, kā tiek faktorēts kvadrātveida trinomāls, tas ir, formas izteiksme.

Kur un ir kvadrātvienādojuma saknes.

Mēs uzzīmējam asi un sakārtojam punktus, kuros pazūd skaitītājs un saucējs.

Saucēja un nulles ir caurdurti punkti, jo šajos punktos funkcija nevienādības kreisajā pusē nav definēta (nevar dalīt ar nulli). Skaitītāja un - nulles ir ieēnotas, jo nevienlīdzība nav stingra. Par un mūsu nevienlīdzība ir apmierināta, jo abas tās daļas ir vienādas ar nulli.

Šie punkti sadala asi intervālos.

Noteiksim daļskaitļu-racionālās funkcijas zīmi mūsu nevienlīdzības kreisajā pusē katrā no šiem intervāliem. Mēs atceramies, ka daļēja racionāla funkcija var mainīt zīmi tikai tajos punktos, kur tā ir vienāda ar nulli vai neeksistē. Tas nozīmē, ka katrā no intervāliem starp punktiem, kur skaitītājs vai saucējs pazūd, izteiksmes zīme nevienlīdzības kreisajā pusē būs nemainīga - vai nu "plus" vai "mīnus".

Un tāpēc, lai noteiktu funkcijas zīmi katrā šādā intervālā, mēs ņemam jebkuru punktu, kas pieder šim intervālam. Tādu, kas mums der.
. Ņemiet, piemēram, un pārbaudiet izteiksmes zīmi nevienādības kreisajā pusē. Katra no "iekavām" ir negatīva. Kreisajā pusē ir zīme.

Nākamais intervāls: . Pārbaudīsim zīmi . Mēs iegūstam, ka kreisā puse ir mainījusi zīmi uz .

Ņemsim. Ja izteiksme ir pozitīva, tātad tā ir pozitīva visā intervālā no līdz .

Attiecībā uz , nevienlīdzības kreisā puse ir negatīva.

Un visbeidzot class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Mēs esam noskaidrojuši, kādos intervālos izteiksme ir pozitīva. Atliek uzrakstīt atbildi:

Atbilde:.

Lūdzu, ņemiet vērā: zīmes uz intervāliem mainās. Tas notika tāpēc, izejot cauri katram punktam, tieši viens no lineārajiem faktoriem mainīja zīmi, bet pārējie saglabāja to nemainīgu.

Mēs redzam, ka intervāla metode ir ļoti vienkārša. Lai atrisinātu daļēju racionālu nevienādību ar intervālu metodi, mēs to ievietojam formā:

Or class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, vai vai .

(kreisajā pusē - daļēja-racionāla funkcija, labajā pusē - nulle).

Tad - atzīmējam uz skaitļu līnijas punktus, kuros skaitītājs vai saucējs pazūd.
Šie punkti sadala visu skaitļu līniju intervālos, uz kuriem katra daļskaitļa-racionālā funkcija saglabā savu zīmi.
Atliek tikai noskaidrot tā zīmi katrā intervālā.
Mēs to darām, pārbaudot izteiksmes zīmi jebkurā punktā noteiktā intervālā. Pēc tam mēs pierakstām atbildi. Tas ir viss.

Bet rodas jautājums: vai zīmes vienmēr mainās? Nē ne vienmēr! Jāuzmanās, lai zīmes netiktu izvietotas mehāniski un nepārdomāti.

2. Apskatīsim vēl vienu nevienlīdzību.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Mēs atkal novietojam punktus uz ass. Punkti un ir pārdurti, jo tie ir saucēja nulles. Punkts ir arī caurdurts, jo nevienlīdzība ir stingra.

Ja skaitītājs ir pozitīvs, abi saucēja faktori ir negatīvi. To ir viegli pārbaudīt, ņemot jebkuru skaitli no noteiktā intervāla, piemēram, . Kreisajā pusē ir zīme:

Kad skaitītājs ir pozitīvs; pirmais faktors saucējā ir pozitīvs, otrais faktors ir negatīvs. Kreisajā pusē ir zīme:

Kad situācija ir tāda pati! Skaitītājs ir pozitīvs, pirmais faktors saucējā ir pozitīvs, otrais ir negatīvs. Kreisajā pusē ir zīme:

Visbeidzot, ar class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Atbilde:.

Kāpēc tika pārtraukta varoņu maiņa? Jo, ejot cauri punktam, par to "atbild" reizinātājs zīmi nemainīja. Līdz ar to arī visa mūsu nevienlīdzības kreisā puse nemainīja zīmi.

Secinājums: ja lineārais koeficients ir pāra pakāpē (piemēram, kvadrātā), tad, ejot caur punktu, izteiksmes zīme kreisajā pusē nemainās. Nepāra pakāpes gadījumā zīme, protams, mainās.

3. Apskatīsim sarežģītāku gadījumu. Tas atšķiras no iepriekšējās ar to, ka nevienlīdzība nav stingra:

Kreisā puse ir tāda pati kā iepriekšējā uzdevumā. Zīmju attēls būs tāds pats:

Varbūt atbilde būs tāda pati? Nē! Risinājums tiek pievienots Tas ir tāpēc, ka gan kreisajā, gan labajā nevienādības daļa ir vienāda ar nulli, tāpēc šis punkts ir risinājums.

Atbilde:.

Problēmā par matemātikas eksāmenu ar šo situāciju bieži nākas saskarties. Šeit pretendenti iekrīt slazdā un zaudē punktus. Esi uzmanīgs!

4. Ko darīt, ja skaitītāju vai saucēju nevar iekļaut lineārajos faktoros? Apsveriet šo nevienlīdzību:

Kvadrātveida trinomu nevar faktorizēt: diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Bet šis ir labs! Tas nozīmē, ka izteiksmes zīme visiem ir vienāda un konkrēti tā ir pozitīva. Vairāk par to varat lasīt rakstā par kvadrātfunkcijas īpašībām.

Un tagad mēs varam sadalīt abas mūsu nevienlīdzības puses ar vērtību, kas ir pozitīva visiem. Mēs nonākam pie līdzvērtīgas nevienlīdzības:

Kas ir viegli atrisināms ar intervāla metodi.

Pievērsiet uzmanību – abas nevienlīdzības puses sadalījām ar vērtību, par kuru droši zinājām, ka tā ir pozitīva. Protams, vispārīgā gadījumā nevajadzētu reizināt vai dalīt nevienādību ar mainīgo, kura zīme nav zināma.

5 . Apsveriet citu nevienlīdzību, kas šķiet diezgan vienkārša:

Tāpēc es vēlos to reizināt ar . Bet mēs jau esam gudri, un mēs to nedarīsim. Galu galā tas var būt gan pozitīvs, gan negatīvs. Un mēs zinām, ka, ja abas nevienlīdzības daļas reizina ar negatīvu vērtību, nevienlīdzības zīme mainās.

Mēs rīkosimies savādāk - savāksim visu vienā daļā un savedīsim līdz kopsaucējam. Labajā pusē paliks nulle:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Un pēc tam - piemērojams intervāla metode.

Un šodien ne visi var atrisināt racionālu nevienlīdzību. Precīzāk, ne tikai katrs var izlemt. Tikai daži cilvēki to var izdarīt.
Kļičko

Šī nodarbība būs smaga. Tik grūts, ka tikai Izredzētie sasniegs tā beigas. Tāpēc pirms lasīšanas iesaku izņemt sievietes, kaķus, grūtnieces un ...

Labi, patiesībā tas ir pavisam vienkārši. Pieņemsim, ka esat apguvis intervāla metodi (ja neesat to apguvis, iesaku atgriezties un izlasīt) un iemācījies atrisināt nevienādības formā $P\left(x \right) \gt 0$, kur $P \left(x \right)$ ir polinoms vai polinomu reizinājums.

Es ticu, ka jums nebūs grūti atrisināt, piemēram, šādu spēli (starp citu, izmēģiniet to iesildīšanai):

\[\begin(līdzināt) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu un ņemsim vērā ne tikai polinomus, bet arī tā sauktās formas racionālās daļas:

kur $P\left(x \right)$ un $Q\left(x \right)$ ir tie paši polinomi formā $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ vai šādu polinomu reizinājums.

Tā būs racionāla nevienlīdzība. Pamatpunkts ir mainīgā $x$ klātbūtne saucējā. Piemēram, šeit ir racionālas nevienlīdzības:

\[\begin(līdzināt) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(līdzināt)\]

Un šī nav racionāla, bet visizplatītākā nevienlīdzība, kas tiek atrisināta ar intervāla metodi:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Raugoties uz priekšu, es teikšu uzreiz: ir vismaz divi veidi, kā atrisināt racionālas nevienlīdzības, taču tie visi vienā vai otrā veidā tiek reducēti uz mums jau zināmo intervālu metodi. Tāpēc pirms šo metožu analīzes atcerēsimies vecos faktus, pretējā gadījumā no jaunā materiāla nebūs jēgas.

Kas jums jau ir jāzina

Nav daudz svarīgu faktu. Mums tiešām vajag tikai četrus.

Saīsinātās reizināšanas formulas

Jā, jā: tie mūs vajā visā skolas matemātikas programmā. Un arī universitātē. Šo formulu ir diezgan daudz, taču mums ir nepieciešams tikai šāds:

\[\begin(līdzināt) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\pa labi). \\ \end(līdzināt)\]

Pievērsiet uzmanību pēdējām divām formulām - tā ir kubu summa un starpība (nevis summas vai starpības kubs!). Tos ir viegli atcerēties, ja pamanāt, ka zīme pirmajā iekavā ir tāda pati kā zīme sākotnējā izteiksmē, bet otrajā iekavā tā ir pretēja zīmei sākotnējā izteiksmē.

Lineārie vienādojumi

Šie ir vienkāršākie vienādojumi formā $ax+b=0$, kur $a$ un $b$ ir parastie skaitļi un $a\ne 0$. Šo vienādojumu ir viegli atrisināt:

\[\begin(līdzināt) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(līdzināt)\]

Atzīmēju, ka mums ir tiesības dalīt ar koeficientu $a$, jo $a\ne 0$. Šī prasība ir diezgan loģiska, jo ar $a=0$ mēs iegūstam šo:

Pirmkārt, šajā vienādojumā nav mainīgā $x$. Vispārīgi runājot, tam nevajadzētu mūs mulsināt (tas notiek, teiksim, ģeometrijā un diezgan bieži), bet tomēr mēs vairs neesam lineārs vienādojums.

Otrkārt, šī vienādojuma risinājums ir atkarīgs tikai no koeficienta $b$. Ja arī $b$ ir nulle, tad mūsu vienādojums ir $0=0$. Šī vienlīdzība vienmēr ir patiesa; tāpēc $x$ ir jebkurš skaitlis (parasti raksta kā $x\in \mathbb(R)$). Ja koeficients $b$ nav vienāds ar nulli, tad vienādība $b=0$ nekad nav izpildīta, t.i. nav atbilžu (rakstīts $x\in \varnothing $ un lasīts "risinājumu kopa ir tukša").

Lai izvairītos no visām šīm sarežģītībām, mēs vienkārši pieņemam $a\ne 0$, kas nekādā veidā neierobežo mūs no turpmākām pārdomām.

Kvadrātvienādojumi

Atgādināšu, ka to sauc par kvadrātvienādojumu:

Šeit pa kreisi ir otrās pakāpes polinoms un atkal $a\ne 0$ (pretējā gadījumā kvadrātvienādojuma vietā iegūstam lineāru). Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti šādi vienādojumi:

Ja $D \gt 0$, mēs iegūstam divas dažādas saknes;
Ja $D=0$, tad sakne būs viena, bet otrās daudzkārtības (kas tas par daudzkārtību un kā to ņemt vērā - par to vēlāk). Vai arī mēs varam teikt, ka vienādojumam ir divas identiskas saknes;
$D \lt 0$ vispār nav sakņu, un polinoma $a((x)^(2))+bx+c$ zīme jebkuram $x$ sakrīt ar koeficienta $a zīmi. $. Tas, starp citu, ir ļoti noderīgs fakts, ko algebras nodarbībās nez kāpēc aizmirst pateikt.

Pašas saknes aprēķina pēc labi zināmas formulas:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Līdz ar to, starp citu, ierobežojumi attiecībā uz diskriminantu. Galu galā negatīva skaitļa kvadrātsakne neeksistē. Kas attiecas uz saknēm, tad daudziem skolēniem galvā ir baigais bardaks, tāpēc speciāli ierakstīju veselu stundu: kas ir sakne algebrā un kā to aprēķināt - ļoti iesaku izlasīt. :)

Darbības ar racionālām daļām

Viss, kas tika rakstīts iepriekš, jūs jau zināt, ja esat pētījis intervālu metodi. Bet tam, ko mēs tagad analizēsim, pagātnē nav analogu - tas ir pilnīgi jauns fakts.

Definīcija. Racionālā daļa ir formas izteiksme

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

kur $P\left(x \right)$ un $Q\left(x \right)$ ir polinomi.

Ir skaidrs, ka no šādas daļskaitļa ir viegli iegūt nevienādību - pietiek tikai piedēvēt zīmi “lielāks par” vai “mazāks par”. Un nedaudz tālāk mēs atklāsim, ka šādu problēmu risināšana ir prieks, tur viss ir ļoti vienkārši.

Problēmas sākas, ja vienā izteiksmē ir vairākas šādas daļskaitļus. Tās ir jāsamazina līdz kopsaucējam – un tieši šajā brīdī tiek pieļauts liels skaits aizskarošu kļūdu.

Tāpēc, lai veiksmīgi atrisinātu racionālus vienādojumus, ir stingri jāapgūst divas prasmes:

Polinoma $P\left(x \right)$ faktorizācija;
Faktiski daļskaitļu apvienošana līdz kopsaucējam.

Kā faktorizēt polinomu? Ļoti vienkārši. Ļaujiet mums iegūt formas polinomu

Pielīdzināsim to nullei. Mēs iegūstam $n$-tās pakāpes vienādojumu:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+(a)_(0))=0\]

Pieņemsim, ka mēs atrisinājām šo vienādojumu un ieguvām saknes $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (neuztraucieties: vairumā gadījumu nebūs vairāk nekā divas no šīm saknēm). Šajā gadījumā mūsu sākotnējo polinomu var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(līdzināt)\]

Tas ir viss! Lūdzu, ņemiet vērā: vadošais koeficients $((a)_(n))$ nekur nav pazudis - tas būs atsevišķs faktors iekavu priekšā, un nepieciešamības gadījumā to var ievietot jebkurā no šīm iekavām (prakse rāda ka ar $((a)_ (n))\ne \pm 1$ starp saknēm gandrīz vienmēr ir daļskaitļi).

Uzdevums. Vienkāršojiet izteicienu:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Lēmums. Vispirms apskatīsim saucējus: tie visi ir lineāri binomiāli, un šeit nav ko faktorizēt. Tātad skaitītājus faktorizēsim:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\right)\left(x-1\right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \labais)\kreisais (2-5x \labais). \\\beigas(līdzināt)\]

Lūdzu, ņemiet vērā: otrajā polinomā vecākais koeficients "2", pilnībā saskaņā ar mūsu shēmu, vispirms parādījās iekavas priekšā un pēc tam tika iekļauts pirmajā iekavā, jo tur iznāca daļa.

Tas pats notika arī trešajā polinomā, tikai tur arī terminu secība ir sajaukta. Tomēr koeficients “−5” tika iekļauts otrajā iekavā (atcerieties: jūs varat ievadīt koeficientu vienā un tikai vienā iekava!), kas mūs pasargāja no neērtībām, kas saistītas ar daļveida saknēm.

Kas attiecas uz pirmo polinomu, tur viss ir vienkārši: tā saknes tiek meklētas vai nu standarta veidā, izmantojot diskriminantu, vai arī izmantojot Vieta teorēmu.

Atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes un pārrakstīsim to ar skaitītājiem, kas sadalīti faktoros:

\[\begin(matrica) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5) \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrica)\]

Atbilde: $5x+4$.

Kā redzat, nekas sarežģīts. Mazliet no 7.-8.klases matemātikas un viss. Visu transformāciju jēga ir pārvērst sarežģītu un biedējošu izteiksmi par kaut ko vienkāršu un viegli lietojamu.

Tomēr ne vienmēr tas tā būs. Tāpēc tagad mēs apsvērsim nopietnāku problēmu.

Bet vispirms izdomāsim, kā divas daļskaitļus apvienot līdz kopsaucējam. Algoritms ir ļoti vienkāršs:

Faktorizēt abus saucējus;
Apsveriet pirmo saucēju un pievienojiet tam faktorus, kas atrodas otrajā saucējā, bet nav pirmajā saucējā. Rezultātā iegūtais produkts būs kopsaucējs;
Uzziniet, kādu faktoru trūkst katrai no sākotnējām daļskaitļiem, lai saucēji kļūtu vienādi ar kopējo.

Varbūt šis algoritms jums šķitīs tikai teksts, kurā ir “daudz burtu”. Tāpēc apskatīsim konkrētu piemēru.

Uzdevums. Vienkāršojiet izteicienu:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Lēmums. Šādus apjomīgus uzdevumus vislabāk atrisināt pa daļām. Uzrakstīsim, kas ir pirmajā iekavā:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Atšķirībā no iepriekšējās problēmas, šeit saucēji nav tik vienkārši. Faktorizēsim katru no tiem.

Kvadrātveida trinomu $((x)^(2))+2x+4$ nevar faktorizēt, jo vienādojumam $((x)^(2))+2x+4=0$ nav sakņu (diskriminants ir negatīvs) . Mēs atstājam to nemainīgu.

Otrais saucējs, kubiskais polinoms $((x)^(3))-8$, rūpīgāk izpētot, ir kubu atšķirība, un to var viegli sadalīt, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kreisais(x-2 \labais)\kreisais(((x) ^(2))+2x+4 \pa labi)\]

Neko citu nevar ņemt vērā, jo pirmajā iekava satur lineāro binomiālu, bet otrajā – mums jau pazīstamu konstrukciju, kurai nav īstu sakņu.

Visbeidzot, trešais saucējs ir lineārs binomiāls, ko nevar sadalīt. Tādējādi mūsu vienādojums būs šāds:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \pa labi))-\frac(1)(x-2)\]

Ir pilnīgi skaidrs, ka $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ būs kopsaucējs, un, lai samazinātu visas daļskaitļus līdz tam, jūs jāreizina pirmā daļa ar $\left(x-2 \right)$ un pēdējā ar $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Tad atliek tikai paņemt līdzi:

\[\begin(matrica) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ pa labi))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \labais))(\kreisais(x-2 \labais)\kreisais(((x)^(2))+2x+4 \labais))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \labais))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ pa kreisi(((x)^(2))+2x+4 \pa labi)). \\ \end(matrica)\]

Pievērsiet uzmanību otrajai rindai: kad saucējs jau ir kopīgs, t.i. trīs atsevišķu daļskaitļu vietā mēs rakstījām vienu lielu, nevajadzētu uzreiz atbrīvoties no iekavām. Labāk ir uzrakstīt papildu rindiņu un atzīmēt, ka, teiksim, pirms trešās daļskaitļa bija mīnuss - un tas nekur nepazudīs, bet “uzkarās” skaitītājā iekavas priekšā. Tas ietaupīs no daudzām kļūdām.

Nu, pēdējā rindā ir lietderīgi skaitītāju faktorizēt. Turklāt šis ir precīzs kvadrāts, un mums atkal nāk palīgā saīsinātās reizināšanas formulas. Mums ir:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Tagad rīkosimies ar otro kronšteinu tādā pašā veidā. Šeit es vienkārši uzrakstīšu vienādību ķēdi:

\[\begin(matrica) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((() x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrica)\]

Mēs atgriežamies pie sākotnējās problēmas un aplūkojam produktu:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Atbilde: \[\frac(1)(x+2)\].

Šīs problēmas nozīme ir tāda pati kā iepriekšējai: parādīt, cik daudz racionālas izteiksmes var vienkāršot, ja saprātīgi pieiet to transformācijai.

Un tagad, kad jūs to visu zināt, pāriesim pie galvenās šīsdienas nodarbības tēmas - daļēju racionālu nevienlīdzību risināšanas. Turklāt pēc šādas sagatavošanās pašas nevienlīdzības klikšķinās kā rieksti. :)

Galvenais racionālo nevienlīdzību risināšanas veids

Ir vismaz divas pieejas racionālu nevienlīdzību risināšanai. Tagad mēs apsvērsim vienu no tiem - to, kas ir vispārpieņemts skolas matemātikas kursā.

Bet vispirms atzīmēsim svarīgu detaļu. Visas nevienlīdzības ir sadalītas divos veidos:

Stingri: $f\left(x \right) \gt 0$ vai $f\left(x \right) \lt 0$;
Nestingrs: $f\left(x \right)\ge 0$ vai $f\left(x \right)\le 0$.

Otrā tipa nevienlīdzības ir viegli reducētas uz pirmo, kā arī vienādojums:

Šis mazais "papildinājums" $f\left(x \right)=0$ noved pie tādas nepatīkamas lietas kā aizpildītie punkti - mēs tos satikām atpakaļ intervāla metodē. Pretējā gadījumā starp stingru un nevienlīdzību nav atšķirību, tāpēc analizēsim universālo algoritmu:

Savāc visus elementus, kas nav nulle, vienā nevienlīdzības zīmes pusē. Piemēram, pa kreisi;

Visas daļskaitļus saliek kopsaucējā (ja tādas ir vairākas daļdaļas), saliek līdzīgas. Pēc tam, ja iespējams, ieskaitiet skaitītāju un saucēju. Tā vai citādi mēs iegūstam nevienādību formā $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, kur atzīme ir nevienlīdzības zīme.

Pielīdziniet skaitītāju nullei: $P\left(x \right)=0$. Mēs atrisinām šo vienādojumu un iegūstam saknes $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Tad mēs prasām ka saucējs nebija vienāds ar nulli: $Q\left(x \right)\ne 0$. Protams, būtībā mums ir jāatrisina vienādojums $Q\left(x \right)=0$, un mēs iegūstam saknes $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (reālos uzdevumos diez vai būs vairāk par trim šādām saknēm).

Mēs atzīmējam visas šīs saknes (gan ar zvaigznītēm, gan bez tām) uz vienas skaitļu līnijas, un saknes bez zvaigznēm tiek nokrāsotas, un tās ar zvaigznēm tiek izspiestas.

Mēs ievietojam plusa un mīnusa zīmes, atlasām vajadzīgos intervālus. Ja nevienādībai ir forma $f\left(x \right) \gt 0$, tad atbilde būs intervāli, kas atzīmēti ar "plus". Ja $f\left(x \right) \lt 0$, tad mēs skatāmies intervālus ar "mīnusiem".

Prakse rāda, ka vislielākās grūtības rada 2. un 4. punkts - kompetentas transformācijas un pareiza skaitļu sakārtošana augošā secībā. Pēdējā posmā esiet īpaši uzmanīgs: mēs vienmēr izvietojam zīmes, pamatojoties uz pēdējā uzrakstītā nevienādība, pirms pāriet uz vienādojumiem. Šis ir universāls noteikums, kas mantots no intervāla metodes.

Tātad ir shēma. Trenējamies.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Lēmums. Mums ir stingra nevienādība formā $f\left(x \right) \lt 0$. Acīmredzot mūsu shēmas 1. un 2. punkts jau ir pabeigts: visi nevienlīdzības elementi ir savākti kreisajā pusē, nekas nav jāsamazina līdz kopsaucējam. Tātad pāriesim pie trešā punkta.

Iestatiet skaitītāju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & x-3=0; \\ &x=3. \end(līdzināt)\]

Un saucējs:

\[\begin(līdzināt) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(līdzināt)\]

Šajā vietā daudzi iestrēgst, jo teorētiski jāpieraksta $x+7\ne 0$, kā to prasa ODZ (ar nulli dalīt nevar, tas arī viss). Bet galu galā nākotnē mēs izliksim punktus, kas iegūti no saucēja, tāpēc jums nevajadzētu vēlreiz sarežģīt aprēķinus - visur rakstiet vienādības zīmi un neuztraucieties. Neviens par to punktus neatņems. :)

Ceturtais punkts. Iegūtās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas:
Visi punkti ir pārdurti, jo nevienlīdzība ir stingra
Piezīme: visi punkti ir caurdurti, jo sākotnējā nevienlīdzība ir stingra. Un šeit vairs nav nozīmes: šie punkti nāca no skaitītāja vai no saucēja.

Nu, paskaties uz zīmēm. Ņemiet jebkuru skaitli $((x)_(0)) \gt 3$. Piemēram, $((x)_(0))=100$ (bet jūs tikpat labi varēja ņemt $((x)_(0))=3,1$ vai $((x)_(0)) = 1 000 000 $). Mēs iegūstam:

Tātad pa labi no visām saknēm mums ir pozitīva zona. Un, izejot cauri katrai saknei, zīme mainās (ne vienmēr tā būs, bet par to vēlāk). Tāpēc mēs pārejam pie piektā punkta: ievietojam zīmes un izvēlamies pareizo:

Mēs atgriežamies pie pēdējās nevienādības, kas bija pirms vienādojumu risināšanas. Patiesībā tas sakrīt ar sākotnējo, jo šajā uzdevumā mēs neveicām nekādas transformācijas.

Tā kā ir jāatrisina nevienādība formā $f\left(x \right) \lt 0$, es ieēnoju intervālu $x\in \left(-7;3 \right)$ - tas ir vienīgais. atzīmēts ar mīnusa zīmi. Šī ir atbilde.

Atbilde: $x\in \left(-7;3 \right)$

Tas ir viss! Vai tas ir grūti? Nē, tas nav grūti. Patiešām, tas bija viegls uzdevums. Tagad nedaudz sarežģīsim misiju un apsvērsim "iedomātāku" nevienlīdzību. Risinot to, es vairs nesniegšu tik detalizētus aprēķinus - es vienkārši iezīmēšu galvenos punktus. Kopumā sakārtosim tā, kā to būtu darījuši patstāvīgā darbā vai eksāmenā. :)

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Lēmums. Šī ir nevienādība formā $f\left(x \right)\ge 0$. Visi elementi, kas nav nulle, tiek savākti kreisajā pusē, nav dažādu saucēju. Pāriesim pie vienādojumiem.

Skaitītājs:

\[\begin(līdzināt) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\labā bultiņa ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\labā bultiņa ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(līdzināt)\]

Saucējs:

\[\begin(līdzināt) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(līdzināt)\]

Nezinu, kāds izvirtulis radīja šo problēmu, bet saknes nebija tik labi: tās būs grūti sakārtot skaitļu rindā. Un, ja ar sakni $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ viss ir vairāk vai mazāk skaidrs (tas ir vienīgais pozitīvais skaitlis - tas būs labajā pusē), tad $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ un $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ nepieciešama papildu izpēte: kurš no tiem ir lielāks?

To var uzzināt, piemēram:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Es ceru, ka nav nepieciešams paskaidrot, kāpēc skaitliskā daļa $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Ja nepieciešams, iesaku atcerēties, kā veikt darbības ar daļskaitļiem.

Un mēs atzīmējam visas trīs saknes uz skaitļu līnijas:
Punkti no skaitītāja ir noēnoti, no saucēja tie ir izgriezti
Mēs izlikām zīmes. Piemēram, varat ņemt $((x)_(0))=1$ un uzzināt zīmi šajā vietā:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(līdzināt)\]

Pēdējā nevienādība pirms vienādojumiem bija $f\left(x \right)\ge 0$, tāpēc mūs interesē plus zīme.

Mēs saņēmām divus komplektus: viens ir parasts segments, bet otrs ir atvērts stars uz skaitļu līnijas.

Atbilde: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Svarīga piezīme par skaitļiem, kurus mēs aizstājam, lai noskaidrotu zīmi galējā labajā intervālā. Nav nepieciešams aizstāt skaitli, kas atrodas tuvāk galējai labējai saknei. Varat ņemt miljardus vai pat "plus-bezgalību" - šajā gadījumā polinoma zīmi iekavās, skaitītājā vai saucējā nosaka tikai vadošā koeficienta zīme.

Vēlreiz apskatīsim funkciju $f\left(x \right)$ no pēdējās nevienādības:

Tas satur trīs polinomus:

\[\begin(līdzināt) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(līdzināt)\]

Tie visi ir lineāri binomi, un tiem visiem ir pozitīvi koeficienti (7, 11 un 13). Tāpēc, aizvietojot ļoti lielus skaitļus, arī paši polinomi būs pozitīvi. :)

Šis noteikums var šķist pārāk sarežģīts, bet tikai sākumā, kad mēs analizējam ļoti vienkāršus uzdevumus. Nopietnās nevienlīdzībās "plus-bezgalības" aizstāšana ļaus mums izdomāt zīmes daudz ātrāk nekā standarta $((x)_(0))=100 $.

Ar šādiem izaicinājumiem mēs saskarsimies pavisam drīz. Bet vispirms apskatīsim alternatīvu veidu, kā atrisināt daļējas racionālās nevienlīdzības.

Alternatīvs veids

Šo tehniku man ieteica viens no maniem studentiem. Pats to nekad neesmu lietojis, bet prakse ir parādījusi, ka daudziem skolēniem tiešām ir ērtāk šādi risināt nevienlīdzības.

Tātad sākotnējie dati ir tādi paši. Mums ir jāatrisina daļēja racionāla nevienlīdzība:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Padomāsim: kāpēc polinoms $Q\left(x \right)$ ir "sliktāks" par polinomu $P\left(x \right)$? Kāpēc mums ir jāņem vērā atsevišķas sakņu grupas (ar un bez zvaigznītes), jādomā par štancēšanas punktiem utt.? Tas ir vienkārši: daļskaitlim ir definīcijas apgabals, saskaņā ar kuru daļai ir jēga tikai tad, ja tās saucējs atšķiras no nulles.

Citādi starp skaitītāju un saucēju nav atšķirību: arī to pielīdzinām nullei, meklējam saknes, pēc tam atzīmējam skaitļa rindā. Tad kāpēc gan neaizstāt daļskaitļu joslu (patiesībā dalījuma zīmi) ar parasto reizināšanu un visas IDD prasības neuzrakstīt kā atsevišķu nevienādību? Piemēram, šādi:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\(\begin(līdzināt) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(līdzināt) \right.\]

Lūdzu, ņemiet vērā: šī pieeja ļaus samazināt problēmu līdz intervālu metodei, taču tā nemaz nesarežģīs risinājumu. Galu galā, jebkurā gadījumā, mēs pielīdzināsim polinomu $Q\left(x \right)$ ar nulli.

Apskatīsim, kā tas darbojas reālos uzdevumos.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Lēmums. Tātad, pāriesim pie intervāla metodes:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\labā bultiņa \pa kreisi\( \begin (līdzināt) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(līdzināt) \right.\]

Pirmā nevienlīdzība tiek atrisināta elementāri. Vienkārši iestatiet katru iekava uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & x+8=0\bultiņa pa labi ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Labā bultiņa ((x)_(2))=11. \\ \end(līdzināt)\]

Ar otro nevienlīdzību viss ir arī vienkāršs:

Uz reālās līnijas atzīmējam punktus $((x)_(1))$ un $((x)_(2))$. Tie visi ir caurdurti, jo nevienlīdzība ir stingra:
Pareizais punkts izrādījās divreiz pārdurts. Tas ir labi.
Pievērsiet uzmanību punktam $x=11$. Izrādās, ka tas ir “divreiz izgrauzts”: no vienas puses, mēs to izgrebjam nevienlīdzības smaguma dēļ, no otras puses, ODZ papildu prasības dēļ.

Jebkurā gadījumā tas būs tikai caurdurts punkts. Tāpēc mēs ievietojām zīmes nevienādībai $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - pēdējo, ko redzējām pirms vienādojumu risināšanas:

Mūs interesē pozitīvie reģioni, jo mēs atrisinām formas $f\left(x \right) \gt 0$ nevienādību un tos iekrāsosim. Atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Izmantojot šo risinājumu kā piemēru, es vēlos jūs brīdināt par izplatītu kļūdu iesācēju studentu vidū. Proti: nekad neatveriet iekavas nevienlīdzībās! Gluži pretēji, mēģiniet visu ņemt vērā - tas vienkāršos risinājumu un ietaupīs no daudzām problēmām.

Tagad mēģināsim kaut ko grūtāku.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Lēmums. Šī ir nevienādība formā $f\left(x \right)\le 0$, tāpēc šeit rūpīgi jāuzrauga aizpildītie punkti.

Pāriesim pie intervāla metodes:

\[\left\( \begin(līdzināt) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(līdzināt) \right.\]

Pārejam pie vienādojuma:

\[\begin(līdzināt) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\bultiņa pa labi ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\labā bultiņa ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\labā bultiņa ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(līdzināt)\]

Mēs ņemam vērā papildu prasību:

Mēs atzīmējam visas iegūtās saknes uz skaitļu līnijas:
Ja punkts ir gan izspiests, gan aizpildīts vienlaikus, tas tiek uzskatīts par perforētu.
Atkal divi punkti "pārklājas" viens ar otru - tas ir normāli, tā būs vienmēr. Ir tikai svarīgi saprast, ka punkts, kas atzīmēts gan kā izspiests, gan aizpildīts, patiesībā ir izspiešanas punkts. Tie. "Izgrauzt" ir spēcīgāka darbība nekā "pārkrāsošana".

Tas ir absolūti loģiski, jo ar punkciju mēs atzīmējam punktus, kas ietekmē funkcijas zīmi, bet paši nepiedalās atbildē. Un, ja kādā brīdī numurs vairs neatbilst mums (piemēram, tas neietilpst ODZ), mēs to izdzēšam no izskatīšanas līdz pašām uzdevuma beigām.

Vispār beidziet filozofēt. Mēs sakārtojam zīmes un krāsojam tos intervālus, kas atzīmēti ar mīnusa zīmi:

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Un vēlreiz es gribēju pievērst jūsu uzmanību šim vienādojumam:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Vēlreiz: nekad neatveriet iekavas šādos vienādojumos! Jūs tikai padarāt to grūtāku sev. Atcerieties: produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Līdz ar to šis vienādojums vienkārši “sairst” vairākos mazākos, ko mēs atrisinājām iepriekšējā uzdevumā.

Ņemot vērā sakņu daudzveidību

No iepriekšējām problēmām labi redzams, ka tieši nestingrās nevienādības ir visgrūtākās, jo tajās jāseko līdzi aizpildītajiem punktiem.

Bet pasaulē ir vēl lielāks ļaunums – tās ir vairākas nevienlīdzības saknes. Te jau ir jāseko nevis kādiem tur aizpildītiem punktiem - te nevienlīdzības zīme var pēkšņi nemainīties, ejot cauri šiem pašiem punktiem.

Mēs šajā nodarbībā neko tādu vēl neesam apsvēruši (lai gan līdzīga problēma bieži tika sastapta intervāla metodē). Tātad, ieviesīsim jaunu definīciju:

Definīcija. Vienādojuma sakne $((\left(x-a \right))^(n))=0$ ir vienāda ar $x=a$ un tiek saukta par $n$th daudzkārtības sakni.

Patiesībā mūs īpaši neinteresē precīza daudzveidības vērtība. Svarīgi ir tikai tas, vai šis skaitlis $n$ ir pāra vai nepāra. Jo:

Ja $x=a$ ir pāra daudzkārtības sakne, tad, ejot cauri, funkcijas zīme nemainās;
Un otrādi, ja $x=a$ ir nepāra daudzveidības sakne, tad funkcijas zīme mainīsies.

Īpašs nepāra daudzveidības saknes gadījums ir visas iepriekšējās šajā nodarbībā aplūkotās problēmas: tur daudzkārtība visur ir vienāda ar vienu.

Un tālāk. Pirms sākam risināt problēmas, vēlos vērst jūsu uzmanību uz vienu smalkumu, kas pieredzējušam studentam šķiet pašsaprotams, bet daudzus iesācējus iedzen stuporā. Proti:

Daudzkārtības sakne $n$ rodas tikai tad, ja visa izteiksme tiek palielināta līdz šādai pakāpei: $((\left(x-a \right))^(n))$, nevis $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Vēlreiz: iekava $((\left(x-a \right))^(n))$ dod mums daudzkārtības $n$ sakni $x=a$, bet iekava $\left(((x)^( n)) -a \right)$ vai, kā tas bieži notiek, $(a-((x)^(n)))$ dod mums sakni (vai divas saknes, ja $n$ ir pāra) no pirmās reizinājuma , neatkarīgi no tā, kas ir vienāds ar $n$.

Salīdzināt:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Šeit viss ir skaidrs: visa kronšteina tika pacelta līdz piektajai pakāpei, tāpēc izejā mēs ieguvām piektās pakāpes sakni. Un tagad:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mums ir divas saknes, bet abām ir pirmā daudzveidība. Vai arī šeit ir vēl viens:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\RightArrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Un nemulsina desmitā pakāpe. Galvenais ir tas, ka 10 ir pāra skaitlis, tāpēc izejā ir divas saknes, un abām atkal ir pirmā reizinājums.

Kopumā esiet piesardzīgs: daudzveidība notiek tikai tad, kad pakāpe attiecas uz visu iekavu, nevis tikai mainīgo.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \pa labi))^(5)))\ge 0\]

Lēmums. Mēģināsim to atrisināt alternatīvā veidā – pārejot no konkrētā uz preci:

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(līdzināt )\pa labi.\]

Mēs apstrādājam pirmo nevienlīdzību, izmantojot intervāla metodi:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left() x+7 \pa labi))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Labā bultiņa x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Labā bultiņa x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\labā bultiņa x=-7\left(5k \right). \\ \end(līdzināt)\]

Turklāt mēs atrisinām otro nevienlīdzību. Patiesībā mēs to jau esam atrisinājuši, bet, lai recenzenti risinājumā neatrastu vainas, labāk to atrisināt vēlreiz:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Ņemiet vērā, ka pēdējā nevienādībā nav daudzkārtību. Patiešām: kāda starpība, cik reižu skaitļu rindā izsvītrot punktu $x=-7$? Vismaz vienu reizi, vismaz piecas reizes - rezultāts būs tāds pats: caurdurts punkts.

Atzīmēsim visu, ko ieguvām skaitļu rindā:

Kā jau teicu, punkts $x=-7$ galu galā tiks izsists. Daudzkārtības ir sakārtotas, pamatojoties uz nevienādības atrisinājumu ar intervālu metodi.

Atliek novietot zīmes:

Tā kā punkts $x=0$ ir pāra daudzveidības sakne, zīme, ejot cauri tam, nemainās. Atlikušajiem punktiem ir nepāra daudzveidība, un ar tiem viss ir vienkārši.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Vēlreiz pievērsiet uzmanību $x=0$. Vienmērīgās daudzveidības dēļ rodas interesants efekts: viss pa kreisi no tā tiek nokrāsots, pa labi - arī, un pats punkts ir pilnībā nokrāsots.

Līdz ar to, ierakstot atbildi, tas nav jāizolē. Tie. nav jāraksta kaut kas līdzīgs $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (lai gan formāli šāda atbilde arī būtu pareiza). Tā vietā mēs nekavējoties ierakstām $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Šāda ietekme ir iespējama tikai vienmērīgu daudzveidību saknēm. Un nākamajā uzdevumā mēs saskarsimies ar šī efekta apgriezto "izpausmi". Vai esat gatavs?

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Lēmums. Šoreiz sekosim standarta shēmai. Iestatiet skaitītāju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightbult ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Labā bultiņa ((x)_(2))=4. \\ \end(līdzināt)\]

Un saucējs:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\bultiņa pa labi x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(līdzināt)\]

Tā kā mēs atrisinām nevienādību formā $f\left(x \right)\ge 0$, saknes no saucēja (kurām ir zvaigznītes) tiks izgrieztas, bet saknes no skaitītāja tiks pārkrāsotas. .

Sakārtojam zīmes un noglāstām ar "plusiņu" atzīmētās vietas:
Punkts $x=3$ ir izolēts. Šī ir daļa no atbildes
Pirms rakstat galīgo atbildi, uzmanīgi apskatiet attēlu:

Punktam $x=1$ ir pāra reizinājums, bet pats tas ir caurdurts. Tāpēc atbildē tas būs jāizolē: jāraksta $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nevis $x\in. \left(-\ infty ;2\right)$.

Punktam $x=3$ arī ir vienmērīgs reizinājums, un tas ir iekrāsots. Zīmju izkārtojums norāda, ka pats punkts mums der, bet solis pa kreisi un pa labi - un mēs nonākam apgabalā, kas mums galīgi neder. Šādus punktus sauc par izolētiem un raksta kā $x\in \left$3 \right$$.

Visus iegūtos gabalus apvienojam kopējā komplektā un pierakstām atbildi.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definīcija. Nevienlīdzības atrisināšana nozīmē atrast visu tā risinājumu kopu, vai pierādīt, ka šī kopa ir tukša.

Šķiet: kas gan šeit var būt nesaprotams? Jā, lieta ir tāda, ka kopas var norādīt dažādos veidos. Pārrakstīsim atbildi uz pēdējo uzdevumu:

Mēs burtiski lasām rakstīto. Mainīgais "x" pieder noteiktai kopai, ko iegūst, apvienojot četras atsevišķas kopas (simbols "U"):

Intervāls $\left(-\infty ;1 \right)$, kas burtiski nozīmē "visi skaitļi, kas ir mazāki par vienu, bet pats ne viens";
Intervāls ir $\left(1;2 \right)$, t.i. "visi skaitļi starp 1 un 2, bet ne paši skaitļi 1 un 2";
Kopa $\left$ 3 \right$$, kas sastāv no viena skaitļa - trīs;
Intervāls $\left[ 4;5 \right)$, kas satur visus skaitļus no 4 līdz 5, kā arī pašu 4, bet ne 5.

Trešais punkts šeit ir interesants. Atšķirībā no intervāliem, kas definē bezgalīgas skaitļu kopas un apzīmē tikai šo kopu robežas, kopa $\left$3 \right$$ definē tieši vienu skaitli, uzskaitot.

Lai saprastu, ka mēs uzskaitām konkrētos komplektā iekļautos skaitļus (nevis nosakām robežas vai ko citu), tiek izmantotas cirtainas breketes. Piemēram, apzīmējums $\left$ 1;2 \right$$ nozīmē tieši "kopu, kas sastāv no diviem skaitļiem: 1 un 2", bet ne segmentu no 1 līdz 2. Nekādā gadījumā nejauciet šos jēdzienus. .

Daudzkārtības saskaitīšanas noteikums

Nu ko, šodienas nodarbības noslēgumā nedaudz skārda no Pāvela Berdova. :)

Vērīgie skolēni droši vien jau sev uzdevuši jautājumu: kas notiks, ja skaitītājā un saucējā atradīsies vienas un tās pašas saknes? Tātad darbojas šāds noteikums:

Tiek pievienotas identisku sakņu daudzveidības. Vienmēr. Pat ja šī sakne sastopama gan skaitītājā, gan saucējā.

Dažreiz ir labāk izlemt, nekā runāt. Tāpēc mēs atrisinām šādu problēmu:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \pa labi))\ge 0\]

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(līdzināt)\]

Pagaidām nekas īpašs. Iestatiet saucēju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Labā bultiņa x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\bultiņa pa labi x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(līdzināt)\]

Tiek atrastas divas identiskas saknes: $((x)_(1))=-2$ un $x_(4)^(*)=-2$. Abiem ir pirmā daudzveidība. Tāpēc mēs tos aizstājam ar vienu sakni $x_(4)^(*)=-2$, bet ar reizinājumu 1+1=2.

Turklāt ir arī identiskas saknes: $((x)_(2))=-4$ un $x_(2)^(*)=-4$. Tās ir arī pirmās daudzkārtības, tāpēc no daudzkārtības 1+1=2 paliek tikai $x_(2)^(*)=-4$.

Lūdzu, ņemiet vērā: abos gadījumos mēs atstājām tieši “izgriezto” sakni, bet “pārkrāsoto” izmetām no izskatīšanas. Jo jau nodarbības sākumā bijām vienisprātis: ja punkts ir vienlaikus gan izdurts, gan pārkrāsots, tad tomēr uzskatām, ka tas ir štancēts.

Rezultātā mums ir četras saknes, un visas izrādījās izkapotas:

\[\begin(līdzināt) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(līdzināt)\]

Mēs atzīmējam tos uz skaitļu līnijas, ņemot vērā daudzveidību:

Mēs izvietojam zīmes un krāsojam mūs interesējošās vietas:

Viss. Nav izolētu punktu un citu perversiju. Jūs varat pierakstīt atbildi.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

reizināšanas noteikums

Dažreiz rodas vēl nepatīkamāka situācija: vienādojums, kuram ir vairākas saknes, pats tiek pacelts līdz noteiktam pakāpēm. Tas maina visu sākotnējo sakņu daudzveidību.

Tas notiek reti, tāpēc lielākajai daļai skolēnu nav pieredzes šādu problēmu risināšanā. Un noteikums šeit ir šāds:

Paaugstinot vienādojumu līdz pakāpei $n$, arī visu tā sakņu daudzveidība palielinās par koeficientu $n$.

Citiem vārdiem sakot, paaugstinot līdz jaudu, reizinātāji tiek reizināti ar to pašu jaudu. Ņemsim šo noteikumu kā piemēru:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Lēmums. Iestatiet skaitītāju uz nulli:

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Ar pirmo reizinātāju viss ir skaidrs: $x=0$. Un šeit sākas problēmas:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, vienādojumam $((x)^(2))-6x+9=0$ ir unikāla otrās daudzveidības sakne: $x=3$. Pēc tam visu vienādojumu izliek kvadrātā. Tāpēc saknes daudzveidība būs $2\cdot 2=4$, ko mēs beidzot pierakstījām.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nav problēmu arī ar saucēju:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\labā bultiņa x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(līdzināt)\]

Kopumā ieguvām piecus punktus: divus izsita un trīs aizpildīti. Skaitītājā un saucējā nav sakņu, kas sakrīt, tāpēc mēs tās vienkārši atzīmējam skaitļu rindā:

Mēs sakārtojam zīmes, ņemot vērā daudzveidību, un krāsojam mūs interesējošos intervālus:
Atkal viens izolēts punkts un viens caurdurts
Vienmērīgas daudzveidības sakņu dēļ mēs atkal saņēmām pāris “nestandarta” elementus. Tas ir $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nevis $x\in \left[ 0;2 \right)$, kā arī izolēts punkts $ x\in \left$ 3 \right$$.

Atbilde. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Kā redzat, viss nav tik grūti. Galvenais ir uzmanība. Šīs nodarbības pēdējā sadaļa ir veltīta pārvērtībām – tām pašām, kuras mēs apspriedām pašā sākumā.

Pirmskonversijas

Nevienlīdzības, par kurām mēs runāsim šajā sadaļā, nav sarežģītas. Taču, atšķirībā no iepriekšējiem uzdevumiem, šeit būs jāpielieto prasmes no racionālo daļskaitļu teorijas - faktorizācijas un redukcijas līdz kopsaucējam.

Mēs šo jautājumu detalizēti apspriedām pašā šodienas nodarbības sākumā. Ja neesat pārliecināts, ka saprotat, par ko ir runa, es ļoti iesaku atgriezties un atkārtot. Jo nav jēgas piebāzt nevienādību risināšanas metodes, ja "peldat" daļskaitļu pārvēršanā.

Mājas darbos, starp citu, arī būs daudz līdzīgu uzdevumu. Tie ir ievietoti atsevišķā apakšnodaļā. Un tur jūs atradīsit ļoti netriviālus piemērus. Bet tas būs mājasdarbā, bet tagad analizēsim pāris šādas nevienlīdzības.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Lēmums. Pārvietojot visu pa kreisi:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Mēs samazinām līdz kopsaucējam, atveram iekavas, skaitītājā dodam līdzīgus terminus:

\[\begin(līdzināt) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ pa labi))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Tagad mums ir klasiska daļēja racionālā nevienlīdzība, kuras atrisināšana vairs nav grūta. Es ierosinu to atrisināt ar alternatīvu metodi - izmantojot intervālu metodi:

\[\begin(līdzināt) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(līdzināt)\]

Neaizmirstiet ierobežojumu, kas izriet no saucēja:

Mēs atzīmējam visus skaitļus un ierobežojumus skaitļu rindā:

Visām saknēm ir pirmā daudzveidība. Nekādu problēmu. Mēs vienkārši novietojam zīmes un krāsojam mums nepieciešamās vietas:

Tas viss. Jūs varat pierakstīt atbildi.

Atbilde. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Protams, šis bija ļoti vienkāršs piemērs. Tāpēc tagad pievērsīsimies problēmai tuvāk. Un, starp citu, šī uzdevuma līmenis ir diezgan atbilstošs patstāvīgajam un kontroles darbam par šo tēmu 8. klasē.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Lēmums. Pārvietojot visu pa kreisi:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Pirms abu daļskaitļu apvienošanas līdz kopsaucējam, mēs sadalām šos saucējus faktoros. Pēkšņi iznāks tie paši kronšteini? Ar pirmo saucēju tas ir vienkārši:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Otrais ir nedaudz grūtāks. Jūtieties brīvi pievienot konstantu reizinātāju iekavai, kurā tika atrasta daļa. Atcerieties: sākotnējam polinomam bija veselu skaitļu koeficienti, tāpēc ļoti iespējams, ka faktorizācijai būs arī veselu skaitļu koeficienti (patiesībā tā būs vienmēr, izņemot gadījumus, kad diskriminants ir neracionāls).

\[\begin(līdzināt) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(līdzināt)\]

Kā redzat, ir izplatīta iekava: $\left(x-1 \right)$. Mēs atgriežamies pie nevienlīdzības un apvienojam abas daļas pie kopsaucēja:

\[\begin(līdzināt) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ pa kreisi(3x-2\labais))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(līdzināt)\]

Iestatiet saucēju uz nulli:

\[\begin(līdzināt) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( līdzināt)\]

Nav daudzveidību un nesakrītošu sakņu. Mēs atzīmējam četrus skaitļus uz taisnas līnijas:

Mēs ievietojam zīmes:

Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ pa labi) $.

Atstarpes metode- tas ir universāls veids, kā atrisināt gandrīz visas nevienlīdzības, kas rodas skolas algebras kursā. Tas ir balstīts uz šādām funkciju īpašībām:

1. Nepārtrauktā funkcija g(x) var mainīt zīmi tikai tajā punktā, kur tā ir vienāda ar 0. Grafiski tas nozīmē, ka nepārtrauktas funkcijas grafiks var pārvietoties no vienas pusplaknes uz otru tikai tad, ja tas šķērso x- ass (atceramies, ka jebkura punkta ordināta, kas atrodas uz OX ass (abscisu ass), ir vienāda ar nulli, tas ir, funkcijas vērtība šajā punktā ir 0):

Redzam, ka grafikā redzamā funkcija y=g(x) šķērso OX asi punktos x= -8, x=-2, x=4, x=8. Šos punktus sauc par funkcijas nullēm. Un tajos pašos punktos funkcija g(x) maina zīmi.

2. Funkcija var arī mainīt zīmi pie saucēja nullēm - vienkāršākais labi zināmas funkcijas piemērs:

Mēs redzam, ka funkcija maina zīmi saucēja saknē, punktā, bet nepazūd nevienā punktā. Tādējādi, ja funkcija satur daļskaitli, tā var mainīt zīmi saucēja saknēs.

2. Tomēr funkcija ne vienmēr maina zīmi skaitītāja saknē vai saucēja saknē. Piemēram, funkcija y=x 2 nemaina zīmi punktā x=0:

Jo vienādojumam x 2 \u003d 0 ir divas vienādas saknes x \u003d 0, punktā x \u003d 0 funkcija it kā divreiz pārvēršas par 0. Šādu sakni sauc par otrās daudzkārtības sakni.

Funkcija maina zīmi pie skaitītāja nulles, bet nemaina zīmi pie saucēja nulles: , jo sakne ir otrā reizinājuma sakne, tas ir, pāra reizinājuma:

Svarīgs! Vienmērīgas daudzveidības saknēs funkcija nemaina zīmi.

Piezīme! Jebkurš nelineārs algebras skolas kursa nevienlīdzība, kā likums, tiek atrisināta, izmantojot intervālu metodi.

Piedāvāju jums detalizētu, pēc kura jūs varat izvairīties no kļūdām, kad nelineāro nevienādību atrisināšana.

1. Vispirms jāienes formā nevienlīdzība

P(x)V0,

kur V ir nevienlīdzības zīme:<,>,≤ vai ≥. Šim nolūkam jums ir nepieciešams:

a) pārvietojiet visus vārdus uz nevienlīdzības kreiso pusi,

b) atrodiet iegūtās izteiksmes saknes,

c) faktorizēt nevienādības kreiso pusi

d) ierakstiet tos pašus faktorus kā grādu.

Uzmanību! Pēdējā darbība ir jāveic, lai nekļūdītos ar sakņu daudzveidību - ja rezultāts ir reizinātājs pāra pakāpē, tad atbilstošajai saknei ir vienmērīga daudzveidība.

2. Ielieciet atrastās saknes uz skaitļu līnijas.

3. Ja nevienādība ir stingra, tad apļus, kas apzīmē saknes uz skaitliskās ass, atstāj "tukšos", ja nevienādība nav stingra, tad apļus pārkrāso.

4. Izvēlamies pāra daudzveidības saknes - tajās P(x) zīme nemainās.

5. Nosakiet zīmi P(x) spraugas labajā pusē. Lai to izdarītu, ņemiet patvaļīgu vērtību x 0, kas ir lielāka par lielāko sakni, un aizstājiet to P(x).

Ja P(x 0)>0 (vai ≥0), tad galējā labajā intervālā ievietojam "+" zīmi.

Ja P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Izejot cauri punktam, kas apzīmē pāra daudzveidības sakni, zīme NEMAINA.

7. Vēlreiz apskatām sākotnējās nevienādības zīmi un atlasām mums vajadzīgos zīmes intervālus.

8. Uzmanību! Ja mūsu nevienlīdzība NAV STINGRA, tad mēs atsevišķi pārbaudām vienlīdzības nosacījumu līdz nullei.

9. Pierakstiet atbildi.

Ja oriģināls nevienādības saucējā satur nezināmo, tad arī visus terminus pārnesam uz kreiso pusi, bet nevienādības kreiso pusi reducējam uz formu

(kur V ir nevienlīdzības zīme:< или >)

Šāda veida stingra nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzībai

NAV stingrs formas nevienlīdzība

ir līdzvērtīgs sistēma:

Praksē, ja funkcijai ir forma , mēs rīkojamies šādi:

Atrodiet skaitītāja un saucēja saknes.
Mēs uzliekam tos uz ass. Visi apļi ir atstāti tukši. Tad, ja nevienlīdzība nav stingra, mēs pārkrāsojam skaitītāja saknes un saucēja saknes vienmēr atstājam tukšas.
Tālāk mēs izpildām vispārīgo algoritmu:
Izvēlamies pāra daudzkāršības saknes (ja skaitītājs un saucējs satur vienas un tās pašas saknes, tad saskaitām, cik reizes rodas vienas un tās pašas saknes). Pat daudzveidības saknēs zīmes nemainās.
Mēs uzzinām zīmi galējā labajā intervālā.
Mēs izlikām zīmes.
Nestingras nevienlīdzības gadījumā atsevišķi tiek pārbaudīts vienlīdzības nosacījums, vienlīdzības nosacījums līdz nullei.
Mēs izvēlamies nepieciešamos intervālus un atsevišķi stāvošas saknes.
Mēs pierakstām atbildi.

Lai labāk saprastu algoritms nevienādību risināšanai ar intervālu metodi, noskatieties VIDEOSTĀDĪBU, kurā detalizēti analizēts piemērs nevienādības risinājums ar intervālu metodi.

Pirmais līmenis

intervāla metode. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Jums vienkārši ir jāsaprot šī metode un jāzina tā kā jūsu kabata kabats! Kaut vai tāpēc, ka to izmanto racionālu nevienlīdzību risināšanai un tāpēc, ka, pareizi zinot šo metodi, šo nevienlīdzību atrisināšana ir pārsteidzoši vienkārša. Nedaudz vēlāk es jums atklāšu pāris noslēpumus, kā ietaupīt laiku šo nevienlīdzību risināšanai. Nu, vai jūs esat ieintriģēts? Tad ejam!

Metodes būtība ir faktorizēt nevienlīdzību (atkārtot tēmu) un noteikt ODZ un faktoru zīmi, tagad es visu paskaidrošu. Ņemsim vienkāršāko piemēru: .

Šeit nav nepieciešams rakstīt pieļaujamo vērtību apgabalu (), jo nav dalījuma ar mainīgo, un šeit netiek novēroti radikāļi (saknes). Mums te viss jau ir pavairots. Bet neatslābstiet, tas viss, lai atgādinātu pamatus un saprastu būtību!

Pieņemsim, ka jūs nezināt intervālu metodi, kā jūs risinātu šo nevienlīdzību? Esiet loģisks un balstieties uz to, ko jau zināt. Pirmkārt, kreisā puse būs lielāka par nulli, ja abas iekavās esošās izteiksmes ir lielākas par nulli vai mazākas par nulli, jo "Plus" uz "plus" padara "plus" un "mīnus" uz "mīnus" padara "plusu", vai ne? Un, ja iekavās esošo izteicienu zīmes atšķiras, tad galu galā kreisā puse būs mazāka par nulli. Bet kas mums ir nepieciešams, lai noskaidrotu tās vērtības, kurām iekavās esošās izteiksmes būs negatīvas vai pozitīvas?

Mums jāatrisina vienādojums, tas ir tieši tas pats, kas nevienādība, tikai zīmes vietā būs zīme, šī vienādojuma saknes ļaus noteikt tās robežvērtības, atkāpjoties no kurām faktori un būs lielāki vai mazāks par nulli.

Un tagad paši intervāli. Kas ir intervāls? Tas ir noteikts skaitļu līnijas intervāls, tas ir, visi iespējamie skaitļi, kas atrodas starp dažiem diviem skaitļiem - intervāla galiem. Nav tik viegli iedomāties šīs spraugas galvā, tāpēc ir ierasts zīmēt intervālus, tagad es jums iemācīšu.

Mēs uzzīmējam asi, uz tās atrodas visa skaitļu sērija no un uz. Punkti ir uzzīmēti uz ass, pašas tā sauktās funkcijas nulles, vērtības, pie kurām izteiksme ir vienāda ar nulli. Šie punkti ir "izcirsti", kas nozīmē, ka tie nav starp tām vērtībām, kurām ir patiesa nevienlīdzība. Šajā gadījumā tie tiek caurdurti. zīme nevienādībā un nav, tas ir, stingri lielāka par un nav lielāka vai vienāda ar.

Gribu teikt, ka nulle nav jāzīmē, šeit ir bez apļiem, bet tā, lai saprastu un orientētos pa asi. Labi, ass tika uzzīmēta, punkti (vai drīzāk apļi) tika uzstādīti, un kā tas man palīdzēs risināšanā? - tu jautā. Tagad vienkārši paņemiet x vērtību no intervāliem secībā un aizstājiet tos savā nevienādībā un skatiet, kāda zīme būs reizināšanas rezultātā.

Īsāk sakot, mēs vienkārši ņemam piemēru, aizstājam to šeit, izrādīsies, kas nozīmē, ka visā intervālā (visā intervālā) no līdz, no kura mēs ņēmām, nevienlīdzība būs patiesa. Citiem vārdiem sakot, ja x ir no līdz, tad nevienlīdzība ir patiesa.

Mēs darām to pašu ar intervālu no līdz, ņemam vai, piemēram, aizstājam, nosakām zīmi, zīme būs “mīnus”. Un mēs darām to pašu ar pēdējo, trešo intervālu no līdz, kur zīme izrādīsies “plus”. Tāda teksta gūzma iznāca, bet maz redzamības, vai ne?

Paskatieties vēlreiz uz nevienlīdzību.

Tagad uz tās pašas ass mēs pieliekam arī zīmes, kas būs rezultāts. Manā piemērā pārtrauktā līnija apzīmē ass pozitīvās un negatīvās sadaļas.

Paskatieties uz nevienlīdzību - uz attēlu, atkal uz nevienlīdzību - un vēlreiz uz attēlu ir kaut kas skaidrs? Tagad mēģiniet pateikt, uz kādiem x intervāliem nevienlīdzība būs patiesa. Tieši tā, no līdz nevienādība būs patiesa arī no līdz, un intervālā no līdz nulles nevienādība, un šis intervāls mūs maz interesē, jo mums ir nevienlīdzības zīme.

Nu, tā kā jūs to sapratāt, tad jums ir jāpieraksta atbilde! Atbildot uz to, mēs rakstām tos intervālus, kuros kreisā puse ir lielāka par nulli, kas tiek lasīta kā X pieder intervālam no mīnus bezgalības līdz mīnus viens un no diviem līdz plus bezgalībai. Ir vērts precizēt, ka iekavas nozīmē, ka vērtības, ar kurām ierobežo intervālu, nav nevienlīdzības risinājumi, tas ir, tie nav iekļauti atbildē, bet tikai saka, ka, piemēram, iepriekš, bet nav risinājums.

Tagad piemērs, kurā jums būs jāzīmē ne tikai intervāls:

Kas, jūsuprāt, būtu jādara pirms punktu likšanas uz ass? Jā, ņemiet vērā:

Zīmējam intervālus un liekam zīmes, pamanām punktus, kurus esam pārduruši, jo zīme ir stingri mazāka par nulli:

Laiks jums atklāt vienu noslēpumu, ko apsolīju šīs tēmas sākumā! Bet ko darīt, ja es jums saku, ka jūs nevarat aizstāt katra intervāla vērtības, lai noteiktu zīmi, bet jūs varat noteikt zīmi vienā no intervāliem, bet pārējos vienkārši mainīt zīmes!

Līdz ar to ietaupījām nedaudz laika uz zīmju nolikšanu – domāju, ka eksāmenā uzvarētais laiks nenāks par ļaunu!

Mēs rakstām atbildi:

Tagad apsveriet daļējas racionālās nevienlīdzības piemēru - nevienlīdzību, kuras abas daļas ir racionālas izteiksmes (sk.).

Ko jūs varat teikt par šo nevienlīdzību? Un jūs skatāties uz to kā daļēju racionālu vienādojumu, ko mēs vispirms darām? Mēs uzreiz redzam, ka nav sakņu, kas nozīmē, ka tas noteikti ir racionāli, bet tad ir daļskaitlis un pat ar nezināmo saucējā!

Tieši tā, ODZ ir vajadzīgs!

Tātad, iesim tālāk, šeit visiem faktoriem, izņemot vienu, ir pirmās pakāpes mainīgais, bet ir faktors, kur x ir otrā pakāpe. Parasti mūsu zīme mainījās pēc tam, kad šķērsoja vienu no punktiem, kurā nevienādības kreisā puse iegūst nulles vērtību, un mēs noteicām, kam vajadzētu būt x katrā faktorā. Un šeit, tāpēc tas vienmēr ir pozitīvi, jo. jebkurš kvadrātveida skaitlis > nulle un pozitīvs loceklis.

Kā, jūsuprāt, tas ietekmēs nevienlīdzības vērtību? Tieši tā – nav nozīmes! Mēs varam droši sadalīt nevienlīdzību abās daļās un tādējādi noņemt šo faktoru, lai tas nekaitētu mūsu acīm.

ir pienācis laiks zīmēt intervālus, šim nolūkam ir jānosaka tās robežvērtības, no kurām novirzes reizinātāji un būs lielāki un mazāki par nulli. Bet pievērsiet uzmanību, ka šeit zīme nozīmē punktu, kurā nevienādības kreisā puse iegūst nulles vērtību, mēs to nepārdursim, jo tas ir iekļauts risinājumu skaitā, mums ir viens šāds punkts, tas ir punkts kur x ir vienāds ar vienu. Vai varam iekrāsot punktu, kur saucējs ir negatīvs? - Protams, nē!

Saucējs nedrīkst būt nulle, tāpēc intervāls izskatīsies šādi:

Pēc šīs shēmas jau var viegli uzrakstīt atbildi, varu tikai teikt, ka tagad Jūsu rīcībā ir jauna veida kronšteins - kvadrāts! Šeit ir kronšteins [ saka, ka vērtība ir risinājuma intervālā, t.i. ir daļa no atbildes, šī iekava atbilst aizpildītam (neizspiestam) punktam uz ass.

Tātad, vai jūs saņēmāt tādu pašu atbildi?

Mēs faktorizējam un pārnesam visu vienā virzienā, jo mums ir jāatstāj tikai nulle labajā pusē, lai salīdzinātu ar to:

Vēršu jūsu uzmanību, ka pēdējā transformācijā, lai tiktu skaitītājā, kā arī saucējā, abas nevienādības daļas reizinu ar. Atcerieties, ka, reizinot abas nevienlīdzības puses ar, nevienlīdzības zīme tiek apgriezta!!!

Mēs rakstām ODZ:

Pretējā gadījumā saucējs kļūs par nulli, un, kā jūs atceraties, jūs nevarat dalīt ar nulli!

Piekrītiet, iegūtajā nevienlīdzībā ir vilinoši samazināt skaitītāju un saucēju! Jūs to nevarat izdarīt, jūs varat zaudēt dažus lēmumus vai ODZ!

Tagad mēģiniet pats uzlikt punktus uz ass. Atzīmēšu tikai to, ka, zīmējot punktus, ir jāpievērš uzmanība tam, ka punkts ar vērtību, kas, pēc zīmes, šķiet, būtu jāuzzīmē uz ass, kā tas ir aizpildīts, netiks aizpildīts. , tas tiks izdurts! Kāpēc tev jautāt? Un tu atceries ODZ, tu tā nedalīsi ar nulli?

Atcerieties, ka ODZ ir pāri visam! Ja visas nevienlīdzības un vienādības zīmes saka vienu, bet ODZ saka ko citu, uzticieties ODZ, lielais un varenais! Nu, jūs izveidojāt intervālus, esmu pārliecināts, ka ņēmāt manu padomu par alternāciju un saņēmāt to šādi (skatiet attēlu zemāk) Tagad izsvītrojiet to un neatkārtojiet šo kļūdu! Kāda kļūda? - tu jautā.

Fakts ir tāds, ka šajā nevienlīdzībā faktors tika atkārtots divas reizes (atceries, kā jūs joprojām centāties to samazināt?). Tātad, ja kāds faktors nevienādībā atkārtojas pāra skaitu reižu, tad, ejot caur punktu uz ass, kas šo koeficientu pagriež uz nulli (šajā gadījumā punktu), zīme nemainīsies, ja nepāra, tad zīme mainās!

Pareiza būs šāda ass ar intervāliem un zīmēm:

Un pievērsiet uzmanību, ka zīme, kas mūs neinteresē, ir tā, kas bija sākumā (kad mēs tikko redzējām nevienlīdzību, zīme bija), pēc transformācijām zīme mainījās uz, kas nozīmē, ka mūs interesē intervāli ar zīmi.

Atbilde:

Teikšu arī, ka ir situācijas, kad ir nevienlīdzības saknes, kas nav iekļautas nevienā spraugā, atbildē tās tiek rakstītas cirtainās iekavās, piemēram, šādi:. Vairāk par šādām situācijām varat lasīt rakstā Vidējais līmenis.

Apkoposim, kā atrisināt nevienādības, izmantojot intervāla metodi:

Mēs visu pārnesam uz kreiso pusi, labajā pusē atstājam tikai nulli;
Mēs atrodam ODZ;
Mēs uzliekam uz ass visas nevienlīdzības saknes;
Mēs ņemam patvaļīgu no viena no intervāliem un nosakām zīmi intervālā, kuram pieder sakne, mainām zīmes, pievēršot uzmanību saknēm, kuras nevienādībā atkārtojas vairākas reizes, tas ir atkarīgs no pāra vai nepāra skaita to atkārtošanās reizes neatkarīgi no tā, vai zīme mainās, ejot cauri vai nē;
Atbildot uz to, mēs rakstām intervālus, ievērojot izspiestos un neizspīlētos punktus (skat. ODZ), ievietojot starp tiem nepieciešamos iekavas.

Un visbeidzot, mūsu iecienītākā sadaļa "dari pats"!

Piemēri:

Atbildes:

INTERVĀLA METODE. VIDĒJS LĪMENIS

Lineāra funkcija

Formas funkciju sauc par lineāru. Kā piemēru ņemsim funkciju. Tas ir pozitīvs pie un negatīvs pie. Punkts ir funkcijas () nulle. Parādīsim šīs funkcijas zīmes uz reālās ass:

Mēs sakām, ka "funkcija maina zīmi, ejot caur punktu".

Redzams, ka funkcijas zīmes atbilst funkcijas grafika novietojumam: ja grafiks atrodas virs ass, zīme ir “ ”, ja zem – “ ”.

Ja iegūto noteikumu vispārinām uz patvaļīgu lineāru funkciju, mēs iegūstam šādu algoritmu:

Mēs atrodam funkcijas nulli;
Mēs to atzīmējam uz skaitliskās ass;
Nosakām funkcijas zīmi nulles pretējās pusēs.

kvadrātiskā funkcija

Es ceru, ka atceraties, kā tiek atrisinātas kvadrātvienādības? Ja nē, izlasiet pavedienu. Ļaujiet man atgādināt kvadrātiskās funkcijas vispārējo formu: .

Tagad atcerēsimies, kādas zīmes aizņem kvadrātiskā funkcija. Tās grafiks ir parabola, un funkcija izmanto zīmi “ ” tiem, kuros parabola atrodas virs ass, un “ ” - ja parabola atrodas zem ass:

Ja funkcijai ir nulles (vērtības, pie kurām), parabola krustojas ar asi divos punktos - atbilstošā kvadrātvienādojuma saknēs. Tādējādi ass ir sadalīta trīs intervālos, un funkcijas zīmes mainās pārmaiņus, ejot cauri katrai saknei.

Vai ir iespējams kaut kā noteikt zīmes, katru reizi nezīmējot parabolu?

Atcerieties, ka kvadrātveida trinomu var faktorizēt:

Piemēram: .

Ņemiet vērā saknes uz ass:

Mēs atceramies, ka funkcijas zīme var mainīties tikai tad, kad iet caur sakni. Mēs izmantojam šo faktu: katram no trim intervāliem, kuros ass ir sadalīta ar saknēm, pietiek ar funkcijas zīmi noteikt tikai vienā patvaļīgi izvēlētā punktā: pārējos intervāla punktos zīme būs tas pats.

Mūsu piemērā: abām izteiksmēm iekavās ir pozitīvas (mēs aizstājam, piemēram:). Mēs ievietojam zīmi "" uz ass:

Nu, ja (aizstāj, piemēram) abas iekavas ir negatīvas, tad produkts ir pozitīvs:

Tā tas ir intervāla metode: zinot faktoru zīmes katrā intervālā, mēs nosakām visa produkta zīmi.

Apskatīsim arī gadījumus, kad funkcijai nav nulles vai tā ir tikai viena.

Ja nav, tad nav arī sakņu. Tas nozīmē, ka "caur sakni" nebūs. Tas nozīmē, ka funkcija uz visas skaitļa ass aizņem tikai vienu zīmi. To ir viegli noteikt, aizstājot to ar funkciju.

Ja ir tikai viena sakne, parabola pieskaras asij, tāpēc funkcijas zīme, ejot cauri saknei, nemainās. Kāds ir noteikums šādām situācijām?

Ja mēs ņemam vērā šādu funkciju, mēs iegūstam divus identiskus faktorus:

Un jebkura kvadrātveida izteiksme nav negatīva! Tāpēc funkcijas zīme nemainās. Šādos gadījumos mēs atlasīsim sakni, kurai ejot cauri zīme nemainās, apvelkot to ar kvadrātu:

Šāda sakne tiks saukta par daudzkārtni.

Intervālu metode nevienādībās

Tagad jebkuru kvadrātisko nevienādību var atrisināt, nezīmējot parabolu. Pietiek tikai novietot kvadrātfunkcijas zīmes uz ass un izvēlēties intervālus atkarībā no nevienlīdzības zīmes. Piemēram:

Mēs izmērām saknes uz ass un sakārtojam zīmes:

Mums ir vajadzīga ass daļa ar zīmi ""; tā kā nevienlīdzība nav stingra, risinājumā tiek iekļautas arī pašas saknes:

Tagad apsveriet racionālu nevienlīdzību - nevienlīdzību, kuras abas daļas ir racionālas izteiksmes (sk.).

Piemērs:

Visi faktori, izņemot vienu - šeit ir "lineāri", tas ir, tie satur mainīgo tikai pirmajā pakāpē. Mums ir nepieciešami šādi lineāri faktori, lai piemērotu intervāla metodi - zīme mainās, ejot cauri to saknēm. Bet reizinātājam vispār nav sakņu. Tas nozīmē, ka tas vienmēr ir pozitīvs (pārbaudiet pats), un tāpēc tas neietekmē visas nevienlīdzības zīmi. Tas nozīmē, ka jūs varat tajā sadalīt nevienlīdzības kreiso un labo pusi un tādējādi atbrīvoties no tās:

Tagad viss ir tāpat kā ar kvadrātvienādību: nosakām, kuros punktos katrs no faktoriem pazūd, atzīmējam šos punktus uz ass un sakārtojam zīmes. Es vēršu jūsu uzmanību uz ļoti svarīgu faktu:

Atbilde:. Piemērs: .

Lai piemērotu intervāla metodi, ir nepieciešams, lai vienā no nevienādības daļām būtu. Tāpēc mēs pārvietojam labo pusi uz kreiso:

Skaitītājam un saucējam ir viens un tas pats faktors, bet mēs nesteidzamies to samazināt! Galu galā mēs varam aizmirst izbāzt šo punktu. Labāk ir atzīmēt šo sakni kā daudzkārtni, tas ir, izejot tai cauri, zīme nemainīsies:

Atbilde:.

Un vēl viens ļoti ilustratīvs piemērs:

Atkal mēs nesamazināsim vienus un tos pašus skaitītāja un saucēja faktorus, jo, ja mēs samazināsim, mums būs īpaši jāatceras, ka mums ir jāpieliek punkts.

: atkārtotas reizes;
: reizes;
: reizes (skaitītājā un viens saucējā).

Pāra skaitļa gadījumā rīkojamies tāpat kā iepriekš: punktu apvelkam ar kvadrātu un, izejot cauri saknei, zīmi nemainām. Bet nepāra skaitļa gadījumā šis noteikums nav izpildīts: zīme joprojām mainīsies, izejot cauri saknei. Tāpēc ar šādu sakni mēs neko papildus nedarām, it kā tas nebūtu mūsu daudzkārtnis. Iepriekš minētie noteikumi attiecas uz visām pāra un nepāra pakāpēm.

Ko rakstām atbildē?

Ja tiek pārkāpta zīmju maiņa, jums jābūt ļoti uzmanīgiem, jo ar nevienlīdzīgu nevienlīdzību atbildē jāiekļauj visi aizpildītie punkti. Bet daži no tiem bieži stāv atsevišķi, tas ir, tie neietilpst iekrāsotajā zonā. Šajā gadījumā mēs pievienojam tos atbildei kā izolētus punktus (cirtainos iekavās):

Piemēri (izlemiet paši):

Atbildes:

Ja starp faktoriem tas ir vienkāršs - šī ir sakne, jo to var attēlot kā.
.

INTERVĀLA METODE. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Intervālu metodi izmanto racionālu nevienādību risināšanai. Tas sastāv no produkta zīmes noteikšanas no faktoru pazīmēm dažādos intervālos.

Algoritms racionālu nevienādību risināšanai ar intervālu metodi.

Mēs visu pārnesam uz kreiso pusi, labajā pusē atstājam tikai nulli;
Mēs atrodam ODZ;
Mēs uzliekam uz ass visas nevienlīdzības saknes;
Mēs ņemam patvaļīgu no viena no intervāliem un nosakām zīmi intervālā, kuram pieder sakne, mainām zīmes, pievēršot uzmanību saknēm, kuras nevienādībā atkārtojas vairākas reizes, tas ir atkarīgs no pāra vai nepāra skaita to atkārtošanās reizes neatkarīgi no tā, vai zīme mainās, ejot cauri vai nē;
Atbildot uz to, mēs rakstām intervālus, ievērojot izspiestos un neizspīlētos punktus (skat. ODZ), ievietojot starp tiem nepieciešamos iekavas.

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu eksāmena nokārtošanu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā - 299 rubļi.
Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - 999 rubļi.

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Otrajā gadījumā mēs jums dosim simulators "6000 uzdevumu ar risinājumiem un atbildēm, katrai tēmai, visiem sarežģītības līmeņiem." Noteikti pietiek, lai pieliktu roku problēmu risināšanā par jebkuru tēmu.

Patiesībā tas ir daudz vairāk nekā tikai simulators - visa apmācības programma. Ja nepieciešams, varat to izmantot arī BEZMAKSAS.

Piekļuve visiem tekstiem un programmām tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Pirmais līmenis

intervāla metode. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Metodes būtība ir faktorizēt nevienlīdzību (atkārtot tēmu) un noteikt ODZ un faktoru zīmi, tagad es visu paskaidrošu. Ņemsim vienkāršāko piemēru: .

Paskatieties vēlreiz uz nevienlīdzību.

Tagad uz tās pašas ass mēs pieliekam arī zīmes, kas būs rezultāts. Manā piemērā pārtrauktā līnija apzīmē ass pozitīvās un negatīvās sadaļas.

Tagad piemērs, kurā jums būs jāzīmē ne tikai intervāls:

Kas, jūsuprāt, būtu jādara pirms punktu likšanas uz ass? Jā, ņemiet vērā:

Zīmējam intervālus un liekam zīmes, pamanām punktus, kurus esam pārduruši, jo zīme ir stingri mazāka par nulli:

Līdz ar to ietaupījām nedaudz laika uz zīmju nolikšanu – domāju, ka eksāmenā uzvarētais laiks nenāks par ļaunu!

Mēs rakstām atbildi:

Tagad apsveriet daļējas racionālās nevienlīdzības piemēru - nevienlīdzību, kuras abas daļas ir racionālas izteiksmes (sk.).

Tieši tā, ODZ ir vajadzīgs!

Saucējs nedrīkst būt nulle, tāpēc intervāls izskatīsies šādi:

Tātad, vai jūs saņēmāt tādu pašu atbildi?

Mēs faktorizējam un pārnesam visu vienā virzienā, jo mums ir jāatstāj tikai nulle labajā pusē, lai salīdzinātu ar to:

Mēs rakstām ODZ:

Pretējā gadījumā saucējs kļūs par nulli, un, kā jūs atceraties, jūs nevarat dalīt ar nulli!

Piekrītiet, iegūtajā nevienlīdzībā ir vilinoši samazināt skaitītāju un saucēju! Jūs to nevarat izdarīt, jūs varat zaudēt dažus lēmumus vai ODZ!

Pareiza būs šāda ass ar intervāliem un zīmēm:

Atbilde:

Apkoposim, kā atrisināt nevienādības, izmantojot intervāla metodi:

Mēs visu pārnesam uz kreiso pusi, labajā pusē atstājam tikai nulli;
Mēs atrodam ODZ;
Mēs uzliekam uz ass visas nevienlīdzības saknes;
Mēs ņemam patvaļīgu no viena no intervāliem un nosakām zīmi intervālā, kuram pieder sakne, mainām zīmes, pievēršot uzmanību saknēm, kuras nevienādībā atkārtojas vairākas reizes, tas ir atkarīgs no pāra vai nepāra skaita to atkārtošanās reizes neatkarīgi no tā, vai zīme mainās, ejot cauri vai nē;
Atbildot uz to, mēs rakstām intervālus, ievērojot izspiestos un neizspīlētos punktus (skat. ODZ), ievietojot starp tiem nepieciešamos iekavas.

Un visbeidzot, mūsu iecienītākā sadaļa "dari pats"!

Piemēri:

Atbildes:

INTERVĀLA METODE. VIDĒJS LĪMENIS

Lineāra funkcija

Formas funkciju sauc par lineāru. Kā piemēru ņemsim funkciju. Tas ir pozitīvs pie un negatīvs pie. Punkts ir funkcijas () nulle. Parādīsim šīs funkcijas zīmes uz reālās ass:

Mēs sakām, ka "funkcija maina zīmi, ejot caur punktu".

Redzams, ka funkcijas zīmes atbilst funkcijas grafika novietojumam: ja grafiks atrodas virs ass, zīme ir “ ”, ja zem – “ ”.

Ja iegūto noteikumu vispārinām uz patvaļīgu lineāru funkciju, mēs iegūstam šādu algoritmu:

Mēs atrodam funkcijas nulli;
Mēs to atzīmējam uz skaitliskās ass;
Nosakām funkcijas zīmi nulles pretējās pusēs.