Ar šo matemātisko programmu jūs varat atrisināt kvadrātveida vienādojumu.
Programma ne tikai sniedz atbildes uzdevumu, bet arī parāda risinājuma procesu divos veidos:
- ar diskriminējošu palīdzību
- izmantojot Vieta teorēmu (ja iespējams).
Turklāt atbilde ir precīza, nav aptuvena.
Piemēram, vienādojumam \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\ t, atbilde tiek izvadīta šajā veidlapā:
Šī programma var būt noderīga Vispārējās izglītības skolu augstskolu studentiem, gatavojoties testiem un eksāmeniem, pārbaudot zināšanas pirms eksāmena, vecāki, lai uzraudzītu daudzu matemātikas un algebras problēmu risinājumu. Vai varbūt jūs esat pārāk dārgi nolīgt skolotāju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī vēlaties, lai padarītu savu mājasdarbu matemātikā vai algebrā, cik vien iespējams? Šādā gadījumā jūs varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētu risinājumu.
Tādējādi jūs varat veikt savu jaunāko brāļu vai māsu apmācību un / vai apmācību, savukārt izglītības līmenis atrisināto uzdevumu jomā palielinās.
Ja jūs neesat iepazinušies ar kvadrātveida polinoma ievadīšanas noteikumiem, mēs iesakām iepazīstināt sevi ar viņiem.
Kvadrātveida polinoma ieejas noteikumi
Kā mainīgais var būt jebkurš latīņu burts.
Piemēram: \\ (X, Y, Z, A, B, C, O, P, q \\) utt.
Numuri var ieiet veseli vai daļēji.
Turklāt frakcionētus numurus var ievadīt ne tikai decimāldaļas veidā, bet arī parastās frakcijas veidā.
Decimālo frakciju ievadīšanas noteikumi.
Decimālajās frakcijās visas daļas daļu var atdalīt kā punktu un komatu.
Piemēram, jūs varat ievadīt decimālās frakcijas, piemēram, šis: 2.5x - 3.5x ^ 2
Parasto frakciju iekļūšanu.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā skaitītāju, saucēju un visu daļu no frakcijas.
Saucējs nevar būt negatīvs.
Ievadot ciparu frakciju, skaitītājs atdalīts no saucēja uz skaldīšanas zīmi: /
Visa daļa ir atdalīta no Fraraty Ampersand zīmes: &
Ievads: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5Z + 1 / 7z ^ 2
Rezultāts: (3 FRAC (1) (3) - 5 FRAC (6) (5) Z + FRAC (1) (7) Z ^ 2 \\ t
Ievadot izteiksmi jūs varat izmantot kronšteinus. Šajā gadījumā, risinot kvadrātveida vienādojumu, ievadītā izteiksme ir vispirms vienkāršota.
Piemēram: 1/2 (y - 1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)
Atrisināt
Tiek konstatēts, ka nav ielādēti daži skripti, lai atrisinātu šo uzdevumu, un programma var nedarboties.
Jums var būt Adblock iekļauts.
Šajā gadījumā atvienojiet to un atjauniniet lapu.
Lai parādītu šķīdumu, jums ir nepieciešams iespējot JavaScript.
Šeit ir instrukcijas, kā iespējot JavaScript savā pārlūkprogrammā.
Jo Vēloties atrisināt uzdevumu, ir ļoti daudz, jūsu pieprasījums ir atbilstoši.
Pēc dažām sekundēm risinājums parādīsies zemāk.
Uzgaidiet, lūdzu Sec ...
Ja jūs pamanīju kļūdu risināšanāJūs varat rakstīt par to atgriezeniskās saites veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kas uzdevums Jūs nolemjat un ko ievadiet laukā.
Mūsu spēles, puzles, emulatori:
Mazliet teorijas.
Kvadrātveida vienādojums un saknes. Nepilnīgi kvadrātveida vienādojumi
Katrs no vienādojumiem
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, quad x ^ 2- FRAC (4) (9) \u003d 0 \\ t
Ir izskats
\\ (Cirvis ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\ t
kur x ir mainīgs, A, B un C - numuri.
Pirmajā vienādojumā A \u003d -1, B \u003d 6 un C \u003d 1.4, otrajā A \u003d 8, B \u003d--7 un C \u003d 0, trešajā A \u003d 1, B \u003d 0 un C \u003d 4/9. Šādi vienādojumi tiek saukti kvadrātveida vienādojumi.
Definīcija.
Kvadrātveida vienādojums Veidlapas AX 2 + BX + C \u003d 0 vienādojums, kur x ir mainīgais, A, B un C ir daži skaitļi, un \\ (a \\ tHeq 0 \\ t).
A, B un C numuri ir kvadrātveida vienādojuma koeficienti. A skaitu sauc par pirmo koeficientu, numurs B ir otrais koeficients un numurs C - brīvais loceklis.
Katrā no formas AX 2 + BX + C \u003d 0 vienādojumiem, kur (A "NEQ 0 \\ t), lielākais mainīgo X - laukuma pakāpe. Līdz ar to nosaukums: kvadrātveida vienādojums.
Ņemiet vērā, ka kvadrātveida vienādojumu sauc arī par otro grādu vienādojumu, jo tās kreisajā pusē ir otrā līmeņa polinoms.
Kvadrātveida vienādojums, kurā koeficients pie x 2 ir 1, ko sauc Ņemot vērā kvadrātveida vienādojumu. Piemēram, ņemot vērā kvadrātveida vienādojumus, ir vienādojumi
(x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\ t
Ja kvadrātveida vienādojuma AX 2 + BX + C \u003d 0, vismaz viens no koeficientiem B vai C ir nulle, tad šādu vienādojumu sauc par nepilnīga kvadrātveida vienādojums. Tātad, vienādojumi -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 ir nepilnīgi kvadrātveida vienādojumi. Pirmajā no tiem b \u003d 0, otrajā c \u003d 0, trešajā b \u003d 0 un c \u003d 0.
Nepilnīgi kvadrātveida vienādojumi ir trīs sugas:
1) AX 2 + C \u003d 0, kur (c \\ leq 0 \\ t);
2) AX 2 + BX \u003d 0, kur (B NEQ 0 \\ t);
3) AX 2 \u003d 0.
Apsveriet katras sugas vienādojumu risinājumu.
Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātveida vienādojumu formas AX 2 + C \u003d 0, ar \\ (c \\ t
\\ (x ^ 2 \u003d - FRAC (c) (a) \\ tevs x_ (1,2) \u003d pm \\ SQRT (- FRAC (c) (a)) \\ t
Kopš \\ (C \\ NAQ 0 \\ (- FRAC (C) (A) \\ NEQ 0 \\ t
Ja (- FRAC (c) (a)\u003e 0 \\ t, vienādojumam ir divas saknes.
Ja \\ (- FRAC (c) (a), lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātveida vienādojumu formas AX 2 + BX \u003d 0, ar (B Neq 0 \\ t, tie samazina savu kreiso daļu reizinātājiem un saņemt vienādojumu
(X (AX + B) \u003d 0 RISE LAW LEFT (SGET (ARRAY) (L) x \u003d 0 \\ t AX + B \u003d 0 \\ BEND (ARRAY) labā. Līmējiet LEFT (Sākt) (Masīvs) (L) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - FRAC (b) (a) \\ galdati (masīvs) \\ t
Tātad, nepilnīgs kvadrātveida vienādojums formas cirvis 2 + bx \u003d 0 ar (b \\ (b Neq 0 \\) Vienmēr ir divas saknes.
Nepilnīgs formas cirvja 2 \u003d 0 kvadrātveida vienādojums ir līdzvērtīgs x 2 \u003d 0 vienādojumam, un tāpēc ir vienīgais saknes 0.
Kvadrātveida vienādojuma sakņu formula
Apsveriet tagad, kā kvadrātveida vienādojumi atrisina, kurā abi koeficienti ar nezināmu un brīvu locekli atšķiras no nulles.
Lāpstas kvadrātveida vienādojums kopumā un rezultātā mēs iegūstam sakņu formulu. Tad šo formulu var izmantot, risinot jebkuru kvadrātveida vienādojumu.
Resister kvadrātveida vienādojuma AX 2 + BX + C \u003d 0
Atdalot abas daļas no tā, mēs iegūstam piedāvāto kvadrātveida vienādojumu ekvivalentu
(X ^ 2 + FRAC (b) (a) X + FRAC (c) (a) \u003d 0 \\ t
Mēs pārveidojam šo vienādojumu, izceļot atlekšanas laukumu:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot FRAC (b) (2a) + \\ pa kreisi (FRAC (b) (2a) labajā) ^ 2 - pa kreisi (FRAC (b) (2a) \\ t 2 + FRAC (C) (a) \u003d 0 Riteņbraukšana \\ t
Vadīto izteiksmi sauc par diskriminācijas kvadrātveida vienādojums AX 2 + BX + C \u003d 0 ("diskriminējošs" latīņu valodā ir atšķirīgs). To apzīmē ar burtu D, t.i.
D \u003d b ^ 2-4ac \\)
Tagad, izmantojot diskriminācijas apzīmējumu, pārrakstiet kvadrātveida vienādojuma sakņu formulu:
\\ (x_ (1,2) \u003d FRAC (-b pm \\ Sqrt (d)) (2a) \\ t), kur (d \u003d b ^ 2-4ac \\)
Ir acīmredzams, ka:
1) Ja d\u003e 0, kvadrātveida vienādojums ir divas saknes.
2) Ja D \u003d 0, kvadrātveida vienādojums ir viens sakne (x \u003d - FRAC (b) (2a) \\ t).
3) ja d tādējādi ir atkarīgs no diskriminējošās vērtības, kvadrātveida vienādojumam var būt divas saknes (ar d\u003e 0), vienu sakni (pie d \u003d 0) vai nav saknes (ar D, kad atrisināt kvadrātveida vienādojumu Šī formula ir ieteicams piemērot šādā veidā:
1) Aprēķiniet diskriminējošu un salīdziniet to ar nulli;
2) Ja diskriminējošais ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, tad izmantojiet saknes formulu, ja diskriminējošais ir negatīvs, tad pierakstiet saknes.
Vieta teorēma
Iesniegtais kvadrāta vienādojuma AX 2 -7x + 10 \u003d 0 ir saknes 2 un 5. Sakņu daudzums ir 7, un produkts ir 10. Mēs redzam, ka sakņu daudzums ir vienāds ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretējo zīme, un sakņu produkts ir vienāds ar brīvu locekli. Šādam īpašumam ir kāds kvadrātveida vienādojums, kam ir sakne.
Iesniegtā kvadrātveida vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretējo zīmi, un sakņu produkts ir vienāds ar brīvu locekli.
Tiem. Vieta Theorem apgalvo, ka x 1 un x 2 no norādītā kvadrātveida vienādojuma X 2 + PX + Q \u003d 0 ir īpašums:
(LEFT (SENT (ARRAY) (L) X_1 + X_2 \u003d -P X_1 \\ T CDOT X_2 \u003d Q FEN (masīvs) \\ t
Mūsdienu sabiedrībā spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur kvadrātu izvirzītos mainīgo var būt noderīga daudzās darbības jomās un plaši izmanto praksē zinātnes un tehnikas attīstību. Pierādījumi par to var kalpot jūras un upju kuģu, gaisa kuģu un raķešu projektēšanai. Ar šādu aprēķinu palīdzību dažādu ķermeņu kustības trajektorijas, tostarp kosmosa objekti. Piemēri ar šķīdumu kvadrātveida vienādojumu tiek izmantoti ne tikai ekonomiskā prognozē, dizainā un būvniecībā ēku, bet arī visvairāk parastās ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami tūrisma kampaņās, sporta veikalos un citās ļoti bieži sastopamās situācijās.
Mēs izjauktu izteiksmi par komponentiem reizinātājiem
Vienādojuma pakāpi nosaka mainīgā lieluma maksimālā vērtība, kas satur šo izteiksmi. Gadījumā, ja tas ir 2, tad šāds vienādojums ir tikai kvadrāts.
Ja formulu valoda izsaka, tad norādītās izteiksmes, neatkarīgi no tā, kā tās izskatās, vienmēr var izraisīt veidlapa, kad izteiksmes kreisā daļa sastāv no trim noteikumiem. Starp tiem: AX 2 (tas ir, mainīgais kvadrāts ar tās koeficientu), BX (nav zināms bez kvadrāta ar tās koeficientu) un C (bezmaksas komponents, tas ir, parastais numurs). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. gadījumā, ja nav neviena no tā sastāvdaļām no noteikumiem, izņemot AX 2, to sauc par nepilnīgu kvadrātveida vienādojumu. Piemēri, risinot šādus uzdevumus, vērtība mainīgo, kur tas ir viegli atrast, vispirms ir jāuzskata.
Ja izteiksme parādās formā izskatās tādā veidā, ka divi, precīzāk, AX 2 un BX, izteiksme par izteiksmi uz izteiksmes labajā pusē, ir visvieglāk atrast mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x (AX + B). Tālāk kļūst skaidrs, ka vai x \u003d 0, vai uzdevums tiek samazināts, lai atrastu mainīgo no šāda izteiksme: AX + B \u003d 0. Norādītajā diktē vienu no reizināšanas īpašībām. Noteikums saka, ka divu faktoru produkts dod 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.
Piemērs
x \u003d 0 vai 8x - 3 \u003d 0
Tā rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0.375.
Šāda veida vienādojumi var aprakstīt struktūru kustību smaguma ietekmē, kas sāka pārvietoties no noteiktā punkta, kas pieņemts koordinātu sākumā. Šeit matemātiskais ieraksts ir šāds: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Aizstājot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi 0 un atrast iespējamos nezināmus, jūs varat uzzināt laiku, kas iet no brīža ķermeņa pieaug līdz tā kritumam, kā arī daudzas citas vērtības. Bet mēs par to runāsim vēlāk.
Sadalīšanās izteiksmes par reizinātājiem
Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt norādītos uzdevumus un sarežģītākus gadījumus. Apsveriet piemērus, risinot šāda veida kvadrātveida vienādojumus.
X 2 - 33x + 200 \u003d 0
Šis laukums trīskāršs ir pabeigts. Lai sāktu ar, mēs pārveidojam izteiksmi un sadalīt to multiplikātiem. Tie ir iegūti divi: (x-8) un (X-25) \u003d 0. Tā rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.
Piemēri, risinot kvadrātveida vienādojumus 9. klasē, ļauj šo metodi atrast mainīgo izteiksmē ne tikai otro, bet pat trešo un ceturto pasūtījumu.
Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Ar sadalīšanās pareizo daļu no reizinātājiem ar mainīgo, tie tiek iegūti trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un ( x + 3).
Tā rezultātā ir skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; -One; 3.
Izvilkt kvadrātsakni
Vēl viena otrā pasūtījuma nepilnīga vienādojuma lieta ir izteiksme, vēstuļu valodā, tādā veidā, ka labā puse ir veidota no CAIL 2 un C AMS. Šeit, par vērtības mainīgo, brīvais loceklis tiek nodots labajā pusē, un tad kvadrātsakne tiek iegūta no abām vienlīdzības daļām. Jāatzīmē, ka šajā gadījumā vienādojuma saknes parasti ir divas. Izņēmums var būt vienāds ar vienlīdzību tikai, kas parasti nesatur terminu c, kur mainīgais ir nulle, kā arī izteicienu iespējas, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumi vispār nepastāv, jo iepriekš minēto darbību nevar ražot ar saknēm. Jāņem vērā šāda veida kvadrātveida vienādojumu risinājumu piemēri.
Šādā gadījumā vienādojuma saknes būs -4 un 4.
Aprēķināšana zemes gabalu
Vajadzība pēc šādiem aprēķiniem parādījās dziļā senatnē, jo matemātikas attīstība daudzās aspektos šajos attālos laikos bija saistīts ar nepieciešamību noteikt vislielāko precizitāti teritorijas un zemes gabalu perimetru.
Piemēri, risinot kvadrātveida vienādojumus, kas sagatavoti, pamatojoties uz šāda veida uzdevumiem, būtu jāapsver mums.
Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūra zemes gabals zemes, kuru garums ir 16 metri vairāk nekā platums. Būtu jāatrod vietnes garums, platums un perimetrs, ja ir zināms, ka tās platība ir vienāda ar 612 m 2.
Sākot jautājumu, vispirms veiciet nepieciešamo vienādojumu. Apzīmē ar x platumu vietā, tad tā garums būs (x + 16). No rakstveida no tā izriet, ka apgabalā nosaka izteiksme x (x + 16), kas saskaņā ar mūsu problēmas nosacījumu ir 612. Tas nozīmē, ka X (x + 16) \u003d 612.
Pilnīgu kvadrātveida vienādojumu risinājums, un šo izteiksmi tieši tādā veidā nevar veikt vienādi. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, produkts vispār nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.
Diskriminējošs
Pirmkārt, mēs radīsim nepieciešamo konversiju, tad šī izteiksmes izskats izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Tas nozīmē, ka mēs saņēmām izteiksmi veidlapā, kas atbilst iepriekš norādītajam standartam, kur \u003d \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.
Tas var būt piemērs kvadrātveida vienādojumu risināšanai, izmantojot diskriminējošu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek veikti saskaņā ar shēmu: D \u003d B 2 - 4AC. Šī papildu vērtība ne tikai ļauj atrast vēlamās vērtības otrajā pasūtījuma vienādojumā, tas nosaka iespējamo iespēju skaitu. Ja d\u003e 0 ir divi; Kad d \u003d 0, ir viens sakne. Ja d<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Par saknēm un to formulu
Mūsu gadījumā diskriminējošs ir: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Tas liecina, ka atbilde no mūsu uzdevuma pastāv. Ja jūs zināt, K, kvadrātveida vienādojumu risinājums jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.
Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Otrā šīs dilemmas versija nevar būt šķīdums, jo zemes izmēri nevar izmērīt negatīvās vērtībās, tas nozīmē x (ti, vietnes platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18 + 16 \u003d 34 un perimetrs 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).
Piemēri un mērķi
Mēs turpinām studēt kvadrātveida vienādojumus. Piemēri un detalizēts risinājums vairākiem no tiem tiks dota tālāk.
1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1
Mēs pārskaitīsim visu, lai vienlīdzības kreisajā pusē mēs veiksim transformāciju, tas ir, mēs iegūstam formu vienādojumu, ko sauc par standartu, un izlīdzina to ar nulli.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0
Pēc tam, kad nolokās, mēs definējam diskriminējošu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām saskaņā ar iepriekš minēto formulu, kas nozīmē, ka pirmais no tiem ir 4/3, un otrais.
2) tagad atklāj cita veida mīklas.
Uzziniet, vai ir kādas saknes šeit x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Lai iegūtu visaptverošu atbildi, mēs piešķiram polinomu atbilstošai zināšanas un aprēķināt diskriminējošu. Norādītajā piemērā lauka vienādojuma risinājums nav nepieciešams, jo uzdevuma būtība nav vispār. Šādā gadījumā d \u003d 16 - 20 \u003d 4, kas nozīmē, ka nav sakņu.
Vieta teorēma
Kvadrātveida vienādojumi ir ērti atrisinātas ar iepriekš minētajiem formulām un diskriminējošu, kad kvadrātsakne tiek iegūta no pēdējās vērtības. Bet tas notiek ne vienmēr. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgos lielumus. Piemērs: kvadrātveida vienādojumu risinājumi Vieta teorijā. Viņa ir nosaukta, pēc tam dzīvoja XVI gadsimtā Francijā un padarīja izcilu karjeru viņa matemātisko talantu un pagalmu dēļ. To var redzēt rakstā.
Modelis, ka slavenais franču atzīmēts bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma saknes apjomā ir skaitliski vienāds ar -p \u003d b / a, un to produkts atbilst Q \u003d c / a.
Tagad apsveriet konkrētus uzdevumus.
3x 2 + 21x - 54 \u003d 0
Vienkāršībai mēs pārveidojam izteiksmi:
x 2 + 7x - 18 \u003d 0
Mēs izmantojam Vieta Theorem, tas mums sniegs: Sakņu daudzums ir -7, un viņu darbs -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir numuri -9 un 2. pēc pārbaudes, pārliecinieties, ka šīs mainīgo lielumu vērtības ir patiešām piemērotas izteiksmē.
Grafiks un parabola vienādojums
Koncepcijas Quadratic funkcija un kvadrātveida vienādojumi ir cieši saistīti. Tas jau ir parādīts agrāk. Tagad apsveriet dažas matemātiskas mīklas nedaudz vairāk. Jebkuru aprakstītā veida vienādojumu var iedomāties. Līdzīgu atkarību no grafika formā sauc parabolu. Viņas dažādi veidi ir parādīti zemāk redzamajā attēlā.
Jebkurai Parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iznāk tās filiāles. Ja a\u003e 0, viņi atstāj augstu bezgalību, un kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Vizuālie attēli funkciju palīdz atrisināt jebkādus vienādojumus, ieskaitot kvadrātu. Šo metodi sauc par grafiku. Un vērtība mainīgo X ir koordinātu abscisa vietās, kur grafika grafika šķērso no 0x. Virpju koordinātas var atrast saskaņā ar vienīgo doto formulu x 0 \u003d -b / 2a. Un, aizstājot iegūto vērtību uz sākotnējo vienādojumu funkciju, jūs varat mācīties Y 0, tas ir, otro koordinātu Pearabol virsotne, kas pieder orelnā asij.
Šķērsojot Parabola filiāles ar abscisa asi
Piemēri ar kvadrātveida vienādojumu risinājumiem ir ļoti daudz, bet ir vispārīgi modeļi. Apsveriet tos. Ir skaidrs, ka grafika krustojums ar asi 0x pie\u003e 0 ir iespējama tikai tad, ja 0 saņem negatīvas vērtības. Un A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Pretējā gadījumā d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Saskaņā ar diagrammu, var definēt parabolas un saknes. Pretēji ir arī taisnība. Tas ir, ja jūs saņemsiet vizuālu attēlu kvadrātisko funkciju nav viegli, jūs varat pielīdzināt labo daļu izteiksmes līdz 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un zinot krustojuma punktus ar 0x asi, ir vieglāk veidot grafiku.
No vēstures
Izmantojot vienādojumus, kas satur kvadrātu izvirzītu mainīgo, vecajās dienās ne tikai matemātisko aprēķinu un noteica ģeometrisko skaitļu zonu. Līdzīgi seno aprēķini bija nepieciešami lieliem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī apkopot astroloģiskās prognozes.
Tā kā mūsdienu zinātnes rādītāji liecina, starp pirmajiem kvadrātveida vienādojumu risinājumiem, iedzīvotāji Babilonas sākās. Tas notika četros gadsimtos pirms mūsu laikmeta sākuma. Protams, to aprēķini saknes atšķīrās no paša paša paša un izrādījās daudz primitīvas. Piemēram, Mesopotamian matemātiķi nebija ne jausmas par negatīvo skaitļu esamību. Svešiniekiem bija arī citi smalkumi no tiem, kas zina jebkuru studentu no mūsu laika.
Iespējams, pat iepriekšējie Babilonas zinātnieki, kvadrātveida vienādojumu risinājums, Indijas Budhoyama salvija bija iesaistīta. Tas notika apmēram astoņos gadsimtos pirms Kristus laikmetā. Taisnība, vienādojums otrajā kārtībā, metodes risināšanas, ko viņš vadīja bija visvairāk vienlaicīgi. Papildus viņam, šādi jautājumi bija ieinteresēti veco un ķīniešu matemātiķiem. Eiropā kvadrātveida vienādojumi sāka atrisināt tikai XIII gadsimta sākumā, bet vēlāk viņi tika izmantoti viņu darbā tādos lieliskos zinātniekus kā Newton, Dekarts un daudzi citi.
Komplekss skaits xi
§ 253. ekstrakcija kvadrātveida saknes no negatīviem skaitļiem.
Square vienādojumu risinājums ar negatīviem diskriminējumiem
Kā mēs zinām,
i. 2 = - 1.
Tomēr
(- i. ) 2 = (- 1 i. ) 2 = (- 1) 2 i. 2 = -1.
Tādējādi ir vismaz divas kvadrāta saknes vērtības no - 1, proti, i. un - i. . Bet varbūt ir daži citi sarežģīti skaitļi, kuru laukumi ir vienādi ar 1?
Lai noskaidrotu šo jautājumu, pieņemsim, ka integrētā numura kvadrāts a + bi. vienāds - 1. Tad
(a + bi. ) 2 = - 1,
un 2 + 2abi - b. 2 = - 1
Divi sarežģīti numuri ir vienādi, un tikai tad, ja to derīgās daļas ir vienādas un koeficientus pie iedomātā daļām. tāpēc
| { |
un
2 - b.
2 = - 1 |
Saskaņā ar otro sistēmas vienādojumu (1) vismaz viens no skaitļiem un un b. jābūt nullei. Ja b. \u003d 0, tad no pirmā vienādojuma izrādās un 2 \u003d - 1. numurs un derīgs un tāpēc un 2 > 0. nav negatīvs skaits un 2 nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli - 1. tādēļ vienlīdzība b. \u003d 0 Šajā gadījumā tas nav iespējams. Tas paliek atzīt, ka un \u003d 0, bet pēc tam no pirmās sistēmas vienādojuma mēs saņemam: - b. 2 = - 1, B. \u003d ± 1.
Līdz ar to sarežģīti skaitļi, kuru kvadrāti ir vienādi ar -1, ir tikai skaitļi i. un - i. , Tas ir nosacīti uzrakstīts veidlapā:
√ - 1 \u003d ± i. .
Līdzīgi argumenti, studenti var pārliecināties, ka ir tieši divi skaitļi, kuru kvadrāti ir vienādi ar negatīvu skaitli - un . Šie skaitļi ir √ a. i. un -√ a. i. . Nosacīti tas ir rakstīts kā:
√- un = ± √ a. i. .
Zem √ a. Šeit ir paredzēts aritmētiskais, tas ir, pozitīvs, sakne. Piemēram, √4 \u003d 2, √9 \u003d 0,3; tā
√-4 = + 2i. , √-9 \u003d ± 3 i.
Ja agrāk, apsverot kvadrātveida vienādojumus ar negatīviem diskriminējumiem, mēs teicām, ka šādiem vienādojumiem nav sakņu, tagad to nav iespējams pateikt. Square vienādojumi ar negatīviem diskriminējumiem ir sarežģītas saknes. Šīs saknes tiek iegūtas ar mums zināmo formulām. Ļaut, piemēram, ņemot vērā vienādojumu x. 2 + 2h. + 5 \u003d 0; tad
h. 1.2 \u003d - 1 ± √1 -5 \u003d - 1 ± √-4 \u003d - 1 ± 2 i. .
Tāpēc šim vienādojumam ir divas saknes: h. 1 = - 1 +2i. , H. 2 = - 1 - 2i. . Šīs saknes ir savstarpēji konjugētas. Interesanti atzīmēt, ka summa ir vienāda ar 2, un darbs 5, lai Vieta teorēma tiktu veikta.
Vingrinājumi
2022. (U ar tn par.) Atrisināt vienādojumus:
un) x. 2 \u003d - 16; b) x. 2 \u003d - 2; 3 x. 2 = - 5.
2023. Atrodiet visus sarežģītos numurus, kuru laukumi ir vienādi:
un) i. ; b) 1/2 - √ 3/2 i. ;
2024. kvadrātveida vienādojumi:
un) x. 2 - 2x. + 2 \u003d 0; b) 4. x. 2 + 4x. + 5 \u003d 0; in in) x. 2 - 14x. + 74 = 0.
Atrisināt sistēmas vienādojumu (Nr 2025, 2026):
| { |
x + y.
= 6 |
| { |
2x -
3y.
= 1 |
2027. Pierādiet, ka kvadrātveida vienādojuma saknes ar derīgiem koeficientiem un negatīvo diskrimināciju ir savstarpēji konjugāts.
2028. Pierādiet, ka Vieta teorēma attiecas uz jebkuru kvadrātveida vienādojumu, un ne tikai vienādojumos ar negregatīvu diskrimināciju.
2029. Izveidojiet kvadrātveida vienādojumu ar derīgiem koeficientiem, kuru saknes ir:
a) h. 1 = 5 - i. , h. 2 = 5 + i. ; b) h. 1 = 3i. , h. 2 = - 3i. .
2030. Izveidojiet kvadrātveida vienādojumu ar derīgiem koeficientiem, kas ir viena no saknēm, kas ir vienāda ar (3 - i. ) (2i. - 4).
2031. Izveidojiet kvadrātveida vienādojumu ar derīgiem koeficientiem, kas ir viena no saknēm, kas ir vienādas 32 -
i.
1- 3i.
.
Mēs strādāsim ar S. kvadrātveida vienādojumi. Tie ir ļoti populāri vienādojumi! Visbiežāk, kvadrātveida vienādojums izskatās šādi:
Piemēram:
Šeit un =1; b. = 3; c. = -4
Šeit un =2; b. = -0,5; c. = 2,2
Šeit un =-3; b. = 6; c. = -18
Nu, jūs sapratāt ...
Kā atrisināt kvadrātveida vienādojumus? Ja šādā veidā jums ir kvadrātveida vienādojums, tad viss ir vienkāršs. Atcerieties burvju vārdu diskriminējošs . Reti vidusskolotājs nedzirdēja vārdu! Frāze "izlemj caur diskriminējošu", ieplūst uzticību un veicinās. Jo tas nav nepieciešams gaidīt trikus no diskriminācijas! Tas ir vienkāršs un bez problēmām apgrozībā. Tātad, formula, lai atrastu saknes kvadrātveida vienādojumu izskatās šādi:
Izteiksme zem saknes zīmes - un ir tas pats diskriminējošs. Kā jūs varat redzēt, lai atrastu ICA, mēs izmantojam tikai A, B un ar. Tiem. Kvadrātveida vienādojuma koeficienti. Vienkārši kārtīgi aizstāj vērtības a, b un ar Šajā formulā un mēs uzskatām. Aizvietotājs ar jūsu zīmēm! Piemēram, par pirmo vienādojumu un =1; b. = 3; c. \u003d -4. Šeit un rakstiet:
Piemērs ir praktiski atrisināts:
Tas ir viss.
Kādi gadījumi ir iespējami, izmantojot šo formulu? Kopējie trīs gadījumi.
1. Pozitīvi diskriminējoši. Tas nozīmē, ka ir iespējams iegūt sakni. Labs sakne tiek iegūts vai slikts - jautājums ir atšķirīgs. Ir svarīgi, lai tas principā tiek iegūts. Tad jūsu kvadrātveida vienādojums ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.
2. Diskriminācija ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Stingri runājot, tas nav viens sakne, bet divi identiski. Bet tai ir nozīme nevienlīdzību, tur mēs esam sīkāk izpētīt jautājumu.
3. Diskriminācija ir negatīva. No negatīvā skaita, kvadrātsakne netiek noņemta. Nu, labi. Tas nozīmē, ka nav risinājumu.
Viss ir ļoti vienkāršs. Un ko jūs domājat, ka nav iespējams kļūdīties? Nu, jā, kā ...
Visbiežāk sastopamās kļūdas - neskaidrības ar vērtību pazīmēm a, b un ar. Drīzāk, nevis ar savām pazīmēm (kur ir sajaukta?), Un ar negatīvo vērtību aizstāšanu sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit ir detalizēts ievads formulu ar konkrētiem numuriem. Ja ir problēmas ar skaitļošanu, dari tā!
Pieņemsim, ka jums tas ir nepieciešams, lai atrisinātu šo vienu:
Šeit a \u003d -6; b \u003d -5; C \u003d -1.
Pieņemsim, ka jūs zināt, ka jums reti ir atbildes no pirmo reizi.
Nu, nav slinks. Uzrakstiet lieko līniju aizņems sekundes 30. un kļūdu skaitu strauji sagriezti. Šeit mēs rakstām detalizēti, ar visiem kronšteiniem un zīmēm:
Šķiet neticami grūti, tik rūpīgi krāsas. Bet tas tikai šķiet. Mēģināt. Nu, vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātri vai pa labi? Arī es jūs sitīšu. Pēc kāda laika, tur pazudīs tik rūpīgi gleznot visu. Pati būs taisnība. Īpaši, ja jūs izmantojat praktiskas metodes, kas aprakstītas tieši zemāk. Šis ļaunais piemērs ar mīnusu ķekars tiks atrisināts viegli un bez kļūdām!
Tā, kā atrisināt kvadrātveida vienādojumus Caur diskrimināciju, mēs atcerējāmies. Vai uzzināja, ka tas ir labi. Zināt, kā pareizi definēt a, b un ar. Zināšanas uzmanīgi aizvietojiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Jūs sapratāt, ka galvenais vārds ir šeit - uzmanīgi?
Tomēr kvadrātveida vienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:
tā nepilnīgi kvadrātveida vienādojumi . Tos var atrisināt arī caur diskrimināciju. Tas ir nepieciešams tikai pareizi iedomāties, kas ir vienāds ar a, b un ar.
Labots? Pirmajā piemērā a \u003d 1; b \u003d 4; un c.? Nav neviens vispār! Nu, jā, vai labi. Matemātikā tas nozīmē, ka c \u003d 0. ! Tas ir viss. Mēs aizstāvam nulles formulu c, Un viss izrādīsies. Līdzīgi, ar otro piemēru. Tikai nulle šeit nav no, un b. !
Bet nepilnīgi kvadrātveida vienādojumus var atrisināt daudz vieglāk. Bez diskriminācijas. Apsveriet pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko var izdarīt tur kreisajā pusē? Jūs varat veikt ir iekavās! Pieņemsim izcelt.
Un ko no tā? Un tas, ka darbs ir nulle, un tikai tad, ja daži no reizinātājiem ir vienāds ar nulli! Neticu? Nu, nāk klajā ar diviem ne-nulles numuriem, kas dos nulli ar reizināt!
Nestrādā? Tas ir kaut kas ...
Līdz ar to jūs varat droši rakstīt: x \u003d 0., vai x \u003d 4.
Viss. Tas būs mūsu vienādojuma saknes. Abi ir piemēroti. Aizstājot jebkuru no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam uzticīgu identitāti 0 \u003d 0. Kā jūs varat redzēt, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā caur diskrimināciju.
Otro vienādojumu var atrisināt arī vienkārši. Mēs pārvadājam 9 labajā pusē. Mēs saņemam:
Tas paliek sakne, lai iegūtu no 9, un tas ir tas. Izrādās:
Arī divas saknes . x \u003d +3 un x \u003d -3.
Tātad visi nepilnīgi kvadrātveida vienādojumi ir atrisināti. Vai nu izmantojot kronšteinu, vai vienkārši pārsūtot numuru pa labi, kam seko saknes ekstrakcija.
Ir ārkārtīgi grūti sajaukt šīs metodes. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā jums būs jāizrāt no XCA saknes, kas ir kaut kas nav skaidrs, un otrajā gadījumā tas nav nekas kronšteiniem ...
Un tagad ņemiet vērā praktiskās metodes, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Visvairāk, ka, pateicoties neuzmanībai. ... par kuru tad tas notiek sāp un ievainots ...
Uzņemšana vispirms. Pirms kvadrātveida vienādojuma risināšanas nav slinks, lai to panāktu standarta veidlapā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc visām transformācijām jūs saņēmāt šādu vienādojumu:
Nelietojiet skriešanās, lai uzrakstītu saknes formulu! Gandrīz iespējams, jūs sajaukt koeficientus a, b un s. Veidojiet piemēru pareizi. Pirmkārt, X ir laukumā, tad bez kvadrāta, tad bezmaksas penis. Kā šis:
Un nav skriešanās vēlreiz! Mīnuss priekšā ix laukumā var būt veselīga, lai izjauktu jūs. Aizmirstiet to viegli ... atbrīvoties no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīts iepriekšējā tēmā! Tas ir nepieciešams, lai reizinātu visu vienādojumu uz -1. Mēs saņemam:
Bet tagad jūs varat droši ierakstīt sakņu formulu, apsveriet diskrimināciju un piemēru. Dore sevi. Jums ir jābūt saknēm 2 un -1.
Uzņemšana Otra. Pārbaudiet saknes! Uz Vieta teorēmu. Nelietojiet skandāla, es paskaidrošu visu! Pārbaude pēdējā lieta vienādojumu. Tiem. Ka mēs reģistrējām sakņu formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a \u003d 1.Pārbaudiet saknes viegli. Pietiekami, lai tos vairotu. Būtu jābūt brīvam dalībniekam, t.I. Mūsu lietā -2. Piezīme, ne 2, un -2! Bezmaksas penis ar savu zīmi
. Ja tas nedarbojās, tas nozīmē kaut kur viņi ir uzkrājuši. Meklējiet kļūdu. Ja tas noticis - ir nepieciešams salocīt saknes. Pēdējā un galīgā pārbaude. Jānotiek koeficientu b. no pretējs
zīme. Mūsu lietā -1 + 2 \u003d +1. Un koeficients b.kas atrodas IX priekšā, vienāds ar -1. Tātad, viss ir taisnība!
Žēl, ka ir tik vienkārši piemēriem, kur x ir tīrs, ar koeficientu a \u003d 1. Bet vismaz pārbaudiet šādos vienādojumus! Būs mazāk kļūdu.
Trešo vietu. Ja vienādojumā ir daļēji koeficienti, - atbrīvoties no frakcijām! Reizināt vienādojumu vispārējā saucēja, kā aprakstīts iepriekšējā sadaļā. Strādājot ar kļūdas frakcijām, kādu iemeslu dēļ un kāpt ...
Starp citu, es apsolīju ļaunu piemēru ar ķekars mīnusi, lai vienkāršotu. Jūs esat laipni gaidīti! Te tas ir.
Lai nebūtu sajaukt mīnusā, vienādojums --1 ir dominējošs. Mēs saņemam:
Tas ir viss! Izlemiet - viens prieks!
Tātad, apkopojiet tēmu.
Praktiski padomi:
1. Pirms risināšanas mēs sniedzam kvadrātveida vienādojumu standarta veidlapai, veidojiet to pareizi.
2. Ja negatīvs koeficients ir vērts negatīvu koeficientu pirms X, novērst tās reizināšanu visa vienādojuma uz -1.
3. Ja frakcionētie koeficienti novērš frakciju, reizinot visu vienādojumu atbilstošajam reizinātājam.
4. Ja X ir kvadrātveida - tīrs, koeficients ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt Vieta teorēmā. Dariet to!
Frakcionētie vienādojumi. Nepāra
Mēs turpinām izpētīt vienādojumus. Mēs jau esam informēti par to, kā strādāt ar lineāriem vienādojumiem un laukumā. Pēdējais skats palika - frakcionētie vienādojumi. Vai arī tos sauc arī par daudz cietāku - frakcionētie racionāli vienādojumi. Tas ir tāds pats.
Frakcionētie vienādojumi.
Kā skaidri no nosaukuma frakcijas noteikti ir šajos vienādojumos. Bet ne tikai daļa, un fraraty, kam ir nezināms saucējs. Vismaz vienā. Piemēram:
Ļaujiet man atgādināt jums, ja tikai saucātājiem skaitļiTie ir lineāri vienādojumi.
Kā izlemt frakcionētie vienādojumi? Pirmkārt - atbrīvoties no frakcijām! Pēc tam vienādojums visbiežāk pārvēršas lineārā vai laukumā. Un tad mēs zinām, ko darīt ... Dažos gadījumos tas var kļūt par identitāti, 5. tipa \u003d 5 vai nepareiza izteiksme, 7. tipa \u003d 2. Bet tas reti notiek. Zemāk es runāju par to.
Bet kā atbrīvoties no frakcijām!? Ļoti vienkārši. Visu to pašu identitātes reklāmguvumu piemērošanu.
Mums ir nepieciešams, lai reizinātu visu vienādojumu par to pašu izteiksmi. Lai visi saucēji būtu kluss! Viss būs vieglāk nekavējoties. Es paskaidroju par piemēru. Ļaujiet mums atrisināt vienādojumu:
Kā jūs mācījāt junioru klasēs? Mēs visu vadu vienā virzienā, noved pie kopsaucēja utt. Aizmirstiet, kā briesmīgi sapnis! Tātad jums ir jādara, kad jūs salokojat vai atskaitāt frakcionētus izteiksmes. Vai strādāt ar nevienlīdzību. Un vienādojumos mēs nekavējoties reizināt abas daļas uz izteiksmes, kas dos mums iespēju samazināt visus saucējus (tas ir, būtībā, uz vispārējo saucēju). Un kāda ir šī izteiksme?
Kreisajā daļā, lai samazinātu saucēju, ir nepieciešama reizināšana x + 2. . Un pareizajā nepieciešamajā reizināšanā ar 2. Tātad vienādojums ir reizināts ar 2 (x + 2). Reizināt:
Tas ir parastā reizināšana frakcijas, bet es rakstīšu detalizēti:
Piezīme, es joprojām neatklāju kronšteinu (x + 2)! Tātad, es pilnībā uzrakstīšu:
Kreisajā pusē ir pilnībā samazināts (x + 2)un labajā 2. Kas bija nepieciešams! Pēc griešanas mēs saņemam lineārs Vienādojums:
Un šis vienādojums jau izlems ikvienu! x \u003d 2..
Es izlemt citu piemēru, nedaudz sarežģītāk:
Ja atceraties, ka 3 \u003d 3/1, un 2x \u003d 2x /1, varat rakstīt:
Un atkal mēs atbrīvojamies no tā, ko mēs patiešām nepatīk - no frakcijām.
Mēs redzam, ka, lai samazinātu saucēju ar XA, jums ir vairoties frakcija uz (X - 2). Un vienības, ko mēs neietekmējam. Nu, reiziniet. Viss Pa kreisi I daļa. viss Pareizā daļa:
Virs kronšteiniem (X - 2) Es neatklājos. Es strādāju ar kronšteinu kopumā, it kā tas būtu viens numurs! Tātad jums vienmēr vajadzētu darīt, pretējā gadījumā nekas netiks samazināts.
Ar dziļas apmierinātības sajūtu (X - 2) Un mēs saņemam vienādojumu bez frakcijas, LinesHek!
Bet tagad mēs jau atklājam iekavās:
Mēs dodam šīs lietas, mēs pārskaitām visu pa kreisi, un mēs saņemam:
Klasisks kvadrātveida vienādojums. Bet mīnus uz priekšu nav labs. Jūs vienmēr varat atbrīvoties no tā, reizinot vai dalot -1. Bet, ja paskatās uz piemēru, jūs varat redzēt, ka vislabāk ir sadalīt šo vienādojumu līdz -2! Viens uztriepes un mīnuss pazudīs, un koeficienti skaistāks kļūs! DELIM ON -2. Kreisajā pusē - augsnē un labajā pusē - tikai nulles sadalīt uz -2, nulles un saņemiet:
Mēs izlemjam diskriminējošu un pārbaudiet Vieta teorēmu. Saņemt x \u003d 1 un x \u003d 3. Divas saknes.
Kā redzams, pirmajā gadījumā vienādojums pēc transformācijas ir kļuvusi lineāra, un šeit ir kvadrātveida. Tas notiek, ka pēc atbrīvojoties no frakcijām, visi Xers tiek samazināti. Kaut kas paliek, piemēram, 5 \u003d 5. Tas nozīmē, ka x var būt jebkurš. Neatkarīgi no tā, tas joprojām tiks samazināts. Un izrādās tīra patiesība, 5 \u003d 5. Bet pēc tam, kad atbrīvojos no frakcijām, tas var izrādīties pilnīgi nepatiesa, 2. tipa \u003d 7. Un tas nozīmē, ka nav risinājumu! Ar jebkuru IQA, izrādās, ka nav taisnība.
Saprata galveno veidu, kā atrisināt frakcionētie vienādojumi? Tas ir vienkāršs un loģisks. Mēs mainām sākotnējo izteiksmi, lai viss, kas mums nepatīk, ir pazudis. Vai traucē. Šajā gadījumā tā ir daļa. Tāpat mēs nāksim ar visu veidu sarežģītiem piemēriem ar logaritmiem, sinusa un citiem šausmām. mēs ir vienmēr Mēs to atbrīvosimies.
Tomēr, lai mainītu sākotnējo izteiksmi virzienā, kas jums nepieciešams saskaņā ar noteikumiemJā ... kuru izstrāde ir sagatavošanās eksāmenam matemātikā. Tāpēc mēs apgūstam.
Tagad mēs iemācīsimies apiet vienu no galvenais Ambigu eksāmenā! Bet par sākumu, redzēsim, vai jūs nonākat tajā vai nē?
Mēs analizēsim vienkāršu piemēru:
Lieta jau ir pazīstama, mēs reizina abas daļas (X - 2)Mēs saņemam:
Es atgādinu jums ar kronšteiniem (X - 2) Mēs strādājam kā ar vienu, cietu izteiksmi!
Šeit es vairs neesmu uzrakstījis vienu denominatoros, nav sabrukuma ... un kronšteini netika izmantoti saucēji, tur ir izņemot x - 2. Nē, jūs nevarat izdarīt. Sarkanasari:
Mēs atklājam kronšteinus, pārsūtiet visu pa kreisi, dodiet šīs lietas:
Mēs izlemsim, vai mēs pārbaudām, mēs saņemam divas saknes. x \u003d 2. un x \u003d 3.. Naudas sodu.
Pieņemsim, ka uzdevumā teikts rakstīt saknes vai to summu, ja saknes ir vairāk nekā viena. Ko mēs rakstīsim?
Ja jūs nolemjat, ka atbilde ir 5, - jūs skāra slazdu. Un uzdevums netiek ieskaitīts. Vainā strādāja ... pareizā atbilde ir 3.
Kas noticis?! Un jūs mēģināt pārbaudīt. Aizstāt nezināmās vērtības avots piemērs. Un, ja x \u003d 3. Mēs visi brīnāmies aug kopā, mēs saņemam 9 \u003d 9, tad kad x \u003d 2. Tas tiks sadalīts nullē! Ko nevar veikt kategoriski. Tā x \u003d 2. Lēmums nav, un atbildes gadījumā nav ņemts vērā. Tas ir tā sauktais svešinieks vai lieko sakni. Mēs to vienkārši mest. Galīgais sakne ir viens. x \u003d 3..
Kā tā?! - Es dzirdu sašutumu izsaukumus. Mums tika mācīts, ka vienādojumu var reizināt ar izteiksmi! Tas ir identisks konversijas!
Jā, identisks. Ar nelielu stāvokli - izteiksmi, par kuru mēs reizināt (sadalīt) - pilns no nulles. UN x - 2. priekš x \u003d 2. Tikpat nulle! Tātad viss ir godīgs.
Un tagad to, ko es varu darīt?! Vai nav reizināt izteiksmi? Katru reizi pārbaudot to darīt? Atkal tas nav skaidrs!
Mierīgs! Bez panikas!
Šajā sarežģītajā situācijā mēs ietaupīsim trīs burvju vēstules. Es zinu, ko jūs domājāt. Pareizi! tā Nepāra . Pieļaujamo vērtību platība.
Es ceru, ka pētot šo rakstu, jūs iemācīsieties atrast pilnīgas kvadrātveida vienādojumu saknes.
Ar diskriminējošu palīdzību tiek atrisinātas tikai pilnīgas kvadrātveida vienādojumi, lai atrisinātu kvadrātveida vienādojumus, citas metodes, kuras jūs atradīsiet rakstā "Nepilnīgu kvadrātmetru vienādojumu lēmums".
Kādus kvadrātveida vienādojumus sauc par pilnu? tā veidlapas AH 2 + B X + C \u003d 0 vienādojumiJa koeficienti A, B un nav vienāds ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnīgu kvadrātveida vienādojumu, ir nepieciešams aprēķināt diskriminējošo D.
D \u003d b 2 - 4as.
Atkarībā no tā, kāda veida svarīga ir diskriminācija, mēs uzrakstīsim atbildi.
Ja diskriminācija ir negatīvs skaitlis (d< 0),то корней нет.
Ja diskriminējošs ir nulle, x \u003d (-b) / 2a. Kad diskriminācija ir pozitīvs skaits (D\u003e 0),
tad x 1 \u003d (-b - √d) / 2a un x 2 \u003d (-b + √d) / 2a.
Piemēram. Atrisināt vienādojumu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.
D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0
x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2
Atbilde: 2
Atrisiniet 2. vienādojumu. x 2 + x + 3 \u003d 0.
D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23
Atbilde: Nav saknes.
Atrisiniet 2. vienādojumu. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.
D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Atbilde: - 3.5; viens.
Tātad, pieņemsim iedomāties pilnīgu kvadrātveida vienādojumu risinājumu ar shēmu 1. attēlā.
Saskaņā ar šiem formulām jūs varat atrisināt jebkuru pilnīgu kvadrātveida vienādojumu. Jums ir nepieciešams rūpīgi uzraudzīt vienādojumu reģistrēja standarta tipa polinoms.
un x 2 + BX + C, Pretējā gadījumā jūs varat izdarīt kļūdu. Piemēram, ierakstā vienādojumu X + 3 + 2x 2 \u003d 0, tas ir kļūdaini var atrisināt to
a \u003d 1, b \u003d 3 un c \u003d 2. Tad
D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tas ir nepareizs. (Skatiet 2. piemēra risinājumu iepriekš).
Tādēļ, ja vienādojums nav rakstīts ne uz polinomu standarta sugām, pirmajā pilnā kvadrātveida vienādojumu jāreģistrē ar polinomu standarta sugu (pirmkārt, būtu jāpārbauda ar lielāko rādītāju, tas ir un x 2 tad ar mazāku – bx.un tad bezmaksas penis no.
Atrodot konkrētu kvadrātveida vienādojumu un kvadrātveida vienādojumu ar vienmērīgu koeficientu, izmantojot otro termiņu, citas formulas var izmantot. Pieņemsim iepazīties ar šīm formulām. Ja pilnā kvadrātveida vienādojumā otrajā termiņā koeficients būs pat (b \u003d 2k), tad vienādojumu saskaņā ar formulām 2. attēlā var atrisināt.
Pilnu kvadrātveida vienādojumu sauc par iepriekš minēto, ja koeficients ir x 2 vienāds ar vienu un vienādojumu veido formu x 2 + px + q \u003d 0. Šādu vienādojumu var dot atrisināt vai iegūst, dalot visas koeficienta vienādojuma koeficientu unstāvoklis x 2 .
3. attēlā redzams iepriekš minētās kvadrāta risināšanas shēma 
vienādojumi. Apsveriet piemēru šajā pantā izskatīto formulu piemērošanu.
Piemērs. Atrisināt vienādojumu
3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.
Izlemsim šo vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas 1. attēlā shēmā.
D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3
x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3
Atbilde: -1 - √3; -1 + √3
Var redzēt, ka koeficients X šajā vienādojumā ir pat numurs, tas ir, b \u003d 6 vai b \u003d 2k, no kur k \u003d 3. Tad mēs cenšamies atrisināt vienādojumu atbilstoši formulām, kas parādītas diagrammā D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27
√ (d 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Atbilde: -1 - √3; -1 + √3. Pamanīju, ka visi koeficienti šajā kvadrātveida vienādojumā ir sadalīti 3 un veicot sadalījumu, mēs iegūstam samazinātu kvadrātveida vienādojumu x 2 + 2x - 2 \u003d 0, risinot šo vienādojumu, izmantojot formulas norādītajam laukumam 
vienādojumi 3. attēlā.
D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3
Atbilde: -1 - √3; -1 + √3.
Kā mēs redzam, risinot šo vienādojumu dažādās formulās, mēs saņēmām to pašu atbildi. Tāpēc ir labi informēti par formulām, kas parādītas 1. attēlā shēmā, jūs vienmēr varat atrisināt jebkuru pilnīgu kvadrātveida vienādojumu.
blog.Set, ar pilnu vai daļēju kopēšanu materiāla atsauces uz sākotnējo avotu ir nepieciešama.