Risinot daudzas matemātikas uzdevumi, jo īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumus, lineārās un kvadrātvienādības, daļvienādojumus un vienādojumus, kas reducējas uz kvadrātvienādojumu. Katra minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jākonstatē, kāda veida uzdevums tiek risināts, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.
Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risināšanas posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.
Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.
Dažreiz ir grūti noteikt tā veidu pēc vienādojuma izskata. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:
1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu novest līdz "tādām pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.
Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem
Risinājuma shēma
1. darbība. Izsakiet trigonometrisko funkciju zināmo komponentu izteiksmē.
2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.
iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.
Piemērs.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Lēmums.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Mainīga aizstāšana
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.
2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).
3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.
4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.
5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Piemērs.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Lēmums.
1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.
4) grēks (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Vienādojuma secības samazināšanas metode
Risinājuma shēma
1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:
grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.
Piemērs.
cos2x + cos2x = 5/4.
Lēmums.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogēni vienādojumi
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā
a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)
vai uz skatu
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).
2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
un iegūstiet tg x vienādojumu:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Lēmums.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Ļaujiet tg x = t, tad
t 2 + 3 t - 4 = 0;
t = 1 vai t = -4, tātad
tg x = 1 vai tg x = -4.
No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas
Risinājuma shēma
1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, izveidojiet šo vienādojumu līdz vienādojumam, ko var atrisināt ar I, II, III, IV metodēm.
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Lēmums.
1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;
No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.
Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti 
svarīgi, to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.
Ar trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.
Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas un personības attīstības procesā kopumā.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!
blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Trigonometriskie vienādojumi nav vieglākais temats. Sāpīgi tie ir dažādi.) Piemēram, šie:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
utt...
Taču šiem (un visiem pārējiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas iezīmes. Pirmkārt - jūs neticēsit - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: visas izteiksmes ar x ir šo pašu funkciju ietvaros. Un tikai tur! Ja kaut kur parādās x ārā, Piemēram, sin2x + 3x = 3, tas būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Šeit mēs tos neuzskatīsim.
Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo lēmums jebkura trigonometriskie vienādojumi sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums ar dažādām transformācijām tiek reducēts uz vienkāršu. Otrajā - šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nav.
Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)
Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Šeit a apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.
Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs x, bet gan kāda veida izteiksme, piemēram:
cos(3x+π /3) = 1/2
utt. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.
Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs izpētīsim šo ceļu šeit. Otrs veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apskatīts nākamajā nodarbībā.
Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir stiprāka par atmiņu!
Mēs risinām vienādojumus, izmantojot trigonometrisko apli.
Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Vai nevari!? Tomēr... Trigonometrijā tev būs grūti...) Bet tas nav svarīgi. Apskatiet nodarbības "Trigonometriskais aplis ...... Kas tas ir?" un "Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no mācību grāmatām...)
Ak, zini!? Un pat apguvis "Praktisko darbu ar trigonometrisko apli"!? Pieņemiet apsveikumus. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Īpaši patīkami ir tas, ka trigonometriskajam aplim ir vienalga, kuru vienādojumu jūs atrisināt. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss - viņam viss ir vienāds. Risinājuma princips ir vienāds.
Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:
cosx = 0,5
Man jāatrod X. Runājot cilvēku valodā, jums ir nepieciešams atrodiet leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.
Kā mēs izmantojām apli iepriekš? Mēs uzzīmējām tai stūri. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēts šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uz apļa uzzīmējiet kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un nekavējoties redzēsim injekcija. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!
Mēs uzzīmējam apli un atzīmējam kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Uz kosinusa ass, protams. Kā šis:
Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Novietojiet peles kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un skat tas pats stūris X.
Kura leņķa kosinuss ir 0,5?
x \u003d π / 3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Dažs noburkšķēs skeptiski, jā... Saka, vai bija vērts nožogot apli, kad tik un tā viss skaidrs... Var, protams, ņurdēt...) Bet fakts ir tāds, ka tas ir kļūdains atbildi. Pareizāk sakot, neadekvāti. Apļa cienītāji saprot, ka joprojām ir vesela virkne leņķu, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5.
Ja pagriežat kustīgo pusi OA uz pilnu pagriezienu, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies 360° vai 2π radiāni un kosinuss nav. Jaunais leņķis 60° + 360° = 420° arī būs mūsu vienādojuma risinājums, jo
Šādu pilnu rotāciju ir bezgalīgi daudz... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tās visas kaut kā jāpieraksta. Visi. Pretējā gadījumā lēmums netiek izskatīts, jā ...)
Matemātika to var izdarīt vienkārši un eleganti. Vienā īsā atbildē pierakstiet bezgalīgs komplekts risinājumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Es atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni jaukāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)
π /3 ir tāds pats leņķis kā mēs ieraudzīja uz apļa un noteikts saskaņā ar kosinusu tabulu.
2π ir viens pilns pagrieziens radiānos.
n - tas ir pabeigto skaits, t.i. vesels revolūcijas. Ir skaidrs ka n var būt 0, ±1, ±2, ±3.... un tā tālāk. Kā norādīts īsajā ierakstā:
n∈Z
n pieder ( ∈ ) uz veselu skaitļu kopu ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n var izmantot burtus k, m, t utt.
Šis apzīmējums nozīmē, ka varat ņemt jebkuru veselu skaitli n . Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko tu gribi. Ja pievienojat šo skaitli savā atbildē, jūs iegūstat noteiktu leņķi, kas noteikti ir mūsu skarbā vienādojuma risinājums.)
Vai, citiem vārdiem sakot, x \u003d π / 3 ir vienīgā bezgalīgas kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π / 3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2πn radiāns.
Viss? Nē. Es īpaši stiepju prieku. Lai labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ne viena sakne, tā ir vesela virkne sakņu, kas uzrakstītas īsā formā.
Bet ir arī citi leņķi, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5!
Atgriezīsimies pie mūsu attēla, saskaņā ar kuru mēs pierakstījām atbildi. Šeit viņa ir:
Pārvietojiet peles kursoru virs attēla un skat vēl viens stūris, ka dod arī kosinusu 0,5. Kas, jūsuprāt, ir vienāds? Trijstūri ir vienādi... Jā! Tas ir vienāds ar leņķi X , tikai attēlots negatīvā virzienā. Šis ir stūris -X. Bet mēs jau esam aprēķinājuši x. π /3 vai 60°. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:
x 2 \u003d - π / 3
Un, protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti pilnos pagriezienos:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Tagad tas ir viss.) Trigonometriskā aplī mēs ieraudzīja(kas saprot, protams)) visi leņķi, kas dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Un viņi pierakstīja šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde ir divas bezgalīgas sakņu sērijas:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Šī ir pareizā atbilde.
ceru, vispārējs trigonometrisko vienādojumu risināšanas princips ar apļa palīdzību ir saprotams. No dotā vienādojuma uz apļa atzīmējam kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu), uzzīmējam atbilstošos leņķus un pierakstām atbildi. Protams, jums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam ieraudzīja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, kā jau teicu, šeit ir nepieciešama loģika.)
Piemēram, analizēsim citu trigonometrisko vienādojumu:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.
Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējam apli, atzīmējam (uz sinusa ass, protams!) 0,5. Mēs uzreiz uzzīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam. Mēs iegūstam šo attēlu:
Vispirms tiksim galā ar leņķi. X pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Lieta ir vienkārša:
x \u003d π / 6
Mēs atceramies pilnus pagriezienus un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Puse darba ir paveikta. Tagad mums ir jādefinē otrais stūris... Tas ir sarežģītāk nekā kosinusos, jā... Bet loģika mūs izglābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Jā Viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris X vienāds ar leņķi X . Tikai tas tiek skaitīts no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei mums ir nepieciešams leņķis, kas pareizi izmērīts no pozitīvās pusass OX, t.i. no 0 grādu leņķa.
Novietojiet kursoru virs attēla un skatiet visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Mūs interesējošais leņķis (zīmēts zaļā krāsā) būs vienāds ar:
π - x
x mēs to zinām π /6 . Tātad otrais leņķis būs:
π - π /6 = 5π /6
Atkal atceramies pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tas ir viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Vienādojumus ar tangensu un kotangensu var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja vien jūs, protams, nezināt, kā trigonometriskā riņķī uzzīmēt pieskari un kotangensu.
Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju sinusa un kosinusa tabulas vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina obligāti. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tātad izlemiet!)
Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds trigonometriskais vienādojums:
Īsajās tabulās šādas kosinusa vērtības nav. Mēs vēsi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējam apli, atzīmējam 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējam atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam šo attēlu.
Mēs saprotam, iesākumam, ar leņķi pirmajā ceturtdaļā. Lai zinātu, ar ko x ir vienāds, viņi uzreiz pieraksta atbildi! Mēs nezinām... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika neatstāj savējos bēdās! Viņa izgudroja loka kosinusus šim gadījumam. Nezinu? Velti. Uzziniet. Tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Saskaņā ar šo saiti nav nevienas viltīgas burvestības par "apgrieztām trigonometriskām funkcijām" ... Tas ir lieki šajā tēmā.
Ja jūs zināt, vienkārši sakiet sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir 2/3." Un uzreiz, tikai pēc arkosīna definīcijas, mēs varam rakstīt:
Mēs atceramies par papildu apgriezieniem un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:
x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Arī otrā sakņu sērija tiek ierakstīta gandrīz automātiski, otrajam leņķim. Viss ir pa vecam, tikai x (arccos 2/3) būs ar mīnusu:
x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Un visas lietas! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Jums nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šis attēls ar risinājumu caur loka kosinusu būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.
tieši tā! Vispārīgais princips par to un vispārējais! Es speciāli uzzīmēju divus gandrīz identiskus attēlus. Aplis mums parāda leņķi X pēc tā kosinusa. Tas ir tabulas kosinuss, vai ne - aplis nezina. Kāds ir šis leņķis, π / 3, vai kāds loka kosinuss ir mūsu ziņā.
Ar sinusu tā pati dziesma. Piemēram:
Atkal mēs zīmējam apli, atzīmējam sinusu, kas vienāds ar 1/3, zīmējam stūrus. Izrādās šis attēls:
Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sākam no stūra pirmajā ceturtdaļā. Ar ko x ir vienāds, ja tā sinuss ir 1/3? Nekādu problēmu!
Tātad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Apskatīsim otro leņķi. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija vienāds ar:
π - x
Tātad šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši uzrakstīt otro sakņu iepakojumu:
x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Šī ir pilnīgi pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir saprotams, es ceru.)
Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tieši viņš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu izvēli noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz sarežģītāki par standarta.
Pielietot zināšanas praksē?
Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:
Sākumā tas ir vienkāršāk, tieši šajā nodarbībā.
Tagad ir grūtāk.
Padoms: šeit ir jādomā par apli. Personīgi.)
Un tagad ārēji nepretenciozi ... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Padoms: šeit jums ir jānoskaidro aplī, kur ir divas atbilžu sērijas, un kur ir viena ... Un kā pierakstīt vienu, nevis divas atbilžu sērijas. Jā, lai nezaudētu nevienu sakni no bezgalīga skaitļa!)
Nu, pavisam vienkārši):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arkosīns, arkosīns? Kas ir loka tangenss, loka tangenss? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)
Atbildes, protams, ir nesakārtotas):
x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Vai viss neizdodas? Tas notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds...) Un seko linkiem. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrijā - kā šķērsot ceļu ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)
var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Nepieciešamas zināšanas par trigonometrijas pamatformulām - sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pieskares izteiksmi caur sinusu un kosinusu un citām. Tiem, kas tos ir aizmirsuši vai nezina, iesakām izlasīt rakstu "".
Tātad, mēs zinām pamata trigonometriskās formulas, ir pienācis laiks tās likt lietā. Trigonometrisko vienādojumu risināšana ar pareizo pieeju tā ir diezgan aizraujoša nodarbe, kā, piemēram, Rubika kuba risināšana.
Pamatojoties uz pašu nosaukumu, ir skaidrs, ka trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir tā sauktie vienkāršie trigonometriskie vienādojumi. Lūk, kā tie izskatās: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Apsveriet, kā atrisināt šādus trigonometriskos vienādojumus, skaidrības labad izmantosim jau pazīstamo trigonometrisko apli.
sinx = a
cos x = a
iedegums x = a
gultiņa x = a
Jebkurš trigonometriskais vienādojums tiek atrisināts divos posmos: vienādojumu veido vienkāršākā formā un pēc tam atrisina kā vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Ir 7 galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
Mainīgo aizstāšana un aizstāšanas metode
Trigonometrisko vienādojumu risināšana, izmantojot faktorizēšanu
Reducēšana uz homogēnu vienādojumu
Vienādojumu risināšana, izmantojot pāreju uz pusleņķi
Palīgleņķa ieviešana
Atrisiniet vienādojumu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0
Izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam:
2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0
Vienkāršības labad aizstāsim cos(x + /6) ar y un iegūsim parasto kvadrātvienādojumu:
2 g 2 – 3 g + 1 + 0
Kuru saknes y 1 = 1, y 2 = 1/2
Tagad iesim atpakaļ
Mēs aizvietojam atrastās y vērtības un iegūstam divas atbildes:
Kā atrisināt vienādojumu sin x + cos x = 1?
Pārvietosim visu pa kreisi, lai 0 paliktu labajā pusē:
sin x + cos x - 1 = 0
Mēs izmantojam iepriekš minētās identitātes, lai vienkāršotu vienādojumu:
sin x — 2 sin 2 (x/2) = 0
Veiksim faktorizēšanu:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Mēs iegūstam divus vienādojumus
Vienādojums ir viendabīgs attiecībā pret sinusu un kosinusu, ja visi tā noteikumi attiecībā uz sinusu un kosinusu ir vienādās vienādības leņķa pakāpēs. Lai atrisinātu viendabīgu vienādojumu, rīkojieties šādi:
a) pārnes visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;
b) izlikt visus izplatītos faktorus iekavās;
c) visus faktorus un iekavas pielīdzina 0;
d) iekavās iegūts mazākas pakāpes viendabīgs vienādojums, kuru savukārt dala ar sinusu vai kosinusu augstākā pakāpē;
e) atrisiniet iegūto vienādojumu tg.
Atrisiniet vienādojumu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Izmantosim formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 un atbrīvosimies no atvērtajiem diviem labajā pusē:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Sadaliet ar cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Mēs aizstājam tg x ar y un iegūstam kvadrātvienādojumu:
y 2 + 4y +3 = 0, kuru saknes ir y 1 = 1, y 2 = 3
Šeit mēs atrodam divus sākotnējā vienādojuma risinājumus:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Atrisiniet vienādojumu 3sin x - 5cos x = 7
Pārejam pie x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Pārbīdot visu pa kreisi:
2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Dalīt ar cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0
Apsvēršanai ņemsim formas vienādojumu: a sin x + b cos x \u003d c,
kur a, b, c ir daži patvaļīgi koeficienti un x ir nezināms.
Sadaliet abas vienādojuma puses ar:
Tagad vienādojuma koeficientiem pēc trigonometriskām formulām ir sin un cos īpašības, proti: to modulis nav lielāks par 1 un kvadrātu summa = 1. Apzīmēsim tos attiecīgi kā cos un sin, kur ir tā sauktais palīgleņķis. Tad vienādojumam būs šāda forma:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
vai sin(x + ) = C
Šī vienkāršā trigonometriskā vienādojuma risinājums ir
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kur
Jāņem vērā, ka apzīmējumi cos un sin ir savstarpēji aizstājami.
Atrisiniet vienādojumu sin 3x - cos 3x = 1
Šajā vienādojumā koeficienti ir:
a \u003d, b \u003d -1, tāpēc mēs sadalām abas daļas ar \u003d 2
Risinot daudzas matemātikas uzdevumi, jo īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumus, lineārās un kvadrātvienādības, daļvienādojumus un vienādojumus, kas reducējas uz kvadrātvienādojumu. Katra minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jākonstatē, kāda veida uzdevums tiek risināts, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.
Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risināšanas posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.
Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.
Dažreiz ir grūti noteikt tā veidu pēc vienādojuma izskata. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:
1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu novest līdz "tādām pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.
Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem
Risinājuma shēma
1. darbība. Izsakiet trigonometrisko funkciju zināmo komponentu izteiksmē.
2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.
iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.
Piemērs.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Lēmums.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Mainīga aizstāšana
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.
2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).
3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.
4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.
5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Piemērs.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Lēmums.
1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.
4) grēks (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Vienādojuma secības samazināšanas metode
Risinājuma shēma
1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:
grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.
Piemērs.
cos2x + cos2x = 5/4.
Lēmums.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogēni vienādojumi
Risinājuma shēma
1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā
a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)
vai uz skatu
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).
2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
un iegūstiet tg x vienādojumu:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Lēmums.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Ļaujiet tg x = t, tad
t 2 + 3 t - 4 = 0;
t = 1 vai t = -4, tātad
tg x = 1 vai tg x = -4.
No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas
Risinājuma shēma
1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, izveidojiet šo vienādojumu līdz vienādojumam, ko var atrisināt ar I, II, III, IV metodēm.
2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Lēmums.
1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;
No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.
Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti svarīgi, to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.
Ar trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.
Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas un personības attīstības procesā kopumā.
Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes
2. ievads
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes 5
Algebriskā 5
Vienādojumu atrisināšana, izmantojot tāda paša nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumu 7
Faktorings 8
Reducēšana uz homogēnu vienādojumu 10
11. palīgleņķa ieviešana
Pārvērst produktu uz summu 14
Universāla aizstāšana 14
17. secinājums
Ievads
Līdz desmitajai klasei daudzu vingrinājumu, kas ved uz mērķi, darbību secība, kā likums, ir nepārprotami noteikta. Piemēram, lineārie un kvadrātvienādojumi un nevienādības, daļvienādojumi un kvadrātvienādojumi utt. Detalizēti neanalizējot katra no minētajiem piemēriem risināšanas principu, atzīmējam vispārīgo, kas nepieciešams to veiksmīgam risinājumam.
Vairumā gadījumu jums ir jānosaka, kāda veida uzdevums ir, jāatceras darbību secība, kas noved pie mērķa sasniegšanas, un jāveic šīs darbības. Ir acīmredzams, ka studenta veiksme vai neveiksme vienādojumu risināšanas metožu apguvē galvenokārt ir atkarīga no tā, cik daudz viņš spēs pareizi noteikt vienādojuma veidu un atcerēties visu tā risināšanas posmu secību. Protams, tas paredz, ka skolēnam ir prasmes veikt identiskus pārveidojumus un aprēķinus.
Pavisam cita situācija rodas, kad skolēns tiekas ar trigonometriskiem vienādojumiem. Tajā pašā laikā nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, meklējot darbības virzienu, kas novestu pie pozitīva rezultāta. Un šeit students saskaras ar divām problēmām. Ir grūti noteikt veidu pēc vienādojuma izskata. Un, nezinot veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties vēlamo formulu no vairākiem desmitiem pieejamo.
Lai palīdzētu skolēniem orientēties sarežģītajā trigonometrisko vienādojumu labirintā, viņi vispirms tiek iepazīstināti ar vienādojumiem, kas pēc jauna mainīgā ieviešanas tiek reducēti uz kvadrātveida. Pēc tam atrisiniet viendabīgus vienādojumus un reducējiet uz tiem. Viss, kā likums, beidzas ar vienādojumiem, kuru atrisināšanai nepieciešams faktorizēt kreiso pusi, pēc tam katru no faktoriem pielīdzinot nullei.
Saprotot, ka ar pusotru duci stundās analizēto vienādojumu nepārprotami nepietiek, lai skolēns patstāvīgi brauktu pa trigonometrisko "jūru", skolotājs pievieno vēl dažus ieteikumus no sevis.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:
Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
Apvienojiet vienādojumu ar "tādām pašām funkcijām";
Faktorizējiet vienādojuma kreiso pusi utt.
Bet, neskatoties uz zināšanām par galvenajiem trigonometrisko vienādojumu veidiem un vairākiem to risinājuma atrašanas principiem, daudzi studenti joprojām atrodas strupceļā katra vienādojuma priekšā, kas nedaudz atšķiras no tiem, kas tika atrisināti iepriekš. Paliek neskaidrs, uz ko jātiecas, ja ir viens vai otrs vienādojums, kāpēc vienā gadījumā ir jāpiemēro dubultleņķa formulas, otrā - pusleņķa formulas, bet trešajā - saskaitīšanas formulas utt.
1. definīcija. Trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais ir ietverts trigonometrisko funkciju zīmē.
2. definīcija. Tiek uzskatīts, ka trigonometriskajam vienādojumam ir vienādi leņķi, ja visām tajā iekļautajām trigonometriskajām funkcijām ir vienādi argumenti. Tiek uzskatīts, ka trigonometriskajam vienādojumam ir tādas pašas funkcijas, ja tajā ir tikai viena no trigonometriskajām funkcijām.
3. definīcija. Trigonometriskās funkcijas saturoša monoma pakāpe ir tajā iekļauto trigonometrisko funkciju pakāpju summa.
4. definīcija. Vienādojumu sauc par viendabīgu, ja visiem tajā esošajiem monomiem ir vienāda pakāpe. Šo pakāpi sauc par vienādojuma secību.
5. definīcija. Trigonometriskais vienādojums, kas satur tikai funkcijas grēks un cos, sauc par viendabīgu, ja visiem monomiem attiecībā uz trigonometriskajām funkcijām ir vienāda pakāpe, pašām trigonometriskajām funkcijām ir vienādi leņķi un monomālu skaits ir par 1 lielāks par vienādojuma secību.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana sastāv no diviem posmiem: vienādojuma pārveidošanas, lai iegūtu tā vienkāršāko formu, un iegūtā vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma atrisināšanas. Ir septiņas pamata metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
es. algebriskā metode.Šī metode ir labi zināma no algebras. (Mainīgo aizvietošanas un aizstāšanas metode).
Atrisiniet vienādojumus.
1)
Ieviesīsim apzīmējumu x=2 grēks3 t, saņemam
Atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūstam: 
vai 
tie. var uzrakstīt
Rakstot risinājumu, kas iegūts zīmju klātbūtnes dēļ 
grāds 
nav jēgas rakstīt.
Atbilde: 
Apzīmē 
Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu 
. Tās saknes ir skaitļi 
un 
. Tāpēc šis vienādojums tiek reducēts līdz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem 
un 
. Atrisinot tos, mēs to atklājam 
vai 
.
Atbilde: 
; 
.
Apzīmē 
neapmierina nosacījumu 
Līdzekļi 
Atbilde: 
Pārveidosim vienādojuma kreiso pusi:
Tādējādi šo sākotnējo vienādojumu var uzrakstīt šādi:
, t.i.
Apzīmējot 
, saņemam 
Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mums ir:
neapmierina nosacījumu 
Mēs pierakstām sākotnējā vienādojuma risinājumu:
Atbilde: 
Aizstāšana 
samazina šo vienādojumu par kvadrātvienādojumu 
. Tās saknes ir skaitļi 
un 
. Kā 
, tad dotajam vienādojumam nav sakņu.
Atbilde: nav sakņu.
II. Vienādojumu risināšana, izmantojot tāda paša nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādības nosacījumu.
a) 
, ja
b) 
, ja
iekšā) 
, ja 
Izmantojot šos nosacījumus, apsveriet šādu vienādojumu risinājumu:
6) 
Izmantojot a) daļā teikto, mēs atklājam, ka vienādojumam ir risinājums tad un tikai tad 
.
Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam 
.
Mums ir divas risinājumu grupas: 
.
7) Atrisiniet vienādojumu: 
.
Izmantojot b) daļas nosacījumu, mēs to secinām 
.
Atrisinot šos kvadrātvienādojumus, mēs iegūstam:
.
8) Atrisiniet vienādojumu 
.
No šī vienādojuma mēs secinām, ka . Atrisinot šo kvadrātvienādojumu, mēs to atklājam 
.
III. Faktorizācija.
Mēs apsveram šo metodi ar piemēriem.
9) Atrisiniet vienādojumu 
.
Lēmums. Pārvietosim visus vienādojuma nosacījumus pa kreisi: .
Mēs pārveidojam un faktorizējam izteiksmi vienādojuma kreisajā pusē: 
.
.
.
1)
2) 
Jo 
un 
neņemiet vērtību null
tajā pašā laikā mēs atdalām abas daļas
vienādojumi priekš 
, 
Atbilde: 
10) Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums.
vai 
Atbilde: 
11) Atrisiniet vienādojumu
Lēmums:
1)
2)
3)
, 
Atbilde: 
IV. Reducēšana uz homogēnu vienādojumu.
Lai atrisinātu homogēnu vienādojumu, jums ir nepieciešams:
Pārvietojiet visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;
Izlieciet visus izplatītos faktorus iekavās;
Visus faktorus un iekavas pielīdzināt nullei;
Iekavas, kas vienādas ar nulli, dod mazākas pakāpes viendabīgu vienādojumu, kas jādala ar 
(vai 
) vecākajā pakāpē;
Atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu priekš 
.
Apsveriet piemērus:
12) Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums.
Sadaliet abas vienādojuma puses ar 
, 
Iepazīstinām ar apzīmējumu 
, vārds
šī vienādojuma saknes ir: 
no šejienes 1) 
2) 
Atbilde: 
13) Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums. Izmantojot dubultā leņķa formulas un pamata trigonometrisko identitāti, mēs samazinām šo vienādojumu līdz pusei argumenta:
Pēc līdzīgu terminu samazināšanas mums ir:
Viendabīgo pēdējo vienādojumu dalot ar 
, saņemam
Es iecelšu 
, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu 
, kuras saknes ir skaitļi 
Tādējādi 
Izteiksme 
pazūd plkst 
, t.i. plkst 
, 
.
Mūsu vienādojuma risinājums neietver šos skaitļus.
Atbilde: 
, .
V. Palīgleņķa ieviešana.
Apsveriet formas vienādojumu
Kur a, b, c- koeficienti, x- nezināms.
Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar 
Tagad vienādojuma koeficientiem ir sinusa un kosinusa īpašības, proti: katra no tiem modulis nepārsniedz vienību, un to kvadrātu summa ir vienāda ar 1.
Tad mēs varam tos attiecīgi marķēt 
(šeit 
- palīgleņķis), un mūsu vienādojums ir šāds: .
Tad 
Un viņa lēmums
Ņemiet vērā, ka ieviestais apzīmējums ir savstarpēji aizstājams.
14) Atrisiniet vienādojumu: 
Lēmums. Šeit 
, tāpēc mēs sadalām abas vienādojuma puses ar 
Atbilde: 
15) Atrisiniet vienādojumu
Lēmums. Kā 
, tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam
Kā 
, tad ir tāds leņķis, ka 
, 
(tie. 
).
Mums ir 
Kā 
, tad beidzot iegūstam:
.
Ņemiet vērā, ka formas vienādojumam ir risinājums tad un tikai tad 
16) Atrisiniet vienādojumu:
Lai atrisinātu šo vienādojumu, mēs grupējam trigonometriskās funkcijas ar tiem pašiem argumentiem
Sadaliet abas vienādojuma puses ar diviem
Mēs pārveidojam trigonometrisko funkciju summu produktā:
Atbilde: 
VI. Pārvērst produktu par summu.
Šeit tiek izmantotas atbilstošās formulas.
17) Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums. Pārvērsīsim kreiso pusi par summu:
VII.Universāla aizstāšana.
, 
šīs formulas attiecas uz visiem 
Aizstāšana 
sauc par universālu.
18) Atrisiniet vienādojumu: 
Risinājums: nomainiet un 
to izteiksmei cauri 
un apzīmē 
.
Mēs iegūstam racionālu vienādojumu 
, kas tiek pārvērsts kvadrātā 
.
Šī vienādojuma saknes ir skaitļi 
.
Tāpēc problēma tika samazināta līdz divu vienādojumu atrisināšanai 
.
Mēs to atrodam 
.
Skatīt vērtību 
neapmierina sākotnējo vienādojumu, kas tiek pārbaudīts, pārbaudot - aizvietojot doto vērtību t sākotnējam vienādojumam.
Atbilde: 
.
komentēt. 18. vienādojumu var atrisināt citādi.
Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar 5 (t.i., ar 
): 
.
Kā 
, tad ir skaitlis 
, kas 
un 
. Tātad vienādojums kļūst: 
vai 
. No šejienes mēs to atrodam 
kur 
.
19) Atrisiniet vienādojumu 
.
Lēmums. Tā kā funkcijas 
un 
kuru lielākā vērtība ir vienāda ar 1, tad to summa ir vienāda ar 2, ja 
un 
, tajā pašā laikā, tas ir 
.
Atbilde: 
.
Atrisinot šo vienādojumu, tika izmantota funkciju un robeža.
Secinājums.
Strādājot pie tēmas “Trigonometrisko vienādojumu risinājumi”, katram skolotājam ir lietderīgi ievērot šādus ieteikumus:
Sistematizēt metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
Izvēlieties sev soļus, lai veiktu vienādojuma analīzi un vienas vai otras risināšanas metodes izmantošanas lietderības pazīmes.
Pārdomāt darbības paškontroles veidus metodes ieviešanā.
Iemācieties izveidot "savus" vienādojumus katrai no pētītajām metodēm.
Iesniegums Nr.1
Atrisiniet viendabīgus vai reducējamus vienādojumus.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
