Vienādojumu atrisināšana ar sinusu. Sinuss (sin x) un kosinuss (cos x) - īpašības, grafiki, formulas

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas jēdziens.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, pārveidojiet to par vienu vai vairākiem pamata trigonometriskajiem vienādojumiem. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana galu galā ir četru pamata trigonometrisko vienādojumu atrisināšana.

Trigonometrisko pamatvienādojumu risināšana.

Ir 4 trigonometrisko pamatvienādojumu veidi:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Pamata trigonometrisko vienādojumu risināšana ietver dažādu x pozīciju apskati uz vienības apļa un konvertēšanas tabulas (vai kalkulatora) izmantošanu.
1. piemērs.sin x = 0,866. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = π / 3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: 2π / 3. Atcerieties: visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas. Piemēram, sin x un cos x periodiskums ir 2πn, un tg x un ctg x periodiskums ir πn. Tāpēc atbilde ir uzrakstīta šādi:
x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
2. piemērs.cos x = -1/2. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = 2π / 3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: -2π / 3.
x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
Piemērs 3.tg (x - π / 4) = 0.
Atbilde: x = π / 4 + πn.
4. piemērs. ctg 2x = 1,732.
Atbilde: x = π / 12 + πn.

Transformācijas, ko izmanto trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

Trigonometrisko vienādojumu pārveidošanai tiek izmantotas algebriskās transformācijas (faktorizācija, viendabīgu terminu samazināšana utt.) un trigonometriskās identitātes.
5. piemērs. Izmantojot trigonometriskās identitātes, vienādojums sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tiek pārveidots par vienādojumu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Tādējādi jums ir jāatrisina šādi trigonometriskie pamatvienādojumi: cos x = 0; grēks (3x / 2) = 0; cos (x/2) = 0.
Leņķu atrašana no zināmām funkciju vērtībām.
- Pirms trigonometrisko vienādojumu risināšanas metožu apguves jums jāiemācās atrast leņķus no zināmām funkciju vērtībām. To var izdarīt, izmantojot konvertēšanas tabulu vai kalkulatoru.
- Piemērs: cos x = 0,732. Kalkulators sniegs atbildi x = 42,95 grādi. Vienības aplis dos papildu leņķus, kuru kosinuss arī ir 0,732.
Novietojiet šķīdumu malā uz vienības apļa.
- Jūs varat atlikt risinājumus trigonometriskajam vienādojumam uz vienības apļa. Vienības apļa trigonometriskā vienādojuma atrisinājumi ir regulāra daudzstūra virsotnes.
- Piemērs: Risinājumi x = π / 3 + πn / 2 uz vienības apļa ir kvadrāta virsotnes.
- Piemērs: Risinājumi x = π / 4 + πn / 3 uz vienības apļa attēlo regulāra sešstūra virsotnes.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
- Ja dotais trigu vienādojums satur tikai vienu trigu funkciju, atrisiniet šo vienādojumu kā pamata trigu vienādojumu. Ja dotajā vienādojumā ir iekļautas divas vai vairākas trigonometriskas funkcijas, tad šāda vienādojuma atrisināšanai ir 2 metodes (atkarībā no tā pārveidošanas iespējas).
  - 1. metode.
- Pārvērtiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kur f (x), g (x), h (x) ir trigonometriskie pamata vienādojumi.
- Piemērs 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulu sin 2x = 2 * sin x * cos x, nomainiet sin 2x.
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
- 7. piemērs.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu ar šādu formu: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
- 8. piemērs.sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0 .
  - 2. metode.
- Pārvērtiet doto trigonometrisko vienādojumu par vienādojumu, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju. Pēc tam nomainiet šo trigonometrisko funkciju ar kādu nezināmu, piemēram, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t utt.).
- Piemērs 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Risinājums. Šajā vienādojumā aizstājiet (cos ^ 2 x) ar (1 - sin ^ 2 x) (pēc identitātes). Pārveidotais vienādojums ir:
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x aizstāj ar t. Tagad vienādojums izskatās šādi: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Otrā sakne t2 neatbilst funkcijas vērtību diapazonam (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Piemērs 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
- Risinājums. Aizstāt tg x ar t. Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu šādi: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Tagad atrodiet t un pēc tam atrodiet x, ja t = tg x.

Jūs varat pasūtīt detalizētu savas problēmas risinājumu!!!

Vienādību, kas satur nezināmo zem trigonometriskās funkcijas zīme (`sin x, cos x, tan x` vai` ctg x`), sauc par trigonometrisko vienādojumu, un mēs tālāk aplūkosim to formulas.

Vienkāršākos vienādojumus sauc par "sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a", kur" x" ir atrodamais leņķis, "a" ir jebkurš skaitlis. Pierakstīsim katrai no tām saknes formulas.

1. Vienādojums `sin x = a`.

`| a |> 1` nav risinājumu.

Par `| a | \ leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. Vienādojums cos x = a

`| a |> 1` - tāpat kā sinusa gadījumā, tam nav atrisinājumu starp reāliem skaitļiem.

Par `| a | \ leq 1` ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Saknes formula: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Īpaši gadījumi sinusam un kosinusam grafikos.

3. Vienādojums “tg x = a”.

Ir bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai “a” vērtībai.

Saknes formula: "x = arctan a + \ pi n, n \ in Z".

4. Vienādojums “ctg x = a”.

Ir arī bezgalīgs skaits risinājumu jebkurai "a" vērtībai.

Saknes formula: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Formulas trigonometrisko vienādojumu saknēm tabulā

Sinusam:
Kosinusam:
Pieskarei un kotangensei:
Formulas vienādojumu risināšanai, kas satur apgrieztas trigonometriskās funkcijas:

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes

Jebkura trigonometriskā vienādojuma risinājums sastāv no diviem posmiem:

izmantojot konvertēt to uz vienkāršāko;
atrisiniet iegūto vienkāršāko vienādojumu, izmantojot iepriekš uzrakstītās saknes formulas un tabulas.

Apskatīsim galveno risināšanas metožu piemērus.

Algebriskā metode.

Šajā metodē tiek veikta mainīgā aizstāšana un aizstāšana ar vienlīdzību.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: "2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0"

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3 cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0,

mēs veicam izmaiņas: "cos (x + \ frac \ pi 6) = y", tad" 2y ^ 2-3y + 1 = 0",

mēs atrodam saknes: `y_1 = 1, y_2 = 1/2`, no kurienes seko divi gadījumi:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Atbilde: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorizācija.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `sin x + cos x = 1`.

Risinājums. Pārvietojiet visus vienādības nosacījumus pa kreisi: "sin x + cos x-1 = 0". Kreisās puses izmantošana, pārveidošana un faktorēšana:

"sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0",

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0",

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0",

"sin x / 2 = 0", "x / 2 = \ pi n", "x_1 = 2 \ pi n".
"cos x / 2-sin x / 2 = 0", "tg x / 2 = 1", "x / 2 = arctan 1+ \ pi n", "x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n" , "x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n".

Atbilde: `x_1 = 2 \ pi n`, ` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Pirmkārt, šis trigonometriskais vienādojums ir jāsadala vienā no diviem veidiem:

`a sin x + b cos x = 0` (pirmās pakāpes homogēns vienādojums) vai` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

Pēc tam sadaliet abas daļas ar cos x \ ne 0 — pirmajā gadījumā un ar cos ^ 2 x \ ne 0 — otrajā gadījumā. Mēs iegūstam vienādojumus `tg x`:` a tg x + b = 0` un `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, kas jāatrisina ar zināmām metodēm.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Risinājums. Pārrakstiet labo pusi kā `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 grēks ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 grēks ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` ` grēks ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Šis ir homogēns otrās pakāpes trigonometriskais vienādojums, tā kreiso un labo pusi sadalām ar `cos ^ 2 x \ ne 0`, iegūstam:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0'. Mēs ieviešam aizstāšanu `tg x = t`, kā rezultātā` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Šī vienādojuma saknes ir `t_1 = -2` un ` t_2 = 1`. Pēc tam:

"tg x = -2", "x_1 = arctg (-2) + \ pi n", "n \ in Z"
`tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z.

Atbilde. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`, ` n \ in Z.

Iet uz pusstūri

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Risinājums. Lietojiet dubultā leņķa formulas, kā rezultātā: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x/2–11 tg x/2 + 6 = 0

Izmantojot iepriekš minēto algebrisko metodi, mēs iegūstam:

"tg x / 2 = 2", x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n", "n \ in Z",
"tg x / 2 = 3 / 4", x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n", "n \ in Z".

Atbilde. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z.

Ieviest palīgleņķi

Trigonometriskajā vienādojumā `a sin x + b cos x = c`, kur a, b, c ir koeficienti un x ir mainīgais, mēs abas puses dalām ar` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Koeficientiem kreisajā pusē ir sinusa un kosinusa īpašības, proti, to kvadrātu summa ir vienāda ar 1 un to absolūtās vērtības nav lielākas par 1. Mēs tos apzīmējam šādi: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, tad:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Apskatīsim tuvāk šādu piemēru:

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Risinājums. Sadaliet abas vienādības puses ar `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, iegūstam:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3^2 + 4^2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

Apzīmēsim `3/5 = cos \ varphi`, ` 4/5 = sin \ varphi`. Tā kā `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, kā palīgleņķi ņemam `\ varphi = arcsin 4/5`. Tad mēs rakstām savu vienādību formā:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Izmantojot formulu sinusa leņķu summai, mēs rakstām savu vienādību šādā formā:

"sin (x + \ varphi) = 2/5",

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z.

Atbilde. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z.

Frakcionāli-racionālie trigonometriskie vienādojumi

Tās ir vienādības ar daļskaitļiem ar trigonometriskām funkcijām skaitītājos un saucējos.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x.

Risinājums. Reiziniet un sadaliet vienādības labo pusi ar (1 + cos x)”. Rezultātā mēs iegūstam:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0'

Ņemot vērā, ka saucējs nevar būt vienāds ar nulli, iegūstam `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`.

Pielīdziniet daļskaitļa skaitītāju nullei: sin x-sin ^ 2 x = 0, sin x (1-sin x) = 0. Tad sin x = 0 vai 1-sin x = 0.

"sin x = 0", "x = \ pi n", "n \ in Z".
"1-sin x = 0", sin x = -1, "x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ in Z".

Ņemot vērā, ka `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z, risinājumi ir šādi: x = 2 \ pi n, n \ in Z un `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , "n \ in Z".

Atbilde. `x = 2 \ pi n`, ` n \ in Z, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`, ` n \ in Z.

Trigonometrija un jo īpaši trigonometriskie vienādojumi tiek izmantoti gandrīz visās ģeometrijas, fizikas un inženierzinātņu jomās. Mācības sākas 10. klasē, eksāmenam noteikti ir uzdevumi, tāpēc mēģiniet atcerēties visas trigonometrisko vienādojumu formulas - tās noteikti noderēs!

Taču tos pat nevajag iegaumēt, galvenais ir saprast būtību un spēt izsecināt. Tas nav tik grūti, kā izklausās. Pārliecinies pats, noskatoties video.

Trigonometriskie vienādojumi nav vieglākais temats. Sāpīgi tie ir dažādi.) Piemēram, piemēram:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

utt...

Bet šiem (un visiem citiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas īpašības. Pirmais - jūs neticēsiet - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: tiek atrastas visas izteiksmes ar x šajās pašās funkcijās. Un tikai tur! Ja x parādās jebkurā vietā ārā, piemēram, sin2x + 3x = 3, tas jau būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Mēs tos šeit neapskatīsim.

Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim visvienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo risinājums jebkura trigonometriskajiem vienādojumiem ir divi posmi. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums tiek reducēts uz vienkāršu, izmantojot dažādas transformācijas. Otrajā gadījumā šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nav.

Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)

Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Šeit a apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.

Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs x, bet gan kaut kāda izteiksme, piemēram:

cos (3x + π / 3) = 1/2

utt. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?

Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs apsvērsim šo ceļu šeit. Otrs veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apspriests nākamajā nodarbībā.

Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir stiprāka par atmiņu!)

Vienādojumu atrisināšana, izmantojot trigonometrisko apli.

Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Nezinu kā!? Tomēr ... jums ir grūti trigonometrijā ...) Bet tas nav svarīgi. Apskatiet nodarbības "Trigonometriskais aplis ...... Kas tas ir?" un "Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no apmācībām...)

Ak, zini!? Un pat apguvis "Praktisko darbu ar trigonometrisko apli" !? Apsveicu. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Kas ir īpaši patīkami, trigonometriskajam aplim ir vienalga, kuru vienādojumu jūs atrisināt. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss – viņam viss ir viens. Ir tikai viens risinājuma princips.

Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:

cosx = 0,5

Mums jāatrod X. Cilvēciskā izteiksmē tev vajag atrodi leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.

Kā mēs izmantojām apli agrāk? Mēs uzzīmējām tai stūri. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēts šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uzzīmēsim uz apļa kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un uzreiz skat injekcija. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!

Uzzīmējiet apli un atzīmējiet kosinusu 0,5. Uz kosinusa ass, protams. Kā šis:

Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Pārvietojiet peles kursoru virs zīmējuma (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un skat tieši šajā stūrī NS.

Kāds leņķis ir kosinuss 0,5?

x = π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Kāds skeptiski pasmiesies, jā... Saka, vai bija vērts riņķot, kad viss jau skaidrs... Var, protams, pasmieties...) Bet fakts ir tāds, ka šī ir kļūdaina atbilde. Pareizāk sakot, nepietiekami. Apļa cienītāji saprot, ka šeit joprojām ir vesela kaudze leņķu, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5.

Ja pagriežat OA kustīgo pusi pilns pagrieziens, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies 360 ° vai 2π radiāni un kosinuss nav. Jaunais leņķis 60 ° + 360 ° = 420 ° arī būs mūsu vienādojuma risinājums, jo

Jūs varat uztīt bezgalīgi daudz šādu pilnu pagriezienu... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tie visi kaut kā ir jāpieraksta kā atbilde. Viss. Citādi lēmums netiek ņemts vērā, jā...)

Matemātika zina, kā to izdarīt vienkārši un eleganti. Vienā īsā atbildē rakstiet bezgalīgs komplekts risinājumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Es atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni patīkamāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)

π / 3 - tas ir tas pats stūris, kas mēs ieraudzīja uz apļa un identificēts saskaņā ar kosinusa tabulu.

2π ir viens pilnīgs radiānos apvērsums.

n ir pilnais skaits, t.i. vesels revolūcijas. Ir skaidrs ka n var būt 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... un tā tālāk. Kā norādīts īsā piezīmē:

n∈Z

n pieder ( ∈ ) uz veselu skaitļu kopu ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n burtus var izmantot k, m, t utt.

Šis ieraksts nozīmē, ka varat uzņemt jebkuru veselumu n ... Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko tu gribi. Ja savā atbildē pievienosit šo skaitli, jūs iegūsit konkrētu leņķi, kas noteikti atrisinās mūsu skarbo vienādojumu.)

Vai, citiem vārdiem sakot, x = π / 3 ir vienīgā bezgalīgās kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π / 3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2π n radiāns.

Viss? Nē. Es apzināti stiepju prieku. Lai to labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne viena sakne, tā ir vesela virkne sakņu, kas uzrakstītas īsā formā.

Bet ir arī leņķi, kas arī dod kosinusu 0,5!

Atgriezīsimies pie mūsu attēla, kas tika izmantots atbildes pierakstīšanai. Tur viņa ir:

Novietojiet peles kursoru virs attēla un skat vēl viens stūris, ka dod arī kosinusu 0,5. Ar ko, jūsuprāt, tas ir līdzvērtīgs? Trijstūri ir vienādi... Jā! Tas ir vienāds ar stūri NS , tikai atgriezt negatīvā virzienā. Šis ir stūris -NS. Bet mēs jau esam izdomājuši x. π / 3 vai 60 °. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:

x 2 = - π / 3

Protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti, veicot pilnus apgriezienus:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Tagad tas ir viss.) Trigonometriskajā aplī mēs ieraudzīja(kas saprot, protams)) visi leņķi, kas dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Un viņi uzrakstīja šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde radīja divas bezgalīgas sakņu sērijas:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pareizā atbilde.

ceru, trigonometrisko vienādojumu risināšanas vispārējais princips apļa lietošana ir skaidra. Uz apļa atzīmējam kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu) no dotā vienādojuma, uzzīmējam tam atbilstošos leņķus un pierakstām atbildi. Protams, jums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam ieraudzīja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, tāpēc es teicu, ka šeit ir nepieciešama loģika.)

Piemēram, apskatīsim citu trigonometrisko vienādojumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.

Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējiet apli, atzīmējiet (protams, uz sinusa ass!) 0,5. Mēs uzreiz uzzīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam. Iegūsim šādu attēlu:

Vispirms jātiek galā ar leņķi NS pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Tā ir vienkārša lieta:

x = π / 6

Mēs atceramies pilnos pagriezienus un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Pusgatavs. Bet tagad mums ir jādefinē otrais stūris... Tas ir viltīgāk nekā kosinusos, jā... Bet loģika mūs izglābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Jā Viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris NS vienāds ar leņķi NS ... Tikai to mēra no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei ir nepieciešams leņķis, pareizi izmērīts no pozitīvās OX pusass, t.i. no 0 grādu leņķa.

Novietojiet kursoru virs attēla un skatiet visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Leņķis, kas mūs interesē (zīmēts zaļā krāsā), būs vienāds ar:

π - x

X mēs to zinām π / 6 ... Tāpēc otrais leņķis būs:

π - π / 6 = 5π / 6

Mēs vēlreiz atgādinām pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Tas ir viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Vienādojumus ar tangensu un kotangensu var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja, protams, jūs zināt, kā uz trigonometriskā apļa uzzīmēt tangensu un kotangensu.

Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju tabulas sinusa un kosinusa vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina obligāti. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tāpēc izlemiet!)

Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šis trigonometriskais vienādojums:

Īsās tabulās šādas kosinusa vērtības nav. Mēs aukstasinīgi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējiet apli, atzīmējiet 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējiet atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam tieši šādu attēlu.

Vispirms izdomāsim ar leņķi pirmajā ceturtdaļā. Ja es būtu zinājis, kas ir X, viņi uzreiz būtu uzrakstījuši atbildi! Mēs nezinām ... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika nepamet savējos grūtībās! Viņa izdomāja arkosīnus šim gadījumam. Nezinu? Velti. Uzziniet, tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Zem šīs saites nav neviena viltīga pieburta par "apgrieztām trigonometriskām funkcijām" ... Tas ir lieki šajā tēmā.

Ja jūs zināt, pietiek pateikt sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir 2/3". Un uzreiz, tikai pēc arkosīna definīcijas, jūs varat rakstīt:

Mēs atceramies papildu pagriezienus un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:

x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Gandrīz automātiski tiek ierakstīta arī otrā sakņu sērija otrajam leņķim. Viss ir pa vecam, tikai x (arccos 2/3) būs ar mīnusu:

x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Un tas arī viss! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Jums nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šis attēls ar atrisinājumu caur apgriezto kosinusu būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.

tieši tā! Vispārējais princips ir vispārējais! Es speciāli uzzīmēju divas gandrīz vienādas bildes. Aplis mums parāda leņķi NS pēc tā kosinusa. Tabula ir kosinuss, vai ne - aplis nezina. Kāds ir šis leņķis, π / 3, vai kāds apgrieztais kosinuss - tas ir atkarīgs no mums.

Ar sine tā pati dziesma. Piemēram:

Vēlreiz uzzīmējiet apli, atzīmējiet sinusu, kas vienāds ar 1/3, uzzīmējiet stūrus. Attēls izskatās šādi:

Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sāciet pie stūra pirmajā ceturtdaļā. Kas ir x, ja tā sinuss ir 1/3? Nekādu problēmu!

Tātad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Mēs tiekam galā ar otro stūri. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija:

π - x

Tātad šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši pierakstīt otro sakņu iepakojumu:

x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir absolūti pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir saprotams, es ceru.)

Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tas ir tas, kurš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu izvēli noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz grūtāki par standarta.

Pielietosim savas zināšanas praksē?)

Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:

Sākumā tas ir vienkāršāk, tieši no šīs nodarbības.

Tagad grūtāk.

Padoms: Šeit jums ir jāpārdomā aplis. Personīgi.)

Un tagad tie ir ārēji nepretenciozi ... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Padoms: šeit jums ir jānoskaidro aplī, kur ir divas atbilžu sērijas, un kur ir viena ... Un kā pierakstīt vienu, nevis divas atbilžu sērijas. Jā, lai nezaudētu nevienu bezgalīgā skaitļa sakni!)

Nu, ļoti vienkārši):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arcsīns, arkosīns? Kas ir loka tangenss, loka kotangenss? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)

Atbildes, protams, ir haoss):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Vai viss neizdodas? Tas notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds ...) Un sekojiet saitēm. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrijā tas ir kā šķērsot ceļu ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Tūlītēja apstiprināšanas pārbaude. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad vietnē atstājat pieprasījumu, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un ziņot par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņas.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šīs programmas.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesas procesā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sociāli svarīgu iemeslu dēļ.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei - tiesību pārņēmējam.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai pārliecinātos, ka jūsu personīgā informācija ir drošībā, mēs saviem darbiniekiem iepazīstinām ar konfidencialitātes un drošības noteikumiem un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu īstenošanu.