Augstāko grādu vienādojumu risināšana ar dažādām metodēm

Pamatmērķi:

Nostiprināt visa racionālā vienādojuma jēdzienu.
Formulējiet galvenās metodes augstāku vienādojumu (n > 3).
Iemācīt augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
Iemācīt vienādojuma veidu, lai noteiktu visefektīvāko veidu, kā to atrisināt.

Formas, metodes un pedagoģiskās metodes, kuras skolotājs izmanto stundā:

Lekciju un semināru apmācības sistēma (lekcijas - jauna materiāla skaidrojums, semināri - problēmu risināšana).
Informācijas un komunikācijas tehnoloģijas (frontālā aptauja, mutisks darbs ar klasi).
Diferencētas apmācības, grupas un individuālās formas.
Pētniecības metodes izmantošana mācībā, kuras mērķis ir attīstīt katra studenta matemātisko aparātu un garīgās spējas.
Iespiestais materiāls ir individuāls īss stundas kopsavilkums (pamatjēdzieni, formulas, paziņojumi, lekciju materiāli ir saspiesti diagrammu vai tabulu veidā).

Nodarbības plāns:

Laika organizēšana.
Posma mērķis: iesaistīt audzēkņus izglītojošās aktivitātēs, noteikt stundas saturu.
Studentu zināšanu atjaunošana.
Posma mērķis: atjaunināt studentu zināšanas par iepriekš pētītām saistītām tēmām
Jaunas tēmas apgūšana (lekcija). Posma mērķis: formulēt pamatmetodes augstāku grādu vienādojumu risināšanai (n > 3)
Apkopojot.
Skatuves mērķis: vēlreiz izceliet galvenos punktus stundā izpētītajā materiālā.
Mājasdarbs.
Skatuves mērķis: noformulēt mājas darbus studentiem.

Nodarbības kopsavilkums

1. Organizatoriskais brīdis.

Nodarbības tēmas formulējums: “Augstāko grādu vienādojumi. Metodes to risināšanai. ”

2. Studentu zināšanu papildināšana.

Teorētiskā aptauja - saruna. Dažu iepriekš teorētiski izpētītas informācijas atkārtošana. Studenti formulē pamatdefinīcijas un noformē nepieciešamās teorēmas. Doti piemēri, kas parāda iepriekš iegūto zināšanu līmeni.

Vienādojuma ar vienu mainīgo jēdziens.
Vienādojuma saknes jēdziens, vienādojuma risinājums.
Lineārā vienādojuma ar vienu mainīgo jēdziens, kvadrātiskā vienādojuma jēdziens ar vienu mainīgo.
Vienādojumu ekvivalences jēdziens, seku vienādojumi (svešu sakņu jēdziens), pāreja nevis pēc sekām (sakņu zaudēšanas gadījums).
Jēdziens visai racionālai izteiksmei ar vienu mainīgo.
Visa racionāla vienādojuma jēdziens ngrāds. Visa racionālā vienādojuma standarta forma. Dotais viss racionālais vienādojums.
Pāreja uz zemāku grādu vienādojumu kopumu, faktorējot sākotnējo vienādojumu.
Polinomu koncepcija ngrāds no x. Bezout teorēma. Secinājumi no Bezout teorēmas. Saknes teorēmas ( Z-saknes un Qsaknes) no visa racionāla vienādojuma ar veselu skaitļu koeficientiem (attiecīgi samazinātu un nesamazinātu).
Hornera shēma.

3. Jaunas tēmas apgūšana.

Mēs apsvērsim visu racionālo vienādojumu nstandarta formas pakāpe ar vienu nezināmu mainīgo x: P n (x) \u003d 0, kur P n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 - polinoms ngrāds no x, a n ≠ 0. Ja a n \u003d 1, tad šādu vienādojumu sauc par samazinātu vesela skaitļa racionālu vienādojumu ngrāds. Mēs uzskatām šādus vienādojumus dažādām vērtībām n un uzskaitiet galvenās metodes to risināšanai.

n \u003d 1 ir lineārs vienādojums.

n \u003d 2 ir kvadrātvienādojums. Diskriminējošā formula. Sakņu aprēķināšanas formula. Vietas teorēma. Pilna kvadrāta izvēle.

n \u003d 3 ir kubiskais vienādojums.

Grupēšanas metode.

Piemērs: x 3 - 4x 2 - x+ 4 \u003d 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, x 3 = -1.

Formas atgriešanās kubiskais vienādojums cirvis 3 + bx 2 + bx + a \u003d 0. Mēs atrisinām, apvienojot terminus ar vienādiem koeficientiem.

Piemērs: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Z sakņu izvēle, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Piemērojot šo metodi, ir jāuzsver, ka meklēšana šajā gadījumā ir ierobežota, un saknes mēs izvēlamies pēc noteikta algoritma saskaņā ar teorēmu par Z-samazināta visa racionālā vienādojuma saknes ar veseliem skaitļiem.

Piemērs: x 3 – 9x 2 + 23x- 15 \u003d 0. Dots vienādojums. Mēs izrakstām brīvā vārda dalītājus ( + 1; + 3; + 5; + 15). Mēs izmantojam Horner shēmu:

	x 3	x 2	x 1	x 0	izlaide
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 \u003d -8	1 x (-8) + 23 \u003d 15	1 x 15 - 15 \u003d 0	1 - sakne
	x 2	x 1	x 0

Mēs iegūstam ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q sakņu izvēle, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Piemērojot šo metodi, ir jāuzsver, ka šajā gadījumā meklēšana ir ierobežota un saknes tiek atlasītas pēc noteikta algoritma saskaņā ar teorēmu par Qsaknes no nesamazināta visa racionāla vienādojuma ar veseliem skaitļiem koeficientiem.

Piemērs: 9 x 3 + 27x 2 – x - 3 \u003d 0. Vienādojums netiek samazināts. Mēs izrakstām brīvā vārda dalītājus ( + 1; + 3). Mēs izrakstām koeficienta dalītājus ar augstāko nezināmo pakāpi. ( + 1; + 3; + 9) Tāpēc mēs meklēsim saknes starp vērtībām ( + 1; + ; + ; + 3). Mēs izmantojam Horner shēmu:

	x 3	x 2	x 1	x 0	izlaide
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 \u003d 36	1 x 36 - 1 \u003d 35	1 x 35 - 3 \u003d 32 ≠ 0	1 - nav sakne
-1	9	-1 x 9 + 27 \u003d 18	-1 x 18 - 1 \u003d -19	-1 x (-19) - 3 \u003d 16 ≠ 0	-1 - nav saknes
	9	x 9 + 27 \u003d 30	x 30 - 1 \u003d 9	x 9 - 3 \u003d 0	sakne
	x 2	x 1	x 0

Mēs iegūstam ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Q atlases aprēķināšanas ērtībai saknes ir ērti veikt mainīgā lieluma maiņu, dodieties uz iepriekš minēto vienādojumu un izvēlieties Z saknes.

Ja bezmaksas termiņš ir 1

.

Ja varat izmantot skata nomaiņu y \u003d kx

.

Formula Cardano. Ir universāla metode kubisko vienādojumu risināšanai - tā ir Kardāna formula. Šī formula ir saistīta ar itāļu matemātiķu Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipio del Ferro (1465-1526) vārdiem. Šī formula pārsniedz mūsu kursa jomu.

n \u003d 4 ir ceturtās pakāpes vienādojums.

Grupēšanas metode.

Piemērs: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Mainīga aizstāšanas metode.

Formas kvadrātvienādojums cirvis 4 + bx 2 + s = 0 .

Piemērs: x 4 + 5x 2 - 36 \u003d 0. Nomaiņa y = x 2. No šejienes y 1 = 4, y 2 \u003d -9. tāpēc x 1,2 = + 2 .

Formas ceturtās pakāpes atgriešanās vienādojums cirvis 4 + bx 3 + c x 2 + bx + a = 0.

Mēs risinām, apvienojot terminus ar vienādiem koeficientiem, aizstājot formu

cirvis 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

Formas ceturtās pakāpes vispārināts atgriešanās vienādojums cirvis 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2a \u003d 0.

Vispārēja nomaiņa. Daži standarta aizvietotāji.

3. piemērs . Vispārēja nomaiņa (izriet no īpaša vienādojuma formas).

n = 3.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q saknes izvēle n = 3.

Vispārīgā formula. Ir universāla metode ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanai. Šī formula ir saistīta ar Ludovico Ferrari (1522-1565) vārdu. Šī formula pārsniedz mūsu kursa jomu.

n > 5 - piektās un augstākās pakāpes vienādojumi.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Z sakņu izvēle, pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Algoritms ir līdzīgs tam, kas apskatīts iepriekš n = 3.

Vienādojums ar veselu skaitļu koeficientiem. Q saknes izvēle pamatojoties uz teorēmu. Hornera shēma. Algoritms ir līdzīgs tam, kas apskatīts iepriekš n = 3.

Simetriski vienādojumi. Jebkuram nepāra atgriešanās vienādojumam ir sakne x \u003d -1 un pēc faktoringa iegūšanas mēs iegūstam, ka vienam faktoram ir šāda forma ( x + 1), un otrais koeficients ir vienmērīgas pakāpes apgrieztais vienādojums (tā pakāpe ir par vienu mazāka par sākotnējā vienādojuma pakāpi). Jebkurš vienmērīgas pakāpes atgriešanās vienādojums kopā ar formas sakni x \u003d φ satur sugas sakni. Izmantojot šos apgalvojumus, mēs atrisinām problēmu, pazeminot pētāmā vienādojuma pakāpi.

Mainīga aizstāšanas metode. Izmantojot viendabīgumu.

Nav vispārīgas formulas, lai atrisinātu veselus piektās pakāpes vienādojumus (to parādīja itāļu matemātiķis Paolo Ruffini (1765–1822) un norvēģu matemātiķis Nils Henriks Ābelis (1802–1829)) un augstākas pakāpes (to parādīja franču matemātiķis Evarists Galois (1811–1832) )).

Vēlreiz atgādiniet, ka praksē to ir iespējams izmantot kombinācijas iepriekš uzskaitītās metodes. Ir ērti pāriet uz zemāku grādu vienādojumu kopu par sākotnējā vienādojuma faktorizācija.
Ārpus mūsu šodien notikušās diskusijas mēs joprojām esam plaši izmantoti praksē. grafiskās metodes vienādojumu risināšana un aptuvenas metodes augstāku grādu vienādojumi.

Pastāv situācijas, kad vienādojumam nav R sakņu.

Izmantojot funkciju monotonitāti

4. Apkopojot.

Kopsavilkums: Tagad mēs esam apguvuši pamatmetodes dažādu augstākās pakāpes vienādojumu risināšanai (n > 3). Mūsu uzdevums ir iemācīties efektīvi izmantot iepriekš minētos algoritmus. Atkarībā no vienādojuma veida mums būs jāiemācās noteikt, kura no risināšanas metodēm šajā gadījumā ir visefektīvākā, kā arī pareizi jāpiemēro izvēlētā metode.

5. Mājas darbs.

: 7. lpp., 164. – 174. lpp., 33. – 36., 39. – 44., 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Iespējamās ziņojumu vai eseju tēmas par šo tēmu:

Formula Cardano
Grafiska metode vienādojumu risināšanai. Risinājumu piemēri.
Vienādojumu aptuvenā risināšanas metodes.

Materiālu un studentu intereses asimilācijas analīze par tēmu:

Pieredze rāda, ka studentu interese, pirmkārt, ir par izvēles iespējām Z-saknes un Q-vienādojumu saknes, izmantojot diezgan vienkāršu algoritmu, izmantojot Hornera shēmu. Studenti ir ieinteresēti arī dažādos standarta mainīgās aizstāšanas veidos, kas var ievērojami vienkāršot uzdevuma veidu. Īpaša interese ir grafiskie risinājumi. Šajā gadījumā jūs varat papildus parsēt uzdevumus grafiskā metodē vienādojumu risināšanai; apspriest 3., 4., 5. pakāpes polinoma grafika vispārējo skatu; analizēt, kā 3., 4., 5. pakāpes vienādojumu sakņu skaits ir saistīts ar attiecīgā grafika formu. Zemāk ir grāmatu saraksts, kur varat atrast papildinformāciju par šo tēmu.

Atsauču saraksts:

Vilenkin N.Ya. et al. “Algebra. Mācību grāmata 9. klases skolēniem ar padziļinātu matemātikas pētījumu ”- M., Izglītība, 2007. - 367 lpp.
Vilenkins N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F. “Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. Aritmētika. Algebra. 10.-11.klase ”- M., Izglītība, 2008. - 192. lpp.
Vygodsky M.Ya. “Matemātikas rokasgrāmata” - M., AST, 2010. - 1055 lpp.
Galitsky M.L.“Problēmu apkopojums algebrā. Mācību grāmata 8.-9.klasei ar padziļinātu matemātikas pētījumu ”- M., Izglītība, 2008. - 301 lpp.
Zvavičs L.I. et al. “Algebra un analīzes sākums. 8-11 kl. Rokasgrāmata skolām un klasēm ar padziļinātu matemātikas pētījumu ”- M., Drofa, 1999. - 352 lpp.
Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N. “Matemātikas uzdevumi, lai sagatavotos rakstiskam eksāmenam 9. klasē” - M., Izglītība, 2007. - 112. lpp.
Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Tematiskie testi matemātikas zināšanu sistematizēšanai”, 1. daļa - M., Fizmatkniga, 2006. - 176 lpp.
Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Tematiskie testi matemātikas zināšanu sistematizēšanai” 2. daļa - M., Fizmatkniga, 2006. - 176. lpp.
Ivanovs A.P. “Pārbaudes un testi matemātikā. Pamācība ”. - M., Fizmatkniga, 2008. - 304 lpp.
Leibsons K.L. “Matemātikas praktisko uzdevumu krājums. 2. daļa - 9. klase ”- M., ICMMO, 2009. - 184 lpp.
Makarychev Y. N., Mindyuk N.G."Algebra. Papildu nodaļas skolas mācību grāmatas 9. klasei. Mācību grāmata skolēniem skolās un klasēs ar padziļinātu matemātikas pētījumu. ” - M., Izglītība, 2006. - 224 lpp.
Mordkovičs A.G. "Algebra. Padziļināts pētījums. 8. klase. Mācību grāmata ”- M., Mnemozina, 2006. - 296 lpp.
Savins A.P. “Jaunā matemātiķa enciklopēdiskā vārdnīca” - M., Pedagoģija, 1985. - 352 lpp.
Survillo G.S., Simonov A.S. “Didaktiskie materiāli par algebru 9. klasei ar padziļinātu matemātikas pētījumu” - M., Izglītība, 2006. - 95 lpp.
Chulkov P.V. “Vienādojumi un nevienlīdzība matemātiķu skolas kursā. Lekcijas 1–4 ”- M., 2006. gada pirmais septembris - 88 lpp.
Chulkov P.V. “Vienādojumi un nevienlīdzība matemātiķu skolas kursā. Lekcijas 5–8 ”- M., 2009. gada pirmais septembris - 84 lpp.

Trifanova Marina Anatolyevna
matemātikas skolotājs, pašvaldības izglītības iestādes "48. ģimnāzija (daudznozaru)", Talnakh

Stundas trīskāršais mērķis:

Izglītības:
zināšanu sistematizēšana un vispārināšana par augstāko grādu vienādojumu risināšanu.
Attīstīt:
veicināt loģiskās domāšanas attīstību, spēju strādāt patstāvīgi, savstarpējas kontroles un paškontroles prasmes, spēju runāt un klausīties.
Vecāki:
pastāvīgas nodarbinātības ieraduma attīstīšana, atsaucības, strādīguma un precizitātes veicināšana.

Nodarbības tips:

zināšanu, prasmju integrētas pielietošanas stunda.

Nodarbības forma:

vēdināšana, fiziskā izglītība, dažādas darba formas.

Aprīkojums:

atsauces piezīmes, uzdevumu kartes, nodarbību uzraudzības matrica.

KLASES LAIKĀ

I. Organizatoriskais brīdis

Paziņojiet studentiem par stundas mērķi.
Mājasdarbu pārbaude (1. pielikums). Darbs ar atbalsta kopsavilkumu (2. pielikums).

Vienādojumi un atbildes uz katru no tiem ir uzrakstīti uz tāfeles. Studenti pārbauda atbildes un sniedz īsu katra vienādojuma risinājumu analīzi vai atbild uz skolotāja jautājumiem (frontālā aptauja). Paškontrole - studenti dod sev atzīmes un nodod piezīmju grāmatiņas skolotājam pārbaudei, lai labotu atzīmes vai tās apstiprinātu. Klases klase ir uzrakstīta uz tāfeles:

“5+” - 6 vienādojumi;
“5” - 5 vienādojumi;
“4” - 4 vienādojumi;
“3” - 3 vienādojumi.

Mājasdarbu skolotāju jautājumi:

1 vienādojums

Kādas mainīgo lielumu izmaiņas tiek veiktas vienādojumā?
Kāds vienādojums tiek iegūts pēc mainīgo mainīšanas?

2 vienādojums

Kurš polinoma dalīja abas vienādojuma puses?
Kāda mainīgā aizstāšana tika saņemta?

3 vienādojums

Kādi polinomi ir jāreizina, lai vienkāršotu šī vienādojuma risinājumu?

4 vienādojums

Nosauciet funkciju f (x).
Kā tika atrastas citas saknes?

5 vienādojums

Cik daudz spraugu tika iegūti, lai atrisinātu vienādojumu?

6 vienādojums

Kādas metodes varētu atrisināt šo vienādojumu?
Kurš risinājums ir racionālāks?

II. Stundas galvenā sastāvdaļa ir darbs grupās.

Klase ir sadalīta 4 grupās. Katrai grupai tiek piešķirta karte ar teorētiskiem un praktiskiem jautājumiem (3. pielikums): “Parsēt piedāvāto vienādojuma atrisināšanas metodi un izskaidrot to ar šo piemēru.”

Grupu darbs 15 minūtes.
Piemēri ir uzrakstīti uz tāfeles (tāfele ir sadalīta 4 daļās).
Grupas ziņojums ilgst 2 līdz 3 minūtes.
Skolotājs izlabo grupas ziņojumus un palīdz grūtībās.

Darbs grupās turpinās ar kartītēm Nr. 5-8. Katram vienādojumam tiek veltītas 5 minūtes diskusijai grupā. Tad pie paneļa nāk ziņojums par doto vienādojumu - īsa risinājuma analīze. Vienādojums var nebūt pilnībā atrisināts - tas tiek pabeigts mājās, bet tiek apspriesta visa tā risinājuma secība klasē.

III. Patstāvīgais darbs.4. papildinājums.

Katrs students saņem individuālu uzdevumu.
Darbs laikā prasa 20 minūtes.
5 minūtes pirms stundas beigām skolotājs sniedz atklātas atbildes uz katru vienādojumu.
Studenti mainās piezīmju blokā un pārbauda atbildes ar draugu. Dod atzīmes.
Piezīmju grāmatiņas tiek nodotas skolotājam, lai pārbaudītu un pielāgotu atzīmes.

IV. Nodarbības kopsavilkums.

Mājasdarbs.

Izdot nepabeigtu vienādojumu risinājumu. Sagatavojies kontroles šķēlei.

Vērtēšana.

Apsveriet vienādojumu risināšana ar vienu pakāpes mainīgo, kas ir augstāks par otro.

Vienādojuma pakāpe P (x) \u003d 0 ir polinoma P (x) pakāpe, t.i. lielākais no tā locekļu grādiem ar koeficientu, kas nav vienāds ar nulli.

Piemēram, vienādojumam (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 ir piektā jauda, \u200b\u200bjo pēc iekavu atvēršanas un līdzīgu nolaišanas operācijām iegūstam ekvivalentu vienādojumu ar piekto pakāpi x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0.

Atgādiniet noteikumus, kas būs nepieciešami, lai atrisinātu augstākas pakāpes vienādojumus nekā otrais.

Paziņojumi par polinoma saknēm un tā dalītājiem:

1. N pakāpes polinoma sakņu skaits nepārsniedz n, un saknes ar multiplitāti m notiek tieši m reizes.

2. Nepāra grāda polinomam ir vismaz viena reālā sakne.

3. Ja α ir P (x) sakne, tad P n (x) \u003d (x - α) · Q n - 1 (x), kur Q n - 1 (x) ir pakāpes polinoms (n - 1).

5. Samazinātajam polinomam ar veselu skaitļu koeficientiem nevar būt frakcionētas racionālas saknes.

6. Trešās pakāpes polinomam

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d ir iespējams viens no diviem: vai nu tas sadalās trīs binomu reizinājumā

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) vai sadalās binomināla un kvadrātveida trinoma reizinājumā P 3 (x) \u003d a (x - α) (x 2 + βx + γ) )

7. Jebkura ceturtās pakāpes polinoma sadalās divu kvadrātveida trinomu reizinājumā.

8. Polinomu f (x) var dalīt ar polinomu g (x) bez atlikuma, ja eksistē tāda polinoma q (x), ka f (x) \u003d g (x) · q (x). Polinomu dalīšanai tiek piemērots noteikums "dalījums pa stūri".

9. Lai polinomu P (x) varētu dalīt ar binomu (x - c), ir nepieciešams un pietiekami, lai skaitlis ar būtu P (x) sakne (Bezout teorēmas secinājums).

10. Kena teorēma: Ja x 1, x 2, ..., x n ir polinoma reālās saknes

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tad ir spēkā šādi vienādojumi:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + ... + x n - 1 · x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 + ... + x n - 2 · x n - 1 · x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Atrodiet P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 dalījuma atlikumu ar (x - 1/3).

Lēmums.

Ar Bezout teorēmas secinājumu: “Polinoma dalīšana ar binomu (x - c) ir vienāda ar polinoma vērtību c”. Mēs atrodam P (1/3) \u003d 0. Tāpēc atlikums ir 0 un skaitlis 1/3 ir polinoma sakne.

Atbilde: R \u003d 0.

2. piemērs

Sadaliet "stūri" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 ar (x + 2). Atrodiet atlikušo un daļējo koeficientu.

Lēmums:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

Atbilde: R \u003d 3; koeficients: 2x 2 - x.

Pamatmetodes augstāku grādu vienādojumu risināšanai

1. Jauna mainīgā ieviešana

Jauna mainīgā ieviešanas metode jau ir pazīstama ar kvadrātvienādojumu vienādojumu piemēru. Tas sastāv no tā, ka, lai atrisinātu vienādojumu f (x) \u003d 0, tiek ieviests jauns mainīgais (aizstāšana) t \u003d x n vai t \u003d g (x) un f (x) tiek izteikts t izteiksmē, iegūstot jaunu vienādojumu r (t). Atrisinot vienādojumu r (t), atrodiet saknes:

(t 1, t 2, ..., t n). Pēc tam tiek iegūts n vienādojumu kopums q (x) \u003d t 1, q (x) \u003d t 2, ..., q (x) \u003d t n, no kura tiek atrasti sākotnējā vienādojuma saknes.

1. piemērs

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 \u003d 0.

Lēmums:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 \u003d 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 \u003d 0.

Aizstāšana (x 2 + x + 1) \u003d t.

t 2 - 3t + 2 \u003d 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Reversā nomaiņa:

x 2 + x + 1 \u003d 2 vai x 2 + x + 1 \u003d 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 vai x 2 + x \u003d 0;

Atbilde: Sākot no pirmā vienādojuma: x 1, 2 \u003d (-1 ± √5) / 2, no otrā: 0 un -1.

2. Faktorizācija, grupējot un saīsinātas reizināšanas formulas

Arī šīs metodes pamats nav jauns, un tā sastāv no terminu grupēšanas tā, lai katra grupa saturētu kopīgu faktoru. Lai to izdarītu, dažreiz ir jāpiemēro daži mākslīgi paņēmieni.

1. piemērs

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 \u003d 0.

Lēmums.

Iedomājieties - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 un grupējiet:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) \u003d 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) \u003d 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 \u003d 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) \u003d 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) \u003d 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 vai x 2 + x - 3 \u003d 0.

Atbilde: Pirmajā vienādojumā nav sakņu, no otrā: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorizācija ar nenoteiktu koeficientu metodi

Metodes būtība ir tāda, ka sākotnējais polinoms tiek faktorizēts ar nezināmiem koeficientiem. Izmantojot īpašību, ka polinomi ir vienādi, ja to koeficienti ir vienādi vienādās pakāpēs, tiek atrasti nezināmi izplešanās koeficienti.

1. piemērs

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d 0.

Lēmums.

3. pakāpes polinomu var sadalīt lineāro un kvadrātisko faktoru reizinājumā.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + bx 2 + cx - ass 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Pēc sistēmas atrisināšanas:

(b - a \u003d 4,
(c - ab \u003d 5,
(-ac \u003d 2,

(a \u003d -1,
(b \u003d 3,
(c \u003d 2, t.i.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Vienādojuma (x + 1) (x 2 + 3x + 2) \u003d 0 saknes ir viegli atrodamas.

Atbilde: -1; -2.

4. Saknes izvēles metode pēc vecākā un brīvā koeficienta

Metode balstās uz teorēmu pielietošanu:

1) Katra daudzskaitļa polinoma sakne ar veseliem skaitļiem ir brīvā vārda dalītājs.

2) Lai nesadalāma frakcija p / q (p ir vesels skaitlis, q ir pozitīvs vesels skaitlis) būtu vienādojuma ar veselu skaitļu koeficientiem sakne, ir nepieciešams, lai skaitlis p būtu brīvā termina vesels skaitlis dalītājs un 0, un q ir lielākā koeficienta dabiskais dalītājs.

1. piemērs

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 \u003d 0.

Lēmums:

6: q \u003d 1, 2, 3, 6.

Tāpēc p / q \u003d ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Atrodot vienu sakni, piemēram, 2, mēs atradīsim citas saknes, izmantojot leņķa dalījumu, nenoteiktu koeficientu metodi vai Hornera shēmu.

Atbilde: -2; 1/2; 1/3.

Vai jums joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību.
Pirmā nodarbība ir bez maksas!

vietne blog.site ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama atsauce uz avotu.

Darba teksts tiek ievietots bez attēliem un formulām.
Darba pilna versija ir pieejama PDF cilnē "Darba faili"

Ievads

Augstāko grādu algebrisko vienādojumu risināšana ar vienu nezināmo ir viena no visgrūtākajām un vecākajām matemātiskajām problēmām. Šajos uzdevumos iesaistījās izcilākie senatnes matemātiķi.

N pakāpes vienādojumu risināšana ir svarīgs mūsdienu matemātikas uzdevums. Interese par viņiem ir diezgan liela, jo šie vienādojumi ir cieši saistīti ar vienādojumu sakņu meklēšanu, kurus matemātikā skolas programma neuzskata.

Problēma: Ja trūkst prasmju studentu augstākā līmeņa vienādojumu risināšanā dažādos veidos, viņi kavē sekmīgu gatavošanos matemātikas un matemātikas olimpiādēs, lai mācītos specializētā matemātikas klasē.

Uzskaitītie fakti identificēti atbilstība mūsu darbs "Augstāko grādu vienādojumu risināšana".

N pakāpes vienādojumu risināšanas vienkāršāko metožu iegūšana samazina uzdevuma izpildes laiku, kas nosaka darba rezultātu un mācību procesa kvalitāti.

Mērķis: zināmu metožu izpēte augstāko grādu vienādojumu risināšanai un praktiski izmantojamo metožu identificēšana.

Balstoties uz mērķi, sekojošais uzdevumi:

Izpētīt literatūru un interneta resursus par šo tēmu;

Iepazīstieties ar vēstures faktiem, kas saistīti ar šo tēmu;

Aprakstiet dažādos veidus, kā atrisināt augstāko grādu vienādojumus

salīdzināt katra no tiem grūtības pakāpi;

Iepazīstināt klasesbiedrus ar augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas metodēm;

Izveidojiet vienādojumu izvēli katras apsvērtās metodes praktiskai izmantošanai.

Pētījuma objekts - augstāku grādu vienādojumi ar vienu mainīgo.

Pētījuma priekšmets - augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas metodes.

Hipotēze:nav vispārīgas metodes un viena algoritma, kas ļauj n-tās jaudas vienādojumus atrast ierobežotā skaitā soļu.

Pētījuma metodes:

- bibliogrāfiskā metode (literatūras par pētījuma tēmu analīze);

- klasifikācijas metode;

- kvalitatīvās analīzes metode.

Teorētiskā nozīmepētījums sastāv no augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas metožu sistematizēšanas un to algoritmu apraksta.

Praktiskā nozīme - Prezentēts materiāls par šo tēmu un mācību grāmatas izstrāde studentiem par šo tēmu.

1. AUGSTĀKO GADU IZVĒRTĒJUMI

1.1. N-tās pakāpes vienādojuma koncepcija

1. definīcijaN pakāpes vienādojums ir formas vienādojums

a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an \u003d 0, kur koeficienti a 0, a 1, a 2…, an -1, an - visi reālie skaitļi, turklāt , a 0 ≠ 0 .

Polinoms a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an sauc par n pakāpes polinomu. Likmes izšķir pēc nosaukuma: a 0 - vecākais koeficients; an ir bezmaksas biedrs.

Definīcija. Dotā vienādojuma risinājumi vai saknes ir visas mainīgās vērtības xkas šo vienādojumu pārvērš par patieso skaitlisko vienādību vai, kurā polinoms a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an pazūd. Šī mainīgā vērtība xko sauc arī par polinoma sakni. Vienādojuma atrisināšanai ir jāatrod visas saknes vai jānoskaidro, ka tās nav.

Ja a 0 \u003d 1, tad šādu vienādojumu sauc par samazinātu vesela skaitļa racionālu vienādojumu n th grādi.

Trešās un ceturtās pakāpes vienādojumiem ir Cardano un Ferrari formulas, kas izsaka šo vienādojumu saknes radikāļu izteiksmē. Izrādījās, ka praksē tos reti izmanto. Tātad, ja n ≥ 3, un polinoma koeficienti ir patvaļīgi reālie skaitļi, tad vienādojuma sakņu meklēšana nav viegls uzdevums. Tomēr daudzos īpašos gadījumos šī problēma tiek atrisināta līdz galam. Ļaujiet mums pakavēties pie dažiem no tiem.

1.2 Vēsturiskie fakti risinot vienādojumu augstākās pakāpes

Jau senatnē cilvēki saprata, cik svarīgi ir iemācīties atrisināt algebriskos vienādojumus. Apmēram pirms 4000 gadiem Babilonijas zinātnieki apguva kvadrātiskā vienādojuma risinājumu un atrisināja divu vienādojumu sistēmu, no kuriem viens ir otrās pakāpes. Izmantojot augstāko grādu vienādojumus, tika atrisinātas dažādas mērniecības, arhitektūras un militāro lietu problēmas, uz tām tika samazināti daudzi un dažādi prakses un dabaszinātņu jautājumi, jo precīza matemātikas valoda ļauj vienkārši izteikt faktus un attiecības, kas, izkārtojot parastā valodā, var šķist mulsinoši un sarežģīti. .

Universāla formula algebriskā vienādojuma sakņu atrašanai n nav pakāpes. Daudziem, protams, bija vilinoša ideja atrast formulas jebkurai n pakāpei, kas izsaka vienādojuma saknes tā koeficientu izteiksmē, tas ir, atrisina vienādojumu radikāļos.

Tikai 16. gadsimtā itāļu matemātiķi devās tālāk, atrodot formulas n \u003d 3 un n \u003d 4. Tajā pašā laikā Scipio, Dahl, Ferro un viņa studenti Fiori un Tartaglia izskatīja 3. pakāpes vienādojumu vispārīgo risinājumu.

1545. gadā tika izdota itāļu matemātiķa D. Kardano grāmata “Lielā māksla jeb algebras likumi”, kurā līdztekus citiem algebras jautājumiem tiek apskatītas arī vispārīgas kubisko vienādojumu risināšanas metodes, kā arī 4. kursa vienādojumu risināšanas metode, ko atklājis viņa students L. Ferrari.

F. Viet. Sniedza pilnīgu paziņojumu par jautājumiem, kas saistīti ar 3. un 4. pakāpes vienādojumu risināšanu.

19. gadsimta 20. gados norvēģu matemātiķis N. Ābelis pierādīja, ka piektās pakāpes vienādojumu saknes nevar izteikt ar radikāļiem.

Pētījums atklāja, ka mūsdienu zinātne zina daudzus veidus, kā atrisināt n-tās pakāpes vienādojumus.

Meklējot augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas metodes, kuras nevar atrisināt ar skolas mācību programmā apskatītajām metodēm, tika iegūtas metodes, kuru pamatā ir Vietas teorēma (grādu vienādojumiem). n\u003e 2), Bezout teorēma, Hornera shēma, kā arī Kardano un Ferrari formula kubisko vienādojumu un ceturtās pakāpes vienādojumu risināšanai.

Darbā aprakstītas vienādojumu un to veidu risināšanas metodes, kas mums kļuvušas par atklājumu. Tie ietver - nenoteikto koeficientu metodi, pilnās pakāpes izvēli, simetriskos vienādojumus.

2. AUGSTĀKO GRĀMATU VISU IZVĒRTĒJUMU RISINĀJUMS AR VISS KOEFICIENTIEM

2.1. 3. pakāpes vienādojumu risinājums. Formula D. Cardano

Mēs ņemam vērā formas vienādojumus x 3 + px + q \u003d 0.Mēs pārveidojam vispārīgās formas vienādojumu formā: x 3 + px 2 + qx + r \u003d 0. Mēs uzrakstam formu kubu summai; Pievienojiet sākotnējai vienādībai un aizstājiet to ar y. Mēs iegūstam vienādojumu: y 3 + (q -) (y -) + (r - \u003d 0. Pēc pārvērtībām mums ir: y 2 + py + q \u003d 0. Tagad atkal pierakstiet formulas kuba summai:

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 \u003d a 3 + b 3 + 3ab (a + b), aizvietot ( a + b)uz xmēs iegūstam vienādojumu x 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Tagad ir skaidrs, ka sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai: un Atrisinot sistēmu, mēs iegūstam:

Mēs ieguvām 3. pakāpes samazinātā vienādojuma risināšanas formulu. Viņa nes itāļu matemātiķa Kardano vārdu.

Apsveriet piemēru. Atrisiniet vienādojumu:.

Mums ir r \u003d 15 un q \u003d 124, tad, izmantojot Kardano formulu, mēs aprēķinām vienādojuma sakni

Secinājums: šī formula ir laba, bet nav piemērota visu kubisko vienādojumu risināšanai. Tomēr tas ir apjomīgs. Tāpēc praksē to reti izmanto.

Bet tie, kas apgūst šo formulu, to var izmantot, eksāmenā risinot trešās pakāpes vienādojumus.

2.2. Vietas teorēma

No matemātikas kursa mēs zinām šo teoriju par kvadrātvienādojumu, bet tikai daži cilvēki zina, ka to izmanto, lai atrisinātu augstāku grādu vienādojumus.

Apsveriet vienādojumu:

koeficientu vienādojuma kreisajā pusē, daliet ar ≠ 0.

Mēs pārveidojam vienādojuma labo pusi uz formu

; no tā izriet, ka mēs sistēmā varam ierakstīt šādas vienādības:

Formulas, kuras Viet secināja par kvadrātvienādojumiem un kuras mums parādīja 3. pakāpes vienādojumi, attiecas arī uz augstākas pakāpes polinomiem.

Mēs atrisinām kubisko vienādojumu:

Secinājums: šī metode ir universāla un studentiem pietiekami viegli saprotama, jo viņi zina Vietas teorēmu no skolas mācību programmas n = 2. Tajā pašā laikā, lai atrastu saknes vienādojumu, izmantojot šo teorēmu, vienam ir jābūt labas skaitļošanas prasmes.

2.3 Bezout teorēma

Šī teorēma ir nosaukta 18. gadsimta franču matemātiķa J. Bezout vārdā.

Teorēma.Ja vienādojums a 0 xⁿ + a 1 xn -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + an -1 x + an \u003d 0, kurā visi koeficienti ir veseli skaitļi, un brīvajam vārdam nav nulles, ir vesels skaitlis, tad šī sakne ir brīvā termina dalītājs.

Ņemot vērā, ka n-tās jaudas polinoms atrodas vienādojuma kreisajā pusē, teorēmai ir atšķirīga interpretācija.

Teorēma. Sadalot n pakāpes polinomu attiecībā pret x uz binomija x - a atlikums ir dividendes vērtība par x \u003d a. (vēstule a var nozīmēt jebkuru reālu vai iedomātu skaitli, t.i. jebkurš komplekss numurs).

Pierādījumi: ļaujiet būt f (x) apzīmē patvaļīgu n pakāpes polinomu attiecībā uz mainīgo x un ļauj to dalīt ar binomi ( x-a) izrādījās privāti q (x), bet pārējā daļā R. Tas ir acīmredzami q (x) būs kāds polinoms (n - 1.) pakāpes radinieks x, un pārējais R būs nemainīga vērtība, t.i. neatkarīga no x.

Ja atlikušo R bija pirmās pakāpes polinoms attiecībā pret x, tas nozīmētu, ka dalīšana netika veikta. Tātad, R no plkst x nav atkarīgs. Pēc dalīšanas definīcijas mēs iegūstam identitāti: f (x) \u003d (x-a) q (x) + R.

Vienādība ir derīga jebkurai x vērtībai, tāpēc tā ir spēkā arī x \u003d amēs iegūstam: f (a) \u003d (a-a) q (a) + R. Simbols f (a) apzīmē polinoma f vērtību (x) plkst x \u003d a, q (a) apzīmē vērtību q (x) plkst x \u003d a.Atgādinājums R kopš tā laika palika tāds, kāds viņš bija pirms tam R no plkst x nav atkarīgs. Sastāvs ( x-a) q (a) \u003d 0, jo koeficients ( x-a) \u003d 0, un reizinātājs q (a) ir noteikts skaits. Tāpēc no vienlīdzības mēs iegūstam: f (a) \u003d R,t.d.

1. piemērsAtrodiet polinoma dalījuma atlikušo daļu x 3 - 3x 2 + 6x-5 uz binomija

x-2. Pēc Bezout teorēmas : R \u003d f(2) = 23-322 + 62 -5 \u003d 3. Atbilde: R \u003d3.

Mēs atzīmējam, ka Bezout teorēma pati par sevi nav tik svarīga, jo tai ir sekas. (1. papildinājums)

Ļaujiet mums pakavēties pie dažām Bezout teorēmas pielietošanas metodēm praktisku problēmu risināšanā. Jāatzīmē, ka, risinot vienādojumus, izmantojot Bezout teorēmu, ir nepieciešams:

Atrodiet visus bezmaksas dalībnieka veselus dalītājus;

No šiem dalītājiem atrodiet vismaz vienu vienādojuma sakni;

Vienādojuma kreisā puse ir sadalīta (Ha);

Vienādojuma kreisajā pusē uzrakstiet dalītāja un koeficienta reizinājumu;

Atrisiniet iegūto vienādojumu.

Apsveriet vienādojuma x risināšanas piemēru 3 + 4x 2 + x -6 = 0 .

Risinājums: atrodiet brīvā vārda nosacījumus ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Mēs aprēķinām vērtības x \u003d1, 1 3 + 41 2 + 1-6 \u003d 0. Vienādojuma kreiso pusi daliet ar ( x-1). Sadalījumu veic “stūrītis”, mēs iegūstam:

Secinājums: Bezout teorēma ir viena no metodēm, kuru mēs izmantojam savā darbā un kas tiek pētīta izvēles kursu programmā. To ir grūti saprast, jo, lai tas piederētu, jums jāzina visas tā sekas, taču Bezū teorēma ir viens no galvenajiem studentu palīgiem eksāmenā.

2.4. Hornera shēma

Polinomu sadalīt binomālā x-α jūs varat izmantot īpašu vienkāršu paņēmienu, ko izgudroja XVII gadsimta angļu matemātiķi, vēlāk sauktu par Hornera shēmu. Papildus vienādojumu sakņu atrašanai saskaņā ar Hornera shēmu var vieglāk aprēķināt to vērtības. Lai to izdarītu, polinomā Pn aizvietojiet mainīgā lielumu (x) \u003d a 0 xn + a 1 x n-1 + a 2 xⁿ - ² + ... ++ an -1 x + an (1)

Apsveriet polinoma (1) dalījumu ar binomu x-α.

Izsaki daļējā koeficienta koeficientus b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 un pārējais r caur polinoma Pn koeficientiem ( x) un numuru α. b 0 \u003d a 0 , b 1 = α b 0 + a 1 , b 2 = α b 1 + a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 + an -1 = α bn -1 + an .

Hornera aprēķini ir parādīti šādas tabulas formā:

	un 0	a 1	a 2 ,
	b 0 \u003d a 0	b 1 = α b 0 + a 1	b 2 = α b 1 + a 2		r \u003d αb n-1 + an

Ciktāl r \u003d Pn (α), tad α ir vienādojuma sakne. Lai pārbaudītu, vai α ir vairākas saknes, Hornera shēmu jau var piemērot koeficientam b 0 x +b 1 x + ... +bn -1 saskaņā ar tabulu. Ja kolonnā zem bn -1 atkal izrādās 0, kas nozīmē, ka α ir daudzkārtu sakne.

Apsveriet piemēru: atrisiniet vienādojumu x 3 + 4x 2 + x -6 = 0.

Piemērojams polinoma kreisajai faktorēšanai vienādojuma kreisajā pusē, Hornera shēma.

Risinājums: atrodiet brīvo dalītāju ± 1; ± 2; ±3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Koeficienta koeficienti ir cipari 1, 5, 6, un pārējais ir r \u003d 0.

Nozīmē x 3 + 4x 2 + x - 6 = (x - 1) (x 2 + 5x + 6) = 0.

No šejienes: x - 1 \u003d 0 vai x 2 + 5x + 6 = 0.

x = 1, x 1 = -2; x 2 = -3. Atbilde:1,- 2, - 3.

Secinājums: tādējādi vienā vienādojumā mēs parādījām divu dažādu polinomu faktorēšanas metožu pielietojumu. Mūsuprāt, Hornera shēma ir vispraktiskākā un ekonomiskākā.

2.5. 4. pakāpes vienādojumu risinājums. Ferrari metode

Skolēns Cardano Louis Ferrari atklāja veidu, kā atrisināt 4. pakāpes vienādojumu. Ferrari metode sastāv no diviem posmiem.

I posms: formas vienādojumi tiek parādīti kā divu kvadrātveida trinomu reizinājums, kas izriet no fakta, ka vienādojums ir 3. pakāpe un vismaz viens risinājums.

II posms: iegūtie vienādojumi tiek atrisināti, izmantojot faktorizāciju, tomēr, lai atrastu nepieciešamo faktorizāciju, ir jāatrisina kubiskā vienādojums.

Ideja ir attēlot vienādojumus formā A 2 \u003d B 2, kur A \u003d x 2 + s

B lineārā funkcija x. Tad atliek vien atrisināt vienādojumus A \u003d ± B.

Skaidrības labad apsveriet vienādojumu: atdaliet 4. pakāpi, iegūstam: Jebkurai dizteiciens būs pilns kvadrāts. Pievienojiet iegūtā vienādojuma abām pusēm

Kreisajā pusē ir pilns kvadrāts, kuru varat uzņemt dtā, lai (2) labā puse kļūtu par pilnu kvadrātu. Iedomājieties, ka mēs to esam sasnieguši. Tad mūsu vienādojums izskatās šādi:

Pēc tam saknes atrašana nebūs grūta. Lai izvēlētos pareizo d ir nepieciešams, lai (3) labās puses diskriminants kļūtu nulle, t.i.

Tātad, lai atrastu d, ir jāatrisina šis 3. pakāpes vienādojums. Šādu palīgvienādojumu sauc izšķīdinošs.

Mēs viegli atrodam visu šķīdinātāja sakni: d \u003d1

Aizstājot vienādojumu (1), iegūstam

Secinājums: Ferrari metode ir universāla, taču sarežģīta un apgrūtinoša. Tomēr, ja šķīduma algoritms ir skaidrs, tad ar šo metodi var atrisināt 4. pakāpes vienādojumus.

2.6. Nenoteikto koeficientu metode

Panākumi 4. pakāpes vienādojuma risināšanā ar Ferrari metodi ir atkarīgi no tā, vai mēs atrisinājām izšķīdinošo - 3. pakāpes vienādojumu, kas, kā mēs zinām, ne vienmēr ir veiksmīgs.

Nenoteikto koeficientu metodes būtība ir tāda, ka tiek uzminēta to faktoru forma, kuros dotā polinoma tiek sadalīta, un šo faktoru (arī polinomu) koeficienti tiek noteikti, reizinot faktorus un vienādojot koeficientus vienādām mainīgajām pakāpēm.

Piemērs: atrisiniet vienādojumu:

Pieņemsim, ka mūsu vienādojuma kreiso pusi var sadalīt divos kvadrātveida trinomālos ar veselu skaitļu koeficientiem, lai identitāte

Acīmredzami, ka priekšā esošajiem koeficientiem jābūt vienādiem ar 1, bet brīvajiem - vienā + 1, otram ir 1.

Koeficienti, ar kuriem saskaras x. Mēs tos apzīmējam ar un un, lai tos noteiktu, mēs reizinām abus vienādojuma labās puses trinomus.

Rezultātā mēs iegūstam:

Koeficientu vienādošana vienādās pakāpēs xkreisajā un labajā pusē vienlīdzības (1), mēs iegūstam sistēmu, lai atrastu un

Atrisinot šo sistēmu, mums būs

Tātad, mūsu vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

Atrisinot to, mēs iegūstam šādas saknes:.

Neskaidru koeficientu metode ir balstīta uz šādiem apgalvojumiem: jebkuru vienādojuma ceturtās pakāpes polinomu var sadalīt divu otrās pakāpes polinomu reizinājumā; divi polinomi ir identiski vienādi tad un tikai tad, ja to koeficienti ir vienādi vienādās pakāpēs x

2.7. Simetriski vienādojumi

DefinīcijaFormas vienādojumu sauc par simetrisku, ja pirmie koeficienti vienādojumā pa kreisi ir vienādi ar pirmajiem koeficientiem labajā pusē.

Mēs redzam, ka pirmie koeficienti kreisajā pusē ir vienādi ar pirmajiem koeficientiem labajā pusē.

Ja šādam vienādojumam ir nepāra pakāpe, tad tam ir sakne x= - 1. Tālāk mēs varam pazemināt vienādojuma pakāpi, dalot to ar ( x +1). Izrādās, dalot simetrisko vienādojumu ar ( x +1) iegūstam simetrisku vienādojuma vienādojumu. Koeficientu simetrijas pierādījums ir sniegts zemāk. (6. pielikums) Mūsu uzdevums ir iemācīties atrisināt simetriskus vienādojuma vienādojumus.

Piemēram: (1)

Mēs atrisinām vienādojumu (1), dalām ar x 2 (vidēja pakāpe) \u003d 0.

Mēs grupējam terminus ar simetriskiem

) + 3(x +. Apzīmē plkst= x +, kvadrātā abas puses, tātad \u003d plkst 2 Tātad 2 ( plkst 2 vai 2 plkst 2 + 3 atrisinot vienādojumu, iegūstam plkst = , plkst \u003d 3. Tālāk mēs atgriežamies pie nomaiņas x + \u003d un x + \u003d 3. Mēs iegūstam vienādojumus, un pirmajam nav risinājuma, bet otrajam ir divas saknes. Atbilde:.

Secinājums: šāda veida vienādojums nav izplatīts, bet, ja jūs ar to saskaraties, varat to viegli un vienkārši atrisināt, neizmantojot apgrūtinošus aprēķinus.

2.8 Pilna grāda piešķiršana

Apsveriet vienādojumu.

Kreisā puse ir summas (x + 1) kubs, t.i.

Mēs iegūstam trešās pakāpes sakni no abām daļām:, tad iegūstam

Kur ir vienīgā sakne.

PĒTĪJUMA REZULTĀTI

Balstoties uz darba rezultātiem, mēs izdarījām šādus secinājumus:

Pateicoties pētītajai teorijai, mēs iepazināmies ar dažādām metodēm visu augstāko grādu vienādojumu risināšanai;

Formulu D. Cardano ir grūti izmantot, un tas ļauj aprēķinos pieļaut kļūdas;

- L. Ferrari metode ļauj samazināt ceturtās pakāpes vienādojuma risinājumu uz kubikmetru;

- Bezout teorēmu var pielietot gan kubiskā vienādojumā, gan ceturtās pakāpes vienādojumos; tas ir saprotamāks un vizuālāks vienādojumu risināšanā;

Hornera shēma palīdz ievērojami samazināt un vienkāršot aprēķinus vienādojumu risināšanā. Papildus sakņu atrašanai saskaņā ar Hornera shēmu var vienkāršāk aprēķināt polinomu vērtības vienādojuma kreisajā pusē;

Īpašu interesi izraisīja vienādojumu risinājums ar nenoteiktu koeficientu metodi, simetrisko vienādojumu risinājums.

Pētnieciskā darba laikā tika noskaidrots, ka studenti apgūst vienkāršākos veidus, kā atrisināt augstākās pakāpes vienādojumus matemātikas izvēles klasēs, sākot no 9. vai 10. klases, kā arī speciālajos matemātikas skolu apmeklēšanas kursos. Šis fakts tika noskaidrots pēc MBOU “9.vidusskolas” matemātikas skolotāju un audzēkņu aptaujas rezultātiem, kas izrādīja pastiprinātu interesi par mācību priekšmetu “matemātika”.

Populārākās augstākās pakāpes vienādojumu risināšanas metodes, ar kurām sastopas, risinot olimpiādes, konkurences problēmas un studentu sagatavošanās eksāmeniem rezultāts ir metodes, kuru pamatā ir Bezout teorēmas, Hornera shēmas piemērošana un jauna mainīgā ieviešana.

Pētījuma rezultātu demonstrēšana, t.i. vienādojumu risināšanas metodes, kuras netiek mācītas skolas mācību programmā matemātikā, ieinteresētie klasesbiedri.

Secinājums

Izpētījis izglītības un zinātnisko literatūru, interneta resursus jauniešu izglītības forumos

Risinot algebriskos vienādojumus, bieži vien ir jāņem vērā polinoms. Polinoma faktorēšana nozīmē to attēlot kā divu vai vairāku polinomu reizinājumu. Mēs diezgan bieži izmantojam dažas polinomu sadalīšanas metodes: kopēja faktora izņemšana, samazinātu reizināšanas formulu piemērošana, pilna kvadrāta iegūšana, grupēšana. Apsvērsim vēl dažas metodes.

Dažreiz, faktorizējot polinomu, ir noderīgi šādi apgalvojumi:

1) ja polinomam ar veselu skaitļu koeficientiem ir racionāla sakne (kur ir nesadalāma frakcija, tad ir brīvā vārda dalītājs un augstākā koeficienta dalītājs:

2) Ja kaut kādā veidā mēs izvēlamies pakāpes polinoma sakni, tad polinomu var attēlot tādā formā, kur pakāpes polinoms

Polinomu var atrast, vai nu sadalot polinomu binomālā “kolonnā”, vai attiecīgi sagrupējot polinoma nosacījumus un no tiem izdalot koeficientu, vai arī izmantojot nenoteiktu koeficientu metodi.

Piemērs. Faktora polinoms

Lēmums. Tā kā koeficients x4 ir 1, pastāv šīs polinomas racionālās saknes, tie ir dalītāji ar 6, tas ir, tie var būt veseli skaitļi ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Apzīmē šo polinomu ar P4 (x). Tā kā P P4 (1) \u003d 4 un P4 (-4) \u003d 23, skaitļi 1 un -1 nav polinoma PA (x) saknes. Tā kā P4 (2) \u003d 0, tad x \u003d 2 ir polinoma P4 (x) sakne, un tāpēc šo polinomu dala ar binomu x - 2. Tāpēc x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x-2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

Līdz ar to P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Tā kā xz - 3x2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), tad x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3) (x2 + 1).

Parametru ievades metode

Dažreiz polinomu faktorings sadalīšanās laikā palīdz parametra ieviešanas metodē. Šīs metodes būtība ir izskaidrota nākamajā piemērā.

Piemērs. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Lēmums. Apsveriet polinomu ar parametru a: x3 - (a + 1) x2 + a2, kas a \u003d √3 pārvēršas par doto polinomu. Mēs uzrakstām šo polinomu kā kvadrātisko trinomu attiecībā pret: ar - ax2 + (x3 - x2).

Tā kā šīs kvadrātiskās trinomijas saknes attiecībā pret a ir a1 \u003d x un a2 \u003d x2 - x, tad vienādība a2 - ax2 + (xs - x2) \u003d (a - x) (a - x2 + x). Tāpēc polinomu x3 - (√3 + 1) x2 + 3 faktorizē ar √3 - x un √3 - x2 + x, t.i.

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x-√3) (x2-x-√3).

Metode jauna nezināma ieviešanai

Dažos gadījumos, aizstājot izteiksmi f (x) polinomā Pn (x), mēs varam iegūt polinomu attiecībā pret y līdz y, ko jau var viegli faktorizēt. Pēc tam, mainot y uz f (x), iegūstam polinoma Pn (x) faktorizāciju.

Piemērs. Faktorā polinoms x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15.

Lēmums. Mēs pārveidojam šo polinomu šādi: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Apzīmē x2 + 3x ar y. Tad mums ir y (y + 2) - 15 \u003d y2 + 2y - 15 \u003d y2 + 2y + 1 - 16 \u003d (y + 1) 2 - 16 \u003d (y + 1 + 4) (y + 1 - 4) \u003d ( y + 5) (y - 3).

Tāpēc x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Piemērs. Faktora polinoma (x-4) 4+ (x + 2) 4

Lēmums. Apzīmē x - 4 + x + 2 \u003d x - 1 ar y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (y - 3) 4 + (y + 3) 4 \u003d y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 \u003d

2y4 + 108y2 + 162 \u003d 2 (y4 + 54y2 + 81) \u003d 2 [(yy + 27) 2 - 648] \u003d 2 (y2 + 27 - √b48) (y2 + 27 + √b48) \u003d

2 ((x-1) 2 + 27-√b48) ((x-1) 2 + 27 + √b48) \u003d 2 (x2-2x + 28-18-18√2) (x2-2x + 28 + 18√ 2 )

Dažādu metožu apvienojums

Bieži vien, kad faktoringa polinoms, vairākas metodes apspriests iepriekš, ir jāpiemēro secīgi.

Piemērs. Faktorā polinoms x4 - 3x2 + 4x-3.

Lēmums. Izmantojot grupēšanu, polinomu pārrakstām formā x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Pielietojot pilna kvadrāta izvēles metodi pirmajai iekavai, mums ir x4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Izmantojot pilnas kvadrāta formulu, tagad mēs varam uzrakstīt, ka x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Visbeidzot, izmantojot kvadrātu starpības formulu, iegūstam, ka x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2-x + 1). )

§ 2. Simetriski vienādojumi

1. Trešās pakāpes simetriskie vienādojumi

Formas ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0 un ≠ 0 (1) vienādojumus sauc par trešās pakāpes simetriskiem vienādojumiem. Tā kā ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), tad vienādojums (1) ir ekvivalents vienādojumu kopai x + 1 \u003d 0 un ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, ko nav grūti atrisināt.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Lēmums. Vienādojums (2) ir simetrisks trešās pakāpes vienādojums.

Tā kā 3x3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - 3x + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , tad vienādojums (2) ir ekvivalents vienādojumu kopai x + 1 \u003d 0 un 3x3 + x + 3 \u003d 0.

Pirmā no šiem vienādojumiem risinājums ir x \u003d -1, otrajam vienādojumam nav risinājumu.

Atbilde: x \u003d -1.

2. Ceturtās pakāpes simetriskie vienādojumi

Veidlapas vienādojums

(3) sauc par ceturtās pakāpes simetrisko vienādojumu.

Tā kā x \u003d 0 nav vienādojuma (3) sakne, tad, dalot (3) vienādojuma abas puses ar x2, iegūstam vienādojumu, kas ekvivalents oriģinālam (3):

Mēs pārrakstām vienādojumu (4) šādā formā:

Šajā vienādojumā mēs veicam aizstāšanu, pēc tam iegūstam kvadrātvienādojumu

Ja vienādojumam (5) ir 2 saknes y1 un y2, tad sākotnējais vienādojums ir ekvivalents vienādojumu kopumam

Ja vienādojumam (5) ir viena sakne y0, tad sākotnējais vienādojums ir ekvivalents vienādojumam

Visbeidzot, ja (5) vienādojumam nav sakņu, tad arī sākotnējam vienādojumam nav sakņu.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Šis vienādojums ir simetrisks ceturtās pakāpes vienādojums. Tā kā x \u003d 0 nav tās sakne, tad, dalot vienādojumu (6) ar x2, iegūstam tam ekvivalentu vienādojumu:

Pēc terminu sagrupēšanas mēs pārrakstām (7) vienādojumu formā vai formā

Liekot, mēs iegūstam vienādojumu ar divām saknēm y1 \u003d 2 un y2 \u003d 3. Tāpēc sākotnējais vienādojums ir ekvivalents vienādojumu kopumam.

Šīs populācijas pirmā vienādojuma risinājums ir x1 \u003d 1, bet otrā risinājuma risinājums ir un.

Tāpēc sākotnējam vienādojumam ir trīs saknes: x1, x2 un x3.

Atbilde: x1 \u003d 1,.

3.§. Algebriskie vienādojumi

1. Vienādojuma pakāpes samazināšanās

Dažus algebriskos vienādojumus, aizstājot tajos noteiktu polinomu ar vienu burtu, var reducēt līdz algebriskiem vienādojumiem, kuru pakāpe ir mazāka par sākotnējā vienādojuma pakāpi un kuru risinājums ir vienkāršāks.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Mēs apzīmējam ar, tad (1) vienādojumu var pārrakstīt šādā formā: Pēdējam vienādojumam ir saknes, un tāpēc (1) vienādojums ir ekvivalents vienādojumu kopumam un. Šīs kopas pirmajam vienādojumam ir risinājums, un ir arī otrajam vienādojumam

Vienādojuma (1) risinājumi ir:

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Reizinot abas vienādojuma puses ar 12 un apzīmējot ar,

Mēs iegūstam vienādojumu Pārrakstīt šo vienādojumu formā

(3) un apzīmējot, pārrakstot (3) vienādojumu formā Pēdējam vienādojumam ir saknes, un tāpēc mēs secinām, ka (3) vienādojums ir ekvivalents divu vienādojumu kombinācijai un šai vienādojumu kopai ir risinājumi, t.i., 2. vienādojums ir ekvivalents vienādojumu un ( 4)

(4) risinājumi ir, un tie ir vienādojuma (2) risinājumi.

2. Formas vienādojumi

Vienādojums

(5) kur ir doti skaitļi, to var reducēt uz kvadrātvienādojumu vienādojumu, aizstājot nezināmo, t.i.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Apzīmē ar, t. e) veikt mainīgo lielumu maiņu vai tad (6) vienādojumu var pārrakstīt formā vai, izmantojot formulu, formā

Tā kā kvadrātvienādojuma saknes ir, un tad (7) vienādojuma risinājumi ir vienādojumu kopas un. Šim vienādojumu kopumam ir divi risinājumi, un tāpēc vienādojuma (6) risinājumi ir un

3. Formas vienādojumi

Vienādojums

(8) kur cipari α, β, γ, δ un Α ir tādi, ka α

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Mēs aizstājam nezināmos, t.i., y \u003d x + 3 vai x \u003d y - 3. Tad vienādojumu (9) var pārrakstīt formā

(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) \u003d 10, t.i., formā

(y2-4) (y2-1) \u003d 10 (10)

Biquadratic vienādojumam (10) ir divas saknes. Tāpēc vienādojumam (9) ir arī divas saknes:

4. Formas vienādojumi

Vienādojums (11)

Kur nav saknes x \u003d 0, tāpēc, dalot vienādojumu (11) ar x2, iegūstam tai ekvivalentu vienādojumu

Kas pēc nezināmā aizstāšanas tiks pārrakstīts kvadrātiskā vienādojuma veidā, kura risinājums nav sarežģīts.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Tā kā h \u003d 0 nav vienādojuma (12) sakne, dalot to ar x2, iegūstam tai ekvivalentu vienādojumu

Padarot aizvietojumu nezināmu, iegūstam vienādojumu (y + 1) (y + 2) \u003d 2, kam ir divas saknes: y1 \u003d 0 un y1 \u003d -3. Tāpēc sākotnējais vienādojums (12) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopumam

Šim komplektam ir divas saknes: x1 \u003d -1 un x2 \u003d -2.

Atbilde: x1 \u003d -1, x2 \u003d -2.

Komentārs. Veidlapas vienādojums

Kurā vienmēr var nonākt formā (11) un turklāt pieņemot, ka veido α\u003e 0 un λ\u003e 0.

5. Formas vienādojumi

Vienādojums

, (13) kur skaitļi α, β, γ, δ un Α ir tādi, ka αβ \u003d γδ ≠ 0, mēs to varam pārrakstīt, reizinot pirmo kronšteinu ar otro un trešo ar ceturto, tādā formā, t.i., vienādojumā (13). tagad uzrakstīts formā (11), un tā risinājumu var veikt tādā pašā veidā kā (11) vienādojuma risinājumu.

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Vienādojumam (14) ir forma (13), tāpēc mēs to pārrakstām formā

Tā kā x \u003d 0 nav šī vienādojuma risinājums, dalot abas tā daļas ar x2, iegūstam ekvivalentu sākuma vienādojumu. Veicot mainīgo lielumu maiņu, iegūstam kvadrātvienādojumu, kura risinājums ir un. Tāpēc sākotnējais vienādojums (14) ir ekvivalents vienādojumu un.

Šīs kopas pirmā vienādojuma risinājums ir

Šī risinājumu kopuma otrajam vienādojumam nav. Tātad sākotnējā vienādojuma saknes ir x1 un x2.

6. Formas vienādojumi

Vienādojums

(15), kur skaitļi a, b, c, q, A ir tādi, ka nav saknes x \u003d 0, tāpēc, dalot vienādojumu (15) ar x2. mēs iegūstam tam līdzvērtīgu vienādojumu, kurš pēc nezināmā aizstāšanas tiks pārrakstīts kvadrātiskā vienādojuma formā, kura risinājums nav sarežģīts.

7. piemērs. Vienādojuma risinājums

Lēmums. Tā kā x \u003d 0 nav vienādojuma (16) sakne, tad, dalot abas tā daļas ar x2, iegūstam vienādojumu

, (17) ekvivalents (16) vienādojumam. Tā kā nomaiņa nav kļuvusi zināma, formā mēs pārrakstām vienādojumu (17)

Kvadrātiskajam vienādojumam (18) ir 2 saknes: y1 \u003d 1 un y2 \u003d -1. Tāpēc vienādojums (17) ir ekvivalents vienādojumu un (19) kombinācijai.

Vienādojumu kopumam (19) ir 4 saknes:,.

Tās būs 16. vienādojuma saknes.

§4. Racionālie vienādojumi

Formas \u003d 0 vienādojumus, kur H (x) un Q (x) ir polinomi, sauc par racionālajiem.

Atrodot vienādojuma H (x) \u003d 0 saknes, mums jāpārbauda, \u200b\u200bkuras no tām nav vienādojuma Q (x) \u003d 0 saknes. Šīs saknes un tikai tās būs vienādojuma risinājumi.

Apsveriet dažas metodes formulas \u003d 0 vienādojuma risināšanai.

1. Formas vienādojumi

Vienādojums

(1) noteiktos skaitļu apstākļos to var atrisināt šādi. Sagrupējot (1) vienādojuma nosacījumus divos un summējot katru pāri, jums jāsaņem skaitītājā pirmās vai nulles pakāpes polinomi, kas atšķiras tikai ar skaitliskiem faktoriem, un saucējos - trinomi, kuriem ir tie paši divi termini, kas satur x, tad pēc mainīgo mainīšanas vienādojumam būs vai nu arī forma (1), bet ar mazāku terminu skaitu, abi būs līdzvērtīgi divu vienādojumu kombinācijai, no kuriem viens būs pirmās pakāpes, bet otrais būs formas (1) vienādojums, bet ar mazāku terminu skaitu.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Grupējot (2) vienādojuma kreisajā pusē pirmo terminu ar pēdējo un otro ar priekšpēdējo, mēs pārrakstām (2) vienādojumu šādā formā:

Apkopojot katrā iekavā esošos terminus, formā mēs pārrakstām vienādojumu (3)

Tā kā vienādojumam (4) nav risinājuma, dalot šo vienādojumu ar, iegūstam vienādojumu

, (5) ekvivalents vienādojumam (4). Mēs veicam nezināmā aizstāšanu, tad vienādojumu (5) var pārrakstīt formā

Tādējādi vienādojuma (2) risinājums ar pieciem terminiem kreisajā pusē tiek samazināts līdz tās pašas formas (6) vienādojuma risinājumam, bet ar trim terminiem kreisajā pusē. Apkopojot visus vienādojuma (6) kreisajā pusē esošos terminus, mēs to pārrakstām formā

Vienādojuma risinājumi ir un. Neviens no šiem skaitļiem nepazūd racionālas funkcijas saucējs (7) vienādojuma kreisajā pusē. Tāpēc vienādojumam (7) ir šīs divas saknes, un tāpēc sākotnējais vienādojums (2) ir ekvivalents vienādojumu kopumam.

Šīs kopas pirmā vienādojuma risinājumi ir:

Šīs kopas otrā vienādojuma risinājumi ir:

Tāpēc sākotnējam vienādojumam ir saknes

2. Formas vienādojumi

Vienādojums

(8) noteiktos skaitļu apstākļos to var atrisināt šādā veidā: katrā vienādojuma frakcijā ir jāizvēlas vesels skaitlis, t.i., (8) vienādojumu jāaizstāj ar vienādojumu.

Samaziniet to līdz formai (1) un pēc tam atrisiniet to ar iepriekšējā punktā aprakstīto metodi.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Mēs uzrakstam vienādojumu (9) formā vai formā

Apkopojot terminus iekavās, mēs pārrakstām formu (10) vienādojumā

Veicot aizstāšanu ar nezināmo, formā mēs pārrakstām vienādojumu (11)

Apkopojot vienādojuma (12) kreisajā pusē esošos vārdus, mēs to pārrakstām formā

Ir viegli redzēt, ka (13) vienādojumam ir divas saknes: un. Tāpēc sākotnējam vienādojumam (9) ir četras saknes:

3) Formas vienādojumi.

Veidlapas (14) vienādojumu ar dažiem nosacījumiem ar skaitļiem var atrisināt šādi: paplašinot (ja tas, protams, ir iespējams) katru frakciju (14) vienādojuma kreisajā pusē vienkāršo frakciju summā.

Samaziniet (14) vienādojumu, lai veidotu (1), pēc tam, kad ir ērti pārkārtoti iegūtā vienādojuma nosacījumi, atrisiniet to ar 1. punktā aprakstīto metodi.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Kopš tā laika, reizinot katras frakcijas skaitītāju (15) vienādojumā ar 2 un ievērojot, ka (15) vienādojumu var uzrakstīt šādi:

Vienādojumam (16) ir šāda forma (7). Pārgrupējot terminus šajā vienādojumā, mēs to pārrakstām formā vai formā

Vienādojums (17) ir ekvivalents vienādojumu un

Lai atrisinātu kopas otro vienādojumu (18), mēs veicam nezināmā aizstāšanu. Tad tas tiks pārrakstīts formā vai formā

Apkopojot visus vienādojuma (19) kreisajā pusē esošos terminus, pārrakstiet to kā

Tā kā vienādojumam nav sakņu, tad arī vienādojumam (20) to nav.

Pirmajam populācijas vienādojumam (18) ir viena sakne Tā kā šī sakne ir iekļauta populācijas otrā vienādojuma (18) ODZ, tā ir vienīgā populācijas sakne (18), un līdz ar to arī sākotnējais vienādojums.

4. Formas vienādojumi

Vienādojums

(21) ar zināmiem nosacījumiem attiecībā uz cipariem un A, pēc tam, kad katrs apzīmējums ir parādīts kreisajā pusē formā, to var reducēt uz formu (1).

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Mēs pārrakstām vienādojumu (22) formā vai formā

Tādējādi vienādojums (23) tiek samazināts līdz formai (1). Pirmo terminu sagrupējot ar pēdējo un otro ar trešo, vienādojumu (23) mēs pārrakstām formā

Šis vienādojums ir ekvivalents vienādojumu kopai un. (24)

Komplekta pēdējo vienādojumu (24) var pārrakstīt formā

Šim vienādojumam ir risinājumi, un, tā kā tas ir iekļauts kopas (30) otrā vienādojuma ODZ, tad kopai (24) ir trīs saknes:. Visi no tiem ir sākotnējā vienādojuma risinājumi.

5. Formas vienādojumi.

Veidlapas vienādojums (25)

Noteiktos apstākļos, aizstājot nezināmo, skaitļus var samazināt līdz formas vienādojumam

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. Tā kā tas nav risinājums vienādojumam (26), tad sadalot katras frakcijas skaitītāju un saucēju kreisajā pusē ar, mēs to pārrakstām formā

Pēc mainīgo mainīšanas formā mēs pārrakstām vienādojumu (27)

Risināšanas vienādojums (28) ir un. Tāpēc vienādojums (27) ir ekvivalents vienādojumu un. (29)