Vienādojuma logaritmu īpašības. Logaritmisko vienādojumu risināšana

Piemēri:

\ (\ log_ (2) (⁡x) = 32 \)
\ (\ log_3⁡x = \ log_3⁡9 \)
\ (\ log_3⁡ ((x ^ 2-3)) = \ log_3⁡ ((2x)) \)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7)) = 2 \)
\ (\ lg ^ 2⁡ ((x + 1)) + 10 = 11 \ lg⁡ ((x + 1)) \)

Kā atrisināt logaritmiskos vienādojumus:

Atrisinot logaritmisko vienādojumu, jācenšas to pārveidot formā \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \, pēc tam veiciet pāreju uz \ (f (x) ) = g (x) \).

\ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) \ (⇒ \) \ (f (x) = g (x) \).

Piemērs:\ (\ log_2⁡ (x-2) = 3 \)

Risinājums:
\ (\ log_2⁡ (x-2) = \ log_2⁡8 \)
\ (x-2 = 8 \)
\ (x = 10 \)
Pārbaude:\ (10> 2 \) - piemērots ODZ
Atbilde:\ (x = 10 \)

ODZ:
\ (x-2> 0 \)
\ (x> 2 \)

Ļoti svarīgs!Šo pāreju var veikt tikai tad, ja:

Jūs rakstījāt sākotnējam vienādojumam un beigās pārbaudiet, vai atrastie ir iekļauti IDD. Ja tas nav izdarīts, var parādīties nevajadzīgas saknes, kas nozīmē - nepareizs lēmums.

Skaitlis (vai izteiksme) kreisajā un labajā pusē ir vienāds;

Logaritmi kreisajā un labajā pusē ir "tīri", tas ir, nedrīkst būt reizināšanas, dalīšanas utt. - tikai atsevišķi logaritmi abās vienādības zīmes pusēs.

Piemēram:

Ņemiet vērā, ka 3. un 4. vienādojumus var viegli atrisināt, piemērojot logaritmu vēlamās īpašības.

Piemērs ... Atrisiniet vienādojumu \ (2 \ log_8⁡x = \ log_8⁡2,5 + \ log_8⁡10 \)

Risinājums :

		Rakstīsim ODZ: \ (x> 0 \).
\ (2 \ log_8⁡x = \ log_8⁡2,5 + \ log_8⁡10 \) ODZ: \ (x> 0 \)		Kreisajā pusē logaritma priekšā ir koeficients, labajā pusē ir logaritmu summa. Tas mūs traucē. Divus pārnesam uz eksponentu \ (x \) ar rekvizītu: \ (n \ log_b (⁡a) = \ log_b⁡ (a ^ n) \). Mēs attēlojam logaritmu summu kā vienu logaritmu ar rekvizītu: \ (\ log_a⁡b + \ log_a⁡c = \ log_a (⁡bc) \)
\ (\ log_8⁡ (x ^ 2) = \ log_8⁡25 \)		Mēs izveidojām vienādojumu formā \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) un pierakstījām ODZ, kas nozīmē, ka varat doties uz formu \ (f (x) = g (x) \ ).
		Notika . Mēs to atrisinām un iegūstam saknes.
\ (x_1 = 5 \) \ (x_2 = -5 \)		Mēs pārbaudām, vai saknes ir piemērotas ODZ. Lai to izdarītu, \ (x> 0 \), nevis \ (x \), mēs aizstājam \ (5 \) un \ (- 5 \). Šo operāciju var veikt mutiski.
\(5>0\), \(-5>0\)		Pirmā nevienlīdzība ir patiesa, otrā nav. Tātad \ (5 \) ir vienādojuma sakne, bet \ (- 5 \) nav. Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde : \(5\)

Piemērs : atrisiniet vienādojumu \ (\ log ^ 2_2⁡ (x) -3 \ log_2 (⁡x) + 2 = 0 \)

Risinājums :

		Rakstīsim ODZ: \ (x> 0 \).
\ (\ log ^ 2_2⁡ (x) -3 \ log_2 (⁡x) + 2 = 0 \) ODZ: \ (x> 0 \)		Tipisks vienādojums, kas atrisināts ar. Aizstāt \ (\ log_2⁡x \) ar \ (t \).
\ (t = \ log_2⁡x \)
		Mēs saņēmām parasto. Mēs meklējam tās saknes.
\ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = 1 \)		Mēs veicam apgriezto nomaiņu
\ (\ log_2 (⁡x) = 2 \) \ (\ log_2 (⁡x) = 1 \)		Pārveidojiet labās puses, attēlojot tās kā logaritmus: \ (2 = 2 \ cdot 1 = 2 \ log_2⁡2 = \ log_2⁡4 \) un \ (1 = \ log_2⁡2 \)
\ (\ log_2 (⁡x) = \ log_2⁡4 \) \ (\ log_2 (⁡x) = \ log_2⁡2 \)		Tagad mūsu vienādojumi ir šādā formā: \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \), un mēs varam pāriet uz \ (f (x) = g (x) \).
\ (x_1 = 4 \) \ (x_2 = 2 \)		Mēs pārbaudām ODZ sakņu atbilstību. Lai to izdarītu, mēs nevienādībā \ (x> 0 \) aizstājam \ (4 \) un \ (2 \), nevis \ (x \).
\(4>0\) \(2>0\)		Abas nevienlīdzības ir patiesas. Tādējādi gan \ (4 \), gan \ (2 \) ir vienādojuma saknes.

Atbilde : \(4\); \(2\).

Gatavošanās gala pārbaudījumam matemātikā ietver svarīgu sadaļu - "Logaritmi". Uzdevumi no šīs tēmas obligāti ir iekļauti eksāmenā. Pēdējo gadu pieredze liecina, ka logaritmiskie vienādojumi ir radījuši grūtības daudziem skolēniem. Tāpēc studentiem ar dažāda līmeņa apmācību vajadzētu saprast, kā atrast pareizo atbildi, un ātri tikt galā ar tiem.

Sekmīgi nokārtojiet sertifikācijas testu, izmantojot izglītības portālu "Shkolkovo"!

Gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam, vidusskolu absolventiem nepieciešams uzticams avots, kas sniedz vispilnīgāko un precīzāko informāciju ieskaites uzdevumu veiksmīgai risināšanai. Taču ne vienmēr mācību grāmata ir pa rokai, un nepieciešamo noteikumu un formulu atrašana internetā nereti prasa laiku.

Izglītības portāls "Shkolkovo" ļauj sagatavoties vienotajam valsts eksāmenam jebkurā vietā un laikā. Mūsu vietne piedāvā ērtāko pieeju liela apjoma informācijas atkārtošanai un asimilācijai par logaritmiem, kā arī par vienu un vairākiem nezināmiem. Sāciet ar vienkāršiem vienādojumiem. Ja ar tām tikāt galā viegli, pārejiet pie sarežģītākiem. Ja jums ir problēmas atrisināt noteiktu nevienlīdzību, varat to pievienot izlasei, lai vēlāk varētu pie tās atgriezties.

Jūs varat atrast nepieciešamās formulas uzdevuma izpildei, atkārtot īpašus gadījumus un standarta logaritmiskā vienādojuma saknes aprēķināšanas metodes, apskatot sadaļu "Teorētiskā atsauce". Školkovas skolotāji ir savākuši, sistematizējuši un prezentējuši visus materiālus, kas nepieciešami veiksmīgai piegādei visvienkāršākajā un saprotamākajā formā.

Lai viegli tiktu galā ar jebkuras sarežģītības uzdevumiem, mūsu portālā varat iepazīties ar dažu tipisku logaritmisko vienādojumu risinājumu. Lai to izdarītu, dodieties uz sadaļu "Katalogi". Esam iepazīstinājuši ar lielu skaitu piemēru, tostarp matemātikas eksāmena profila līmeņa vienādojumus.

Mūsu portālu var izmantot skolēni no skolām visā Krievijā. Lai sāktu, vienkārši reģistrējieties sistēmā un sāciet risināt vienādojumus. Lai konsolidētu rezultātus, mēs iesakām katru dienu atgriezties Shkolkovo tīmekļa vietnē.

Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b * a c = a b + c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselu rādītāju tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur jums ir jāvienkāršo apgrūtinoša reizināšana ar vienkāršu saskaitīšanu. Ja veltīsit 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkārša un pieejama valoda.

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log ab = c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir, jebkura pozitīva) logaritms "b", pamatojoties uz tā bāzi "a", tiek uzskatīts par jaudu " c", līdz kuram jāpaceļ bāze "a", lai beigās iegūtu vērtību "b". Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, piemēram, ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jāatrod tāds grāds, lai no 2 līdz vajadzīgajam grādam iegūtu 8. Domā veicot dažus aprēķinus, iegūstam skaitli 3! Un pareizi, jo 2 pakāpē no 3 dod atbildē skaitli 8.

Logaritmu šķirnes

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nemaz nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs atšķirīgi logaritmisko izteiksmju veidi:

Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
Decimāldaļa a, 10.
Jebkura skaitļa b logaritms uz bāzi a> 1.

Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, risinot tos, jāatceras to īpašības un darbību secība.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav apspriežami un ir patiesi. Piemēram, jūs nevarat dalīt skaitļus ar nulli, un jūs joprojām nevarat iegūt negatīvu skaitļu pāra sakni. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

bāzei "a" vienmēr jābūt lielākai par nulli un tajā pašā laikā tai jābūt vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo "1" un "0" jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
ja a> 0, tad a b> 0, izrādās, ka arī "c" ir jābūt lielākam par nulli.

Kā jūs risinat logaritmus?

Piemēram, dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x = 100. Tas ir ļoti vienkārši, jāizvēlas tāda jauda, paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram iegūstam 100. Tas, protams, 10 2 = 100 .

Tagad attēlosim šo izteiksmi kā logaritmisku izteiksmi. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu jaudu, uz kuru nepieciešams ieviest logaritma bāzi, lai iegūtu doto skaitli.

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, ir jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehniska domāšana un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr lielākām vērtībām būs nepieciešama jaudas tabula. To var izmantot pat tie, kas neko nezina par sarežģītām matemātikas tēmām. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir pakāpe c, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Šūnu krustojumā ir noteiktas skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemiet, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un apzīmējiet to kvadrātā, mēs iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, ka noteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuru matemātisku skaitlisku izteiksmi var uzrakstīt kā logaritmisku vienādību. Piemēram, 3 4 = 81 var uzrakstīt kā logaritmu no 81 līdz 3. bāzei, kas vienāds ar četriem (log 3 81 = 4). Negatīvām pakāpēm noteikumi ir vienādi: 2 -5 = 1/32, mēs to rakstām kā logaritmu, mēs iegūstam log 2 (1/32) = -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas jomām ir “logaritmu” tēma. Nedaudz zemāk mēs apsvērsim vienādojumu piemērus un risinājumus, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.

Tiek dota šādas formas izteiksme: log 2 (x-1)> 3 - tā ir logaritmiska nevienādība, jo nezināmā vērtība "x" atrodas zem logaritma zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzinātas divas vērtības: vajadzīgā skaitļa logaritms līdz diviem ir lielāks par skaitli trīs.

Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tā, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemēram, logaritms 2 x = √9) atbildē ietver vienu vai vairākas konkrētas skaitliskās vērtības, savukārt nevienādības atrisināšana nosaka gan pieļaujamo vērtību diapazonu. un punkti, kas pārtrauc šo funkciju. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā vienādojuma atbildē, bet gan nepārtraukta skaitļu sērija vai kopa.

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus uzdevumus, lai atrastu logaritma vērtības, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Ar vienādojumu piemēriem iepazīsimies vēlāk, vispirms analizēsim katru īpašību sīkāk.

Galvenā identitāte izskatās šādi: a logaB = B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāka par 0, nav vienāda ar vienu, un B ir lielāka par nulli.
Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā priekšnoteikums ir: d, s 1 un s 2> 0; a ≠ 1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmu formulai ar piemēriem un risinājumu. Aprēķināsim kā 1 = f 1 un log kā 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (īpašības pilnvaras ), un tālāk pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log kā 2, kas bija jāpierāda.
Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorēma formulas formā izpaužas šādā formā: log a q b n = n / q log a b.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz dabiskiem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Ļaujiet log a b = t, izrādās a t = b. Ja abas daļas paaugstinām līdz pakāpei m: a tn = b n;

bet tā kā a tn = (a q) nt / q = b n, tāpēc log a q b n = (n * t) / t, tad log a q b n = n / q log a b. Teorēma ir pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritma problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās uzdevumu grāmatās, kā arī ir iekļauti matemātikas eksāmenu obligātajā daļā. Lai iestātos augstskolā vai nokārtotu iestājpārbaudījumus matemātikā, ir jāzina, kā pareizi risināt šādus uzdevumus.

Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas logaritma nezināmās vērtības risināšanai un noteikšanai, tomēr katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Vispirms ir jānoskaidro, vai izteiksmi var vienkāršot vai novest līdz vispārējai formai. Garas logaritmiskās izteiksmes var vienkāršot, ja to īpašības tiek izmantotas pareizi. Drīzumā iepazīsimies ar viņiem.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, ir jānosaka, kāds logaritms ir mūsu priekšā: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimālskaitli.

Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka jums ir jānosaka pakāpe, kādā bāze 10 būs vienāda ar attiecīgi 100 un 1026. Dabisko logaritmu risinājumiem jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko uzdevumu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, aplūkosim piemērus, kā izmantot galvenās teorēmas par logaritmiem.

Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur nepieciešams lielu skaitļa b vērtību sadalīt vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzams, pielietojot logaritma jaudas ceturto īpašību, bija iespējams atrisināt šķietami sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Jums vienkārši jāaprēķina bāze un pēc tam jāizņem jaudas vērtības no logaritma zīmes.

Uzdevumi no eksāmena

Logaritmi bieži sastopami iestājeksāmenos, īpaši daudz logaritmisko uzdevumu eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolas absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vieglākā eksāmena testa daļa), bet arī C daļā (grūtākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmenā tiek pieņemtas precīzas un perfektas zināšanas par tēmu "Dabas logaritmi".

Problēmu piemēri un risinājumi ir ņemti no vienotā valsts eksāmena oficiālajām versijām. Redzēsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstiet izteiksmi, to nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2, pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.

Vislabāk visus logaritmus pārvērst vienā bāzē, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
Visas izteiksmes zem logaritma zīmes tiek norādītas kā pozitīvas, tāpēc, kad faktors tiek izņemts izteiksmes eksponenta eksponents, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tā bāze, izteiksme paliek zem logaritma zīmes. logaritmam jābūt pozitīvam.

Ievads

Garīgās slodzes palielināšanās matemātikas stundās liek aizdomāties par to, kā noturēt skolēnu interesi par apgūstamo materiālu, savu aktivitāti visas stundas garumā. Šajā sakarā tiek meklētas jaunas efektīvas mācību metodes un tādi metodiskie paņēmieni, kas aktivizētu skolēnu domu, stimulētu apgūt zināšanas pašiem.

Intereses par matemātiku rašanās ievērojamā skaitā skolēnu lielā mērā ir atkarīga no tās mācīšanas metodikas, no tā, cik prasmīgi tiks strukturēts izglītības darbs. Savlaicīgi pievēršot skolēnu uzmanību tam, ka matemātika pēta apkārtējās pasaules objektu un parādību vispārīgās īpašības, nodarbojas nevis ar objektiem, bet gan ar abstraktiem abstraktiem jēdzieniem, var panākt izpratni, ka matemātika nepārrauj saikni ar realitāti. , bet, gluži pretēji, dod iespēju to izpētīt dziļāk, izdarīt vispārinātus teorētiskus secinājumus, kas tiek plaši izmantoti praksē.

Piedaloties pedagoģisko ideju festivālā "Atvērtā stunda" 2004.-2005.mācību gadam, nolasīju nodarbību-lekciju par tēmu "Logaritmiskā funkcija" (diploma Nr.204044). Es domāju, ka šī metode ir visveiksmīgākā šajā konkrētajā gadījumā. Pētījuma rezultātā skolēniem ir detalizēts izklāsts un īss tēmas izklāsts, kas atvieglos gatavošanos nākamajām nodarbībām. Jo īpaši par tēmu "Logaritmisko vienādojumu risināšana", kas pilnībā balstās uz logaritmiskās funkcijas un tās īpašību izpēti.

Veidojot matemātikas pamatjēdzienus, ir svarīgi radīt skolēnos priekšstatu par katra no tiem ieviešanas lietderīgumu un to pielietošanas iespējām. Šim nolūkam ir nepieciešams, lai, formulējot noteikta jēdziena definīciju, strādājot pie tā loģiskās struktūras, būtu jāapsver jautājumi par šī jēdziena rašanās vēsturi. Šī pieeja palīdzēs skolēniem saprast, ka jaunā koncepcija kalpo kā realitātes faktu vispārinājums.

Logaritmu rašanās vēsture detalizēti izklāstīta pagājušā gada darbā.

Ņemot vērā nepārtrauktības nozīmi matemātikas mācīšanā vidējā specializētajā izglītības iestādē un augstskolā un nepieciešamību ievērot vienotas prasības studentiem, uzskatu par piemērotu šādu metodiku studentu iepazīstināšanai ar logaritmisko vienādojumu risināšanu.

Tiek saukti vienādojumi, kas satur mainīgo ar logaritma zīmi (jo īpaši logaritma pamatnē). logaritmisks. Apsveriet šādas formas logaritmiskos vienādojumus:

Šo vienādojumu risinājums ir balstīts uz šādu teorēmu.

1. teorēma. Vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai

(2)

Lai atrisinātu (1) vienādojumu, pietiek ar vienādojumu

un aizstāt savus risinājumus nevienlīdzību sistēmā

definējot (1) vienādojuma apgabalu.

(1) vienādojuma saknes būs tikai tie (3) vienādojuma atrisinājumi, kas apmierina sistēmu (4), t.i. pieder pie (1) vienādojuma definīcijas jomas.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, definīcijas apgabals var paplašināties (svešu sakņu iegūšana) vai sašaurināt (sakņu zudums). Tāpēc (3) vienādojuma sakņu aizstāšana ar sistēmu (4), t.i. nepieciešama lēmuma pārbaude.

1. piemērs: Atrisiniet vienādojumu

Risinājums:

Abas nozīmes NS atbilst sistēmas nosacījumiem.

Atbilde:

Apsveriet formas vienādojumus:

To risinājums ir balstīts uz šādu teorēmu

2. teorēma:(5) vienādojums ir ekvivalents sistēmai

(6)

(5) vienādojuma saknes būs tikai tās vienādojuma saknes, kuras

pieder nosacījumos norādītajam domēnam.

Formas (5) logaritmisko vienādojumu var atrisināt dažādos veidos. Apsvērsim galvenos.

1. POTENCIĀCIJA (piemērojot logaritma īpašības).

2. piemērs: Atrisiniet vienādojumu

Risinājums: Saskaņā ar 2. teorēmu šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai:

Atrisināsim vienādojumu:

Tikai viena sakne atbilst visiem sistēmas nosacījumiem. Atbilde:

2. LOGARITMA DEFINĪCIJAS IZMANTOŠANA .

3. piemērs: Atrast NS, ja

Risinājums:

Nozīme NS= 3 pieder vienādojuma jomai. Atbilde NS = 3

3. SAMAZINĀJUMS UZ KVADRĀTA VIENĀDĀJUMU.

4. piemērs: Atrisiniet vienādojumu

Abas nozīmes NS ir vienādojuma saknes.

Atbilde:

4. LOGARIFING.

5. piemērs: Atrisiniet vienādojumu

Risinājums: Logaritēsim abas vienādojuma puses līdz 10. bāzei un pielietosim īpašību "jaudas logaritms".

Abas saknes pieder logaritmiskās funkcijas derīgo vērtību diapazonam.

Atbilde: NS = 0,1; NS = 100

5. SAMAZINĀJUMS UZ VIENU BĀZI.

6. piemērs: Atrisiniet vienādojumu

Izmantosim formulu un visos terminos pārejiet uz logaritmu uz 2. bāzi:

Tad šis vienādojums iegūs šādu formu:

Tā kā tad šī ir vienādojuma sakne.

Atbilde: NS = 16

pamata īpašības.

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

identisks pamatojums

Log6 4 + log6 9.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.

Logaritmu risināšanas piemēri

Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir balstīts uz pakāpi? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODL: a> 0, a ≠ 1, x>

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Pāreja uz jaunu pamatu

Ļaujiet dot logaritmu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c> 0 un c ≠ 1, spēkā ir šāda vienādība:

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Skatīt arī:

Logaritma pamatīpašības

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu.

Logaritmu pamatīpašības

Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
a). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Mēs aprēķinām pēc īpašībām 3.5

4. kur .

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība

Novērtē žurnālu (x), ja

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir obligāti jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku problēmu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā, ka galvenais šeit ir - identisks pamatojums... Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek skaitītas (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 - log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 - log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 — log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek atsevišķi uzskaitīti. Bet pēc transformācijām tiek iegūti diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Bet kāda kontrole - tādi izteicieni visā nopietnībā (reizēm - praktiski nemainīti) tiek piedāvāti eksāmenā.

Eksponenta noņemšana no logaritma

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums atbilst pirmajiem diviem. Bet labāk to visu atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODL: a> 0, a ≠ 1, x> 0. Un vēl viena lieta: iemācieties lietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , ti jūs varat ievadīt skaitļus logaritma zīmes priekšā pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur pazuda logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.

Formulas logaritmiem. Logaritmi ir risinājumu piemēri.

Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu grādu formā un izcēlām rādītājus - saņēmām "trīsstāvu" daļskaitli.

Tagad apskatīsim pamata daļu. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam atcelt daļskaitli - saucējs paliek 2/4. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai vienām un tām pašām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritmu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c> 0 un c ≠ 1, spēkā ir šāda vienādība:

Jo īpaši, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā visa izteiksme ir "apgriezta", t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kas parasti netiek atrisināti, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apsveriet dažus no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pakāpes. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apvērsim" otro logaritmu:

Tā kā reizinājums no faktoru permutācijas nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam nodarbojāmies ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 · lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzi grādi. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvojamies no decimāllogaritma, pārejot uz jauno bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc tā:.

Patiešām, kas notiek, ja skaitlis b palielina līdz tādai pakāpei, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: jūs saņemat tieši šo skaitli a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā "karājas".

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī pamata logaritmiskā identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 — tikko pārvietoja kvadrātu no bāzes un logaritma argumenta. Ņemot vērā noteikumus par grādu reizināšanu ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tā bija reāla problēma no eksāmena 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi saskaras ar problēmām un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai bāzei a no šīs bāzes ir vienāds ar vienu.
loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Skatīt arī:

Logaritms b, lai bāzētu a, apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast tādu x () jaudu, pie kuras vienādība

Logaritma pamatīpašības

Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata tiek atrisinātas gandrīz visas problēmas un piemēri, kas saistīti ar logaritmiem. Pārējās eksotiskās īpašības var izsecināt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulas (3.4), sastopamas diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.

Bieži sastopami logaritmu gadījumi

Daži no izplatītākajiem logaritmiem ir tādi, kuros bāze ir pat desmit, eksponenciāla vai divas.
Desmit logaritmu parasti sauc par decimālo logaritmu, un to vienkārši apzīmē ar lg (x).

No ieraksta redzams, ka pamati ierakstā nav rakstīti. Piemēram

Dabiskais logaritms ir logaritms, kura pamatā ir eksponents (apzīmēts ar ln (x)).

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Un vēl viens svarīgs divu bāzu logaritms ir

Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo

Logaritma integrāli jeb antiatvasinājumu nosaka atkarība

Ar doto materiālu jums pietiek, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu uzdevumu klasi. Lai asimilētu materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programmas un universitātēm.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
a). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Mēs aprēķinām pēc īpašībām 3.5

2.
Pēc logaritmu starpības īpašības mums ir

3.
Izmantojot īpašības 3,5, mēs atrodam

4. kur .

Šķietami sarežģīta izteiksme, izmantojot vairākus noteikumus, tiek vienkāršota līdz formai

Logaritmu vērtību atrašana

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Risinājums. Aprēķiniem izmantojam līdz pēdējam īpašuma 5. un 13. termiņam

Aizstāj un skumt

Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Dota logaritmu vērtība

Novērtē žurnālu (x), ja

Risinājums: logaritēsim mainīgo, lai rakstītu logaritmu caur terminu summu

Šeit tikai sākas iepazīšanās ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas - šīs zināšanas jums drīz būs nepieciešamas, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, mēs paplašināsim jūsu zināšanas par citu tikpat svarīgu tēmu - logaritmiskās nevienādības ...

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir obligāti jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku problēmu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek skaitītas (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 - log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 - log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 — log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Eksponenta noņemšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir balstīts uz pakāpi? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums atbilst pirmajiem diviem. Bet labāk to visu atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur pazuda logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu grādu formā un izcēlām rādītājus - saņēmām "trīsstāvu" daļskaitli.

Pāreja uz jaunu pamatu

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritmu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c> 0 un c ≠ 1, spēkā ir šāda vienādība:

Jo īpaši, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā visa izteiksme ir "apgriezta", t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kas parasti netiek atrisināti, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apsveriet dažus no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pakāpes. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apvērsim" otro logaritmu:

Tā kā reizinājums no faktoru permutācijas nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam nodarbojāmies ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 · lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzi grādi. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvojamies no decimāllogaritma, pārejot uz jauno bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc tā:.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī pamata logaritmiskā identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 — tikko pārvietoja kvadrātu no bāzes un logaritma argumenta. Ņemot vērā noteikumus par grādu reizināšanu ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tā bija reāla problēma no eksāmena 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai bāzei a no šīs bāzes ir vienāds ar vienu.
loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.