Video nodarbība "Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana" ir izstrādāta, lai attīstītu skolēnu prasmes trigonometrisko problēmu risināšanā, izmantojot pamata trigonometriskās identitātes. Video nodarbības laikā tiek aplūkoti trigonometrisko identitāšu veidi, problēmu risināšanas piemēri, izmantojot tos. Izmantojot vizuālo palīglīdzekli, skolotājam ir vieglāk sasniegt stundas mērķus. Spilgta materiāla prezentācija palīdz atcerēties svarīgus punktus. Animācijas efektu izmantošana un dublēšana ļauj pilnībā aizstāt skolotāju materiāla izskaidrošanas stadijā. Tādējādi, izmantojot šo vizuālo palīglīdzekli matemātikas stundās, skolotājs var uzlabot mācību efektivitāti.
Video nodarbības sākumā tiek paziņota tās tēma. Tad tiek atgādinātas iepriekš pētītās trigonometriskās identitātes. Ekrānā tiek parādītas vienādības sin 2 t + cos 2 t = 1, tg t = sin t / cos t, kur t ≠ π / 2 + πk kϵZ, ctg t = cos t / sin t, derīgs t ≠ πk, kur kϵZ, tg t · ctg t = 1, t ≠ πk / 2, kur kϵZ, sauc par pamata trigonometriskajām identitātēm. Tiek atzīmēts, ka šīs identitātes bieži tiek izmantotas, risinot problēmas, kur nepieciešams pierādīt vienlīdzību vai vienkāršot izteiksmi.
Tālāk tiek aplūkoti piemēri šo identitāšu pielietošanai problēmu risināšanā. Pirmkārt, tiek ierosināts apsvērt problēmu risinājumu, lai vienkāršotu izteiksmes. 1. piemērā ir jāvienkāršo izteiksme cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. Lai atrisinātu piemēru, vispirms ievietojiet kopējo koeficientu cos 2 t ārpus iekavām. Šādas iekavās pārveidošanas rezultātā tiek iegūta izteiksme 1- cos 2 t, kuras vērtība no trigonometrijas pamatidentitātes ir vienāda ar sin 2 t. Pēc izteiksmes pārveidošanas ir acīmredzams, ka iekavās var ievietot vēl vienu kopīgu faktoru sin 2 t, pēc kura izteiksme iegūst formu sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). No vienas un tās pašas pamata identitātes mēs iegūstam iekavās esošās izteiksmes vērtību, kas vienāda ar 1. Vienkāršošanas rezultātā iegūstam cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t = sin 2 t.
Arī 2. piemērā ir jāvienkāršo izteiksme cost / (1-sint) + cost / (1+ sint). Tā kā izteiksmes izmaksas ir abu frakciju skaitītājos, tās var iekavēt kā kopīgu faktoru. Pēc tam iekavās esošās daļas tiek samazinātas līdz kopsaucējam, reizinot (1-sint) (1+ sint). Pēc šādu terminu ienešanas skaitītājā paliek 2, un saucējā 1 - sin 2 t. Ekrāna labajā pusē tiek atgādināta pamata trigonometriskā identitāte sin 2 t + cos 2 t = 1. Izmantojot to, mēs atrodam frakcijas cos 2 t saucēju. Pēc frakcijas samazināšanas iegūstam vienkāršotu izteiksmes izmaksu formu ((1- sint) + cost / (1+ sint) = 2 / cost).
Turklāt tiek aplūkoti identitātes pierādījumu piemēri, kuros tiek izmantotas iegūtās zināšanas par trigonometrijas pamatidentitāti. 3. piemērā ir jāpierāda identitāte (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t = sin 2 t. Ekrāna labajā pusē tiek parādītas trīs identitātes, kas būs nepieciešamas pierādīšanai - tg t · ctg t = 1, ctg t = cos t / sin t un tan t = sin t / cos t ar ierobežojumiem. Lai pierādītu identitāti, vispirms tiek izvērstas iekavas, pēc tam tiek veidots produkts, kas atspoguļo galvenās trigonometriskās identitātes izpausmi tg t · ctg t = 1. Tad saskaņā ar identitāti no kotangenta definīcijas ctg 2 t tiek pārveidots. Pārvērtību rezultātā tiek iegūta izteiksme 1-cos 2 t. Izmantojot pamata identitāti, mēs atrodam izteiciena nozīmi. Tādējādi ir pierādīts, ka (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t = sin 2 t.
4. piemērā jāatrod izteiksmes tg 2 t + ctg 2 t vērtība, ja tg t + ctg t = 6. Lai aprēķinātu izteiksmi, vienādības (tg t + ctg t) 2 = 6 2 labā un kreisā puse vispirms tiek kvadrātā. Saīsinātā reizināšanas formula atgādina ekrāna labo pusi. Pēc iekavu atvēršanas izteiksmes kreisajā pusē veidojas summa tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, kuru pārveidošanai var viena no trigonometriskajām identitātēm tg t · ctg t = 1 jāpiemēro, kuras forma tiek atgādināta ekrāna labajā pusē. Pēc transformācijas tiek iegūta vienādība tg 2 t + ctg 2 t = 34. Vienlīdzības kreisā puse sakrīt ar problēmas stāvokli, tāpēc atbilde ir 34. Problēma ir atrisināta.
Video nodarbību "Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana" ieteicams izmantot tradicionālajā skolas matemātikas stundā. Materiāls būs noderīgs arī skolotājam, kurš veic tālmācību. Lai attīstītu prasmes trigonometrisko problēmu risināšanā.
TEKSTA KODS:
"Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana."
Vienlīdzība
1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinusa kvadrāts te plus kosinusa kvadrāts te ir vienāds ar vienu)
2) tgt =, t ≠ + πk, kϵZ (pieskare te ir vienāda ar sinusa te un kosinusa te attiecību, ja te nav vienāds ar pi ar diviem plus pi ka, ka pieder zet)
3) ctgt =, attiecībā uz t ≠ πk, kϵZ (kotangens te ir vienāds ar kosinusa te attiecību pret sinuso te, ja te nav vienāds ar maksimumu, ka pieder pie zet).
4) tgt ∙ ctgt = 1 t ≠, kϵZ (pieskares te un kotangenta reizinājums ir vienāds ar vienu, ja te nav vienāds ar maksimumu, dalīts ar diviem, ka pieder pie z)
sauc par pamata trigonometriskajām identitātēm.
Tos bieži izmanto, lai vienkāršotu un pierādītu trigonometriskās izteiksmes.
Apskatīsim piemērus, kā izmantot šīs formulas, lai vienkāršotu trigonometriskās izteiksmes.
1. PIEMĒRS: Vienkāršojiet izteiksmi: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izteiciens ir kosinusa kvadrāts te mīnus ceturtās pakāpes kosinuss te plus ceturtās pakāpes sinusa te).
Risinājums. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = grēks 2 t 1 = grēks 2 t
(mēs izņemam kopīgo kosinusa kvadrātu te, iekavās iegūstam starpību starp vienības un kosinusa kvadrātu, kas pēc pirmās identitātes ir vienāds ar sinusa te kvadrātu. Mēs iegūstam sinusa summu no ceturtās pakāpes te no kosinusa kvadrāta te un sinusa kvadrāta te. iekavās, iekavās iegūstam kosinusa un sinusa kvadrātu summu, kas ir vienāda ar 1. Rezultātā iegūstam kvadrātu sine te).
2. PIEMĒRS: Vienkāršojiet izteiksmi: +.
(izteiksme ba ir divu daļiņu summa pirmā kosinusa te skaitītājā saucējā viens mīnus sine te, otrā kosinusa te skaitītājā saucējā otrā vienība plus sine te).
(Izņemsim kopējo faktoru kosinusu te no iekavām, un iekavās to novedam pie kopsaucēja, kas ir viena mīnus sine te un viena plus sine te rezultāts.
Skaitītājā mēs iegūstam: viens plus sine te plus viens mīnus sine te, mēs dodam līdzīgus, skaitītājs ir vienāds ar diviem pēc līdzīgu atnešanas.
Saucējā varat izmantot saīsinātās reizināšanas formulu (kvadrātu starpība) un iegūt starpību starp vienības un sinusa kvadrātu, kas saskaņā ar pamata trigonometrisko identitāti
ir vienāds ar kosinusa kvadrātu te. Pēc atcelšanas ar kosinusu te, mēs iegūstam galīgo atbildi: divi dalīti ar kosinusu te).
Apskatīsim šo formulu izmantošanas piemērus, lai pierādītu trigonometriskās izteiksmes.
3. PIEMĒRS sine te kvadrāts).
Pierādījums.
Pārveidosim vienlīdzības kreiso pusi:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = grēks 2 t
(Atvērsim iekavas, no iepriekš iegūtās attiecības ir zināms, ka pieskares te un kotangenta kvadrātu reizinājums ir vienāds ar vienu. Atgādinām, ka kotangens te ir vienāds ar kosinusa te attiecību pret sinusu te, kas nozīmē, ka kotangenta kvadrāts ir kosinusa te kvadrāta un sinus te kvadrāta attiecība.
Pēc kvadrāta te atcelšanas ar sinusu mēs iegūstam starpību starp kvadrāta te mērvienību un kosinusu, kas ir vienāds ar kvadrāta te sinusu.) Q.E.D.
4. PIEMĒRS Atrodiet izteiksmes tg 2 t + ctg 2 t vērtību, ja tgt + ctgt = 6.
(pieskares te un kotangenta kvadrātu summa, ja pieskares un kotangenta summa ir seši).
Risinājums. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Kvadrēsim abas sākotnējās vienlīdzības puses:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (pieskares te un kotangenta summas kvadrāts ir vienāds ar sešiem kvadrātiem). Atgādiniet saīsinātās reizināšanas formulu: Divu lielumu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā plus kvadrātu divreiz pirmā reizinājuma reizinājumu ar otro plus otrā kvadrātu. a) b = 2 -seši) ...
Tā kā tangenta te un kotangenta te reizinājums ir vienāds ar vienu, tad tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (pieskares te un kotangent te un divi kvadrātu summa ir trīsdesmit seši),
1. nodarbība
Temats: 11. klase (sagatavošanās eksāmenam)
Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana.
Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšana. (2 stundas)
Mērķi:
- Lai sistematizētu, vispārinātu, paplašinātu studentu zināšanas un prasmes, kas saistītas ar trigonometrijas formulu izmantošanu un vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanu.
Aprīkojums nodarbībai:
Nodarbības struktūra:
- Organizatoriskais brīdis
- Pārbaude klēpjdatoros. Rezultātu apspriešana.
- Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana
- Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšana
- Patstāvīgs darbs.
- Nodarbības kopsavilkums. Mājas uzdevuma skaidrojums.
1. Organizatoriskais moments. (2 minūtes.)
Skolotājs sveic auditoriju, paziņo stundas tēmu, atgādina iepriekš doto uzdevumu atkārtot trigonometrijas formulas un sagatavo skolēnus testēšanai.
2. Testēšana. (15 min + 3 min diskusija)
Mērķis ir pārbaudīt trigonometrisko formulu zināšanas un spēju tās pielietot. Katram skolēnam uz galda ir klēpjdators ar testa versiju.
Var būt tik daudz iespēju, cik vēlaties, es sniegšu vienu no tām:
I variants.
Vienkāršojiet izteicienus:
a) pamata trigonometriskās identitātes
1. ir 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) pievienošanas formulas
3.sin5x - sin3x;
c) produkta pārvēršana summā
6.2sin8y mājīgs;
d) divu leņķu formulas
7.2sin5x cos5x;
e) pusleņķa formulas
f) trīskāršā leņķa formulas
g) universāla aizstāšana
h) pakāpes pazemināšana
16.cos 2 (3x / 7);
Studenti klēpjdatorā redz savas atbildes pret katru formulu.
Darbu uzreiz pārbauda dators. Rezultāti tiek parādīti lielā ekrānā, lai visi to varētu redzēt.
Tāpat pēc darba beigām skolēnu klēpjdatoros tiek parādītas pareizās atbildes. Katrs students redz, kur tika pieļauta kļūda un kādas formulas viņam jāatkārto.
3. Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana. (25 min.)
Mērķis ir pārskatīt, praktizēt un konsolidēt trigonometrijas pamatformulu pielietojumu. Problēmas risināšana B7 no eksāmena.
Šajā posmā ieteicams klasi sadalīt spēcīgu (strādā patstāvīgi ar turpmāku pārbaudi) un vāju skolēnu grupās, kuras strādā kopā ar skolotāju.
Uzdevums spēcīgiem izglītojamiem (iepriekš sagatavots drukātā veidā). Galvenais uzsvars tiek likts uz samazināšanas un dubultā leņķa formulām saskaņā ar USE 2011.
Vienkāršojiet izteicienus (spēcīgiem skolēniem):
Paralēli skolotājs strādā ar vājiem skolēniem, diskutējot un risinot uzdevumus ekrānā saskaņā ar skolēnu diktātu.
Aprēķināt:
5) grēks (270º - α) + cos (270º + α)
6) 
Vienkāršojiet:
Pienāca kārta diskusijai par spēcīgās grupas darba rezultātiem.
Ekrānā parādās atbildes, kā arī ar videokameras palīdzību tiek parādīti 5 dažādu skolēnu darbi (viens uzdevums katram).
Vāja grupa redz nosacījumu un risinājuma metodi. Notiek diskusija un analīze. Izmantojot tehniskos līdzekļus, tas notiek ātri.
4. Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums. (30 minūtes.)
Mērķis ir atkārtot, sistematizēt un vispārināt vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu, ierakstot to saknes. Problēmas B3 risinājums.
Jebkurš trigonometriskais vienādojums neatkarīgi no tā, kā mēs to atrisinām, noved pie vienkāršākā.
Pildot uzdevumu, skolēnus vajadzētu piesaistīt īpašo gadījumu vienādojumu sakņu ierakstīšanai un vispārējai formai, kā arī sakņu izvēlei pēdējā vienādojumā.
Atrisiniet vienādojumus:
Atbildē pierakstiet mazāko pozitīvo sakni.
5. Patstāvīgais darbs (10 min.)
Mērķis ir pārbaudīt iegūtās prasmes, identificēt problēmas, kļūdas un to novēršanas veidus.
Dažāda līmeņa darbs tiek piedāvāts pēc studenta izvēles.
Iespēja "3"
1) Atrodiet izteiksmes vērtību 
2) Vienkāršojiet izteiksmi 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) Atrisiniet vienādojumu 
Iespēja "4"
1) Atrodiet izteiksmes vērtību
2) Atrisiniet vienādojumu 
Atbildē pierakstiet mazāko pozitīvo sakni.
Iespēja "5"
1) Atrodiet tgα, ja 
2) Atrodiet vienādojuma sakni 
Pierakstiet savā atbildē mazāko pozitīvo sakni.
6. Nodarbības kopsavilkums (5 min.)
Skolotājs apkopo stundas atkārtoto un konsolidē trigonometriskās formulas, vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu.
Mājas uzdevums (iepriekš sagatavots drukātā veidā) ar pārbaudēm uz vietas nākamajā nodarbībā.
Atrisiniet vienādojumus:
9) 
10) 
Atbildē norādiet mazāko pozitīvo sakni.
2. sesija
Temats: 11. klase (sagatavošanās eksāmenam)
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes. Sakņu izvēle. (2 stundas)
Mērķi:
- Vispārināt un sistematizēt zināšanas par dažāda veida trigonometrisko vienādojumu risināšanu.
- Veicināt skolēnu matemātiskās domāšanas attīstību, spēju novērot, salīdzināt, vispārināt, klasificēt.
- Mudiniet skolēnus pārvarēt grūtības garīgās darbības procesā, paškontroli, savas darbības pašpārbaudi.
Aprīkojums nodarbībai: KRMu, klēpjdatori katram studentam.
Nodarbības struktūra:
- Organizatoriskais brīdis
- Diskusija d / h un samot. pēdējās nodarbības darbi
- Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metožu atkārtošana.
- Trigonometrisko vienādojumu risināšana
- Sakņu izvēle trigonometriskajos vienādojumos.
- Patstāvīgs darbs.
- Nodarbības kopsavilkums. Mājasdarbs.
1. Organizatoriskais brīdis (2 min.)
Skolotājs sveic auditoriju, paziņo stundas tēmu un darba plānu.
2. a) Mājas darbu apskats (5 min.)
Mērķis ir pārbaudīt izpildi. Viens darbs ar videokameras palīdzību tiek parādīts ekrānā, pārējais tiek selektīvi savākts skolotāja pārbaudei.
b) Patstāvīgā darba analīze (3 min.)
Mērķis ir analizēt kļūdas, norādīt veidus, kā tās pārvarēt.
Ekrānā, atbildes un risinājumi, skolēniem darbs ir iepriekš piešķirts. Analīze notiek ātri.
3. Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metožu atkārtošana (5 min.)
Mērķis ir atgādināt trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
Pajautājiet studentiem, kādas ir viņu zināmās trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes. Uzsveriet, ka pastāv tā saucamās pamata (bieži izmantotās) metodes:
- mainīga nomaiņa,
- faktorizācija,
- viendabīgi vienādojumi,
un ir piemērotas metodes:
- pēc formulas, kā summu pārvērst produktā, bet produktu - summā,
- pēc pakāpes samazināšanas formulām,
- universāla trigonometriskā aizvietošana
- papildu leņķa ieviešana,
- reizināšana ar kādu trigonometrisko funkciju.
Jāatceras arī tas, ka vienu vienādojumu var atrisināt dažādos veidos.
4. Trigonometrisko vienādojumu risināšana (30 min.)
Mērķis ir vispārināt un nostiprināt zināšanas un prasmes par šo tēmu, sagatavoties C1 lēmumam no eksāmena.
Es uzskatu, ka ir lietderīgi atrisināt vienādojumus katrai metodei kopā ar studentiem.
Skolēns diktē risinājumu, skolotājs to pieraksta planšetdatorā, viss process tiek parādīts ekrānā. Tas ļaus ātri un efektīvi atsaukt iepriekš aptverto materiālu.
Atrisiniet vienādojumus:
1) mainīgā 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 maiņa
2) faktorings 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) = 0
3) viendabīgi vienādojumi sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) pārvēršot summu par reizinājumu cos5x + cos7x = cos (π + 6x)
5) produkta pārvēršana par summu 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) jaudas pazemināšana sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5
7) universāla trigonometriskā aizvietošana sinx + 5cosx + 5 = 0.
Atrisinot šo vienādojumu, jāatzīmē, ka šīs metodes izmantošana noved pie definīcijas jomas sašaurināšanās, jo sinusu un kosinusu aizstāj ar tg (x / 2). Tāpēc pirms atbildes izrakstīšanas jums jāpārbauda, vai skaitļi no kopas π + 2πn, n Z ir šī vienādojuma zirgi.
8) palīgleņķa √3sinx + cosx ieviešana - √2 = 0
9) reizināšana ar kādu trigonometrisko funkciju cosx cos2x cos4x = 1/8.
5. Trigonometrisko vienādojumu sakņu izvēle (20 min.)
Tā kā sīvas konkurences apstākļos, iestājoties universitātēs, nepietiek ar vienas eksāmena pirmās daļas atrisināšanu, lielākajai daļai studentu jāpievērš uzmanība otrās daļas uzdevumiem (C1, C2, C3).
Tāpēc šīs nodarbības posma mērķis ir atsaukt atmiņā iepriekš izpētīto materiālu, sagatavoties C1 problēmas risināšanai no vienotā valsts pārbaudījuma 2011. gadā.
Ir trigonometriskie vienādojumi, kuros, izrakstot atbildi, jāizvēlas saknes. Tas ir saistīts ar dažiem ierobežojumiem, piemēram: frakcijas saucējs nav nulle, izteiksme zem vienmērīgas pakāpes saknes nav negatīva, izteiksme zem logaritma zīmes ir pozitīva utt.
Šādi vienādojumi tiek uzskatīti par paaugstinātas sarežģītības vienādojumiem, un eksāmena versijā tie ir otrajā daļā, proti, C1.
Atrisiniet vienādojumu:
Daļa ir nulle, ja tā 
izmantojot vienības apli, mēs atlasīsim saknes (sk. 1. attēlu)
1. attēls.
mēs iegūstam x = π + 2πn, n Z
Atbilde: π + 2πn, n Z
Ekrānā sakņu atlase tiek parādīta aplī krāsainā attēlā.
Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, un loks šajā gadījumā nezaudē savu nozīmi. Tad
Izvēlieties saknes, izmantojot vienības apli (sk. 2. attēlu)
