3. Finanšu plūsmu dinamika liecina, ka Sabiedrība jebkurā laikā var būt atbildīga par savām saistībām.

4. Projekta rezultāti (atlaides koeficients aprēķinos tiek ņemts 8% gadā):

projekta īstenošanas rezultāti (6.4. attēls);

uzkrātie projekta īstenošanas rezultāti (6.5. attēls);

No pēdējā iesniegtā grafika redzams, ka līdzekļu atgriešanas sākuma datums ir 2001. gads (otrais gads kopš projekta sākuma) un atmaksāšanās periods ir 7 gadi (ņemot vērā diskontēšanu - 9 gadi).

Uzkrātā diskontētā peļņa ir 1 466 000 ASV dolāru.

7 RISKA STRUKTŪRA UN NOVĒRŠANAS PASĀKUMI 7.1. Galvenie riska faktori

Galvenie faktori, kas rada galvenos projektu īstenošanas riskus un rada reālus draudus uzņēmuma pastāvēšanai, ir šādi:

pāreja no valsts finansējuma uz objekta kopīgu finansēšanu ar komerciālām struktūrām (statusa un darba organizācijas maiņa);

augsti plānotie pakalpojumu pieauguma tempi (principiāli jauna biznesa izveide);

tirgu aizņem citas, pašlaik spēcīgākas konkurējošas organizācijas, ir vajadzīgi ārkārtīgi centieni, lai sešos mēnešos vai gadā iekarotu tirgus nišu.

7.2 Risku struktūra un analīze un pasākumi to samazināšanai 7.2.1 Politiskie riski

Tie ir saistīti ar Krievijas Federācijas ekonomikas, nodokļu, banku, zemes un citu tiesību aktu nestabilitāti, valdības atbalsta vai pretestības trūkumu utt.

Riska mazināšanas pasākumi:

iekšējās nodokļu politikas izstrāde;

uzņēmējdarbības vides veidošana (partneri, konsorciji, finanšu un rūpniecības grupas);

dibinātāju aktīva līdzdalība sadarbībā ar valsts aģentūrām;

piešķirot iestādei medicīnisko statusu.

7.2.2. Juridiskie riski

Tie ir saistīti ar nepilnīgiem likumdošanas aktiem, neskaidri noformētiem dokumentiem, neskaidriem juridiskiem pasākumiem, ja rodas domstarpības starp dibinātājiem (piemēram, ārvalsts tiesā utt.), Līgumslēdzēja termiņu kavēšanu.

Riska mazināšanas pasākumi:

skaidru un nepārprotamu attiecīgo pantu formulējumu dokumentos;

speciālistu ar praktisku pieredzi šajā jomā iesaiste dokumentu sagatavošanā;

nepieciešamo līdzekļu piešķiršana augsti kvalificētu juristu un tulkotāju apmaksai.

7.2.3 Tehniskie riski

Tie ir saistīti ar darba sarežģītību un tehniskā projekta trūkumu šobrīd.

Iespējama nepilnīga aprīkojuma izmantošana un tehnisko sistēmu nodošanas ekspluatācijā aizkavēšanās.

Riska mazināšanas pasākumi:

iekārtu un tehnisko kompleksu tehniskās koordinācijas paātrināta izstrāde (vai garantiju iegūšana no piegādātājiem);

līgumu slēgšana pēc pabeigšanas ar sankcijām par neatbilstībām un termiņu nokavēšanu;

tehnisko risku apdrošināšana.

7.2.4 Arodriski

Tie galvenokārt ir saistīti ar iespēju kavēties jaunu tehnisko līdzekļu nodošanā ekspluatācijā un sniegto pakalpojumu nepietiekami augsto kvalitāti.

Kvalitatīvu pakalpojumu sniegšanas potenciāls nākotnē ir liels.

Būtisks risks var būt augsti kvalificēta personāla trūkums (viesnīcu pakalpojumu sniegšanai).

Riska mazināšanas pasākumi:

skaidra plānošana un projektu īstenošanas vadība;

paātrināta dizaina koncepcijas izstrāde, ieskaitot kvalitātes kritērijus;

pārdomātas pakalpojumu kvalitātes kontroles sistēmas izstrāde un izmantošana visos tās izveides posmos;

pamatojumu un pietiekamu finanšu līdzekļu piešķiršanu augstas kvalitātes aprīkojuma iegādei;

kvalificēta personāla apmācība (arī ārzemēs).

7.2.5 Iekšējais sociāli psiholoģiskais risks

Izveidojot šāda veida uzņēmējdarbību, var rasties šādi sociāli psiholoģiski riski:

sociālā spriedze komandā;

profesionālo darbinieku trūkums, mainība;

destruktīvas pozīcijas klātbūtne.

Riska mazināšanas pasākumi:

profesionāla personāla atlase (ieskaitot testēšanu), ja nepieciešams - apmācība;

darbinieku stimulēšanas mehānisma izstrāde, ieskaitot līdzdalību Sabiedrības darba rezultātos;

komandas un vadītāju pilnīgas daudzlīmeņu izpratnes sistēma;

efektīvas pieejas izstrāde algu fonda veidošanai un sadalei.

7.2.6 Mārketinga riski

Tie ir saistīti ar iespējamu kavēšanos ienākot tirgū, nepareizu (neņemot vērā tirgus vajadzības) pakalpojumu izvēli, nepareizu mārketinga stratēģijas izvēli, kļūdas cenu politikā utt.

Kavēšanos ienākt tirgū var izraisīt gan iepriekš aprakstītie ražošanas, gan tehniskie iemesli, kā arī uzņēmuma nevēlēšanās efektīvi realizēt un popularizēt tirgū savu tehnisko, ražošanas, māksliniecisko un citu potenciālu, kam nepieciešama mārketinga programma, kas atbilst starptautiskajiem standartiem un dienests, kas to īsteno.

Tā kā šobrīd nav pilna mēroga mārketinga pasākumu programmas, mārketinga problēmu risināšanas pakāpes novērtējums ir zems. Tajā pašā laikā uzņēmumam, kura mērķis ir iekarot tirgus daļu no konkurējošiem uzņēmumiem, mārketinga uzdevumiem vajadzētu būt pirmajai prioritātei.

Konkurentu analīze liecina, ka konkurence būs sīva, konkurentiem ir vairākas priekšrocības. Šajā sakarā ir rūpīgi jāapzinās savas galvenās priekšrocības un jākoncentrē uz tām galvenās pūles un resursi.

Riska mazināšanas pasākumi:

spēcīga mārketinga pakalpojuma izveide;

mārketinga stratēģijas izstrāde;

produktu (sortimenta) politikas izstrāde un ieviešana un visu nodaļu darbību pakļaušana tai (piemēram, izstrādājot un izmantojot uz rezultātiem balstītas vadības tehnoloģijas);

mārketinga programmas izstrāde un ieviešana;

veicot pilnu mārketinga pētījumu klāstu utt.

7.2.7 Finanšu riski

Tie galvenokārt ir saistīti ar ienākumu nodrošināšanu, galvenokārt atkarīgi no reklāmas, kā arī ar investīciju piesaisti.

Finanšu plāna darba versijā (1. pielikums) tiek pieņemts, ka galvenie finanšu ieņēmumi tiek sniegti, izmantojot ciparus. Samazinot cenu vai telpu noslogojumu viesnīcu kompleksā, rodas nopietnas grūtības projekta īstenošanā.

Riska mazināšanas pasākumi:

pakalpojumu patērētāju prasību steidzama izpēte;

pārdomātas pakalpojumu kvalitātes kontroles sistēmas izstrāde un izmantošana visos to izveides posmos;

pamatojumu un pietiekamu finanšu līdzekļu piešķiršanu augstas kvalitātes iekārtu radīšanai un iegādei;

izmantojot pieeju ienākumu avotu dažādošanai, galvenokārt sasaistot "biroja numurus";

ienākot akciju tirgū.

Vēl viens būtisks finanšu riska faktors ir nepieciešamība savlaicīgi saņemt lielus ieguldījumus.

Investīciju klātbūtne ir priekšnoteikums projekta sākumam: kamēr tās tiks aizkavētas, projekta sākums tiks aizkavēts.

Tādējādi ieguldījumi ir vissmagākais un vissvarīgākais faktors.

Riska mazināšanas pasākumi:

piedāvāto projektu finansēšanas shēmu dažādība;

ieguldījumu un finanšu stratēģijas izstrāde, kuras mērķis ir ienākt rentablas darbības zonā;

veicot pasākumu kopumu, lai atrastu investīciju un kredītresursus.

Nākamās darbības izstrādātājiem un projektu īpašniekiem:

projekta padziļināta problēmu diagnostika;

veicot pasākumu kopumu, lai atrastu investīciju un kredītresursus;

augstākā un vidējā līmeņa vadības kolektīvā darba organizēšana ar konsultantiem, lai izstrādātu stratēģiju un īpašu pasākumu programmu, kas galvenokārt saistīta ar mārketingu, reklāmu un dažādošanu, un sniedz:

AS izveidošana;

augsta projekta ekonomiskā efektivitāte;

riska samazināšana līdz minimumam;

komandu veidošana un organizatoriskā plānošana izstrādāto aktivitāšu īstenošanai;

meklēt stratēģiskus ārvalstu partnerus, kuriem ir pieredze šādu iestāžu izveidē un kuri spēj sniegt tehnisku un ieguldījumu atbalstu.

# FILE: Buisnes-Plan.INF
# TĒMA: Biznesa plāns "VIESNĪCAS KOMPLEKSA IZVEIDE"
# IEDAĻA: Vadība
#MĒRĶIS: Biznesa plāns
# FORMĀTS: WinWord
#

3.2. Tabula.

Viesnīcu kvalitātes īpašības Maskavā

№

Viesnīcas nosaukums

Viesnīcas adrese

Kategorija

Vietu skaits

Kopā numuri

Zelenodolskas iela, 3, 2. ēka

Botānicheskaya iela, 41

Plotņikovs per., 12

Oktobra 10. gadadiena, 11

Aerostar

Ļeņingradskas prospekts, 37

Aeroflot

Ļeņingradskas prospekts, 37

Smoļenskas iela 8

Budapešta

Petrovskie līnijas, 18/22

Ļeņinska prospekts, 2/1

Villa Peredelkino

Čobotovskas 1. aleja, 2a

Dokuchaev per., 2

Viesnīca st., 9a

Jaroslavska iela, 17

Danilovska

B. Starodanilovskiy per., 5

Ogu iela, 15

zelta gredzens

Smoļenskas iela 5

Vernadska izredzes, 16

Lianozovskaya

Dmitrovskoe šoseja, 108

Vavilova iela, 7a

Filevskaya B. St., 25

Metalurgs

Oktobra josla, 12

Jaunatne

Dmitrovskoe, 27

Ibragimova iela, 30

Nikonovka

Nikonovskiy., 3/1

Kosygina iela, 15

Karaliskais zenīts

Tamanskaya g., 49, ēka B

Jaroslavska sh., 116, 2. korpuss

Ziemeļi

Suščevskis Val, 50 gadi

Septītais stāvs

Vernadska prospekts, 88, 1. korpuss, 7. stāvs

Krylatskaya iela, 2

Ļeņinska prospekts, 90/2

Ļeņinska prospekts, 38

Lietuvas bulvāris, 3a

1812. g., 6.a

Centrālā tūristu māja

Ļeņinska prospekts, 146

Upper Fields St., 27

Elektrons-1

Andropova pr., 38, 2. korpuss

Elektrons-2

Kalnuņaja, 19

Balaklavas prospekts, 2, 2. korpuss

Jaroslavļa

Jaroslavska iela 8

3.3. Tabula.

Viesnīcu pakalpojumu apraksts Maskavā

№

Viesnīcas nosaukums

In.p lux

Kr. kartes

Adm. Krievijas Federācijas prezidents

cirks

Aerostar

Aeroflot

Budapešta

Villa Peredelkino

Danilovska

patriarhs

zelta gredzens

Adm. Krievijas Federācijas prezidents

Lianozovskaya

Min. ekonomija.

Metalurgs

Jaunatne

Nikonovka

Karaliskais zenīts

Ziemeļi

Septītais stāvs

Centrālā tūristu māja

Elektrons-1

Elektrons-2

Jaroslavļa

2. papildinājums

Finanšu plāns

1. tabula. Investīcijas projektā (dinamika un struktūra), tūkstoši ASV dolāru

2. tabula. Finansējuma avoti, tūkstoši ASV dolāru

№

Piestiprināšanas centri

Krievijas aizdevēji

Inopartner

Projekta rezultāti apgrozāmā kapitāla atgriešana peļņa no projekta

3. tabula. Kredīta norēķini, tūkstoši ASV dolāru

Kredīta procenti 12% gadā

Izmaksas: reizi gadā

Kopējie maksājumi 0.0 TŪKST

№

Piestiprināšanas centri

Aizņemts aizdevums

Uzkrātais aizdevums

Kredīta procenti

Procentu maksājums

4. tabula. Izmaksu struktūra, tūkstoši ASV dolāru

№

Indekss

Ekspluatācijas izmaksas

Nolietojums

Personāla alga

Alga

Izmaksas cena

5. tabula. Ieņēmumu struktūra, tūkstoši ASV dolāru

№

Peļņas centrs

Maksa par istabu

Biroja īre

Noliktavas noma

Papildu ienākumi

6. tabula. Peļņas radīšana un sadale, tūkstoši ASV dolāru

Ienākuma nodokļa likme 30%

Īpašuma nodokļa likme 2 "%

№

Indekss

Izmaksas cena

ar peļņu uz īpašumu

Tīrā peļņa aizdevuma segums reinvestēšanai dividendes

Dividendes

Izmaksu posteņi Pārskata gadam Summa, berzēt. Procenti kopējā gada izdevumu summā,% Par vienu gultas dienu, rubļi 1 Viesnīcu kompleksa galvenā personāla alga 1056000 21,31 172,21 2 Vienotais sociālais nodoklis (26% no algas) 274560 5,54 44,77 3 Apkalpošana numurā (brokastis) 766500 15,47 125 4 Pamatlīdzekļu nolietojums 1082054 21, 83 176,46 5 ...

Inženieris, remonta dienests, teritorijas labiekārtošanas dienests, sakaru un telekomunikāciju dienests, ugunsdrošības un drošības inspektori. Palīgpakalpojumi nodrošina viesnīcas kompleksa procesu, piedāvājot veļas mazgāšanas, ķīmiskās tīrītavas, drēbnieku un citus pakalpojumus.Papildu pakalpojumi nodrošina maksas pakalpojumus. Tajos ietilpst: biznesa centrs, sports un ...

Maskavas Valsts tehniskā universitāte. N.E. Bauman.

Katedra "Augstākā matemātika".

Mājas darbs kursam

"Varbūtības teorija".

Varianta numurs 5.

Pabeigusi: Kotlyarov A.S.

Grupa: MT6-62

Pārbaudīja: Šahovs

Maskava. 2000 gads

1. mērķis. Vienlaicīgi tiek mesti divi kauliņi. Atrodiet varbūtību, ka zaudēto punktu summa ir:

3. ieslēgts spraugā.

Risinājums.

Visa iespējamo notikumu telpa:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Iespējamo iespēju skaits N = 36.

Pasākums A - kopējais punktu skaits ir 7.

A = ((1.6); (2.5); (3.4); (4.3); (5.2); (6.1)).

Notikuma A varbūtība: P (A) =

Notikums B - kopējais punktu skaits ir mazāks par 8.

B = ((1.1); (1.2); (1.3); (1.4); (1.5); (1.6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

Notikuma B varbūtība:

C notikums - punktu skaits ir vairāk nekā 6.

C = ((1.6); (2.5); (2.6); (3.4); (3.5); (3.6); (4.3); (4.4); (4.5); (4,6); (5, 2); ......... (5,6); (6,1); ....... (6, 6)).

Notikuma C varbūtība:

Notikums D - intervālā tiek iekļauta zaudēto punktu summa.

D = ((1.2); (1.3); (1.4); (2.1); (2.2); (2.3); (3.1); (3.2); (4,1)).

D notikuma varbūtība:

2. mērķis. Daži serveri saņem divus pieprasījumus. Katrs var pieteikties jebkurā laikā 100 minūšu laikā. Pirmā pieprasījuma apkalpošanas laiks ir 5 minūtes, otrā - 25 minūtes. Kad tiek saņemta lietojumprogramma aizņemtai ierīcei, tā netiek pieņemta. Kad lietojumprogramma tiek saņemta vismaz pēdējā laika brīdī, tā tiek apkalpota. Atrodiet varbūtību, ka:

Abi pasūtījumi tiks apkalpoti (notikums A);

Tiks sniegts viens pieprasījums (notikums B).

R
risinājums.

Apzīmēsim: X ir 1. pasūtījuma ierašanās laiks,

Y - pasūtījuma ierašanās laiks 2.

Abi pieteikumi tiks pasniegti:

a) 1. pieteikums bija pirmais: YX + 5,

(D1 apgabals);

b) 2. pieteikums bija pirmais: XY + 25,

(D2 apgabals);

Tiks sniegts viens pieprasījums:

a) 1. pieteikums:

0X95; Y75 (apgabals D5)

b) 2. pieteikums:

0Y75; X95 (D6 apgabals)

c) 2. pieteikums tika iesniegts 1. pieteikuma izpildes laikā:

XYX + 5 (apgabals D3)

d) 1. pasūtījums tika saņemts 2. pasūtījuma izpildes laikā: Y XY + 25 (apgabals D4)

Varbūtība, ka tiks izpildīts viens pieprasījums:

3. mērķis. Ir dota sistēmas elektriskā shēma, kas sastāv no 5 elementiem. Pasākums - i-tā elementa kļūme noteiktā laika periodā. Ir norādītas iespējamās darbības bez kļūdām:

Notikums A - visas sistēmas darbība bez traucējumiem apskatāmajā laika periodā. Obligāti:

R
risinājums.

Otrais mezgls, kas sastāv no elementiem 3,4, neizdodas, ja abi šie elementi neizdodas, t.i. notiek notikums (
).

Visa ķēde neizdosies, ja abi mezgli nevada strāvu, ti:

(
)(
)

Sistēmas uzticamība:

4. problēma ... No partijas, kurā ir 12 produkti, no kuriem 7 ir visaugstākās pakāpes, 6 produkti tiek atlasīti secīgi kontrolei pēc nejaušības principa. Atrodiet varbūtību, ka starp atlasītajiem produktiem būs tieši 5 augstākās pakāpes, ja paraugs ir izgatavots:

laipni lūdzam atpakaļ,

nav atgriešanās.

Risinājums.

1 ) Ļaujiet notikumam (i = 1,2,3,4,5) - augstākās kvalitātes produkta ieguve;

notikums (i = 1,2,3,4,5) - produkta ieguve nav augstākās pakāpes.

6 vienības no 12. Atrodiet iespējamo kombināciju skaitu:

.

B notikums, kas mūs interesē, ir tāds, ka no 6 atlasītajiem jābūt 5 augstākās pakāpes. Atradīsim kombināciju no 6 līdz 1:

Notikuma B varbūtība:

……………………………………………………

5. uzdevums. Noliktava saņēma detaļas, kas izgatavotas ar trim mašīnām. Pirmā mašīna saražoja 60%detaļu, otrā - 10%, bet trešā - 30%. I-mašīnas lūžņu izgatavošanas varbūtība ir šāda:

Nosakiet varbūtību, ka:

no noliktavas paņemtais produkts izrādījās bojāts (notikums A);

bojātais produkts tika izgatavots uz i-tā darbgalda (notikums Bi).

Risinājums.

notikums Hi nozīmē, ka produkts ir izgatavots uz i-tās mašīnas

;
;
;

6. uzdevums. Izšāva 4 šāvienus ar nemainīgu trāpījuma varbūtību, kas vienāda ar 0,6.

Lai izlases lielumu m sasniegtu mērķa trāpījumu skaits, atrodiet:

varbūtības sadalījums;

izplatīšanas funkciju un veidot tās grafiku;

nejaušības lieluma iekļūšanas intervālā varbūtība] 0,5,2 [;

matemātiskās cerības, dispersija un standarta novirze.

Risinājums.

1) mēs apzīmējam:

1. sit 1 reizi

   sit 2 reizes

   trāpīt 3 reizes

   trāpīja 4 reizes

2) atrodiet izplatīšanas funkciju:

0X1: F (X) = P (m1) = P (m = 0) = 0,0256;

1X2: F (X) = P (m2) = P (m = 0) + P (m = 1) = 0,0256 + 0,1536 = 0,1792;

2X3: F (X) = P (m3) = P (m = 0) + P (m = 1) + P (m = 2) = 0,1792 + 0,3456 = 0,5248;

3X4: F (X) = P (m4) = P (m3) + P (m = 3) = 0,5248 + 0,3456 = 0,8704;

4X5: F (X) = P (m5) = P (m4) + P (m = 5) = 0,8704 + 0,1296 = 1;

noteiksim varbūtību trāpīt nejaušam lielumam m intervālā] 0.5; 2 [:

P (0,5m2) = P (m = 2) = 0,3456;

lai noteiktu matemātiskās cerības, mēs izmantojam formulu:

Izkliede:

Standarta novirze:

.

Uzdevuma numurs 7

Nejaušam nepārtrauktam mainīgajam ir varbūtības blīvums f (x) = 32 * t * e

Obligāti:

1.) Atrodiet tā sadalījuma funkciju F (x).

2.) Konstruējiet sadalījuma funkcijas F (x) un varbūtības blīvuma f (x) grafikus.

3.) Aprēķiniet varbūtību trāpīt nejaušam mainīgajam (0.5; 2)

Risinājums.

1.) F (x) = 32 * t * e dt = -e + 1

2.) Diagrammas ir parādītas zemāk

3.) Varbūtība iekļūt nejaušā intervālā ir šāda:

P (0,5< < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001

4.)

8. uzdevums. Ir dots nejaušā mainīgā  varbūtības blīvums f (x). Nejaušais mainīgais  ir saistīts ar nejaušo mainīgo  ar funkcionālo atkarību
... Atrodiet:

Nejaušā mainīgā  matemātiskās cerības un dispersija, izmantojot nejaušā mainīgā  varbūtības blīvumu;

Nejaušības mainīgā  varbūtības blīvums un tā grafika veidošana;

Nejaušā mainīgā  matemātiskās cerības un dispersija, izmantojot izlases lieluma  atrasto varbūtības blīvumu.

Risinājums.

1. Matemātiskās cerības:

2. Nejaušā mainīgā  varbūtības blīvums:

3. Matemātiskās cerības:

Nejaušā mainīgā iance dispersija:

Ar dažādām metodēm aprēķinātie skaitliskie raksturlielumi ir vienādi.

9. problēma. Ir dota divu nejaušo mainīgo sistēma (, ), kuru sadalījuma likums ir dots 1. tabulā. Atrodiet:

Nejaušo mainīgo  un  sadalījuma likumi;

Matemātiskās cerības un nejaušo mainīgo dispersijas un ;

Risinājums.

izlases lieluma sadalījums:

(2)=0.18+0.15+0.08=0.51

(3)=0.04+0.12+0.12=0.28

(5)=0.06+0.05+0.10=0.21

izlases lieluma sadalījums:

(-1)=0.18+0.04+0.06=0.28

(0)=0.15+0.12+0.05=0.32

(1)=0.08+0.12+0.10=0.30

(2)=0.10

Nejaušā mainīgā iance dispersija:

Nejauša mainīgā mathemat matemātiskās cerības:

Nejaušā mainīgā iance dispersija:

Korelācijas moments:

Korelācijas koeficients:

(2/0)=
;

(3/0)=

(5/0)=

Nosacīti sadalījumi

Nosacītas matemātiskās cerības:

10. problēma. Nepārtrauktu nejaušo mainīgo sistēma (, ) ir vienmērīgi sadalīta domēnā D, ko ierobežo līnijas x = 1, y = 0,
x> 0; atrodiet:

Risinājums.

1. Tā kā sadalījums ir vienmērīgs, tad f (x; y) = konst. Mēs atrodam locītavu varbūtības blīvumu no normalizācijas nosacījuma:

2. Nejaušo mainīgo  un  varbūtības blīvums:

.
; x;

; y [-2; 0];

Matemātiskās cerības un nejaušo mainīgo lielumi  un :

;

;

;

;

;

;

;

11. problēma. Atrodiet nejauša mainīgā matemātiskās cerības un dispersiju,  = a + b + c, kur (, ) ir nejaušo mainīgo sistēma no uzdevuma 10. a = 2; b = -3; c = 3.

Risinājums.

Mēs atrodam matemātiskās cerības:

Izkliede:

=.

5.1. Nejauši procesi un to klasifikācija

Nejaušs process (SP) ir process vai parādība, kuras uzvedību laika gaitā un rezultātu nevar paredzēt iepriekš. Nejaušu procesu piemēri: valūtas kursa vai krājumu izmaiņu dinamika, organizācijas ieņēmumi vai peļņa laika gaitā, preču pārdošanas apjoms utt.
Ja nejaušs process var mainīt savu stāvokli tikai stingri noteiktā laika brīdī, tad to sauc par procesu ar diskrētu laiku.
Ja stāvokļa maiņa ir iespējama patvaļīgā laika brīdī, tad tas ir kopuzņēmums ar nepārtrauktu laiku.
Ja SP jebkurā brīdī ir diskrēts nejaušs mainīgais (tā vērtību var uzskaitīt un izvēlēties divas blakus esošas vērtības), tad tas ir process ar diskrētu stāvokli.
Ja jebkurā brīdī valsts var nepārtraukti, vienmērīgi mainīties un nav iespējams atšķirt divas kaimiņvalstis, tad tas ir SP ar nepārtrauktu stāvokli.
Tādējādi ir iespējami 4 kopuzņēmumu veidi:
1) SP ar nepārtrauktu laiku un nepārtrauktu stāvokli (piemērs: gaisa temperatūra kādā brīdī, vienmērīgi mainās jebkurā laikā).
2) SP ar nepārtrauktu laiku un diskrētu stāvokli (piemērs: apmeklētāju skaits veikalā jebkurā laikā mainās vairākos).
3) JV ar diskrētu laiku un nepārtrauktu stāvokli (piemērs: valūtas kursa dinamika, vienmērīgi mainās valūtas tirdzniecības laikā).
4) SP ar diskrētu laiku un diskrētu stāvokli (piemērs: pasažieru skaits transportā mainās ar viena reizinājumu un tikai noteiktos laika punktos, pieturās).
Apsveriet kādu sistēmu S, kurā noteiktā laikā t par kopuzņēmums darbojas. Šo procesu sauc par Markova procesu, ja uz kādu brīdi t> t par, sistēmas uzvedība nākotnē ir atkarīga tikai no stāvokļa, kādā sistēma bija noteiktā laikā t= t par, un tas nekādā veidā nav atkarīgs no tā, kā, kad un kādos stāvokļos tas bija agrāk t< t O . Citiem vārdiem sakot, Markova procesa “pagātne” nekādā veidā neietekmē “nākotni” (tikai caur “tagadni”).

5.2. Notikumu straumes.

Vienkāršākais SP veids ir notikumu straumes. Notikumu straume ir tāda paša veida notikumu secība, kas notiek nejaušos laikos (piemēram, tālruņa zvani, veikala apmeklētāji, automašīnas, kas brauc garām krustojumam utt.). Tie pieder SP ar diskrētu stāvokli un nepārtrauktu laiku. Matemātiski notikumu plūsmu var attēlot kā nejaušus laika ass punktus.

Ja notikumi straumē notiek pa vienam, nevis vairāku notikumu grupās, tad šādu straumi sauc par parastu. Notikumu straumi sauc par straumi bez sekām, ja laika intervālos, kas nepārklājas style = "color: red">, notikumu skaits vienā intervālā nekādā veidā neietekmē to, cik un kā notikumi notiks citā intervāls. Parastu plūsmu bez sekām sauc par Puasona plūsmu. Jebkuras notikumu plūsmas vissvarīgākā īpašība ir tās intensitāte - vidējais notikumu skaits, kas notika straumē laika vienībā.
Cieši saistīts ar intensitāti ir daudzums, kas nozīmē vidējo laika intervālu starp diviem notikumiem. Ja intervāli starp blakus esošajiem notikumiem ir nejauši mainīgie, kas ir neatkarīgi viens no otra, tad šādu notikumu plūsmu sauc par Palm straumi.
Ja notikumu plūsmas intensitāte nav atkarīga no laika, tad šādu plūsmu sauc par stacionāru. Ja notikumi straumē notiek regulāri, tad to sauc par regulāru.
Stacionāro Puasona plūsmu sauc par vienkāršāko plūsmu. Ekonomiskajā modelēšanā galvenokārt tiek izmantotas Puasona plūsmas, ieskaitot vienkāršākās. Uz tiem attiecas šādas teorēmas:
1) Puasona plūsmā notikušo notikumu skaits ir nejaušs mainīgais, kas izplatīts saskaņā ar Puasona likumu. Varbūtība, ka Puasona plūsmā ar intensitāti laika intervālā ( t 1 ; t 2) tas notiks precīzi k notikumi ir vienādi ar:
, kur .
Ja plūsma ir visvienkāršākā, tad .
2) Intervāls starp notikumiem vai nākamā notikuma gaidīšanas laiks T Puasona plūsmā ir nejaušs mainīgais, kas izplatīts saskaņā ar eksponenciālo likumu, tas ir, varbūtība, ka nākamais notikums notiks ne agrāk t, ir vienāds ar:
.
Ja plūsma ir visvienkāršākā, tad
Piemērs : Veikalu apmeklē vidēji 20 klientu stundā. Nosakiet varbūtību, ka: a) 5 minūšu laikā būs 2 pircēji; b) 10 minūšu laikā būs vismaz 3 pircēji; c) 3 minūšu laikā nebūs neviena pircēja.
Risinājums. Izvēloties 1 minūti laika vienībā, Veisona pircēju Puasona plūsmas intensitāte (20 pircēji stundā vai 1/3 pircēja minūtē).
a) k=2, t 1 =0, t 2 =5,

b) k ≥3, t 1 =0, t 2 = 10, mēs atrodam reversa notikuma varbūtību, kas būs mazāka par 3 pircējiem;
.
c) pēc otrās teorēmas t = 3, .

5.3. Markova SP, ar diskrētu stāvokli

Modelējot varbūtējās (stohastiskās) ekonomiskās sistēmas, ļoti bieži tiek izmantots Markova SP. Apskatīsim LB ar diskrētu stāvokli un nepārtrauktu laiku. Tad var uzskaitīt visus viņa štatus: S 1 ,S 2 ,…, S n.
Visas iespējamās pārejas starp stāvokļiem var aprakstīt, izmantojot stāvokļa grafiku.
Stāvokļa grafiks ir sakārtots grafs, kura virsotnes ir iespējamie stāvokļi S i un starp diviem stāvokļiem ir mala - bulta, ja ir iespējama tieša pāreja starp stāvokļiem.
Piemēram, veikals var būt šādā stāvoklī:
S 1 - ir klienti, kuri tiek apkalpoti,
S 2 - nav klientu,
S 3 - preces tiek pieņemtas,
S 4 - preču uzskaite, kas dažkārt notiek pēc tās pieņemšanas.
Tad veikala darbu var aprakstīt ar stāvokļa grafiku

Lai aprēķinātu sistēmas galvenos raksturlielumus, ir jāzina varbūtības rādītāji pārejas laikā starp stāvokļiem.
Apsveriet 2 štatus S i un S j... Pārejošās plūsmas intensitāte ir vidējais pāreju skaits no stāvokļa S i stāvoklī S j uz laika vienību, ko sistēma pavada štatā S i... Ja ir zināms vidējais laiks T ij, kurā sistēma tērē S i pirms došanās uz S j, tad var rakstīt :.
Pārejošas plūsmas intensitātes ir norādītas stāvokļa grafikā blakus attiecīgajām bultiņām. Šādu modeļu galvenais uzdevums ir noteikt stāvokļu varbūtības, kurām ir vidējā laika daļa, ko sistēma pavada šajā stāvoklī.
Lai atrastu stāvokļu varbūtības, tiek sastādīta vienādojumu sistēma
(*)
Šo sistēmu var izveidot saskaņā ar šādiem noteikumiem:
1) Vienādojumu skaits sistēmā ir vienāds ar stāvokļu skaitu.
2) Katrā štatā S j atbilst numurētajam vienādojumam j.
3) Katra vienādojuma kreisajā pusē ir intensitātes summa (stāviet virs bultiņām) visām bultiņām, kas ienāk stāvoklī S j reizināts ar to stāvokļu varbūtībām, no kurām parādās bultiņas;
4) Vienādojumu labajā pusē ir intensitātes summa, kas rodas no S jšāvēja, šī summa tiek reizināta ar varbūtību P j.
Tomēr vienādojumu sistēma (*) ir deģenerēta, un, lai atrastu vienīgo risinājumu šajā sistēmā, jebkurš vienādojums ir jāaizstāj ar normalizācijas nosacījumu:
.
1. piemērs: Uzņēmuma automatizētā montāžas līnija sabojājas vidēji reizi mēnesī un tiek remontēta vidēji 3 dienas. Turklāt vidēji 2 reizes mēnesī tam tiek veikta apkope, kas ilgst vidēji 1 dienu. Vidēji katrs trešais apkopes gadījums atklāj problēmu un līnija tiek salabota. Nosakiet līnijas vidējo peļņu mēnesī, ja vienas darbības dienas peļņa ir 15 tūkstoši rubļu. Viena tehniskās apstrādes diena maksā 20 tūkstošus rubļu, bet viena remonta diena - 30 tūkstošus rubļu.
Risinājums. Atradīsim stāvokļu varbūtības, kas vienādas ar darbības laika, remonta un apkopes daļām. Ļaujiet būt:
S 1 - līnija darbojas,
S 2 - apkope,
S 3 - renovācija.

Mēs sastādām vienādojumu sistēmu. Štatā S 1 ietver 2 bultiņas: no S 2 ar intensitāti 20 un ārā S 3 ar intensitāti 10, tāpēc pirmā vienādojuma kreisajai pusei ir šāda forma:. No valsts S 1 ir divas bultiņas ar intensitāti 2 un 1, tāpēc sistēmas pirmā vienādojuma labā puse būs šādā formā:. Līdzīgi, pamatojoties uz štatiem S 2 un S 3 mēs sastādām otro un trešo vienādojumu. Rezultātā sistēma izskatīsies šādi:

Tomēr šī sistēma ir deģenerēta, un tās risinājumam ir nepieciešams aizstāt jebkuru (piemēram, pirmo) vienādojumu ar normalizācijas nosacījumu:. Rezultātā mēs iegūstam sistēmu:

Mēs izsakām no 1. un 2. vienādojuma R 1 un R 3 līdz R 2: , un, aizstājot rezultātu 3. vienādojumā, mēs atrodam: ,,. Mēs reizinām varbūtības ar 30 mēneša dienām un konstatējam, ka līnija vidēji darbojas 24,3 dienas mēnesī, apkope - 1,6 dienas, remonts - 4,1 diena. No tā izriet, ka vidējā peļņa būs 24,3 × 15-1,6 × 20-4,1 × 30 = 209,5 tūkstoši rubļu.
2. piemērs: Ceļojumu aģentūrā ir pārdevējs un vadītājs. Vidēji stundā aģentūrā ierodas 2 klienti. Ja pārdevējs ir brīvs, viņš apkalpo klientu, ja viņš ir aizņemts, tad vadītājs apkalpo klientu, ja abi ir aizņemti, klients aiziet. Pārdevēja vidējais apkalpošanas laiks ir 20 minūtes, bet vadītājs - 30 minūtes. Katra klienta vidējā peļņa ir 100 rubļu.
Nosakiet aģentūras vidējo peļņu 1 stundā un vidējo zaudēto klientu skaitu stundā.
Risinājums. Mēs nosakām sistēmas stāvokli:
S 1 - pārdevējs un vadītājs ir bez maksas,
S 2 - pārdevējs ir aizņemts, vadītājs ir brīvs,
S 3 - pārdevējs ir brīvs, vadītājs ir aizņemts,
S 4 - abi ir aizņemti.
Stāvokļa diagrammas veidošana:

Mēs sastādām vienādojumu sistēmu, aizstājot ceturto vienādojumu ar normalizācijas nosacījumu:

Atrisinot vienādojumu sistēmu, mēs atrodam:
.
Tāpēc pārdevējs ir iesaistīts pakalpojumā P 2 + P 4 = 0,25 + 0,15 = 0,4, tas ir, 40% laika. Ja viņš apkalpotu 100% laika, tad viņš apkalpotu 3 klientus stundā, bet patiesībā: 3 × 0,4 = 1,2 un gūtu peļņu par 1 stundu 120 rubļu. Vadītājs strādā P 3 + P 4 = 0,11 + 0,15 = 0,26, t.i., 26% laika, un tāpēc apkalpos 2 × 0,26 = 0,52 klientus stundā un gūs peļņu 52 rubļu stundā. Vidējā peļņa par 1 stundu būs 172 rubļi. Klienti tiek zaudēti stāvoklī S 4. Tā kā P 4 = 0,15, 15% no 2 klientiem vai 0,3 klienti tiek zaudēti stundā. Zaudētie klienti ir 30 rubļi stundā.

5.4. Nāves un vairošanās procesi.

Daudzās ekonomikas sistēmās, kurās darbojas kopuzņēmums, rodas situācijas, kad no jebkura (izņemot pirmo un pēdējo) stāvokli S i pāreja ir iespējama tikai uz kaimiņvalstīm S i+1 un S i-1. šādus procesus sauc par nāves un vairošanās procesiem, un tos raksturo stāvokļa grafiks.


Intensitātes sauc par reprodukcijas intensitāti, un m i- nāves intensitāte. Lai atrastu katra stāvokļa varbūtību, tiek izmantotas šādas formulas:
, (+)
, , …, .
Piemērs 5.1. Autoservisā ir 5 automašīnas. Katrs no tiem sabojājas vidēji 4 reizes gadā, un remonts ilgst vidēji 1 mēnesi. Nosakiet, cik daudz laika visas automašīnas ir labā darba kārtībā, un vidējo labo automašīnu skaitu patvaļīgā brīdī.
Risinājums. Ievadiet sistēmas stāvokļus:
S 0 - visas automašīnas ir salauztas,
S 1 - 1 transportlīdzeklis darbojas,
S 2 - 2 automašīnas ir labā darba kārtībā,
S 3 - 3 automašīnas ir labā darba kārtībā,
S 4 - 4 automašīnas ir labā kārtībā,
S 5 - 5 automašīnas ir labā kārtībā.
Izveidosim stāvokļu grafiku un sakārtosim pārejošās intensitātes.
Piemēram, lai dotos no S 1 collas S 0 mums ir situācija: 1 automašīna darbojas un tā sabojājas, tas notiek 4 reizes gadā, t.i. intensitāte ir 4. Lai iet no S 2 collas S 1: 2 automašīnas ir labā darba kārtībā un katra no tām sabojājas 4 reizes gadā, t.i. intensitāte ir 8. Pārējie mirstības rādītāji ir sakārtoti pēc analoģijas.
Lai iet no S 4 collas S 5 mums ir situācija: 1 automašīna ir bojāta un tiek remontēta, tas ilgst 1 mēnesi vai 12 reizes gadā, t.i. intensitāte ir 12. Lai iet no S 3 collas S 4 mums ir situācija: 2 automašīnas ir bojātas, un katru no tām var salabot ar intensitāti 12, t.i. kopējā intensitāte ir 24. Pārējā vairošanās intensitāte sakārtota pēc analoģijas.

Mēs aprēķinām pēc formulām (+) stāvokļu varbūtības, kas vienādas ar vidējo daļu laika, kad sistēma atrodas šajos stāvokļos.


, = 0,088, , ,
Visas automašīnas ir ekspluatējamas S 5 stāvoklī, vidējais laika posms, kad automašīnas ir izmantojamas, ir 0,24. Vidējais veselīgo automašīnu skaits tiek atrasts kā matemātiskās cerības:

5.2. Piemērs... Organizācija pieņem sabiedrības pieteikumus remontdarbiem. Pieteikumus pieņem pa tālruni, divās līnijās, un tos apkalpo divi dispečeri. Ja viena līnija ir aizņemta, lietojumprogramma tiek automātiski pārslēgta uz otro. Ja abas līnijas ir aizņemtas, pieprasījums tiek zaudēts. Vidējais viena pieprasījuma apkalpošanas laiks ir 6 minūtes. Vidēji viens pieteikums nes peļņu 30 rubļu apmērā. Kāda ir peļņa stundā? Vai ir ieteicams organizēt trešo kanālu ar trešo dispečeru, ja tā uzturēšana maksā 150 rubļu stundā?
Risinājums... Vispirms apsveriet sistēmu ar diviem kanāliem.
Iepazīstināsim ar iespējamiem stāvokļiem:
S 0 - nav pasūtījumu (abi tālruņi ir bezmaksas),
S 1 - tiek apkalpots viens pieprasījums (viens tālrunis ir aizņemts),
S 2 - tiek apkalpoti divi pieprasījumi (abi tālruņi ir aizņemti).
Stāvokļa grafiks izskatīsies šādi:

Atrodiet stāvokļu varbūtības. Saskaņā ar formulām (+):

Vidēji stundā tiek zaudēti 54% lietojumprogrammu jeb 0,54 × 30 = 16,2 pieteikumi. Tiek apkalpoti 13,8 pieprasījumi stundā, un vidējā peļņa ir 13,8 × 30 = 414 rubļi.
Tagad apsveriet situāciju ar trim rindām. Šajā gadījumā trīs operatori apkalpo 3 tālruņa līnijas, un ienākošais zvans nāk uz jebkuru bezmaksas līniju. Ir iespējami šādi stāvokļi:
S 0 - nav lietojumprogrammu (trīs tālruņi ir bezmaksas),
S 1 - tiek izpildīts viens pieprasījums (viens tālrunis ir aizņemts),
S 2 - tiek apkalpoti divi pieprasījumi (divi tālruņi ir aizņemti),
S 3 - tiek apkalpoti trīs pieprasījumi (visi tālruņi ir aizņemti).

Izmantojot formulas (+), mēs atrodam stāvokļu varbūtības:
,
.
Vidēji tiek zaudēti 35% pieteikumu jeb 10,4 pieteikumi stundā. Tiek apkalpotas 19,6 lietojumprogrammas. Vidējā peļņa ir 588 rubļi stundā. Peļņa palielinājās par 174. Par cenu 150 rubļu stundā ieteicams ieviest trešo pakalpojumu kanālu.

Metodes, kā matemātiski aprakstīt Markova nejaušo procesu, kas notiek sistēmā ar diskrētiem stāvokļiem, ir atkarīgas no tā, kuros laika posmos - iepriekš zināmos vai nejaušos - var notikt sistēmas pārejas ("lēcieni") no stāvokļa uz stāvokli.

Nejaušu procesu sauc par procesu ar diskrētu laiku, ja sistēmas pāreja no stāvokļa uz stāvokli ir iespējama tikai stingri noteiktos, iepriekš noteiktos laikos :. Intervālos starp šiem momentiem sistēma S saglabā savu stāvokli.

Nejaušu procesu sauc par procesu ar nepārtrauktu laiku, ja sistēmas pāreja no stāvokļa uz stāvokli ir iespējama jebkurā iepriekš nezināmā nejaušā brīdī

Vispirms apskatīsim Markova izlases procesu ar diskrētiem stāvokļiem un diskrētu laiku.

Lai ir fiziska sistēma S, kas var būt šādā stāvoklī:

turklāt sistēmas pārejas ("lēcieni") no stāvokļa uz stāvokli ir iespējamas tikai šādos brīžos:

Mēs šos brīžus sauksim par procesa soļiem vai posmiem un izlases procesu, kas notiek sistēmā S, uzskatīsim par veselu skaitļu argumenta funkciju: (soļu skaitļi).

Sistēmā notiekošais nejaušais process sastāv no tā, ka secīgos laika brīžos sistēma S nonāk vienā vai otrā stāvoklī, piemēram, rīkojoties šādi:

Vispārējā gadījumā sistēma brīžiem var ne tikai mainīt stāvokli, bet arī palikt tādā pašā stāvoklī, piemēram:

Piekritīsim apzīmēt notikumu, ka pēc soļiem sistēma ir stāvoklī Jebkuram k notikumam

veido pilnu grupu un ir pretrunīgi.

Sistēmā notiekošo procesu var attēlot kā notikumu secību (ķēdi), piemēram:

Šādu nejaušu notikumu secību sauc par Markova ķēdi, ja katrā solī pārejas varbūtība no jebkura stāvokļa uz jebkuru stāvokli nav atkarīga no tā, kad un kā sistēma nonāca stāvoklī

Mēs aprakstīsim Markova ķēdi, izmantojot tā sauktās stāvokļa varbūtības. Ļaujiet sistēmai S jebkurā brīdī (pēc jebkura soļa) būt vienā no stāvokļiem:

tas ir, notiks viens no nesaderīgu notikumu grupas:

Apzīmēsim šo notikumu iespējamību:

Varbūtības pēc pirmā soļa

Varbūtības pēc otrā soļa; un parasti pēc soļa:

Ir viegli redzēt, ka katram soļa numuram k

tā kā šīs ir pretrunīgu notikumu varbūtības, kas veido pilnu grupu.

Mēs sauksim varbūtības

stāvokļu varbūtības; Uzstādīsim uzdevumu: atrodiet sistēmas stāvokļu varbūtības jebkuram k.

Attēlosim sistēmas stāvokļus grafika veidā (4.6. Att.), Kur bultiņas norāda uz iespējamām sistēmas pārejām no stāvokļa uz stāvokli vienā solī.

Nejaušu procesu (Markova ķēdi) var iedomāties tā, it kā punkts, kas attēlo sistēmu S, nejauši pārvietotos (klīst) pa stāvokļa grafiku, lecot no stāvokļa uz stāvokli brīžos un dažreiz (vispārējā gadījumā) un aizkavējot noteiktu soļu skaitu tajā pašā stāvoklī. Piemēram, pāreju secība

var attēlot stāvokļa grafikā kā dažādu punkta pozīciju secību (sk. punktētās bultiņas, kas attēlo pārejas no stāvokļa uz stāvokli 4.7. attēlā). Sistēmas "aizkavēšanos" stāvoklī trešajā solī parāda bultiņa, kas atstāj valsti un atgriežas tajā.

Jebkuram solim (laika brīdim vai skaitlim ir dažas varbūtības, ka sistēma pāriet no jebkura stāvokļa uz jebkuru citu (dažas no tām ir vienādas ar nulli, ja tieša pāreja vienā solī nav iespējama), kā arī varbūtība, ka sistēmas aizkavēšanās šajā stāvoklī.

Šīs varbūtības mēs sauksim par Markova ķēdes pārejas varbūtībām.

Markova ķēdi sauc par viendabīgu, ja pārejas varbūtības nav atkarīgas no soļa skaitļa. Pretējā gadījumā Markova ķēdi sauc par neviendabīgu.

Vispirms apsveriet viendabīgu Markova ķēdi. Ļaujiet sistēmai S. Iespējamie stāvokļi Pieņemsim, ka katram stāvoklim mēs zinām pārejas varbūtību uz jebkuru citu stāvokli vienā solī (ieskaitot kavēšanās varbūtību šajā stāvoklī). Apzīmēsim pārejas varbūtību vienā solī no stāvokļa S, uz stāvokli būs sistēmas kavēšanās varbūtība stāvoklī. Pierakstīsim pārejas varbūtības taisnstūrveida tabulas (matricas) formā:

Dažas pārejas varbūtības var būt vienādas ar nulli: tas nozīmē, ka vienā posmā sistēmas pāreja no stāvokļa uz stāvokli nav iespējama. Gar pārejas varbūtību matricas galveno diagonāli ir varbūtības, ka sistēma nepametīs stāvokli, bet paliks tajā.

Izmantojot iepriekš aprakstītos notikumus, pārejas varbūtības var uzrakstīt kā nosacītas varbūtības:

No tā izriet, ka terminu summai katrā matricas rindā (2.3.) Jābūt vienādai ar vienu, jo neatkarīgi no tā, kādā stāvoklī sistēma atrodas pirms soļa, notikumi ir pretrunīgi un veido pilnu grupu.

Apsverot Markova ķēdes, bieži vien ir ērti izmantot stāvokļa grafiku, uz kura bultiņām ir atbilstošas ​​pārejas varbūtības (sk. 4.8. Attēlu). Mēs šādu grafiku sauksim par "marķētu stāvokļa grafiku".

Ņemiet vērā, ka attēlā. 4.8. Tiek atceltas ne visas pārejas varbūtības, bet tikai tās no tām, kas nav vienādas ar nulli un maina sistēmas stāvokli, tas ir, ar "aizkavēšanās varbūtību", grafiku nav nepieciešams ievietot, jo no tiem papildina pārejas varbūtību summu, kas atbilst visām bultiņām, kas iziet no šī stāvokļa. Piemēram, grafikam attēlā. 4.8

Ja no valsts S; neizceļas neviena bulta (pāreja no tās uz jebkuru citu stāvokli nav iespējama), atbilstošā kavēšanās varbūtība ir vienāda ar vienu.

Mūsu rīcībā ir marķēts stāvokļu grafiks (vai, kas ir līdzvērtīgs, pārejas varbūtību matrica) un zinot sistēmas sākotnējo stāvokli, mēs varam atrast stāvokļu varbūtības

pēc jebkura soļa.

Parādīsim, kā tas tiek darīts.

Pieņemsim, ka sākotnējā brīdī (pirms pirmā soļa) sistēma atrodas noteiktā stāvoklī, piemēram, Tad sākotnējā brīdī (0) mums būs:

tas ir, visu stāvokļu varbūtības ir vienādas ar nulli, izņemot sākotnējā stāvokļa varbūtību, kas ir vienāda ar vienu.

Atradīsim stāvokļu varbūtības pēc pirmā soļa. Mēs zinām, ka pirms pirmā soļa ir zināms, ka sistēma atrodas stāvoklī

Tas nozīmē, ka pirmajā solī tas nonāks stāvokļos ar varbūtībām

rakstīts pārejas varbūtību matricas rindā. Tādējādi stāvokļu varbūtības pēc pirmā soļa būs:

Atrodiet stāvokļu varbūtības pēc otrā soļa:

Mēs tos aprēķināsim, izmantojot kopējās varbūtības formulu ar hipotēzēm:

Pēc pirmā soļa sistēma spēja

Pēc pirmā soļa sistēma spēja

Pēc pirmā soļa sistēma spēja

Hipotēžu varbūtības ir zināmas (sk. (2.4)); nosacītas varbūtības pārejai uz stāvokli katrai hipotēzei ir arī zināmas un ir ierakstītas pārejas varbūtību matricā. Pēc kopējās varbūtības formulas mēs iegūstam:

vai, daudz īsāk,

Formulā (2.6) summēšana formāli tiek attiecināta uz visiem stāvokļiem, patiesībā tikai uz tiem, kuru pārejas varbūtība nav nulle, tas ir, uz tiem stāvokļiem, no kuriem var pāriet uz stāvokli (vai tā aizkavēšanos) rodas, būtu jāņem vērā.

Tādējādi stāvokļu varbūtības pēc otrā posma ir zināmas. Acīmredzot pēc trešā posma tie tiek definēti tādā pašā veidā:

un parasti pēc soļa:

Tātad stāvokļu varbūtības pēc soļa tiek noteiktas pēc atkārtošanās formulas (2.8.) Stāvokļu varbūtības izteiksmē pēc soļa; tie, savukārt, caur stāvokļu varbūtībām pēc soļa utt.

Piemērs 1. Reizēm tiek raidīti četri šāvieni uz kādu mērķi

Iespējamais mērķis (sistēma) norāda:

Mērķis ir neskarts;

Mērķis ir nedaudz bojāts;

Mērķis guva ievērojamus zaudējumus;

Mērķis ir pilnībā trāpīts (nevar darboties). Apzīmētais sistēmas stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 4.9.

Sākotnējā brīdī mērķis ir stāvoklī (nav bojāts). Nosakiet mērķa stāvokļu varbūtības pēc četriem šāvieniem. No stāvokļa grafika mums ir;

MASKAVA, 30. jūlijs - RIA Novosti. Fiziķi IKBFU I. Kants apsvēra vienu no iespējamajiem tumšās enerģijas matemātiskajiem modeļiem un uzzināja, ka mūsu Visuma nākotne var būt daudz neparedzamāka un katastrofālāka, nekā tika domāts iepriekš. Pētījuma rezultāti ir publicēti augsti novērtētajā zinātniskajā žurnālā "The European Physical Journal C".

"Ņemot vērā jaunu singularitātes klasi (stāvokļus, kuros šis vai tas parametrs kļūst bezgalīgs), mūsu Visuma nākotne kļūst neparedzama un bīstama. Šajā darbā mēs esam parādījuši, ka dažas īpatnības var rasties diezgan pēkšņi, gandrīz jebkurā brīdī ne zvaigzne, ne pat galaktikas neizdzīvos šādu katastrofu, - sacīja viens no pētījuma autoriem, IKBFU profesors Artjoms Jurovs.

XX gadsimta beigās - XXI gadsimta sākumā kosmoloģijā tika izdarīti vairāki svarīgi atklājumi: netieši pierādījumi par Visuma, tumšās matērijas un enerģijas, kā arī gravitācijas viļņu inflācijas paplašināšanos. 1998. gadā zinātnieki atklāja, ka mūsu Visums ne tikai paplašinās, bet paplašinās arvien straujāk.

Zinātnieki uzskata, ka šī paātrinājuma iemesls ir tā sauktais Visuma "tumšais sektors". Saskaņā ar novērojumu datiem, mūsu Visuma kopējais saturs sastāv tikai no 4,9% no parastās barionālās vielas, atlikušie 95,1% ietilpst "tumšajā sektorā", kas sastāv no noslēpumainas tumšās vielas (26,8%) un vēl noslēpumainākas tumšās enerģijas (68,3%).

Pastāv trīs galvenās hipotēzes par to, kas ir tumšā enerģija. Saskaņā ar pirmo, tumšā enerģija ir kosmoloģiska konstante - nemainīgs enerģijas blīvums, kas vienmērīgi aizpilda Visuma telpu. Otra hipotēze tumšo enerģiju definē kā sava veida kvintesenci - dinamisku lauku, kura enerģijas blīvums var mainīties telpā un laikā. Saskaņā ar trešo, tumšā enerģija ir modificētas gravitācijas izpausme Visuma redzamās daļas lieluma lieluma attālumos.

"Mūsu Visuma nākotne ir atkarīga no tā, kurš no šiem modeļiem ir pareizs. Ja otrā hipotēze ir pareiza un tumšā enerģija patiešām ir kvintesence, tad nākotne var būt pilna ar pārsteidzošiem un nepatīkamiem pārsteigumiem. Jo īpaši īpatnības var parādīties tieši laikā paātrināta izplešanās! kvintesences spiediens var pēkšņi "eksplodēt", atzīmēja profesors Jurovs.

To, ka šāda katastrofa ir iespējama, 2004. gadā aprēķināja Kembridžas universitātes profesors Džons Barovs. Pilnīgāks šī jautājuma matemātiskais pētījums ļāva fiziķiem Sergejam Odintsovam, Shinichi Nojiri un Shinji Tsujikawa klasificēt šādas iespējamās katastrofālās nākotnes īpatnības.

IKBFU fiziķu grupa Kants profesora Artema Jurova vadībā ierosināja un matemātiski parādīja, ka var būt vesela savdabības klase, uz kuru neattiecas Odintsova-Nojiri-Tsujikawa klasifikācija. Tas nozīmē, ka mūsu Visums var pēkšņi nomirt. Ārvalstu kolēģi ieinteresēja krievu fiziķu pētījums, kas tika veikts ar projekta 5-100 atbalstu. Jo īpaši John Barrow sazinājās ar autoriem ar vēstuli.

"Modelis, par kuru mēs runājam, ir viens no simtiem mūsu Visuma dzimšanas un nāves modeļu. Autori no IKBFU pareizi uzskatīja modeli ar specifisku skalārā lauka potenciālu un parādīja, ka mēroga faktors var krasi mainīt savu uzvedība. Šis darbs ir interesants. Tas jāpatur prātā nākotnei, jo acīmredzot tas nav pretrunā ar mūsdienu novērojumu datiem, "uzsvēra kosmologs, NRNU MEPhI profesors Sergejs Rubins.