Mērķi un uzdevumi:
Izglītības:
- Apsveriet veidu, kā atrisināt formas "sarežģītus" vienādojumus: (x + 3): 8 \u003d 5 un atvasiniet darbības algoritmu to risināšanai.
- Pilnveidot skaitļošanas prasmes.
Attīstīt:
- Attīstīt spēju analizēt, argumentēt, izskaidrot formas vienādojumu darbības veidu: (x + 3): 8 \u003d 5.
Izglītības:
- Veidojiet spēju strādāt pāros (uzklausiet drauga viedokli, pārrunājiet problēmu, panāciet vienprātību).
Veselības taupīšana:
- Iemācieties rūpēties par savu veselību.
Aprīkojums:
- Multimediju projektors un ekrāns;
- Dators;
- Prezentācija;
- Atbalsta piezīme;
- Uzdevumi uz kartēm.
Nodarbību laikā:
I. Organizatoriskais brīdis.
- zvanīja zvans. Pārbaudiet savu gatavību matemātikas stundai. Visi ir gatavi.
Pārliecināsimies par to!
- BLITZ: Kā atrast nezināmu terminu? (atņemts, samazināts, dividende, dalītājs, reizinātājs).
- Labi padarīts! Apsēdies. Mēs droši varam sākt strādāt. Atveriet piezīmjdatorus. Pierakstiet numuru, foršs darbs.
II. Pamatzināšanu atjaunošana.
1) - es iesaku jums veikt iesildīšanos. Uzmanību ekrānam!
(1. pielikums. Prezentācija -1. slaids).
| 100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2 |
a ∙ 15 9000 - collas no: 317 |
x ∙ 80 \u003d 640 k: 50 \u003d 500 c + 90 \u003d 34 + 56 |
- Sadaliet ierakstīšanas datus grupās. Kas dalīts ar 2? 3 grupām?
Diskusija !!! Pēc kāda principa viņš sadalīja…. , un …..?
- Nosauciet skaitliskās izteiksmes. Nosauciet burtus. Atpūta? (Vienādojumi.)
(2. slaids)
- Atrodiet skaitlisko izteiksmju vērtības.
- Atrodiet burtisko izteiksmju nozīmi, ja
a \u003d 0, b \u003d 1, c \u003d 317
- Vienādojumos atrodiet “papildu”. Pierādi!
- Atrodiet 1 vienādojuma, 2 vienādojumu sakni. (Vienkārši.)
- Kas vispirms jādara, lai atrisinātu šāda veida sarežģītu vienādojumu? (Vienkāršojiet.) - Kā? (Veiciet darbību.) Ko?
- Vienkāršojiet vienādojumu. Atrodiet sakni.
III. Tēma, uzdevumi.
- Kurš vēlas iemācīties atrisināt jauna veida sarežģītus vienādojumus? Pacel roku! Labi padarīts! Tas nozīmē, ka jūs nebaidāties no grūtībām un esat gatavs jauniem atklājumiem!
- Mūsu nodarbības tēma ir "Jauna veida sarežģītu" vienādojumu risināšana. "
(Tā kā termins "sarežģīts" vienādojums ir nosacīts, es to ievietoju pēdiņās.)
- Definēsim izglītības uzdevumus:
1. Iemācieties atrisināt jauna veida sarežģītus vienādojumus.
2. Izveidojiet risinājuma algoritmu. (Algoritms - secība, darbību secība.)
3. Iemācieties komentēt vienādojumu risinājumu.
4. Pilnveidot skaitļošanas prasmes.
Fiziskā izglītība
IV. Darbs pie tēmas. Problēmas formulēšana. Atverot jaunu.
1) No numura 488. Mācību grāmata.
- Es gribu ieteikt jums atkal apmeklēt pētniekus.
□ + 30 \u003d 50 Šī ziņa atrodas uz tāfeles!
- Izlasiet izteicienu. 1 lode. 2 lode. Summas vērtība.
- Vai tas ir vienādojums? Kāpēc?
- ievietojiet izteicienu logā
□ + 30 \u003d 50 - Kā sauc ierakstu? (Grūti ur.) - Vai tas izskatās pēc tā, kuru mēs jau zinām, kā atrisināt? - Kāpēc?
- Mēģiniet atrast veidu, kā atrisināt šo vienādojumu. LŪDZU, ŅEMIET VĒRĀ, es nejauši neparakstīju darbības komponentus! Izrakstīšanās bez verifikācijas!
2) Paskaidrojums: - Kāda (kāda sastāvdaļa) ir burtiskā izteiksme 4 ∙ х (tas ir 1 termins) šajā summā.
Tas nozīmē, ka 1 termins ir burtisks izteiciens 4 ∙ х, un tas nav zināms!
Noteikums nemainās! Kā atrast nezināmu 1 logu?
|
\u003d 50 - 30 - zināt, kā atrisināt? |
3) - Atveriet apmācību ar. 149 № 488. Izlasiet, kā Miša sprieda.
V. Algoritma atvasināšana. Nodrošinot jaunu.
1) Atrisiniet vienādojumu: (x + 3): 8 \u003d 5 1 uz tāfeles.
Uzdevums! - Mēģiniet noteikt secību!
2) algoritma atvasināšana.
- Kā jūs saprotat, ka komponenti tiks saukti: dividende, dalītājs, koeficienta vērtība.
- Kurš sadalījums ir pirmais vai pēdējais? \u003d Kur sākt?
3). Algoritms (3. slaids).
- Es definēšu pēdējo darbību un nosaukšu komponentus.
- Es definēšu nezināmo komponentu un atcerēšos noteikumu tā atrašanai.
- Es uzrakstīšu jaunu vienādojumu un to vienkāršos.
- Es atrisināšu vienkāršu vienādojumu.
4) Komentāru lasīšana.
pieci). Nr. 489. Mācību grāmata. Komentējot.
Fiziskā izglītība 2 (acīm).
6). Komandas darbs. Strādāt pāros.
1) (y– 5) ∙ 4 \u003d 28
2) 3 ∙ a - 7 \u003d 14
3) (24 + d): 8 \u003d 7
4) 63: (14 - x) \u003d 7
Aizpildiet pašpārbaudes tabulu!
| Vienādojums. | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Lēmums. | ||||
Lineārie vienādojumi. Risinājums, piemēri.
Uzmanību!
Ir arī citi
materiāli iekšā Īpašā sadaļa 555.
Tiem, kas "nav ļoti ..."
Un tiem, kas ir "ļoti vienmērīgi ...")
Lineārie vienādojumi.
Lineārie vienādojumi nav visgrūtākais temats skolas matemātikā. Bet tur ir daži triki, kas var mīlēt pat apmācītu studentu. Vai mēs to izdomāsim?)
Parasti lineāro vienādojumu definē kā formas vienādojumu:
cirvis + b = 0 Kur a un b - jebkuri skaitļi.
2x + 7 \u003d 0. Šeit a \u003d 2, b \u003d 7
0,1x - 2,3 \u003d 0 šeit a \u003d 0,1, b \u003d -2,3
12x + 1/2 \u003d 0 šeit a \u003d 12, b \u003d 1/2
Nekas sarežģīts, vai ne? It īpaši, ja nepamanāt vārdus: "kur a un b ir skaitļi"... Un, ja pamanāt, bet neuzmanīgi domājat?) Galu galā, ja a \u003d 0, b \u003d 0 (vai ir iespējami kādi skaitļi?), tad mēs iegūstam smieklīgu izteicienu:
Bet tas vēl nav viss! Ja, teiksim, a \u003d 0, un b \u003d 5, izrādās kaut kas pilnīgi neparasts:
Kas apgrūtina un mazina pārliecību par matemātiku, jā ...) Īpaši eksāmenos. Bet no šiem dīvainajiem izteicieniem ir jāatrod arī X! Kas tur nemaz nav. Un pārsteidzoši, ka šo X ir ļoti viegli atrast. Mēs iemācīsimies, kā to izdarīt. Šajā apmācībā.
Kā jūs zināt lineāru vienādojumu pēc tā izskata? Tas ir atkarīgs no izskata.) Viltība ir tāda, ka lineārie vienādojumi ir ne tikai formas vienādojumi cirvis + b = 0 , bet arī visi vienādojumi, kas pārveidošanas un vienkāršošanas rezultātā tiek samazināti līdz šai formai. Un kurš zina, vai to var samazināt vai nē?)
Dažos gadījumos var skaidri atpazīt lineāro vienādojumu. Teiksim, ja mums ir vienādojums, kurā ir tikai pirmās pakāpes nezināmie, un skaitļi. Un vienādojumā nav frakcijas dalītas ar nezināms , tas ir svarīgi! Un dalīšana pa numurs, vai ciparu daļa - lūdzu! Piemēram:
Šis ir lineārais vienādojums. Šeit ir frakcijas, bet kvadrātā, kubā utt. Nav x, un saucējos nav x, t.i. nē dalīšana ar x... Un šeit ir vienādojums
nevar saukt par lineāru. Šeit visi x ir pirmajā pakāpē, bet ir dalījums pēc izteiksmes ar x... Pēc vienkāršojumiem un pārveidojumiem jūs varat iegūt lineāru vienādojumu un kvadrātu, un visu, kas jums patīk.
Izrādās, ka dažā viltīgā piemērā nevar uzzināt lineāru vienādojumu, kamēr gandrīz to neatrisini. Tas izjauc. Bet uzdevumos parasti netiek vaicāts par vienādojuma veidu, vai ne? Uzdevumiem ir doti vienādojumi atrisināt. Tas mani dara laimīgu.)
Lineāru vienādojumu risināšana. Piemēri.
Viss lineāro vienādojumu risinājums sastāv no identiskas vienādojumu transformācijas. Starp citu, šīs pārvērtības (pat divas!) Ir pamatā risinājumiem visi matemātikas vienādojumi. Citiem vārdiem sakot, risinājums jebkura vienādojums sākas ar šīm ļoti transformācijām. Lineāro vienādojumu gadījumā tas (risinājums) ir balstīts uz šīm transformācijām un beidzas ar pilnvērtīgu atbildi. Ir jēga sekot saitei, vai ne?) Turklāt ir arī piemēri, kā atrisināt lineāros vienādojumus.
Sāksim ar vienkāršāko piemēru. Bez nekādām kļūdām. Pieņemsim, ka mums jāatrisina šis vienādojums.
x - 3 \u003d 2 - 4x
Šis ir lineārais vienādojums. X viss ir pirmajā pakāpē, ar X nav dalījuma. Bet patiesībā mums ir vienalga, kāds tas ir vienādojums. Mums tas jāatrisina. Shēma ir vienkārša. Savāc visu ar x vienādības kreisajā pusē, visu bez x (skaitļa) labajā pusē.
Lai to izdarītu, jums jāpārsūta - 4x pa kreisi, ar zīmes maiņu, protams, bet - 3 - pa labi. Starp citu, tas ir pirmā identiskā vienādojumu transformācija. Vai esi pārsteigts? Tātad, mēs nesekojām šai saitei, bet velti ...) Mēs iegūstam:
x + 4x \u003d 2 + 3
Mēs piedāvājam līdzīgus, mēs ticam:
Kas mums pietrūkst pilnīgai laimei? Jā, tā, ka kreisajā pusē bija tīrs X! Pieci ir ceļā. Atbrīvojoties no pieciem labākajiem ar otrā identiskā vienādojumu transformācija. Proti, mēs dalām abas vienādojuma puses ar 5. Mēs saņemam gatavu atbildi:
Elementārs piemērs, protams. Tas ir domāts iesildīšanai.) Nav īsti skaidrs, kāpēc es šeit atgādināju identiskas pārvērtības? Labi. Mēs ņemam vērsi pie ragiem.) Izlemsim kaut ko iespaidīgāku.
Piemēram, šeit ir šāds vienādojums:
Kur mēs sākam? Ar x - pa kreisi, bez x - pa labi? Varētu būt tā. Maziem soļiem pa garo ceļu. Vai arī jūs varat nekavējoties, universālā un jaudīgā veidā. Ja jūs, protams, esat savā arsenālā identiskas vienādojumu transformācijas.
Es jums uzdodu galveno jautājumu: kas jums visvairāk nepatīk par šo vienādojumu?
95 no 100 cilvēkiem atbildēs: frakcijas ! Atbilde ir pareiza. Tāpēc atbrīvosimies no viņiem. Tāpēc mēs sākam uzreiz ar otrās identitātes transformācija... Kas jums jāreizina frakcija kreisajā pusē, lai saucējs būtu pilnībā samazināts? Pa labi, 3. Un labajā pusē? Ar 4. Bet matemātika ļauj mums reizināt abas puses ar tas pats numurs... Kā mēs izkļūstam? Un reizināsim abas puses ar 12! Tie. ar kopsaucēju. Tad saruks gan trīs, gan četri. Neaizmirstiet, ka jums ir jāreizina katra daļa pilnībā... Pirmais solis izskatās šādi:
Izvērsiet iekavas:
Piezīme! Skaitītājs (x + 2) Es iekavās! Tas ir tāpēc, ka reizinot frakcijas, skaitītājs tiek pilnībā reizināts, pilnībā! Tagad frakcijas var samazināt:
Izvērsiet atlikušās iekavas:
Ne piemērs, bet milzīgs prieks!) Tagad mēs atgādinām burvestību no pamatskolām: ar x - pa kreisi, bez x - pa labi! Un pielietojiet šo pārveidi:
Šeit ir līdzīgi:
Un mēs sadalām abas daļas ar 25, t.i. vēlreiz pielietot otro transformāciju:
Tas ir viss. Atbilde: x=0,16
Ņem vērā: lai oriģinālais netīrais vienādojums būtu patīkamā formā, mēs izmantojām divus (tikai divus!) identiskas pārvērtības - pārvietojiet pa kreisi pa labi ar zīmes maiņu un vienādojuma reizināšanu ar dalījumu ar to pašu skaitli. Tas ir universāls veids! Mēs strādāsim šādā veidā ar jebkura vienādojumi! Pilnīgi jebkura. Tāpēc es visu laiku atkārtoju šīs identiskās pārvērtības.)
Kā redzat, lineāro vienādojumu risināšanas princips ir vienkāršs. Mēs ņemam vienādojumu un vienkāršojam to ar identisku pārvērtību palīdzību, līdz iegūstam atbildi. Galvenās problēmas šeit ir aprēķinos, nevis risināšanas principā.
Bet ... Visvienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanas procesā ir tādi pārsteigumi, ka tie var jūs pamudināt spēcīgā stuporā ...) Par laimi, var būt tikai divi šādi pārsteigumi. Sauksim tos par īpašiem gadījumiem.
Īpaši gadījumi, kad tiek atrisināti lineārie vienādojumi.
Pirmais pārsteigums.
Pieņemsim, ka jūs saskaraties ar elementāru vienādojumu, piemēram:
2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
Nedaudz garlaicīgi, mēs to pārnesam ar X pa kreisi, bez X - pa labi ... Ar zīmes maiņu viss notiek ar chin-chinar ... Mēs iegūstam:
2x-5x + 3x \u003d 5-2-3
Mēs uzskatām, un ... ak, sūdi !!! Mēs iegūstam:
Šī vienlīdzība pati par sevi nav iebilstama. Nulle patiešām ir nulle. Bet X vairs nav! Un mums ir jāraksta atbildē kas ir x. Pretējā gadījumā lēmums neskaitās, jā ...) Beigu termiņš?
Mierīgi! Šādos šaubīgos gadījumos tiek ietaupīti vispārīgākie noteikumi. Kā atrisināt vienādojumus? Ko nozīmē atrisināt vienādojumu? Tas nozīmē, atrodiet visas x vērtības, kuras, aizvietojot sākotnējā vienādojumā, sniegs pareizu vienādību.
Bet mums ir patiesa vienlīdzība jau noticis! 0 \u003d 0, cik daudz precīzāk ?! Atliek izdomāt, kurā X izrādās. Kādās x vērtībās var aizstāt sākotnējais vienādojums, ja šie x ir vienalga saruks līdz nullei? Aiziet?)
Jā!!! X var aizstāt jebkurš! Ko tu gribi. Vismaz 5, vismaz 0,05, vismaz -220. Viņi tik un tā saruks. Ja jūs tam neticat, varat to pārbaudīt.) Aizstājiet x vērtības sākotnējais vienādojums un skaits. Visu laiku tiks iegūta tīra patiesība: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7,1 \u003d -7,1 un tā tālāk.
Lūk, atbilde: x - jebkurš skaitlis.
Atbildi var uzrakstīt dažādos matemātiskos simbolos, būtība nemainās. Šī ir absolūti pareiza un pilnīga atbilde.
Otrais pārsteigums.
Ņemsim to pašu elementāro lineāro vienādojumu un tajā mainīsim tikai vienu skaitli. To mēs izlemsim:
2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
Pēc tām pašām identiskām pārvērtībām mēs iegūstam kaut ko intriģējošu:
Kā šis. Atrisināja lineāru vienādojumu, ieguva dīvainu vienādojumu. Matemātiski runājot, mēs saņēmām nepareiza vienlīdzība. Un vienkārši sakot, tā nav taisnība. Murgot. Bet tomēr šīs muļķības ir ļoti labs iemesls, lai pareizi atrisinātu vienādojumu.)
Atkal domājam, ka pamatā ir vispārējie noteikumi. Ko x, aizvietojot sākotnējā vienādojumā, iegūs taisnība vienlīdzība? Jā, neviena! Tādu x nav. Lai ko jūs aizstātu, viss samazināsies, delīrijs paliks.)
Lūk, atbilde: nav risinājumu.
Tā ir arī pilnīga atbilde. Matemātikā šādas atbildes ir izplatītas.
Kā šis. Tagad es ceru, ka x zaudējums jebkura (ne tikai lineāra) vienādojuma risināšanas procesā jūs nemaz nemulsinās. Jautājums jau ir pazīstams.)
Tagad, kad visas nepilnības esam izdomājuši lineārajos vienādojumos, ir jēga tās atrisināt.
Ja jums patīk šī vietne ...
Starp citu, man ir vēl pāris interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Tūlītēja validācijas pārbaude. Mācības - ar interesi!)
jūs varat iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Šajā video mēs analizēsim visu lineāro vienādojumu kopumu, kas tiek atrisināti, izmantojot to pašu algoritmu, - tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.
Sākumā definēsim: kas ir lineārais vienādojums un kas no tiem ir vienkāršākais?
Lineārs vienādojums ir tāds, kurā ir tikai viens mainīgais, un tikai pirmajā pakāpē.
Vienkāršākais vienādojums nozīmē konstrukciju:
Izmantojot algoritmu, visi pārējie lineārie vienādojumi tiek samazināti līdz vienkāršākajiem:
- Izvērsiet iekavas, ja tādas ir;
- Pārvietojiet terminus, kas satur mainīgo, uz vienādības zīmes pusi, bet terminus bez mainīgā - uz otru;
- Novietojiet līdzīgus apzīmējumus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes;
- Iegūto vienādojumu daliet ar mainīgā lieluma $ x $ koeficientu.
Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažreiz pēc visām šīm mahinācijām mainīgā $ x $ koeficients izrādās nulle. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:
- Vienādojumam nav nekādu risinājumu. Piemēram, kad jūs saņemat kaut ko līdzīgu $ 0 \\ cdot x \u003d 8 $, t.i. kreisajā pusē ir nulle, bet labajā pusē ir nulle. Zemāk esošajā videoklipā mēs vienlaikus apsvērsim vairākus iemeslus, kāpēc šāda situācija ir iespējama.
- Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams - vienādojums ir samazināts līdz konstrukcijai $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $. Tas ir diezgan loģiski, ka neatkarīgi no tā, kuru $ x $ mēs aizstājam, tas joprojām izrādīsies "nulle vienāds ar nulli", t.i. pareiza ciparu vienādība.
Tagad redzēsim, kā tas viss darbojas reālās dzīves problēmās.
Vienādojumu risināšanas piemēri
Šodien mums ir darīšana ar lineārajiem vienādojumiem, un tikai ar visvienkāršākajiem. Parasti lineārs vienādojums ir jebkura vienādība, kas satur tieši vienu mainīgo, un tā iet tikai pirmajā pakāpē.
Šādas konstrukcijas tiek risinātas aptuveni tādā pašā veidā:
- Pirmkārt, jums ir jāpaplašina iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā);
- Tad atnes līdzīgu
- Visbeidzot, konfiscējiet mainīgo, t.i. viss, kas ir saistīts ar mainīgo, - termini, kuros tas ir ietverts - pārvietojas vienā virzienā, un viss, kas paliek bez tā, pārvietojas uz otru pusi.
Pēc tam, kā likums, jums ir jāievieto līdzīgi katrā iegūtās vienlīdzības pusē, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu pie “x”, un mēs iegūsim galīgo atbildi.
Teorētiski tas izskatās jauki un vienkārši, taču praksē pat pieredzējuši vidusskolēni diezgan vienkāršos lineārajos vienādojumos var pieļaut aizskarošas kļūdas. Parasti kļūdas tiek pieļautas, paplašinot iekavas, vai aprēķinot "plusus" un "mīnusus".
Turklāt gadās, ka lineārajam vienādojumam vispār nav risinājumu vai arī tā, ka risinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šos smalkumus analizēsim šodienas stundā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar visvienkāršākajiem uzdevumiem.
Vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanas shēma
Sākumā ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:
- Paplašiniet iekavas, ja tādas ir.
- Mēs izdalām mainīgos, t.i. viss, kas satur "x", tiek pārvietots uz vienu pusi, un bez "x" - uz otru pusi.
- Mēs piedāvājam līdzīgus nosacījumus.
- Mēs visu sadalām koeficientā pie “x”.
Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tajā ir noteikti smalkumi un triki, un tagad mēs tos iepazīsim.
Risina reālās dzīves vienkāršo lineāro vienādojumu piemērus
1. problēma
Pirmajā solī mums tiek prasīts paplašināt iekavas. Bet viņi nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo posmu. Otrajā posmā mums jāizmanto mainīgie. Lūdzu, ņemiet vērā: mēs runājam tikai par individuāliem noteikumiem. Rakstīsim:
Mēs piedāvājam līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, bet tas jau ir izdarīts. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dalām ar koeficientu:
\\ [\\ frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]
Tātad, mēs saņēmām atbildi.
2. problēma
Šajā problēmā mēs varam novērot iekavas, tāpēc paplašināsim tās:
Gan kreisajā, gan labajā pusē mēs redzam aptuveni vienādu konstrukciju, bet darbosimies pēc algoritma, t.i. mēs izdalām mainīgos lielumus:
Šeit ir līdzīgi:
Pie kādām saknēm tas tiek veikts. Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $ x $ ir jebkurš skaitlis.
Problēmas numurs 3
Trešais lineārais vienādojums jau ir interesantāks:
\\ [\\ pa kreisi (6-x \\ pa labi) + \\ pa kreisi (12 + x \\ pa labi) - \\ pa kreisi (3–2 x pa labi) \u003d 15 \\
Šeit ir vairākas iekavas, taču tās nav ne ar ko reizināt, tām vienkārši priekšā ir dažādas zīmes. Paplašināsim tos:
Mēs veicam otro jau zināmo soli:
\\ [- x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]
Skaitīsim:
Mēs veicam pēdējo soli - visu izdalām ar koeficientu “x”:
\\ [\\ frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]
Lietas, kas jāatceras, risinot lineāros vienādojumus
Papildus pārāk vienkāršiem uzdevumiem es vēlētos pateikt sekojošo:
- Kā es teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums - dažreiz vienkārši nav sakņu;
- Pat ja ir saknes, starp tām var būt nulle - ar to nav nekā slikta.
Nulle ir tāds pats skaitlis kā pārējie, jums nevajadzētu to nekādā veidā diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jums ir nulle, tad jūs izdarījāt kaut ko nepareizi.
Vēl viena iezīme ir saistīta ar iekavu paplašināšanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja priekšā ir "mīnus", mēs to noņemam, bet iekavās mainām zīmes pretī... Un tad mēs varam to atvērt saskaņā ar standarta algoritmiem: mēs iegūsim to, ko mēs redzējām iepriekšējos aprēķinos.
Izpratne par šo vienkāršo faktu ļaus jums izvairīties no muļķīgām un sāpīgām kļūdām vidusskolā, kad šādas darbības tiek veiktas kā pašsaprotamas.
Kompleksu lineāru vienādojumu risināšana
Pārejam pie sarežģītākiem vienādojumiem. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas, un, veicot dažādas pārvērtības, parādīsies kvadrātiskā funkcija. Tomēr no tā jums nevajadzētu baidīties, jo, ja saskaņā ar autora nodomu mēs risinām lineāru vienādojumu, tad transformācijas procesā visi monomali, kas satur kvadrātisko funkciju, obligāti tiks atcelti.
1. piemērs
Acīmredzot pirmais solis ir paplašināt iekavas. Darīsim to ļoti uzmanīgi:
Tagad par privātumu:
\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]
Šeit ir līdzīgi:
Acīmredzot šim vienādojumam nav risinājumu, tāpēc atbildē rakstīsim:
\\ [\\ nekādi \\]
vai nav sakņu.
2. piemērs
Mēs veicam tās pašas darbības. Pirmais solis:
Pārvietojiet visu ar mainīgo pa kreisi un bez tā pa labi:
Šeit ir līdzīgi:
Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs to uzrakstām šādi:
\\ [\\ nekādi \\],
vai arī nav sakņu.
Risinājuma nianses
Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Izmantojot šos divus izteicienus kā piemēru, mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss var nebūt tik vienkārši: var būt vai nu viena sakne, vai arī neviena, vai bezgalīgi daudz. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abos vienkārši nav sakņu.
Bet es gribu pievērst jūsu uzmanību vēl vienam faktam: kā strādāt ar iekavām un kā tās atvērt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteicienu:
Pirms informācijas atklāšanas jums viss jāsareizina ar "X". Piezīme: reizina katrs atsevišķs termins... Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un reizināti.
Un tikai pēc šo šķietami elementāro, bet ļoti svarīgo un bīstamo pārveidojumu veikšanas jūs varat paplašināt iekavas no tā viedokļa, ka pēc tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad pārvērtības ir pabeigtas, mēs atceramies, ka iekavu priekšā ir mīnusa zīme, kas nozīmē, ka viss, kas iet uz leju, tikai maina zīmes. Šajā gadījumā paši kronšteini pazūd, un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais "mīnus".
Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:
Nav nejauši, ka es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Tā kā vienādojumu risināšana vienmēr ir elementāru pārvērtību secība, kad nespēja skaidri un kompetenti veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka vidusskolēni nāk pie manis un atkal mācās risināt tik vienkāršus vienādojumus.
Protams, diena pienāks, un jūs šīs prasmes padziļināsit automātikā. Jums vairs nav katru reizi jāveic tik daudz pārvērtību, jūs visu uzrakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.
Risinot vēl sarežģītākus lineāros vienādojumus
Ko mēs tagad atrisināsim, jau ir grūti izsaukt vienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek tā pati.
1. problēma
\\ [\\ pa kreisi (7x + 1 \\ pa labi) \\ pa kreisi (3x-1 \\ pa labi) -21 ((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]
Reizināsim visus elementus pirmajā daļā:
Darīsim zināmu privātumu:
Šeit ir līdzīgi:
Mēs veicam pēdējo soli:
\\ [\\ frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]
Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka risināšanas procesā mums bija koeficienti ar kvadrātisko funkciju, tie tika savstarpēji iznīcināti, kas padara vienādojumu precīzi lineāru, nevis kvadrātu.
2. problēma
\\ [\\ pa kreisi (1-4x \\ pa labi) \\ pa kreisi (1-3x \\ pa labi) \u003d 6x \\ pa kreisi (2x-1 \\ pa labi) \\]
Pirmo soli veiksim kārtīgi: reiziniet katru pirmās iekavās esošo elementu ar katru otrā iekavas elementu. Kopumā pēc pārvērtībām vajadzētu būt četriem jauniem terminiem:
Tagad uzmanīgi veiksim reizināšanu katrā terminā:
Pārvietosim nosacījumus ar "x" pa kreisi, bet bez - pa labi:
\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]
Šeit ir līdzīgi termini:
Atkal mēs saņēmām galīgo atbildi.
Risinājuma nianses
Vissvarīgākā piezīme par šiem diviem vienādojumiem ir šāda: tiklīdz mēs sākam reizināt iekavas, kurās ir vairāk, nekā tas ir termins, tad tas tiek darīts saskaņā ar šādu noteikumu: mēs ņemam pirmo terminu no pirmā un reizinām ar katru elementu no otrā; tad mēs ņemam otro elementu no pirmā un līdzīgi reizinām ar katru elementu no otrā. Rezultātā mēs iegūstam četrus termiņus.
Algebriskā summa
Ar pēdējo piemēru es gribētu atgādināt studentiem, kas ir algebriska summa. Klasiskajā matemātikā ar USD 1-7 $ mēs domājam vienkāršu uzbūvi: atņem septiņas no vienas. Algebrā mēs ar to domājam sekojošo: skaitlim "viens" mēs pievienojam citu numuru, proti, "mīnus septiņi". Tādējādi algebriskā summa atšķiras no parastās aritmētiskās.
Tiklīdz, veicot visas pārvērtības, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas ir līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs nekādu problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.
Noslēgumā apskatīsim vēl dažus piemērus, kas būs vēl sarežģītāki nekā tie, kurus mēs tikko apskatījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.
Vienādojumu risināšana ar frakciju
Lai atrisinātu šādas problēmas, mums algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms es atgādināšu mūsu algoritmu:
- Izvērsiet iekavas.
- Atsevišķi mainīgie.
- Atnesiet līdzīgus.
- Sadaliet ar koeficientu.
Diemžēl šis lieliskais algoritms, ņemot vērā tā efektivitāti, nav pilnīgi piemērots, ja priekšā ir frakcijas. Un tas, ko mēs redzēsim tālāk, mums abās vienādojumos ir pa kreisi un pa labi frakcija.
Kā šajā gadījumā strādāt? Viss ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms, gan pēc pirmās darbības, proti, atbrīvoties no frakcijām. Tādējādi algoritms būs šāds:
- Atbrīvojieties no frakcijām.
- Izvērsiet iekavas.
- Atsevišķi mainīgie.
- Atnesiet līdzīgus.
- Sadaliet ar koeficientu.
Ko nozīmē “atbrīvoties no frakcijām”? Un kāpēc to var izdarīt gan pēc pirmā standarta soļa, gan pirms tā? Faktiski mūsu gadījumā visas frakcijas ir skaitliskas atbilstoši saucējam, t.i. visur saucējā ir tikai cipars. Tāpēc, ja reizinām abas vienādojuma puses ar šo skaitli, tad mēs atbrīvojamies no frakcijām.
1. piemērs
\\ [\\ frac (\\ pa kreisi (2x + 1 \\ pa labi) \\ pa kreisi (2x-3 \\ pa labi)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]
Atbrīvosimies no šī vienādojuma frakcijām:
\\ [\\ frac (\\ pa kreisi (2x + 1 \\ pa labi) \\ pa kreisi (2x-3 \\ pa labi) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) - 1 \\ pa labi) \\ cdot 4 \\]
Pievērsiet uzmanību: viss tiek reizināts ar "četriem" vienreiz, ti. tas, ka jums ir divas iekavas, nenozīmē, ka jums ir jāreizina katra no tām ar četrām. Rakstīsim:
\\ [\\ pa kreisi (2x + 1 \\ pa labi) \\ pa kreisi (2x-3 \\ pa labi) \u003d \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) - 1 \\ pa labi) \\ cdot 4 \\]
Tagad atvērsim:
Atrisiniet mainīgo:
Mēs veicam līdzīgu nosacījumu samazināšanu:
\\ [- 4x \u003d -1 \\ pa kreisi | : \\ pa kreisi (-4 \\ pa labi) \\ pa labi. \\]
\\ [\\ frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]
Esam ieguvuši galīgo risinājumu, pāriesim pie otrā vienādojuma.
2. piemērs
\\ [\\ frac (\\ pa kreisi (1-x \\ pa labi) \\ pa kreisi (1 + 5x \\ pa labi)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]
Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:
\\ [\\ frac (\\ pa kreisi (1-x \\ pa labi) \\ pa kreisi (1 + 5x \\ pa labi) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]
\\ [\\ frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]
Problēma ir atrisināta.
Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju pateikt.
Galvenie punkti
Galvenie secinājumi ir šādi:
- Pārzināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
- Spēja atvērt iekavas.
- Neuztraucieties, ja kaut kur jums ir kvadrātiskas funkcijas, visticamāk, tās sašaurināsies turpmāko pārvērtību procesā.
- Saknes lineārajos vienādojumos, pat visvienkāršākajos, ir trīs veidu: viena atsevišķa sakne, visa skaitļa rinda ir sakne, sakņu vispār nav.
Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu, lai turpmāk saprastu visu matemātiku. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni, atrisiniet tajā sniegtos piemērus. Sekojiet līdzi daudz citām interesantām lietām!
Kā iemācīties atrisināt vienkāršus un sarežģītus vienādojumus
Dārgie vecāki!
Bez pamata matemātikas apmācības nav iespējams noformulēt mūsdienu cilvēka izglītību. Skolā matemātika kalpo par atsauces priekšmetu daudzām saistītām disciplīnām. Pēcskolas dzīvē mūžizglītība kļūst par patiesu nepieciešamību, kurai nepieciešama vispārējā pamatapmācība, ieskaitot matemātiku.
Pamatskolā tiek liktas ne tikai zināšanas par galvenajām tēmām, bet arī attīstās loģiskā domāšana, iztēle un telpiskās reprezentācijas, veidojas arī interese par šo mācību priekšmetu.
Ievērojot nepārtrauktības principu, mēs pievērsīsimies vissvarīgākajai tēmai, proti, "Darbību komponentu attiecības salikto vienādojumu risināšanā".
Izmantojot šo nodarbību, jūs varat viegli iemācīties atrisināt sarežģītus vienādojumus. Nodarbībā jūs detalizēti iepazīsities ar pakāpeniskām instrukcijām sarežģītu vienādojumu risināšanai.
Daudzus vecākus satrauc jautājums - kā panākt, lai bērni iemācās atrisināt vienkāršus un sarežģītus vienādojumus. Ja vienādojumi ir vienkārši, tā ir puse no nepatikšanām, bet ir arī sarežģīti - piemēram, neatņemami. Starp citu, informācijai ir arī tādi vienādojumi, par kuru risināšanu cīnās mūsu planētas labākie prāti un kuru risināšanai tiek piešķirtas ļoti nozīmīgas naudas balvas. Piemēram, ja jūs atceratiesPerelmansun nepieprasīts naudas bonuss vairāku miljonu apmērā.
Tomēr atgriezīsimies pie vienkāršiem matemātiskiem vienādojumiem un atkārtosim vienādojumu veidus un komponentu nosaukumus. Neliels iesildīšanās:
_________________________________________________________________________
SILDI
Katrā kolonnā atrodiet papildu numuru:
2) Kāda vārda trūkst katrā kolonnā?
3) Savienojiet vārdus no pirmās kolonnas ar vārdiem no otrās kolonnas.
"Vienādojums" "Vienādība"
4) Kā jūs izskaidrojat, kas ir vienlīdzība?
5) Kā ar “vienādojumu”? Vai šī ir vienlīdzība? Kas tajā ir īpašs?
termiņa summa
samazinās starpība
atņemtais produkts
faktorsvienlīdzība
dalāmais
vienādojums
Secinājums: vienādojums ir vienlīdzība ar mainīgo, kura vērtība jāatrod.
_______________________________________________________________________
Es aicinu katru grupu uzrakstīt papīra formā uz papīra ar filca pildspalvu vienādojumus: (uz tāfeles)
| 1. grupa - ar nezināmu terminu; 2. grupa - ar nezināmo mazinājusies; 3. grupa - ar nezināmo atskaitīts; 4. grupa - ar nezināmu dalītāju; 5. grupa - ar nezināmām dividendēm; 6. grupa - ar nezināmu reizinātāju. | 1 grupa x + 8 \u003d 15 2 grupa x - 8 \u003d 7 3 grupa 48 - x \u003d 36 4 grupa 540: x \u003d 9 5 grupa x: 15 \u003d 9 6 grupa x * 10 \u003d 360 |
Vienai no grupām vajadzētu izlasīt savu vienādojumu matemātiskā valodā un komentēt to risinājumu, tas ir, izrunāt veicamo operāciju ar zināmajām darbību komponentēm (algoritms).
Secinājums: Mēs spējam atrisināt visa veida vienkāršus vienādojumus pēc algoritma, lasīt un rakstīt burtiskas izteiksmes.
Es ierosinu atrisināt problēmu, kurā parādās jauna veida vienādojumi.
Secinājums: mēs iepazināmies ar vienādojumu risinājumu, kura viena daļa satur skaitlisku izteiksmi, kuras vērtība jāatrod un jāiegūst vienkāršs vienādojums.
________________________________________________________________________
Apsveriet citu vienādojuma versiju, kuras risinājums tiek samazināts līdz vienkāršu vienādojumu ķēdes atrisināšanai. Šeit ir viens no salikto vienādojumu ieviešanas.
| a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Vai ir rakstīšanas vienādojumi? Kāpēc? Kā sauc šīs darbības? Izlasiet tos, izsaucot pēdējo darbību: | Nē. Tie nav vienādojumi, jo vienādojumam jābūt ar "\u003d" zīmi. Izteicieni a + b * c - skaitļa a un skaitļu b un c reizinājums; (x - y): 3 - skaitļa x un y starpības koeficients; 2 * d + (m - n) - divkāršotā skaitļa d un starpības starp skaitļiem m un n summa. |
Es aicinu visus pierakstīt teikumu matemātiskā valodā:
Atšķirības starp cipariem x un 4 un skaitli 3 reizinājums ir 15.
SECINĀJUMS: Izveidotā problemātiskā situācija motivē noteikt stundas mērķi: iemācīties atrisināt vienādojumus, kuros nezināmais komponents ir izteiksme. Šādi vienādojumi ir salikti vienādojumi.
__________________________________________________________________________
Vai varbūt mums palīdzēs jau pētītie vienādojumu veidi? (algoritmi)
Kāds zināmais vienādojums izskatās mūsu vienādojumā? X * a \u003d b
ĻOTI SVARĪGS JAUTĀJUMS: Kāda ir izteiksme kreisajā pusē - summa, starpība, reizinājums vai koeficients?
(x - 4) * 3 \u003d 15 (produkts)
Kāpēc? (tā kā pēdējā darbība ir reizināšana)
Izeja:Šādi vienādojumi vēl nav ņemti vērā. Bet jūs varat izlemt, vai izteiciensx - 4 pārklājiet karti (y ir spēle), un jūs iegūstat vienādojumu, kuru var viegli atrisināt, izmantojot vienkāršu algoritmu nezināma komponenta atrašanai.
Risinot saliktos vienādojumus, katrā posmā ir jāizvēlas darbība automatizētā līmenī, komentējot, nosaucot darbības komponentus.
| Vienkāršojiet daļu |
| Nē ↓ Jā |
(y - 5) *
4
=
28
y - 5 = 28: 4
y - 5 \u003d 7
y \u003d 5 +7
y \u003d 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 \u003d 28 (un)
Izeja:Nodarbībās ar atšķirīgu pieredzi šo darbu var organizēt dažādos veidos. Vairāk sagatavotās klasēs, pat sākotnējai konsolidācijai, var izmantot izteiksmes, kurās nevis divas, bet trīs vai vairākas darbības, bet to risināšanai ir vajadzīgas vairākas darbības ar katru soli, kas vienkāršo vienādojumu, līdz tiek iegūts vienkāršs vienādojums. Un katru reizi var novērot, kā mainās nezināmā darbību sastāvdaļa.
_____________________________________________________________________________
SECINĀJUMS:
Runājot par kaut ko ļoti vienkāršu, saprotamu, mēs bieži sakām: "Jautājums ir skaidrs, jo divas reizes divas ir četras!"
Bet pirms domāšanas, ka divas reizes divas ir četras, cilvēkiem bija jāmācās daudzus, daudzus tūkstošus gadu.
Senie grieķi bija zinājuši daudzus noteikumus no aritmētikas un ģeometrijas mācību grāmatām vairāk nekā pirms diviem tūkstošiem gadu.
Visur, kur nepieciešams kaut ko saskaitīt, izmērīt, salīdzināt, nevar iztikt bez matemātikas.
Grūti iedomāties, kā cilvēki dzīvotu, ja viņi nezinātu, kā skaitīt, izmērīt, salīdzināt. To māca matemātika.
Šodien jūs ienācāt skolas dzīvē, spēlējāt skolēnu lomu, un es aicinu jūs, dārgie vecāki, novērtēt savas prasmes mērogā.
| Manas prasmes | Datums un tāme |
| Darbības komponenti. | |
| Vienādojums ar nezināmu komponentu. | |
| Izteicienu lasīšana un rakstīšana. | |
| Vienkāršā vienādojumā atrodiet vienādojuma sakni. | |
| Atrodiet vienādojuma sakni, kas satur skaitlisku izteiksmi. | |
| Atrodiet vienādojuma sakni, kurā nezināms darbības komponents ir izteiksme. |