Методы излагаются на основе результатов, представленных в учебных пособиях Зенкевича, Моргана и Румянцева .

Методы взвешенных невязок

Большая группа методов приближенного решения дифференциальных уравнений базируется на математической формулировке, связанной с интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок.

Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:

Здесь L?дифференциальный оператор; x i ? пространственные координаты; V и S ? объем и внешняя граница исследуемой области; u 0 - точное решение.

при этом коэффициенты? неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.

В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (3) в уравнение (1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия от точного решения:

В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов.

На втором этапе на функцию невязки (4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).

В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках? точках коллокаций, количество которых равно числу неизвестных коэффициентов. В этих М точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов:

В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции, а затем минимизируют ее в среднем:

В методе наименьших квадратов? методе Рэлея-Ритца? в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.е. , и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:

Для этого должно выполняться условие:

приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции, называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке:

Если? линейный оператор, то система (9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов.

Основная концепция метода конечных элементов

Главная трудность при непосредственном применении классических методов взвешенных невязок связана с выбором базисных функций для области определения в целом. Эти функции должны не только удовлетворять граничным условиям, но и достаточно полно описывать геометрию и другие характеристики задачи. Все эти условия обычно трудно выполнить, особенно для объектов (конструкций) сложной геометрии при наличии сложного теплообмена, и поэтому возможности методов в их классическом смысле весьма ограничены.

С появлением быстродействующих ЭВМ получила развитие идея локализации аппроксимирующих функций в малых областях (подобластях), называемых конечными элементами

Важной особенностью МКЭ является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах, их можно рассматривать независимо друг от друга. Это значит, что каждый элемент можно считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в его узлах независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели, и от поведения функции на других конечных элементах. С математической точки зрения это означает следующее. Для каждого элемента записывается локальная (элементная) аппроксимирующая функция:

где? число узлов, принадлежащих -му элементу; ? значения искомой функции в его узлах; ? базисная функция; ? объем элемента.

Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других элементов, т.е. дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого -го элемента, например, методом Галеркина:

Полученные на основании (2.2) матрицы для отдельных элементов, которые содержат в качестве неизвестной узловые значения функции, формируют в глобальные матрицы для всей области определения. Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в узлах, что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом:

где - число элементов, совокупность которых аппроксимирует область в целом.

Реализация в рамках МКЭ представления области определения совокупностью конечных элементов обусловливает следующие важные преимущества МКЭ, обеспечивая его широкое применение для решения задач теории поля:

* локальная аппроксимация на каждом элементе единственным образом определяется значениями искомой функции в узловых точках;

* обеспечивается широкая вариация задания граничных условий на отдельных участках границы (внешней и внутренней) области;

* криволинейные участки границ области могут быть аппроксимированы прямыми линиями;

* размеры и геометрическая форма элементов могут быть разными;

* взаимные соединения элементов не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре;

* свойства материала каждого элемента могут быть индивидуальными и, к тому же, анизотропными;

* обеспечивается возможность повышения точности решения задачи путем увеличения количества элементов, ограничиваемого лишь мощностью используемой ЭВМ;

* вследствие наличия общих узловых точек, глобальные матрицы являются ленточными, т.е. содержат большое число нулей.

В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач теории поля являются следующие:

* построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках.

При этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в целом;

* получение базисных функций элементов;

* построение матричного представления для каждого элемента на основании;

* объединение всех элементов в ансамбль путем матричных преобразований;

* задание краевых условий для элементов;

* решение результирующей системы уравнений: обыкновенных дифференциальных первого порядка (нестационарный процесс) или алгебраических (стационарный процесс);

* вывод и оценка результатов; расчет любой другой функции, зависящей от значений в узлах найденного решения задачи.

Первый этап конечно-элементной процедуры - декомпозиция исследуемого объекта (конструкции или ее частей) на конечные элементы, взаимосвязанные в узловых точках, - включает в себя следующие операции:

* выбор типов элементов, совокупность которых аппроксимирует объект;

* задание размеров и, тем самым, количества элементов;

* нумерацию элементов и узлов, и индексацию последних.

Лекция 6

Метод взвешенных невязок

Метод взвешенных невязок

Метод наименьших квадратов довольно прост по своей идее. Однако большее распространение получил так называемый метод взвешенных невязок . В этом методе система уравнений для определения неизвестных коэффициентов строится следующим образом:

Здесь ‑ некоторая система «весовых» функций. Отсюда, кстати, и название «метод взвешенных невязок».

Математический смысл этого подхода состоит в следующем. Обратите внимание, что интегралы в (28) представляют собой скалярные произведения функции невязок на весовые функции. Если использовать геометрическую аналогию, то можно сказать, что интегралы в (28) представляют собой проекции функции невязок на весовые функции.

Если бы можно было в качестве весовых функций использовать полную систему функций, то полученное решение было бы точным. Однако, по понятным причинам, приходится использовать конечное число весовых функций.

Запишем систему (28) применительно к рассматриваемому примеру (1):

То есть, вновь, как и в методе наименьших квадратов, задача сводится к решению системы линейных уравнений . Но элементы матрицы и вектора имеют иной вид:

Система весовых функций может выбираться различным образом. Попробуем сначала самый простой вариант: первые три функции степенного ряда:

Напомним, что мы обязаны ограничиться только тремя весовыми функциями, поскольку в этом примере мы ищем приближенное решение в виде линейной комбинации трех функций (18), и приближенное решение (17) содержит три неизвестных коэффициента: .

Подставляя (18) и (31) в (30), получим

,

и решение системы :

Подставляя найденные значения коэффициентов в (17), получим

Таблица 3

x	Точное решение	Метод взвешенных невязок (весовые функции: 1,x ,x 2)
0.25	-0.0716449	-0.0611209
0.5	-0.1013212	-0.0780438
0.75	-0.0716449	-0.0565199

Соответствующий график на рисунке 9.

Рис.9

Как видим, результаты оказались хуже, чем при использовании, как метода конечных разностей, так и метода наименьших квадратов. Причина такой неприятности не в том, что плох метод взвешенных невязок. Дело в том, что система весовых функций была выбрана неудачно. Как уже говорилось, в «Математическом отступлении» (втором пункте этого параграфа) эти функции и не нормированы, и не ортогональны. Там же была получена по методу Грама-Шмидта ортонормированная система функций, эквивалентная (31). Попробуем теперь в качестве весовых функций использовать функции этой системы:

В этом случае матрица и вектор :

а решение системы :

В результате подстановки этих значений в (17):

Таблица 4

x	Точное решение	Метод взвешенных невязок (ортонормированная система степенных функций)
0.25	-0.0716449	-0.0717608
0.5	-0.1013212	-0.1010489
0.75	-0.0716449	-0.717608

Здесь видно, что, казалось бы, незначительное улучшение при выборе весовых функций привело к значительному повышению точности приближенного решения. Кстати, обратите внимание, что хотя матрицы и , полученные по методу наименьших квадратов и в последнем случае, различны, решения этих линейных систем практически совпали. График приближенного решения, поэтому не приводится. Он выглядел бы точным повторением рис.8.

Большая группа методов приближенного решения дифференциальных

уравнений базируется на математической формулировке, связанной с

интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок .

Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:

Здесь L −дифференциальный оператор; x i − пространственные координаты; V и S − объем и внешняя граница исследуемой области; u 0 – точное решение.

при этом коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.

В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится функция ошибка , или невязка , которая характеризует степень отличия от точного решения :

В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов .

На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).

В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках − точках коллокаций , количество которых равно числу неизвестных коэффициентов . В этих М точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов :

В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции , а затем минимизируют ее в среднем:

В методе наименьших квадратов − методе Рэлея-Ритца − в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.е. , и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:

Для этого должно выполняться условие:

приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции, называемые базисными , и требуется их ортогональность невязке :

Если − линейный оператор, то система (2.1.9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов .

Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере . Дано уравнение на промежутке :

Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с точным решением дано в таблице 1.

1

50. ЯВНЫЕ И НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ. МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК. МЕТОД БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА.

Разностная схема - это конечная система алгебраических уравнений , поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом , разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения , поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений , но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации , устойчивости, консервативности.

Явные схемы

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Пример явной схемы для дифференцирования: (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Здесь V * – приближённое решение,
F – функция, удовлетворяющая граничным условиям,
N m – пробные функции, которые на границе области должны быть равны нулю ,
A m – неизвестные коэффициенты, которые необходимо отыскать из условия наилучшего удовлетворения дифференциальному оператору,
M – количество пробных функций.

Если подставить V * в исходный дифференциальный оператор, то получим невязку, принимающую в различных точках области разное значение.

R = LV * + P

Здесь W n – некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,

S – область пространства, в которой ищется решение.

При выборе в качестве весовых функций дельта-фукций будем иметь метод, который получил название метод поточечной коллокации , для кусочно-постоянных функций – метод коллокации по подобластям, но наиболее распространенным является метод Галёркина, в котором в качестве весовых функций выбираются пробные функции N . В этом случае, если количество пробных функций равно количеству весовых функций, после раскрытия определенных интегралов приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов A .

KA + Q = 0

Где коэффициенты матрицы K и вектора Q вычисляются по формулам:

После нахождения коэффициентов A и подстановки их в (1), получаем решение исходной задачи.

Недостатки метода взвешенных невязок очевидны: поскольку решение ищется сразу по всей области, то количество пробных и весовых функций должно быть значительным для обеспечения приемлемой точности , но при этом возникают трудности при вычислении коэффициентов K ij и Q i , особенно при решении плоских и объемных задач, когда потребуется вычисление двойных и тройных интегралов по областям с криволинейными границами. Поэтому на практике этот метод не использовался, пока не был изобретен метод конечных элементов (МКЭ).

Метод взвешенных невязок

МКЭ основывается на методе взвешенных невязок, суть которого заключается в следующем: подбирается функция, удовлетворяющая дифференциальным уравнениям и краевым условиям, но подбирается не произвольно, поскольку такой подбор вряд ли возможен уже в двумерном пространстве, а с использованием специальных методов.

Пусть состояние некоторой среды описывается следующим дифференциальным оператором, с заданным граничным условием:

Здесь L - дифференциальный оператор (например, оператор Лапласа),

V - фазовая переменная - неизвестная функция, которую следует найти,

P - величина, независящая от V,

V(Г) = V г - граничное условие первого рода (Дирихле), то есть на границе задано значение фазовой переменной.

Будем искать решение с помощью функции, имеющей следующий вид:

Здесь V* - приближённое решение,

F - функция, удовлетворяющая граничным условиям,

N m - пробные функции, которые на границе области должны быть равны нулю,

A m - неизвестные коэффициенты, которые необходимо отыскать из условия наилучшего удовлетворения дифференциальному оператору,

M - количество пробных функций.

Если подставить V* в исходный дифференциальный оператор, то получим невязку, принимающую в различных точках области разное значение:

Необходимо сформулировать условие, позволяющее минимизировать эту невязку по всей области. Одним из вариантов такого условия может быть следующее уравнение:

Здесь W n - некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,

S - область пространства, в которой ищется решение.

При выборе в качестве весовых функций дельта-фукций будем иметь метод, который получил название метод поточечной коллокации, для кусочно-постоянных функций - метод коллокации по подобластям, но наиболее распространенным является метод Галёркина, в котором в качестве весовых функций выбираются пробные функции N. В этом случае, если количество пробных функций равно количеству весовых функций, после раскрытия определенных интегралов приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов A.

где коэффициенты матрицы K и вектора Q вычисляются по формулам:

После нахождения коэффициентов A и подстановки их в (1), получаем решение исходной задачи.

Недостатки метода взвешенных невязок очевидны: поскольку решение ищется сразу по всей области, то количество пробных и весовых функций должно быть значительным для обеспечения приемлемой точности, но при этом возникают трудности при вычислении коэффициентов Kij и Qi, особенно при решении плоских и объемных задач, когда потребуется вычисление двойных и тройных интегралов по областям с криволинейными границами. Поэтому на практике этот метод не использовался, пока не был изобретен метод конечных элементов.

Идея МКЭ заключается в том, чтобы в методе взвешенных невязок воспользоваться простыми пробными и весовыми функциями, но не во всей области S, а в её отдельных подобластях (конечных элементах). Точность решения задачи необходимо обеспечить использованием большого числа конечных элементов (КЭ), при этом КЭ могут быть простой формы и вычисление интегралов по ним не должно вызывать особых затруднений. Математически переход от метода взвешенных невязок к МКЭ осуществляется с использованием специальных пробных функций, которые также называются глобальными базисными функциями, обладающих следующими свойствами:

1) в узле аппроксимации функции имеют значение равное единице;

2) функции отличны от нуля только в КЭ, содержащих этот узел аппроксимации, во всей остальной области равны нулю.

Влияние различных факторов на работу осадки

Методи вирощування кристалів

За методом Чохральського виробляють витягування вгору на затравку монокристала з ванни з розплавом. Нагрівання зазвичай здійснюють за допомогою НВЧ випромінювання. Для зняття виникаючих напруг використовують додаткову піч...

Метод капиллярной вискозиметрии опирается на закон Пуазейля о вязкой жидкости, описывающий закономерности движения жидкости в капилляре. Приведем уравнение гидродинамики для стационарного течения жидкости...

Методы и средства для измерения вязкости жидкости

Вибрационный метод вискозиметрии базируется на определении изменений параметров вынужденных колебаний тела правильной геометрической формы, называемого зондом вибрационного вискозиметра, при погружении его в исследуемую среду...

Монтаж электрических проводок. Сборка схем управления силовым оборудованием

Четвертый день практики. Я научился выполнять соединение проводов бандажным методом...

Освітлення і опромінення пташника на 28800 голів ремонтного молодняка курей в кліткових батареях БКМ–3

Точковий метод розрахунку дає можливість визначити світловий потік ламп, необхідний для створення заданої освітленості в будь-якій точці довільно розміщеної поверхні при будь-кому розміщенні світильників...

Принципы томографии

Самым простым ЯМР исследованием является стационарный МР (или свип-МР) метод. Существуют два пути проведения этого эксперимента. При первом, непрерывное РЧ облучение с постоянной частотой, исследует энергетические уровни...

Проектування системи електропостачання машинобудівного заводу

Даний метод припускає, що навантаження - випадкова величина...

Разработка теплозащитного материала с минимальным коэффициентом теплопроводности

Классическим методом решения уравнения (1.3) является метод разделения переменных (метод Фурье). Основой которого является предположение, что решение можно представить в виде произведения двух функций...

Расчет естественного и искусственного освещения швейного цеха

Точечный метод пригоден для расчета любой системы освещения при произвольно-ориентированных рабочих поверхностях. В основу метода положено уравнение, связывающее освещенность и силу света (закон сохранения энергии для светотехники). (5...

Рідкі кристали

Для вивчення рідких кристалів застосовуються стандартні спектроскопічні методи. В період інтенсивного дослідження мезоморфного стану різних речовин виконаний ряд робіт методами ІЧ спектроскопії...

Собственные колебания пластин

Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье. Пусть требуется найти функцию...

Состав, свойства и классификация природных газов, методы определения их состава

Хроматография (от греч. chroma, род. падеж chromatos -- цвет и grбpho -- пишу * а. chromatography; н. Chromatographie; ф. chromatographie; и. cromatografнa) -- метод разделения, анализа и исследования смесей веществ...

Способы фильтрации акустических сигналов

Метод корреляций позволяет определить тесноту линейной зависимости между исследуемой и базисной функциями. Это легче понять на примере. Пусть имеется импульсная радиолокационная станция...

Статистически неопределимые системы и физика усталости разрушения

Обобщим изложенный подход на "лишних” связей. В методе сил каждое разрешающее уравнение по своей сути это есть условие совместности деформации, записанное для точек 1, 2, и т.д. (рис.6.13). Запишем это условие для первой точки...