Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости Формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

Пусть на плоскости заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат. Первая определяется началом О и базисными векторамиi j , вторая – центром О’ и базисными векторами i ’ j ’ .

Поставим цель выразить координаты x y некоторой точки М относительно первой системы координат через x ’ и y ’ – координаты той же точки относительно второй системы.

Заметим, что

Обозначим координаты точки О’ относительно первой системы через a и b:

Разложим векторы i ’ и j ’ по базису i j :

(*)

Кроме того, имеем:
. Введем сюда разложения векторов по базисуi ’ j ’ :

отсюда

Можно сделать вывод: каковы бы ни были две произвольных декартовы системы на плоскости, координаты любой точки плоскости относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки относительно второй системы.

Умножим скалярно уравнения (*) сначала на i , затем на j :

Обозначим через угол между векторами i и i ’ . Система координат i j может быть совмещена с системой i ’ j ’ путем параллельного переноса и последующего поворота на угол . Но здесь возможен и дугой вариант: угол между базисными векторами i i ’ также , а угол между базисными векторами j ’ j ’ равен  - . Эти системы нельзя совместить параллельным переносом и поворотом. Необходимо еще и изменить направление оси у на противоположное.

Из формулы (**) получаем в первом случае:

Во втором случае

Формулы преобразования имеют вид:

Второй случай мы рассматривать не будем. Условимся считать обе системы правыми.

Т.е. вывод: каковы бы ни были две правые системы координат, первая из них может быть совмещена со второй путем параллельного переноса и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол .

Формулы параллельного переноса:

Формулы поворота осей:

Обратные преобразования:

Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве.

В пространстве, рассуждая аналогичным образом, можно записать:

(***)

И для координат получить:

(****)

Итак, каковы бы ни были две произвольные системы координат в пространстве, координаты x y z некоторой точки относительно первой системы являются линейными функциями координат x ’ y ’ z ’ этой же точки относительно второй системы координат.

Умножая каждое из равенств (***) скалярно на i ’ j ’ k ’ получаем:

Выясним геометрический смысл формул преобразования (****). Для этого предположим, что обе системы имеют общее начало:a = b = c = 0 .

Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующих расположение осей второй системы относительно первой.

Первый угол – образован осью х и осью u, являющейся пересечением плоскостей xOy и x’Oy’. Направление угла – кратчайший поворот от оси x к y. Обозначим угол через . Второй угол  – это не превосходящий  угол между осями Oz и Oz’. Наконец, третий угол  – это угол между осью u и Ox’, отсчитываемый от оси u в направлении кратчайшего поворота от Ox’ к Oy’. Эти углы называются углами Эйлера.

Преобразование первой системы во вторую можно представить в виде последовательного проведения трех поворотов: на угол  относительно оси Oz; на угол  относительно оси Ox’; и на угол  относительно оси Oz’.

Числа  ij можно выразить через углы Эйлера. Эти формулы мы записывать не будем из-за громоздкости.

Само преобразование представляет собой суперпозицию параллельного переноса и трех проводимых последовательных поворотов на углы Эйлера.

Все эти рассуждения можно провести и для случая, когда обе системы левые, или разной ориентации.

Если имеем две произвольные системы, то, вообще говоря, можно их совместить путем параллельного переноса и одного поворота в пространстве вокруг некоторой оси. Искать ее не будем.

1) Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с той же ориентацией и с тем же началом координат.

Предположим, что на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и с общим началом координат О , имеющие одинаковую ориентацию (рис. 145). Обозначим единичные векторы осей Ох и Оу соответственно через и , а единичные векторы осей и через и . Наконец пусть - угол от оси Ох до оси . Пусть х и у – координаты произвольной точки М в системе хОу , а и - координаты той же точки М в системе .

Так как угол от оси Ох до вектора равен , то координаты вектора

Угол от оси Ох до вектора равен ; поэтому координаты вектора равны .

Формулы (3) § 97 принимают вид

Матрица перехода от одной декартовой хОу прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией имеет вид

Матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце, равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю, т.е. если

Таким образом, матрица (2) перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией ортогональная. Отметим ещё, что определитель этой матрицы равен +1:

Обратно, если задана ортогональная матрица (3) с определителем, равным +1, и на плоскости введена декартова прямоугольная система координат хОу , то в силу соотношений (4) векторы и единичные и взаимно перпендикулярные, следовательно, координаты вектора в системе хОу равны и , где - угол от вектора до вектора , а так как вектор единичный и получим из вектора поворотом на , то либо , либо .

Вторая возможность исключается, так как если бы мы имели , то а нам дано, что .

Значит, , и матрица А имеет вид

т.е. является матрицей перехода от одной прямоугольной системы координат хОу к другой прямоугольной системе , имеющей ту же ориентацию, причем угол .

2. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с противоположной ориентацией и с тем же началом координат.

Пусть на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и с общим начало координат О , но имеющие противоположную ориентацию обозначим угол от оси Ох до оси через (ориентацию плоскости зададим системой хОу ).

Так как угол от оси Ох до вектора равен , то координаты вектора равны:

Теперь угол от вектора до вектора равен (рис. 146), поэтому угол от оси Ох до вектора равен (по теореме Шаля для углов) и поэтому координаты вектора равны:

И формулы (3) § 97 принимают вид

Матрица перехода

ортогональная, но ее определитель равен –1 . (7)

Обратно, любая ортогональная матрица с определителем, равным –1, задает преобразование одной прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему с тем же началом, но противоположной ориентации. Итак, если две декартовы прямоугольные системы координат хОу и имеют общее начало, то

где х , у – координаты любой точки в системе хОу ; и - координаты той же точки в системе , а

ортогональная матрица.

Обратно, если

произвольная ортогональная матрица, то соотношениями

выражается преобразование декартовой прямоугольной системы координат в декартовую прямоугольную систему с тем же началом координат; - координаты в системе хОу единичного вектора , дающего положительное направление оси ; - координаты в системе хОу единичного вектора , дающего положительное направление оси .

системы координат хОу и имеют одинаковую ориентацию, а в случае - противоположную.

3. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему.

На основании пунктов 1) и 2) этого параграфа, а также на основании § 96 заключаем, что если на плоскости введены прямоугольные системы координат хОу и , то координаты х и у произвольной точки М плоскости в системе хОу с координатами и той же точки М в системе связаны соотношениями- координаты начала системы координат в системе хОу .

Заметим, что старые и новые координаты х , у и , вектора при общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат связаны соотношениями

в случае, если системы хОу и имеют одинаковую ориентацию и соотношениями

в случае, если эти системы имеют противоположную ориентацию, или же в виде

ортогональная матрица. Преобразования (10) и (11) называются ортогональными.

Заметим, что

Обозначим координаты точки О’ относительно первой системы через a и b:

Разложим векторы i ’ и j ’ по базису i j :

(*)

Кроме того, имеем:
. Введем сюда разложения векторов по базисуi ’ j ’ :

отсюда

Умножим скалярно уравнения (*) сначала на i , затем на j :

Из формулы (**) получаем в первом случае:

Во втором случае

Формулы преобразования имеют вид:

Второй случай мы рассматривать не будем. Условимся считать обе системы правыми.

Формулы параллельного переноса:

Формулы поворота осей:

Обратные преобразования:

Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве.

В пространстве, рассуждая аналогичным образом, можно записать:

(***)

И для координат получить:

(****)

Умножая каждое из равенств (***) скалярно на i ’ j ’ k ’ получаем:

Числа  ij можно выразить через углы Эйлера. Эти формулы мы записывать не будем из-за громоздкости.

Все эти рассуждения можно провести и для случая, когда обе системы левые, или разной ориентации.

Тема 5. Линейные преобразования.

Системой координат называют способ, позволяющий с помощью чисел однозначно установить положение точки относительно некоторой геометрической фигуры. Примерами могут служить система координат на прямой – координатная ось и прямоугольные декартовы системы координат соответственно на плоскости и в пространстве.

Выполним переход от одной системы координат xy на плоскости к другой системе , т.е. выясним, как связаны между собой декартовы координаты одной и той же точки в этих двух системах.

Рассмотрим сначала параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат xy, т. е. случай, когда оси и новой системы параллельны соответствующим осям x и y старой системы и имеют с ними одинаковые направления.

Если известны координаты точек M (x; y) и (a; b) в системе xy, то (рис.15) в системе точка М имеет координаты: .

Пусть отрезок ОМ длины ρ образует угол с осью и . Тогда (рис.16) с осью х отрезок ОМ образует угол и координаты точки M в системе хy равны , .

Учитывая, что в системе координаты точки М равны и , получаем

При повороте же на угол «по часовой стрелке» соответственно получим:

Задача 0.54 . Определить координаты точки М(-3; 7) в новой системе координат x / y / , начало 0 / которой находится в точке (3; -4), а оси параллельны осям старой системы координат и одинаково с ними направлены.

Решение . Подставим известные координаты точек М и О / в формулы: x / = x-a, y / = y-b.
Получим: x / = -3-3=-6, y / = 7-(-4)=11. Ответ : М / (-6; 11).

§2. Понятие линейного преобразования, его матрица.

Если каждому элементу х множества Х по некоторому правилу f соответствует один и только один элемент y множества Y, то говорят, что задано отображение f множества Х в множество Y, а множество Х называют областью определения отображения f. Если, в частности, элементу х 0 Î Х соответствует элемент у 0 Î Y, то пишут у 0 = f (х 0). В этом случае элемент у 0 называют образом элемента х 0 , а элемент х 0 - прообразом элемента у 0 . Подмножество Y 0 множества Y, состоящее из всех образов, называют множеством значений отображения f.

Если при отображении f различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества Y, то отображение f называют обратимым .

Если У 0 =У, то отображение f называют отображением множества Х на множествоY.

Обратимое отображение множества Х на множество Y называют взаимно однозначным .

Частными случаями понятия отображения множества в множество являются понятие числовой функции и понятие геометрического отображения .

Если отображение f каждому элементу множества Х сопоставляет единственный элемент этого же множества Х, то такое отображение называют преобразованием множества Х.

Пусть задано множество n-мерных векторов линейного пространства L n .

Преобразование f n-мерного линейного пространства L n называют линейным преобразованием, если

для любых векторов из L n и любых действительных чисел α и β. Иначе говоря, преобразование называется линейным, если линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.

Если в некотором базисе задан вектор и преобразование f линейное, то по определению , где -образы базисных векторов.

Следовательно, линейное преобразование вполне определено , если заданы образы базисных векторов рассматриваемого линейного пространства:

(12)

Матрицу в которой k-тый столбец является координатным столбцом вектора в базисе , называют матрицей линейногопреобразования f в этом базисе.

Определитель det L называют определителем преобразования f и Rg L называют рангом линейного преобразования f.

Если матрица линейного преобразования невырожденная, то и само преобразование невырожденное. Оно преобразует взаимно однозначно пространство L n в себя самого, т.е. каждый вектор из L n является образом его некоторого единственного вектора.

Если матрица линейного преобразования вырожденная, то и само преобразование вырожденное. Оно преобразует линейное пространство L n в некоторую его часть.

Теорема. В результате применения линейного преобразования f с матрицей L к вектору получается вектор такой, что .

Числа, записанные в скобках, являются координатами вектора по базису :

(13)

По определению операции умножения матриц систему (13) можно заменить матричным

равенством , что и требовалось доказать.

Примеры линейных преобразований.

1. Растяжение вдоль оси х в к 1 раз, а вдоль оси у в к 2 раз на плоскости ху определяется матрицей и формулы преобразования координат имеют вид: х / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. Зеркальное отражение относительно оси у на плоскости ху определяется матрицей и формулы преобразования координат имеют вид: x / = -x, y / = y.