Данный онлайн калькулятор производит разложение чисел на простые множители методом перебора простых делителей. Если число большое, то для удобства представления пользуйтесь разделителем разрядов.
Результат уже получен!
Разложение числа на простые множители − теория, алгоритм, примеры и решения
Один из простейших способов разложить число на простые множители − это проверить, делится ли данное число на 2, 3, 5 ,... и т.д., т.е. проверить, делится ли число на ряд простых чисел. Если число n не делится ни на какое простое число до , то даннаое число является простым, т.к. если число составное, то имеет по крайней мере два множителя и оба они не могут быть больше .
Представим алгоритм разложения числа n на простые множители. Подготовим заранее таблицу простых чисел до s =. Обозначим ряд простых чисел через p 1 , p 2 , p 3 , ...
Алгоритм разложения числа на простые делители:
Пример 1. Разложить число 153 на простые множители.
Решение.
Нам достаточно иметь таблицу простых чисел до 
, т.е. 2, 3, 5, 7, 11.
Делим 153 на 2. 153 не делится на 2 без остатка. Далее делим 153 на следующий элемент таблицы простых чисел, т.е. на 3. 153:3=51. Заполняем таблицу:
Далее проверяем, делится ли число 17 на 3. Число 17 не делится на 3. Оно не делится и на числа 5, 7, 11. Следующий делитель больше . Следовательно 17 простое число, которое делится только на себя: 17:17=1. Процедура остановлена. заполняем таблицу:
Выбираем те делители, на которых числа 153, 51, 17 делились без остатка, т.е. все числа с правой стороны таблицы. Это делители 3, 3, 17. Теперь число 153 можно представить в виде произведения простых чисел: 153=3·3·17.
Пример 2. Разложить число 137 на простые множители.
Решение.
Вычисляем 
. Значит нам нужно проверить делимость числа 137 на простые числа до 11: 2,3,5,7,11. Поочередно делив число 137 на эти числа выясняем, что число 137 не делится ни на одно из чисел 2,3,5,7,11. Следовательно 137 простое число.
Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.
Чем отличаются простые и составные числа
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.
Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.
- Например, число 7 простое, а число 8 составное.
Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.
Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.
Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.
Разложение числа на простые множители
Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.
При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.
Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.
- Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.
Разложим число 378 на простые множители
Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.
Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.
378|2
189|3
63|3
21|3
Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.
Определения:
Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.
Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.
Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.
Замечания:
- В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
- Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
- Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.
|
Разложим число 150 на множители. Например, 150 - это 15 умножить на 10. 15 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150. |
|
|
|
Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 - это произведение чисел 5 и 30. 5 - число простое. 30 - это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 - число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом. |
|
Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания. |
|
|
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей. |
|
При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:
 |
Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108. |
|
Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54. |
|
|
Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27. |
|
|
Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1. |
|
- Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
- Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.
Рассмотрим примеры:
|
4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13. |
|
|
11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11. 11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка. |
Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
|
Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a. |
|
|
Результат деления a на b - это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30. |
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
- Интернет-портал Matematika-na.ru ().
- Интернет-портал Math-portal.ru ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
- Другие задания: № 133, № 144.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
(кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами . Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными ) числами . Простых чисел - бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.
Например , запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа — множителями или сомножителями . Первый множитель иногда называется «множимое ».
Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.
Разложение числа на множители (Факторизация).
Разложение на множители (факторизация) - перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
Т.е., простым языком, факторизация - это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.
Последовательность действий при разложении на простые множители:
1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.