matematika është një simbol i urtësisë së shkencës,
një model i ashpërsisë dhe thjeshtësisë shkencore,
standardi i përsosmërisë dhe bukurisë në shkencë.
Filozofi rus, profesor A.V. Voloshinov
Pabarazitë e moduleve
Problemet më të vështira për t'u zgjidhur të matematikës shkollore janë pabarazitë, që përmban variabla nën shenjën e modulit. Për të zgjidhur me sukses pabarazi të tilla, është e nevojshme të njihen mirë vetitë e modulit dhe të kenë aftësitë për t'i përdorur ato.
Konceptet dhe vetitë themelore
Moduli (vlera absolute) i një numri real shënohet dhe përcaktohet si më poshtë:
Karakteristikat e thjeshta të një moduli përfshijnë raportet e mëposhtme:
DHE .
Shënim, se dy vetitë e fundit janë të vlefshme për çdo shkallë çift.
Përveç kësaj, nëse, ku, atëherë
Karakteristikat më komplekse të modulit, të cilat mund të përdoren në mënyrë efektive për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive me modul, formulohen me anë të teoremave të mëposhtme:
Teorema 1.Për çdo funksion analitik dhe pabarazia është e vërtetë.
Teorema 2. Barazia baraz me pabarazi.
Teorema 3. Barazia baraz me pabarazi.
Pabarazitë më të zakonshme në matematikën shkollore, që përmban variabla të panjohura nën shenjën e modulit, janë pabarazi të formës dhe ku disa konstante pozitive.
Teorema 4. Pabarazia është e barabartë me pabarazinë e dyfishtë, dhe zgjidhja e pabarazisëreduktohet në zgjidhjen e grupit të pabarazive dhe .
Kjo teoremë është një rast i veçantë i teoremave 6 dhe 7.
Pabarazi më komplekse, që përmbajnë modulin janë pabarazitë e formës, dhe .
Metodat për zgjidhjen e pabarazive të tilla mund të formulohen duke përdorur tre teoremat e mëposhtme.
Teorema 5. Pabarazia është e barabartë me kombinimin e dy sistemeve të pabarazive
Dhe (1)
Dëshmi. Që atëherë
Kjo nënkupton vlefshmërinë e (1).
Teorema 6. Pabarazia është ekuivalente me sistemin e pabarazive
Dëshmi. Sepse, pastaj nga pabarazia vijon se ... Në këtë kusht, pabaraziadhe në këtë rast sistemi i dytë i pabarazive (1) rezulton të jetë jokonsistent.
Teorema është vërtetuar.
Teorema 7. Pabarazia është e barabartë me një kombinim të një pabarazie dhe dy sistemesh pabarazish
Dhe (3)
Dëshmi. Që atëherë pabarazia ekzekutuar gjithmonë, nëse .
Le te jete , pastaj pabaraziado të jetë ekuivalente me pabarazinë, nga e cila rrjedh bashkësia e dy inekuacioneve dhe .
Teorema është vërtetuar.
Le të shqyrtojmë shembuj tipikë të zgjidhjes së problemeve në temën "Pabarazitë, që përmban variabla nën shenjën e modulit ".
Zgjidhja e inekuacioneve me modul
Metoda më e thjeshtë për zgjidhjen e pabarazive me modul është metoda, bazuar në zgjerimin e moduleve. Kjo metodë është e gjithanshme, megjithatë, në përgjithësi, zbatimi i tij mund të çojë në llogaritje shumë të rënda. Prandaj, studentët duhet të dinë metoda dhe teknika të tjera (më efektive) për zgjidhjen e pabarazive të tilla. Veçanërisht, ju duhet të keni aftësi në zbatimin e teoremave, dhënë në këtë artikull.
Shembulli 1.Zgjidhja e pabarazisë
. (4)
Zgjidhje.Pabarazia (4) do të zgjidhet me metodën "klasike" - metoda e zgjerimit të moduleve. Për këtë qëllim, ne ndajmë boshtin numerik pikë dhe në intervale dhe shqyrtoni tre raste.
1. Nëse, atëherë,,, dhe pabarazia (4) merr formën ose .
Meqenëse rasti është shqyrtuar këtu, ai është një zgjidhje për pabarazinë (4).
2. Nëse, atëherë nga pabarazia (4) marrim ose ... Që nga kryqëzimi i intervaleve dhe eshte bosh, atëherë në intervalin e konsideruar nuk ka zgjidhje për pabarazinë (4).
3. Nëse, atëherë pabarazia (4) merr formën ose . Është e qartë se është gjithashtu një zgjidhje për pabarazinë (4).
Përgjigje: ,.
Shembulli 2. Zgjidhja e pabarazisë.
Zgjidhje. Supozoni se. Sepse, atëherë pabarazia e dhënë merr formën ose . Që atëherë dhe kështu vijon ose .
Megjithatë, pra, ose.
Shembulli 3. Zgjidhja e pabarazisë
. (5)
Zgjidhje. Sepse, atëherë pabarazia (5) është ekuivalente me pabarazitë ose . Prandaj, sipas teoremës 4, kemi një grup pabarazish dhe .
Përgjigje: ,.
Shembulli 4.Zgjidhja e pabarazisë
. (6)
Zgjidhje. Le të shënojmë. Pastaj nga pabarazia (6) fitojmë pabarazitë,, ose.
Prandaj, duke përdorur metodën e ndarjes, marrim. Sepse, atëherë këtu kemi një sistem pabarazish
Zgjidhja e pabarazisë së parë të sistemit (7) është bashkimi i dy intervaleve dhe , dhe zgjidhja e mosbarazimit të dytë është mosbarazimi i dyfishtë... Kjo nënkupton, se zgjidhja e sistemit të pabarazive (7) është bashkimi i dy intervaleve dhe .
Përgjigje:,
Shembulli 5.Zgjidhja e pabarazisë
. (8)
Zgjidhje. Ne e transformojmë pabarazinë (8) si më poshtë:
Ose .
Zbatimi i metodës së ndarjes, marrim një zgjidhje për pabarazinë (8).
Përgjigje:.
Shënim. Nëse vendosim dhe në gjendjen e Teoremës 5, atëherë marrim.
Shembulli 6. Zgjidhja e pabarazisë
. (9)
Zgjidhje. Pabarazia (9) nënkupton... Ne e transformojmë pabarazinë (9) si më poshtë:
Ose
Që atëherë ose.
Përgjigje:.
Shembulli 7.Zgjidhja e pabarazisë
. (10)
Zgjidhje. Që dhe, atëherë ose.
Ne kete aspekt dhe pabarazia (10) merr formën
Ose
. (11)
Prandaj rrjedh se ose. Meqenëse, atëherë pabarazia (11) gjithashtu nënkupton ose.
Përgjigje:.
Shënim. Nëse zbatojmë teoremën 1 në anën e majtë të pabarazisë (10), atëherë marrim ... Nga kjo dhe pabarazia (10) rrjedh, atë ose. Sepse, atëherë pabarazia (10) merr formën ose .
Shembulli 8. Zgjidhja e pabarazisë
. (12)
Zgjidhje. Që atëherë dhe pabarazia (12) nënkupton ose . Megjithatë, pra, ose. Nga këtu marrim ose.
Përgjigje:.
Shembulli 9. Zgjidhja e pabarazisë
. (13)
Zgjidhje. Sipas Teoremës 7, zgjidhja e pabarazisë (13) është ose.
Lëreni tani. Në këtë rast dhe pabarazia (13) merr formën ose .
Nëse kombinoni intervalet dhe , atëherë marrim një zgjidhje të pabarazisë (13) të formës.
Shembulli 10. Zgjidhja e pabarazisë
. (14)
Zgjidhje. Le ta rishkruajmë pabarazinë (14) në një formë ekuivalente:. Nëse zbatojmë teoremën 1 në anën e majtë të kësaj pabarazie, atëherë marrim pabarazinë.
Nga kjo dhe teorema 1 rrjedh, se pabarazia (14) vlen për çdo vlerë.
Përgjigje: çdo numër.
Shembulli 11. Zgjidhja e pabarazisë
. (15)
Zgjidhje. Zbatimi i teoremës 1 në anën e majtë të pabarazisë (15), marrim ... Kjo dhe pabarazia (15) japin ekuacionin, e cila ka formën.
Sipas teoremës 3, ekuacioni baraz me pabarazi... Nga kjo marrim.
Shembulli 12.Zgjidhja e pabarazisë
. (16)
Zgjidhje... Nga pabarazia (16), sipas teoremës 4, marrim sistemin e pabarazive
Gjatë zgjidhjes së pabarazisëne përdorim teoremën 6 dhe marrim sistemin e pabarazivenga e cila rrjedh.
Merrni parasysh pabarazinë... Sipas teoremës 7, marrim bashkësinë e pabarazive dhe . Pabarazia e dytë e popullsisë është e vlefshme për çdo real.
Prandaj , zgjidhja e pabarazisë (16) është.
Shembulli 13.Zgjidhja e pabarazisë
. (17)
Zgjidhje. Sipas teoremës 1, ne mund të shkruajmë
(18)
Duke marrë parasysh pabarazinë (17), arrijmë në përfundimin se të dyja pabarazitë (18) kthehen në barazi, d.m.th. vlen sistemi i ekuacioneve
Nga teorema 3, ky sistem ekuacionesh është i barabartë me sistemin e pabarazive
ose
Shembulli 14.Zgjidhja e pabarazisë
. (19)
Zgjidhje. Që atëherë. Ne i shumëzojmë të dyja anët e pabarazisë (19) me një shprehje që merr vetëm vlera pozitive për çdo vlerë. Pastaj marrim një pabarazi, e cila është ekuivalente me pabarazinë (19), të formës
Nga këtu marrim ose, ku. Që dhe, atëherë zgjidhja e pabarazisë (19) është dhe .
Përgjigje: ,.
Për një studim më të thellë të metodave për zgjidhjen e pabarazive me një modul, mund të këshilloni duke iu referuar mësimeve, renditur në listën e leximeve të rekomanduara.
1. Mbledhja e problemave në matematikë për aplikantët në fakultetet teknike / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Paqja dhe Arsimi, 2013 .-- 608 f.
2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: metoda për zgjidhjen dhe vërtetimin e pabarazive. - M .: Lenand / URSS, 2018 .-- 264 f.
3. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: metoda jo standarde për zgjidhjen e problemeve. - M .: KD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 296 f.
Ende keni pyetje?
Për të marrë ndihmë nga një tutor - regjistrohu.
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
MOU "Shkolla e mesme Hvastovichskaya"
"Metoda e intervalit për zgjidhjen e ekuacioneve dhe inekuacioneve me module të shumta"
Punë kërkimore në matematikë
Kryhet:
nxënës i klasës 10 "b"
Golysheva Evgeniya
Mbikëqyrësi:
mësues matematike
Shapenskaya E.N.
Prezantimi ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… 4 1.1 Përkufizimi i modulit. Zgjidhja sipas definicionit. ........................ ..................... 4 1.2 zgjidhjen e ekuacioneve me disa module përdorur metodën e intervale ... .. 5 1.3 ... Detyra me module të shumta. Metodat e zgjidhjes ………………………………… 7 1.4. Metoda e intervaleve në problemat me modulet ……………………………………… ...... 9 Kapitulli 2. Ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë module…………………………….… 11 2.1 Zgjidhje të ekuacioneve me module të shumta duke përdorur metodën e intervalit ..… .11 2.2 Zgjidhjet e pabarazive me module të shumta duke përdorur metodën e intervalit.… 13 Përfundim …………………………………………………… ……………………………………… ... 15 Literatura ……………………………………………………………………. ………….… . 16
Prezantimi
Koncepti i një vlere absolute është një nga karakteristikat më të rëndësishme të një numri, si në fushën e numrave realë ashtu edhe në fushën e numrave kompleksë. Ky koncept përdoret gjerësisht jo vetëm në seksione të ndryshme të kursit të matematikës shkollore, por edhe në kurset e matematikës, fizikës dhe shkencave teknike të larta të studiuara në universitete. Problemet që lidhen me vlerat absolute hasen shpesh në olimpiadat e matematikës, në provimet e pranimit në universitete dhe në Provimin e Unifikuar të Shtetit.
Tema:"Metoda e intervalit për zgjidhjen e ekuacioneve dhe inekuacioneve me disa module me metodën e intervalit."
Zona objektive: matematika.
Objekti i studimit: zgjidhje e ekuacioneve dhe inekuacioneve me modul.
Lënda e studimit: metodë intervali për zgjidhje me module të shumta.
Qëllimi i studimit: të zbulojë efikasitetin e zgjidhjes së ekuacioneve dhe inekuacioneve me disa module me metodën e intervalit.
Hipoteza: nëse përdorni metodën e intervaleve për të zgjidhur pabarazitë dhe ekuacionet me disa module, mund ta lehtësoni shumë punën tuaj.
Metodat e punës: mbledhjen e informacionit dhe analizën e tij.
Detyrat:
Studioni literaturën për këtë temë.
Konsideroni zgjidhjet e pabarazive dhe ekuacioneve me module të shumta.
Identifikoni zgjidhjen më efektive.
Fokusi praktik i projektit:
Kjo vepër mund të përdoret si mjet mësimor për nxënësit dhe si mjet mësimor për mësuesit.
Kapitulli 1.
1.1 Përkufizimi i modulit. Vendimi sipas përkufizimit.
Sipas përkufizimit, moduli, ose vlera absolute, e një numri jonegativ a përkon me vetë numrin, dhe moduli i një numri negativ është i barabartë me numrin e kundërt, domethënë - a:
Vlera absolute e një numri është gjithmonë jo negative. Le të shohim disa shembuj.
Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin | –x | = –3.
Nuk është e nevojshme të organizohet analiza e rasteve këtu, sepse vlera absolute e një numri është gjithmonë jo negative, dhe për këtë arsye, ky ekuacion nuk ka zgjidhje.
Le të shkruajmë zgjidhjen e këtyre ekuacioneve më të thjeshta në formë të përgjithshme:
Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin | x | = 2 - x.
Zgjidhje. Për x 0, kemi ekuacionin x = 2 - x, d.m.th. x = 1. Meqenëse 1 0, x = 1 është rrënja e ekuacionit origjinal. Në rastin e dytë (x
Përgjigje: x = 1.
Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin 3 | x - 3 | + x = –1.
Zgjidhje. Këtu ndarja në raste përcaktohet me shenjën e shprehjes x - 3. Për x - 3 ³ 0, kemi 3x - 9 + x = –1 Û x = 2. Por 2 - 3 0.
Përgjigje: ekuacioni nuk ka rrënjë.
Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin | x - 1 | = 1 - x.
Zgjidhje. Meqenëse 1 - x = - (x - 1), rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i modulit se ekuacioni plotësohet nga ata dhe vetëm ata x për të cilët x - 1 0. Ky ekuacion reduktohet në një pabarazi, dhe përgjigja është një interval (rreze) i tërë.
Përgjigje: x 1.
1.2. Zgjidhja e ekuacioneve me një modul duke përdorur sisteme.
Shembujt e diskutuar më parë bëjnë të mundur formulimin e rregullave për përjashtimin nga shenja e modulit në ekuacione. Për ekuacionet e formës | f (x) | = g (x) ekzistojnë dy rregulla të tilla:
Rregulli i parë: | f (x) | = g (x) Û (1)
Rregulli i dytë: | f (x) | = g (x) Û (2)
Le të shpjegojmë shënimin e përdorur këtu. Kllapat kaçurrelë përfaqësojnë sisteme, dhe kllapat katrore përfaqësojnë agregatët.
Zgjidhjet për një sistem ekuacionesh janë vlerat e një ndryshoreje që përmbushin njëkohësisht të gjitha ekuacionet në sistem.
Zgjidhjet e grupit të ekuacioneve janë të gjitha vlerat e ndryshores, secila prej të cilave është rrënja e të paktën një prej ekuacioneve të grupit.
Dy ekuacione janë ekuivalente nëse ndonjë zgjidhje për secilën prej tyre është gjithashtu zgjidhje e tjetrës, me fjalë të tjera, nëse bashkësitë e zgjidhjeve të tyre përputhen.
Nëse ekuacioni përmban disa module, atëherë mund t'i hiqni qafe ato me radhë, duke përdorur rregullat e dhëna. Por zakonisht ka shtigje më të shkurtra. Ne do t'i njohim më vonë, por tani do të shqyrtojmë zgjidhjen e më të thjeshtëve prej këtyre ekuacioneve:
| f (x) | = | g (x) | Û
Kjo ekuivalencë rrjedh nga fakti i qartë se nëse vlerat absolute të dy numrave janë të barabarta, atëherë vetë numrat janë ose të barabartë ose të kundërt.
Shembulli 1... Zgjidheni ekuacionin | x 2 - 7x + 11 | = x + 1.
Zgjidhje. Le të heqim qafe modulin në dy mënyra të përshkruara më sipër:
Metoda 1: Metoda 2:
Siç mund ta shihni, në të dyja rastet është e nevojshme të zgjidhen të njëjtat dy ekuacione kuadratike, por në rastin e parë ato shoqërohen me pabarazi kuadratike, dhe në të dytën - një lineare. Prandaj, metoda e dytë për këtë ekuacion është më e thjeshtë. Duke zgjidhur ekuacionet kuadratike, gjejmë rrënjët e të parit, të dyja rrënjët plotësojnë pabarazinë. Diskriminuesi i ekuacionit të dytë është negativ, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë.
Përgjigje:.
Shembulli 2... Zgjidheni ekuacionin | x 2 - x - 6 | = | 2x 2 + x - 1 |.
Zgjidhje. Tashmë e dimë se nuk është e nevojshme të shqyrtohen (deri në 4) variante të shpërndarjes së shenjave të shprehjeve nën modulet këtu: ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh kuadratike pa ndonjë pabarazi shtesë: Cila është ekuivalente: Ekuacioni i parë i grupit të zgjidhjeve nuk ka (diskriminuesi i tij është negativ), i dyti ekuacioni ka dy rrënjë.
1.3. Detyra me module të shumta. Metodat e zgjidhjes.
Zbulimi i njëpasnjëshëm i moduleve.
Ekzistojnë dy qasje kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive që përmbajnë module të shumta. Ju mund t'i quani ato "sekuenciale" dhe "paralele". Tani le të njihemi me të parën prej tyre.
Ideja e tij është që së pari një nga modulet të izolohet në një pjesë të ekuacionit (ose pabarazisë) dhe të zbulohet me një nga metodat e përshkruara më parë. Më pas e njëjta gjë përsëritet me secilin prej ekuacioneve që rezultojnë me modul e kështu me radhë, derisa të heqim qafe të gjithë modulët.
Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin: +
Zgjidhje. Ne do të izolojmë modulin e dytë dhe do ta hapim duke përdorur metodën e parë, domethënë thjesht duke përcaktuar vlerën absolute:
Ne aplikojmë metodën e dytë për të hequr qafe modulin në dy ekuacionet e marra:
Së fundi, ne zgjidhim katër ekuacionet lineare që rezultojnë dhe zgjedhim ato rrënjë që plotësojnë pabarazitë përkatëse. Si rezultat, mbeten vetëm dy vlera: x = –1 dhe.
Përgjigje: -1; ...
Zgjerimi paralel i moduleve.
Ju mund të hiqni të gjitha modulet në një ekuacion ose pabarazi menjëherë dhe të shkruani të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të shprehjeve nënmodulare. Nëse ka n module në ekuacion, atëherë do të ketë 2 n variante, sepse secila prej n shprehjeve nën modul, kur hiqni modulin, mund të marrë një nga dy shenjat - plus ose minus. Në thelb, ne duhet të zgjidhim të gjitha 2 n ekuacionet (ose pabarazitë), të liruara nga modulet. Por zgjidhjet e tyre do të jenë gjithashtu zgjidhje për problemin origjinal vetëm nëse ato shtrihen në rajonet ku ekuacioni (pabarazia) përkatës përkon me atë origjinal. Këto zona identifikohen nga shenjat e shprehjes nën module. Ne kemi zgjidhur tashmë pabarazinë e radhës, kështu që ju mund të krahasoni qasje të ndryshme për zgjidhjen.
Shembulli 2.+
Zgjidhje.
Le të shqyrtojmë 4 grupe të mundshme të simboleve të shprehjes nën module.
Vetëm e para dhe e treta e këtyre rrënjëve plotësojnë pabarazitë përkatëse dhe rrjedhimisht ekuacionin origjinal.
Përgjigje: -1; ...
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të zgjidhni çdo problem me disa module. Por, si çdo metodë universale, kjo zgjidhje nuk është gjithmonë optimale. Më poshtë do të shohim se si mund të përmirësohet.
1.4. Metoda e intervalit në detyrat me module
Duke parë më nga afër kushtet që specifikojnë variante të ndryshme të shpërndarjes së shenjave të shprehjeve nënmodulare në zgjidhjen e mëparshme, do të shohim se njëra prej tyre, 1 - 3x
Imagjinoni që po zgjidhim një ekuacion që përfshin tre njësi shprehjesh lineare; për shembull, | x - a | + | x - b | + | x - c | = m.
Moduli i parë është x - a për x ³ a dhe a - x për x b dhe x
Ata formojnë katër hapësira. Në secilën prej tyre, secila prej shprehjeve nën moduli ruan shenjën, prandaj, ekuacioni në tërësi pas zgjerimit të modulit ka të njëjtën formë në çdo interval. Pra, nga 8 opsionet teorikisht të mundshme për zgjerimin e moduleve, vetëm 4 na mjaftuan!
Ju gjithashtu mund të zgjidhni çdo problem me disa module. Domethënë, boshti numerik ndahet në intervale të qëndrueshmërisë së të gjitha shprehjeve nën module, dhe më pas në secilën prej tyre zgjidhet ekuacioni ose pabarazia në të cilën problemi i dhënë kthehet në këtë interval. Në veçanti, nëse të gjitha shprehjet nën module janë racionale, atëherë mjafton të shënohen rrënjët e tyre në bosht, si dhe pikat ku ato nuk janë të përcaktuara, domethënë rrënjët e emëruesve të tyre. Pikat e shënuara dhe përcaktojnë intervalet e kërkuara të qëndrueshmërisë. Ne veprojmë në të njëjtën mënyrë kur zgjidhim pabarazitë racionale duke përdorur metodën e intervalit. Dhe metoda që kemi përshkruar për zgjidhjen e problemeve me module ka të njëjtin emër.
Shembulli 1... Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhje. Le të gjejmë zerot e funksionit, prej nga. Ne e zgjidhim problemin në çdo interval:
Pra, ky ekuacion nuk ka zgjidhje.
Shembulli 2... Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhje. Gjeni zerat e funksionit. Ne e zgjidhim problemin në çdo interval:
1) (pa zgjidhje);
Shembulli 3... Zgjidhe ekuacionin.
Zgjidhje. Shprehjet nën shenjën e vlerës absolute zhduken në. Prandaj, duhet të shqyrtojmë tre raste:
2) është rrënja e ekuacionit;
3) është rrënja e këtij ekuacioni.
Kapitulli 2. Ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë module.
2.1 Zgjidhja e ekuacioneve me module të shumta duke përdorur metodën e intervalit.
Shembulli 1.
Zgjidhe ekuacionin:
| x + 2 | = | x-1 | + x-3
- (x + 2) = - (x-1) + x-3
X-2 = -x + 1 + x-3
x = 2 - nuk kënaq
kushti x
asnjë zgjidhje
2. Nëse -2≤x
x + 2 = - (x-1) + x-3
kënaq
gjendje -2
3. Nëse x≥1, atëherë
Përgjigje: x = 6
Shembulli 2.
Zgjidhe ekuacionin:
1) Gjeni zero të shprehjeve të nënmoduleve
Zerot e shprehjeve të nënmoduleve ndajnë boshtin e numrave në intervale të shumta. Ne vendosim shenjat e shprehjeve të nënmoduleve në këto intervale.
Në çdo interval, ne hapim modulet dhe zgjidhim ekuacionin që rezulton. Pas gjetjes së rrënjës, kontrollojmë që ajo i përket intervalit në të cilin po punojmë aktualisht.
1. :
- përshtatet.
2. :
- nuk përshtatet.
3. :
– përshtatet.
4. :
- nuk përshtatet. Përgjigje:
2.2 Zgjidhja e inekuacioneve me module të shumta duke përdorur metodën e intervalit.
Shembulli 1.
Zgjidh pabarazinë:
| x-1 | + | x-3 | 4
- (x-1) - (x-3) 4
2. Nëse 1≤x
x-1– (x-3) 4
24 - jo e vërtetë
asnjë zgjidhje
3. Nëse x≥3, atëherë
Përgjigje: хЄ (-∞; 0) U (4; + ∞)
Shembulli 2.
Zgjidh pabarazinë
Zgjidhje. Pikat dhe (rrënjët e shprehjeve poshtë modulit) ndajnë të gjithë boshtin numerik në tre intervale, në secilën prej të cilave modulet duhet të zgjerohen.
1) Kur është i kënaqur, dhe pabarazia ka formën, d.m.th. Në këtë rast, përgjigja.
2) Kur është i kënaqur, pabarazia ka formën, d.m.th. Kjo pabarazi është e vërtetë për çdo vlerë të ndryshores dhe, duke qenë se e zgjidhim atë në një grup, marrim përgjigjen në rastin e dytë.
3) Kur plotësohet, pabarazia shndërrohet në dhe zgjidhja në këtë rast. Zgjidhja e përgjithshme e pabarazisë është bashkimi i tre përgjigjeve të marra.
Kështu, për të zgjidhur ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë disa module, është e përshtatshme të përdoret metoda e intervaleve. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të gjesh zerot e piketave të funksioneve nënmodulare, t'i shënosh ato në ODZ të ekuacionit dhe pabarazive.
konkluzioni
Kohët e fundit, në matematikë, metodat janë përdorur gjerësisht për të thjeshtuar zgjidhjen e problemeve, në veçanti, metoda e intervalit, e cila bën të mundur përshpejtimin e ndjeshëm të llogaritjeve. Prandaj, studimi i metodës së intervalit për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive me disa module është i rëndësishëm.
Gjatë punës me temën "Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive që përmbajnë të panjohurën nën modul me metodën e intervalit": studiova literaturën për këtë çështje, u njoha me qasjen algjebrike dhe grafike të zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive që përmbajnë të panjohurën nën modul. dhe doli në përfundimin:
Në disa raste, kur zgjidhen ekuacionet me një modul, është e mundur të zgjidhen ekuacionet sipas rregullave, dhe ndonjëherë është më e përshtatshme të përdoret metoda e intervalit.
Kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë një modul, metoda e intervaleve është më intuitive dhe relativisht më e thjeshtë.
Gjatë shkrimit të një punimi kërkimor, zbulova shumë probleme që mund të zgjidhen duke përdorur metodën e intervalit. Detyra më e rëndësishme është zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive me module të shumta.
Gjatë punës sime për zgjidhjen e pabarazive dhe ekuacioneve me module të shumta duke përdorur metodën e intervalit, zbulova se shpejtësia e zgjidhjes së problemeve u dyfishua. Kjo ju lejon të shpejtoni ndjeshëm rrjedhën e punës dhe të zvogëloni kostot e kohës. Kështu, hipoteza ime "nëse përdorni metodën e intervaleve për të zgjidhur pabarazitë dhe ekuacionet me disa module, ju mund ta lehtësoni shumë punën tuaj" u konfirmua. Gjatë punës kërkimore, fitova përvojë në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive me module të shumta. Mendoj se njohuritë që kam marrë do të më lejojnë të shmang gabimet kur marr një vendim.
Letërsia
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve me I.I. M .: Shtëpia botuese Factorial, 2009. - 112 f.
Olekhnik S.N. Potapov M.K. Ekuacionet dhe pabarazitë. Metodat jo standarde të zgjidhjes. M .: Shtëpia botuese Factorial, 1997 .-- 219s.
Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. Ekuacionet dhe pabarazitë me module dhe metoda për zgjidhjen e tyre. M .: Shtëpia Botuese e Arsimit 2005. - 112 f.
Sadovnichy Yu.V. Provimi i Unifikuar i Shtetit. Workshop në matematikë. Zgjidhje ekuacionesh dhe inekuacionesh. Shndërrimi i shprehjeve algjebrike. M .: Shtëpia botuese Legion 2015 - 128 f.
A.V. Shevkin, Pabarazitë kuadratike. Metoda e intervaleve. M .: OOO "Fjala ruse - libër arsimor", 2003. - 32 f.
http://padabum.com
Metodat (rregullat) për zbulimin e pabarazive me modulet konsistojnë në zbulimin sekuencial të moduleve, duke përdorur intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave të funksioneve nënmodulare. Në versionin përfundimtar, përftohen disa pabarazi nga të cilat gjenden intervale ose intervale që plotësojnë kushtin e problemit.
Le të kalojmë në zgjidhjen e shembujve të zakonshëm në praktikë.
Pabarazitë lineare me module
Me lineare kuptojmë ekuacionet në të cilat ndryshorja hyn në ekuacion në mënyrë lineare.
Shembulli 1. Gjeni një zgjidhje për pabarazinë
Zgjidhja:
Nga deklarata e problemit rezulton se modulet kthehen në zero në x = -1 dhe x = -2. Këto pika ndajnë boshtin e numrave në intervale
Në secilin prej këtyre intervaleve, ne zgjidhim pabarazinë e dhënë. Për ta bërë këtë, para së gjithash, ne hartojmë vizatime grafike të zonave të qëndrueshmërisë së funksioneve nënmodulare. Ato përshkruhen si zona me shenja të secilit prej funksioneve
ose intervale me shenja të të gjitha funksioneve. 
Në intervalin e parë hapim modulet
Ne i shumëzojmë të dyja anët me minus një, dhe shenja në pabarazi do të ndryshojë në të kundërtën. Nëse e keni të vështirë të mësoheni me këtë rregull, atëherë mund të lëvizni secilën nga pjesët sipas shenjës për të hequr qafe minusin. Në versionin përfundimtar, ju do të merrni
Prerja e bashkësisë x> -3 me sipërfaqen në të cilën janë zgjidhur ekuacionet do të jetë intervali (-3; -2). Për ata që e kanë më të lehtë të kërkojnë zgjidhje, mund të vizatoni grafikisht kryqëzimin e këtyre zonave.
Kryqëzimi i përbashkët i zonave do të jetë zgjidhja. Me pabarazi të rreptë, skajet nuk përfshihen. Nëse nuk është e rreptë, kontrolloni me zëvendësim.
Në intervalin e dytë, marrim 
Seksioni do të jetë intervali (-2; -5/3). Grafikisht, zgjidhja do të duket kështu
Në intervalin e tretë, marrim
Kjo gjendje nuk jep zgjidhje në zonën e dëshiruar.
Meqenëse dy zgjidhje të gjetura (-3; -2) dhe (-2; -5/3) kufizohen në pikën x = -2, atëherë e kontrollojmë edhe atë.
Pra pika x = -2 është zgjidhja. Duke marrë parasysh këtë, zgjidhja e përgjithshme do të duket si (-3; 5/3).
Shembulli 2. Gjeni një zgjidhje për pabarazinë
| x-2 | - | x-3 |> = | x-4 |
Zgjidhja:
Pikat x = 2, x = 3, x = 4 janë zero të funksioneve nënmodulare. Për argumentet më pak se këto pika, funksionet nënmodulare janë negative, dhe për ato të mëdha, ato janë pozitive.
Pikat e ndajnë boshtin aktual në katër intervale. Zgjerojmë modulet sipas intervaleve të qëndrueshmërisë dhe zgjidhim pabarazitë.
1) Në intervalin e parë, të gjitha funksionet nënmodulare janë negative, prandaj, kur zgjerojmë modulet, ne e ndryshojmë shenjën në të kundërtën.
Kryqëzimi i vlerave të gjetura të x me intervalin në shqyrtim do të jetë grupi i pikave
2) Në intervalin midis pikave x = 2 dhe x = 3, funksioni i parë nënmodular është pozitiv, i dyti dhe i treti janë negativ. Duke zgjeruar modulet, marrim
një pabarazi që, në kryqëzimin me intervalin në të cilin zgjidhim, jep një zgjidhje - x = 3.
3) Në intervalin midis pikave x = 3 dhe x = 4, funksioni i parë dhe i dytë nënmodular janë pozitiv, dhe i treti është negativ. Bazuar në këtë, ne marrim
Ky kusht tregon se i gjithë intervali do të plotësojë pabarazinë me moduli.
4) Për vlerat x> 4, të gjitha funksionet janë me shenjë pozitive. Kur zgjerojmë modulet, ne nuk e ndryshojmë shenjën e tyre.
Gjendja e gjetur në kryqëzimin me një interval jep grupin e mëposhtëm të zgjidhjeve
Meqenëse pabarazia zgjidhet në të gjitha intervalet, mbetet për të gjetur të përbashkëtën e të gjitha vlerave të gjetura të x. Zgjidhja do të ishte dy intervale 
Kjo zgjidh shembullin.
Shembulli 3. Gjeni një zgjidhje për pabarazinë
|| x-1 | -5 |> 3-2x
Zgjidhja:
Kemi një pabarazi me modulin e modulit. Pabarazi të tilla zbulohen kur modulet janë të ndërthurura, duke filluar me ato që ndodhen më thellë.
Funksioni i nënmodulit x-1 shndërrohet në zero në pikën x = 1. Për vlera më të vogla për 1, është negative dhe pozitive për x> 1. Bazuar në këtë, ne hapim modulin e brendshëm dhe konsiderojmë pabarazinë në secilin prej intervaleve.
Së pari, merrni parasysh intervalin nga minus pafundësia në një 
Funksioni submodular është i barabartë me zero në pikën x = -4. Në vlera më të ulëta është pozitive, në vlera më të larta është negative. Zgjero modulin për x<-4:
Në kryqëzimin me rajonin në të cilin po shqyrtojmë marrim grupin e zgjidhjeve
Hapi tjetër është hapja e modulit në intervalin (-4; 1) 
Duke marrë parasysh zonën e zbulimit të modulit, marrim intervalin e zgjidhjes
MBANI MEND: nëse keni dy intervale që kufizojnë një pikë të përbashkët në parregullsi të tilla me module, atëherë, si rregull, është gjithashtu një zgjidhje.
Për ta bërë këtë, ju vetëm duhet të kontrolloni.
Në këtë rast, zëvendësoni pikën x = -4.
Pra x = -4 është zgjidhja.
Le të hapim modulin e brendshëm për x> 1
Funksioni i nënmodulit negativ për x<6.
Duke zgjeruar modulin, marrim
Ky kusht në seksionin me intervalin (1; 6) jep një grup bosh zgjidhjesh.
Për x> 6 marrim pabarazinë
Gjithashtu, zgjidhja mori një grup bosh.
Duke marrë parasysh të gjitha sa më sipër, zgjidhja e vetme e pabarazisë me moduli është intervali i mëposhtëm.
Pabarazitë me module që përmbajnë ekuacione kuadratike
Shembulli 4. Gjeni një zgjidhje për pabarazinë
| x ^ 2 + 3x |> = 2-x ^ 2 
Zgjidhja:
Funksioni i nënmodulit zhduket në pikat x = 0, x = -3. Zëvendësim i thjeshtë për minuset 
konstatojmë se është më pak se zero në intervalin (-3; 0) dhe pozitiv jashtë tij.
Le ta zgjerojmë modulin në zonat ku funksioni submodular është pozitiv 
Mbetet për të përcaktuar zonat ku funksioni katror është pozitiv. Për ta bërë këtë, ne përcaktojmë rrënjët e ekuacionit kuadratik 
Për lehtësi, ne zëvendësojmë pikën x = 0, e cila i përket intervalit (-2; 1/2). Funksioni është negativ në këtë interval, kështu që zgjidhja do të jetë bashkësitë e mëposhtme x 
Këtu, kllapat tregojnë skajet e zonave me zgjidhje, kjo është bërë me qëllim, duke marrë parasysh rregullin e mëposhtëm.
KUJTO: Nëse pabarazia me module, ose një pabarazi e thjeshtë është strikte, atëherë skajet e zonave të gjetura nuk janë zgjidhje, nëse pabarazitë nuk janë të rrepta (), atëherë skajet janë zgjidhje (të shënuara me kllapa katrore).
Ky rregull përdoret nga shumë mësues: nëse specifikohet një pabarazi strikte dhe gjatë llogaritjeve shkruani një kllapa katrore ([,]) në zgjidhje, ata automatikisht do ta llogarisin atë si një përgjigje të pasaktë. Gjithashtu, gjatë testimit, nëse specifikohet një pabarazi jo e rreptë me modulet, atëherë midis zgjidhjeve kërkoni zona me kllapa katrore.
Në intervalin (-3; 0), duke hapur modulin, ndryshoni shenjën e funksionit në të kundërtën 
Duke marrë parasysh zonën e zbulimit të pabarazisë, zgjidhja do të ketë formën
Së bashku me zonën e mëparshme, kjo do të japë dy gjysmë intervale
Shembulli 5. Gjeni një zgjidhje për pabarazinë
9x ^ 2- | x-3 |> = 9x-2 
Zgjidhja:
Jepet një pabarazi e lirshme, funksioni nënmodular i të cilit është i barabartë me zero në pikën x = 3. Në vlera më të ulëta është negative, në vlera më të larta është pozitive. Zgjero modulin në intervalin x<3.
Gjeni diskriminuesin e ekuacionit
dhe rrënjët 
Duke zëvendësuar pikën zero, zbulojmë se në intervalin [-1/9; 1] funksioni kuadratik është negativ, pra intervali është zgjidhje. Më pas, zgjeroni modulin për x> 3 
Nga moduli i numrit vetë ky numër quhet, nëse është jo negativ, ose i njëjti numër me shenjën e kundërt, nëse është negativ.
Për shembull, moduli i numrit 6 është 6, moduli i numrit -6 është gjithashtu 6.
Kjo do të thotë, vlera absolute e një numri kuptohet si vlera absolute, vlera absolute e këtij numri pa marrë parasysh shenjën e tij.
Është caktuar si më poshtë: | 6 |, | NS|, |a| etj.
(Për më shumë detaje, shihni seksionin "Moduli i numrave").
Ekuacionet me modul.
Shembulli 1 ... Zgjidhe ekuacionin|10 NS - 5| = 15.
Zgjidhje.
Sipas rregullit, një ekuacion është i barabartë me një kombinim të dy ekuacioneve:
10NS - 5 = 15
10NS - 5 = -15
Ne vendosim:
10NS = 15 + 5 = 20
10NS = -15 + 5 = -10
NS = 20: 10
NS = -10: 10
NS = 2
NS = -1
Përgjigju: NS 1 = 2, NS 2 = -1.
Shembulli 2 ... Zgjidhe ekuacionin|2 NS + 1| = NS + 2.
Zgjidhje.
Meqenëse moduli është një numër jo negativ, atëherë NS+ 2 ≥ 0. Prandaj:
NS ≥ -2.
Ne hartojmë dy ekuacione:
2NS + 1 = NS + 2
2NS + 1 = -(NS + 2)
Ne vendosim:
2NS + 1 = NS + 2
2NS + 1 = -NS - 2
2NS - NS = 2 - 1
2NS + NS = -2 - 1
NS = 1
NS = -1
Të dy numrat janë më të mëdhenj se -2. Prandaj, të dyja janë rrënjët e ekuacionit.
Përgjigju: NS 1 = -1, NS 2 = 1.
Shembulli 3
... Zgjidhe ekuacionin
|NS + 3| - 1
————— = 4
NS - 1
Zgjidhje.
Ekuacioni ka kuptim nëse emëruesi nuk është zero - do të thotë nëse NS≠ 1. Le të marrim parasysh këtë kusht. Veprimi ynë i parë është i thjeshtë - ne jo vetëm që heqim qafe fraksionin, por e transformojmë atë në mënyrë që të marrim modulin në formën e tij të pastër:
|NS+ 3 | - 1 = 4 ( NS - 1),
|NS + 3| - 1 = 4NS - 4,
|NS + 3| = 4NS - 4 + 1,
|NS + 3| = 4NS - 3.
Tani kemi vetëm shprehjen poshtë modulit në anën e majtë të ekuacionit. Leviz.
Moduli i një numri është një numër jo negativ - domethënë, ai duhet të jetë më i madh ose i barabartë me zero. Prandaj, ne zgjidhim pabarazinë:
4NS - 3 ≥ 0
4NS ≥ 3
NS ≥ 3/4
Kështu, kemi një kusht të dytë: rrënja e ekuacionit duhet të jetë së paku 3/4.
Në përputhje me rregullin, ne përpilojmë një grup prej dy ekuacionesh dhe i zgjidhim ato:
NS + 3 = 4NS - 3
NS + 3 = -(4NS - 3)
NS + 3 = 4NS - 3
NS + 3 = -4NS + 3
NS - 4NS = -3 - 3
NS + 4NS = 3 - 3
NS = 2
NS = 0
Morëm dy përgjigje. Le të kontrollojmë nëse ato janë rrënjët e ekuacionit origjinal.
Kishim dy kushte: rrënja e ekuacionit nuk mund të jetë e barabartë me 1 dhe duhet të jetë së paku 3/4. Kjo eshte NS ≠ 1, NS≥ 3/4. Vetëm një nga dy përgjigjet e marra i plotëson të dyja këto kushte - numri 2. Kjo do të thotë se vetëm ai është rrënja e ekuacionit origjinal.
Përgjigju: NS = 2.
Pabarazitë me modulin.
Shembulli 1 ... Zgjidhja e pabarazisë| NS - 3| < 4
Zgjidhje.
Rregulli i modulit thotë:
|a| = a, nëse a ≥ 0.
|a| = -a, nëse a < 0.
Moduli mund të ketë numra jo negativë dhe negativë. Prandaj, duhet t'i shqyrtojmë të dyja rastet: NS- 3 ≥ 0 dhe NS - 3 < 0.
1) Kur NS- 3 ≥ 0, pabarazia jonë fillestare mbetet ashtu siç është, vetëm pa shenjën e modulit:
NS - 3 < 4.
2) Kur NS - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(NS - 3) < 4.
Duke zgjeruar kllapat, marrim:
-NS + 3 < 4.
Kështu, nga këto dy kushte, arritëm në bashkimin e dy sistemeve të pabarazive:
NS - 3 ≥ 0
NS - 3 < 4
NS - 3 < 0
-NS + 3 < 4
Le t'i zgjidhim ato:
NS ≥ 3
NS < 7
NS < 3
NS > -1
Pra, ne kemi në përgjigjen tonë bashkimin e dy grupeve:
3 ≤ NS < 7 U -1 < NS < 3.
Përcaktoni vlerat më të vogla dhe më të mëdha. Këto janë -1 dhe 7. Në të njëjtën kohë NS më i madh se -1, por më pak se 7.
Përveç kësaj, NS≥ 3. Prandaj, zgjidhja e pabarazisë është e gjithë grupi i numrave nga -1 në 7, duke përjashtuar këta numra ekstremë.
Përgjigju: -1 < NS < 7.
Ose: NS ∈ (-1; 7).
Suplementet.
1) Ekziston një mënyrë më e thjeshtë dhe më e shkurtër për të zgjidhur pabarazinë tonë - një grafike. Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një bosht horizontal (Fig. 1).
Shprehje | NS - 3| < 4 означает, что расстояние от точки NS në pikën 3 është më pak se katër njësi. Ne shënojmë numrin 3 në bosht dhe numërojmë 4 ndarje majtas dhe djathtas prej tij. Në të majtë do të vijmë në pikën -1, në të djathtë - në pikën 7. Kështu, pikat NS ne thjesht i pamë pa i llogaritur ato.
Për më tepër, sipas kushtit të pabarazisë, vetë -1 dhe 7 nuk përfshihen në grupin e zgjidhjeve. Kështu, marrim përgjigjen:
1 < NS < 7.
2) Por ka një zgjidhje më shumë, e cila është më e thjeshtë edhe grafike. Për ta bërë këtë, pabarazia jonë duhet të përfaqësohet në formën e mëposhtme:
4 < NS - 3 < 4.
Në fund të fundit, kështu është sipas rregullit të modulit. Numri jonegativ 4 dhe numri i ngjashëm negativ -4 janë kufijtë për zgjidhjen e pabarazisë.
4 + 3 < NS < 4 + 3
1 < NS < 7.
Shembulli 2 ... Zgjidhja e pabarazisë| NS - 2| ≥ 5
Zgjidhje.
Ky shembull është dukshëm i ndryshëm nga ai i mëparshmi. Ana e majtë është më e madhe se 5 ose e barabartë me 5. Nga pikëpamja gjeometrike, zgjidhja e pabarazisë janë të gjithë numrat që janë në një distancë prej 5 njësi ose më shumë nga pika 2 (Fig. 2). Grafiku tregon se këta janë të gjithë numra që janë më të vegjël ose të barabartë me -3 dhe më të mëdhenj se ose të barabartë me 7. Pra, tashmë kemi marrë përgjigjen.
Përgjigju: -3 ≥ NS ≥ 7.
Gjatë rrugës, ne zgjidhim të njëjtin pabarazi duke e ndryshuar termin e lirë majtas dhe djathtas me shenjën e kundërt:
5 ≥ NS - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ NS ≥ 5 + 2
Përgjigja është e njëjtë: -3 ≥ NS ≥ 7.
Ose: NS ∈ [-3; 7]
Shembulli i zgjidhur.
Shembulli 3 ... Zgjidhja e pabarazisë 6 NS 2 - | NS| - 2 ≤ 0
Zgjidhje.
Numri NS mund të jetë pozitiv, negativ ose zero. Prandaj, duhet të kemi parasysh të tre rrethanat. Siç e dini, ato merren parasysh në dy pabarazi: NS≥ 0 dhe NS < 0. При NS≥ 0 ne thjesht e rishkruajmë pabarazinë tonë origjinale ashtu siç është, vetëm pa shenjën e modulit:
6 x 2 - NS - 2 ≤ 0.
Tani për rastin e dytë: nëse NS < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6NS 2 - (-NS) - 2 ≤ 0.
Zgjerimi i kllapave:
6NS 2 + NS - 2 ≤ 0.
Kështu, kemi marrë dy sisteme ekuacionesh:
6NS 2 - NS - 2 ≤ 0
NS ≥ 0
6NS 2 + NS - 2 ≤ 0
NS < 0
Është e nevojshme të zgjidhen pabarazitë në sisteme - që do të thotë, është e nevojshme të gjenden rrënjët e dy ekuacioneve kuadratike. Për ta bërë këtë, ne barazojmë anët e majta të pabarazive me zero.
Le të fillojmë me të parën:
6NS 2 - NS - 2 = 0.
Si zgjidhet ekuacioni kuadratik - shikoni seksionin "Ekuacioni kuadratik". Ne do të emërtojmë menjëherë përgjigjen:
NS 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Nga sistemi i parë i pabarazive, ne gjejmë se zgjidhja e pabarazisë fillestare është e gjithë bashkësia e numrave nga -1/2 në 2/3. Ne shkruajmë bashkimin e zgjidhjeve për NS ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Tani le të zgjidhim ekuacionin e dytë kuadratik:
6NS 2 + NS - 2 = 0.
Rrënjët e saj:
NS 1 = -2/3, NS 2 = 1/2.
Përfundim: në NS < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Le të kombinojmë dy përgjigjet dhe të marrim përgjigjen përfundimtare: zgjidhja është tërësia e numrave nga -2/3 në 2/3, duke përfshirë këta numra ekstremë.
Përgjigju: -2/3 ≤ NS ≤ 2/3.
Ose: NS ∈ [-2/3; 2/3].