Materiali i mësimit.
Në mësimet e mëparshme, ne kemi punuar me piramida. Le të kujtojmë se çfarë polhedroni quhet piramidë, çfarë është një piramidë e rregullt, kujtojmë vetitë e një piramide të rregullt.
Quhet një polhedron i përbërë nga një -gon dhe trekëndëshat piramidë .
Quhet piramida i saktë nëse baza e tij është një poligon i rregullt.
Zona sipërfaqësore anësore e një piramide të rregullt është gjysma e produktit të perimetrit të bazës herë më shumë se apotema.
Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta, dhe skajet anësore janë trekëndëshat e barabartë të izoscelave.
Le të na jepet një piramidë PA 1 A 2 ... A n. Le të vizatojmë një avion prerjeje β paralel me rrafshin e bazës së piramidës dhe le ta bëjmë këtë aeroplan të kryqëzojë skajet anësore në pikat B 1, B 2,…, B n.
Avioni β e ndan piramidën në dy figura: piramidën PB 1 B 2… B n dhe polhedronin. Një poliedron, fytyrat e të cilave janë n-gons A 1 A 2… A n dhe B 1 B 2… B n vendosur në aeroplanët paralelë dhe n katërkëndëshat A 1 A 2 B 2 B 1, A 2 A 3 B 3 B 2,… , A n A 1 B 1 B n quhet piramida e cunguar.
Ka shumë shembuj të piramidave të cunguara rreth nesh. Kapuçi sipër sobës është në formën e një piramide të cunguar, çelësat e tastierës dhe sende të tjera.
N-gonët A 1 A 2 ... A n dhe B 1 B 2 ... B n quhen përkatësisht baza e sipërme dhe e poshtme... Quadrangles A 1 A 2 B 2 B 1, A 2 A 3 B 3 B 2, ..., A n A 1 B 1 B n quhen fytyrat anësore.
Quhen segmentet A 1 B 1, ..., A n B n skajet anësore të piramidës së cunguar.
Piramida e cunguar përcaktohet si A 1 A 2… A n B 1 B 2… B n. Merrni një pikë arbitrare C në bazën e sipërme dhe nga kjo pikë ne ulim pingulin në bazën e poshtme. Kjo pingul quhet lartësia e piramidës së cunguar.
Tani le ta vërtetojmë këtë faqet anësore të piramidës së cunguar janë trapeziume.
Për provën, merrni parasysh fytyrën A 1 A 2 B 2 B 1. Shtë e qartë se prova do të jetë e ngjashme për fytyrat e tjera anësore.
Meqenëse avioni i prerjes ishte paralel me rrafshin e bazës, mund të shkruhet se A 1 A 2 është paralel me B 1 B 2. Natyrisht, dy anët e tjera të katërkëndëshit A 1 A 2 B 2 B 1 nuk janë paralele (ato kryqëzohen në pikën P). Ne e kuptojmë se ky katërkëndësh është një trapezoid. Natyrisht, të gjitha fytyrat e tjera anësore do të jenë gjithashtu trapeziume.
Ashtu si me piramidën, piramida e cunguar gjithashtu mund të jetë e saktë.
Quhet piramida e cunguar saktë, nëse përftohet duke prerë një piramidë të rregullt me \u200b\u200bnjë aeroplan paralel me bazën.
Bazat e piramidës së cunguar janë poligone të rregullt, dhe faqet anësore janë trapezoide izoscelale.
Lartësitë e këtyre trapezoideve quhen apothems.
Thirret bashkimi i fytyrave anësore sipërfaqja anësore e piramidës së cunguar, dhe bashkimi i të gjitha fytyrave quhet sipërfaqja e plotë e piramidës së cunguar. Atëherë zona e sipërfaqes anësore të piramidës është shuma e zonave të fytyrave anësore të saj.
Dhe sipërfaqja e përgjithshme e një piramide është shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave të saj.
Tani le të deklarojmë dhe provojmë teorema në zonën sipërfaqësore anësore të një piramide të rregullt të cunguar.
Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmë-shumës së perimetrave të bazës dhe apotemës.
Prova.
Le të shkruajmë formulën për gjetjen e sipërfaqes anësore të piramidës së cunguar.
Meqenëse piramida e cunguar është e saktë, do të thotë që fytyrat e saj do të jenë trapezoide të izosceles.
Zona e një trapezoidi të izoscelave është e barabartë me produktin e gjysmës së bazave dhe lartësisë. Lartësia e fytyrës anësore nuk është asgjë më shumë se apotema e piramidës së cunguar.
Le të zëvendësojmë gjithçka në formulën origjinale, vendosim gjysmën e apotemës jashtë kllapave dhe grupojmë anët me baza në kllapa. Atëherë marrim se sipërfaqja e sipërfaqes anësore do të jetë e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave të piramidës së cunguar nga apotema.
Q.E.D.
Le të zgjidhim disa probleme.
Një detyrë.Anët e bazave të një piramide katërkëndore të rregullt të cunguar 
janë të barabartë dhe. Lartësia e piramidës është. Gjeni zonën anësore të sipërfaqes.
Vendimi.
Ky mësim do t'ju ndihmojë të merrni një ide mbi temën "Piramida. Piramida e saktë dhe e cunguar ". Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide të rregullt, do t'i japim një përkufizim. Atëherë ne vërtetojmë teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt dhe teoremës në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.
Tema: Piramida
Mësimi: Piramidat e rregullta dhe të cunguara
përkufizim: Një piramidë e rregullt n-gon është një piramidë në të cilën një n-gon i rregullt shtrihet në bazë, dhe lartësia projektohet në qendër të këtij n-gon (Fig. 1).
Fik. 1
Piramida e rregullt trekëndore
Për të filluar, merrni parasysh ∆ABC (Fig. 2), në të cilën AB \u003d BC \u003d CA (d.m.th. një trekëndësh i rregullt shtrihet në bazën e piramidës). Në një trekëndësh të rregullt, qendra e qarqeve të gdhendur dhe të rrethuar përkojnë dhe janë vetë qendra e trekëndëshit. Në këtë rast, qendra gjendet si më poshtë: gjeni pjesën e mesme AB - C 1, vizatoni një segment CC 1, që është mesatarja, bisektori dhe lartësia; në mënyrë të ngjashme gjeni mesin e AC - B 1 dhe vizatoni një segment BB 1. Kryqëzimi i BB 1 dhe CC 1 do të jetë pika O, e cila është qendra e ∆ABS.
Nëse e lidhim qendrën e trekëndëshit O me majën e piramidës S, atëherë marrim lartësinë e piramidës SO ⊥ ABC, SO \u003d h.
Duke lidhur pikën S me pikat A, B dhe C ne marrim skajet anësore të piramidës.
Ne morëm një piramidë të rregullt trekëndore SABC (Fig. 2).
Piramida. Piramida e cunguar
piramidë quhet poliedroni, një nga fytyrat e të cilit është një poligon ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore (fig. 15). Quhet piramida i saktë nëse baza e tij është një poligon i rregullt dhe maja e piramidës është parashikuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore në të cilën të gjitha skajet janë të barabarta katërkëndësh .
Brinjë anësore piramida është faqja e fytyrës anësore që nuk i përket bazës lartësi piramida quhet distanca nga kulmi i saj në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha skajet anësore janë trekëndëshat e barabartë të izoscelave. Lartësia e fytyrës anësore të një piramide të rregullt të tërhequr nga lart quhet apothem . Seksioni diagonal seksioni i piramidës quhet aeroplan që kalon nëpër dy skajet anësore që nuk i përkasin njërës fytyrë.
Sipërfaqja anësore piramida quhet shuma e zonave të të gjitha fytyrave anësore. Sipërfaqe e plotë quhet shuma e zonave të të gjitha fytyrave anësore dhe bazës.
teorema
1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës është projektuar në qendër të rrethit të rrethuar me rreth, rreth bazës.
2. Nëse në piramidë të gjitha skajet anësore kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar në lidhje me bazën.
3. Nëse në piramidë të gjitha fytyrat janë të prirura në mënyrë të barabartë në rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë.
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula është e saktë:
ku V - vëllimi;
S kryesore - zona bazë;
H - lartësia e piramidës.
Për piramidën e saktë, formula janë të sakta:
ku p - perimetri i bazës;
h a - apotemi;
H - lartësia;
S plot
Anën e S
S kryesore - zona bazë;
V - vëllimi i piramidës së saktë.
Piramida e cunguar e quajtur pjesa e piramidës, e mbyllur midis bazës dhe rrafshit sekret, paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Piramida e rregullt e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt, e mbyllur midis bazës dhe rrafshit sekret, paralel me bazën e piramidës.
themel piramidat e cunguara - poligone të ngjashëm. Fytyrat anësore - trapezoid. lartësi një piramidë e cunguar është distanca midis bazave të saj. diagonale një piramidë e cunguar quhet një segment që lidh vertices e tij që nuk shtrihen në të njëjtën fytyrë. Seksioni diagonal një seksion i një piramide të cunguar quhet aeroplan që kalon nëpër dy skajet anësore që nuk i përkasin njërës fytyrë.
Për një piramidë të cunguar, formula e mëposhtme janë të vlefshme:
(4)
ku S 1 , S 2 - zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;
S plot - sipërfaqja totale;
Anën e S - sipërfaqe anësore;
H - lartësia;
V - vëllimi i piramidës së cunguar.
Për një piramidë të saktë të cunguar, formula është e saktë:
ku p 1 , p 2 - perimetrat e bazës;
h a - apotema e piramidës së rregullt të cunguar.
Shembulli 1. Në një piramidë të rregullt trekëndëshi, këndi diellor në bazë është 60º. Gjeni tangjentin e këndit të prirjes së skajit anësor në rrafshin e bazës.
Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (fig. 18).
 |
Piramida është e rregullt, kështu që në bazë ka një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha fytyrat anësore janë trekëndëshat e barabartë të izoscelave. Këndi diellor në bazë është këndi i prirjes së fytyrës anësore të piramidës në rrafshin e bazës. Këndi linear është këndi një midis dy pingulave: dhe d.m.th. Pjesa e sipërme e piramidës është parashikuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethrrethit dhe rrethi i mbishkruar në trekëndësh ABC). Këndi i pjerrësisë së brinjës anësore (për shembull SB) Theshtë këndi midis vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin bazë. Për brinjën SB ky kënd do të jetë këndi SBD... Për të gjetur tangjentën, duhet të dini këmbët KËSHTU QË dhe OB... Lëreni gjatësinë e segmentit BD e barabartë me 3 dhe... pikë RRETH seksion BD është e ndarë në pjesë: dhe Nga ne gjejmë KËSHTU QË: 
Nga ne zbulojmë: 
Përgjigjja:
Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar rregullisht nëse diagonalet e bazave të saj janë cm dhe cm, dhe lartësia është 4 cm.
Vendimi. Për të gjetur vëllimin e piramidës së cunguar, do të përdorim formulën (4). Për të gjetur zonën e bazave, duhet të gjeni anët e shesheve të bazës, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Kështu që zona e bazave dhe Duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:
Përgjigjja: 112 cm 3.
Shembulli 3. Gjeni zonën e fytyrës anësore të një piramide të rregullt trekëndëshi të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.
Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (fig. 19).
Fytyra anësore e kësaj piramide është një izosceles trapezoid. Për të llogaritur fushën e një trapezoidi, duhet të dini bazën dhe lartësinë. Bazat jepen me kusht, vetëm lartësia mbetet e panjohur. Do ta gjejmë prej nga DHE 1 E pingul nga pika DHE 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D - pingul nga DHE 1 në AS. DHE 1 E \u003d 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Per te gjetur DE do të bëjmë një vizatim shtesë, në të cilin do të përshkruajmë një pamje të sipërme (fig. 20). pikë RRETH - projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. që nga (shih fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregull Theshtë rrezja e rrethit të gdhendur dhe 
OM - rrezja e rrethit të mbishkruar:
MK \u003d DE.
Nga teorema e Pitagorës nga
Zona e fytyrës anësore: 
Përgjigjja:
Shembulli 4. Në themel të piramidës shtrihet një trapezoid izoselesh, bazat e së cilës dhedhe b (një> b). Do fytyrë anësore formon një kënd me rrafshin bazë të piramidës së barabartë me j... Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCD e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe zonës së trapezit ABCD.
Le të përdorim deklaratën se nëse të gjitha fytyrat e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë në rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. pikë RRETH - projeksion kulm S në bazën e piramidës. trekëndësh pederast është projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin e bazës. Nga teorema mbi fushën e projeksionit ortogonal të një figure aeroplan, marrim:
Në mënyrë të ngjashme, do të thotë 
Kështu, detyra u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD... Vizatoni një trapezoid ABCDveç e veç (fig. 22). pikë RRETH - qendra e rrethit të gdhendur në trapezoid.
Meqenëse një rreth mund të mbishkruhet në një trapezoid, qoftë nga, nga teorema e Pitagorës, ne kemi
Në këtë mësim do të shikojmë piramidën e cunguar, do të njihemi me piramidën e saktë të cunguar dhe do të studiojmë pronat e tyre.
Le të kujtojmë konceptin e një piramide n-gonale duke përdorur shembullin e një piramide trekëndore. Triangleshtë vendosur një trekëndësh ABC. Jashtë rrafshit të trekëndëshit, merret pika P, e lidhur me vertices të trekëndëshit. Sipërfaqja poliferente që rezulton quhet piramidë (Fig. 1).
Fik. 1. Piramida trekëndore
Le ta presim piramidën me një aeroplan paralel me rrafshin e bazës së piramidës. Shifra e përftuar midis këtyre aeroplanëve quhet një piramidë e cunguar (Fig. 2).
Fik. 2. Piramida e cunguar
Elementet kryesore:
Baza e sipërme;
ABC me bazë të ulët;
Buzë anësore;
Nëse PH është lartësia e piramidës origjinale, atëherë është lartësia e piramidës së cunguar.
Karakteristikat e një piramide të cunguar vijojnë nga metoda e ndërtimit të saj, përkatësisht nga paralelizmi i aeroplanëve bazë:
Të gjitha faqet anësore të piramidës së cunguar janë trapeziume. Shikoni, për shembull, një aspekt. Sipas vetisë së aeroplanëve paralelë (pasi aeroplanët janë paralelë, ata prenë fytyrën anësore të piramidës origjinale ABP përgjatë vijave paralele të drejta), në të njëjtën kohë ato nuk janë paralele. Natyrisht, katërkëndëshi është një trapezoid, si të gjitha faqet anësore të piramidës së cunguar.
Raporti bazë është i njëjtë për të gjithë trapezoidët:
Kemi disa palë trekëndësha të ngjashëm me të njëjtin koeficient të ngjashmërisë. Për shembull, trekëndëshat dhe RAV janë të ngjashëm për shkak të paralelizmit të aeroplanëve dhe, koeficientit të ngjashmërisë:
Në të njëjtën kohë, trekëndëshat dhe RBC janë të ngjashme me koeficientin e ngjashmërisë:
Natyrisht, koeficientët e ngjashmërisë për të tre palët e trekëndëshave të ngjashëm janë të barabartë, kështu që raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët.
Një piramidë e rregullt e cunguar është një piramidë e cunguar e marrë me prerjen e një piramide të rregullt me \u200b\u200bnjë aeroplan paralel me bazën (Fig. 3).
Fik. 3. Piramida e saktë e cunguar
Definition.
Një piramidë quhet një piramidë e rregullt, në bazën e së cilës ekziston një n-gon i rregullt, dhe kulmi parashikohet në qendër të këtij n-gon (qendra e rrethit të mbishkruar dhe të rrethuar).
Në këtë rast, një shesh shtrihet në bazën e piramidës, dhe maja është parashikuar në kryqëzimin e diagonals të saj. Piramida e rregullt katërkëndëshe e rregulluar katërkëndore e fituar ABCD ka një bazë më të ulët dhe një bazë të sipërme. Lartësia e piramidës origjinale - RO, piramida e cunguar - (Fig. 4).
Fik. 4. Piramida e rregullt katërkëndore e rregullt
Definition.
Lartësia e piramidës së cunguar është një pingul e tërhequr nga çdo pikë në njërën bazë në rrafshin e bazës tjetër.
Apotemia e piramidës origjinale është PM (M është mesi i AB), apotema e piramidës së cunguar është (Fig. 4).
Definition.
Apotemia e piramidës së cunguar - lartësia e çdo fytyre anësore.
Shtë e qartë se të gjitha skajet anësore të piramidës së cunguar janë të barabarta me njëra-tjetrën, domethënë, skajet anësore janë trapezoide të izoscelave të barabarta.
Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmë-shumës së perimetrave të bazës dhe apotemës.
Vërtetim (për një piramidë të rregullt drejtkëndëshe të cunguar - Fig. 4):
Pra, është e nevojshme të vërtetohet:
Zona e sipërfaqes anësore këtu do të përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të fytyrave anësore - trapeziume. Meqenëse trapezoidet janë të njëjta, ne kemi:
Zona e një trapezoidi të izolave \u200b\u200bështë produkt i gjysmës së bazave dhe lartësisë, apotema është lartësia e trapezit. Ne kemi:
Q.E.D.
Për një piramidë të njëanshme n:
Aty ku n është numri i fytyrave anësore të piramidës, a dhe b janë baza e trapezit, është apotema.
Anët e bazës së një piramide katërkëndore të rregullt të cunguar 
janë të barabarta me 3 cm dhe 9 cm, lartësia - 4 cm. Gjeni sipërfaqen anësore të sipërfaqes.
Fik. 5. Ilustrimi për problemin 1
Vendimi. Le ta ilustrojmë gjendjen:
Duke pasur parasysh: ,,
Përmes pikës O, ne tërheqim një vijë të drejtë MN paralel me dy anët e bazës së poshtme, në mënyrë të ngjashme përmes pikës ne tërheqim një vijë të drejtë (Fig. 6). Meqenëse sheshet dhe ndërtimet janë paralele në bazat e piramidës së cunguar, marrim një trapezoid të barabartë me fytyrat anësore. Për më tepër, ana anësore e saj do të kalojë në mesin e skajeve të sipërm dhe të poshtëm të faqeve anësore dhe do të jetë apotema e piramidës së cunguar.
Fik. 6. Ndërtime shtesë
Shqyrtoni trapezoidin që rezulton (Fig. 6). Në këtë trapezoid, dihet baza e sipërme, baza e poshtme dhe lartësia. Kërkohet të gjesh anën që është apotema e piramidës së dhënë të cunguar. Le të tërheqim pingul me MN. Le të hedhim NQ pingul nga pika. Marrim që baza më e madhe është e ndarë në segmente prej tre centimetra (). Konsideroni një trekëndësh me kënd të drejtë, këmbët në të njihen, ky është trekëndëshi egjiptian, sipas teoremës së Pitagorës, përcaktojmë gjatësinë e hipotenuzës: 5 cm.
Tani ekzistojnë të gjithë elementët për përcaktimin e sipërfaqes anësore të piramidës:
Piramida kryqëzohet me një aeroplan paralel me bazën. Vërtetoni, duke përdorur shembullin e një piramide trekëndore, që skajet anësore dhe lartësia e piramidës ndahen nga ky aeroplan në pjesë proporcionale.
Prova. Le të ilustrojmë:
Fik. 7. Ilustrimi për problemin 2
Piramida RAVS është e vendosur. RO është lartësia e piramidës. Piramida është prerë nga një aeroplan, është marrë një piramidë e cunguar, dhe. Pika - pika e kryqëzimit të lartësisë RO me rrafshin e bazës së piramidës së cunguar. Shtë e nevojshme të vërtetohet:
Theelësi i zgjidhjes është vetia paralele e avionit. Dy aeroplanë paralelë prenë çdo aeroplan të tretë në mënyrë që linjat e kryqëzimit të jenë paralele. Prandaj:. Paralelizmi i linjave përkatëse nënkupton praninë e katër palëve trekëndëshave të ngjashëm:
Proporcionaliteti i anëve përkatëse rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave. Një tipar i rëndësishëm është se koeficientët e ngjashmërisë për këto trekëndësha janë të njëjta:
Q.E.D.
Një piramidë e rregullt trekëndore RAVS me një lartësi dhe një anë të bazës është disektuar nga një aeroplan që kalon në mes të lartësisë RN paralel me bazën e ABC. Gjeni zonën sipërfaqësore anësore të piramidës së cunguar që rezulton.
Vendimi. Le të ilustrojmë:
Fik. 8. Ilustrimi për problemin 3
ASB është një trekëndësh i drejtë, H është qendra e këtij trekëndëshi (qendra e qarqeve të gdhendura dhe të rrethuar). RM është apotimi i piramidës së dhënë. - apotimi i piramidës së cunguar. Sipas vetisë së aeroplanëve paralelë (dy aeroplanë paralelë prenë çdo aeroplan të tretë në mënyrë që linjat e kryqëzimit të jenë paralele), kemi disa çifte trekëndëshash të ngjashëm me një koeficient të barabartë ngjashmërie. Në veçanti, ne jemi të interesuar për lidhjen:
Le të gjejmë NM. Kjo është rrezja e rrethit të gdhendur në bazë, ne e dimë formulën përkatëse:
Tani, nga trekëndëshi me kënd të drejtë RNM, sipas teoremës së Pitagorës, gjejmë RM - apotimi i piramidës origjinale:
Nga raporti fillestar:
Tani i dimë të gjithë elementët për gjetjen e sipërfaqes anësore të piramidës së cunguar:
Pra, ne u njohëm me konceptet e një piramide të cunguar dhe një piramide të rregullt të cunguar, dhamë përkufizime themelore, morëm parasysh pronat dhe provuam teoremën në zonën anësore të sipërfaqes. Mësimi tjetër do të jetë në lidhje me zgjidhjen e problemeve.
Lista e referencave
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Gjeometri. Klasa 10-11: një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore (nivelet themelore dhe ato të profileve) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ed. 5, Rev. dhe shtoni. - M .: Mnemozina, 2008 .-- 288 f .: Ill.
- Gjeografia Sharygin I.F. Klasa 10-11: Libër mësuesi për institucionet e përgjithshme arsimore / Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 f .: Ill.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Gjeometri. Shkalla 10: Libër mësimi për institucionet arsimore me studim të thelluar dhe të specializuar të matematikës / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ed 6-të., Stereotip. - M .: Bustard, 2008 .-- 233 f .: i sëmurë.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
Detyre shtepie
- Ky është një polhedron, i cili formohet nga baza e piramidës dhe një seksion paralel me të. Mund të themi se një piramidë e cunguar është një piramidë me një majë të cunguar. Kjo formë ka shumë veti unike:
- Fytyrat anësore të piramidës janë trapeziume;
- Brinjët anësore të një piramide të rregullt të shkurtuar me gjatësi të barabartë dhe të prirur në bazë në të njëjtin kënd;
- Bazat janë si poligone;
- Në një piramidë të rregullt të cunguar, fytyrat janë trapezoide izocelele identike, zona e të cilave është e barabartë. Ata janë gjithashtu të prirur në bazën në të njëjtin kënd.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shuma e sipërfaqeve të anëve të saj: 
Meqenëse anët e piramidës së cunguar janë trapezoide, do të duhet të përdorni formulën për të llogaritur parametrat zona e trapezit... Për një piramidë të saktë të cunguar, mund të aplikoni një formulë tjetër të zonës. Meqenëse të gjitha anët, fytyrat dhe këndet e saj në bazë janë të barabarta, është e mundur të aplikoni perimetrin e bazës dhe apotemës, dhe gjithashtu të zbriteni zonën përmes këndit në bazë.
Nëse, sipas kushteve në një piramidë të rregullt të cunguar, jepet apotema (lartësia e anës anësore) dhe gjatësia e anëve të bazës, atëherë zona mund të llogaritet përmes gjysmë produktit të shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës:
Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt pentagonal. Apothem l \u003d 5 cm, gjatësia e fytyrës në bazën e madhe është një \u003d 6 cm, dhe buza në bazën më të vogël b \u003d 4 cm. Llogaritni sipërfaqen e piramidës së cunguar.
Së pari, le të gjejmë perimetrin e bazave. Meqenëse na është dhënë një piramidë pentagonal, kuptojmë se bazat janë pentagona. Kjo do të thotë se një figurë me pesë anët identike qëndron në bazat. Gjeni perimetrin e bazës më të madhe:
Në të njëjtën mënyrë, gjejmë perimetrin e bazës më të vogël:
Tani mund të llogarisim sipërfaqen e piramidës së saktë të cunguar. Ne i zëvendësojmë të dhënat në formulë:
Kështu, ne llogaritëm fushën e një piramide të rregullt të cunguar përmes perimetrit dhe apotemës.
Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt është formula nëpër qoshet në bazën dhe zonën e këtyre bazave.
Le të hedhim një vështrim në një shembull llogaritjeje. Mos harroni se kjo formulë vlen vetëm për piramidën e saktë të cunguar.
Lëreni një piramidë të rregullt katërkëndore. Buza e bazës së poshtme është a \u003d 6 cm, dhe skaji i bazës së sipërme është b \u003d 4 cm .Këndi i diellit në bazë është β \u003d 60 °. Gjeni zonën sipërfaqësore anësore të një piramide të rregullt të cunguar.
Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave. Meqenëse piramida është e saktë, të gjitha fytyrat e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën. Duke marrë parasysh që ekziston një katërkëndësh në bazë, ne e kuptojmë se do të jetë e nevojshme të llogaritet sipërfaqe katrore... Shtë produkt i gjerësisë dhe gjatësisë, por këto vlera janë të njëjta në katror. Gjeni zonën e bazës më të madhe: 
Tani ne përdorim vlerat e gjetura për të llogaritur sipërfaqen anësore të sipërfaqes. 
Duke ditur disa formula të thjeshta, llogarisim lehtësisht sipërfaqen e trapeziumit anësor të piramidës së cunguar përmes vlerave të ndryshme.