Numrat reciprokë të të dhënave. Numrat reciprokë, gjetja e të dyanshmes

Ne japim një përkufizim dhe japim shembuj të numrave reciprokë. Konsideroni se si të gjeni reciprokun e një numri natyror dhe reciprokun e një thyese të zakonshme. Përveç kësaj, ne shkruajmë dhe vërtetojmë një pabarazi që pasqyron vetinë e shumës së numrave reciprokë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numrat reciprokë. Përkufizimi

Përkufizimi. Numrat reciprokë

Numrat reciprokë janë ata numra, prodhimi i të cilëve jep një.

Nëse a · b = 1, atëherë mund të themi se numri a është reciprok i numrit b, ashtu si numri b është reciprok i numrit a.

Shembulli më i thjeshtë i numrave reciprokë është dy njësh. Në të vërtetë, 1 1 = 1, pra a = 1 dhe b = 1 janë numra reciprokisht të anasjelltë. Një shembull tjetër janë numrat 3 dhe 1 3 , - 2 3 dhe - 3 2 , 6 13 dhe 13 6 , log 3 17 dhe log 17 3 . Prodhimi i çdo çifti të numrave të mësipërm është i barabartë me një. Nëse ky kusht nuk plotësohet, si për shembull me numrat 2 dhe 2 3, atëherë numrat nuk janë reciprokisht të anasjelltë.

Përkufizimi i numrave reciprokë është i vlefshëm për çdo numër - natyror, numër i plotë, real dhe kompleks.

Si të gjeni reciprocitetin e një numri të caktuar

Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm. Nëse numri origjinal është i barabartë me a , atëherë numri i tij reciprok do të shkruhet si 1 a , ose a - 1 . Në të vërtetë, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Për numrat natyrorë dhe thyesat e zakonshme, gjetja e reciprocit është mjaft e lehtë. Dikush madje mund të thotë se është e qartë. Në rastin e gjetjes së një numri që është inversi i një numri irracional ose kompleks, do të duhet të bëhen një numër llogaritjesh.

Konsideroni rastet më të zakonshme në praktikë të gjetjes së reciprocitetit.

Reciprociteti i një thyese të përbashkët

Natyrisht, reciproku i thyesës së përbashkët a b është thyesa b a. Pra, për të gjetur reciprocitetin e një thyese, ju vetëm duhet ta ktheni thyesën. Kjo do të thotë, ndërroni numëruesin dhe emëruesin.

Sipas këtij rregulli, ju mund të shkruani reciproke të çdo fraksioni të zakonshëm pothuajse menjëherë. Pra, për thyesën 28 ​​57, reciproku do të jetë thyesa 57 28, dhe për thyesën 789 256 - numri 256 789.

Reciprociteti i një numri natyror

Ju mund ta gjeni reciprokun e çdo numri natyror në të njëjtën mënyrë si reciprokun e një thyese. Mjafton të paraqesim një numër natyror a si një thyesë e zakonshme a 1 . Atëherë reciproca e saj do të jetë 1 a. Për numrin natyror 3, reciproku i tij është 1 3, për numrin 666 reciproku është 1 666, e kështu me radhë.

Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet njësisë, pasi ky është numri i vetëm, reciproku i të cilit është i barabartë me vetveten.

Nuk ka çifte të tjera numrash reciprokë ku të dy komponentët janë të barabartë.

Reciprociteti i një numri të përzier

Numri i përzier është i formës a b c. Për të gjetur reciprocitetin e tij, duhet të paraqisni numrin e përzier në farën e një thyese të papërshtatshme dhe të zgjidhni reciprokun për thyesën që rezulton.

Për shembull, le të gjejmë reciprocitetin e 7 2 5 . Së pari, le të paraqesim 7 2 5 si një thyesë jo të duhur: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Për thyesën e papërshtatshme 37 5 reciproku është 5 37 .

Reciproke e një dhjetore

Një thyesë dhjetore mund të përfaqësohet gjithashtu si një thyesë e zakonshme. Gjetja e reciprokes së një thyese dhjetore të një numri zbret në paraqitjen e thyesës dhjetore si një thyesë e zakonshme dhe gjetjen e reciprokes së saj.

Për shembull, ekziston një fraksion 5, 128. Le ta gjejmë reciprocitetin e saj. Së pari, ne e kthejmë dhjetorin në një fraksion të përbashkët: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Për thyesën që rezulton, reciproku do të jetë thyesa 125641.

Le të shqyrtojmë një shembull më shumë.

Shembull. Gjetja e reciprocit të një dhjetore

Gjeni reciproken e thyesës dhjetore periodike 2 , (18) .

Shndërroni dhjetorin në të zakonshëm:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Pas përkthimit, lehtë mund të shkruajmë reciprocitetin e thyesës 24 11. Ky numër padyshim do të jetë 11 24 .

Për një thyesë dhjetore të pafundme dhe që nuk përsëritet, reciproku shkruhet si thyesë me një njësi në numërues dhe vetë thyesa në emërues. Për shembull, për thyesën e pafundme 3, 6025635789. . . reciproku do të jetë 1 3 , 6025635789 . . . .

Në mënyrë të ngjashme, për numrat irracionalë që korrespondojnë me thyesat e pafundme jo periodike, reciprokat shkruhen si shprehje thyesore.

Për shembull, reciproku i π + 3 3 80 është 80 π + 3 3 , dhe reciproku i 8 + e 2 + e është 1 8 + e 2 + e.

Numrat reciprokë me rrënjë

Nëse forma e dy numrave është e ndryshme nga a dhe 1 a, atëherë nuk është gjithmonë e lehtë të përcaktohet nëse numrat janë reciprokisht të anasjelltë. Kjo është veçanërisht e vërtetë për numrat që kanë një shenjë rrënjë në shënimin e tyre, pasi zakonisht është e zakonshme të heqësh qafe rrënjën në emërues.

Le të kthehemi në praktikë.

Le t'i përgjigjemi pyetjes: a janë numrat 4 - 2 3 dhe 1 + 3 2 reciproke.

Për të zbuluar nëse numrat janë reciprokisht të anasjelltë, ne llogarisim produktin e tyre.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produkti është i barabartë me një, që do të thotë se numrat janë reciprokisht të kundërt.

Le të shqyrtojmë një shembull më shumë.

Shembull. Numrat reciprokë me rrënjë

Shkruani reciprocitetin e 5 3 + 1 .

Mund të shkruani menjëherë se reciproku është i barabartë me thyesën 1 5 3 + 1. Sidoqoftë, siç kemi thënë tashmë, është zakon të heqësh qafe rrënjën në emërues. Për ta bërë këtë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 25 3 - 5 3 + 1 . Ne marrim:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Numrat reciprokë me fuqi

Supozoni se ka një numër të barabartë me disa fuqi të numrit a. Me fjalë të tjera, numri a është ngritur në fuqinë n. Reciproku i një n është a - n . Le ta kontrollojmë. Në të vërtetë: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Shembull. Numrat reciprokë me fuqi

Gjeni reciproken e 5 - 3 + 4 .

Sipas sa më sipër, numri i dëshiruar është 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Reciproke me logaritme

Për logaritmin e numrit a me bazën b, reciproku është numri i barabartë me logaritmin e numrit b me bazën a.

log a b dhe log b a janë numra reciprokë.

Le ta kontrollojmë. Nga vetitë e logaritmit rrjedh se log a b = 1 log b a , që do të thotë log a b · log b a .

Shembull. Reciproke me logaritme

Gjeni reciprokun e log 3 5 - 2 3 .

Reciproku i logaritmit 3 me bazën 3 5 - 2 është logaritmi i 3 5 - 2 me bazën 3.

Reciprociteti i një numri kompleks

Siç u përmend më herët, përkufizimi i numrave reciprokë është i vlefshëm jo vetëm për numrat realë, por edhe për ata kompleks.

Zakonisht numrat kompleks paraqiten në formën algjebrike z = x + i y. Reciprociteti i kësaj do të jetë një fraksion

1 x + i y . Për lehtësi, kjo shprehje mund të shkurtohet duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me x - i y.

Shembull. Reciprociteti i një numri kompleks

Le të jetë një numër kompleks z = 4 + i . Le të gjejmë reciproke të saj.

Reciproku i z = 4 + i do të jetë i barabartë me 1 4 + i.

Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 4 - i dhe merrni:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Përveç formës së tij algjebrike, një numër kompleks mund të përfaqësohet në formë trigonometrike ose eksponenciale si më poshtë:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Prandaj, numri i ndërsjellë do të duket si ky:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Le të sigurohemi për këtë:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = rr cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r ei φ 1 rei (- φ) = re 0 = 1

Shqyrtoni shembuj me paraqitjen e numrave kompleksë në formë trigonometrike dhe eksponenciale.

Gjeni inversin e 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Duke marrë parasysh se r = 2 3 , φ = π 6 , shkruajmë numrin reciprok

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Shembull. Gjeni reciprokun e një numri kompleks

Sa është anasjellta e 2 · e i · - 2 π 5 .

Përgjigje: 1 2 e i 2 π 5

Shuma e numrave reciprokë. Pabarazia

Ekziston një teoremë mbi shumën e dy numrave reciprokë.

Shuma e numrave reciprokë

Shuma e dy numrave pozitivë dhe reciprokë është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 2.

Ne paraqesim vërtetimin e teoremës. Siç e dini, për çdo numër pozitiv a dhe b, mesatarja aritmetike është më e madhe ose e barabartë me mesataren gjeometrike. Kjo mund të shkruhet si një pabarazi:

a + b 2 ≥ a b

Nëse në vend të numrit b marrim inversin e a-së, pabarazia merr formën:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Le të japim një shembull praktik që ilustron këtë veti.

Shembull. Gjeni shumën e numrave reciprokë

Le të llogarisim shumën e numrave 2 3 dhe reciprocitetin e tij.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Siç thotë teorema, numri që rezulton është më i madh se dy.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Nga Wikipedia, Enciklopedia e Lirë

Numri reciprok(reciproke, reciproke) ndaj një numri të caktuar xështë numri shumëzimi i të cilit me x, jep një. Hyrja e pranuar: $\backslash frac(1)x$ ose $x^(-1)$. Quhen dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me një reciprokisht anasjelltas. Reciproku i një numri nuk duhet të ngatërrohet me reciprocitetin e një funksioni. Për shembull, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ e ndryshme nga vlera e funksionit të kosinusit të kundërt - arkozina, e cila shënohet $\backslash cos^(-1)x$ ose $\backslash arccos\; x$.

E anasjelltë me numrin real

Format komplekse të numrave	Numri $(z)$	E kundërta $\backslash \; majtas\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash djathtas)$
algjebrike	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometrike	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonstrimi	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Dëshmi:
Për format algjebrike dhe trigonometrike, ne përdorim vetinë bazë të një thyese, duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me konjugimin kompleks:

• Forma algjebrike:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trigonometrike:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Forma treguese:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Kështu, kur gjeni inversin e një numri kompleks, është më i përshtatshëm të përdorni formën e tij eksponenciale.

Shembull:

Format komplekse të numrave	Numri $(z)$	E kundërta $\backslash \; majtas\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash djathtas)$
algjebrike	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometrike	$2\; \backslash majtas\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash djathtas)$ ose $2\; \backslash majtas\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash djathtas)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash majtas\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash djathtas)$ ose $\backslash frac(1)(2)\; \backslash majtas\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash djathtas)$
Demonstrimi	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Anasjelltas me njësinë imagjinare

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Kështu, ne marrim

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ ose__ $i^(-1)=-i$

Në mënyrë të ngjashme për $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ ose __ $-i^(-1)=i$

Shkruani një koment për artikullin "Numri i kundërt"

Shënime

Shiko gjithashtu

Një fragment që karakterizon numrin reciprok

Kështu thonë historitë, dhe e gjithë kjo është krejtësisht e padrejtë, pasi kushdo që dëshiron të thellohet në thelbin e çështjes do të bindet lehtësisht.
Rusët nuk kërkuan një pozicion më të mirë; por, përkundrazi, në tërheqjen e tyre ata kaluan shumë pozicione që ishin më të mira se Borodino. Ata nuk u ndalën në asnjë nga këto pozicione: si sepse Kutuzov nuk donte të pranonte një pozicion që nuk ishte zgjedhur prej tij, dhe sepse kërkesa për një betejë popullore nuk ishte shprehur ende mjaftueshëm fort, dhe sepse Miloradovich nuk ishte afruar ende. me milicinë, dhe gjithashtu për arsye të tjera që janë të panumërta. Fakti është se pozicionet e mëparshme ishin më të forta dhe se pozicioni Borodino (ai mbi të cilin u dha beteja) jo vetëm që nuk është i fortë, por për disa arsye nuk është aspak një pozicion më shumë se çdo vend tjetër në Perandorinë Ruse. , të cilin, duke hamendësuar, do ta tregonte me një kunj në hartë.
Rusët jo vetëm që nuk e forcuan pozicionin e fushës së Borodinos në të majtë në një kënd të drejtë nga rruga (domethënë vendi ku u zhvillua beteja), por asnjëherë para 25 gushtit 1812 nuk menduan se beteja mund të zhvillohen në këtë vend. Këtë e dëshmon, së pari, fakti se jo vetëm më datë 25 nuk kishte fortifikime në këtë vend, por që, të filluara më 25, nuk përfunduan më 26; së dyti, pozicioni i redoubtit Shevardinsky shërben si provë: redoubti Shevardinsky, përballë pozicionit në të cilin u zhvillua beteja, nuk ka kuptim. Pse ky redoubt u fortifikua më i fortë se të gjitha pikat e tjera? Dhe pse, duke e mbrojtur atë në datën 24 deri në orët e vona të natës, u shteruan të gjitha përpjekjet dhe humbën gjashtë mijë njerëz? Për të vëzhguar armikun, mjaftonte një patrullë kozake. Së treti, prova se pozicioni në të cilin u zhvillua beteja nuk ishte parashikuar dhe se redoubt Shevardinsky nuk ishte pika e parë e këtij pozicioni është se Barclay de Tolly dhe Bagration deri më 25 ishin të bindur se redoubt Shevardinsky ishte krahu i majtë i pozicionin dhe se vetë Kutuzov, në raportin e tij, të shkruar me nxitim pas betejës, e quan Shevardinsky redoubt në krahun e majtë të pozicionit. Shumë më vonë, kur raportet për betejën e Borodinos u shkruan hapur, ishte (ndoshta për të justifikuar gabimet e komandantit të përgjithshëm, i cili duhej të ishte i pagabueshëm) u shpik një dëshmi e padrejtë dhe e çuditshme se dyshimi i Shevardinskit shërbeu si një postë e avancuar (ndërsa ishte vetëm një pikë e fortifikuar e krahut të majtë) dhe sikur beteja e Borodinos u pranua nga ne në një pozicion të fortifikuar dhe të përzgjedhur paraprakisht, ndërsa u zhvillua në një vend krejtësisht të papritur dhe pothuajse të pafortifikuar.
Rasti, padyshim, ishte kështu: pozicioni u zgjodh përgjatë lumit Kolocha, i cili kalonte rrugën kryesore jo në një vijë të drejtë, por në një kënd të mprehtë, kështu që krahu i majtë ishte në Shevardin, krahu i djathtë ishte afër. fshati Novy dhe qendra ishte në Borodino, në bashkimin e lumenjve Kolocha dhe Vo. yn. Ky pozicion, nën mbulesën e lumit Kolocha, për një ushtri, qëllimi i së cilës është të ndalojë armikun që lëviz përgjatë rrugës Smolensk për në Moskë, është i dukshëm për këdo që shikon fushën e Borodino, duke harruar se si u zhvillua beteja.
Napoleoni, duke u larguar më 24 te Valuev, nuk e pa (siç thonë historitë) pozicionin e rusëve nga Utitsa në Borodin (ai nuk mund ta shihte këtë pozicion, sepse nuk ishte atje) dhe nuk e pa postin e avancuar të Ushtria ruse, por u pengua në ndjekjen e praparojës ruse në krahun e majtë të pozicionit të rusëve, në redoubtin e Shevardinsky, dhe papritur për rusët transferoi trupa përmes Kolocha. Dhe rusët, duke mos pasur kohë të hynin në një betejë të përgjithshme, u tërhoqën me krahun e majtë nga pozicioni që synonin të merrnin dhe morën një pozicion të ri, i cili nuk ishte parashikuar dhe i pafortifikuar. Pasi kaloi në anën e majtë të Kolocha, në të majtë të rrugës, Napoleoni e zhvendosi të gjithë betejën e ardhshme nga e djathta në të majtë (nga ana e rusëve) dhe e transferoi atë në fushën midis Utitsa, Semenovsky dhe Borodino (në këtë fushë , e cila nuk ka asgjë më të favorshme për pozicionin se çdo fushë tjetër në Rusi), dhe në këtë fushë e gjithë beteja u zhvillua më 26. Në formë të përafërt, plani për betejën e propozuar dhe betejën që u zhvillua do të jetë si më poshtë:

Nëse Napoleoni nuk do të ishte nisur në mbrëmjen e datës 24 për në Kolocha dhe nuk do të kishte urdhëruar sulmin menjëherë në mbrëmje, por të kishte filluar sulmin të nesërmen në mëngjes, atëherë askush nuk do të dyshonte se redoubti i Shevardinskit ishte ai. krahu i majtë i pozicionit tonë; dhe beteja do të zhvillohej ashtu siç e prisnim. Në atë rast, ndoshta do të kishim mbrojtur redoubtin e Shevardinos, krahun tonë të majtë, edhe më kokëfortë; ata do të sulmonin Napoleonin në qendër ose në të djathtë dhe në datën 24 do të bëhej një betejë e përgjithshme në pozicionin që ishte i fortifikuar dhe i parashikuar. Por meqenëse sulmi në krahun tonë të majtë u zhvillua në mbrëmje, pas tërheqjes së praparojës sonë, domethënë menjëherë pas betejës së Gridnevës, dhe meqenëse krerët ushtarakë rusë nuk donin ose nuk kishin kohë të fillonin një betejë të përgjithshme. në të njëjtën mbrëmje të 24-të, veprimi i parë dhe kryesor i Borodinsky beteja u humb në 24 dhe, padyshim, çoi në humbjen e atij që u dha më 26.
Pas humbjes së redoubt Shevardinsky, deri në mëngjesin e datës 25 ne u gjendëm pa një pozicion në krahun e majtë dhe u detyruam të përkulnim krahun tonë të majtë dhe ta forconim me nxitim kudo.
Por jo vetëm që trupat ruse qëndruan vetëm nën mbrojtjen e fortifikimeve të dobëta, të papërfunduara më 26 gusht, disavantazhi i kësaj situate u rrit më tej nga fakti se udhëheqësit ushtarakë rusë, duke mos njohur plotësisht faktin e arritur (humbja e një pozicioni në krahun e majtë dhe transferimin e të gjithë fushës së betejës së ardhshme nga e djathta në të majtë), mbetën në pozicionin e tyre të shtrirë nga fshati Novy në Utitsa dhe, si rezultat, u desh të lëviznin trupat e tyre nga e djathta në të majtë gjatë betejës. Kështu, gjatë gjithë betejës, rusët kishin dy herë forcat më të dobëta kundër gjithë ushtrisë franceze, të drejtuara në krahun tonë të majtë. (Veprimet e Poniatowskit kundër Utitsa dhe Uvarov në krahun e djathtë të francezëve përbënin veprime të ndara nga rrjedha e betejës.)
Pra, beteja e Borodinos nuk ndodhi aspak siç e përshkruan (përpjekja për të fshehur gabimet e drejtuesve tanë ushtarakë dhe, si rezultat, nënvlerësimi i lavdisë së ushtrisë dhe popullit rus). Beteja e Borodinos nuk u zhvillua në një pozicion të zgjedhur dhe të fortifikuar me vetëm forcat më të dobëta nga ana e rusëve, dhe beteja e Borodinos, për shkak të humbjes së redoubtit Shevardinsky, u mor nga rusët në mënyrë të hapur, zonë pothuajse e pafortifikuar me dy herë forcat më të dobëta kundër francezëve, pra në kushte të tilla, në të cilat jo vetëm që ishte e pamendueshme të luftohej për dhjetë orë dhe të bëhej beteja e pavendosur, por ishte e pamendueshme të ruante ushtrinë nga disfata dhe ikja e plotë. për tre orë.

Më 25 në mëngjes, Pierre u largua nga Mozhaisk. Në zbritjen nga mali i madh i pjerrët dhe i shtrembër që çon jashtë qytetit, duke kaluar katedralen që qëndron në malin në të djathtë, në të cilën kishte një shërbim dhe ungjillin, Pierre doli nga karroca dhe shkoi në këmbë. Pas tij zbriste në mal një lloj regjimenti kalorësie me peselnik përpara. Drejt tij po ngrihej një tren karrocash me të plagosurin në aktin e djeshëm. Shoferët fshatarë, duke u bërtitur kuajve dhe duke i rrahur me kamxhik, vrapuan nga njëra anë në tjetrën. Karrocat, mbi të cilat ishin shtrirë dhe ulur tre e katër ushtarë të plagosur, u hodhën mbi gurët e hedhur në formën e një trotuari në një shpat të pjerrët. Të plagosurit, të lidhur me lecka, të zbehtë, me buzë të ngjeshura dhe me vetulla të vrenjtura, të kapur pas shtretërve, kërcyen dhe u përplasën në karroca. Të gjithë e shikonin me kuriozitet fëminor gati naiv kapelen e bardhë dhe frak jeshile të Pierre.

Numrat e kundërt - ose reciprokë - janë një çift numrash që, kur shumëzohen, japin 1. Në formën më të përgjithshme, reciprokët janë numra. Një rast i veçantë karakteristik i numrave reciprokë është një çift. Të kundërtat janë, le të themi, numrat; .

Si të gjeni reciproke

Rregulli: ju duhet të pjesëtoni 1 (një) me numrin e dhënë.

Shembulli #1.

Jepet numri 8. Inversi i tij është 1:8 ose (opsioni i dytë është i preferueshëm, sepse një shënim i tillë është matematikisht më i saktë).

Kur kërkoni reciprocitetin e një fraksioni të zakonshëm, atëherë pjesëtimi i tij me 1 nuk është shumë i përshtatshëm, sepse regjistrimi bëhet i rëndë. Në këtë rast, është shumë më e lehtë të bësh ndryshe: thyesa thjesht kthehet, duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Nëse jepet një thyesë e saktë, atëherë pas kthimit të saj, fitohet një thyesë e gabuar, d.m.th. ai nga i cili mund të nxirret një pjesë e tërë. Për ta bërë këtë apo jo, ju duhet të vendosni rast pas rasti. Pra, nëse më pas duhet të kryeni disa veprime me fraksionin e përmbysur që rezulton (për shembull, shumëzimi ose pjesëtimi), atëherë nuk duhet të zgjidhni të gjithë pjesën. Nëse fraksioni që rezulton është rezultati përfundimtar, atëherë ndoshta zgjedhja e pjesës së plotë është e dëshirueshme.

Shembulli #2.

Jepet një thyesë. E kundërta me të:.

Nëse dëshironi të gjeni reciprokun e një thyese dhjetore, atëherë duhet të përdorni rregullin e parë (pjestimi i 1 me një numër). Në këtë situatë, ju mund të veproni në një nga 2 mënyrat. E para është thjesht të ndajmë 1 me këtë numër në një kolonë. E dyta është të formoni një thyesë nga 1 në numërues dhe një dhjetore në emërues, dhe më pas të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 10, 100 ose një numër tjetër që përbëhet nga 1 dhe aq zero sa të jetë e nevojshme për të hequr qafe pikën dhjetore. në emërues. Rezultati do të jetë një fraksion i zakonshëm, i cili është rezultati. Nëse është e nevojshme, mund t'ju duhet ta shkurtoni, të nxirrni një pjesë të plotë prej tij ose ta ktheni në formë dhjetore.

Shembulli #3.

Numri i dhënë është 0.82. E ndërsjella e saj është: . Tani le të zvogëlojmë thyesën dhe të zgjedhim pjesën e plotë: .

Si të kontrolloni nëse dy numra janë reciprokë

Parimi i verifikimit bazohet në përcaktimin e reciprokeve. Kjo do të thotë, për t'u siguruar që numrat janë të kundërt me njëri-tjetrin, duhet t'i shumëzoni ato. Nëse rezultati është një, atëherë numrat janë reciprokisht të kundërt.

Shembulli numër 4.

Jepen numrat 0,125 dhe 8. A janë të dyanshëm?

Ekzaminimi. Është e nevojshme të gjendet prodhimi i 0,125 dhe 8. Për qartësi, ne i paraqesim këta numra si thyesa të zakonshme: (le të zvogëlojmë thyesën e parë me 125). Përfundim: numrat 0,125 dhe 8 janë të anasjelltë.

Vetitë e reciprokeve

Prona #1

Reciprociteti ekziston për çdo numër të ndryshëm nga 0.

Ky kufizim është për faktin se është e pamundur të ndahet me 0, dhe kur të përcaktohet reciproku i zeros, thjesht do të duhet të zhvendoset në emërues, d.m.th. në fakt ndajeni me të.

Prona #2

Shuma e një çifti numrash reciprokë nuk është kurrë më pak se 2.

Matematikisht, kjo veti mund të shprehet me pabarazinë: .

Prona #3

Shumëzimi i një numri me dy numra reciprokë është i barabartë me shumëzimin me një. Le ta shprehim këtë veti matematikisht: .

Shembulli numër 5.

Gjeni vlerën e shprehjes: 3,4 0,125 8. Meqenëse numrat 0.125 dhe 8 janë reciprokë (shih shembullin #4), nuk ka nevojë të shumëzohet 3.4 me 0.125 dhe më pas me 8. Pra përgjigja këtu është 3.4.

Një çift numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me një quhet reciprokisht anasjelltas.

Shembuj: 5 dhe 1/5, -6/7 dhe -7/6, dhe

Për çdo numër a jo i barabartë me zero, ka një invers 1/a.

Reciproku i zeros është pafundësia.

Thyesat e anasjellta- këto janë dy thyesa, prodhimi i të cilave është 1. Për shembull, 3/7 dhe 7/3; 5/8 dhe 8/5 etj.

Shiko gjithashtu

Fondacioni Wikimedia. 2010 .

Shihni se çfarë është "Numri i kundërt" në fjalorë të tjerë:

Një numër prodhimi i të cilit shumëfishohet një numër i caktuar është i barabartë me një. Dy numra të tillë quhen reciprokë. Të tilla janë, për shembull, 5 dhe 1/5, 2/3 dhe 3/2, etj. ... Fjalori i madh enciklopedik

numër reciprok- - [A.S. Goldberg. Fjalori anglisht rusisht i energjisë. 2006] Temat energjia në përgjithësi EN numri i anasjelltë numri reciprok ... Manuali Teknik i Përkthyesit

Një numër prodhimi i të cilit shumëfishohet një numër i caktuar është i barabartë me një. Dy numra të tillë quhen reciprokë. Këto janë, për shembull, 5 dhe 1/5, 2/3 dhe 3/2, etj. fjalor enciklopedik

Një numër prodhimi i të cilit me një numër të caktuar është i barabartë me një. Dy numra të tillë quhen reciprokë. Të tilla janë, për shembull, 5 dhe a, jo e barabartë me zero, ka një invers ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Numri, prodhimi i k dhe një numri të dhënë është i barabartë me një. Quhen dy numra të tillë reciprokisht anasjelltas. Të tilla janë, për shembull, 5 dhe 1/5. 2/3 dhe 3/2 etj... Shkenca natyrore. fjalor enciklopedik

Ky term ka kuptime të tjera, shih Numri (kuptimet). Numri është koncepti bazë i matematikës që përdoret për karakteristikat sasiore, krahasimin dhe numërimin e objekteve. Duke u lindur përsëri në shoqërinë primitive nga nevojat ... ... Wikipedia

Shihni gjithashtu: Numri (gjuhësia) Numri është një abstraksion që përdoret për të përcaktuar sasinë e objekteve. Pasi u ngrit në shoqërinë primitive nga nevojat e numërimit, koncepti i numrit ndryshoi dhe pasurohej dhe u kthye në matematikën më të rëndësishme ... Wikipedia

Rrotullimi i kundërt i ujit gjatë rrjedhjes është një mit pothuajse shkencor i bazuar në aplikimin e gabuar të efektit Coriolis në lëvizjen e ujit në një vorbull që ndodh kur ai derdhet në vrimën e kullimit të një lavamani ose vaske. Thelbi i mitit është se uji ... ... Wikipedia

NUMËR, IRRACIONAL, numër që nuk mund të shprehet si thyesë. Shembujt përfshijnë numrin C2 dhe p. Prandaj, numrat irracionalë janë numra me një numër të pafundëm të numrave dhjetorë (jo periodikë). (Megjithatë, e kundërta nuk është…… Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Transformimi Laplace është një transformim integral që lidh një funksion të një ndryshoreje komplekse (imazh) me një funksion të një ndryshoreje reale (origjinale). Me ndihmën e tij hetohen vetitë e sistemeve dinamike dhe diferenciale dhe ... Wikipedia

libra

• Klubi i Grave të Gëzuara, Weaver Fon. 27 gra nga vende të ndryshme të botës që nuk njihen me njëra-tjetrën, me fate të ndryshme. Ata nuk kanë asgjë të përbashkët, përveç një gjëje - ata janë jashtëzakonisht të lumtur në martesë për më shumë se 25 vjet, sepse ata e dinë Sekretin ... Kur ...

Përmbajtja:

Reciproke janë të nevojshme kur zgjidhen të gjitha llojet e ekuacioneve algjebrike. Për shembull, nëse duhet të pjesëtoni një numër thyesor me një tjetër, ju shumëzoni numrin e parë me reciprocitetin e të dytit. Përveç kësaj, reciproke përdoren kur gjendet ekuacioni i një vije të drejtë.

Hapat

1 Gjetja reciproke e një thyese ose e një numri të plotë

1. 1 Gjeni reciprokun e një numri thyesor duke e rrotulluar atë.“Numri reciprok” përcaktohet shumë thjeshtë. Për ta llogaritur atë, thjesht llogaritni vlerën e shprehjes "1 ÷ (numri origjinal)." Për një numër thyesor, reciproku është një numër tjetër thyesor që mund të llogaritet thjesht duke "përmbysur" thyesën (duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin).
   • Për shembull, reciproku i 3/4 është 4 / 3 .
2. 2 Shkruani reciproken e një numri të plotë si thyesë. Dhe në këtë rast, reciproku llogaritet si 1 ÷ (numri origjinal). Për një numër të plotë, shkruajeni reciprokun si thyesë, nuk keni nevojë të bëni ndonjë llogaritje dhe shkruajeni atë si dhjetore.
   • Për shembull, reciproku i 2 është 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Gjetja reciproke e një thyese të përzier

1. 1 Çfarë është një "fraksion i përzier"? Një thyesë e përzier është një numër i shkruar si një numër i plotë dhe një thyesë e thjeshtë, për shembull, 2 4 / 5. Gjetja e reciprocit të një thyese të përzier bëhet në dy hapa, të përshkruar më poshtë.
2. 2 Shkruaje thyesën e përzier si thyesë jo të duhur. Sigurisht, ju mbani mend që njësia mund të shkruhet si (numër) / (i njëjti numër), dhe thyesat me të njëjtin emërues (numri nën rresht) mund t'i shtohen njëri-tjetrit. Ja se si mund të bëhet për thyesën 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Ktheni thyesën. Kur një thyesë e përzier shkruhet si një thyesë e papërshtatshme, ne mund të gjejmë lehtësisht reciproken duke ndërruar thjesht numëruesin dhe emëruesin.
   • Për shembullin e mësipërm, reciproku do të ishte 14/5 - 5 / 14 .

3 Gjetja reciproke e një dhjetore

1. 1 Nëse është e mundur, shprehni dhjetorin si thyesë. Duhet të dini se shumë dhjetore mund të shndërrohen lehtësisht në thyesa të thjeshta. Për shembull, 0,5 = 1/2 dhe 0,25 = 1/4. Kur shkruani një numër si thyesë e thjeshtë, mund ta gjeni lehtësisht reciprocitetin thjesht duke e rrotulluar thyesën.
   • Për shembull, reciproku i 0.5 është 2/1 = 2.
2. 2 Zgjidheni problemin duke përdorur ndarjen. Nëse nuk mund të shkruash një dhjetore si thyesë, njehso reciproken duke e zgjidhur problemin duke pjesëtuar: 1 ÷ (dhjetore). Mund të përdorni një kalkulator për ta zgjidhur atë, ose të kaloni në hapin tjetër nëse dëshironi të llogaritni vlerën me dorë.
   • Për shembull, reciproku i 0.4 llogaritet si 1 ÷ 0.4.
3. 3 Ndryshoni shprehjen për të punuar me numra të plotë. Hapi i parë në ndarjen dhjetore është lëvizja e pikës së pozicionit derisa të gjithë numrat në shprehje të jenë numra të plotë. Për shkak se e zhvendosni presjen pozicionore në të njëjtin numër vendesh si në dividend ashtu edhe në pjesëtues, ju merrni përgjigjen e saktë.
4. 4 Për shembull, ju merrni shprehjen 1 ÷ 0.4 dhe e shkruani atë si 10 ÷ 4. Në këtë rast, ju e keni zhvendosur presjen një vend në të djathtë, që është njësoj si të shumëzoni çdo numër me dhjetë.
5. 5 Zgjidheni problemin duke pjesëtuar numrat me një kolonë. Duke përdorur pjesëtimin me një kolonë, mund të llogarisni reciprocitetin e një numri. Nëse ndani 10 me 4, duhet të merrni 2.5, që është reciproke e 0.4.

• Vlera e një reciproke negative do të jetë reciproke e numrit të shumëzuar me -1. Për shembull, reciproku negativ prej 3/4 është -4/3.
• Reciproku i një numri nganjëherë referohet si "reciproke" ose "reciproke".
• Numri 1 është reciprok i tij sepse 1 ÷ 1 = 1.
• Zero nuk ka reciproke sepse shprehja 1 ÷ 0 nuk ka zgjidhje.