Çfarë është një numër thyesor. E shtënë gjuetie

Duke studiuar mbretëreshën e të gjitha shkencave - matematikës, në një moment të gjithë përballen me thyesa. Edhe pse ky koncept (si vetë llojet e thyesave apo veprimet matematikore me to) nuk është aspak i vështirë, duhet trajtuar me kujdes, sepse në jetën reale jashtë shkollës do të jetë shumë i dobishëm. Pra, le të rifreskojmë njohuritë tona për thyesat: çfarë janë, për çfarë shërbejnë, çfarë llojesh janë dhe si të kryejmë veprime të ndryshme aritmetike me to.

Fraksioni i Madhërisë së Saj: Çfarë është

Thyesat në matematikë janë numra, secili prej të cilëve përbëhet nga një ose më shumë pjesë të njërës. Thyesat e tilla quhen edhe të zakonshme, ose të thjeshta. Si rregull, ato shkruhen në formën e dy numrave, të cilët ndahen nga një vijë horizontale ose e pjerrët, ajo quhet "fraksionale". Për shembull: ½, ¾.

Pjesa e sipërme ose e para e këtyre numrave është numëruesi (tregon sa pjesë të numrit janë marrë), dhe i poshtëmi ose i dyti është emëruesi (tregon në sa pjesë ndahet njësia).

Shiriti thyesor në fakt funksionon si shenjë ndarjeje. Për shembull, 7: 9 = 7/9

Tradicionalisht, fraksionet e zakonshme janë më pak se një. Ndërsa numrat dhjetorë mund të jenë më të mëdhenj se ajo.

Për çfarë janë thyesat? Po, për gjithçka, sepse në botën reale, jo të gjithë numrat janë numra të plotë. Për shembull, dy nxënëse në kafene blenë së bashku një çokollatë të shijshme. Kur ishin gati të ndanin ëmbëlsirën, takuan një mikeshë dhe vendosën ta trajtonin edhe atë. Megjithatë, tani është e nevojshme të ndahet saktë çokollata, duke qenë se ajo përbëhet nga 12 katrorë.

Në fillim, vajzat donin të ndanin gjithçka në mënyrë të barabartë, dhe më pas secila do të merrte katër pjesë. Por, pasi e kishin menduar mirë, ata vendosën të trajtojnë një të dashur, jo 1/3, por 1/4 e çokollatës. Dhe duke qenë se nxënësit nuk i studionin mirë thyesat, nuk e morën parasysh që në një situatë të tillë, si rezultat, do të kishin 9 pjesë, të cilat ndahen shumë keq në dy. Ky shembull mjaft i thjeshtë tregon se sa e rëndësishme është të jesh në gjendje të gjesh saktë pjesën e një numri. Por në jetë ka shumë më tepër raste të tilla.

Llojet e thyesave: të zakonshme dhe dhjetore

Të gjitha thyesat matematikore ndahen në dy shifra të mëdha: të zakonshme dhe dhjetore. Karakteristikat e të parit prej tyre u përshkruan në paragrafin e mëparshëm, kështu që tani ia vlen t'i kushtohet vëmendje të dytit.

Dhjetor është shënimi pozicional i thyesës së një numri, i cili fiksohet në shkronjë me presje, pa vizë ose të pjerrët. Për shembull: 0.75, 0.5.

Në fakt, thyesa dhjetore është identike me thyesën e zakonshme, megjithatë, në emëruesin e saj ka gjithmonë një të ndjekur nga zero - prandaj emri i saj.

Numri para presjes është pjesa e plotë, dhe çdo gjë pas saj është pjesa thyesore. Çdo thyesë e thjeshtë mund të shndërrohet në dhjetore. Pra, thyesat dhjetore të treguara në shembullin e mëparshëm mund të shkruhen si zakonisht: ¾ dhe ½.

Vlen të përmendet se si thyesat dhjetore ashtu edhe ato të zakonshme mund të jenë pozitive ose negative. Nëse ka një shenjë "-" para tyre, kjo pjesë është negative, nëse "+" - atëherë është pozitive.

Nëntipet e thyesave të zakonshme

Ekzistojnë këto lloje thyesash të thjeshta.

Nëntipe dhjetore

Ndryshe nga një e thjeshtë, një thyesë dhjetore ndahet vetëm në 2 lloje.

Final - mori këtë emër për faktin se pas presjes dhjetore ka një numër të kufizuar (përfundimtar) të shifrave: 19.25.
Një thyesë e pafundme është një numër me një numër të pafund shifrash pas presjes dhjetore. Për shembull, pjesëtimi i 10 me 3 rezulton në thyesën e pafundme 3,333 ...

Shtimi i thyesave

Kryerja e manipulimeve të ndryshme aritmetike me thyesa është pak më e vështirë sesa me numrat e zakonshëm. Megjithatë, nëse mësoni rregullat bazë, zgjidhja e ndonjë shembulli me to nuk do të jetë e vështirë.

Për shembull: 2/3 + 3/4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët për ta do të jetë 12, prandaj, është e nevojshme që ky numër të jetë në secilin emërues. Për ta bërë këtë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e fraksionit të parë me 4, rezulton 8/12, ne bëjmë të njëjtën gjë me termin e dytë, por shumëzojmë vetëm me 3 - 9/12. Tani mund ta zgjidhni me lehtësi shembullin: 8/12 + 9/12 = 17/12. Thyesa që rezulton nuk është vlera e saktë sepse numëruesi është më i madh se emëruesi. Mund dhe duhet të shndërrohet në përzierjen e duhur, duke e ndarë 17: 12 = 1 dhe 5/12.

Nëse shtohen thyesat e përziera, fillimisht veprimet kryhen me numra të plotë, e më pas me thyesa.

Nëse shembulli përmban një thyesë dhjetore dhe një thyesë të zakonshme, është e nevojshme që të dyja të bëhen të thjeshta, pastaj t'i sillni në të njëjtin emërues dhe t'i shtoni. Për shembull 3.1 + 1/2. Numri 3.1 mund të shkruhet si një fraksion i përzier prej 3 dhe 1/10, ose si i pasaktë - 31/10. Emëruesi i përbashkët për termat do të jetë 10, kështu që ju duhet të shumëzoni në mënyrë alternative numëruesin dhe emëruesin 1/2 me 5, ju merrni 5/10. Atëherë mund të llogaritni lehtësisht gjithçka: 31/10 + 5/10 = 35/10. Rezultati i marrë është një fraksion i pasaktë i anulueshëm, ne e sjellim atë në formën e tij normale, duke e zvogëluar atë me 5: 7/2 = 3 dhe 1/2, ose dhjetore - 3.5.

Nëse shtoni 2 thyesa dhjetore, është e rëndësishme që pas presjes dhjetore të ketë të njëjtin numër shifrash. Nëse nuk është kështu, ju vetëm duhet të shtoni numrin e kërkuar të zerave, sepse në dhjetor mund të bëhet pa dhimbje. Për shembull, 3.5 + 3.005. Për të zgjidhur këtë problem, duhet të shtoni 2 zero në numrin e parë dhe më pas ta shtoni atë me radhë: 3.500 + 3.005 = 3.505.

Zbritja e thyesave

Kur zbritni thyesat, duhet të bëni të njëjtën gjë si shtesë: zvogëloni në një emërues të përbashkët, zbrisni një numërues nga një tjetër, nëse është e nevojshme, shndërroni rezultatin në një fraksion të përzier.

Për shembull: 16 / 20-5 / 10. Emëruesi i përbashkët do të jetë 20. Ju duhet të sillni thyesën e dytë në këtë emërues, duke shumëzuar të dyja pjesët me 2, ju merrni 10/20. Tani mund të zgjidhni shembullin: 16 / 20-10 / 20 = 6/20. Sidoqoftë, ky rezultat i përket fraksioneve të anulueshme, ndaj ndani të dyja anët me 2 dhe merrni rezultatin - 3/10.

Shumëzimi i thyesave

Pjesëtimi dhe shumëzimi i thyesave janë veprime shumë më të thjeshta se sa mbledhja dhe zbritja. Fakti është se gjatë kryerjes së këtyre detyrave, nuk ka nevojë të kërkoni një emërues të përbashkët.

Për të shumëzuar thyesat, ju vetëm duhet të shumëzoni në mënyrë alternative të dy numëruesit dhe më pas të dy emëruesit. Zvogëloni rezultatin nëse fraksioni është një sasi e anulueshme.

Për shembull: 4 / 9x5 / 8. Pas shumëzimit alternativ, rezultati është 4x5 / 9x8 = 20/72. Kjo thyesë mund të anulohet me 4, kështu që përgjigja përfundimtare në shembull është 5/18.

Si të ndajmë thyesat

Pjesëtimi i thyesave është gjithashtu një veprim i thjeshtë; në fakt, ende bëhet fjalë për shumëzimin e tyre. Për të ndarë një pjesë me një tjetër, duhet të ktheni të dytën dhe të shumëzoni me të parën.

Për shembull, pjesëtimi i thyesave 5/19 dhe 5/7. Për të zgjidhur shembullin, duhet të ndërroni emëruesin dhe numëruesin e fraksionit të dytë dhe të shumëzoni: 5 / 19x7 / 5 = 35/95. Rezultati mund të zvogëlohet me 5 - rezulton të jetë 7/19.

Në rast se është e nevojshme të ndahet një thyesë me një numër të thjeshtë, teknika është paksa e ndryshme. Fillimisht, ju duhet ta shkruani këtë numër si një thyesë jo të duhur, dhe më pas ta ndani sipas të njëjtës skemë. Për shembull, 2/13: 5 duhet të shkruhet si 2/13: 5/1. Tani duhet të rrotulloni 5/1 dhe të shumëzoni fraksionet që rezultojnë: 2 / 13x1 / 5 = 2/65.

Ndonjëherë ju duhet të bëni pjesëtimin e thyesave të përziera. Ju duhet t'i trajtoni ato si me numrat e plotë: kthejini ato në thyesa të papërshtatshme, ktheni pjesëtuesin dhe shumëzoni gjithçka. Për shembull, 8 ½: 3. Shndërroni gjithçka në thyesa të parregullta: 17/2: 3/1. Kjo pasohet nga një rrokullisje 3/1 dhe shumëzim: 17 / 2x1 / 3 = 17/6. Tani ju duhet të konvertoni thyesën e pasaktë në atë të saktë - 2 numra të plotë dhe 5/6.

Pra, pasi të keni kuptuar se cilat janë fraksionet dhe si mund të kryeni operacione të ndryshme aritmetike me to, duhet të përpiqeni të mos harroni për këtë. Në fund të fundit, njerëzit janë gjithmonë më të prirur për të ndarë diçka në pjesë sesa për të shtuar, kështu që ju duhet të jeni në gjendje ta bëni atë siç duhet.

Fraksioni- forma e paraqitjes së numrave në matematikë. Një shirit i pjesshëm tregon një operacion ndarjeje. Numëruesi thyesa quhet divident dhe emërues- ndarës. Për shembull, në një thyesë, numëruesi është 5 dhe emëruesi është 7.

E sakte quhet një thyesë me modulin e numëruesit më të madh se moduli i emëruesit. Nëse thyesa është e saktë, atëherë moduli i vlerës së tij është gjithmonë më i vogël se 1. Të gjitha thyesat e tjera janë gabim.

Thyesa quhet të përziera nëse shkruhet si numër i plotë dhe thyesë. Kjo është e njëjtë me shumën e këtij numri dhe thyesës:

Vetia themelore e një thyese

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me të njëjtin numër, atëherë vlera e thyesës nuk do të ndryshojë, domethënë, për shembull,

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Për të sjellë dy thyesa në një emërues të përbashkët, ju duhet:

Shumëzoni numëruesin e thyesës së parë me emëruesin e të dytës
Numëruesi i thyesës së dytë shumëzohet me emëruesin e të parës
Zëvendësoni emëruesit e të dy thyesave me produktin e tyre

Veprimet me thyesa

Shtimi. Për të shtuar dy thyesa, ju duhet

Shtoni numëruesit e rinj të të dy thyesave dhe lini emëruesin të pandryshuar

Shembull:

Zbritja. Për të zbritur një thyesë nga një tjetër, ju duhet

Sillni thyesat në një emërues të përbashkët
Zbrisni numëruesin e të dytës nga numëruesi i thyesës së parë dhe emëruesin e lini të pandryshuar

Shembull:

Shumëzimi. Për të shumëzuar një thyesë me një tjetër, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre:

Divizioni. Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, numëruesi i thyesës së parë duhet të shumëzohet me emëruesin e të dytës, dhe emëruesi i thyesës së parë duhet të shumëzohet me numëruesin e të dytës:

Numëruesi dhe emëruesi i thyesës. Llojet e thyesave. Ne vazhdojmë të marrim parasysh thyesat. Së pari, një mohim i vogël - duke marrë parasysh thyesat dhe shembujt përkatës me to, tani për tani do të punojmë vetëm me paraqitjen e tij numerike. Ka edhe shprehje fjalë për fjalë thyesore (me dhe pa numra).Megjithatë, të gjitha “parimet” dhe rregullat vlejnë edhe për to, por për shprehje të tilla do të flasim veçmas në të ardhmen. Unë rekomandoj të vizitoni dhe studioni (kujtoni) temën e thyesave hap pas hapi.

Gjëja më e rëndësishme është të kuptoni, mbani mend dhe kuptoni se THYESA është një NUMËR !!!

Thyesë e zakonshmeËshtë një numër i formës:

Numri i vendosur "sipër" (në këtë rast, m) quhet numërues, numri i vendosur më poshtë (numri n) quhet emërues. Ata që sapo kanë prekur temën shpesh kanë konfuzion - cili është emri.

Këtu është një truk për të mbajtur mend përgjithmonë - ku është numëruesi dhe ku është emëruesi. Kjo teknikë shoqërohet me një lidhje verbale-figurative. Imagjinoni një kavanoz me ujë me baltë. Dihet se ndërsa uji vendoset, uji i pastër mbetet sipër, dhe llumi (papastërtia) vendoset, kujtojmë:

Uji i shkrirë CHISSS UP (CHISSS derdhet nga lart)

Grya Uji ZZZNNN POSHTË (Zëvendësimi i ZNNN në fund)

Pra, sapo lind nevoja për të kujtuar se ku është numëruesi dhe ku është emëruesi, ata vizualizuan menjëherë një kavanoz me ujë të vendosur, në të cilin ka ujë të pastër sipër dhe ujë të ndotur poshtë. Ka teknika të tjera për memorizimin, nëse ju ndihmojnë, është mirë.

Shembuj të thyesave të zakonshme:

Çfarë do të thotë shiriti horizontal midis numrave? Kjo nuk është gjë tjetër veçse një shenjë ndarjeje. Rezulton se thyesa mund të shihet si shembull me veprimin e pjesëtimit. Ky veprim thjesht regjistrohet në këtë formë. Kjo do të thotë, numri i sipërm (numëruesi) ndahet me numrin e poshtëm (emërues):

Për më tepër, ekziston edhe një formë shënimi - një pjesë mund të shkruhet si kjo (e ndarë me një prerje):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 e kështu me radhë ...

Thyesat e mësipërme mund t'i shkruajmë kështu:

Rezultati i ndarjes, siç e dini, është numri.

E kuptova - THYESA ËSHTË NJË NUMËR !!!

Siç e keni vënë re tashmë, një thyesë e zakonshme mund të ketë një numërues më të vogël se një emërues, mund të jetë më shumë se një emërues dhe mund të jetë i barabartë me të. Këtu ka shumë pika të rëndësishme që janë intuitive, pa ndonjë sofistikim teorik. Për shembull:

1. Thyesat 1 dhe 3 mund të shkruhen si 0,5 dhe 0,01. Le të vrapojmë pak përpara - këto janë thyesa dhjetore, do të flasim për to pak më poshtë.

2. Thyesat 4 dhe 6 rezultojnë në një numër të plotë 45: 9 = 5, 11: 1 = 11.

3. Pjesa 5 si rezultat jep njësinë 155: 155 = 1.

Cilat përfundime sugjerojnë vetë? Në vijim:

1. Numëruesi, kur ndahet me emëruesin, mund të japë një numër të fundëm. Mund të mos funksionojë, ndajeni me një kolonë 7 me 13 ose 17 me 11 - në asnjë mënyrë! Mund ta shpërndani pafundësisht, por edhe për këtë do të flasim më poshtë.

2. Një thyesë mund të rezultojë në një numër të plotë. Prandaj, ne mund të përfaqësojmë çdo numër të plotë si një fraksion, ose më mirë një seri të pafundme thyesash, shikoni, të gjitha këto thyesa janë të barabarta me 2:

Më shumë! Ne gjithmonë mund të shkruajmë çdo numër të plotë si një thyesë - ky numër në vetvete është në numërues, një është në emërues:

3. Gjithmonë mund ta paraqesim njësinë si thyesë me çdo emërues:

* Këto pika janë jashtëzakonisht të rëndësishme për të punuar me thyesa në llogaritjet dhe shndërrimet.

Llojet e thyesave.

Dhe tani për ndarjen teorike të thyesave të zakonshme. Ato ndahen në drejtë dhe të gabuar.

Thyesa me numërues më të vogël se emëruesi quhet e saktë. Shembuj:

Një thyesë numëruesi i së cilës është më i madh ose i barabartë me emëruesin quhet i pasaktë. Shembuj:

Fraksion i përzier(numër i përzier).

Një thyesë e përzier është një thyesë e shkruar si një numër i plotë dhe një thyesë e rregullt dhe kuptohet si shuma e këtij numri dhe pjesës së tij thyesore. Shembuj:

Një thyesë e përzier gjithmonë mund të përfaqësohet si një thyesë e papërshtatshme dhe anasjelltas. Le të shkojmë më tej!

Thyesat dhjetore.

Ne i kemi prekur tashmë ato më lart, këto janë shembujt (1) dhe (3), tani më në detaje. Këtu janë shembuj të thyesave dhjetore: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Një thyesë, emëruesi i së cilës është fuqia 10, për shembull 10, 100, 1000 e kështu me radhë, quhet dhjetore. Nuk është e vështirë të shkruash tre thyesat e para të treguara në formën e fraksioneve të zakonshme:

E katërta është një thyesë e përzier (numër i përzier):

Thyesa dhjetore ka formën e mëposhtme të shënimit - mefillon pjesa e plotë, atëherë ndarësi i pjesës së plotë dhe pjesës thyesore është një pikë ose presje dhe më pas pjesa thyesore, numri i shifrave të pjesës thyesore përcaktohet rreptësisht nga dimensioni i pjesës thyesore: nëse këto janë të dhjetat, pjesa thyesore shkruhet me një shifër; nëse të mijëtat - tre; dhjetë mijëshe - katër etj.

Këto thyesa janë të fundme dhe të pafundme.

Shembuj të thyesave dhjetore pasuese: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Shembujt janë të pafund. Për shembull, numri Pi është një thyesë dhjetore e pafundme, gjithashtu 0,333333333333 ... ... 0,16666666666 .... dhe të tjerët. Gjithashtu rezultati i nxjerrjes së rrënjës së numrave 3, 5, 7 etj. do të jetë një thyesë e pafundme.

Pjesa e pjesshme mund të jetë ciklike (ka një cikël në të), dy shembujt e mësipërm janë thjesht të njëjtë, më shumë shembuj:

0.123123123123 ... ... cikli 123

0.781781781718 ... ... cikli 781

0.0250102501 .... cikli 02501

Ato mund të shkruhen si 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Pi nuk është një fraksion ciklik si, për shembull, rrënja e tre.

Më poshtë në shembujt do të tingëllojnë fjalë të tilla si "përmbys" thyesën - kjo do të thotë se numëruesi dhe emëruesi janë shkëmbyer. Në fakt, një fraksion i tillë ka një emër - një fraksion invers. Shembuj të thyesave reciproke:

Përmbledhje e vogël! Thyesat janë:

E zakonshme (e drejtë dhe e gabuar).

Dhjetor (i fundëm dhe i pafundëm).

Të përziera (numra të përzier).

Kjo eshte e gjitha!

Sinqerisht, Aleksandër.

Thyesë e zakonshme

lagjet

Rregullsia. a dhe b ekziston një rregull që bën të mundur identifikimin e paqartë të një dhe vetëm një prej tre marrëdhënieve midis tyre: "< », « >"Ose" = ". Ky rregull quhet rregulli i renditjes dhe formulohet si më poshtë: dy numra jonegativë dhe lidhen me të njëjtën lidhje si dy numra të plotë dhe; dy numra jo pozitiv a dhe b lidhen me të njëjtën lidhje si dy numra jonegativë dhe; nëse papritur aështë jo negative, dhe b- negative, atëherë a > b... src = "/ fotografi / wiki / skedarë / 57 /.png" kufiri = "0">
Mbledhja e thyesave
Operacioni i shtimit. Për çdo numër racional a dhe b ekziston një i ashtuquajtur rregulli i përmbledhjes c... Për më tepër, vetë numri c thirrur shuma numrat a dhe b dhe shënohet, dhe quhet procesi i gjetjes së një numri të tillë përmbledhje... Rregulli i përmbledhjes është si më poshtë: .
Operacioni i shumëzimit. Për çdo numër racional a dhe b ekziston një i ashtuquajtur rregulli i shumëzimit, që i vendos ato në korrespondencë me një numër racional c... Për më tepër, vetë numri c thirrur produkt numrat a dhe b dhe shënohet, dhe quhet edhe procesi i gjetjes së një numri të tillë shumëzimi... Rregulli i shumëzimit është si më poshtë: .
Kalueshmëria e relacionit të rendit. Për çdo treshe të numrave racionalë a , b dhe c nëse a më pak b dhe b më pak c, pastaj a më pak c, dhe nëse a barazohet b dhe b barazohet c, pastaj a barazohet c... 6435 "> Komutativiteti i mbledhjes. Shuma nuk ndryshon nga ndryshimi i vendeve të termave racionalë.
Asociativiteti shtesë. Rendi i mbledhjes së tre numrave racional nuk ndikon në rezultatin.
Prania e zeros. Ekziston një numër racional 0 që ruan çdo numër tjetër racional kur mblidhet.
Prania e numrave të kundërt.Çdo numër racional ka një numër racional të kundërt, kur mblidhet me të jep 0.
Komutativiteti i shumëzimit. Produkti nuk ndryshon nga një ndryshim në vendet e faktorëve racionalë.
Asociativiteti i shumëzimit. Radha në të cilën shumëzohen tre numrat racional nuk ndikon në rezultatin.
Disponueshmëria e njësisë. Ekziston një numër racional 1 që ruan çdo numër tjetër racional kur shumëzohet.
Prania e numrave reciprokë.Çdo numër racional ka një numër racional të anasjelltë, i cili, kur shumëzohet me, jep 1.
Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Operacioni i shumëzimit është në përputhje me veprimin e mbledhjes me anë të ligjit të shpërndarjes:
Marrëdhënia e relacionit të rendit me veprimin e mbledhjes. I njëjti numër racional mund t'i shtohet anës së majtë dhe të djathtë të një pabarazie racionale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png "border =" 0 ">
Aksioma e Arkimedit. Cilido qoftë numri racional a, ju mund të merrni kaq shumë njësi sa që shuma e tyre do të kalojë a... src = "/ fotografi / wiki / skedarë / 55 /.png" kufiri = "0">

Karakteristikat shtesë

Të gjitha vetitë e tjera të qenësishme në numrat racional nuk veçohen si ato kryesore, sepse, në përgjithësi, ato nuk mbështeten më drejtpërdrejt në vetitë e numrave të plotë, por mund të vërtetohen bazuar në vetitë themelore të dhëna ose drejtpërdrejt nga përkufizimi i një të caktuar. objekt matematikor. Ka shumë prona të tilla shtesë. Ka kuptim të citojmë vetëm disa prej tyre këtu.

Src = "/ fotografi / wiki / skedarë / 48 /.png" kufiri = "0">

Numërueshmëria e një grupi

Numërimi racional

Për të vlerësuar numrin e numrave racionalë, duhet të gjeni kardinalitetin e grupit të tyre. Është e lehtë të vërtetohet se bashkësia e numrave racionalë është e numërueshme. Për ta bërë këtë, mjafton të jepet një algoritëm që numëron numrat racionalë, domethënë vendos një bijeksion midis grupeve të numrave racional dhe natyror.

Më e thjeshta nga këto algoritme është si më poshtë. Për secilën është përpiluar një tabelë e pafund thyesash të zakonshme i- rreshti i thte ne secilin j-kolona e së cilës ndodhet thyesa. Për saktësi, supozohet se rreshtat dhe kolonat e kësaj tabele janë të numëruara duke filluar nga një. Janë caktuar qelizat e tabelës, ku iështë numri i rreshtit të tabelës në të cilën ndodhet qeliza, dhe j- numri i kolonës.

Tabela që rezulton anashkalohet nga "gjarpri" sipas algoritmit formal të mëposhtëm.

Këto rregulla skanohen nga lart poshtë dhe pozicioni tjetër zgjidhet në ndeshjen e parë.

Në procesin e një kalimi të tillë, çdo numër i ri racional shoqërohet me numrin tjetër natyror. Domethënë, thyesës 1/1 i caktohet numri 1, thyesës 2/1 - numri 2, etj. Duhet të theksohet se numërohen vetëm thyesat e pakalueshme. Shenja formale e pareduktueshmërisë është barazia me një nga pjesëtuesit më të mëdhenj të përbashkët të numëruesit dhe emëruesit të thyesës.

Duke ndjekur këtë algoritëm, mund të numërohen të gjithë numrat racionalë pozitivë. Kjo do të thotë se bashkësia e numrave racionalë pozitivë është e numërueshme. Është e lehtë të vendosësh një bijeksion midis grupeve të numrave racionalë pozitivë dhe negativë, thjesht duke i caktuar të kundërtën çdo numri racional. Se. bashkësia e numrave racionalë negativë është gjithashtu e numërueshme. Bashkimi i tyre është gjithashtu i numërueshëm nga vetia e bashkësive të numërueshme. Bashkësia e numrave racionalë është gjithashtu e numërueshme si bashkim i një bashkësie të numërueshme me një të fundme.

Deklarata se grupi i numrave racionalë është i numërueshëm mund të shkaktojë njëfarë hutimi, pasi që në shikim të parë të krijohet përshtypja se është shumë më i gjerë se grupi i numrave natyrorë. Në fakt, kjo nuk është kështu, dhe ka mjaft numra natyrorë për të numëruar të gjithë ata racionalë.

Mungesa e numrave racionalë

Hipotenuza e një trekëndëshi të tillë nuk shprehet me ndonjë numër racional

Numrat racional të formës 1 / n në liri n ju mund të matni në mënyrë arbitrare sasi të vogla. Ky fakt krijon përshtypjen mashtruese se çdo distancë gjeometrike mund të matet me numra racionalë. Është e lehtë të tregosh se kjo nuk është e vërtetë.

Dihet nga teorema e Pitagorës se hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë shprehet si rrënjë katrore e shumës së katrorëve të këmbëve të tij. Se. gjatësia e hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh me një këmbë njësi është, domethënë, një numër katrori i të cilit është 2.

Nëse supozojmë se numri përfaqësohet nga një numër racional, atëherë ekziston një numër i tillë i plotë m dhe një numër i tillë natyror n, e cila, për më tepër, thyesa është e pakalueshme, domethënë numrat m dhe n- e thjeshtë reciprokisht.

Nese atehere , d.m.th. m 2 = 2n 2. Prandaj, numri m 2 është çift, por prodhimi i dy numrave tek është tek, që do të thotë se vetë numri m edhe madje. Pra ka një numër natyror k të tillë që numri m mund të përfaqësohet si m = 2k... Numri katror m Në këtë kuptim m 2 = 4k 2, por nga ana tjetër m 2 = 2n 2 do të thotë 4 k 2 = 2n 2, ose n 2 = 2k 2. Siç u tregua më herët për numrin m, kjo do të thotë se numri n- madje, si m... Por atëherë ato nuk janë reciprokisht të thjeshta, pasi të dyja janë përgjysmuar. Kontradikta që rezulton vërteton se nuk është një numër racional.

Thyesat ende konsiderohen si një nga fushat më të vështira të matematikës. Historia e fraksioneve shkon prapa më shumë se një mijëvjeçar. Aftësia për të ndarë të tërën në pjesë e ka origjinën në territorin e Egjiptit të lashtë dhe Babilonisë. Me kalimin e viteve, operacionet e kryera me fraksione u ndërlikuan, forma e regjistrimit të tyre ndryshoi. Secila kishte karakteristikat e veta në “marrëdhënien” me këtë degë të matematikës.

Çfarë është një thyesë?

Kur u bë e nevojshme të ndahej e tëra në pjesë pa përpjekje të panevojshme, atëherë u shfaqën fraksionet. Historia e fraksioneve është e lidhur pazgjidhshmërisht me zgjidhjen e problemeve utilitare. Vetë termi "fraksion" ka rrënjë arabe dhe vjen nga fjala që do të thotë "të thyesh, ndash". Që nga kohët e lashta, pak ka ndryshuar në këtë kuptim. Përkufizimi modern është si vijon: një thyesë është pjesa ose shuma e pjesëve të një njësie. Prandaj, shembujt me thyesa janë ekzekutimi sekuencial i veprimeve matematikore me fraksione numrash.

Sot ekzistojnë dy mënyra për t'i regjistruar ato. u ngritën në kohë të ndryshme: të parat janë më të lashta.

Erdhi nga kohra të lashta

Për herë të parë, ata filluan të operojnë me fraksione në Egjipt dhe Babiloni. Qasja e matematikanëve të dy shteteve kishte dallime domethënëse. Mirëpo, fillimi edhe atje edhe atje u hodh në të njëjtën mënyrë. Pjesa e parë ishte gjysma ose 1/2. Pastaj kishte një të katërtën, një të tretën, e kështu me radhë. Sipas gërmimeve arkeologjike, historia e fraksioneve është rreth 5 mijë vjet e vjetër. Për herë të parë, fraksionet e një numri gjenden në papiruset egjiptiane dhe në pllakat prej balte babilonase.

Egjipti i lashte

Llojet e thyesave të zakonshme sot përfshijnë të ashtuquajturat egjiptiane. Ato përfaqësojnë shumën e disa termave 1 / n. Numëruesi është gjithmonë një, dhe emëruesi është një numër natyror. Fraksione të tilla u shfaqën, pa marrë parasysh sa e vështirë është të merret me mend, në Egjiptin e lashtë. Gjatë llogaritjes, ata u përpoqën të shkruanin të gjitha aksionet në formën e shumave të tilla (për shembull, 1/2 + 1/4 + 1/8). Vetëm thyesat 2/3 dhe 3/4 kishin emërtime të veçanta, pjesa tjetër u nda në terma. Kishte tabela të veçanta në të cilat thyesat e një numri paraqiteshin si shumë.

Përmendja më e hershme e njohur e një sistemi të tillë gjendet në Papirusin Matematik të Rind, që daton nga fillimi i mijëvjeçarit të dytë para Krishtit. Ai përfshin një tabelë me thyesa dhe probleme matematikore me zgjidhje dhe përgjigje të paraqitura si shuma të thyesave. Egjiptianët dinin të mbledhin, pjesëtojnë dhe shumëzojnë pjesë të një numri. Fraksionet në Luginën e Nilit u shkruan duke përdorur hieroglife.

Paraqitja e fraksionit të një numri në formën e një shume termash të formës 1 / n, karakteristikë e Egjiptit të lashtë, u përdor nga matematikanët jo vetëm të këtij vendi. Deri në mesjetë, fraksionet egjiptiane përdoreshin në Greqi dhe shtete të tjera.

Zhvillimi i matematikës në Babiloni

Matematika dukej ndryshe në mbretërinë babilonase. Historia e origjinës së thyesave këtu lidhet drejtpërdrejt me veçoritë e sistemit të numrave, të trashëguara nga shteti antik nga paraardhësi i tij, qytetërimi sumerio-akadian. Teknika e llogaritjes në Babiloni ishte më e përshtatshme dhe më e përsosur se në Egjipt. Matematika në këtë vend zgjidhte një gamë shumë më të gjerë problemesh.

Arritjet e babilonasve sot mund të gjykohen nga pllakat e mbijetuara prej balte të mbushura me shkrim kuneiform. Për shkak të veçorive të materialit, ato na kanë ardhur në sasi të mëdha. Sipas disave, një teoremë e famshme u zbulua në Babiloni para Pitagorës, e cila padyshim dëshmon për zhvillimin e shkencës në këtë shtet të lashtë.

Thyesat: historia e thyesave në Babiloni

Sistemi i numrave në Babiloni ishte seksimal. Çdo kategori e re ndryshonte nga ajo e mëparshme me 60. Një sistem i tillë është ruajtur në botën moderne për të përcaktuar kohën dhe këndet. Fraksionet ishin gjithashtu seksi. Distinktivë të veçantë u përdorën për regjistrim. Ashtu si në Egjipt, shembujt e fraksioneve përmbanin simbole të veçanta për 1/2, 1/3 dhe 2/3.

Sistemi babilonas nuk u zhduk me shtetin. Fraksionet e shkruara në sistemin 60-tric u përdorën nga astronomët dhe matematikanët e lashtë dhe arabë.

Greqia e lashte

Historia e fraksioneve të zakonshme nuk ishte shumë e pasuruar në Greqinë e lashtë. Banorët e Hellasit besonin se matematika duhet të funksiononte vetëm me numra të plotë. Prandaj, shprehjet me fraksione praktikisht nuk u gjetën në faqet e traktateve të lashta greke. Sidoqoftë, pitagorianët dhanë një kontribut të caktuar në këtë degë të matematikës. Ata i kuptonin thyesat si raporte ose përmasa, dhe njësia konsiderohej gjithashtu e pandashme. Pitagora dhe studentët e tij ndërtuan një teori të përgjithshme të thyesave, mësuan se si të kryenin të katër veprimet aritmetike, si dhe të krahasonin thyesat duke i sjellë ato në një emërues të përbashkët.

Perandoria e Shenjtë Romake

Sistemi romak i fraksioneve u shoqërua me një masë të peshës të quajtur "gomar". Ajo u nda në 12 aksione. 1/12 e gomarit quhej ons. Kishte 18 emra për thyesat. Ja disa prej tyre:

gjysmë - gjysma e gomarit;

sextant - pjesa e gjashtë e gomarit;

një gjysmë ons është gjysmë ons ose 1/24 gomar.

Disavantazhi i një sistemi të tillë ishte pamundësia e paraqitjes së një numri si thyesë me emërues 10 ose 100. Matematikanët romakë e kapërcenin vështirësinë duke përdorur përqindje.

Shkrimi i thyesave të zakonshme

Në antikitet, thyesat ishin shkruar tashmë në një mënyrë të njohur: një numër mbi një tjetër. Megjithatë, kishte një ndryshim domethënës. Numëruesi ishte nën emëruesin. Për herë të parë, ata filluan të shkruanin thyesa në këtë mënyrë në Indinë e lashtë. Arabët filluan të përdorin mënyrën moderne për ne. Por asnjë nga popujt e përmendur nuk përdori shiritin horizontal për të ndarë numëruesin dhe emëruesin. Për herë të parë shfaqet në shkrimet e Leonardo të Pizës, i njohur më mirë si Fibonacci, në 1202.

Kinë

Nëse historia e shfaqjes së fraksioneve të zakonshme filloi në Egjipt, atëherë dhjetoret u shfaqën për herë të parë në Kinë. Në Perandorinë Qiellore, ato filluan të përdoren rreth shekullit të III para Krishtit. Historia e thyesave dhjetore filloi me matematikanin kinez Liu Hui, i cili propozoi përdorimin e tyre për nxjerrjen e rrënjëve katrore.

Në shekullin e III pas Krishtit, thyesat dhjetore në Kinë filluan të përdoren për llogaritjen e peshës dhe vëllimit. Gradualisht, ata filluan të depërtojnë gjithnjë e më thellë në matematikë. Sidoqoftë, në Evropë, thyesat dhjetore u përdorën shumë më vonë.

Al-Kashi nga Samarkandi

Pavarësisht nga paraardhësit kinezë, thyesat dhjetore u zbuluan nga astronomi al-Kashi nga qyteti antik i Samarkandit. Ai jetoi dhe punoi në shekullin e 15-të. Shkencëtari përshkroi teorinë e tij në traktatin "Çelësi i Aritmetikës", i cili u botua në 1427. Al-Kashi sugjeroi përdorimin e një forme të re të shkrimit të thyesave. Të dy pjesët e plota dhe të pjesshme tani shkruheshin në një rresht. Astronomi Samarkand nuk përdori presje për t'i ndarë ato. Ai shkroi të gjithë numrin dhe pjesën thyesore me ngjyra të ndryshme, duke përdorur bojë të zezë dhe të kuqe. Ndonjëherë, al-Kashi përdorte gjithashtu shiritin vertikal për t'i ndarë ato.

Thyesat dhjetore në Evropë

Një lloj i ri i fraksioneve filloi të shfaqet në veprat e matematikanëve evropianë që nga shekulli i 13-të. Duhet të theksohet se ata nuk ishin të njohur me veprat e al-Kashit, si dhe me shpikjen e kinezëve. Thyesat dhjetore u shfaqën në shkrimet e Jordan Nemorarium. Më pas ato u përdorën tashmë në shekullin e 16. Shkencëtari francez shkroi "Kanunin matematikor", i cili përmbante tabela trigonometrike. Viet përdori thyesa dhjetore në to. Për të ndarë pjesët e plota dhe të pjesshme, shkencëtari përdori një shirit vertikal, si dhe madhësi të ndryshme të shkronjave.

Megjithatë, këto ishin vetëm raste të veçanta të përdorimit shkencor. Thyesat dhjetore u përdorën pak më vonë në Evropë për të zgjidhur problemet e përditshme. Kjo ndodhi falë shkencëtarit holandez Simon Stevin në fund të shekullit të 16-të. Ai botoi veprën matematikore "E dhjeta" në 1585. Në të, shkencëtari përvijoi teorinë e përdorimit të thyesave dhjetore në aritmetikë, në sistemin monetar dhe për përcaktimin e masave dhe peshave.

Pikë, pikë, presje

Stevin gjithashtu nuk përdori presje. Ai ndau dy pjesët e thyesës duke përdorur një zero të mbyllur në një rreth.

Për herë të parë, një presje ndau dy pjesë të një thyese dhjetore vetëm në 1592. Në Angli, megjithatë, pika u përdor në vend të saj. Në Shtetet e Bashkuara, thyesat dhjetore shkruhen ende në këtë mënyrë.

Një nga iniciatorët e përdorimit të të dy shenjave të pikësimit për të ndarë pjesët e plota dhe të pjesshme ishte matematikani skocez John Napier. Ai e bëri propozimin e tij në 1616-1617. Një presje është përdorur edhe nga një shkencëtar gjerman

Fraksionet në Rusi

Në tokën ruse, matematikani i parë që përshkroi ndarjen e së tërës në pjesë ishte murgu i Novgorodit Kirik. Në vitin 1136 ai shkroi një vepër në të cilën ai përshkruan metodën e "llogaritjes së viteve". Kiriku merrej me çështje të kronologjisë dhe kalendarit. Në veprën e tij ai përmendi edhe ndarjen e orës në pjesë: të pesta, njëzet e pesta etj.

Ndarja e tërësisë në pjesë është përdorur në llogaritjen e shumës së tatimit në shekujt XV-XVII. U përdorën veprimet e mbledhjes, zbritjes, pjesëtimit dhe shumëzimit me pjesë thyesore.

Vetë fjala "fraksion" u shfaq në Rusi në shekullin e 8-të. Vjen nga folja "ndaj, ndaj në pjesë". Paraardhësit tanë përdornin fjalë të veçanta për të emërtuar thyesat. Për shembull, 1/2 u caktua si gjysma ose gjysma, 1/4 - çift, 1/8 - gjysma, 1/16 - gjysmë e gjysmë, e kështu me radhë.

Teoria e plotë e thyesave, jo shumë e ndryshme nga ajo moderne, u prezantua në librin e parë shkollor mbi aritmetikën, shkruar në 1701 nga Leonty Filippovich Magnitsky. "Aritmetika" përbëhej nga disa pjesë. Për thyesat autori flet në mënyrë të detajuar në rubrikën “Për numrat e vijave të thyera ose me pjesë”. Magnitsky jep operacione me numra "të thyer", emërtime të ndryshme të tyre.

Sot, thyesat janë ende ndër fushat më të vështira të matematikës. Historia e thyesave gjithashtu nuk ishte e lehtë. Popuj të ndryshëm, herë të pavarur nga njëri-tjetri, e herë duke huazuar përvojën e paraardhësve të tyre, kanë ardhur në domosdoshmërinë e prezantimit, zotërimit dhe zbatimit të thyesave të një numri. Doktrina e thyesave është rritur gjithmonë nga vëzhgimi praktik dhe për shkak të problemeve të ngutshme. Ishte e nevojshme të ndahej buka, të shënoheshin parcela të barabarta toke, të llogariteshin taksat, të matej koha etj. Veçoritë e përdorimit të thyesave dhe veprimeve matematikore me to vareshin nga sistemi i numrave në gjendje dhe nga niveli i përgjithshëm i zhvillimit të matematikës. Në një mënyrë apo tjetër, duke kapërcyer më shumë se një mijë vjet, pjesa e algjebrës kushtuar fraksioneve të numrave është formuar, zhvilluar dhe përdoret me sukses sot për një sërë nevojash, praktike dhe teorike.