Si duket ajo
Ka mjaft prizma drejtkëndëshe të rrethuara nga njeriu modern. Ky është, për shembull, kartoni i zakonshëm nga poshtë këpucëve, komponentët e kompjuterit, etj. Shikoni përreth. Edhe në një dhomë, ka të ngjarë të shihni shumë prizma drejtkëndëshe. Kjo është një kuti kompjuteri, një raft librash, një frigorifer, një gardërobë dhe shumë sende të tjera. Forma është jashtëzakonisht e popullarizuar, kryesisht sepse ju lejon të përdorni hapësirën në mënyrë sa më efikase, pavarësisht nëse jeni duke dekoruar brendësinë ose duke paketuar gjërat në kuti kartoni përpara se të lëvizni.Vetitë e prizmit drejtkëndor
Një prizëm drejtkëndor ka një numër karakteristikash specifike. Çdo palë fytyra mund të shërbejë si ajo, pasi të gjitha fytyrat ngjitur janë të vendosura me njëra-tjetrën në të njëjtin kënd, dhe ky kënd është 90 °. Vëllimi dhe sipërfaqja e një prizmi drejtkëndor është më e lehtë për t'u llogaritur se çdo tjetër. Merrni çdo objekt në formë të një prizmi drejtkëndor. Matni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e saj. Për të gjetur vëllimin, mjafton të shumëzoni këto matje. Kjo do të thotë, formula duket kështu: V = a * b * h, ku V është vëllimi, a dhe b janë anët e bazës, h është lartësia, e cila për këtë trup gjeometrik përkon me skajin anësor. Sipërfaqja bazë llogaritet duke përdorur formulën S1 = a * b. Për një sipërfaqe anësore, së pari duhet të llogaritni perimetrin e bazës duke përdorur formulën P = 2 (a + b), dhe më pas ta shumëzoni me lartësinë. Rezulton formula S2 = P * h = 2 (a + b) * h. Shtoni dyfishin e sipërfaqes bazë dhe sipërfaqes anësore për të llogaritur sipërfaqen totale të një prizmi drejtkëndor. Ju merrni formulën S = 2S1 + S2 = 2 * a * b + 2 * (a + b) * h = 2Përkufizimi. Prizmaështë një shumëfaqësh, të gjitha kulmet e të cilit janë të vendosura në dy rrafshe paralele, dhe në të njëjtat dy rrafshe ka dy faqe prizmi, të cilat janë shumëkëndësha të barabartë me brinjë përkatësisht paralele, dhe të gjitha skajet që nuk shtrihen në këto rrafshe janë paralele.
Quhen dy fytyra të barabarta bazat e prizmit(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Të gjitha faqet e tjera të prizmit quhen fytyrat anësore(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Të gjitha fytyrat anësore formohen sipërfaqja anësore e prizmit .
Të gjitha faqet anësore të prizmit janë paralelograme .
Brinjët që nuk shtrihen në bazat quhen brinjë anësore të prizmit ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prizma diagonale quhet një segment, skajet e të cilit janë dy kulme të një prizmi që nuk shtrihen në njërën nga faqet e tij (AD 1).
Gjatësia e segmentit që lidh bazat e prizmit dhe pingul me të dyja bazat në të njëjtën kohë quhet lartësia e prizmit .
Përcaktimi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Së pari, në rendin e kalimit, kulmet e njërës bazë tregohen dhe më pas, në të njëjtin rend, kulmet e tjetrës; skajet e secilës skaj anësor shënohen me të njëjtat shkronja, vetëm kulmet që shtrihen në njërën bazat shënohen me shkronja pa indeks, dhe në tjetrën - me një indeks)
Emri i prizmit shoqërohet me numrin e këndeve në figurën që shtrihet në bazën e tij, për shembull, në figurën 1, një pesëkëndësh shtrihet në bazë, prandaj prizmi quhet prizëm pesëkëndësh... Por që kur një prizëm i tillë ka 7 faqe, atëherë ai heptaedron(2 faqe - bazat e prizmit, 5 faqe - paralelograme, - faqet anësore të saj)
Ndër prizmat e drejtë, spikat një lloj i veçantë: prizmat e rregullt.
Prizma e drejtë quhet saktë, nëse bazat e tij janë shumëkëndësha të rregullt.
Paralelepiped
Paralelepipedështë një prizëm katërkëndor, në bazën e të cilit është një paralelogram (parallelepiped i zhdrejtë). Paralelepiped i drejtë- një paralelipiped me skaje anësore pingul me rrafshet bazë.Paralelepiped drejtkëndëshe- një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh.
Vetitë dhe teoremat:
Disa veti të një paralelopipedi janë të ngjashme me vetitë e njohura të një paralelogrami.Një paralelopiped drejtkëndor me përmasa të barabarta quhet kubik
.Një kub i ka të gjitha faqet katrore të barabarta.Katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij. 
,
ku d është diagonalja e katrorit;
a - anë e sheshit.
Ideja e një prizmi jepet nga:
- struktura të ndryshme arkitekturore;
- lodra per femije;
- kuti paketimi;
- artikujt e projektimit etj.
Zona e sipërfaqes së plotë dhe anësore të prizmit
Sipërfaqja totale e prizmitështë shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të saj Sipërfaqja anësore quhet shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore të saj bazat e prizmit janë të barabarta me shumëkëndëshin, atëherë sipërfaqet e tyre janë të barabarta. Kjo është arsyeja pseS e plotë = ana S + 2S kryesore,
ku S plot- sipërfaqja totale, Ana S- zona e sipërfaqes anësore, S kryesore- zona e bazës
Sipërfaqja anësore e një prizmi të drejtë është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.
Ana S= P kryesore * h,
ku Ana S- zona e sipërfaqes anësore të një prizmi të drejtë,
P kryesore - perimetri i bazës së një prizmi të drejtë,
h është lartësia e prizmit të drejtë, e barabartë me skajin anësor.
Vëllimi i prizmit
Vëllimi i prizmit është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.
Përkufizim 1. Sipërfaqja prizmatike
Teorema 1. Në prerjet paralele të një sipërfaqeje prizmatike
Përkufizim 2. Prerje pingule e një sipërfaqeje prizmatike
Përkufizimi 3. Prizma
Përkufizim 4. Lartësia e prizmit
Përkufizim 5. Prizma e drejtë
Teorema 2. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një prizmi
Paralelepiped:
Përkufizimi 6. Kutia
Teorema 3. Mbi kryqëzimin e diagonaleve të një paralelipipedi
Përkufizim 7. Parallelepiped djathtas
Përkufizim 8. Paralelepiped drejtkëndëshe
Përkufizimi 9. Matjet e një paralelipipedi
Përkufizimi 10. Kubi
Përkufizimi 11. Rombohedron
Teorema 4. Në diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor
Teorema 5. Vëllimi i një prizmi
Teorema 6. Vëllimi i një prizmi të drejtë
Teorema 7. Vëllimi i një paralelepipedi drejtkëndor
Prizma quhet shumëfaqësh në të cilin dy faqe (baza) shtrihen në rrafshe paralele, dhe skajet që nuk shtrihen në këto faqe janë paralele me njëra-tjetrën.
Fytyrat e tjera përveç bazave quhen anësore.
Anët e faqeve anësore dhe bazave quhen brinjët e prizmit, quhen skajet e brinjëve majat e prizmit. Brinjët anësore brinjët që nuk i përkasin bazave quhen. Bashkimi i faqeve anësore quhet sipërfaqja anësore e prizmit, dhe bashkimi i të gjitha fytyrave quhet sipërfaqja e plotë e prizmit. Lartësia e prizmit quhet pingulja e rënë nga pika e bazës së sipërme në rrafshin e bazës së poshtme ose gjatësia e kësaj pingule. 
Prizma e drejtë quhet prizëm në të cilin skajet anësore janë pingul me rrafshet e bazave. 
E sakte quhet prizëm i drejtë (Fig. 3), në bazën e të cilit ndodhet një shumëkëndësh i rregullt.
Legjenda:
l - brinjë anësore;
P është perimetri i bazës;
S o - zona e bazës;
H - lartësia;
P ^ - perimetri i seksionit pingul;
S b - sipërfaqja anësore;
V është vëllimi;
S p - zona e sipërfaqes së plotë të prizmit.
|
V = SH |
*Supozohet se çdo dy plane të njëpasnjëshme kryqëzohen dhe se rrafshi i fundit kryqëzon të parin
Teorema 1 ... Seksionet e një sipërfaqeje prizmatike nga rrafshet paralel me njëri-tjetrin (por jo paralel me skajet e saj) janë shumëkëndësha të barabartë.
Le të jenë ABCDE dhe A "B" C "D" E "seksione të një sipërfaqeje prizmatike nga dy plane paralele. Për t'u siguruar që këta dy shumëkëndësha janë të barabartë, mjafton të tregojmë se trekëndëshat ABC dhe A" B "C" janë të barabartë dhe kanë të njëjtin drejtim rrotullimi dhe se e njëjta gjë vlen edhe për trekëndëshat ABD dhe A "B" D ", ABE dhe A" B "E". Por brinjët përkatëse të këtyre trekëndëshave janë paralele (për shembull, AC paralel me A "C") si vija të kryqëzimit të një plani të caktuar me dy rrafshe paralele; rrjedh se këto brinjë janë të barabarta (për shembull AC është e barabartë me A "C") si brinjë të kundërta të paralelogramit dhe se këndet e formuara nga këto brinjë janë të barabarta dhe kanë të njëjtin drejtim.
Përkufizimi 2 ... Seksioni pingul i një sipërfaqeje prizmatike quhet seksioni i kësaj sipërfaqeje nga një rrafsh pingul me skajet e saj. Bazuar në teoremën e mëparshme, të gjitha seksionet pingule të së njëjtës sipërfaqe prizmatike do të jenë shumëkëndësha të barabartë.
Përkufizimi 3
... Një prizëm është një poliedron i kufizuar nga një sipërfaqe prizmatike dhe dy plane paralele me njëri-tjetrin (por jo paralel me skajet e sipërfaqes prizmatike)
Fytyrat që shtrihen në këto plane të fundit quhen bazat e prizmit; fytyrat që i përkasin një sipërfaqeje prizmatike - fytyrat anësore; skajet e një sipërfaqeje prizmatike - skajet anësore të prizmit... Në bazë të teoremës së mëparshme, bazat e prizmit janë shumëkëndësha të barabartë... Të gjitha faqet anësore të prizmit - paralelogramet; të gjitha skajet anësore janë të barabarta.
Natyrisht, nëse ju jepet baza e prizmit ABCDE dhe një nga skajet AA "në madhësi dhe drejtim, atëherë mund të ndërtoni një prizëm duke vizatuar skajet BB", CC", .., të barabarta dhe paralele me skajin AA ".
Përkufizimi 4 ... Lartësia e prizmit është distanca midis rrafsheve të bazave të tij (HH ").
Përkufizimi 5
... Një prizëm quhet i drejtë nëse bazat e tij janë seksione pingule të një sipërfaqeje prizmatike. Në këtë rast, lartësia e prizmit është, natyrisht, e saj brinjë anësore; fytyrat anësore do drejtkëndëshat.
Prizmat mund të klasifikohen sipas numrit të faqeve anësore të barabarta me numrin e brinjëve të shumëkëndëshit që shërben si bazë e tij. Pra, prizmat mund të jenë trekëndësh, katërkëndësh, pesëkëndësh, etj.
Teorema 2
... Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të prizmit është e barabartë me produktin e brinjës anësore nga perimetri i seksionit pingul.
Le të ABCDEA "B" C "D" E "- ky prizëm dhe abcde - seksioni pingul i tij, në mënyrë që segmentet ab, bc, .. të jenë pingul me skajet anësore të saj. Fytyra ABA" B "është një paralelogram; sipërfaqja e saj është e barabartë me produktin e bazës AA "në një lartësi që përkon me ab; sipërfaqja e faqes BCB "C" është e barabartë me produktin e bazës BB "nga lartësia bc, etj. Prandaj, sipërfaqja anësore (d.m.th., shuma e sipërfaqeve të fytyrës anësore) është e barabartë me produktin të brinjës anësore, me fjalë të tjera, gjatësia totale e segmenteve AA", BB ", .., në masën ab + bc + cd + de + ea.
Në kurrikulën e shkollës për kursin e stereometrisë, studimi i figurave vëllimore zakonisht fillon me një trup të thjeshtë gjeometrik - një poliedrin e një prizmi. Roli i bazave të tij kryhet nga 2 shumëkëndësha të barabartë të shtrirë në plane paralele. Një rast i veçantë është një prizëm i rregullt katërkëndor. Bazat e tij janë 2 katërkëndësha të rregullt identikë, me të cilët brinjët anësore janë pingule, në formë paralelogramesh (ose drejtkëndëshash, nëse prizmi nuk është i prirur).
Si duket një prizëm
Një prizëm i rregullt katërkëndor quhet gjashtëkëndësh, në bazat e të cilit ka 2 katrorë, dhe faqet anësore përfaqësohen me drejtkëndësha. Një emër tjetër për këtë figurë gjeometrike është një paralelipiped i drejtë.
Një vizatim që tregon një prizëm katërkëndësh është paraqitur më poshtë.
Fotografia mund të shihet gjithashtu elementët më të rëndësishëm që përbëjnë një trup gjeometrik... Është zakon t'u referohemi atyre:
Ndonjëherë në problemet në gjeometri mund të gjesh konceptin e një seksioni. Përkufizimi do të tingëllojë si ky: një seksion janë të gjitha pikat e një trupi vëllimor që i përkasin një plani prerës. Seksioni është pingul (ai kryqëzon skajet e formës në një kënd prej 90 gradë). Për një prizëm drejtkëndor, konsiderohet gjithashtu një seksion diagonal (numri maksimal i seksioneve që mund të ndërtohen është 2) duke kaluar nëpër 2 skaje dhe diagonale të bazës.
Nëse seksioni vizatohet në mënyrë që rrafshi i prerjes të mos jetë paralel as me bazat, as me faqet anësore, rezultati është një prizëm i cunguar.
Për të gjetur elementët prizmatikë të reduktuar përdoren relacione dhe formula të ndryshme. Disa prej tyre njihen nga kursi i planimetrisë (për shembull, për të gjetur sipërfaqen e bazës së një prizmi, mjafton të kujtoni formulën për sipërfaqen e një katrori).
Sipërfaqja dhe vëllimi
Për të përcaktuar vëllimin e një prizmi duke përdorur formulën, duhet të dini zonën bazë dhe lartësinë e tij:
V = S h kryesore
Meqenëse baza e një prizmi të rregullt katërkëndor është një katror me një anë a, Ju mund të shkruani formulën në mënyrë më të detajuar:
V = a² h
Nëse po flasim për një kub - një prizëm të rregullt me gjatësi, gjerësi dhe lartësi të barabartë, vëllimi llogaritet si më poshtë:
Për të kuptuar se si të gjeni zonën e sipërfaqes anësore të një prizmi, duhet të imagjinoni shpalosjen e saj.
Vizatimi tregon se sipërfaqja anësore është e përbërë nga 4 drejtkëndësha të barabartë. Sipërfaqja e saj llogaritet si prodhim i perimetrit të bazës dhe lartësisë së figurës:
Ana = P h kryesore
Duke marrë parasysh se perimetri i katrorit është P = 4a, formula merr formën:
Ana = 4a h
Për një kub:
Ana = 4a²
Për të llogaritur sipërfaqen totale të prizmit, shtoni 2 zona bazë në zonën anësore:
S e plotë = ana S + 2 S kryesore
Në lidhje me një prizëm të rregullt katërkëndor, formula është:
S total = 4a · h + 2a²
Për sipërfaqen e një kubi:
S total = 6a²
Duke ditur vëllimin ose sipërfaqen, mund të llogaritni elementët individualë të trupit gjeometrik.
Gjetja e elementeve të prizmit
Shpesh ka probleme në të cilat jepet vëllimi ose dihet vlera e sipërfaqes anësore, ku është e nevojshme të përcaktohet gjatësia e anës së bazës ose lartësia. Në raste të tilla, formulat mund të nxirren:
- gjatësia e anës së bazës: a = ana S / 4h = √ (V / h);
- gjatësia e lartësisë ose brinja anësore: h = ana S / 4a = V / a²;
- zona bazë: Sosn = V / h;
- zona e fytyrës anësore: Ana S. gr = ana S / 4.
Për të përcaktuar se çfarë zone ka një seksion diagonal, duhet të dini gjatësinë e diagonales dhe lartësinë e figurës. Për një shesh d = a√2. Prandaj:
Sdiag = ah√2
Për të llogaritur diagonalen e prizmit, përdorni formulën:
dçmim = √ (2a² + h²)
Për të kuptuar se si të zbatoni raportet e mësipërme, mund të praktikoni dhe zgjidhni disa detyra të thjeshta.
Shembuj detyrash me zgjidhje
Ja disa nga detyrat që gjenden në provimet përfundimtare shtetërore në matematikë.
Ushtrimi 1.
Rëra derdhet në një kuti në formën e një prizmi të rregullt katërkëndor. Lartësia e nivelit të saj është 10 cm Sa do të bëhet niveli i rërës nëse e zhvendosni në një enë me të njëjtën formë, por me gjatësi bazë 2 herë më të gjatë?
Duhet të arsyetohet si më poshtë. Sasia e rërës në kontejnerët e parë dhe të dytë nuk ka ndryshuar, domethënë vëllimi i saj në to përkon. Ju mund të caktoni gjatësinë e bazës për a... Në këtë rast, për kutinë e parë, vëllimi i substancës do të jetë:
V1 = ha² = 10a²
Për kutinë e dytë, gjatësia e bazës është 2a, por lartësia e nivelit të rërës është e panjohur:
V2 = h (2a) ² = 4ha²
Për aq sa V1 = V2, ju mund të barazoni shprehjet:
10a² = 4ha²
Pasi anulojmë të dyja anët e ekuacionit me a², marrim:
Si rezultat, niveli i ri i rërës do të jetë h = 10/4 = 2,5 cm.
Detyra 2.
ABCDA1B1C1D1 është prizmi i saktë. Dihet se BD = AB1 = 6√2. Gjeni sipërfaqen totale të trupit.
Për ta bërë më të lehtë të kuptoni se cilët elementë njihen, mund të përshkruani një figurë.
Meqenëse po flasim për prizmin e saktë, mund të konkludojmë se në bazë ka një katror me diagonale 6√2. Diagonalja e faqes anësore ka të njëjtën madhësi, prandaj edhe faqja anësore ka formën e një katrori të barabartë me bazën. Rezulton se të tre dimensionet - gjatësia, gjerësia dhe lartësia - janë të barabarta. Mund të konkludohet se ABCDA1B1C1D1 është një kub.
Gjatësia e çdo skaji përcaktohet përmes diagonales së njohur:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Sipërfaqja totale gjendet me formulën për një kub:
S total = 6a² = 6 6² = 216
Detyra 3.
Dhoma eshte duke u rinovuar. Dihet se dyshemeja e saj është në formë katrori me sipërfaqe 9 m². Lartësia e dhomës është 2.5 m. Cila është kostoja më e ulët e veshjes së letër-muri të dhomës nëse 1 m² kushton 50 rubla?
Meqenëse dyshemeja dhe tavani janë katrorë, domethënë katërkëndësha të rregullt, dhe muret e saj janë pingul me sipërfaqet horizontale, mund të konkludojmë se është një prizëm i rregullt. Është e nevojshme të përcaktohet zona e sipërfaqes së saj anësore.
Gjatësia e dhomës është a = √9 = 3 m.
Letër-muri do të ngjitet mbi zonë Ana = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².
Kostoja më e ulët e letër-muri për këtë dhomë do të jetë 50 30 = 1500 rubla.
Kështu, për të zgjidhur problemet në një prizëm drejtkëndor, mjafton të jeni në gjendje të llogaritni sipërfaqen dhe perimetrin e një katrori dhe një drejtkëndëshi, si dhe formulat e veta për gjetjen e vëllimit dhe sipërfaqes.
Si të gjeni sipërfaqen e një kubi
Një degë e matematikës që merret me studimin e vetive të formave të ndryshme (pika, vija, kënde, objekte dydimensionale dhe tredimensionale), madhësinë dhe pozicionin e tyre relativ. Për lehtësinë e mësimdhënies, gjeometria ndahet në planimetri dhe stereometri. V…… Enciklopedia e Collier
Gjeometria e hapësirave me dimension më të madh se tre; termi zbatohet për ato hapësira, gjeometria e të cilave fillimisht u zhvillua për rastin e tre dimensioneve dhe vetëm më pas u përgjithësua në numrin e dimensioneve n> 3, para së gjithash, hapësirën Euklidiane, ... ... Enciklopedia e matematikës
Gjeometria Euklidiane N dimensionale është një përgjithësim i gjeometrisë Euklidiane në një hapësirë me më shumë dimensione. Megjithëse hapësira fizike është tre-dimensionale dhe shqisat njerëzore janë krijuar për të perceptuar tre dimensione, N është dimensionale ... ... Wikipedia
Ky term ka kuptime të tjera, shih Pyramidatsu (kuptimet). Vërtetësia e këtij seksioni të artikullit është vënë në pikëpyetje. Ju duhet të kontrolloni saktësinë e fakteve në këtë seksion. Mund të ketë shpjegime në faqen e diskutimit ... Wikipedia
- Teknologjia (Constructive Solid Geometry, CSG) e përdorur në modelimin e ngurtë. Gjeometria e bllokut strukturor është shpesh, por jo gjithmonë, një mënyrë modelimi në 3D dhe CAD. Kjo ju lejon të krijoni një skenë komplekse ose ... Wikipedia
Gjeometria konstruktive e ngurtë (CSG) është një teknologji e përdorur në modelimin e ngurtë. Gjeometria e bllokut strukturor është shpesh, por jo gjithmonë, një mënyrë modelimi në 3D dhe CAD. Ajo ... ... Wikipedia
Ky term ka kuptime të tjera, shih Fushëveprimi (kuptimet). Vëllimi është një funksion shtesë i grupit (masës) që karakterizon kapacitetin e zonës së hapësirës që zë. Fillimisht u ngrit dhe u aplikua pa ... ... Wikipedia
Lloji i kubit Polyedron i rregullt Fytyra katrore Kulmet Skajet Fytyrat ... Wikipedia
Vëllimi është një funksion shtesë i grupit (masës) që karakterizon kapacitetin e zonës së hapësirës që zë. Fillimisht, ajo u ngrit dhe u zbatua pa një përkufizim të rreptë në lidhje me trupat tre-dimensionale të hapësirës tredimensionale Euklidiane. ... ... Wikipedia
Një pjesë e hapësirës e kufizuar nga një koleksion i një numri të kufizuar shumëkëndëshash të sheshtë (shih GJEOMETRI) të lidhur në atë mënyrë që secila anë e çdo shumëkëndëshi të jetë një anë e një shumëkëndëshi tjetër (i quajtur ... ... Enciklopedia e Collier
libra
- Një grup tavolinash. Gjeometria. Klasa 10. 14 tabela + metodologji,. Tabelat janë të printuara në karton të trashë poligrafik me përmasa 680 x 980 mm. Kompleti përfshin një broshurë me udhëzime për mësuesit. Albumi edukativ me 14 fletë. ...