Shembuj:
\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \) \ (\ leq0 \)
\ (\ frac (1) (2x) \) \ (+ \) \ (\ frac (x) (x + 1) \) \ (<\)\(\frac{1}{2}\)
\ (\ frac (6) (x + 1) \) \ (> \) \ (\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \).
Kur zgjidhen pabarazitë racionale thyesore, përdoret metoda e intervaleve. Prandaj, nëse algoritmi më poshtë ju paraqet vështirësi, hidhini një sy artikullit mbi .
Si të zgjidhen pabarazitë racionale thyesore:
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive thyesore-racionale.
- Nëse $ D \ gt 0 $, marrim dy rrënjë të ndryshme;
- Nëse $ D = 0 $, atëherë do të ketë një rrënjë, por të shumëfishtë të dytë (çfarë është kjo shumësi dhe si ta marrim parasysh - më shumë për këtë më vonë). Ose mund të themi se ekuacioni ka dy rrënjë identike;
- Për $ D \ lt 0 $, nuk ka rrënjë fare, dhe shenja e polinomit $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ për çdo $ x $ përkon me shenjën e koeficientit $ një $. Nga rruga, ky është një fakt shumë i dobishëm, për të cilin për disa arsye ata harrojnë të flasin në mësimet e algjebrës.
- Faktorizimi i polinomit $ P \ majtas (x \ djathtas) $;
- Në fakt, reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
- Faktoroni të dy emëruesit;
- Merrni parasysh emëruesin e parë dhe shtoni faktorët që janë në emëruesin e dytë, por jo në të parën. Produkti që rezulton do të jetë emëruesi i përbashkët;
- Zbuloni se cilët faktorë mungojnë për secilën nga thyesat origjinale në mënyrë që emëruesit të bëhen të barabartë me të përgjithshmen.
- Strikte: $ f \ majtas (x \ djathtas) \ gt 0 $ ose $ f \ majtas (x \ djathtas) \ lt 0 $;
- Lax: $ f \ majtas (x \ djathtas) \ ge 0 $ ose $ f \ majtas (x \ djathtas) \ le 0 $.
- Mblidhni të gjithë elementët jozero në njërën anë të shenjës së pabarazisë. Për shembull, në të majtë;
- Sillni të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët (nëse ka disa thyesa të tilla), sillni të ngjashme. Pastaj, nëse është e mundur, faktorizoni atë në numërues dhe emërues. Në një mënyrë apo tjetër, marrim një pabarazi të formës $ \ frac (P \ majtas (x \ djathtas)) (Q \ majtas (x \ djathtas)) \ vee 0 $, ku shenja e kontrollit është shenja e pabarazisë.
- Vendosni numëruesin në zero: $ P \ majtas (x \ djathtas) = 0 $. Ne e zgjidhim këtë ekuacion dhe marrim rrënjët $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... Pastaj kërkojmë se emëruesi nuk ishte i barabartë me zero: $ Q \ majtas (x \ djathtas) \ ne 0 $. Sigurisht, në fakt, ne duhet të zgjidhim ekuacionin $ Q \ majtas (x \ djathtas) = 0 $, dhe marrim rrënjët $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3 ) ^ (*) $, ... (në problemet reale vështirë se do të ketë më shumë se tre rrënjë të tilla).
- Ne i shënojmë të gjitha këto rrënjë (me dhe pa yje) në një vijë të vetme numerike, dhe rrënjët pa yje janë lyer mbi të dhe me yje janë hequr.
- Vendosim shenjat plus dhe minus, zgjedhim intervalet që na duhen. Nëse pabarazia duket si $ f \ majtas (x \ djathtas) \ gt 0 $, atëherë përgjigja do të jetë intervalet e shënuara me "plus". Nëse $ f \ majtas (x \ djathtas) \ lt 0 $, atëherë shikoni intervalet me "minuset".
- Nëse $ x = a $ është një rrënjë e shumëfishimit çift, atëherë shenja e funksionit nuk ndryshon kur kalon nëpër të;
- Dhe anasjelltas, nëse $ x = a $ është një rrënjë e shumëfishimit tek, atëherë shenja e funksionit do të ndryshojë.
- Pika $ x = 1 $ ka shumëfishim të barabartë, por vetë është shpuar. Prandaj, do të duhet të izolohet në përgjigje: duhet të shkruani $ x \ në \ majtas (- \ infty; 1 \ djathtas) \ bigcup \ majtas (1; 2 \ djathtas) $, dhe jo $ x \ në \ majtas (- \ infty; 2 \ djathtas) $.
- Pika $ x = 3 $ gjithashtu ka një shumësi çift dhe plotësohet në të njëjtën kohë. Rregullimi i shenjave tregon se pika në vetvete na përshtatet, por një hap majtas dhe djathtas - dhe ne e gjejmë veten në një zonë që definitivisht nuk na përshtatet. Pika të tilla quhen të izoluara dhe shkruhen si $ x \ në \ majtas \ (3 \ djathtas \) $.
- Intervali $ \ majtas (- \ infty; 1 \ djathtas) $, që fjalë për fjalë do të thotë "të gjithë numrat më pak se një, por jo ai vetë";
- $ \ Majtas (1; 2 \ djathtas) Hapësira $, d.m.th. "Të gjithë numrat në rangun nga 1 në 2, por jo vetë numrat 1 dhe 2";
- Kompleti $ \ majtas \ (3 \ djathtas \) $, i përbërë nga një numër i vetëm - tre;
- Intervali $ \ majtas [4; 5 \ djathtas) $, që përmban të gjithë numrat në rangun nga 4 në 5, si dhe vetë katër, por jo pesë.
Shembuj:
Rregulloni karakteret në intervalet e boshtit të numrave. Më lejoni t'ju kujtoj rregullat për vendosjen e tabelave:
Ne përcaktojmë shenjën në intervalin e djathtë ekstrem - marrim një numër nga ky interval dhe e zëvendësojmë atë në pabarazi në vend të x. Pas kësaj, ne përcaktojmë shenjat në kllapa dhe rezultatin e shumëzimit të këtyre shenjave;
Shembuj:
Theksoni hapësirat që dëshironi. Nëse ka një rrënjë të veçantë, atëherë shënojeni atë me një kuti kontrolli në mënyrë që të mos harroni ta vendosni në përgjigje (shih shembullin më poshtë).
Shembuj:
Shkruani hapësirat e theksuara dhe rrënjët e shënuara me një flamur (nëse ka) si përgjigje.
Shembuj:
Përgjigje: \ ((- ∞; -1) ∪ (-1; 1,2] ∪
Tani le ta komplikojmë pak detyrën dhe të marrim parasysh jo vetëm polinomet, por të ashtuquajturat fraksione racionale të formës:
ku $ P \ majtas (x \ djathtas) $ dhe $ Q \ majtas (x \ djathtas) $ janë të gjithë polinomet e njëjta të formës $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + (( a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, ose produkti i polinomeve të tillë.
Kjo do të jetë pabarazi racionale. Pika themelore është prania e ndryshores $ x $ në emërues. Për shembull, këto janë pabarazi racionale:
\ [\ fillojë (radhisë) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ majtas (7x + 1 \ djathtas) \ majtas (11x + 2 \ djathtas)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ majtas (3-x \ djathtas)) ^ (2)) \ majtas (4 - ((x) ^ ( 2)) \ djathtas)) \ ge 0. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Dhe kjo nuk është një pabarazi racionale, por më e zakonshme, e cila zgjidhet me metodën e intervaleve:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]
Duke parë përpara, do të them menjëherë: ekzistojnë të paktën dy mënyra për të zgjidhur pabarazitë racionale, por të gjitha ato disi reduktohen në metodën e intervaleve tashmë të njohura për ne. Prandaj, para se të shqyrtojmë këto metoda, le të kujtojmë faktet e vjetra, përndryshe nuk do të ketë kuptim nga materiali i ri.
Çfarë duhet të dini tashmë
Nuk ka shumë fakte të rëndësishme. Na duhen vërtet vetëm katër.
Formulat e shkurtuara të shumëzimit
Po, po: ata do të na ndjekin gjatë gjithë kurrikulës shkollore të matematikës. Dhe në universitet gjithashtu. Ka mjaft nga këto formula, por na duhen vetëm sa vijon:
\ [\ fillojë (radhisë) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ majtas (a \ pm b \ djathtas)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ majtas (a-b \ djathtas) \ majtas (a + b \ djathtas); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ majtas (a + b \ djathtas) \ majtas (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) ^ (2)) \ djathtas); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ majtas (ab \ djathtas) \ majtas (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ djathtas). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Kushtojini vëmendje dy formulave të fundit - këto janë shuma dhe ndryshimi i kubeve (jo kubi i shumës ose i diferencës!). Ato janë të lehta për t'u mbajtur mend nëse vëreni se shenja në kllapa e parë përputhet me shenjën në shprehjen origjinale, dhe në të dytën është e kundërta e shenjës në shprehjen origjinale.
Ekuacionet lineare
Këto janë ekuacionet më të thjeshta të formës $ ax + b = 0 $, ku $ a $ dhe $ b $ janë numra të zakonshëm, me $ a \ ne 0 $. Ky ekuacion mund të zgjidhet thjesht:
\ [\ fillojë (radhisë) & sëpatë + b = 0; \\ & sëpatë = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Vini re se ne kemi të drejtë të pjesëtojmë me koeficientin $ a $, sepse $ a \ ne 0 $. Kjo kërkesë është mjaft logjike, pasi për $ a = 0 $ marrim këtë:
Së pari, nuk ka asnjë variabël $ x $ në këtë ekuacion. Në përgjithësi, kjo nuk duhet të na ngatërrojë (kjo ndodh, le të themi, në gjeometri, dhe mjaft shpesh), por megjithatë ne nuk jemi më përpara një ekuacioni linear.
Së dyti, zgjidhja e këtij ekuacioni varet vetëm nga koeficienti $ b $. Nëse $ b $ është gjithashtu zero, atëherë ekuacioni ynë ka formën $ 0 = 0 $. Kjo barazi është gjithmonë e vërtetë; pra, $ x $ është çdo numër (zakonisht shkruhet kështu: $ x \ në \ mathbb (R) $). Nëse koeficienti $ b $ nuk është i barabartë me zero, atëherë barazia $ b = 0 $ nuk plotësohet kurrë, d.m.th. nuk ka përgjigje (shkruani $ x \ në \ varnothing $ dhe lexoni "bashkësia e zgjidhjeve është bosh").
Për të shmangur të gjitha këto komplikime, ne thjesht supozojmë $ a \ ne 0 $, gjë që në asnjë mënyrë nuk kufizon të menduarit tonë të mëtejshëm.
Ekuacionet kuadratike
Më lejoni t'ju kujtoj se ky quhet një ekuacion kuadratik:
Këtu në të majtë është një polinom i shkallës së dytë, dhe përsëri $ a \ ne 0 $ (përndryshe, në vend të një ekuacioni kuadratik, marrim një linear). Ekuacionet e mëposhtme zgjidhen përmes diskriminuesit:
Rrënjët vetë konsiderohen sipas formulës së njohur:
\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]
Prandaj, meqë ra fjala, dhe kufizimet për diskriminues. Në fund të fundit, rrënja katrore e një numri negativ nuk ekziston. Sa i përket rrënjëve, shumë studentë kanë një rrëmujë të tmerrshme në kokat e tyre, kështu që unë shkruajta posaçërisht një mësim të tërë: çfarë është një rrënjë në algjebër dhe si ta numëroni atë - Unë rekomandoj shumë ta lexoni. :)
Veprimet me thyesat racionale
Gjithçka që u shkrua më lart, ju tashmë e dini nëse keni studiuar metodën e intervaleve. Por ajo që do të analizojmë tani nuk ka analoge në të kaluarën - ky është një fakt krejtësisht i ri.
Përkufizimi. Një thyesë racionale është një shprehje si
\ [\ frac (P \ majtas (x \ djathtas)) (Q \ majtas (x \ djathtas)) \]
ku $ P \ majtas (x \ djathtas) $ dhe $ Q \ majtas (x \ djathtas) $ janë polinome.
Natyrisht, është e lehtë të merret një pabarazi nga një fraksion i tillë - mjafton vetëm të caktoni shenjën "më shumë" ose "më pak" në të djathtë. Dhe pak më tej do të zbulojmë se është kënaqësi të zgjidhësh probleme të tilla, gjithçka është shumë e thjeshtë atje.
Problemet fillojnë kur ka disa thyesa të tilla në një shprehje. Ata duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët - dhe pikërisht në këtë moment bëhen një numër i madh gabimesh sulmuese.
Prandaj, për të zgjidhur me sukses ekuacionet racionale, duhet të zotëroni në mënyrë të vendosur dy aftësi:
Si të faktorizohet një polinom? Shume e thjeshte. Supozoni se kemi një polinom të formës
E barazojmë me zero. Ne marrim ekuacionin e shkallës $ n $ -të:
\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = 0 \]
Le të themi se e zgjidhëm këtë ekuacion dhe morëm rrënjët $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (mos u shqetësoni: në shumicën e rasteve do të ketë jo më shumë se dy nga këto rrënjë) ... Në këtë rast, polinomi ynë origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:
\ [\ fillojë (drejtoj) & P \ majtas (x \ djathtas) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ majtas ( x - ((x) _ (1)) \ djathtas) \ cdot \ majtas (x - ((x) _ (2)) \ djathtas) \ cdot ... \ cdot \ majtas (x - ((x) _ (n)) \ djathtas) \ fundi (rreshtoj) \]
Kjo eshte e gjitha! Ju lutemi vini re: koeficienti kryesor $ ((a) _ (n)) $ nuk është zhdukur askund - do të jetë një faktor i veçantë përpara kllapave, dhe nëse është e nevojshme, mund të futet në ndonjë nga këto kllapa (praktika tregon se me $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ ka pothuajse gjithmonë thyesa midis rrënjëve).
Detyrë. Thjeshtoni shprehjen:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]
Zgjidhje. Së pari, le të shohim emëruesit: ata janë të gjithë binomi linearë, dhe nuk ka asgjë për të përfshirë. Pra, le të faktorizojmë numëruesit:
\ [\ fillojë (drejtoj) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ majtas (x + 5 \ djathtas) \ majtas (x-4 \ djathtas); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ majtas (x- \ frac (3) (2) \ djathtas) \ majtas (x-1 \ djathtas) = \ majtas (2x- 3 \ djathtas) \ majtas (x-1 \ djathtas); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ majtas (x + 2 \ djathtas) \ majtas (x- \ frac (2) (5) \ djathtas) = \ majtas (x +2 \ djathtas) \ majtas (2-5x \ djathtas). \\\ fundi (drejtoj) \]
Kushtojini vëmendje: në polinomin e dytë, koeficienti kryesor "2", në përputhje të plotë me skemën tonë, fillimisht u shfaq përpara kllapës, dhe më pas u fut në kllapin e parë, pasi fraksioni doli atje.
E njëjta gjë ndodhi edhe në polinomin e tretë, vetëm aty ngatërrohet edhe rendi i termave. Sidoqoftë, koeficienti "−5" përfundoi në kllapin e dytë (mbani mend: mund ta vendosni faktorin në një dhe vetëm një kllapa!), gjë që na shpëtoi nga shqetësimi që lidhet me rrënjët e pjesshme.
Sa i përket polinomit të parë, gjithçka është e thjeshtë atje: rrënjët e tij kërkohen ose në mënyrë standarde përmes diskriminuesit, ose nga teorema e Vietës.
Le të kthehemi te shprehja origjinale dhe ta rishkruajmë atë me numëruesit e faktorizuar:
\ [\ fillojë (matrica) \ frac (\ majtas (x + 5 \ djathtas) \ majtas (x-4 \ djathtas)) (x-4) - \ frac (\ majtas (2x-3 \ djathtas) \ majtas ( x-1 \ djathtas)) (2x-3) - \ frac (\ majtas (x + 2 \ djathtas) \ majtas (2-5x \ djathtas)) (x + 2) = \\ = \ majtas (x + 5 \ djathtas) - \ majtas (x-1 \ djathtas) - \ majtas (2-5x \ djathtas) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ fundi (matrica) \]
Përgjigje: 5 dollarë x + 4 dollarë.
Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar. Pak matematikë në klasat 7-8 - kjo është e gjitha. Qëllimi i të gjitha transformimeve është të merret diçka e thjeshtë nga një shprehje komplekse dhe e frikshme me të cilën është e lehtë të punohet.
Megjithatë, kjo nuk do të jetë gjithmonë rasti. Prandaj, tani do të shqyrtojmë një problem më serioz.
Por së pari, le të kuptojmë se si të sjellim dy thyesa në një emërues të përbashkët. Algoritmi është jashtëzakonisht i thjeshtë:
Ndoshta ky algoritëm do t'ju duket thjesht një tekst në të cilin ka "shumë shkronja". Prandaj, ne do të analizojmë gjithçka me një shembull specifik.
Detyrë. Thjeshtoni shprehjen:
\ [\ majtas (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ djathtas) \ cdot \ majtas (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ djathtas) \]
Zgjidhje. Është më mirë të zgjidhni probleme kaq të mëdha në pjesë. Le të shkruajmë se çfarë është në kllapa e parë:
\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ fraç (1) (x-2) \]
Ndryshe nga problemi i mëparshëm, këtu gjithçka nuk është aq e thjeshtë me emëruesit. Le të faktorizojmë secilën prej tyre.
Trinomi kuadratik $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ nuk mund të faktorizohet, pasi ekuacioni $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ nuk ka rrënjë (diskriminuesi është negativ ). E lëmë të pandryshuar.
Emëruesi i dytë - polinomi kub $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - pas ekzaminimit të ngushtë është diferenca e kubeve dhe mund të zbërthehet lehtësisht sipas formulave të shkurtuara të shumëzimit:
\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas) \]
Asgjë tjetër nuk mund të faktorizohet, pasi në kllapin e parë ka një binom linear, dhe në të dytën ka një ndërtim tashmë të njohur për ne, i cili nuk ka rrënjë reale.
Së fundi, emëruesi i tretë është një binom linear që nuk mund të zbërthehet. Kështu, ekuacioni ynë do të marrë formën:
\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) - \ frac (1) (x-2) \]
Është mjaft e qartë se emëruesi i përbashkët do të jetë saktësisht $ \ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas) $, dhe për të reduktuar të gjitha thyesat në të, ju duhet të shumëzoni thyesën e parë në $ \ majtas (x-2 \ djathtas) $, dhe të fundit në $ \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas) $. Atëherë mbetet vetëm për të dhënë sa vijon:
\ [\ fillojë (matrica) \ frac (x \ cdot \ majtas (x-2 \ djathtas)) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) - \ frac (1 \ cdot \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ djathtas)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ majtas (x-2 \ djathtas) + \ majtas (((x) ^ (2)) + 8 \ djathtas) - \ majtas ((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)). \\ \ fundi (matrica) \]
Kushtojini vëmendje rreshtit të dytë: kur emëruesi është tashmë i zakonshëm, d.m.th. në vend të tre thyesave të veçanta, ne shkruajmë një të madhe, nuk duhet të heqësh qafe menjëherë kllapat. Është më mirë të shkruani një rresht shtesë dhe të vini re se, të themi, kishte një minus përpara fraksionit të tretë - dhe nuk do të shkojë askund, por do të "varet" në numëruesin përpara kllapave. Kjo do t'ju kursejë shumë gabime.
Epo, në rreshtin e fundit, është e dobishme të faktorizoni numëruesin. Për më tepër, ky është një katror i saktë dhe formulat e shkurtuara të shumëzimit na vijnë përsëri në ndihmë. Ne kemi:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas)) = \ frac (((\ majtas (x-2 \ djathtas)) ^ (2))) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ djathtas) ) = \ frak (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]
Tani le të merremi me kllapin e dytë në të njëjtën mënyrë. Këtu do të shkruaj vetëm një zinxhir barazish:
\ [\ fillojë (matrica) \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x + 2 \ djathtas)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x + 2 \ djathtas)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x + 2 \ djathtas)) + \ frac (2 \ cdot \ majtas (x + 2 \ djathtas)) (\ majtas (x-2 \ djathtas ) \ cdot \ majtas (x + 2 \ djathtas)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ majtas (x + 2 \ djathtas)) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x + 2 \ djathtas)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x + 2 \ djathtas) ). \\ \ fundi (matrica) \]
Ne i kthehemi problemit origjinal dhe shikojmë produktin:
\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x + 2 \ djathtas)) = \ frak (1) (x + 2) \]
Përgjigje: \ [\ frac (1) (x + 2) \].
Kuptimi i kësaj detyre është i njëjtë me atë të mëparshëm: për të treguar se sa shprehjet racionale mund të thjeshtohen nëse i qaseni me mençuri transformimit të tyre.
Dhe tani që i dini të gjitha këto, le të kalojmë në temën kryesore të mësimit të sotëm - zgjidhja e pabarazive thyesore-racionale. Për më tepër, pas një përgatitjeje të tillë, vetë pabarazitë do të plasariten si arra. :)
Mënyra kryesore për të zgjidhur pabarazitë racionale
Ekzistojnë të paktën dy qasje për zgjidhjen e pabarazive racionale. Tani do të shqyrtojmë njërën prej tyre - atë që pranohet përgjithësisht në kursin e matematikës shkollore.
Por së pari, le të vërejmë një detaj të rëndësishëm. Të gjitha pabarazitë ndahen në dy lloje:
Pabarazitë e llojit të dytë mund të reduktohen lehtësisht në të parën, si dhe në ekuacionin:
Kjo "shtesë" e vogël $ f \ majtas (x \ djathtas) = 0 $ çon në një gjë kaq të pakëndshme si pikat e mbushura - ne i njohëm ato përsëri në metodën e ndarjes. Përndryshe, nuk ka dallime midis pabarazive strikte dhe jo të rrepta, kështu që le të analizojmë algoritmin universal:
Praktika tregon se vështirësitë më të mëdha shkaktohen nga pikat 2 dhe 4 - transformimet kompetente dhe rregullimi i saktë i numrave në rend rritës. Epo, dhe në hapin e fundit, jini jashtëzakonisht të kujdesshëm: ne gjithmonë vendosim shenja, duke u mbështetur në pabarazia më e fundit e shkruar para se të shkohet te ekuacionet... Ky është një rregull universal i trashëguar nga metoda e ndarjes.
Pra, skema është atje. Le të praktikojnë.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]
Zgjidhje. Kemi para nesh një pabarazi strikte të formës $ f \ majtas (x \ djathtas) \ lt 0 $. Natyrisht, pikat 1 dhe 2 nga skema jonë tashmë janë përfunduar: të gjithë elementët e pabarazisë janë mbledhur në të majtë, asgjë nuk duhet të sillet në një emërues të përbashkët. Prandaj, ne shkojmë drejtpërdrejt në pikën e tretë.
Vendosni numëruesin në zero:
\ [\ fillojë (radhisë) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ fundi (radhis) \]
Dhe emëruesi:
\ [\ fillojë (radhojë) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Shumë njerëz qëndrojnë në këtë vend, sepse në teori ju duhet të shkruani $ x + 7 \ ne 0 $, siç kërkohet nga ODZ (nuk mund të ndani me zero, kjo është e gjitha). Por në fund të fundit, në të ardhmen ne do të heqim pikat që erdhën nga emëruesi, kështu që nuk keni nevojë t'i ndërlikoni llogaritjet tuaja edhe një herë - shkruani një shenjë të barabartë kudo dhe mos u shqetësoni. Askush nuk do të ulë pikët për këtë. :)
Pika e katërt. Ne shënojmë rrënjët që rezultojnë në vijën numerike:
Të gjitha pikat janë shpuar sepse pabarazia është e rreptë
Shënim: të gjitha pikat janë shpuar, pasi pabarazia origjinale është e rreptë... Dhe këtu nuk ka rëndësi nëse këto pika kanë ardhur nga numëruesi apo nga emëruesi.
Epo, ne shikojmë shenjat. Merrni çdo numër $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. Për shembull, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (por po aq mirë mund të kishit marrë $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ ose $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). Ne marrim:
Pra, në të djathtë të të gjitha rrënjëve, ne kemi një zonë pozitive. Dhe kur kalon nëpër secilën rrënjë, shenja ndryshon (kjo nuk do të jetë gjithmonë rasti, por më shumë për këtë më vonë). Prandaj, kalojmë në pikën e pestë: rregulloni shenjat dhe zgjidhni atë që ju nevojitet:
Kthehemi te pabarazia e fundit, e cila ishte para zgjidhjes së ekuacioneve. Në fakt, ajo përkon me atë origjinale, sepse ne nuk kemi bërë asnjë transformim në këtë detyrë.
Meqenëse kërkohet të zgjidhet një pabarazi e formës $ f \ majtas (x \ djathtas) \ lt 0 $, kam hije intervalin $ x \ në \ majtas (-7; 3 \ djathtas) $ - është i vetmi shënuar me shenjën minus. Kjo është përgjigja.
Përgjigje: $ x \ në \ majtas (-7; 3 \ djathtas) $
Kjo eshte e gjitha! Është e vështirë? Jo, jo e vështirë. E vërtetë, dhe detyra ishte e lehtë. Tani le ta komplikojmë pak misionin dhe të shqyrtojmë një pabarazi më "të zbukuruar". Kur e zgjidh atë, nuk do të jap më llogaritje kaq të hollësishme - thjesht do të përshkruaj pikat kryesore. Në përgjithësi, ne do ta rregullojmë atë në të njëjtën mënyrë siç do të bëhej në një punë ose provim të pavarur. :)
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (\ majtas (7x + 1 \ djathtas) \ majtas (11x + 2 \ djathtas)) (13x-4) \ ge 0 \]
Zgjidhje. Kjo është një pabarazi e lirë e formës $ f \ majtas (x \ djathtas) \ ge 0 $. Të gjithë elementët jozero mblidhen në të majtë, nuk ka emërues të ndryshëm. Le të kalojmë te ekuacionet.
Numëruesi:
\ [\ filloni (rreshtoni) & \ majtas (7x + 1 \ djathtas) \ majtas (11x + 2 \ djathtas) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (1)) = - \ frak (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Emëruesi:
\ [\ fillojë (radhisë) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Nuk e di se çfarë lloj perversi ishte ky problem, por rrënjët nuk funksionuan shumë mirë: do të ishte e vështirë t'i vendosni ato në vijën numerike. Dhe nëse me rrënjën $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ gjithçka është pak a shumë e qartë (ky është i vetmi numër pozitiv - do të jetë në të djathtë), atëherë $ ((x) _ (1 )) = - (1) / (7) \; $ dhe $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ kërkojnë kërkime shtesë: cili eshte me i madh?
Ju mund ta zbuloni, për shembull, si kjo:
\ [((x) _ (1)) = - \ frak (1) (7) = - \ frak (2) (14) \ gt - \ frak (2) (11) = ((x) _ (2 )) \]
Shpresoj se nuk ka nevojë të shpjegoj pse thyesa numerike $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Nëse është e nevojshme, unë rekomandoj të mbani mend se si të kryeni veprime me fraksione.
Dhe ne shënojmë të tre rrënjët në vijën numerike:
Pikat nga numëruesi plotësohen, nga emëruesi - hiqen
Ne vendosim shenja. Për shembull, mund të merrni $ ((x) _ (0)) = 1 $ dhe të gjeni shenjën në këtë pikë:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & f \ majtas (x \ djathtas) = \ frac (\ majtas (7x + 1 \ djathtas) \ majtas (11x + 2 \ djathtas)) (13x-4); \\ & f \ majtas (1 \ djathtas) = \ frac (\ majtas (7 \ cdot 1 + 1 \ djathtas) \ majtas (11 \ cdot 1 + 2 \ djathtas)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ fundi (rreshtoj) \]
Pabarazia e fundit para ekuacioneve ishte $ f \ majtas (x \ djathtas) \ ge 0 $, kështu që ne jemi të interesuar për shenjën plus.
Ne morëm dy grupe: njëri është një segment i zakonshëm dhe tjetri është një rreze e hapur në vijën numerike.
Përgjigje: $ x \ në \ majtas [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ djathtas] \ bigcup \ majtas (\ frac (4) (13); + \ infty \ djathtas ) $
Një shënim i rëndësishëm për numrat që zëvendësojmë për shenjën në intervalin më të djathtë. Nuk është aspak e nevojshme të zëvendësohet një numër afër rrënjës më të djathtë. Ju mund të merrni miliarda ose edhe "plus-pafundësi" - në këtë rast, shenja e polinomit në një kllapa, numërues ose emërues përcaktohet ekskluzivisht nga shenja e koeficientit kryesor.
Le t'i hedhim një vështrim tjetër funksionit $ f \ majtas (x \ djathtas) $ nga pabarazia e fundit:
Ka tre polinome në rekordin e saj:
\ [\ fillojë (drejtoj) & ((P) _ (1)) \ majtas (x \ djathtas) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ majtas (x \ djathtas) = 11x + 2; \\ & Q \ majtas (x \ djathtas) = 13x-4. \ fundi (radhis) \]
Të gjithë ata janë binomi linearë, dhe të gjithë koeficientët kryesorë (numrat 7, 11 dhe 13) janë pozitivë. Prandaj, kur zëvendësoni numra shumë të mëdhenj, vetë polinomet do të jenë gjithashtu pozitivë. :)
Ky rregull mund të duket tepër i ndërlikuar, por vetëm në fillim, kur analizojmë probleme shumë të lehta. Në pabarazitë serioze, zëvendësimi plus-pafundësi do të na lejojë të kuptojmë shenjat shumë më shpejt se standardi $ ((x) _ (0)) = 100 $.
Shumë shpejt do të përballemi me sfida të tilla. Por së pari, le të shohim një mënyrë alternative për të zgjidhur pabarazitë fraksionale-racionale.
Mënyra alternative
Kjo teknikë më është sugjeruar nga një prej studentëve të mi. Unë vetë nuk e kam përdorur kurrë, por praktika ka treguar se shumë studentë janë vërtet më të përshtatshëm për të zgjidhur pabarazitë në këtë mënyrë.
Pra, të dhënat fillestare janë të njëjta. Është e nevojshme të zgjidhet pabarazia thyesore-racionale:
\ [\ frac (P \ majtas (x \ djathtas)) (Q \ majtas (x \ djathtas)) \ gt 0 \]
Le të mendojmë: si është polinomi $ Q \ majtas (x \ djathtas) $ "më i keq" se polinomi $ P \ majtas (x \ djathtas) $? Pse duhet të konsiderojmë grupe të veçanta rrënjësh (me dhe pa yll), të mendojmë për pikat e shpimit, etj.? Është e thjeshtë: një thyesë ka një fushë përkufizimi, bashkëtingëllorja e së cilës thyesa ka kuptim vetëm kur emëruesi i saj është jozero.
Përndryshe, nuk mund të gjurmohen ndryshime midis numëruesit dhe emëruesit: ne gjithashtu e barazojmë atë me zero, kërkojmë rrënjët, pastaj i shënojmë në vijën numerike. Pra, pse të mos zëvendësoni shiritin thyesor (në fakt, shenjën e pjesëtimit) me shumëzimin e zakonshëm dhe të shkruani të gjitha kërkesat e DHS në formën e një pabarazie të veçantë? Për shembull, si kjo:
\ [\ frac (P \ majtas (x \ djathtas)) (Q \ majtas (x \ djathtas)) \ gt 0 \ Shigjeta djathtas \ majtas \ (\ fillojë (rreshtoj) & P \ majtas (x \ djathtas) \ cdot Q \ majtas (x \ djathtas) \ gt 0, \\ & Q \ majtas (x \ djathtas) \ ne 0. \\ \ fundi (drejtoj) \ djathtas. \]
Ju lutemi vini re: kjo qasje do ta reduktojë problemin në metodën e intervaleve, por nuk do ta komplikojë aspak zgjidhjen. Në fund të fundit, ne ende do të barazojmë polinomin $ Q \ majtas (x \ djathtas) $ me zero.
Le të shohim se si funksionon kjo në problemet e botës reale.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]
Zgjidhje. Pra, le të kalojmë te metoda e ndarjes:
\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Shigjeta djathtas \ majtas \ (\ fillojë (rreshtoj) & \ majtas (x + 8 \ djathtas) \ majtas (x-11 \ djathtas) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ fundi (drejtoj) \ djathtas. \]
Pabarazia e parë është e lehtë për t'u zgjidhur. Ne thjesht barazojmë çdo kllapa me zero:
\ [\ fillojë (radhojë) & x + 8 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (2)) = 11. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Pabarazia e dytë është gjithashtu e thjeshtë:
Ne shënojmë pikat $ ((x) _ (1)) $ dhe $ ((x) _ (2)) $ në rreshtin numerik. Të gjithë janë hequr, pasi pabarazia është e rreptë:
Pika e duhur është shpuar dy herë. Kjo është mirë.Vini re pikën $ x = 11 $. Rezulton se është "shpuar dy herë": nga njëra anë, e heqim për shkak të ashpërsisë së pabarazisë dhe nga ana tjetër, për shkak të kërkesës shtesë të DHS.
Në çdo rast, do të jetë vetëm një pikë shpimi. Prandaj, ne rregullojmë shenjat për pabarazinë $ \ majtas (x + 8 \ djathtas) \ majtas (x-11 \ djathtas) \ gt 0 $ - e fundit që pamë para se të fillonim zgjidhjen e ekuacioneve:
Ne jemi të interesuar për rajone pozitive, pasi po zgjidhim një pabarazi të formës $ f \ majtas (x \ djathtas) \ gt 0 $ - dhe i hijezojmë ato. Mbetet vetëm për të shkruar përgjigjen.
Përgjigju. $ x \ në \ majtas (- \ infty; -8 \ djathtas) \ bigcup \ majtas (11; + \ infty \ djathtas) $
Duke përdorur këtë zgjidhje si shembull, do të doja t'ju paralajmëroja kundër një gabimi të zakonshëm midis studentëve fillestarë. Domethënë: mos zgjeroni kurrë kllapat në pabarazi! Përkundrazi, përpiquni të faktorizoni gjithçka - kjo do të thjeshtojë zgjidhjen dhe do t'ju kursejë shumë probleme.
Tani le të provojmë diçka pak më të vështirë.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (\ majtas (2x-13 \ djathtas) \ majtas (12x-9 \ djathtas)) (15x + 33) \ le 0 \]
Zgjidhje. Kjo është një pabarazi e lirë e formës $ f \ majtas (x \ djathtas) \ le 0 $, kështu që duhet t'i kushtoni vëmendje pikave të mbushura këtu.
Kalimi në metodën e ndarjes:
\ [\ majtas \ (\ fillojë (radhojë) & \ majtas (2x-13 \ djathtas) \ majtas (12x-9 \ djathtas) \ majtas (15x + 33 \ djathtas) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ fundi (drejtoj) \ djathtas. \]
Le të kalojmë te ekuacioni:
\ [\ filloni (rreshtoj) & \ majtas (2x-13 \ djathtas) \ majtas (12x-9 \ djathtas) \ majtas (15x + 33 \ djathtas) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x ) _ (1)) = 6,5; \\ & 12x-9 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (2)) = 0,75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Ne marrim parasysh një kërkesë shtesë:
Ne shënojmë të gjitha rrënjët e marra në vijën numerike:
Nëse një pikë është e shpuar dhe e hijezuar në të njëjtën kohë, ajo konsiderohet një pikë e shpuar.Përsëri, dy pika "mbivendosen" njëra-tjetrën - kjo është normale, kështu do të jetë gjithmonë. Është e rëndësishme vetëm të kuptohet se pika e shënuar si e shpuar dhe e mbushur është në të vërtetë e shpuar. ato. "Guging" është një veprim më i fortë se "pikturë".
Kjo është absolutisht logjike, sepse me gërvishtje, ne shënojmë pika që ndikojnë në shenjën e funksionit, por nuk marrin pjesë vetë në përgjigje. Dhe nëse në një moment numri pushon së na përshtatet (për shembull, ai nuk futet në ODZ), ne e fshijmë atë nga shqyrtimi deri në fund të problemit.
Në përgjithësi, ndaloni së filozofuari. Ne vendosim shenja dhe pikturojmë mbi ato intervale që janë shënuar me një shenjë minus:
Përgjigju. $ x \ në \ majtas (- \ infty; -2,2 \ djathtas) \ bigcup \ majtas [0,75; 6,5 \ djathtas] $.
Dhe përsëri do të doja të tërhiqja vëmendjen ndaj këtij ekuacioni:
\ [\ majtas (2x-13 \ djathtas) \ majtas (12x-9 \ djathtas) \ majtas (15x + 33 \ djathtas) = 0 \]
Edhe një herë: kurrë mos hapni kllapa në ekuacione si ky! Ju vetëm do ta bëni më të vështirë për veten tuaj. Mbani mend: produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Rrjedhimisht, ky ekuacion thjesht “zbërthehet” në disa më të vogla, të cilat i zgjidhëm në problemin e mëparshëm.
Duke marrë parasysh shumësinë e rrënjëve
Nga problemet e mëparshme mund të shihet lehtë se janë pabarazitë e dobëta ato që janë më të vështirat, sepse në to duhet të mbani gjurmët e pikave të mbushura.
Por ka një të keqe edhe më të madhe në botë - këto janë rrënjë të shumta në pabarazi. Këtu tashmë nuk duhet të ndiqni disa pika të mbushura atje - këtu shenja e pabarazisë mund të mos ndryshojë papritur kur kalon nëpër të njëjtat pika.
Ne nuk kemi marrë në konsideratë diçka të tillë në këtë mësim (edhe pse një problem i ngjashëm është hasur shpesh në metodën e intervalit). Prandaj, ne prezantojmë një përkufizim të ri:
Përkufizimi. Rrënja e ekuacionit $ ((\ majtas (x-a \ djathtas)) ^ (n)) = 0 $ është e barabartë me $ x = a $ dhe quhet rrënja e shumëzimit $ n $ th.
Në fakt, ne nuk jemi veçanërisht të interesuar për vlerën e saktë të shumëfishimit. E vetmja gjë që ka rëndësi është nëse ky numër $ n $ është çift apo tek. Sepse:
Të gjitha problemet e mëparshme të diskutuara në këtë mësim janë një rast i veçantë i rrënjës së shumëfishimit tek: kudo shumësia është e barabartë me një.
Dhe më tej. Para se të fillojmë të zgjidhim problemet, do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj në një hollësi që do të duket e qartë për një student me përvojë, por që i shtyn shumë fillestarë në hutim. Gjegjësisht:
Rrënja e shumëfishimit $ n $ lind vetëm kur e gjithë shprehja është ngritur në këtë fuqi: $ ((\ majtas (xa \ djathtas)) ^ (n)) $, dhe jo $ \ majtas (((x) ^ (n )) - a \ djathtas) $.
Edhe një herë: kllapa $ ((\ majtas (xa \ djathtas)) ^ (n)) $ na jep rrënjën $ x = a $ me shumësi $ n $, por kllapa $ \ majtas (((x) ^ ( n)) -a \ djathtas) $ ose, siç ndodh shpesh, $ (a - ((x) ^ (n))) $ na jep rrënjën (ose dy rrënjë, nëse $ n $ është çift) e shumëfishimi i parë, pa marrë parasysh se çfarë është e barabartë me $ n $.
Krahaso:
\ [((\ majtas (x-3 \ djathtas)) ^ (5)) = 0 \ Shigjeta djathtas x = 3 \ majtas (5k \ djathtas) \]
Gjithçka është e qartë këtu: e gjithë kllapa u ngrit në fuqinë e pestë, kështu që në dalje morëm një rrënjë të fuqisë së pestë. Dhe tani:
\ [\ majtas (((x) ^ (2)) - 4 \ djathtas) = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) ^ (2)) = 4 \ Shigjeta djathtas x = \ pasdite 2 \]
Ne kemi dy rrënjë, por të dyja kanë shumësinë e parë. Ose ja një tjetër:
\ [\ majtas (((x) ^ (10)) - 1024 \ djathtas) = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) ^ (10)) = 1024 \ Shigjeta djathtas x = \ pm 2 \]
Dhe mos u ngatërroni nga shkalla e dhjetë. Gjëja kryesore është se 10 është një numër çift, kështu që në dalje kemi dy rrënjë, dhe të dyja kanë përsëri shumësinë e parë.
Në përgjithësi, kini kujdes: shumëfishimi ndodh vetëm kur shkalla i referohet të gjithë kllapave, jo vetëm ndryshores.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ majtas (6-x \ djathtas)) ^ (3)) \ majtas (x + 4 \ djathtas)) ((\ majtas (x + 7 \ djathtas)) ^ (5))) \ ge 0 \]
Zgjidhje. Le të përpiqemi ta zgjidhim atë në një mënyrë alternative - përmes kalimit nga e veçanta në vepër:
\ [\ majtas \ (\ fillojë (radhis) & ((x) ^ (2)) ((\ majtas (6-x \ djathtas)) ^ (3)) \ majtas (x + 4 \ djathtas) \ cdot ( (\ majtas (x + 7 \ djathtas)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ majtas (x + 7 \ djathtas)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ fundi (drejtoj ) \ drejtë. \]
Ne trajtojmë pabarazinë e parë duke përdorur metodën e intervalit:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((x) ^ (2)) ((\ majtas (6-x \ djathtas)) ^ (3)) \ majtas (x + 4 \ djathtas) \ cdot ((\ majtas ( x + 7 \ djathtas)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Shigjeta djathtas x = 0 \ majtas (2k \ djathtas); \\ & ((\ majtas (6-x \ djathtas)) ^ (3)) = 0 \ Shigjeta djathtas x = 6 \ majtas (3k \ djathtas); \\ & x + 4 = 0 \ Shigjeta djathtas x = -4; \\ & ((\ majtas (x + 7 \ djathtas)) ^ (5)) = 0 \ Shigjeta djathtas x = -7 \ majtas (5k \ djathtas). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Për më tepër, ne zgjidhim pabarazinë e dytë. Në fakt, ne e kemi zgjidhur tashmë, por në mënyrë që rishikuesit të mos gjejnë gabime në zgjidhjen, është më mirë ta zgjidhim atë përsëri:
\ [((\ majtas (x + 7 \ djathtas)) ^ (5)) \ ne 0 \ Shigjeta djathtas x \ ne -7 \]
Ju lutemi vini re: nuk ka shumëfishime në pabarazinë e fundit. Në të vërtetë: çfarë ndryshimi ka sa herë të kalohet pika $ x = -7 $ në vijën numerike? Të paktën një herë, të paktën pesë - rezultati do të jetë i njëjtë: një pikë e shpuar.
Le të shënojmë gjithçka që kemi marrë në vijën numerike:
Siç thashë, pika $ x = -7 $ përfundimisht do të shpohet. Shumëfishimet renditen në bazë të zgjidhjes së pabarazisë me metodën e intervaleve.
Mbetet për të vendosur shenjat:
Meqenëse pika $ x = 0 $ është një rrënjë e shumëfishimit çift, shenja nuk ndryshon kur kalon nëpër të. Pjesa tjetër e pikave kanë shumësi teke, dhe gjithçka është e thjeshtë me to.
Përgjigju. $ x \ në \ majtas (- \ infty; -7 \ djathtas) \ bigcup \ majtas [-4; 6 \ djathtas] $
Vini re përsëri $ x = 0 $. Për shkak të shumëfishimit të barabartë, lind një efekt interesant: në të majtë të tij, gjithçka është pikturuar sipër, gjithashtu në të djathtë, dhe vetë pika është pikturuar plotësisht.
Si pasojë, nuk ka nevojë të izolohet kur regjistron një përgjigje. ato. nuk ka nevojë të shkruani diçka si $ x \ në \ majtas [-4; 0 \ djathtas] \ bigcup \ majtas [0; 6 \ djathtas] $ (edhe pse zyrtarisht kjo përgjigje do të jetë gjithashtu e saktë). Në vend të kësaj, ne shkruajmë menjëherë $ x \ në \ majtas [-4; 6 \ djathtas] $.
Efekte të tilla janë të mundshme vetëm për rrënjët e shumëfishta. Dhe në detyrën e radhës do të përballemi me “manifestimin” e kundërt të këtij efekti. Gati?
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (((\ majtas (x-3 \ djathtas)) ^ (4)) \ majtas (x-4 \ djathtas)) (((\ majtas (x-1 \ djathtas)) ^ (2)) \ majtas (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ djathtas)) \ ge 0 \]
Zgjidhje. Këtë herë do të shkojmë sipas skemës standarde. Vendosni numëruesin në zero:
\ [\ fillojë (drejtoj) & ((\ majtas (x-3 \ djathtas)) ^ (4)) \ majtas (x-4 \ djathtas) = 0; \\ & ((\ majtas (x-3 \ djathtas)) ^ (4)) = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (1)) = 3 \ majtas (4k \ djathtas); \\ & x-4 = 0 \ Shigjeta djathtas ((x) _ (2)) = 4. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Dhe emëruesi:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((\ majtas (x-1 \ djathtas)) ^ (2)) \ majtas (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ djathtas) = 0; \\ & ((\ majtas (x-1 \ djathtas)) ^ (2)) = 0 \ Shigjeta djathtas x_ (1) ^ (*) = 1 \ majtas (2k \ djathtas); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Shigjeta djathtas x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Meqenëse po zgjidhim një pabarazi të dobët të formës $ f \ majtas (x \ djathtas) \ ge 0 $, rrënjët nga emëruesi (që janë me yll) do të shpohen dhe nga numëruesi do të plotësohen.
Ne vendosim shenja dhe hapim zona të shënuara me një "plus":
Pika $ x = 3 $ është e izoluar. Kjo është pjesë e përgjigjes
Para se të shkruani përgjigjen përfundimtare, hidhini një sy nga afër fotos:
Ne kombinojmë të gjitha pjesët që rezultojnë në një grup të përbashkët dhe shkruajmë përgjigjen.
Përgjigje: $ x \ në \ majtas (- \ infty; 1 \ djathtas) \ bigcup \ majtas (1; 2 \ djathtas) \ bigcup \ majtas \ (3 \ djathtas \) \ bigcup \ majtas [4; 5 \ djathtas) $
Përkufizimi. Zgjidhja e pabarazisë do të thotë gjeni shumë nga të gjitha zgjidhjet e tij, ose provoni se ky grup është bosh.
Do të duket: çfarë mund të jetë e pakuptueshme këtu? Po, fakti i çështjes është se grupet mund të specifikohen në mënyra të ndryshme. Le të shkruajmë edhe një herë përgjigjen e problemit të fundit:
Ne lexojmë fjalë për fjalë atë që është shkruar. Ndryshorja "x" i përket një grupi të caktuar, i cili fitohet duke kombinuar (shenjën "U") katër grupe të veçanta:
Pika e tretë është me interes këtu. Ndryshe nga intervalet, të cilat përcaktojnë grupe të pafundme numrash dhe tregojnë vetëm kufijtë e këtyre grupeve, grupi $ \ majtas \ (3 \ djathtas \) $ specifikon saktësisht një numër me numërim.
Për të kuptuar se ne po rendisim vetëm numra specifikë të përfshirë në grup (dhe jo duke vendosur kufij apo ndonjë gjë tjetër), përdoren mbajtëset kaçurrelë. Për shembull, shënimi $ \ majtas \ (1; 2 \ djathtas \) $ do të thotë saktësisht "një grup i përbërë nga dy numra: 1 dhe 2", por jo një segment nga 1 në 2. Në asnjë rrethanë nuk duhet t'i ngatërroni këto koncepte .
Rregulli për mbledhjen e shumëfishimeve
Epo, në përfundim të mësimit të sotëm, një kanaçe e vogël nga Pavel Berdov. :)
Nxënësit e vëmendshëm ndoshta kanë bërë tashmë pyetjen: çfarë do të ndodhë nëse të njëjtat rrënjë gjenden në numërues dhe emërues? Pra, rregulli i mëposhtëm funksionon:
Shumëzimet e të njëjtave rrënjë shtohen. Eshte gjithmone. Edhe nëse kjo rrënjë shfaqet edhe në numërues edhe në emërues.
Ndonjëherë është më mirë të vendosësh sesa të flasësh. Prandaj, ne zgjidhim problemin e mëposhtëm:
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ majtas (((x) ^ (2)) - 16 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ djathtas)) \ ge 0 \]
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Asgjë e veçantë ende. Vendosni emëruesin në zero:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & \ majtas (((x) ^ (2)) - 16 \ djathtas) \ majtas (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ djathtas) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Shigjeta djathtas x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Shigjeta djathtas x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ fundi (drejtoj) \]
U gjetën dy rrënjë identike: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ dhe $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Të dyja janë palosja e parë. Prandaj, ne i zëvendësojmë ato me një rrënjë $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, por tashmë me shumësi 1 + 1 = 2.
Përveç kësaj, ka edhe rrënjë identike: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ dhe $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Ata janë gjithashtu të shumëzisë së parë, kështu që mbetet vetëm $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ e shumëfishimit 1 + 1 = 2.
Ju lutemi vini re: në të dyja rastet, ne kemi lënë pikërisht rrënjën "e shpuar", dhe "mbushur" është hequr nga shqyrtimi. Sepse edhe në fillim të mësimit ne ramë dakord: nëse një pikë është edhe e shpuar dhe e lyer, atëherë ne ende e konsiderojmë të shpuar.
Si rezultat, ne kemi katër rrënjë dhe të gjitha u hoqën:
\ [\ fillojë (radhisë) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ majtas (2k \ djathtas); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ majtas (2k \ djathtas). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Ne i shënojmë ato në vijën numerike, duke marrë parasysh shumësinë:
Ne vendosim shenja dhe ngjyrosim mbi zonat me interes për ne:
Gjithçka. Nuk ka pika të izoluara dhe perversitete të tjera. Ju mund ta shkruani përgjigjen.
Përgjigju. $ x \ në \ majtas (- \ infty; -7 \ djathtas) \ bigcup \ majtas (4; + \ infty \ djathtas) $.
Rregulla e shumëzimit
Ndonjëherë ndodh një situatë edhe më e pakëndshme: një ekuacion me rrënjë të shumta ngrihet vetë në një fuqi të caktuar. Në këtë rast, shumëzimet e të gjitha rrënjëve origjinale ndryshojnë.
Kjo është e rrallë, prandaj shumica e studentëve nuk kanë përvojë në zgjidhjen e problemeve të tilla. Dhe rregulli është si më poshtë:
Kur ekuacioni ngrihet në fuqinë $ n $, shumëzimet e të gjitha rrënjëve të tij rriten gjithashtu me $ n $ herë.
Me fjalë të tjera, fuqizimi çon në shumëzime të shumëzuara me të njëjtën fuqi. Le ta shqyrtojmë këtë rregull me një shembull:
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (x ((\ majtas (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ djathtas)) ^ (2)) ((\ majtas (x-4 \ djathtas)) ^ (5)) ) (((\ majtas (2-x \ djathtas)) ^ (3)) ((\ majtas (x-1 \ djathtas)) ^ (2))) \ le 0 \]
Zgjidhje. Vendosni numëruesin në zero:
Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Me faktorin e parë, gjithçka është e qartë: $ x = 0 $. Por atëherë fillojnë problemet:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((\ majtas (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ djathtas)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ majtas (2k \ djathtas); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & (x) _ (2)) = 3 \ majtas (2k \ djathtas) \ majtas (2k \ djathtas) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ majtas (4k \ djathtas) \\ \ fundi (drejtoj) \]
Siç mund ta shihni, ekuacioni $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ ka një rrënjë të vetme të shumëzimit të dytë: $ x = 3 $. Atëherë i gjithë ekuacioni është në katror. Prandaj, shumësia e rrënjës do të jetë $ 2 \ cdot 2 = 4 $, të cilën më në fund e shënuam.
\ [((\ majtas (x-4 \ djathtas)) ^ (5)) = 0 \ Shigjeta djathtas x = 4 \ majtas (5k \ djathtas) \]
Nuk ka probleme as me emëruesin:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & ((\ majtas (2-x \ djathtas)) ^ (3)) ((\ majtas (x-1 \ djathtas)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ majtas (2-x \ djathtas)) ^ (3)) = 0 \ Shigjeta djathtas x_ (1) ^ (*) = 2 \ majtas (3k \ djathtas); \\ & ((\ majtas (x-1 \ djathtas)) ^ (2)) = 0 \ Shigjeta djathtas x_ (2) ^ (*) = 1 \ majtas (2k \ djathtas). \\ \ fundi (drejtoj) \]
Në total morëm pesë pikë: dy të shpuara dhe tre të mbushura. Nuk ka rrënjë të rastësishme në numërues dhe emërues, kështu që ne thjesht i shënojmë ato në vijën numerike:
Ne rregullojmë shenjat duke marrë parasysh shumëzimet dhe pikturojmë në intervalet me interes për ne:
Përsëri, një pikë e izoluar dhe një e shpuar
Për shkak të rrënjëve të shumëfishta, ne përsëri morëm disa elementë "jo standardë". Kjo është $ x \ në \ majtas [0; 1 \ djathtas) \ bigcup \ majtas (1; 2 \ djathtas) $, jo $ x \ në \ majtas [0; 2 \ djathtas) $, dhe gjithashtu pika e izoluar $ x \ në \ majtas \ (3 \ djathtas \) $.
Përgjigju. $ x \ në \ majtas [0; 1 \ djathtas) \ big cup \ majtas (1; 2 \ djathtas) \ big cup \ majtas \ (3 \ djathtas \) \ big cup \ majtas [4; + \ infty \ djathtas) $
Siç mund ta shihni, gjithçka nuk është aq e vështirë. Gjëja kryesore është vëmendja. Pjesa e fundit e këtij mësimi përqendrohet në transformimet - pikërisht ato që diskutuam në fillim.
Parakonvertime
Pabarazitë që diskutojmë në këtë pjesë nuk janë komplekse. Sidoqoftë, ndryshe nga detyrat e mëparshme, këtu do të duhet të aplikoni aftësi nga teoria e thyesave racionale - faktorizimi dhe reduktimi në një emërues të përbashkët.
Ne e diskutuam këtë çështje në detaje në fillim të mësimit të sotëm. Nëse nuk jeni të sigurt se e kuptoni se për çfarë bëhet fjalë, ju rekomandoj fuqimisht që të ktheheni dhe të përsërisni. Sepse nuk ka kuptim të grumbulloni metoda për zgjidhjen e pabarazive nëse "lundroni" në transformimin e thyesave.
Në detyrat e shtëpisë, nga rruga, do të ketë gjithashtu shumë detyra të ngjashme. Ato vendosen në një nënseksion të veçantë. Dhe atje do të gjeni shembuj shumë jo të parëndësishëm. Por kjo do të jetë në detyrat e shtëpisë, dhe tani le të analizojmë disa pabarazi të tilla.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]
Zgjidhje. Lëvizni gjithçka në të majtë:
\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]
Ne sjellim në një emërues të përbashkët, hapim kllapat, japim terma të ngjashëm në numërues:
\ [\ fillojë (rreshtojë) & \ frac (x \ cdot x) (\ majtas (x-1 \ djathtas) \ cdot x) - \ frac (\ majtas (x-2 \ djathtas) \ majtas (x-1 \ djathtas)) (x \ cdot \ majtas (x-1 \ djathtas)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ majtas (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ djathtas)) (x \ majtas (x-1 \ djathtas)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ majtas (x-1 \ djathtas)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ majtas (x-1 \ djathtas)) \ le 0. \\\ fundi (rreshtoj) \]
Tani kemi një pabarazi klasike thyesore-racionale, zgjidhja e së cilës nuk është më e vështirë. Unë propozoj ta zgjidhim atë me një metodë alternative - përmes metodës së intervaleve:
\ [\ fillojë (radhojë) & \ majtas (3x-2 \ djathtas) \ cdot x \ cdot \ majtas (x-1 \ djathtas) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frak (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ fundi (drejtoj) \]
Mos harroni kufizimin që erdhi nga emëruesi:
Ne shënojmë të gjithë numrat dhe kufizimet në rreshtin numerik:
Të gjitha rrënjët kanë shumësinë e parë. Nuk ka problem. Ne thjesht vendosim tabelat dhe lyejmë mbi zonat që na duhen:
është e gjitha. Ju mund ta shkruani përgjigjen.
Përgjigju. $ x \ në \ majtas (- \ infty; 0 \ djathtas) \ bigcup \ majtas [(2) / (3) \ ;; 1 \ djathtas) $.
Sigurisht, ky ishte vetëm një shembull. Prandaj, tani do ta shqyrtojmë problemin më seriozisht. Dhe nga rruga, niveli i kësaj detyre është mjaft në përputhje me punën e pavarur dhe kontrolluese për këtë temë në klasën 8.
Detyrë. Zgjidh pabarazinë:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]
Zgjidhje. Lëvizni gjithçka në të majtë:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]
Para se t'i zvogëlojmë të dy thyesat në një emërues të përbashkët, i faktorizojmë këta emërues. Po sikur të dalin të njëjtat kllapa? Me emëruesin e parë, është e lehtë:
\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x + 9 \ djathtas) \]
E dyta është pak më e vështirë. Mos ngurroni të vendosni një faktor konstant në kllapa ku shfaqet thyesa. Mbani mend: polinomi origjinal kishte koeficientë të plotë, kështu që ka një probabilitet të lartë që faktorizimi të ketë edhe koeficientë të plotë (në fakt, kështu do të jetë gjithmonë, përveç kur diskriminuesi është irracional).
\ [\ fillojë (rreshtojë) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x- \ frac (2) (3) \ djathtas) = \\ & = \ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (3x-2 \ djathtas) \ fundi (drejtoj) \]
Siç mund ta shihni, ekziston një kllapa e zakonshme: $ \ majtas (x-1 \ djathtas) $. Ne i kthehemi pabarazisë dhe i sjellim të dy thyesat në një emërues të përbashkët:
\ [\ fillojë (drejtoj) & \ frac (1) (\ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x + 9 \ djathtas)) - \ frac (1) (\ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (3x-2 \ djathtas)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ majtas (3x-2 \ djathtas) -1 \ cdot \ majtas (x + 9 \ djathtas)) (\ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x + 9 \ djathtas ) \ majtas (3x-2 \ djathtas)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x + 9 \ djathtas) \ majtas (3x-2 \ djathtas)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x + 9 \ djathtas) \ majtas (3x-2 \ djathtas)) \ ge 0; \\ \ fundi (drejtoj) \]
Vendosni emëruesin në zero:
\ [\ fillojë (radhojë) & \ majtas (x-1 \ djathtas) \ majtas (x + 9 \ djathtas) \ majtas (3x-2 \ djathtas) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ fundi ( rreshtoj) \]
Nuk ka shumëfishime apo rrënjë të rastësishme. Ne shënojmë katër numra në një vijë të drejtë:
Ne vendosim shenja:
Ne e shkruajmë përgjigjen.
Përgjigje: $ x \ në \ majtas (- \ infty; -9 \ djathtas) \ bigcup \ majtas ((2) / (3) \ ;; 1 \ djathtas) \ bigcup \ majtas [5,5; + \ infty \ djathtas) $.
