Janë dhënë shembuj të llogaritjes së derivateve duke përdorur derivatin logaritmik.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Vetitë e logaritmit natyror

Metoda e zgjidhjes

Le te jete
(1)
është një funksion i diferencueshëm i x. Së pari, ne do ta konsiderojmë atë në grupin e vlerave x për të cilat y merr vlera pozitive: . Në vijim do të tregojmë se të gjitha rezultatet e marra janë të zbatueshme edhe për vlerat negative të .

Në disa raste, për të gjetur derivatin e funksionit (1), është e përshtatshme që paraprakisht të merret logaritmi
,
dhe më pas njehsoni derivatin. Pastaj, sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks,
.
Nga këtu
(2) .

Derivati ​​i logaritmit të një funksioni quhet derivat logaritmik:
.

Derivati ​​logaritmik i funksionit y = f(x)është derivati ​​i logaritmit natyror të këtij funksioni: (log f(x))′.

Rasti i vlerave negative y

Tani merrni parasysh rastin kur ndryshorja mund të marrë vlera pozitive dhe negative. Në këtë rast, merrni logaritmin e modulit dhe gjeni derivatin e tij:
.
Nga këtu
(3) .
Kjo do të thotë, në rastin e përgjithshëm, ju duhet të gjeni derivatin e logaritmit të modulit të funksionit.

Duke krahasuar (2) dhe (3) kemi:
.
Domethënë, rezultati formal i llogaritjes së derivatit logaritmik nuk varet nga fakti nëse kemi marrë modulin apo jo. Prandaj, gjatë llogaritjes së derivatit logaritmik, nuk duhet të shqetësohemi se çfarë shenje ka funksioni.

Kjo situatë mund të sqarohet me ndihmën e numrave kompleksë. Le të jetë negative për disa vlera të x: . Nëse marrim parasysh vetëm numra realë, atëherë funksioni nuk është i përcaktuar. Megjithatë, nëse marrim parasysh numrat kompleks, marrim sa vijon:
.
Kjo është, funksionet dhe ndryshojnë nga një konstante komplekse:
.
Meqenëse derivati ​​i një konstante është zero, atëherë
.

Vetia e derivatit logaritmik

Nga një konsideratë e tillë del se derivati ​​logaritmik nuk ndryshon nëse funksioni shumëzohet me një konstante arbitrare :
.
Në të vërtetë, duke aplikuar vetitë e logaritmit, formulat shuma derivative Dhe derivat i një konstante, ne kemi:

.

Zbatimi i derivatit logaritmik

Është i përshtatshëm për të përdorur derivatin logaritmik në rastet kur funksioni origjinal përbëhet nga një produkt i fuqisë ose funksioneve eksponenciale. Në këtë rast, operacioni i logaritmit e kthen produktin e funksioneve në shumën e tyre. Kjo thjeshton llogaritjen e derivatit.

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni:
.

Marrim logaritmin e funksionit origjinal:
.

Diferenconi në lidhje me x.
Në tabelën e derivateve gjejmë:
.
Zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.
;
;
;
;
(P1.1) .
Le të shumëzojmë me:

.

Pra, gjetëm derivatin logaritmik:
.
Nga këtu gjejmë derivatin e funksionit origjinal:
.

shënim

Nëse duam të përdorim vetëm numra realë, atëherë duhet të marrim logaritmin e modulit të funksionit origjinal:
.
Pastaj
;
.
Dhe morëm formulën (A1.1). Prandaj, rezultati nuk ka ndryshuar.

Shembulli 2

Duke përdorur derivatin logaritmik, gjeni derivatin e një funksioni
.

Logaritmi:
(P2.1) .
Diferenconi në lidhje me x:
;
;

;
;
;
.

Le të shumëzojmë me:
.
Nga këtu marrim derivatin logaritmik:
.

Derivati ​​i funksionit origjinal:
.

shënim

Këtu funksioni origjinal është jonegativ: . Është përcaktuar në. Nëse nuk supozojmë se logaritmi mund të përcaktohet për vlerat negative të argumentit, atëherë formula (A2.1) duhet të shkruhet si më poshtë:
.
Për aq sa

Dhe
,
nuk do të ndikojë në rezultatin përfundimtar.

Shembulli 3

Gjeni derivatin
.

Diferencimi kryhet duke përdorur derivatin logaritmik. Logaritmi, duke pasur parasysh se:
(P3.1) .

Duke diferencuar, marrim derivatin logaritmik.
;
;
;
(P3.2) .

Që atëherë

.

shënim

Le të bëjmë llogaritjet pa supozuar se logaritmi mund të përcaktohet për vlerat negative të argumentit. Për ta bërë këtë, merrni logaritmin e modulit të funksionit origjinal:
.
Atëherë në vend të (A3.1) kemi:
;

.
Krahasuar me (A3.2) shohim se rezultati nuk ka ndryshuar.

Shiko gjithashtu:

Mendoni se ka ende shumë kohë para provimit? A është një muaj? Dy? Viti? Praktika tregon se studenti e përballon më së miri provimin nëse fillon të përgatitet paraprakisht për të. Ka shumë detyra të vështira në Provimin e Unifikuar të Shtetit që pengojnë një student dhe një aplikant të ardhshëm në rezultatet më të larta. Këto pengesa duhet të mësohen për të kapërcyer, përveç kësaj, nuk është e vështirë ta bësh këtë. Ju duhet të kuptoni parimin e punës me detyra të ndryshme nga biletat. Atëherë nuk do të ketë probleme me të rejat.

Logaritmet në pamje të parë duken tepër komplekse, por me një analizë më të afërt, situata bëhet shumë më e thjeshtë. Nëse dëshironi të kaloni provimin me rezultatin më të lartë, duhet të kuptoni konceptin në fjalë, të cilin ju propozojmë ta bëni në këtë artikull.

Së pari, le t'i ndajmë këto përkufizime. Çfarë është një logaritëm (log)? Ky është një tregues i fuqisë në të cilën baza duhet të ngrihet për të marrë numrin e specifikuar. Nëse nuk është e qartë, ne do të analizojmë një shembull elementar.

Në këtë rast, baza më poshtë duhet të ngrihet në fuqinë e dytë për të marrë numrin 4.

Tani le të merremi me konceptin e dytë. Derivati ​​i një funksioni në çdo formë quhet koncept që karakterizon ndryshimin e një funksioni në një pikë të caktuar. Sidoqoftë, kjo është një kurrikulë shkollore dhe nëse keni probleme me këto koncepte veçmas, ia vlen të përsërisni temën.

Derivat i logaritmit

Në detyrat USE për këtë temë, disa detyra mund të citohen si shembull. Le të fillojmë me derivatin më të thjeshtë logaritmik. Duhet të gjejmë derivatin e funksionit të mëposhtëm.

Duhet të gjejmë derivatin tjetër

Ekziston një formulë e veçantë.

Në këtë rast x=u, log3x=v. Zëvendësojmë vlerat nga funksioni ynë në formulë.

Derivati ​​i x do të jetë i barabartë me një. Logaritmi është pak më i vështirë. Por ju do ta kuptoni parimin nëse thjesht zëvendësoni vlerat. Kujtojmë se derivati ​​i lg x është derivati ​​i logaritmit dhjetor, dhe derivati ​​i ln x është derivati ​​i logaritmit natyror (bazuar në e).

Tani thjesht zëvendësoni vlerat e marra në formulë. Provojeni vetë, pastaj kontrolloni përgjigjen.

Cili mund të jetë problemi këtu për disa? Ne kemi prezantuar konceptin e logaritmit natyror. Le të flasim për të, dhe në të njëjtën kohë të kuptojmë se si t'i zgjidhim problemet me të. Nuk do të shihni asgjë të komplikuar, veçanërisht kur kuptoni parimin e funksionimit të tij. Duhet të mësoheni me të, pasi përdoret shpesh në matematikë (sidomos në institucionet e arsimit të lartë).

Derivat i logaritmit natyror

Në thelb, ky është derivati ​​i logaritmit në bazën e (ky është një numër irracional që është afërsisht i barabartë me 2.7). Në fakt, ln është shumë e thjeshtë, prandaj përdoret shpesh në matematikë në përgjithësi. Në fakt, as zgjidhja e problemit me të nuk do të jetë problem. Vlen të kujtohet se derivati ​​i logaritmit natyror në bazën e do të jetë i barabartë me një pjesëtuar me x. Zgjidhja e shembullit të mëposhtëm do të jetë më treguesi.

Imagjinoni si një funksion kompleks të përbërë nga dy të thjeshta.

mjaftueshëm për të transformuar

Ne jemi duke kërkuar për derivatin e u në lidhje me x

Vazhdojmë me të dytën

Përdorim metodën e zgjidhjes së derivatit të një funksioni kompleks duke zëvendësuar u=nx.

Çfarë ndodhi në fund?

Tani le të kujtojmë se çfarë do të thoshte n në këtë shembull? Ky është çdo numër që mund të ndodhë në logaritmin natyror përpara x. Është e rëndësishme që ju të kuptoni se përgjigjja nuk varet nga ajo. Zëvendësoni ndonjë gjë, përgjigja do të jetë ende 1/x.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar këtu, mjafton vetëm të kuptojmë parimin për të zgjidhur shpejt dhe me efikasitet problemet në këtë temë. Tani e dini teorinë, mbetet të konsolidohet në praktikë. Praktikoni zgjidhjen e problemeve për të kujtuar parimin e zgjidhjes së tyre për një kohë të gjatë. Kjo njohuri mund të mos ju nevojitet pas diplomimit, por në provim do të jetë më e rëndësishme se kurrë. Paç fat!

derivatet komplekse. Derivat logaritmik.
Derivat i funksionit eksponencial

Ne vazhdojmë të përmirësojmë teknikën tonë të diferencimit. Në këtë mësim, ne do të konsolidojmë materialin e mbuluar, do të shqyrtojmë derivatet më komplekse dhe gjithashtu do të njihemi me truket dhe truket e reja për gjetjen e derivatit, në veçanti, me derivatin logaritmik.

Ata lexues që kanë një nivel të ulët përgatitjeje duhet t'i referohen artikullit Si të gjeni derivatin? Shembuj zgjidhjesh e cila do t'ju lejojë të ngrini aftësitë tuaja pothuajse nga e para. Tjetra, duhet të studioni me kujdes faqen Derivat i një funksioni të përbërë, kuptojnë dhe zgjidhin të gjitha shembujt që kam dhënë. Ky mësim është logjikisht i treti me radhë, dhe pasi ta zotëroni atë, do të dalloni me besim funksione mjaft komplekse. Është e padëshirueshme t'i përmbahemi pozicionit "Ku tjetër? Po, dhe mjafton! ”, Meqenëse të gjithë shembujt dhe zgjidhjet janë marrë nga teste reale dhe shpesh gjenden në praktikë.

Le të fillojmë me përsëritjen. Në mësim Derivat i një funksioni të përbërë kemi shqyrtuar një sërë shembujsh me komente të hollësishme. Gjatë studimit të llogaritjes diferenciale dhe seksioneve të tjera të analizës matematikore, do t'ju duhet të diferenconi shumë shpesh, dhe nuk është gjithmonë e përshtatshme (dhe jo gjithmonë e nevojshme) të pikturohen shembuj në detaje. Prandaj do të praktikojmë në gjetjen gojore të derivateve. "Kandidatët" më të përshtatshëm për këtë janë derivatet e funksioneve më të thjeshta të ndërlikuara, për shembull:

Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks :

Kur studioni tema të tjera të matanit në të ardhmen, një regjistrim kaq i detajuar më shpesh nuk kërkohet, supozohet se studenti është në gjendje të gjejë derivate të ngjashme në autopilot. Le të imagjinojmë se në orën 3 të mëngjesit ra telefoni dhe një zë i këndshëm pyeti: "Cili është derivati ​​i tangjentes së dy x?". Kjo duhet të pasohet nga një përgjigje pothuajse e menjëhershme dhe e sjellshme: .

Shembulli i parë do të synohet menjëherë për një zgjidhje të pavarur.

Shembulli 1

Gjeni me gojë derivatet e mëposhtme, në një hap, për shembull: . Për të përfunduar detyrën, ju duhet vetëm të përdorni tabela e derivateve të funksioneve elementare(nëse ajo nuk e ka mbajtur mend tashmë). Nëse keni ndonjë vështirësi, ju rekomandoj ta rilexoni mësimin Derivat i një funksioni të përbërë.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Përgjigjet në fund të orës së mësimit

Derivatet komplekse

Pas përgatitjes paraprake të artilerisë, shembujt me 3-4-5 bashkëngjitje funksionesh do të jenë më pak të frikshëm. Ndoshta dy shembujt e mëposhtëm do të duken të komplikuar për disa, por nëse ato kuptohen (dikush vuan), atëherë pothuajse çdo gjë tjetër në llogaritjen diferenciale do të duket si shaka e një fëmije.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni

Siç është përmendur tashmë, kur gjejmë derivatin e një funksioni kompleks, para së gjithash, është e nevojshme drejtë KUPTIMI I INVESTIMEVE. Në rastet kur ka dyshime, ju kujtoj një truk të dobishëm: marrim vlerën eksperimentale "x", për shembull, dhe përpiqemi (mendërisht ose në një draft) ta zëvendësojmë këtë vlerë në "shprehjen e tmerrshme".

1) Së pari duhet të llogarisim shprehjen, kështu që shuma është foleja më e thellë.

2) Pastaj ju duhet të llogaritni logaritmin:

4) Pastaj kubike kosinusin:

5) Në hapin e pestë, ndryshimi:

6) Dhe së fundi, funksioni më i jashtëm është rrënja katrore:

Formula e diferencimit të funksioneve komplekse aplikohen në rend të kundërt, nga funksioni më i jashtëm tek ai më i brendshëm. Ne vendosim:

Duket se nuk ka gabim...

(1) Marrim derivatin e rrënjës katrore.

(2) Marrim derivatin e diferencës duke përdorur rregullin

(3) Derivati ​​i treshes është i barabartë me zero. Në termin e dytë, marrim derivatin e shkallës (kub).

(4) Marrim derivatin e kosinusit.

(5) Marrim derivatin e logaritmit.

(6) Së fundi, marrim derivatin e folesë më të thellë .

Mund të duket shumë e vështirë, por ky nuk është shembulli më brutal. Merrni, për shembull, koleksionin e Kuznetsov dhe do të vlerësoni të gjithë hijeshinë dhe thjeshtësinë e derivatit të analizuar. Vura re se atyre u pëlqen të japin një gjë të ngjashme në provim për të kontrolluar nëse studenti e kupton se si të gjejë derivatin e një funksioni kompleks, apo nuk e kupton.

Shembulli i mëposhtëm është për një zgjidhje të pavarur.

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni

Këshillë: Fillimisht zbatojmë rregullat e linearitetit dhe rregullin e diferencimit të produktit

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Është koha për të kaluar në diçka më kompakte dhe më të bukur.
Nuk është e pazakontë që një situatë kur produkti i jo dy, por tre funksioneve jepet në një shembull. Si të gjejmë derivatin e produktit të tre faktorëve?

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni

Së pari, ne shikojmë, por a është e mundur që produkti i tre funksioneve të kthehet në një produkt të dy funksioneve? Për shembull, nëse do të kishim dy polinome në produkt, atëherë mund të hapnim kllapat. Por në këtë shembull, të gjitha funksionet janë të ndryshme: shkalla, eksponenti dhe logaritmi.

Në raste të tilla, është e nevojshme radhazi zbatoni rregullin e diferencimit të produktit dy herë

Truku është se për "y" ne shënojmë produktin e dy funksioneve: , dhe për "ve" - ​​logaritmin:. Pse mund të bëhet kjo? Eshte - ky nuk është produkt i dy faktorëve dhe rregulli nuk funksionon?! Nuk ka asgjë të komplikuar:

Tani mbetet që rregulli të zbatohet për herë të dytë në kllapa:

Ju ende mund të shtrembëroni dhe të hiqni diçka nga kllapat, por në këtë rast është më mirë ta lini përgjigjen në këtë formë - do të jetë më e lehtë të kontrolloni.

Shembulli i mësipërm mund të zgjidhet në mënyrën e dytë:

Të dyja zgjidhjet janë absolutisht ekuivalente.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, në mostër zgjidhet në mënyrën e parë.

Shqyrtoni shembuj të ngjashëm me thyesat.

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu mund të shkoni në disa mënyra:

Ose si kjo:

Por zgjidhja mund të shkruhet më kompakte nëse, para së gjithash, përdorim rregullin e diferencimit të herësit. , duke marrë për numëruesin e plotë:

Në parim, shembulli zgjidhet dhe nëse lihet në këtë formë, nuk do të jetë gabim. Por nëse keni kohë, këshillohet gjithmonë të kontrolloni një draft, por a është e mundur të thjeshtoni përgjigjen? Shprehjen e numëruesit e sjellim në një emërues të përbashkët dhe shpëtoj nga thyesa trekatëshe:

Disavantazhi i thjeshtimeve shtesë është se ekziston rreziku për të bërë një gabim jo kur gjen një derivat, por kur transformime banale të shkollës. Nga ana tjetër, mësuesit shpesh e refuzojnë detyrën dhe kërkojnë "të sjellin në mendje" derivatin.

Një shembull më i thjeshtë për një zgjidhje të bërë vetë:

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni

Ne vazhdojmë të zotërojmë teknikat për gjetjen e derivatit, dhe tani do të shqyrtojmë një rast tipik kur propozohet një logaritëm "i tmerrshëm" për diferencim

Shembulli 8

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu mund të shkoni shumë, duke përdorur rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks:

Por hapi i parë ju zhyt menjëherë në dëshpërim - duhet të merrni një derivat të pakëndshëm të një shkalle të pjesshme, dhe më pas edhe nga një fraksion.

Kjo është arsyeja pse përpara si të marrim derivatin e logaritmit "të zbukuruar", më parë është thjeshtuar duke përdorur vetitë e njohura të shkollës:

! Nëse keni një fletore praktike, kopjoni këto formula pikërisht aty. Nëse nuk keni një fletore, vizatoni ato në një copë letër, pasi pjesa tjetër e shembujve të mësimit do të sillen rreth këtyre formulave.

Vetë zgjidhja mund të formulohet si kjo:

Le të transformojmë funksionin:

Gjejmë derivatin:

Transformimi paraprak i vetë funksionit e thjeshtoi shumë zgjidhjen. Kështu, kur një logaritëm i ngjashëm propozohet për diferencim, është gjithmonë e këshillueshme që të "zbërthehet".

Dhe tani disa shembuj të thjeshtë për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 9

Gjeni derivatin e një funksioni

Shembulli 10

Gjeni derivatin e një funksioni

Të gjitha transformimet dhe përgjigjet në fund të mësimit.

derivat logaritmik

Nëse derivati ​​i logaritmeve është një muzikë kaq e ëmbël, atëherë lind pyetja, a është e mundur në disa raste të organizohet logaritmi në mënyrë artificiale? Mund! Dhe madje e nevojshme.

Shembulli 11

Gjeni derivatin e një funksioni

Shembuj të ngjashëm ne kemi shqyrtuar kohët e fundit. Çfarë duhet bërë? Mund të zbatohet në mënyrë të njëpasnjëshme rregulli i diferencimit të herësit, dhe më pas rregulli i diferencimit të produktit. Disavantazhi i kësaj metode është se ju merrni një fraksion të madh trekatësh, me të cilin nuk dëshironi të merreni fare.

Por në teori dhe praktikë ekziston një gjë kaq e mrekullueshme si derivati ​​logaritmik. Logaritmet mund të organizohen artificialisht duke i "varur" ato në të dy anët:

shënim : sepse funksioni mund të marrë vlera negative, atëherë, në përgjithësi, duhet të përdorni module: , të cilat zhduken si pasojë e diferencimit. Megjithatë, dizajni aktual është gjithashtu i pranueshëm, ku si parazgjedhje komplekse vlerat. Por nëse me gjithë ashpërsi, atëherë në të dyja rastet është e nevojshme të bëni një rezervë që.

Tani ju duhet të "prishni" logaritmin e anës së djathtë sa më shumë që të jetë e mundur (formula para syve?). Unë do ta përshkruaj këtë proces në shumë detaje:

Le të fillojmë me diferencimin.
Ne i përfundojmë të dyja pjesët me një goditje:

Derivati ​​i anës së djathtë është mjaft i thjeshtë, nuk do ta komentoj, sepse nëse po e lexoni këtë tekst, duhet të jeni në gjendje ta trajtoni me besim.

Po në anën e majtë?

Në anën e majtë kemi funksion kompleks. Unë parashikoj pyetjen: "Pse, ka një shkronjë "y" nën logaritëm?".

Fakti është se kjo "një shkronjë y" - ËSHTË NJË FUNKSION MË VETË(nëse nuk është shumë e qartë, referojuni artikullit Derivati ​​i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite). Prandaj, logaritmi është një funksion i jashtëm, dhe "y" është një funksion i brendshëm. Dhe ne përdorim rregullin e diferencimit të funksionit të përbërë :

Në anën e majtë, si me magji, kemi një derivat. Më tej, sipas rregullit të proporcionit, ne hedhim "y" nga emëruesi i anës së majtë në majë të anës së djathtë:

Dhe tani kujtojmë se për çfarë lloj "lojë"-funksioni folëm gjatë dallimit? Le të shohim gjendjen:

Përgjigja përfundimtare:

Shembulli 12

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull bëjeni vetë. Modeli i dizajnit të një shembulli të këtij lloji në fund të orës së mësimit.

Me ndihmën e derivatit logaritmik u arrit të zgjidhej ndonjë nga shembujt nr. 4-7, tjetër gjë është se funksionet atje janë më të thjeshta dhe, ndoshta, përdorimi i derivatit logaritmik nuk është shumë i justifikuar.

Derivat i funksionit eksponencial

Ne nuk e kemi konsideruar ende këtë funksion. Një funksion eksponencial është një funksion që ka dhe shkalla dhe baza varen nga "x". Një shembull klasik që do t'ju jepet në çdo libër shkollor ose në çdo leksion:

Si të gjeni derivatin e një funksioni eksponencial?

Është e nevojshme të përdoret teknika e sapo shqyrtuar - derivati ​​logaritmik. Ne varim logaritmet në të dy anët:

Si rregull, shkalla nxirret nga logaritmi në anën e djathtë:

Si rezultat, në anën e djathtë kemi një produkt me dy funksione, të cilat do të diferencohen sipas formulës standarde. .

Ne gjejmë derivatin, për këtë ne mbyllim të dy pjesët nën goditje:

Hapat e ardhshëm janë të lehtë:

Së fundi:

Nëse ndonjë transformim nuk është plotësisht i qartë, ju lutemi rilexoni me kujdes shpjegimet e Shembullit 11.

Në detyrat praktike, funksioni eksponencial do të jetë gjithmonë më i ndërlikuar se shembulli i leksionit të konsideruar.

Shembulli 13

Gjeni derivatin e një funksioni

Ne përdorim derivatin logaritmik.

Në anën e djathtë kemi një konstante dhe produktin e dy faktorëve - "x" dhe "logaritmi i logaritmit të x" (një logaritëm tjetër është i vendosur nën logaritëm). Kur diferencojmë një konstante, siç e kujtojmë, është më mirë ta heqim menjëherë nga shenja e derivatit në mënyrë që të mos pengohet; dhe, natyrisht, zbatoni rregullin e njohur :

Vërtetimi dhe nxjerrja e formulave për derivatin e logaritmit natyror dhe të logaritmit në bazën a. Shembuj të llogaritjes së derivateve të ln 2x, ln 3x dhe ln nx. Vërtetimi i formulës për derivatin e logaritmit të rendit të n-të me metodën e induksionit matematik.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Logaritmi - vetitë, formulat, grafiku
Logaritmi natyror - vetitë, formulat, grafiku

Nxjerrja e formulave për derivatet e logaritmit natyror dhe logaritmit në bazën a

Derivati ​​i logaritmit natyror të x është i barabartë me një pjesëtuar me x:
(1) (lnx)′ =.

Derivati ​​i logaritmit në bazën a është i barabartë me një pjesëtuar me ndryshoren x shumëzuar me logaritmin natyror të a:
(2) (log x)′ =.

Dëshmi

Le të ketë një numër pozitiv jo të barabartë me një. Konsideroni një funksion që varet nga ndryshorja x, e cila është një logaritëm bazë:
.
Ky funksion është përcaktuar me . Le të gjejmë derivatin e tij në lidhje me x. Sipas përkufizimit, derivati ​​është kufiri i mëposhtëm:
(3) .

Le ta transformojmë këtë shprehje për ta reduktuar në vetitë dhe rregullat e njohura matematikore. Për ta bërë këtë, ne duhet të dimë faktet e mëposhtme:
POR) Vetitë e logaritmit. Ne kemi nevojë për formulat e mëposhtme:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Vazhdimësia e logaritmit dhe vetia e kufijve për një funksion të vazhdueshëm:
(7) .
Këtu është një funksion që ka një kufi dhe ky kufi është pozitiv.
NË) Kuptimi i kufirit të dytë të mrekullueshëm:
(8) .

Ne i zbatojmë këto fakte në kufirin tonë. Fillimisht transformojmë shprehjen algjebrike
.
Për ta bërë këtë, ne aplikojmë vetitë (4) dhe (5).

.

Ne përdorim pronën (7) dhe kufirin e dytë të shquar (8):
.

Dhe së fundi, aplikoni pronën (6):
.
logaritmi bazë e thirrur logaritmi natyror. Është shënuar kështu:
.
Pastaj;
.

Kështu, kemi marrë formulën (2) për derivatin e logaritmit.

Derivat i logaritmit natyror

Edhe një herë, ne shkruajmë formulën për derivatin e logaritmit në bazën a:
.
Kjo formulë ka formën më të thjeshtë për logaritmin natyror, për të cilin, . Pastaj
(1) .

Për shkak të kësaj thjeshtësie, logaritmi natyror përdoret shumë gjerësisht në llogaritjen dhe në fusha të tjera të matematikës që lidhen me llogaritjen diferenciale. Funksionet logaritmike me baza të tjera mund të shprehen në terma të logaritmit natyror duke përdorur vetinë (6):
.

Derivati ​​bazë i logaritmit mund të gjendet nga formula (1) nëse konstanta hiqet nga shenja e diferencimit:
.

Mënyra të tjera për të vërtetuar derivatin e logaritmit

Këtu supozojmë se e dimë formulën për derivatin e eksponentit:
(9) .
Atëherë mund të nxjerrim formulën për derivatin e logaritmit natyror, duke qenë se logaritmi është inversi i eksponentit.

Le të vërtetojmë formulën për derivatin e logaritmit natyror, duke zbatuar formulën për derivatin e funksionit të anasjelltë:
.
Në rastin tonë. Inversi i logaritmit natyror është eksponenti:
.
Derivati ​​i tij përcaktohet me formulën (9). Variablat mund të shënohen me çdo shkronjë. Në formulën (9), ne zëvendësojmë ndryshoren x me y:
.
Që atëherë
.
Pastaj
.
Formula është vërtetuar.

Tani vërtetojmë formulën për derivatin e logaritmit natyror duke përdorur rregullat për diferencimin e një funksioni kompleks. Meqenëse funksionet dhe janë të anasjellta me njëri-tjetrin, atëherë
.
Diferenconi këtë ekuacion në lidhje me ndryshoren x:
(10) .
Derivati ​​i x është i barabartë me një:
.
Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks:
.
Këtu. Zëvendësoni në (10):
.
Nga këtu
.

Shembull

Gjeni derivatet e n 2x, n 3x Dhe ln nx.

Funksionet origjinale kanë një formë të ngjashme. Prandaj, do të gjejmë derivatin e funksionit y = log nx. Pastaj zëvendësojmë n = 2 dhe n = 3 . Dhe, kështu, marrim formula për derivatet e n 2x Dhe n 3x .

Pra, ne jemi duke kërkuar për derivatin e funksionit
y = log nx .
Le ta paraqesim këtë funksion si një funksion kompleks që përbëhet nga dy funksione:
1) Funksionet e varura nga variabla : ;
2) Funksionet e varura të ndryshueshme : .
Atëherë funksioni origjinal është i përbërë nga funksionet dhe:
.

Le të gjejmë derivatin e funksionit në lidhje me ndryshoren x:
.
Le të gjejmë derivatin e funksionit në lidhje me ndryshoren:
.
Zbatojmë formulën për derivatin e një funksioni kompleks.
.
Këtu kemi zëvendësuar.

Kështu ne gjetëm:
(11) .
Shohim se derivati ​​nuk varet nga n. Ky rezultat është mjaft i natyrshëm nëse transformojmë funksionin origjinal duke përdorur formulën e logaritmit të produktit:
.
- është një konstante. Derivati ​​i tij është zero. Atëherë, sipas rregullit të diferencimit të shumës, kemi:
.

; ; .

Derivat i modulit të logaritmit x

Le të gjejmë derivatin e një funksioni tjetër shumë të rëndësishëm - logaritmin natyror të modulit x:
(12) .

Le të shqyrtojmë rastin. Atëherë funksioni duket si ky:
.
Derivati ​​i tij përcaktohet me formulën (1):
.

Tani merrni parasysh rastin. Atëherë funksioni duket si ky:
,
ku .
Por derivatin e këtij funksioni e gjetëm edhe në shembullin e mësipërm. Nuk varet nga n dhe është e barabartë me
.
Pastaj
.

Ne i kombinojmë këto dy raste në një formulë:
.

Prandaj, për logaritmin në bazën a, kemi:
.

Derivatet e rendit më të lartë të logaritmit natyror

Merrni parasysh funksionin
.
Ne gjetëm derivatin e tij të rendit të parë:
(13) .

Le të gjejmë derivatin e rendit të dytë:
.
Le të gjejmë derivatin e rendit të tretë:
.
Le të gjejmë derivatin e rendit të katërt:
.

Mund të shihet se derivati ​​i rendit të n-të ka formën:
(14) .
Le ta vërtetojmë këtë me induksion matematikor.

Dëshmi

Le të zëvendësojmë vlerën n = 1 në formulën (14):
.
Meqenëse , atëherë për n = 1 , formula (14) është e vlefshme.

Le të supozojmë se formula (14) është e kënaqur për n = k . Le të vërtetojmë se nga kjo rezulton se formula është e vlefshme për n = k + 1 .

Në të vërtetë, për n = k kemi:
.
Diferenconi në lidhje me x:

.
Kështu që ne morëm:
.
Kjo formulë përkon me formulën (14) për n = k + 1 . Kështu, nga supozimi se formula (14) është e vlefshme për n = k, rrjedh se formula (14) është e vlefshme për n = k + 1 .

Prandaj, formula (14), për derivatin e rendit të n-të, është e vlefshme për çdo n.

Derivatet e rendit më të lartë të logaritmit në bazën a

Për të gjetur derivatin e n-të të logaritmit bazë a, duhet ta shprehni atë në termat e logaritmit natyror:
.
Duke aplikuar formulën (14), gjejmë derivatin e n-të:
.

Shiko gjithashtu:

Kur dalloni një funksion të fuqisë eksponenciale ose shprehje të rënda thyesore, është e përshtatshme të përdoret derivati ​​logaritmik. Në këtë artikull, ne do të shikojmë shembuj të aplikimit të tij me zgjidhje të hollësishme.

Paraqitja e mëtejshme nënkupton aftësinë për të përdorur tabelën e derivateve, rregullat e diferencimit dhe njohjen e formulës për derivatin e një funksioni kompleks.

Nxjerrja e formulës për derivatin logaritmik.

Së pari, marrim logaritmin në bazën e, thjeshtojmë formën e funksionit duke përdorur vetitë e logaritmit dhe më pas gjejmë derivatin e funksionit të dhënë në mënyrë implicite:

Për shembull, le të gjejmë derivatin e funksionit të fuqisë eksponenciale x në fuqinë e x.

Logaritmi jep . Sipas vetive të logaritmit. Diferencimi i të dy pjesëve të barazisë çon në rezultatin:

Përgjigje: .

I njëjti shembull mund të zgjidhet pa përdorur derivatin logaritmik. Ju mund të bëni disa transformime dhe të kaloni nga diferencimi i një funksioni të fuqisë eksponenciale në gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Shembull.

Gjeni derivatin e një funksioni .

Zgjidhje.

Në këtë shembull, funksioni është një thyesë dhe derivati ​​i tij mund të gjendet duke përdorur rregullat e diferencimit. Por për shkak të shprehjes së rëndë, kjo do të kërkojë shumë transformime. Në raste të tilla, është më e arsyeshme të përdoret formula për derivatin logaritmik . Pse? Do ta kuptoni tani.

Le ta gjejmë së pari. Në transformimet do të përdorim vetitë e logaritmit (logaritmi i një fraksioni është i barabartë me diferencën e logaritmeve, dhe logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve dhe shkalla e shprehjes nën Shenja e logaritmit mund të nxirret edhe si koeficient përballë logaritmit):

Këto transformime na kanë çuar në një shprehje mjaft të thjeshtë, derivati ​​i së cilës është i lehtë për t'u gjetur:

Rezultatin e marrë e zëvendësojmë në formulën për derivatin logaritmik dhe marrim përgjigjen:

Për të konsoliduar materialin, ne japim disa shembuj të tjerë pa shpjegime të hollësishme.

Shembull.

Gjeni derivatin e një funksioni të fuqisë eksponenciale