Studimin e trigonometrisë do ta fillojmë me një trekëndësh kënddrejtë. Le të përcaktojmë se çfarë janë sinusi dhe kosinusi, si dhe tangjentja dhe kotangjentja e një këndi akut. Këto janë bazat e trigonometrisë.
Kujtoni atë kënd i drejtëështë një kënd prej 90 gradë. Me fjalë të tjera, gjysma e një qoshe të rrafshuar.
Këndi i mprehtë- më pak se 90 gradë.
Këndi i mpirë- më shumë se 90 gradë. Kur aplikohet në një cep të tillë, "memec" nuk është një fyerje, por një term matematikor :-)
Le të vizatojmë një trekëndësh kënddrejtë. Zakonisht tregohet një kënd i drejtë. Vini re se ana përballë këndit shënohet me të njëjtën shkronjë, vetëm e vogël. Pra, shënohet ana përballë këndit A.
Këndi tregohet me shkronjën përkatëse greke.
Hipotenuza një trekëndësh kënddrejtë është brinja përballë këndit të drejtë.
Këmbët- anët përballë qosheve të mprehta.
Këmba që shtrihet përballë këndit quhet kundërshtuese(në lidhje me këndin). Një këmbë tjetër, e cila shtrihet në njërën anë të qoshes, quhet ngjitur.
Sinus një kënd i mprehtë në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën:
Kosinusi një kënd akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:
Tangjente një kënd akut në një trekëndësh me kënd të drejtë - raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur:
Një përkufizim tjetër (ekuivalent): tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të një këndi me kosinusin e tij:
Kotangjente një kënd akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt (ose, që është i njëjtë, raporti i kosinusit me sinusin):
Vini re marrëdhëniet bazë për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten më poshtë. Ata do të jenë të dobishëm për ne kur zgjidhim problemet.
Le të vërtetojmë disa prej tyre.
Mirë, ne kemi dhënë përkufizime dhe kemi shkruar formula. Dhe për çfarë shërbejnë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja?
Ne e dimë atë shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është.
Ne e dimë marrëdhënien ndërmjet partive trekëndësh kënddrejtë. Kjo është teorema e Pitagorës:.
Rezulton se duke ditur dy këndet në trekëndësh, mund të gjesh të tretin. Duke ditur të dy anët në një trekëndësh kënddrejtë, mund të gjeni të tretën. Kjo do të thotë që për qoshet - raporti i tij, për anët - i veti. Por, çka nëse në një trekëndësh kënddrejtë njihet një kënd (përveç atij të drejtës) dhe njëra anë, por ju duhet të gjeni anët e tjera?
Njerëzit u përballën me këtë në të kaluarën, duke bërë harta të zonës dhe qiellit me yje. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të maten drejtpërdrejt të gjitha anët e një trekëndëshi.
Sinus, kosinus dhe tangjent - quhen gjithashtu funksionet trigonometrike të një këndi- jepni marrëdhënien ndërmjet partive dhe qoshet trekëndëshi. Duke ditur këndin, mund të gjeni të gjitha funksionet e tij trigonometrike duke përdorur tabela të veçanta. Dhe duke ditur sinuset, kosinuset dhe tangjentet e këndeve të një trekëndëshi dhe njërës prej brinjëve të tij, mund të gjeni pjesën tjetër.
Ne gjithashtu do të vizatojmë një tabelë të vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për këndet "të mira" nga në.
Vini re dy vijat e kuqe në tabelë. Për këndet përkatëse, tangjentja dhe kotangjentja nuk ekzistojnë.
Le të analizojmë disa detyra trigonometrike nga Banka e Punës FIPI.
1. Në një trekëndësh, këndi është,. Gjej.
Problemi zgjidhet në katër sekonda.
Për aq sa , .
2. Në një trekëndësh, këndi është,,. Gjej.
Gjeni nga teorema e Pitagorës.
Problemi është zgjidhur.
Trekëndëshat me kënde dhe ose me kënde dhe shpesh hasen në probleme. Mësoni përmendësh raportet bazë për ta!
Për një trekëndësh me qoshe dhe një këmbë përballë këndit b është e barabartë me gjysma e hipotenuzës.
Një trekëndësh me qoshe dhe është dykëndësh. Në të, hipotenuza është herë më e madhe se këmba.
Ne shqyrtuam problemin e zgjidhjes së trekëndëshave kënddrejtë - domethënë gjetjen e brinjëve ose këndeve të panjohura. Por kjo nuk është e gjitha! Në versionet e provimit të matematikës ka shumë probleme ku shfaqet sinusi, kosinusi, tangjentja ose kotangjentja e këndit të jashtëm të trekëndëshit. Më shumë rreth kësaj në artikullin vijues.
Pyetjet më të shpeshta
A është e mundur të bëhet një vulë në një dokument sipas mostrës së dhënë? Përgjigju Po, është e mundur. Dërgoni një kopje të skanuar ose një foto me cilësi të mirë në adresën tonë të emailit dhe ne do të bëjmë kopjen e nevojshme.
Çfarë lloje pagese pranoni?
Përgjigju Ju mund të paguani për dokumentin në momentin e marrjes në dorën e korrierit, pasi të keni kontrolluar korrektësinë e plotësimit dhe cilësinë e ekzekutimit të diplomës. Ju gjithashtu mund ta bëni këtë në zyrën e kompanive postare që ofrojnë shërbime me para në dorë.
Të gjitha kushtet e dorëzimit dhe pagesës së dokumenteve përshkruhen në seksionin "Pagesa dhe dorëzimi". Ne jemi gjithashtu të gatshëm të dëgjojmë sugjerimet tuaja për kushtet e dorëzimit dhe pagesës për dokumentin.
A mund të jem i sigurt se pas vendosjes së një porosie nuk do të zhdukesh me paratë e mia? Përgjigju Në fushën e dhënies së diplomave kemi një përvojë pune mjaft të gjatë. Ne kemi disa faqe që përditësohen vazhdimisht. Specialistët tanë punojnë në pjesë të ndryshme të vendit, duke përgatitur mbi 10 dokumente në ditë. Gjatë viteve, dokumentet tona kanë ndihmuar shumë njerëz të zgjidhin problemet e punësimit ose të kalojnë në një punë me pagë më të lartë. Ne kemi fituar besim dhe njohje midis klientëve tanë, kështu që nuk kemi absolutisht asnjë arsye për ta bërë këtë. Për më tepër, është thjesht e pamundur ta bësh atë fizikisht: ju paguani për porosinë tuaj në momentin që e merrni në duart tuaja, nuk ka parapagim.
A mund të porosis një diplomë nga ndonjë universitet? Përgjigju Në përgjithësi, po. Ne kemi punuar në këtë fushë për gati 12 vjet. Gjatë kësaj kohe u formua një bazë pothuajse e plotë e dokumenteve të lëshuara nga pothuajse të gjitha universitetet e vendit dhe për vite të ndryshme lëshimi. Gjithçka që ju nevojitet është të zgjidhni një universitet, specialitet, dokument dhe të plotësoni formularin e porosisë.
Çfarë duhet të bëni nëse në dokument gjenden gabime shtypi dhe gabime?
Përgjigju Kur merrni një dokument nga korrieri ose kompania jonë postare, ju rekomandojmë që të kontrolloni me kujdes të gjitha detajet. Nëse konstatohet një gabim shtypi, gabim ose pasaktësi, ju keni të drejtë të mos merrni diplomën dhe defektet e zbuluara duhet t'i tregoni korrierit personalisht ose me shkrim duke dërguar një e-mail.
Sa më shpejt të jetë e mundur, ne do ta korrigjojmë dokumentin dhe do ta ridërgojmë në adresën e specifikuar. Natyrisht, transporti do të paguhet nga kompania jonë.
Për të shmangur keqkuptime të tilla, përpara se të plotësoni formularin origjinal, ne i dërgojmë klientit një model të dokumentit të ardhshëm me postë për verifikim dhe miratim të versionit përfundimtar. Para se ta dërgojmë dokumentin me korrier ose postë, ne bëjmë gjithashtu foto dhe video shtesë (përfshirë dritën ultravjollcë) në mënyrë që të keni një ide të qartë se çfarë do të merrni në fund.
Çfarë duhet të bëni për të porositur një diplomë në kompaninë tuaj?
Përgjigju Për të porositur një dokument (certifikatë, diplomë, transkript akademik, etj.), duhet të plotësoni formularin e porosisë online në faqen tonë të internetit ose të dërgoni e-mailin tuaj në mënyrë që ne t'ju dërgojmë një formular pyetësor që duhet të plotësoni dhe dërgoni. përsëri tek ne.
Nëse nuk dini çfarë të tregoni në ndonjë fushë të formularit të porosisë / pyetësorit, lini ato bosh. Prandaj, të gjitha informacionet që mungojnë do t'i sqarojmë me telefon.
Vlerësimet më të fundit
Alexey:
Më duhej të merrja një diplomë për të gjetur një punë si menaxher. Dhe më e rëndësishmja, kam përvojë dhe aftësi, por pa dokument nuk mundem, do të gjej një punë. Pasi në faqen tuaj, vendosa të blej një diplomë. Diploma u perfundua per 2 dite !! Tani kam një punë që nuk e kam ëndërruar kurrë më parë!! Faleminderit!
Në këtë artikull, ne do të hedhim një vështrim gjithëpërfshirës. Identitetet bazë trigonometrike janë barazi që vendosin një marrëdhënie midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi dhe ju lejojnë të gjeni cilindo nga këto funksione trigonometrike përmes tjetrit të njohur.
Le të rendisim menjëherë identitetet kryesore trigonometrike, të cilat do t'i analizojmë në këtë artikull. Le t'i shkruajmë ato në tabelë dhe më poshtë japim derivimin e këtyre formulave dhe japim shpjegimet e nevojshme.
Navigimi i faqes.
Lidhja midis sinusit dhe kosinusit të një këndi
Ndonjëherë ata nuk flasin për identitetet bazë trigonometrike të renditura në tabelën e mësipërme, por për një të vetme identiteti bazë trigonometrik të llojit 
... Shpjegimi për këtë fakt është mjaft i thjeshtë: barazitë merren nga identiteti kryesor trigonometrik pasi të dy pjesët e tij janë ndarë me dhe, përkatësisht, dhe barazitë. 
dhe 
vijoni nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës. Ne do të flasim për këtë në më shumë detaje në paragrafët e ardhshëm.
Kjo do të thotë, me interes të veçantë është pikërisht barazia, të cilës i është dhënë emri i identitetit bazë trigonometrik.
Përpara se të vërtetojmë identitetin kryesor trigonometrik, le të japim formulimin e tij: shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është identikisht e barabartë me një. Tani le ta vërtetojmë.
Identiteti bazë trigonometrik përdoret shumë shpesh kur konvertimin e shprehjeve trigonometrike... Ai lejon që shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi të zëvendësohet me një. Jo më rrallë, identiteti bazë trigonometrik përdoret gjithashtu në rend të kundërt: njësia zëvendësohet nga shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi.
Tangjente dhe kotangjente për sa i përket sinusit dhe kosinusit
Identitetet që lidhin tangjenten dhe kotangjenten me sinusin dhe kosinusin e një këndi të formës dhe 
rrjedhin menjëherë nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës. Në të vërtetë, sipas përkufizimit, sinusi është ordinata y, kosinusi është abshisa e x, tangjentja është raporti i ordinatës me abshisën, d.m.th. 
, dhe kotangjentja është raporti i abshisës me ordinatën, d.m.th. 
.
Për shkak të kësaj evidente të identiteteve dhe shpesh përkufizimet e tangjentës dhe kotangjentës jepen jo nëpërmjet raportit të abshisës dhe ordinatës, por nëpërmjet raportit të sinusit dhe kosinusit. Pra, tangjentja e një këndi është raporti i sinusit me kosinusin e këtij këndi, dhe kotangjentja është raporti i kosinusit me sinusin.
Në përfundim të këtij paragrafi, duhet theksuar se identitetet dhe të mbajë për të gjitha këndet e tilla për të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim. Pra formula është e vlefshme për çdo tjetër përveç (përndryshe do të ketë zero në emërues, dhe ne nuk e kemi përcaktuar ndarjen me zero), dhe formula - për të gjitha përveç, ku z është ndonjë.
Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes
Një identitet trigonometrik edhe më i dukshëm se dy të mëparshmet është identiteti që lidh tangjenten dhe kotangjenten e një këndi të formës. ... Është e qartë se ajo zhvillohet për çdo kënd tjetër përveçse, përndryshe as tangjentja ose kotangjentja nuk janë të përcaktuara.
Vërtetim i formulës shume e thjeshte. Sipas përkufizimit dhe nga 
... Prova mund të ishte kryer pak më ndryshe. Që nga dhe , pastaj 
.
Pra, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim është.
Marrëdhëniet midis funksioneve kryesore trigonometrike - sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent - janë vendosur formulat trigonometrike... Dhe meqenëse ka shumë lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksione trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksione të një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të ulni shkallën, e katërta - të shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.
Në këtë artikull, ne do të rendisim me radhë të gjitha formulat bazë trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit dhe do t'i vendosim në tabela.
Navigimi i faqes.
Identitetet bazë trigonometrike
Identitetet bazë trigonometrike caktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik në terma të çdo funksioni tjetër.
Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, derivimin e tyre dhe shembujt e aplikimit, shihni artikullin.
Formulat e derdhjes
Formulat e derdhjes vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, pra pasqyrojnë vetinë e periodicitetit të funksioneve trigonometrike, vetinë e simetrisë, si dhe vetinë e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.
Arsyeja për këto formula, rregulli kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.
Formulat e shtimit
Formulat e mbledhjes trigonometrike të tregojë se si shprehen funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve në funksion të funksioneve trigonometrike të këtyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.
Formulat për dyfish, trefish, etj. qoshe
Formulat për dyfish, trefish, etj. këndi (i quajtur edhe formulat e këndeve të shumëfishta) tregojnë se si funksionojnë trigonometrikë të dyfishtë, trefishtë, etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.
Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. qoshe.
Formulat e gjysmëkëndit
Formulat e gjysmëkëndit të tregojë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.
Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.
Formulat e reduktimit të shkallës
Formulat e reduktimit të shkallës trigonometrike janë krijuar për të lehtësuar kalimin nga shkallët natyrore të funksioneve trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por kënde të shumëfishta. Me fjalë të tjera, ato ju lejojnë të ulni shkallët e funksioneve trigonometrike në të parën.
Formulat e shumës dhe diferencës për funksionet trigonometrike
destinacioni kryesor formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrikeështë të shkosh te produkti i funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohen shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pasi ato ju lejojnë të faktorizoni shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve.
Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinus për kosinus
Kalimi nga produkti i funksioneve trigonometrike në shumën ose ndryshimin kryhet duke përdorur formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.
E drejta e autorit nga studentë të zgjuar
Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes www., duke përfshirë materialet e brendshme dhe dizajnin e jashtëm, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.
Identitetet trigonometrike- këto janë barazi që vendosin një marrëdhënie midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi, i cili ju lejon të gjeni ndonjë nga këto funksione, me kusht që të dihet ndonjë tjetër.
tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa), \ enspace ctg \ alfa = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)
tg \ alfa \ cdot ctg \ alfa = 1
Ky identitet thotë se shuma e katrorit të sinusit të një këndi dhe katrorit të kosinusit të një këndi është e barabartë me një, gjë që në praktikë bën të mundur llogaritjen e sinusit të një këndi kur dihet kosinusi i tij dhe anasjelltas. .
Gjatë konvertimit të shprehjeve trigonometrike, ky identitet përdoret shumë shpesh, i cili ju lejon të zëvendësoni shumën e katrorëve të kosinusit dhe sinusit të një këndi me një njësi dhe gjithashtu të kryeni operacionin e zëvendësimit në rend të kundërt.
Gjetja e tangjentës dhe kotangjentës për sa i përket sinusit dhe kosinusit
tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa), \ enspace
Këto identitete janë formuar nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit. Në fund të fundit, nëse e shikoni atë, atëherë sipas përkufizimit ordinata e y është sinusi, dhe abshisa e x është kosinusi. Atëherë tangjentja do të jetë e barabartë me raportin \ frac (y) (x) = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) dhe raporti \ frac (x) (y) = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)- do të jetë një kotangjent.
Shtojmë se vetëm për kënde të tilla \ alfa për të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim do të qëndrojnë identitetet, ctg \ alfa = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa).
Për shembull: tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa)është e vlefshme për këndet \ alfa që janë të ndryshme nga \ frac (\ pi) (2) + \ pi z, a ctg \ alfa = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)- për një kënd \ alfa të ndryshëm nga \ pi z, z - është një numër i plotë.
Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes
tg \ alfa \ cdot ctg \ alfa = 1
Ky identitet është i vlefshëm vetëm për këndet \ alfa që janë të ndryshme nga \ frac (\ pi) (2) z... Përndryshe, nuk do të specifikohet as kotangjentja ose tangjentja.
Bazuar në pikat e mësipërme, konstatojmë se tg \ alfa = \ frac (y) (x), a ctg \ alfa = \ frac (x) (y)... Prandaj rrjedh se tg \ alfa \ cdot ctg \ alfa = \ frac (y) (x) \ cdot \ frac (x) (y) = 1... Kështu, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim janë numra reciprokë.
Varësia ndërmjet tangjentës dhe kosinusit, kotangjentit dhe sinusit
tg ^ (2) \ alfa + 1 = \ frac (1) (\ cos ^ (2) \ alfa)- shuma e katrorit të tangjentes së këndit \ alfa dhe 1, është e barabartë me katrorin e anasjelltë të kosinusit të këtij këndi. Ky identitet është i vlefshëm për të gjithë \ alfa të ndryshme nga \ frac (\ pi) (2) + \ pi z.
1 + ctg ^ (2) \ alfa = \ frac (1) (\ sin ^ (2) \ alfa)- shuma e 1 dhe katrorit të kotangjentes së këndit \ alfa, është e barabartë me katrorin e anasjelltë të sinusit të këndit të dhënë. Ky identitet është i vlefshëm për çdo \ alfa tjetër përveç \ pi z.
Shembuj me zgjidhje të problemeve mbi përdorimin e identiteteve trigonometrike
Shembulli 1
Gjeni \ sin \ alfa dhe tg \ alfa if \ cos \ alfa = - \ frac12 dhe \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ;
Trego zgjidhje
Zgjidhje
Funksionet \ sin \ alfa dhe \ cos \ alfa janë të lidhura nga një formulë \ sin ^ (2) \ alfa + \ cos ^ (2) \ alfa = 1... Zëvendësimi në këtë formulë \ cos \ alfa = - \ frac12, marrim:
\ sin ^ (2) \ alfa + \ majtas (- \ frac12 \ djathtas) ^ 2 = 1
Ky ekuacion ka 2 zgjidhje:
\ sin \ alfa = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2)
Sipas kushteve \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Prandaj, në tremujorin e dytë, sinusi është pozitiv \ sin \ alfa = \ frac (\ sqrt 3) (2).
Për të gjetur tg \ alfa, ne përdorim formulën tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa)
tg \ alfa = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3
Shembulli 2
Gjeni \ cos \ alfa dhe ctg \ alfa nëse dhe \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi .
Trego zgjidhje
Zgjidhje
Zëvendësimi në formulë \ sin ^ (2) \ alfa + \ cos ^ (2) \ alfa = 1 numër i dhënë me kusht \ sin \ alfa = \ frac (\ sqrt3) (2), marrim \ majtas (\ frac (\ sqrt3) (2) \ djathtas) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ alfa = 1... Ky ekuacion ka dy zgjidhje \ cos \ alfa = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14.
Sipas kushteve \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Në tremujorin e dytë, kosinusi është negativ, pra \ cos \ alfa = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12.
Për të gjetur ctg \ alfa, përdorni formulën ctg \ alfa = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)... Ne i dimë vlerat përkatëse.
ctg \ alfa = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3).