Matematika është ajo qënjerëzit kontrollojnë natyrën dhe veten.
Matematikani sovjetik, akademik A.N. Kolmogorov
Progresioni gjeometrik.
Së bashku me detyrat mbi progresionet aritmetike, detyrat që lidhen me konceptin e një progresion gjeometrik janë gjithashtu të zakonshme në testet hyrëse në matematikë. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të njihni vetitë e një progresion gjeometrik dhe të keni aftësi të mira në përdorimin e tyre.
Ky artikull i kushtohet prezantimit të vetive kryesore të një progresion gjeometrik. Ai gjithashtu ofron shembuj të zgjidhjes së problemeve tipike, huazuar nga detyrat e testeve pranuese në matematikë.
Le të vërejmë paraprakisht vetitë kryesore të një progresion gjeometrik dhe të kujtojmë formulat dhe pohimet më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.
Përkufizimi. Një sekuencë numerike quhet progresion gjeometrik nëse secili nga numrat e tij, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, i shumëzuar me të njëjtin numër. Numri quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Për një progresion gjeometrikformulat janë të vlefshme
, (1)
ku . Formula (1) quhet formula e termit të përgjithshëm të një progresion gjeometrik, dhe formula (2) është vetia kryesore e një progresion gjeometrik: çdo anëtar i progresionit përkon me mesataren gjeometrike të anëtarëve të tij fqinjë dhe .
Shënim, se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në fjalë quhet “gjeometrik”.
Formulat (1) dhe (2) më sipër janë përmbledhur si më poshtë:
, (3)
Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion gjeometrikzbatohet formula
Nëse caktojmë
ku . Meqenëse, formula (6) është një përgjithësim i formulës (5).
Në rastin kur dhe progresion gjeometrikështë pafundësisht në rënie. Për të llogaritur shumënnga të gjithë anëtarët e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, përdoret formula
. (7)
Për shembull , duke përdorur formulën (7), mund të tregohet, çfarë
ku . Këto barazi janë marrë nga formula (7) me kusht që , (barazia e parë) dhe , (barazia e dytë).
Teorema. Nese atehere
Dëshmi. Nese atehere ,
Teorema është vërtetuar.
Le të kalojmë në shqyrtimin e shembujve të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni gjeometrik".
Shembulli 1 Jepet: , dhe . Per te gjetur .
Vendimi. Nëse zbatohet formula (5), atëherë
Përgjigje:.
Shembulli 2 Le dhe . Per te gjetur .
Vendimi. Meqenëse dhe , përdorim formulat (5), (6) dhe marrim sistemin e ekuacioneve
Nëse ekuacioni i dytë i sistemit (9) pjesëtohet me të parin, pastaj ose . Nga kjo rrjedh . Le të shqyrtojmë dy raste.
1. Nëse, atëherë nga ekuacioni i parë i sistemit (9) kemi.
2. Nëse , atëherë .
Shembulli 3 Le , dhe . Per te gjetur .
Vendimi. Nga formula (2) rezulton se ose . Që atëherë ose .
Sipas kushtit. Megjithatë, prandaj. Sepse dhe, atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh
Nëse ekuacioni i dytë i sistemit pjesëtohet me të parin, atëherë ose .
Meqenëse , ekuacioni ka një rrënjë të vetme të përshtatshme . Në këtë rast, ekuacioni i parë i sistemit nënkupton .
Duke marrë parasysh formulën (7), marrim.
Përgjigje:.
Shembulli 4 Jepet: dhe . Per te gjetur .
Vendimi. Që atëherë.
Sepse, atëherë ose
Sipas formulës (2), kemi . Në këtë drejtim, nga barazia (10) marrim ose .
Megjithatë, sipas kushtit, pra.
Shembulli 5 Dihet se. Per te gjetur .
Vendimi. Sipas teoremës kemi dy barazi
Që atëherë ose . Sepse, atëherë.
Përgjigje:.
Shembulli 6 Jepet: dhe . Per te gjetur .
Vendimi. Duke marrë parasysh formulën (5), marrim
Që atëherë. Që nga , dhe , atëherë .
Shembulli 7 Le dhe . Per te gjetur .
Vendimi. Sipas formulës (1), mund të shkruajmë
Prandaj, ne kemi ose . Dihet se dhe , prandaj dhe .
Përgjigje:.
Shembulli 8 Gjeni emëruesin e një progresion të pafundëm gjeometrik në rënie nëse
dhe .
Vendimi. Nga formula (7) rrjedh dhe . Nga këtu dhe nga gjendja e problemit, marrim sistemin e ekuacioneve
Nëse ekuacioni i parë i sistemit është në katror, dhe pastaj pjesëtojeni ekuacionin që rezulton me ekuacionin e dytë, atëherë marrim
Ose .
Përgjigje:.
Shembulli 9 Gjeni të gjitha vlerat për të cilat sekuenca , , është një progresion gjeometrik.
Vendimi. Le , dhe . Sipas formulës (2), e cila përcakton vetinë kryesore të një progresion gjeometrik, ne mund të shkruajmë ose .
Nga këtu marrim ekuacionin kuadratik, rrënjët e të cilit janë dhe .
Le të kontrollojmë: nëse, pastaj , dhe ; nëse , atëherë , dhe .
Në rastin e parë kemi dhe , dhe në të dytën - dhe .
Përgjigje: ,.
Shembulli 10zgjidhin ekuacionin
, (11)
ku dhe.
Vendimi. Ana e majtë e ekuacionit (11) është shuma e një progresioni gjeometrik të pafundmë në rënie, në të cilin dhe , me kusht: dhe .
Nga formula (7) rrjedh, çfarë . Në këtë drejtim, ekuacioni (11) merr formën ose . rrënjë e përshtatshme ekuacioni kuadratik është
Përgjigje:.
Shembulli 11. P sekuenca e numrave pozitivëformon një progresion aritmetik, a - progresion gjeometrik, çfarë ka të bëjë me . Per te gjetur .
Vendimi. Si sekuenca aritmetike, pastaj (vetia kryesore e një progresion aritmetik). Për aq sa, pastaj ose . Kjo nënkupton, se progresioni gjeometrik është. Sipas formulës (2), atëherë shkruajmë atë .
Që atëherë dhe atëherë . Në atë rast, shprehja merr formën ose . me kusht, pra nga ekuacionimarrim zgjidhjen unike të problemit në shqyrtim, d.m.th. .
Përgjigje:.
Shembulli 12. Llogaritni shumën
. (12)
Vendimi. Shumëzoni të dyja anët e barazisë (12) me 5 dhe merrni
Nëse nga shprehja që rezulton zbresim (12)., pastaj
ose .
Për të llogaritur, ne i zëvendësojmë vlerat në formulën (7) dhe marrim . Që atëherë.
Përgjigje:.
Shembujt e zgjidhjes së problemeve të dhëna këtu do të jenë të dobishëm për aplikantët në përgatitjen për provimet pranuese. Për një studim më të thellë të metodave të zgjidhjes së problemeve, lidhur me një progresion gjeometrik, ju mund të përdorni udhëzimet nga lista e literaturës së rekomanduar.
1. Mbledhja e detyrave në matematikë për aplikantët në universitetet teknike / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 f.
2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 f.
3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në detyra dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus, 2015. - 208 f.
A keni ndonjë pyetje?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Udhëzim
10, 30, 90, 270...
Kërkohet të gjendet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Vendimi:
1 opsion. Le të marrim një anëtar arbitrar të progresionit (për shembull, 90) dhe ta ndajmë me atë të mëparshmin (30): 90/30=3.
Nëse dihet shuma e disa anëtarëve të një progresioni gjeometrik ose shuma e të gjithë anëtarëve të një progresion gjeometrik në rënie, atëherë për të gjetur emëruesin e progresionit, përdorni formulat e duhura:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ku Sn është shuma e n termave të parë të progresionit gjeometrik dhe
S = b1/(1-q), ku S është shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie (shuma e të gjithë anëtarëve të progresionit me emërues më të vogël se një).
Shembull.
Termi i parë i një progresion gjeometrik në rënie është i barabartë me një, dhe shuma e të gjithë termave të tij është e barabartë me dy.
Kërkohet të përcaktohet emëruesi i këtij progresioni.
Vendimi:
Zëvendësoni të dhënat nga detyra në formulë. Marr:
2=1/(1-q), prej nga – q=1/2.
Një progresion është një sekuencë numrash. Në një progresion gjeometrik, çdo term i mëpasshëm fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër të caktuar q, i quajtur emëruesi i progresionit.
Udhëzim
Nëse njihen dy anëtarë fqinjë të b(n+1) dhe b(n) gjeometrike, për të marrë emëruesin, është e nevojshme të pjesëtohet numri me numër të madh me atë që i paraprin: q=b(n +1)/b(n). Kjo rrjedh nga përkufizimi i progresionit dhe emëruesit të tij. Një kusht i rëndësishëm është që termi i parë dhe emëruesi i progresionit të mos jenë të barabartë me zero, përndryshe ai konsiderohet i pacaktuar.
Kështu, ndërmjet anëtarëve të progresionit vendosen këto marrëdhënie: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Me formulën b(n)=b1 q^(n-1) mund të llogaritet çdo anëtar i një progresion gjeometrik, në të cilin dihet emëruesi q dhe anëtari b1. Gjithashtu, secili nga modulët e progresionit është i barabartë me mesataren e anëtarëve fqinjë: |b(n)|=√, prandaj progresioni mori .
Një analog i një progresion gjeometrik është funksioni më i thjeshtë eksponencial y=a^x, ku x është në eksponent, a është një numër. Në këtë rast, emëruesi i progresionit përkon me termin e parë dhe është i barabartë me numrin a. Vlera e funksionit y mund të kuptohet si anëtari i n-të i progresionit, nëse argumenti x merret si numër natyror n (numërues).
Ekziston për shumën e n anëtarëve të parë të një progresion gjeometrik: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Kjo formulë është e vlefshme për q≠1. Nëse q=1, atëherë shuma e n termave të parë llogaritet me formulën S(n)=n b1. Meqë ra fjala, progresioni do të quhet në rritje për q më të madh se një dhe pozitiv b1. Kur emëruesi i progresionit, moduli nuk e kalon një, progresioni do të quhet zbritës.
Një rast i veçantë i një progresion gjeometrik është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie (b.u.g.p.). Fakti është se anëtarët e një progresion gjeometrik në rënie do të ulen vazhdimisht, por nuk do të arrijnë kurrë zero. Përkundër kësaj, është e mundur të gjendet shuma e të gjitha termave të një progresioni të tillë. Përcaktohet me formulën S=b1/(1-q). Numri i përgjithshëm i anëtarëve n është i pafund.
Për të vizualizuar se si mund të shtoni një numër të pafund numrash dhe të mos merrni pafundësi, piqni një tortë. Prisni gjysmën e tij. Më pas prisni 1/2 e gjysmës, e kështu me radhë. Pjesët që do të merrni nuk janë gjë tjetër veçse anëtarë të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie me një emërues 1/2. Nëse i bashkoni të gjitha këto pjesë, merrni tortën origjinale.
Problemet e gjeometrisë janë një lloj i veçantë ushtrimi që kërkon të menduarit hapësinor. Nëse nuk mund ta zgjidhni gjeometrinë detyrë përpiquni të ndiqni rregullat e mëposhtme.
Udhëzim
Lexoni me shumë kujdes gjendjen e problemit, nëse nuk mbani mend ose nuk kuptoni diçka, rilexoni përsëri.
Mundohuni të përcaktoni se çfarë lloj problemesh gjeometrike janë, për shembull: llogaritëse, kur duhet të zbuloni ndonjë vlerë, detyra për të kërkuar një zinxhir logjik arsyetimi, detyra për ndërtimin duke përdorur një busull dhe vizore. Më shumë probleme të përziera. Pasi të keni kuptuar llojin e problemit, përpiquni të mendoni logjikisht.
Zbatoni teoremën e nevojshme për këtë problem, nëse ka dyshime ose nuk ka fare opsione, atëherë përpiquni të mbani mend teorinë që keni studiuar në temën përkatëse.
Bëni gjithashtu një draft të problemit. Mundohuni të përdorni metoda të njohura për të kontrolluar korrektësinë e zgjidhjes suaj.
Plotësoni zgjidhjen e problemit mjeshtërisht në një fletore, pa njolla dhe goditje, dhe më e rëndësishmja - Ndoshta do të duhet kohë dhe përpjekje për të zgjidhur problemet e para gjeometrike. Megjithatë, sapo të mbaroni këtë proces, do të filloni të klikoni detyra si arra dhe të argëtoheni duke e bërë atë!
Një progresion gjeometrik është një sekuencë e numrave b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) i tillë që b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Me fjalë të tjera, çdo anëtar i progresionit fitohet nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar atë me një emërues jozero të progresionit q.
Udhëzim
Problemet në një progresion më së shpeshti zgjidhen duke përpiluar dhe ndjekur një sistem në lidhje me termin e parë të progresionit b1 dhe emëruesin e progresionit q. Për të shkruar ekuacione, është e dobishme të mbani mend disa formula.
Si të shprehet anëtari i n-të i progresionit përmes anëtarit të parë të progresionit dhe emëruesit të progresionit: b(n)=b1*q^(n-1).
Shqyrtoni veçmas rastin |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Mësimi dhe prezantimi me temën: "Sekuencat e numrave. Progresioni gjeometrik"
Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, sugjerimet tuaja! Të gjitha materialet kontrollohen nga një program antivirus.
Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online "Integral" për klasën 9
Fuqitë dhe rrënjët Funksionet dhe Grafikët
Djema, sot do të njihemi me një lloj tjetër përparimi.
Tema e mësimit të sotëm është përparimi gjeometrik.
Progresioni gjeometrik
Përkufizimi. Një sekuencë numerike në të cilën çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me prodhimin e atij të mëparshmit dhe një numri fiks, quhet progresion gjeometrik.Le të përcaktojmë sekuencën tonë në mënyrë rekursive: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ku b dhe q janë numra të caktuar të caktuar. Numri q quhet emërues i progresionit.
Shembull. 1,2,4,8,16… Progresion gjeometrik, në të cilin anëtari i parë është i barabartë me një, dhe $q=2$.
Shembull. 8,8,8,8… Një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është tetë,
dhe $q=1$.
Shembull. 3,-3,3,-3,3... Një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është tre,
dhe $q=-1$.
Progresioni gjeometrik ka vetitë e monotonitetit.
Nëse $b_(1)>0$, $q>1$,
atëherë sekuenca po rritet.
Nëse $b_(1)>0$, $0 Sekuenca zakonisht shënohet si: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Ashtu si në një progresion aritmetik, nëse numri i elementeve në një progresion gjeometrik është i fundëm, atëherë progresioni quhet një progresion i fundëm gjeometrik.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Vini re se nëse sekuenca është një progresion gjeometrik, atëherë sekuenca e termave në katror është gjithashtu një progresion gjeometrik. Sekuenca e dytë ka termin e parë $b_(1)^2$ dhe emëruesin $q^2$.
Formula e anëtarit të n-të të një progresion gjeometrik
Progresioni gjeometrik mund të specifikohet edhe në formë analitike. Le të shohim se si ta bëjmë atë:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ne mund ta shohim lehtësisht modelin: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula jonë quhet "formula e anëtarit të n-të të një progresion gjeometrik".
Le të kthehemi te shembujt tanë.
Shembull. 1,2,4,8,16… Një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është i barabartë me një,
dhe $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Shembull. 16,8,4,2,1,1/2… Një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është gjashtëmbëdhjetë dhe $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Shembull. 8,8,8,8… Një progresion gjeometrik ku termi i parë është tetë dhe $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Shembull. 3,-3,3,-3,3… Një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është tre dhe $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Shembull. Jepet një progresion gjeometrik $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Dihet se $b_(1)=6, q=3$. Gjeni $b_(5)$.
b) Dihet se $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Gjeni n.
c) Dihet se $q=-2, b_(6)=96$. Gjeni $b_(1)$.
d) Dihet se $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Gjeni q.
Vendimi.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ meqenëse $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Shembull. Dallimi ndërmjet anëtarëve të shtatë dhe të pestë të progresionit gjeometrik është 192, shuma e anëtarëve të pestë dhe të gjashtë të progresionit është 192. Gjeni anëtarin e dhjetë të këtij progresioni.
Vendimi.
Ne e dimë se: $b_(7)-b_(5)=192$ dhe $b_(5)+b_(6)=192$.
Ne gjithashtu dimë: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Pastaj:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Ne kemi një sistem ekuacionesh:
$\fille(rastet)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\fund(rastet)$.
Duke barazuar, ekuacionet tona marrin:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Morëm dy zgjidhje q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zëvendësoni me radhë në ekuacionin e dytë:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nuk ka zgjidhje.
Ne morëm atë: $b_(1)=4, q=2$.
Le të gjejmë termin e dhjetë: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Shuma e një progresion të kufizuar gjeometrik
Supozoni se kemi një progresion të fundëm gjeometrik. Le të llogarisim, si dhe për një progresion aritmetik, shumën e anëtarëve të tij.Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Le të prezantojmë shënimin për shumën e termave të tij: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Në rastin kur $q=1$. Të gjithë anëtarët e progresionit gjeometrik janë të barabartë me anëtarin e parë, atëherë është e qartë se $S_(n)=n*b_(1)$.
Konsideroni tani rastin $q≠1$.
Shumëzoni shumën e mësipërme me q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Shënim:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Ne kemi marrë formulën për shumën e një progresion të fundëm gjeometrik.
Shembull.
Gjeni shumën e shtatë anëtarëve të parë të një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është 4 dhe emëruesi 3.
Vendimi.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Shembull.
Gjeni anëtarin e pestë të progresionit gjeometrik, i cili njihet: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Vendimi.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Vetia karakteristike e një progresioni gjeometrik
Djema, duke pasur parasysh një progresion gjeometrik. Le të shqyrtojmë tre anëtarët e tij të njëpasnjëshëm: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Ne e dimë se:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Pastaj:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Nëse progresioni është i fundëm, atëherë kjo barazi vlen për të gjithë termat përveç të parit dhe të fundit.
Nëse paraprakisht nuk dihet se çfarë vargu ka sekuenca, por dihet se: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Atëherë mund të themi me siguri se ky është një progresion gjeometrik.
Një sekuencë numrash është një progresion gjeometrik vetëm kur katrori i secilit prej termave të tij është i barabartë me produktin e dy termave fqinjë të progresionit. Mos harroni se për një progresion të fundëm ky kusht nuk plotësohet për termin e parë dhe të fundit.
Le të shohim këtë identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ quhet mesatarja gjeometrike e a dhe b.
Moduli i çdo anëtari të një progresion gjeometrik është i barabartë me mesataren gjeometrike të dy anëtarëve ngjitur me të.
Shembull.
Gjeni x të tillë që $x+2; 2x+2; 3x+3$ ishin tre anëtarë të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik.
Vendimi.
Le të përdorim vetinë karakteristike:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dhe $x_(2)=-1$.
Zëvendësoni në mënyrë sekuenciale në shprehjen origjinale, zgjidhjet tona:
Me $x=2$, kemi marrë sekuencën: 4;6;9 është një progresion gjeometrik me $q=1,5$.
Me $x=-1$, kemi marrë sekuencën: 1;0;0.
Përgjigje: $x=2.$
Detyrat për zgjidhje të pavarur
1. Gjeni anëtarin e tetë të parë të progresionit gjeometrik 16; -8; 4; -2 ....2. Gjeni anëtarin e dhjetë të progresionit gjeometrik 11,22,44….
3. Dihet se $b_(1)=5, q=3$. Gjeni $b_(7)$.
4. Dihet se $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Gjeni n.
5. Gjeni shumën e 11 anëtarëve të parë të progresionit gjeometrik 3;12;48….
6. Gjeni x të tillë që $3x+4; 2x+4; x+5$ janë tre anëtarë të njëpasnjëshëm të një progresion gjeometrik.
Niveli i parë
Progresioni gjeometrik. Udhëzues gjithëpërfshirës me shembuj (2019)
Sekuenca numerike
Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:
Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.
Për shembull, për sekuencën tonë:
Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i -të) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.
Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .
Në rastin tonë:
Llojet më të zakonshme të progresionit janë aritmetik dhe gjeometrik. Në këtë temë, ne do të flasim për llojin e dytë - progresion gjeometrik.
Pse na duhet një progresion gjeometrik dhe historia e tij.
Edhe në kohët e lashta, matematikani italian, murgu Leonardo i Pizës (i njohur më mirë si Fibonacci), merrej me nevojat praktike të tregtisë. Murgu u përball me detyrën për të përcaktuar se cili është numri më i vogël i peshave që mund të përdoren për të peshuar mallin? Në shkrimet e tij, Fibonacci dëshmon se një sistem i tillë peshash është optimal: Kjo është një nga situatat e para në të cilat njerëzit duhej të përballeshin me një progresion gjeometrik, për të cilin ndoshta keni dëgjuar dhe keni të paktën një ide të përgjithshme. Pasi ta kuptoni plotësisht temën, mendoni pse një sistem i tillë është optimal?
Aktualisht, në praktikën e jetës, një progresion gjeometrik manifestohet kur investoni para në një bankë, kur shuma e interesit ngarkohet në shumën e akumuluar në llogari për periudhën e mëparshme. Me fjalë të tjera, nëse vendosni para në një depozitë me afat në një bankë kursimi, atëherë në një vit depozita do të rritet nga shuma origjinale, d.m.th. shuma e re do të jetë e barabartë me kontributin e shumëzuar me. Në një vit tjetër, kjo shumë do të rritet me, d.m.th. shuma e fituar në atë kohë përsëri shumëzohet me e kështu me radhë. Një situatë e ngjashme përshkruhet në problemet e llogaritjes së të ashtuquajturave interesi i përbërë- përqindja merret çdo herë nga shuma që është në llogari, duke marrë parasysh interesin e mëparshëm. Për këto detyra do të flasim pak më vonë.
Ka shumë raste më të thjeshta kur aplikohet një progresion gjeometrik. Për shembull, përhapja e gripit: një person infektoi një person, ata, nga ana tjetër, infektuan një person tjetër, dhe kështu vala e dytë e infeksionit - një person, dhe ata, nga ana tjetër, infektuan një tjetër ... dhe kështu me radhë .. .
Nga rruga, një piramidë financiare, e njëjta MMM, është një llogaritje e thjeshtë dhe e thatë sipas vetive të një progresion gjeometrik. Interesante? Le ta kuptojmë.
Progresioni gjeometrik.
Le të themi se kemi një sekuencë numrash:
Do të përgjigjeni menjëherë se është e lehtë dhe emri i një sekuence të tillë është një progresion aritmetik me ndryshimin e anëtarëve të tij. Si thua për diçka të tillë:
Nëse zbrisni numrin e mëparshëm nga numri tjetër, atëherë do të shihni se çdo herë që merrni një ndryshim të ri (dhe kështu me radhë), por sekuenca ekziston patjetër dhe është e lehtë të vërehet - çdo numër tjetër është herë më i madh se ai i mëparshmi !
Ky lloj sekuence quhet progresion gjeometrik dhe është shënuar.
Një progresion gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Kufizimet që termi i parë ( ) nuk është i barabartë dhe nuk janë të rastësishëm. Le të themi se nuk ka asnjë, dhe termi i parë është akoma i barabartë, dhe q është, hmm .. le, atëherë rezulton:
Dakord që ky nuk është përparim.
Siç e kuptoni, do të marrim të njëjtat rezultate nëse është ndonjë numër tjetër përveç zeros, por. Në këto raste, thjesht nuk do të ketë përparim, pasi e gjithë seria e numrave do të jetë ose të gjitha zero, ose një numër, dhe të gjitha zerat e tjera.
Tani le të flasim më në detaje për emëruesin e një progresion gjeometrik, domethënë rreth.
Le të përsërisim: - ky është një numër, sa herë ndryshon çdo term pasardhës progresion gjeometrik.
Çfarë mendoni se mund të jetë? Ashtu është, pozitive dhe negative, por jo zero (për këtë folëm pak më lart).
Le të themi se kemi një pozitiv. Le në rastin tonë, a. Cili është termi i dytë dhe? Ju lehtë mund t'i përgjigjeni kësaj:
Në rregull. Prandaj, nëse, atëherë të gjithë anëtarët pasues të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata pozitive.
Po sikur të jetë negative? Për shembull, a. Cili është termi i dytë dhe?
Është një histori krejtësisht tjetër
Mundohuni të numëroni afatin e këtij progresi. Sa keni marrë? Une kam. Kështu, nëse, atëherë alternojnë shenjat e termave të progresionit gjeometrik. Kjo do të thotë, nëse shihni një progresion me shenja të alternuara në anëtarët e tij, atëherë emëruesi i tij është negativ. Kjo njohuri mund t'ju ndihmojë të provoni veten kur zgjidhni probleme në këtë temë.
Tani le të praktikojmë pak: përpiquni të përcaktoni se cilat sekuenca numerike janë një progresion gjeometrik dhe cilat janë një aritmetik:
E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:
- Progresioni gjeometrik - 3, 6.
- Progresioni aritmetik - 2, 4.
- Nuk është as një progresion aritmetik dhe as gjeometrik - 1, 5, 7.
Le të kthehemi në progresionin tonë të fundit dhe le të përpiqemi të gjejmë termin e tij në të njëjtën mënyrë si në aritmetikë. Siç mund ta keni marrë me mend, ka dy mënyra për ta gjetur atë.
Ne e shumëzojmë me radhë çdo term me.
Pra, anëtari i -të i progresionit gjeometrik të përshkruar është i barabartë me.
Siç e keni marrë tashmë me mend, tani ju vetë do të nxirrni një formulë që do t'ju ndihmojë të gjeni ndonjë anëtar të një progresion gjeometrik. Apo e keni nxjerrë tashmë për veten tuaj, duke përshkruar se si ta gjeni anëtarin e th në faza? Nëse po, atëherë kontrolloni korrektësinë e arsyetimit tuaj.
Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e gjetjes së anëtarit -të të këtij progresioni:
Me fjale te tjera:
Gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresion të caktuar gjeometrik.
Ka ndodhur? Krahasoni përgjigjet tona:
Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur shumëzuam në mënyrë të njëpasnjëshme me çdo anëtar të mëparshëm të progresionit gjeometrik.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - e sjellim atë në një formë të përgjithshme dhe marrim:
Formula e përftuar është e vërtetë për të gjitha vlerat - pozitive dhe negative. Kontrolloni vetë duke llogaritur termat e një progresion gjeometrik me kushtet e mëposhtme: , a.
A keni numëruar? Le të krahasojmë rezultatet:
Pajtohu që do të ishte e mundur të gjesh një anëtar të progresionit në të njëjtën mënyrë si një anëtar, megjithatë, ekziston mundësia e llogaritjes së gabuar. Dhe nëse kemi gjetur tashmë termin e th të një progresion gjeometrik, a, atëherë çfarë mund të jetë më e lehtë sesa përdorimi i pjesës "të cunguar" të formulës.
Një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.
Kohët e fundit, ne folëm për atë që mund të jetë ose më e madhe ose më e vogël se zero, megjithatë, ka vlera të veçanta për të cilat quhet përparimi gjeometrik pafundësisht në rënie.
Pse mendoni se ka një emër të tillë?
Për të filluar, le të shkruajmë disa progresion gjeometrik të përbërë nga anëtarë.
Le të themi, atëherë:
Ne shohim se çdo term pasues është më pak se ai i mëparshmi në kohë, por a do të ketë ndonjë numër? Ju menjëherë përgjigjeni - "jo". Kjo është arsyeja pse pafundësisht në rënie - zvogëlohet, zvogëlohet, por kurrë nuk bëhet zero.
Për të kuptuar qartë se si duket vizualisht, le të përpiqemi të vizatojmë një grafik të përparimit tonë. Pra, për rastin tonë, formula merr formën e mëposhtme:
Në grafikët, ne jemi mësuar të ndërtojmë varësi nga, prandaj:
Thelbi i shprehjes nuk ka ndryshuar: në hyrjen e parë, ne treguam varësinë e vlerës së një anëtari të progresionit gjeometrik nga numri i tij rendor, dhe në hyrjen e dytë, thjesht morëm vlerën e një anëtari të progresionit gjeometrik për, dhe numri rendor u caktua jo si, por si. Gjithçka që mbetet për të bërë është të vizatoni grafikun.
Le të shohim se çfarë keni. Këtu është grafiku që kam marrë:
Shiko? Funksioni zvogëlohet, priret në zero, por nuk e kalon kurrë atë, pra është pafundësisht në rënie. Le të shënojmë pikat tona në grafik, dhe në të njëjtën kohë çfarë do të thotë koordinata dhe:
Përpiquni të përshkruani skematikisht një grafik të një progresion gjeometrik nëse termi i parë i tij është gjithashtu i barabartë. Analizoni cili është ndryshimi me grafikun tonë të mëparshëm?
A ia dolët? Këtu është grafiku që kam marrë:
Tani që i keni kuptuar plotësisht bazat e temës së progresionit gjeometrik: ju e dini se çfarë është, ju e dini se si ta gjeni termin e tij dhe gjithashtu e dini se çfarë është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, le të kalojmë te vetia e tij kryesore.
veti e një progresion gjeometrik.
A ju kujtohet vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik? Po, po, si të gjesh vlerën e një numri të caktuar të një progresioni kur ka vlera të mëparshme dhe të mëvonshme të anëtarëve të këtij progresioni. kujtohet? Kjo:
Tani përballemi me të njëjtën pyetje për termat e një progresion gjeometrik. Për të nxjerrë një formulë të tillë, le të fillojmë të vizatojmë dhe të arsyetojmë. Do ta shihni, është shumë e lehtë, dhe nëse harroni, mund ta nxirrni vetë.
Le të marrim një tjetër progresion të thjeshtë gjeometrik, në të cilin dimë dhe. Si të gjeni? Me një progresion aritmetik, kjo është e lehtë dhe e thjeshtë, por si është këtu? Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar as në gjeometri - thjesht duhet të pikturoni secilën vlerë të dhënë sipas formulës.
Ju pyesni, dhe tani çfarë të bëjmë me të? Po, shumë e thjeshtë. Për të filluar, le t'i përshkruajmë këto formula në figurë dhe të përpiqemi të bëjmë manipulime të ndryshme me to për të arritur një vlerë.
Ne abstragojmë nga numrat që na janë dhënë, do të përqendrohemi vetëm në shprehjen e tyre përmes një formule. Ne duhet të gjejmë vlerën e theksuar në portokalli, duke ditur termat ngjitur me të. Le të përpiqemi të kryejmë veprime të ndryshme me ta, si rezultat i të cilave mund të marrim.
Shtimi.
Le të përpiqemi të shtojmë dy shprehje dhe marrim:
Nga kjo shprehje, siç mund ta shihni, ne nuk do të jemi në gjendje të shprehemi në asnjë mënyrë, prandaj, do të provojmë një opsion tjetër - zbritjen.
Zbritja.
Siç mund ta shihni, as nga kjo nuk mund të shprehemi, prandaj do të përpiqemi t'i shumëzojmë këto shprehje me njëra-tjetrën.
Shumëzimi.
Tani shikoni me kujdes atë që kemi, duke shumëzuar termat e një progresion gjeometrik që na është dhënë në krahasim me atë që duhet gjetur:
Mendoni se për çfarë po flas? Në mënyrë korrekte, për ta gjetur atë, duhet të marrim rrënjën katrore të numrave të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar të shumëzuar me njëri-tjetrin:
mirë. Ju vetë e keni nxjerrë vetinë e një progresion gjeometrik. Mundohuni ta shkruani këtë formulë në formë të përgjithshme. Ka ndodhur?
Keni harruar kushtin kur? Mendoni pse është e rëndësishme, për shembull, përpiquni ta llogaritni vetë, në. Çfarë ndodh në këtë rast? Kjo është e drejtë, absurditet i plotë, pasi formula duket si kjo:
Prandaj, mos harroni këtë kufizim.
Tani le të llogarisim se çfarë është
Përgjigje e saktë - ! Nëse nuk keni harruar vlerën e dytë të mundshme gjatë llogaritjes, atëherë jeni një shok i shkëlqyeshëm dhe mund të vazhdoni menjëherë me stërvitjen, dhe nëse keni harruar, lexoni atë që analizohet më poshtë dhe kushtojini vëmendje pse duhet të shënohen të dyja rrënjët në përgjigje. .
Le të vizatojmë të dy progresionet tona gjeometrike - njëra me një vlerë dhe tjetra me një vlerë, dhe të kontrollojmë nëse të dy kanë të drejtë të ekzistojnë:
Për të kontrolluar nëse një progresion i tillë gjeometrik ekziston apo jo, është e nevojshme të shihet nëse është i njëjtë midis të gjithë anëtarëve të tij të dhënë? Njehsoni q për rastin e parë dhe të dytë.
Shihni pse duhet të shkruajmë dy përgjigje? Sepse shenja e termit të kërkuar varet nëse është pozitive apo negative! Dhe meqenëse nuk e dimë se çfarë është, duhet të shkruajmë të dyja përgjigjet me një plus dhe një minus.
Tani që keni zotëruar pikat kryesore dhe keni nxjerrë formulën për vetinë e një progresion gjeometrik, gjeni, duke ditur dhe
Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të sakta:
Çfarë mendoni, po sikur të mos na jepeshin vlerat e anëtarëve të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar, por në distancë të barabartë prej tij. Për shembull, ne duhet të gjejmë, dhe të japim dhe. A mund të përdorim formulën që kemi nxjerrë në këtë rast? Përpiquni të konfirmoni ose kundërshtoni këtë mundësi në të njëjtën mënyrë, duke përshkruar se nga çfarë përbëhet secila vlerë, siç bëtë kur nxorët formulën fillimisht, me.
Çfarë more?
Tani shikoni me kujdes përsëri.
dhe përkatësisht:
Nga kjo mund të konkludojmë se formula funksionon jo vetëm me fqinjët me termat e dëshiruar të një progresion gjeometrik, por edhe me të barabarta nga ajo që anëtarët kërkojnë.
Kështu, formula jonë origjinale bëhet:
Domethënë, nëse në rastin e parë e thamë këtë, tani themi se mund të jetë i barabartë me çdo numër natyror që është më i vogël. Gjëja kryesore është të jetë e njëjtë për të dy numrat e dhënë.
Praktikoni në shembuj specifikë, thjesht jini jashtëzakonisht të kujdesshëm!
- , . Per te gjetur.
- , . Per te gjetur.
- , . Per te gjetur.
Une vendosa? Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të vëmendshëm dhe keni vënë re një kapje të vogël.
Ne krahasojmë rezultatet.
Në dy rastet e para, ne zbatojmë me qetësi formulën e mësipërme dhe marrim vlerat e mëposhtme:
Në rastin e tretë, pas shqyrtimit të kujdesshëm të numrave serialë të numrave që na janë dhënë, kuptojmë se ata nuk janë të barabartë nga numri që kërkojmë: është numri i mëparshëm, por i hequr në pozicion, kështu që nuk është e mundur. për të zbatuar formulën.
Si ta zgjidhim atë? Në fakt nuk është aq e vështirë sa duket! Le të shkruajmë me ju se nga çfarë përbëhet secili numër që na është dhënë dhe numri i dëshiruar.
Pra kemi dhe. Le të shohim se çfarë mund të bëjmë me ta. Unë sugjeroj ndarjen. Ne marrim:
Ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:
Hapi tjetër që mund të gjejmë - për këtë duhet të marrim rrënjën kubike të numrit që rezulton.
Tani le të shohim përsëri se çfarë kemi. Ne kemi, por duhet të gjejmë, dhe kjo, nga ana tjetër, është e barabartë me:
Ne gjetëm të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen. Zëvendësoni në formulë:
Përgjigja jonë: .
Mundohuni të zgjidhni vetë një problem tjetër të njëjtë:
E dhënë:,
Per te gjetur:
Sa keni marrë? Une kam - .
Siç mund ta shihni, në fakt, keni nevojë mbani mend vetëm një formulë- . Të gjitha të tjerat mund t'i tërhiqni pa asnjë vështirësi vetë në çdo kohë. Për ta bërë këtë, thjesht shkruani progresionin më të thjeshtë gjeometrik në një copë letër dhe shkruani se me çfarë është i barabartë, sipas formulës së mësipërme, secili nga numrat e tij.
Shuma e termave të një progresion gjeometrik.
Tani merrni parasysh formulat që na lejojnë të llogarisim shpejt shumën e termave të një progresion gjeometrik në një interval të caktuar:
Për të nxjerrë formulën për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik, ne i shumëzojmë të gjitha pjesët e ekuacionit të mësipërm me. Ne marrim:
Shikoni me kujdes: çfarë kanë të përbashkët dy formulat e fundit? Ashtu është, anëtarët e zakonshëm, për shembull e kështu me radhë, përveç anëtarit të parë dhe të fundit. Le të përpiqemi të zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i 2-të. Çfarë more?
Tani shprehuni përmes formulës së një anëtari të një progresion gjeometrik dhe zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën tonë të fundit:
Gruponi shprehjen. Ju duhet të merrni:
Gjithçka që mbetet për të bërë është të shprehni:
Prandaj, në këtë rast.
Po nese? Cila formulë funksionon atëherë? Imagjinoni një progresion gjeometrik në. Si është ajo? Në mënyrë korrekte, një seri numrash identikë, përkatësisht, formula do të duket si kjo:
Ashtu si me progresionin aritmetik dhe gjeometrik, ka shumë legjenda. Një prej tyre është legjenda e Sethit, krijuesit të shahut.
Shumë njerëz e dinë se loja e shahut u shpik në Indi. Kur mbreti hindu e takoi atë, ai ishte i kënaqur me zgjuarsinë e saj dhe shumëllojshmërinë e pozicioneve të mundshme në të. Pasi mësoi se ishte shpikur nga një prej nënshtetasve të tij, mbreti vendosi ta shpërblente personalisht. Ai e thirri shpikësin pranë vetes dhe urdhëroi t'i kërkonte çfarë të donte, duke i premtuar se do të përmbushte edhe dëshirën më të shkathët.
Seta kërkoi kohë për të menduar dhe kur të nesërmen Seta doli para mbretit, ai e befasoi mbretin me modestinë e pashoqe të kërkesës së tij. Kërkoi një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, grurë për të dytin, për të tretën, për të katërtin etj.
Mbreti u zemërua dhe e përzuri Sethin, duke thënë se kërkesa e shërbëtorit ishte e padenjë për bujarinë mbretërore, por premtoi se shërbëtori do të merrte kokrrat e tij për të gjitha qelitë e dërrasës.
Dhe tani pyetja është: duke përdorur formulën për shumën e anëtarëve të një progresion gjeometrik, llogaritni sa kokrra duhet të marrë Seth?
Le të fillojmë të diskutojmë. Meqenëse, sipas kushtit, Sethi kërkoi një kokërr gruri për qelizën e parë të tabelës së shahut, për të dytën, për të tretën, për të katërtën etj., shohim se problemi ka të bëjë me një progresion gjeometrik. Çfarë është e barabartë në këtë rast?
Në mënyrë korrekte.
Totali i qelizave të tabelës së shahut. Përkatësisht,. Ne i kemi të gjitha të dhënat, mbetet vetëm të zëvendësojmë në formulë dhe të llogarisim.
Për të përfaqësuar të paktën përafërsisht "shkallët" e një numri të caktuar, ne transformojmë duke përdorur vetitë e shkallës:
Sigurisht, nëse dëshironi, mund të merrni një kalkulator dhe të llogarisni se me çfarë numri përfundoni, dhe nëse jo, do të duhet të pranoni fjalën time për të: vlera përfundimtare e shprehjes do të jetë.
Dmth:
kuintilion kuadrilion trilion miliardë miliardë milion mijë.
Fuh) Nëse dëshironi të imagjinoni përmasat e këtij numri, atëherë vlerësoni se çfarë madhësie do të kërkohet për të akomoduar të gjithë sasinë e grurit.
Me një lartësi hambari m dhe gjerësi m, gjatësia e tij do të duhej të shtrihej në km, d.m.th. dy herë më shumë se nga Toka në Diell.
Nëse mbreti do të ishte i fortë në matematikë, ai mund t'i ofronte vetë shkencëtarit të numëronte kokrrat, sepse për të numëruar një milion kokrra, do t'i duhej të paktën një ditë numërimi i palodhshëm dhe duke qenë se është e nevojshme të numërohen kuintilionat, kokrrat do të duhej të numëroheshin gjithë jetën.
Dhe tani do të zgjidhim një problem të thjeshtë mbi shumën e kushteve të një progresion gjeometrik.
Vasya, një nxënëse e klasës së 5-të, u sëmur nga gripi, por vazhdon të shkojë në shkollë. Çdo ditë, Vasya infekton dy persona, të cilët, nga ana tjetër, infektojnë dy persona të tjerë, e kështu me radhë. Vetëm një person në klasë. Për sa ditë e gjithë klasa do të sëmuret nga gripi?
Pra, anëtari i parë i një progresion gjeometrik është Vasya, domethënë një person. Anëtari i th i progresionit gjeometrik, këta janë dy personat të cilët ai i infektoi në ditën e parë të mbërritjes së tij. Shuma totale e anëtarëve të progresionit është e barabartë me numrin e nxënësve 5A. Prandaj, ne po flasim për një përparim në të cilin:
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik:
E gjithë klasa do të sëmuret brenda disa ditësh. Nuk besoni në formula dhe numra? Mundohuni ta portretizoni vetë “infeksionin” e nxënësve. Ka ndodhur? Shikoni si duket për mua:
Llogaritni vetë se sa ditë do të merreshin studentët nga gripi nëse të gjithë do të infektonin një person dhe do të kishte një person në klasë.
Çfarë vlere keni marrë? Doli që të gjithë filluan të sëmuren pas një dite.
Siç mund ta shihni, një detyrë e tillë dhe vizatimi për të i ngjan një piramide, në të cilën çdo pasues "sjell" njerëz të rinj. Megjithatë, herët a vonë vjen një moment kur ky i fundit nuk mund të tërheqë askënd. Në rastin tonë, nëse imagjinojmë se klasa është e izoluar, personi nga mbyll zinxhirin (). Kështu, nëse një person do të përfshihej në një piramidë financiare në të cilën jepeshin para nëse sillnit dy pjesëmarrës të tjerë, atëherë personi (ose në rastin e përgjithshëm) nuk do të sillte askënd, përkatësisht, do të humbiste gjithçka që investoi në këtë mashtrim financiar. .
Gjithçka që u tha më lart i referohet një progresion gjeometrik në rënie ose në rritje, por, siç e mbani mend, ne kemi një lloj të veçantë - një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Si të llogaritet shuma e anëtarëve të saj? Dhe pse ky lloj progresi ka disa veçori? Le ta kuptojmë së bashku.
Pra, për fillestarët, le të shohim përsëri këtë pamje të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie nga shembulli ynë:
Dhe tani le të shohim formulën për shumën e një progresion gjeometrik, të nxjerrë pak më herët:
ose
Për çfarë po përpiqemi? Është e drejtë, grafiku tregon se priret në zero. Kjo është, kur, do të jetë pothuajse e barabartë, përkatësisht, kur llogaritim shprehjen, do të marrim pothuajse. Në këtë drejtim, ne besojmë se gjatë llogaritjes së shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, kjo kllapa mund të neglizhohet, pasi do të jetë e barabartë.
- formula është shuma e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie.
E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që ne duhet të gjejmë shumën pafund numri i anëtarëve.
Nëse tregohet një numër specifik n, atëherë ne përdorim formulën për shumën e n termave, edhe nëse ose.
Dhe tani le të praktikojmë.
- Gjeni shumën e termave të parë të një progresion gjeometrik me dhe.
- Gjeni shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me dhe.
Shpresoj se keni qenë shumë të kujdesshëm. Krahasoni përgjigjet tona:
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik dhe është koha për të kaluar nga teoria në praktikë. Problemet më të zakonshme eksponenciale të gjetura në provim janë problemet e interesit të përbërë. Ne do të flasim për to.
Probleme për llogaritjen e interesit të përbërë.
Ju duhet të keni dëgjuar për të ashtuquajturën formula të interesit të përbërë. E kuptoni se çfarë do të thotë ajo? Nëse jo, le ta kuptojmë, sepse pasi të keni kuptuar vetë procesin, do të kuptoni menjëherë se çfarë lidhje ka progresioni gjeometrik me të.
Ne të gjithë shkojmë në bankë dhe e dimë se ka kushte të ndryshme për depozitat: ky është afati, mirëmbajtja shtesë dhe interesi me dy mënyra të ndryshme për llogaritjen e tij - të thjeshta dhe komplekse.
Me interes i thjeshtë gjithçka është pak a shumë e qartë: interesi paguhet një herë në fund të afatit të depozitës. Kjo do të thotë, nëse po flasim për vendosjen e 100 rublave në vit, atëherë ato do të kreditohen vetëm në fund të vitit. Prandaj, deri në fund të depozitës, ne do të marrim rubla.
Interesi i përbërëështë një opsion në të cilin kapitalizimi i interesit, d.m.th. shtimi i tyre në shumën e depozitës dhe llogaritja e mëvonshme e të ardhurave jo nga fillestari, por nga shuma e grumbulluar e depozitës. Kapitalizimi nuk ndodh vazhdimisht, por me një farë periodiciteti. Si rregull, periudha të tilla janë të barabarta dhe më shpesh bankat përdorin një muaj, një çerek ose një vit.
Le të themi se kemi vënë të gjitha të njëjtat rubla në vit, por me një kapitalizim mujor të depozitës. Çfarë marrim?
A kupton gjithçka këtu? Nëse jo, le ta bëjmë hap pas hapi.
Ne sollëm rubla në bankë. Deri në fund të muajit, ne duhet të kemi një shumë në llogarinë tonë të përbërë nga rublat tona plus interesat mbi to, domethënë:
jam dakord?
Mund ta nxjerrim nga kllapa dhe më pas marrim:
Dakord, kjo formulë është tashmë më e ngjashme me atë që shkruam në fillim. Mbetet të merremi me përqindje
Në gjendjen e problemit na thuhet për vjetore. Siç e dini, ne nuk shumëzojmë me - ne konvertojmë përqindjet në dhjetore, domethënë:
E drejtë? Tani ju pyesni, nga erdhi numri? Shume e thjeshte!
E përsëris: gjendja e problemit thotë rreth VJETOR interesi i përllogaritur MUJOR. Siç e dini, në një vit, respektivisht, banka do të na ngarkojë një pjesë të interesit vjetor në muaj:
E realizuar? Tani përpiquni të shkruani se si do të dukej kjo pjesë e formulës nëse do të thoja që interesi llogaritet çdo ditë.
A ia dolët? Le të krahasojmë rezultatet:
Te lumte! Le të kthehemi në detyrën tonë: shkruani se sa do të kreditohet në llogarinë tonë për muajin e dytë, duke marrë parasysh që interesi është ngarkuar në shumën e depozitës së akumuluar.
Ja çfarë më ndodhi:
Ose, me fjalë të tjera:
Unë mendoj se ju tashmë keni vënë re një model dhe keni parë një progresion gjeometrik në të gjithë këtë. Shkruani se me çfarë do të jetë anëtari i tij, ose, me fjalë të tjera, sa para do të marrim në fund të muajit.
I bërë? Duke kontrolluar!
Siç mund ta shihni, nëse vendosni para në një bankë për një vit me një interes të thjeshtë, atëherë do të merrni rubla, dhe nëse i vendosni me një normë të përbërë, do të merrni rubla. Përfitimi është i vogël, por kjo ndodh vetëm gjatë vitit të th, por për një periudhë më të gjatë kapitalizimi është shumë më fitimprurës:
Konsideroni një lloj tjetër problemi të interesit të përbërë. Pas asaj që keni kuptuar, do të jetë elementare për ju. Pra, detyra është:
Zvezda filloi të investojë në industri në vitin 2000 me një kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2001 ka realizuar një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Sa fitim do të marrë kompania Zvezda në fund të vitit 2003, nëse fitimi nuk tërhiqej nga qarkullimi?
Kapitali i kompanisë Zvezda në vitin 2000.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2001.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2002.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2003.
Ose mund të shkruajmë shkurt:
Për rastin tonë:
2000, 2001, 2002 dhe 2003.
Përkatësisht:
rubla
Vini re se në këtë problem nuk kemi pjesëtim as me as me, pasi përqindja jepet VJETOR dhe llogaritet VJETOR. Kjo do të thotë, kur lexoni problemin për interesin e përbërë, kushtojini vëmendje asaj përqindjeje që jepet dhe në cilën periudhë tarifohet dhe vetëm atëherë vazhdoni me llogaritjet.
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik.
Stërvitje.
- Gjeni një term të një progresion gjeometrik nëse dihet se, dhe
- Gjeni shumën e termave të parë të një progresion gjeometrik, nëse dihet se, dhe
- MDM Capital filloi të investojë në industri në vitin 2003 me një kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2004, ajo ka realizuar një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Kompania “MSK Cash Flows” filloi të investojë në industri në vitin 2005 në vlerën 10.000$, duke filluar të realizojë fitim në vitin 2006 në vlerën prej. Me sa dollarë tejkalon kapitali i një shoqërie në fund të vitit 2007, nëse fitimet nuk do të tërhiqeshin nga qarkullimi?
Përgjigjet:
- Meqenëse gjendja e problemit nuk thotë që progresioni është i pafund dhe kërkohet të gjendet shuma e një numri specifik të anëtarëve të tij, llogaritja kryhet sipas formulës:
Kompania "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- rritet me 100%, pra 2 herë.
Përkatësisht:
rubla
Rrjedhat e parave të MSK:2005, 2006, 2007.
- rritet me, domethënë herë.
Përkatësisht:
rubla
rubla
Le të përmbledhim.
1) Një progresion gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
2) Ekuacioni i anëtarëve të një progresion gjeometrik -.
3) mund të marrë çdo vlerë, përveç dhe.
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata pozitive;
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët pasues të progresionit shenja alternative;
- kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.
4) , at - veti e një progresion gjeometrik (anëtarët fqinjë)
ose
, në ( terma të barabarta)
Kur ta gjeni, mos harroni këtë duhet të ketë dy përgjigje..
Për shembull,
5) Shuma e anëtarëve të një progresion gjeometrik llogaritet me formulën:
ose
Nëse progresioni është pafundësisht në rënie, atëherë:
ose
E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite se është e nevojshme të gjendet shuma e një numri të pafund termash.
6) Detyrat për interesin e përbërë llogariten edhe sipas formulës së anëtarit të th të një progresion gjeometrik, me kusht që fondet të mos jenë tërhequr nga qarkullimi:
PROGRESIONI GJEOMETRIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN
Progresioni gjeometrik( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Emëruesi i një progresion gjeometrik mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.
- Nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata janë pozitivë;
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit alternojnë shenjën;
- kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.
Ekuacioni i anëtarëve të një progresion gjeometrik - .
Shuma e termave të një progresion gjeometrik llogaritur me formulën:
ose
Progresioni gjeometrik jo më pak e rëndësishme në matematikë sesa në aritmetikë. Një progresion gjeometrik është një sekuencë e tillë e numrave b1, b2,..., b[n] secili anëtar i ardhshëm i të cilit fitohet duke shumëzuar atë të mëparshëm me një numër konstant. Ky numër, i cili karakterizon edhe shkallën e rritjes ose uljes së progresionit, quhet emëruesi i një progresion gjeometrik dhe shënojnë
Për një caktim të plotë të një progresion gjeometrik, përveç emëruesit, është e nevojshme të njihet ose të përcaktohet termi i parë i tij. Për një vlerë pozitive të emëruesit, progresioni është një sekuencë monotone, dhe nëse kjo sekuencë numrash është monotonike në rënie dhe në rritje monotonike kur. Rasti kur emëruesi është i barabartë me një nuk merret parasysh në praktikë, pasi kemi një sekuencë numrash identikë dhe mbledhja e tyre nuk është me interes praktik.
Termi i përgjithshëm i një progresion gjeometrik llogaritet sipas formulës
Shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik përcaktuar nga formula
Le të shqyrtojmë zgjidhjet e problemeve klasike të progresionit gjeometrik. Le të fillojmë me më të thjeshtat për t'u kuptuar.
Shembulli 1. Termi i parë i një progresion gjeometrik është 27, dhe emëruesi i tij është 1/3. Gjeni gjashtë termat e parë të një progresion gjeometrik.
Zgjidhja: Gjendjen e problemës e shkruajmë në formë
Për llogaritjet, ne përdorim formulën për anëtarin e n-të të një progresion gjeometrik
Bazuar në të, ne gjejmë anëtarë të panjohur të progresionit
Siç mund ta shihni, llogaritja e kushteve të një progresion gjeometrik nuk është e vështirë. Vetë progresioni do të duket kështu
Shembulli 2. Janë dhënë tre anëtarët e parë të progresionit gjeometrik: 6; -12; 24. Gjeni emëruesin dhe anëtarin e shtatë.
Zgjidhje: Emëruesin e progresionit gjeometrik e llogarisim në bazë të përcaktimit të tij
Ne morëm një progresion gjeometrik të alternuar, emëruesi i të cilit është -2. Termi i shtatë llogaritet me formulë
Mbi këtë detyrë është zgjidhur.
Shembulli 3. Një progresion gjeometrik jepet nga dy anëtarë të tij 
. Gjeni termin e dhjetë të progresionit.
Vendimi:
Le të shkruajmë vlerat e dhëna përmes formulave
Sipas rregullave, do të ishte e nevojshme të gjejmë emëruesin dhe më pas të kërkojmë vlerën e dëshiruar, por për termin e dhjetë kemi
E njëjta formulë mund të merret në bazë të manipulimeve të thjeshta me të dhënat hyrëse. Ne e ndajmë termin e gjashtë të serisë me një tjetër, si rezultat marrim
Nëse vlera që rezulton shumëzohet me termin e gjashtë, marrim të dhjetën
Kështu, për probleme të tilla, me ndihmën e transformimeve të thjeshta në mënyrë të shpejtë, mund të gjeni zgjidhjen e duhur.
Shembulli 4. Progresioni gjeometrik jepet me formula rekurente
Gjeni emëruesin e progresionit gjeometrik dhe shumën e gjashtë anëtarëve të parë.
Vendimi:
Të dhënat e dhëna i shkruajmë në formën e një sistemi ekuacionesh
Shprehni emëruesin duke pjesëtuar ekuacionin e dytë me të parin
Gjeni termin e parë të progresionit nga ekuacioni i parë
Llogaritni pesë termat e mëposhtëm për të gjetur shumën e progresionit gjeometrik
