Në këtë artikull, ne do të trajtojmë çështjen kryesore vetitë e rrënjës... Le të fillojmë me vetitë e rrënjës katrore aritmetike, të japim formulimet e tyre dhe të japim vërtetime. Pas kësaj do të merremi me vetitë e rrënjës aritmetike të shkallës n.
Navigimi i faqes.
Vetitë e rrënjës katrore
Në këtë pikë, do të merremi me çështjen kryesore të mëposhtme vetitë e rrënjës katrore aritmetike:
Në secilën nga barazitë e shkruara, anët e majta dhe të djathta mund të ndërrohen, për shembull, barazia mund të rishkruhet si 
... Në këtë formë "të anasjelltë", vetitë e rrënjës katrore aritmetike zbatohen kur thjeshtimi i shprehjeve aq shpesh sa në trajtën "drejtpërdrejt".
Vërtetimi i dy vetive të para bazohet në përcaktimin e rrënjës katrore aritmetike dhe në. Dhe për të vërtetuar pronën e fundit të rrënjës katrore aritmetike do të duhet të mbahet mend.
Pra, le të fillojmë me vërtetimi i vetive të rrënjës katrore aritmetike të prodhimit të dy numrave jonegativë:. Për këtë, sipas përcaktimit të rrënjës katrore aritmetike, mjafton të tregohet se është një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me a · b. Le ta bejme. Vlera e një shprehjeje është jonegative si prodhimi i numrave jonegativë. Vetia e shkallës së prodhimit të dy numrave ju lejon të shkruani barazinë 
, dhe meqenëse me përcaktimin e rrënjës katrore aritmetike dhe, atëherë.
Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se rrënja katrore aritmetike e prodhimit të k faktorëve jonegativë a 1, a 2, ..., a k është e barabartë me prodhimin e rrënjëve katrore aritmetike të këtyre faktorëve. Vërtet,. Kjo barazi nënkupton se.
Këtu janë disa shembuj: dhe.
Tani le të provojmë veti e rrënjës katrore aritmetike të herësit:. Vetia e herësit në shkallë natyrore na lejon të shkruajmë barazinë 
, a 
, dhe ka një numër jo negativ. Kjo është prova.
Për shembull, dhe 
.
Është koha për t'u ndarë veti e rrënjës katrore aritmetike të katrorit të një numri, në formën e barazisë, shkruhet si. Për ta vërtetuar atë, merrni parasysh dy raste: për a≥0 dhe për a<0 .
Natyrisht, barazia vlen për a≥0. Është gjithashtu e lehtë të shihet se për një<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 dhe (−a) 2 = a 2. Kështu, 
, siç kërkohet.
Ketu jane disa shembuj: 
dhe 
.
Vetia e rrënjës katrore të sapo vërtetuar na lejon të vërtetojmë rezultatin e mëposhtëm, ku a është çdo numër real dhe m është cilido. Në të vërtetë, vetia e ngritjes së fuqisë në fuqi na lejon të zëvendësojmë fuqinë a 2 m me shprehjen (a m) 2, atëherë 
.
Për shembull, 
dhe 
.
Vetitë e rrënjës së n-të
Së pari, le të rendisim kryesoren vetitë e rrënjëve të n-të:
Të gjitha barazitë e regjistruara mbeten të vlefshme nëse ana e majtë dhe e djathtë ndërrohen në to. Në këtë formë, ato përdoren gjithashtu shpesh, kryesisht kur thjeshtohen dhe shndërrohen shprehjet.
Vërtetimi i të gjitha vetive tingëlluese të rrënjës bazohet në përcaktimin e rrënjës aritmetike të shkallës së n-të, në vetitë e shkallës dhe në përcaktimin e modulit të numrit. Le t'i vërtetojmë ato sipas radhës së përparësisë.
Le të fillojmë me prova vetitë e rrënjës së n-të të produktit ... Për jonegativët a dhe b, vlera e shprehjes është gjithashtu jo negative, si prodhimi i numrave jonegativë. Vetia e produktit në shkallë natyrore na lejon të shkruajmë barazinë 
... Me përcaktimin e një rrënjë aritmetike të shkallës së n-të dhe, për rrjedhojë, 
... Kjo vërteton vetinë e rrënjës në shqyrtim.
Kjo veti vërtetohet në mënyrë të ngjashme për prodhimin e faktorëve k: për numrat jonegativë a 1, a 2, ..., a n, 
dhe .
Këtu janë shembuj të përdorimit të vetive të rrënjës së n-të të produktit: 
dhe .
Le të provojmë veti e rrënjës së herësit... Për a≥0 dhe b> 0, kushti është i plotësuar, dhe 
.
Le të tregojmë shembuj: 
dhe 
.
Duke ecur përpara. Le të provojmë veti e rrënjës së n-të të një numri në fuqinë e n-të... Kjo do të thotë, ne do ta vërtetojmë atë 
për çdo m reale dhe natyrore. Për a≥0 kemi dhe, që vërteton barazinë, dhe barazinë padyshim. Per nje<0
имеем и 
(pjesa e fundit është e vlefshme për shkak të vetive të shkallës me një eksponent çift), që vërteton barazinë, dhe është e vërtetë për faktin se kur flasim për rrënjën e një shkalle tek, kemi marrë 
për çdo numër jo negativ c.
Këtu janë shembuj të përdorimit të veçorisë së rrënjës së analizuar: dhe 
.
Kalojmë në vërtetimin e vetive të rrënjës nga një rrënjë. Ne do të ndërrojmë vendet e anës së djathtë dhe të majtë, domethënë do të vërtetojmë vlefshmërinë e barazisë, që do të thotë vlefshmërinë e barazisë origjinale. Për një numër jo negativ a, rrënja e rrënjës së formës është një numër jo negativ. Duke kujtuar vetinë e ngritjes së një shkalle në një fuqi dhe duke përdorur përkufizimin e një rrënjë, ne mund të shkruajmë një zinxhir barazish të formës 
... Kjo dëshmon pronësinë në shqyrtim të një rrënjë nga një rrënjë.
Në mënyrë të ngjashme vërtetohet vetia e rrënjës nga rrënja nga rrënja etj. Vërtet, 
.
Për shembull, 
dhe .
Le të vërtetojmë sa vijon. Vetia e reduktimit të eksponentit rrënjë... Për këtë, në bazë të përkufizimit të rrënjës, mjafton të tregohet se ekziston një numër jo negativ, i cili, kur ngrihet në fuqinë n · m, është i barabartë me një m. Le ta bejme. Është e qartë se nëse numri a është jo negativ, atëherë rrënja e n-të e numrit a është një numër jo negativ. ku 
, e cila plotëson provën.
Le të japim një shembull të përdorimit të vetive të rrënjës së analizuar:.
Le të vërtetojmë vetinë e mëposhtme - vetinë e rrënjës së një shkalle të formës 
... Natyrisht, për a≥0, shkalla është një numër jo negativ. Për më tepër, shkalla n e saj është e barabartë me një m, në të vërtetë,. Kjo vërteton vetinë e diplomës në shqyrtim.
Për shembull, 
.
Le të vazhdojmë. Le të vërtetojmë se për çdo numër pozitiv a dhe b për cilin kusht a , domethënë a≥b. Dhe kjo bie ndesh me kushtin a
Si shembull, ne paraqesim pabarazinë e saktë 
.
Më në fund, mbetet të vërtetohet vetia e fundit e rrënjës së n-të. Le të vërtetojmë fillimisht pjesën e parë të kësaj vetie, domethënë do të vërtetojmë se për m> n dhe 0 Në mënyrë të ngjashme, me kontradiktë, vërtetohet se për m> n dhe a> 1, kushti është i plotësuar. Le të japim shembuj të zbatimit të vetive të vërtetuara të rrënjës në numra konkretë. Për shembull, pabarazitë dhe janë të vërteta.
, domethënë a n ≤a m. Dhe pabarazia që rezulton për m> n dhe 0
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të institucionet arsimore.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e të tjera.Algjebra dhe fillimi i analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve arsimore.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një udhëzues për aplikantët në shkollat teknike).
Shikova përsëri në shenjë ... Dhe le të shkojmë!
Le të fillojmë me një të thjeshtë:
Vetem nje minute. kjo, që do të thotë se ne mund të shkruajmë kështu:
E kuptova? Këtu është tjetra për ju:
Rrënjët e numrave që rezultojnë nuk janë nxjerrë saktësisht? Nuk ka rëndësi - këtu janë disa shembuj:
Por, çka nëse faktorët nuk janë dy, por më shumë? Njësoj! Formula e shumëzimit të rrënjëve funksionon me çdo numër faktorësh:
Tani plotësisht vetëm:
Përgjigjet: Te lumte! Pajtohem, gjithçka është shumë e lehtë, gjëja kryesore është të njohësh tabelën e shumëzimit!
Ndarja e rrënjëve
Ne kemi kuptuar shumëzimin e rrënjëve, tani le të zbresim në vetinë e ndarjes.
Më lejoni t'ju kujtoj se formula në përgjithësi duket si kjo:
Kjo do të thotë se rrënja e herësit është e barabartë me herësin e rrënjëve.
Epo, le ta kuptojmë me shembuj:
Kjo është e gjitha shkenca. Ja një shembull:
Gjithçka nuk është aq e qetë sa në shembullin e parë, por, siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar.
Por çfarë nëse ndeshet një shprehje si kjo:
Thjesht duhet të aplikoni formulën në drejtim të kundërt:
Dhe këtu është një shembull:
Ju gjithashtu mund të hasni këtë shprehje:
Gjithçka është e njëjtë, vetëm këtu duhet të mbani mend se si të përktheni thyesat (nëse nuk mbani mend, shikoni temën dhe kthehuni!). kujtohet? Tani ne vendosim!
Jam i sigurt që keni përballuar gjithçka, gjithçka, tani le të përpiqemi të ngremë rrënjë në pushtet.
Eksponentimi
Por çfarë ndodh nëse rrënja katrore është në katror? Është e thjeshtë, mbani mend kuptimin e rrënjës katrore të një numri - ky është një numër rrënja katrore e të cilit është e barabartë me.
Pra, nëse ngremë një numër rrënja katrore e të cilit është e barabartë me katrorin, atëherë çfarë marrim?
Mirë sigurisht, !
Le të shohim shembuj:
Është e thjeshtë, apo jo? Dhe nëse rrënja është në një shkallë të ndryshme? Është në rregull!
Ndiqni të njëjtën logjikë dhe mbani mend vetitë dhe veprimet e mundshme me gradë.
Lexoni teorinë në temën "" dhe gjithçka do t'ju bëhet shumë e qartë.
Për shembull, këtu është një shprehje:
Në këtë shembull, shkalla është çift, por çka nëse është tek? Përsëri, aplikoni vetitë e fuqisë dhe faktorizoni gjithçka:
Me këtë, gjithçka duket të jetë e qartë, por si të nxjerrim rrënjën e një numri në një fuqi? Për shembull, kjo është:
Shumë e thjeshtë, apo jo? Dhe nëse diploma është më shumë se dy? Ne ndjekim të njëjtën logjikë duke përdorur vetitë e shkallës:
Epo, a është gjithçka e qartë? Pastaj zgjidhni vetë shembujt:
Dhe këtu janë përgjigjet:
Hyrja nën shenjën e rrënjës
Çfarë nuk kemi mësuar të bëjmë me rrënjët! Mbetet vetëm për të praktikuar futjen e numrit nën shenjën e rrënjës!
Është e lehtë!
Le të themi se e kemi shkruar numrin
Çfarë mund të bëjmë me të? Epo, sigurisht, fshihni tre nën rrënjë, duke kujtuar se tre është rrënja katrore e!
Pse na duhet kjo? Po, vetëm për të zgjeruar aftësitë tona kur zgjidhim shembuj:
Si ju pëlqen kjo veti e rrënjëve? A e bën jetën shumë më të lehtë? Për mua, kjo është e drejtë! Vetëm duhet të kujtojmë se numrat pozitivë mund t'i prezantojmë vetëm nën shenjën e rrënjës katrore.
Zgjidheni këtë shembull vetë -
A ia dolët? Le të shohim se çfarë duhet të merrni:
Te lumte! Keni arritur të futni numrin nën shenjën e rrënjës! Le të kalojmë në një po aq të rëndësishme - le të shohim se si të krahasojmë numrat që përmbajnë rrënjën katrore!
Krahasimi i rrënjëve
Pse duhet të mësojmë të krahasojmë numrat që përmbajnë rrënjë katrore?
Shume e thjeshte. Shpesh, në shprehjet e mëdha dhe të gjata që hasim në provim, marrim një përgjigje irracionale (a ju kujtohet se çfarë është? Ju dhe unë kemi folur tashmë për këtë sot!)
Përgjigjet e marra duhet t'i vendosim në një vijë koordinative, për shembull, për të përcaktuar se cili interval është i përshtatshëm për zgjidhjen e ekuacionit. Dhe këtu lind një pengesë: nuk ka kalkulator në provim, dhe pa të si të imagjinohet se cili numër është më i madh dhe cili është më i vogël? Kjo është vetëm ajo!
Për shembull, përcaktoni cila është më e madhe: ose?
Nuk mund ta dallosh menjëherë. Epo, le të përdorim vetinë e analizuar të futjes së një numri nën shenjën e rrënjës?
Pastaj vazhdo:
Dhe, padyshim, sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja!
ato. nese atehere,.
Nga kjo ne konkludojmë me vendosmëri se. Dhe askush nuk do të na bindë të kundërtën!
Nxjerrja e rrënjëve nga një numër i madh
Para kësaj, ne prezantuam faktorin nën shenjën e rrënjës, por si ta nxjerrim atë? Thjesht duhet ta faktorizoni dhe të nxirrni atë që nxirret!
Ishte e mundur të merrej një rrugë tjetër dhe të dekompozohej në faktorë të tjerë:
Jo keq, a? Secila nga këto qasje është e saktë, vendosni se çfarë ju përshtatet më së miri.
Faktorizimi është shumë i dobishëm kur zgjidhni detyra jo standarde si kjo:
Ne nuk kemi frikë, por veprojmë! Le të zbërthejmë çdo faktor nën rrënjë në faktorë të veçantë:
Tani provojeni vetë (pa kalkulator! Nuk do të jetë në provim):
A është ky fundi? Mos u ndal në gjysmë të rrugës!
Kjo është e gjitha, jo aq e frikshme, apo jo?
Ka ndodhur? Të lumtë, ashtu është!
Tani përpiquni të zgjidhni këtë shembull:
Dhe një shembull është një arrë e fortë për t'u thyer, kështu që thjesht nuk mund të kuptoni se si t'i qaseni. Por ne, sigurisht, mund ta përballojmë atë.
Epo, le të fillojmë faktorizimin? Vini re menjëherë se mund të pjesëtoni një numër me (kujtoni kriteret e pjesëtueshmërisë):
Tani, provojeni vetë (përsëri, pa një kalkulator!):
Epo, çfarë ndodhi? Të lumtë, ashtu është!
Le të përmbledhim
- Rrënja katrore (rrënja katrore aritmetike) e një numri jonegativ është një numër jonegativ katrori i të cilit është i barabartë me.
. - Nëse marrim vetëm rrënjën katrore të diçkaje, marrim gjithmonë një rezultat jo negativ.
- Karakteristikat aritmetike të rrënjës:
- Kur krahasoni rrënjët katrore, duhet mbajtur mend se sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja.
Si ju pëlqen rrënja katrore? Gjithçka e qartë?
Ne u përpoqëm t'ju shpjegojmë pa ujë gjithçka që duhet të dini në provimin me rrënjë katrore.
Tani është radha juaj. Na shkruani nëse është një temë e vështirë për ju apo jo.
A keni mësuar diçka të re apo gjithçka ishte tashmë e qartë.
Shkruani në komente dhe suksese në provimet tuaja!
\ (\ sqrt (a) = b \) nëse \ (b ^ 2 = a \), ku \ (a≥0, b≥0 \)
Shembuj:
\ (\ sqrt (49) = 7 \) pasi \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) pasi \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)
Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri?
Për të nxjerrë rrënjën katrore të një numri, duhet t'i bëni vetes pyetjen: çfarë numri në katror do të japë shprehja nën rrënjë?
Për shembull... Ekstraktoni rrënjën: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)
a) Cilin numër në katror do të japë \ (2500 \)?
\ (\ sqrt (2500) = 50 \)
b) Cili numër në katror do të \ (\ frac (4) (9) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Cilin numër në katror do të japë \ (0,0001 \)?
\ (\ sqrt (0,0001) = 0,01 \)
d) Cilin numër në katror do të japë \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të përktheni në një të gabuar.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
Komentoni: Edhe pse \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), përgjigjuni gjithashtu pyetjeve , por ato nuk merren parasysh, pasi rrënja katrore është gjithmonë pozitive.
Vetia kryesore e rrënjës
Siç e dini, në matematikë, çdo veprim ka të kundërtën. Mbledhja ka zbritjen, shumëzimi ka pjesëtim. Anasjellta e katrorit është rrënja katrore. Prandaj, këto veprime anulojnë njëra-tjetrën:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)
Kjo është vetia kryesore e rrënjës, e cila përdoret më shpesh (përfshirë në OGE)
Shembull ... (detyrë nga OGE). Gjeni vlerën e shprehjes \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)
Zgjidhje :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frak (4) (6) = \ frak (2) (3) \)
Shembull ... (detyrë nga OGE). Gjeni vlerën e shprehjes \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Zgjidhja:
Përgjigje: \ (86-2 \ sqrt (85) \)Sigurisht, kur punoni me një rrënjë katrore, duhet të përdorni edhe të tjerët.
Shembull
... (detyrë nga OGE). Gjeni vlerën e shprehjes \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Zgjidhja:
Përgjigje: \(220\)
4 rregulla që harrohen gjithmonë
Rrënja nuk merret gjithmonë
Shembull: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) etj. - nuk është gjithmonë e mundur të nxirret rrënjë nga një numër dhe kjo është normale!
Rrënja e një numri, gjithashtu një numër
Nuk është e nevojshme t'i referohemi \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), disi veçanërisht. Këta janë numra, por jo numra të plotë, po, por jo gjithçka në botën tonë matet me numra të plotë.
Rrënja nxirret vetëm nga numrat jonegativë
Prandaj, në tekstet shkollore nuk do të shihni shënime të tilla \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \), etj.
Titulli: Punë e pavarur dhe testuese në algjebër dhe gjeometri për klasën e 8-të.
Manuali përmban punime të pavarura dhe kontrolluese për të gjitha temat më të rëndësishme të lëndës së algjebrës dhe gjeometrisë në klasën e 8-të.
Punimet përbëhen nga 6 variante të tre niveleve të vështirësisë. Materialet didaktike janë të destinuara për organizimin e punës së pavarur të diferencuar të studentëve.
PËRMBAJTJA
ALGEBRA 4
P-1 Shprehje racionale. Reduktimi i thyesave 4
C-2 Mbledhja dhe zbritja e thyesave 5
K-1 Thyesat racionale. Mbledhja dhe zbritja e thyesave 7
C-3 Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave. Ngritja e një thyese në fuqinë 10
P-4 Transformimi i Shprehjes Racionale 12
С-5 Proporcionaliteti i anasjelltë dhe grafiku i tij 14
К-2 Thyesat racionale 16
C-6 Rrënja katrore aritmetike prej 18
C-7 Ekuacioni x2 = a. Funksioni y = y [x 20
С-8 Rrënja katrore e produktit, fraksioni, fuqia 22
K-3 Rrënja katrore aritmetike dhe vetitë e saj 24
C-9 Futja dhe heqja e një shumëzuesi në rrënjë katrore 27
C-10 Shndërrimi i shprehjeve që përmbajnë rrënjë katrore 28
K-4 Zbatimi i vetive të rrënjës katrore aritmetike 30
P-11 Ekuacionet kuadratike jo të plota 32
С-12 Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik 33
С-13 Zgjidhja e problemave duke përdorur ekuacionet kuadratike. Teorema e Vietës 34
Ekuacionet kuadratike K-5 36
P-14 Ekuacionet racionale thyesore 38
С-15 Zbatimi i ekuacioneve racionale thyesore. Zgjidhja e problemit 39
Ekuacionet racionale thyesore K-6 40
C-16 Vetitë e mosbarazimeve numerike 43
K-7 Jobarazimet numerike dhe vetitë e tyre 44
С-17 Pabarazitë lineare me një ndryshore 47
С-18 Sistemet e pabarazive lineare 48
K-8 Pabarazitë lineare dhe sistemet e pabarazive me një ndryshore 50
С-19 Shkallë me tregues negativ 52
K-9 Gradë me numër të plotë 54
К-10 Testi vjetor 56
GJEOMETRI (Sipas Pogorelov) 58
С-1 Vetitë dhe shenjat e një paralelogrami. "58
C-2 Drejtkëndësh. Rombi. Sheshi 60
K-1 Paralelogrami 62
С-3 Teorema e Talesit. Vija e mesme e trekëndëshit 63
C-4 Trapezium. Vija e mesme e trapezit 66
K-2 Trapezium. Vijat e mesme të një trekëndëshi dhe një trapezi ... 68
C-5 Teorema e Pitagorës 70
С-6 Teorema e kundërt me teoremën e Pitagorës. pingul dhe i zhdrejtë 71
C-7 Pabarazia e trekëndëshit 73
K-3 Teorema e Pitagorës 74
C-8 Zgjidhja e trekëndëshit të drejtë 76
C-9 Vetitë e funksioneve trigonometrike 78
K-4 Trekëndëshi kënddrejtë (test i përgjithshëm) 80
С-10 Koordinatat e pikës së mesit të segmentit. Distanca midis pikave. Ekuacioni i rrethit 82
C-11 Ekuacioni i një drejtëze 84
K-5 Koordinatat karteziane 86
Lëvizja С-12 dhe vetitë e saj. Simetria qendrore dhe boshtore. Kthehu 88
S-13. Transferimi paralel 90
С-14 Koncepti vektor. Barazia e vektorëve 92
С-15 Veprimet me vektorë në formë koordinative. Vektorë kolinearë 94
С-16 Veprimet me vektorë në formë gjeometrike 95
Produkti me pika C-17 98
K-6 vektorë 99
К-7 Provimi vjetor 102
GJEOMETRI (Sipas Atanasyan) 104
С-1 Vetitë dhe shenjat e një paralelogrami 104
C-2 Drejtkëndësh. Rombi. Sheshi 106
К-1 Katërkëndësh 108
С-3 Sipërfaqja e një drejtkëndëshi, katror 109
С-4 Zona e paralelogramit, rombit, trekëndëshit 111
С-5 Zona e Trapezit 113
C-6 Teorema e Pitagorës 114
K-2 Sheshe. Teorema e Pitagorës 116
C-7 Përkufizimi i trekëndëshave të ngjashëm. Vetia përgjysmuese e këndit të një trekëndëshi 118
С-8 Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave 120
K-3 Ngjashmëria e trekëndëshave 122
С-9 Zbatimi i ngjashmërisë në zgjidhjen e problemeve 124
C-10 Lidhja ndërmjet brinjëve dhe këndeve të një trekëndëshi kënddrejtë 126
К-4 Zbatimi i ngjashmërisë në zgjidhjen e problemeve. Raportet ndërmjet brinjëve dhe këndeve të një trekëndëshi kënddrejtë 128
С-11 Tangjenta me rrethin 130
С-12 Qendra dhe qoshet e gdhendura 132
Teorema С-13 mbi produktin e segmenteve të kordave të kryqëzuara. Pikat e mrekullueshme të trekëndëshit 134
С-14 Rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar 136
K-5 Rrethi 137
C-15 Mbledhja dhe zbritja e vektorit 139
С-16 Shumëzimi i një vektori me numrin 141
С-17 Vija e mesme e trapezit 142
K-6 vektorë. Zbatimi i vektorëve në zgjidhjen e problemeve 144
К-7 Provimi vjetor 146
PËRGJIGJE 148
REFERENCAT 157
PARATHËNIE
.
1. Një libër relativisht i vogël përmban një grup të plotë testesh (përfshirë testet përfundimtare) për të gjithë kursin e algjebrës dhe gjeometrisë së klasës së 8-të, kështu që mjafton të blini një grup librash për klasë.
Fletët e testimit janë krijuar për një mësim, punë të pavarur - për 20-35 minuta, në varësi të temës. Për lehtësinë e përdorimit të librit, titulli i secilës vepër të pavarur dhe testuese pasqyron lëndën e saj.
2. Koleksioni lejon kontroll të diferencuar të njohurive, pasi detyrat shpërndahen në tre nivele të kompleksitetit A, B dhe C. Niveli A korrespondon me kërkesat e detyrueshme të programit, B - me nivelin mesatar të kompleksitetit, detyrat e nivelit C janë i destinuar për nxënësit me një interes të shtuar për matematikën, si dhe për përdorim në klasa, shkolla, gjimnaz dhe shkolla të mesme me studime të avancuara të matematikës. Për çdo nivel, ka 2 opsione ekuivalente ngjitur (siç shkruhen zakonisht në tabelë), kështu që një libër në tavolinë është i mjaftueshëm për mësimin.
Shkarkoni falas librin elektronik në një format të përshtatshëm, shikoni dhe lexoni:
Shkarkoni librin Vetëstudim dhe teste në algjebër dhe gjeometri për klasën e 8-të. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, shkarkim i shpejtë dhe pa pagesë.
- Punë e pavarur dhe kontrolluese në gjeometri për klasën e 11-të. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Punë e pavarur dhe testuese në algjebër dhe gjeometri për klasën e 9-të. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Punime të pavarura dhe kontrolluese për algjebër dhe gjeometri, klasa 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013