Si të ndani dy dhjetore. Hartimi i një sistemi ekuacionesh

Shqyrtoni shembuj të ndarjes së numrave dhjetorë në këtë dritë.

Shembull.

Pjestoni dhjetorin 1.2 me dhjetorin 0.48.

Zgjidhje.

Përgjigje:

1,2:0,48=2,5 .

Shembull.

Pjesëtojmë dhjetorin periodik 0.(504) me dhjetorin 0.56 .

Zgjidhje.

Le ta përkthejmë thyesën dhjetore periodike në një të zakonshme:. Ne gjithashtu përkthejmë fraksionin përfundimtar dhjetor 0.56 në një të zakonshëm, kemi 0.56 \u003d 56/100. Tani mund të kalojmë nga pjesëtimi i numrave dhjetorë origjinalë në pjesëtimin e thyesave të zakonshme dhe të përfundojmë llogaritjet: .

Le ta përkthejmë thyesën e zakonshme që rezulton në një thyesë dhjetore duke e ndarë numëruesin me emëruesin në një kolonë:

Përgjigje:

0,(504):0,56=0,(900) .

Parimi i pjesëtimit të thyesave dhjetore joperiodike të pafundme ndryshon nga parimi i pjesëtimit të thyesave dhjetore të fundme dhe periodike, pasi thyesat dhjetore që nuk përsëriten nuk mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme. Pjesëtimi i thyesave dhjetore të pafundme jo periodike reduktohet në pjesëtimin e thyesave dhjetore të fundme, për të cilat kryhet. rrumbullakimi i numrave deri në një nivel të caktuar. Për më tepër, nëse një nga numrat me të cilët kryhet pjesëtimi është një thyesë dhjetore e fundme ose periodike, atëherë ai gjithashtu rrumbullakoset në të njëjtën shifër si thyesa dhjetore jo periodike.

Shembull.

Pjestojeni dhjetorin e pafundëm jo-përsëritës 0,779... me dhjetorin përfundimtar 1,5602.

Zgjidhje.

Së pari ju duhet të rrumbullakosni thyesat dhjetore në mënyrë që të kaloni nga pjesëtimi i një thyese dhjetore të pafundme që nuk përsëritet në pjesëtimin e thyesave dhjetore të fundme. Mund të rrumbullakosim në të qindtat: 0,779…≈0,78 dhe 1,5602≈1,56. Kështu, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Përgjigje:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Pjesëtimi i një numri natyror me një thyesë dhjetore dhe anasjelltas

Thelbi i qasjes ndaj pjesëtimit të një numri natyror me një thyesë dhjetore dhe pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër natyror nuk është i ndryshëm nga thelbi i pjesëtimit të thyesave dhjetore. Kjo do të thotë, thyesat e fundme dhe periodike zëvendësohen nga thyesat e zakonshme, dhe thyesat e pafundme jo periodike janë të rrumbullakosura.

Për ta ilustruar, merrni parasysh shembullin e pjesëtimit të një thyese dhjetore me një numër natyror.

Shembull.

Pjesëtoj thyesën dhjetore 25,5 me numrin natyror 45.

Zgjidhje.

Duke e zëvendësuar thyesën dhjetore 25,5 me një thyesë të zakonshme 255/10=51/2, pjesëtimi reduktohet në pjesëtimin e një thyese të zakonshme me një numër natyror: . Pjesa që rezulton në shënimin dhjetor është 0.5 (6) .

Përgjigje:

25,5:45=0,5(6) .

Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër natyror me një kolonë

Ndarja e thyesave dhjetore përfundimtare me numra natyrorë kryhet në mënyrë të përshtatshme nga një kolonë me analogji me ndarjen me një kolonë të numrave natyrorë. Këtu është rregulli i ndarjes.

për të pjesëtoni një dhjetor me një numër natyror me një kolonë, e nevojshme:

shtoni disa shifra djathtas në thyesën dhjetore të pjestueshme 0, (gjatë pjesëtimit, nëse është e nevojshme, mund të shtoni çdo numër zerosh, por këto zero mund të mos jenë të nevojshme);
kryeni pjesëtimin me një kolonë të një thyese dhjetore me një numër natyror sipas të gjitha rregullave për pjesëtimin me një kolonë të numrave natyrorë, por kur të përfundojë ndarja e pjesës së plotë të thyesës dhjetore, atëherë në atë private duhet të vendosni presje dhe vazhdoni ndarjen.

Le të themi menjëherë se si rezultat i pjesëtimit të një thyese dhjetore të fundme me një numër natyror, mund të merret ose një thyesë dhjetore përfundimtare ose një thyesë dhjetore periodike e pafundme. Në të vërtetë, pas pjesëtimit të të gjitha numrave dhjetorë të thyesës së pjestueshme përveç 0-së, mund të marrim ose një mbetje 0, dhe do të marrim një thyesë dhjetore përfundimtare, ose pjesa e mbetur do të fillojë të përsëritet periodikisht, dhe do të marrim një dhjetore periodike. fraksion.

Le të merremi me të gjitha ndërlikimet e ndarjes së thyesave dhjetore në numra natyrorë me një kolonë kur zgjidhim shembuj.

Shembull.

Pjesëtojmë dhjetorin 65,14 me 4 .

Zgjidhje.

Le të bëjmë pjesëtimin e një thyese dhjetore me një numër natyror me një kolonë. Le të shtojmë një palë zero djathtas në rekordin e thyesës 65,14, ndërsa marrim thyesën dhjetore të barabartë me të 65,1400 (shih thyesat dhjetore të barabarta dhe të pabarabarta). Tani mund të filloni të ndani pjesën e plotë të thyesës dhjetore 65.1400 me një numër natyror 4 me një kolonë:

Kjo plotëson ndarjen e pjesës së plotë të thyesës dhjetore. Këtu në mënyrë private duhet të vendosni një pikë dhjetore dhe të vazhdoni ndarjen:

Kemi ardhur në një mbetje prej 0, në këtë fazë ndarja me një kolonë përfundon. Si rezultat kemi 65.14:4=16.285.

Përgjigje:

65,14:4=16,285 .

Shembull.

Ndani 164.5 me 27.

Zgjidhje.

Le të pjesëtojmë një thyesë dhjetore me një numër natyror me një kolonë. Pas ndarjes së pjesës së plotë, marrim figurën e mëposhtme:

Tani vendosim një presje private dhe vazhdojmë ndarjen me një kolonë:

Tani shihet qartë se mbetjet e 25, 7 dhe 16 kanë filluar të përsëriten, ndërsa numrat 9, 2 dhe 5 përsëriten në herës. Pra, pjesëtimi i dhjetorit 164.5 me 27 na jep dhjetorin periodik 6.0(925) .

Përgjigje:

164,5:27=6,0(925) .

Pjesëtimi i thyesave dhjetore me një kolonë

Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një thyesë dhjetore mund të reduktohet në pjesëtimin e një thyese dhjetore me një numër natyror me një kolonë. Për ta bërë këtë, dividenti dhe pjesëtuesi duhet të shumëzohen me një numër të tillë 10, ose 100, ose 1000, etj., në mënyrë që pjesëtuesi të bëhet një numër natyror, dhe pastaj të pjesëtohet me një numër natyror me një kolonë. Këtë mund ta bëjmë për shkak të vetive të pjesëtimit dhe shumëzimit, pasi a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) e kështu me radhë.

Me fjale te tjera, për të pjesëtuar një dhjetore që mbaron me një dhjetore mbaruese, duhet:

në dividend dhe pjesëtues, zhvendoseni presjen në të djathtë me aq karaktere sa ka pas presjes dhjetore në pjesëtues, nëse në të njëjtën kohë nuk ka karaktere të mjaftueshme në dividend për të lëvizur presjen, atëherë duhet të shtoni numri i kërkuar i zerave në të djathtë;
pas kësaj, kryeni pjesëtimin me një kolonë të një thyese dhjetore me një numër natyror.

Merrni parasysh, kur zgjidhni një shembull, zbatimin e këtij rregulli për pjesëtimin me një thyesë dhjetore.

Shembull.

Bëni ndarjen e kolonës 7.287 me 2.1.

Zgjidhje.

Le të lëvizim presjen në këto thyesa dhjetore një shifër djathtas, kjo do të na lejojë të kalojmë nga pjesëtimi i thyesës dhjetore 7.287 me thyesën dhjetore 2.1 në pjesëtimin e thyesës dhjetore 72.87 me numrin natyror 21. Le të ndajmë me një kolonë:

Përgjigje:

7,287:2,1=3,47 .

Shembull.

Pjestoni dhjetorin 16.3 me dhjetorin 0.021.

Zgjidhje.

Zhvendosni presjen në dividend dhe pjesëtuesin në të djathtë me 3 shifra. Natyrisht, nuk ka shifra të mjaftueshme në pjesëtues për të mbajtur presjen, kështu që le të shtojmë numrin e kërkuar të zerave në të djathtë. Tani le të ndajmë kolonën e thyesës 16300.0 me numrin natyror 21:

Nga ky moment, mbetjet 4, 19, 1, 10, 16 dhe 13 fillojnë të përsëriten, që do të thotë se do të përsëriten edhe numrat 1, 9, 0, 4, 7 dhe 6 në herës. Si rezultat, marrim një thyesë dhjetore periodike 776, (190476) .

Përgjigje:

16,3:0,021=776,(190476) .

Vini re se rregulli i shprehur ju lejon të ndani një numër natyror me një fraksion dhjetor përfundimtar me një kolonë.

Shembull.

Pjesëtojë numrin natyror 3 me thyesën dhjetore 5.4.

Zgjidhje.

Pasi të zhvendosim presjen 1 në të djathtë, vijmë në ndarjen e numrit 30.0 me 54. Le të ndajmë me një kolonë:
.

Ky rregull mund të zbatohet edhe kur pjesëtohen thyesat dhjetore të pafundme me 10, 100, .... Për shembull, 3,(56):1000=0.003(56) dhe 593.374…:100=5.93374….

Pjesëtimi i numrave dhjetorë me 0,1, 0,01, 0,001, etj.

Meqenëse 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, etj., Atëherë nga rregulli i pjesëtimit me një fraksion të zakonshëm rrjedh se pjesëtimi i një fraksioni dhjetor me 0,1, 0,01, 0,001, etj. është njësoj si të shumëzosh dhjetorin e dhënë me 10, 100, 1000, etj. përkatësisht.

Me fjalë të tjera, për të pjesëtuar një thyesë dhjetore me 0,1, 0,01, ... ju duhet të zhvendosni presjen në të djathtë me 1, 2, 3, ... shifra, dhe nëse nuk ka shifra të mjaftueshme në thyesën dhjetore në lëvizni presjen, atëherë duhet të shtoni numrin e kërkuar në zerot e duhura.

Për shembull, 5,739:0,1=57,39 dhe 0,21:0,00001=21,000.

I njëjti rregull mund të zbatohet kur pjesëtohen dhjetoret e pafundme me 0,1, 0,01, 0,001, etj. Në këtë rast, duhet të keni shumë kujdes me ndarjen e thyesave periodike, në mënyrë që të mos gaboheni me periodën e thyesës, e cila përftohet si rezultat i pjesëtimit. Për shembull, 7.5(716):0.01=757,(167) , pasi që pas zhvendosjes së presjes në rekordin e thyesës dhjetore 7.5716716716… dy shifra në të djathtë, kemi rekordin 757.167167…. Me dhjetore të pafundme jo periodike, gjithçka është më e thjeshtë: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Pjesëtimi i një numri thyesor ose i përzier me një dhjetor dhe anasjelltas

Pjesëtimi i një thyese të zakonshme ose një numri të përzier me një thyesë dhjetore të fundme ose periodike, si dhe pjesëtimi i një thyese dhjetore të fundme ose periodike me një thyesë të zakonshme ose një numër të përzier, reduktohet në pjesëtimin e thyesave të zakonshme. Për ta bërë këtë, thyesat dhjetore zëvendësohen nga thyesat e zakonshme përkatëse, dhe numri i përzier përfaqësohet si një thyesë e papërshtatshme.

Kur pjesëtohet një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike me një thyesë të zakonshme ose një numër të përzier dhe anasjelltas, duhet të vazhdohet me pjesëtimin e thyesave dhjetore, duke zëvendësuar thyesën e zakonshme ose numrin e përzier me thyesën dhjetore përkatëse.

Bibliografi.

Matematika: studime. për 5 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. Klasa 6: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Në shkollë, këto veprime studiohen nga të thjeshta në komplekse. Prandaj, sigurisht që është e nevojshme të zotëroni algoritmin për kryerjen e operacioneve të mësipërme duke përdorur shembuj të thjeshtë. Kështu që më vonë nuk do të ketë vështirësi me ndarjen e thyesave dhjetore në një kolonë. Në fund të fundit, ky është versioni më i vështirë i detyrave të tilla.

Kjo temë kërkon studim të vazhdueshëm. Këtu boshllëqet në njohuri janë të papranueshme. Këtë parim duhet ta mësojë çdo nxënës që në klasën e parë. Prandaj, nëse kaloni disa mësime me radhë, do të duhet të zotëroni vetë materialin. Përndryshe, më vonë do të ketë probleme jo vetëm me matematikën, por edhe me lëndët e tjera që lidhen me të.

Parakushti i dytë për një studim të suksesshëm të matematikës është kalimi në shembuj të pjesëtimit në një kolonë vetëm pasi të jenë zotëruar mbledhja, zbritja dhe shumëzimi.

Për një fëmijë do të jetë e vështirë të ndahet nëse nuk e ka mësuar tabelën e shumëzimit. Nga rruga, është më mirë ta mësosh atë nga tabela e Pitagorës. Nuk ka asgjë të tepërt, dhe shumëzimi është më i lehtë për t'u tretur në këtë rast.

Si shumëzohen numrat natyrorë në një kolonë?

Nëse ka vështirësi në zgjidhjen e shembujve në një kolonë për pjesëtim dhe shumëzim, atëherë është e nevojshme të fillohet zgjidhja e problemit me shumëzim. Sepse ndarja është e anasjellta e shumëzimit:

Para se të shumëzoni dy numra, duhet t'i shikoni me kujdes. Zgjidhni atë me më shumë shifra (më të gjata), shkruani në fillim. Vendoseni të dytën nën të. Për më tepër, numrat e kategorisë përkatëse duhet të jenë nën të njëjtën kategori. Kjo do të thotë, shifra më e djathtë e numrit të parë duhet të jetë mbi shifrën më të djathtë të të dytit.
Shumëzoni shifrën më të djathtë të numrit të poshtëm me secilën shifër të numrit të sipërm, duke filluar nga e djathta. Shkruani përgjigjen nën rresht në mënyrë që shifra e fundit të jetë nën atë me të cilën është shumëzuar.
Përsëriteni të njëjtën gjë me shifrën tjetër të numrit të poshtëm. Por rezultati i shumëzimit duhet të zhvendoset një shifër në të majtë. Në këtë rast, shifra e fundit e saj do të jetë nën atë me të cilën është shumëzuar.

Vazhdoni këtë shumëzim në një kolonë derisa të mbarojnë numrat në shumëzuesin e dytë. Tani ato duhet të palosen. Kjo do të jetë përgjigja e dëshiruar.

Algoritmi për shumëzimin në një kolonë të thyesave dhjetore

Së pari, supozohet të imagjinohet se nuk janë dhënë thyesat dhjetore, por ato natyrore. Kjo do të thotë, hiqni presjet prej tyre dhe pastaj vazhdoni siç përshkruhet në rastin e mëparshëm.

Dallimi fillon kur shkruhet përgjigja. Në këtë pikë, është e nevojshme të numërohen të gjithë numrat që janë pas presjes dhjetore në të dy thyesat. Kjo është sa prej tyre duhet të numëroni nga fundi i përgjigjes dhe të vendosni një presje atje.

Është i përshtatshëm për të ilustruar këtë algoritëm me një shembull: 0.25 x 0.33:

Si të filloni të mësoni të ndani?

Para se të zgjidhni shembuj për pjesëtim në një kolonë, supozohet të mbani mend emrat e numrave që janë në shembullin për pjesëtim. E para prej tyre (ajo që ndan) është e pjesëtueshme. E dyta (e ndarë me të) është pjesëtues. Përgjigja është private.

Pas kësaj, duke përdorur një shembull të thjeshtë të përditshëm, ne do të shpjegojmë thelbin e këtij operacioni matematikor. Për shembull, nëse merrni 10 ëmbëlsira, atëherë është e lehtë t'i ndani ato në mënyrë të barabartë midis mamasë dhe babit. Por çfarë nëse duhet t'ua shpërndani prindërve dhe vëllait tuaj?

Pas kësaj, ju mund të njiheni me rregullat e ndarjes dhe t'i zotëroni ato me shembuj specifikë. Të thjeshta në fillim, dhe më pas kalimi në ato gjithnjë e më komplekse.

Algoritmi për ndarjen e numrave në një kolonë

Së pari, ne paraqesim procedurën për numrat natyrorë që pjesëtohen me një numër njëshifror. Ato do të jenë gjithashtu baza për pjesëtuesit shumëshifrorë ose thyesat dhjetore. Vetëm atëherë supozohet të bëjë ndryshime të vogla, por më shumë për këtë më vonë:

Para se të bëni ndarjen në një kolonë, duhet të zbuloni se ku janë dividenti dhe pjesëtuesi.
Shkruani dividentin. Në të djathtë të tij është një ndarës.
Vizatoni një qoshe në të majtë dhe në fund pranë këndit të fundit.
Përcaktoni dividentin jo të plotë, domethënë numrin që do të jetë minimumi për pjesëtim. Zakonisht përbëhet nga një shifër, maksimumi dy.
Zgjidhni numrin që do të shkruhet i pari në përgjigje. Duhet të jetë numri i herëve që pjesëtuesi përshtatet në divident.
Shkruani rezultatin e shumëzimit të këtij numri me një pjesëtues.
Shkruajeni nën një pjesëtues jo të plotë. Kryeni zbritjen.
Mbajeni në pjesën e mbetur shifrën e parë pas pjesës që tashmë është ndarë.
Përsëri zgjidhni numrin për përgjigjen.
Përsëritni shumëzimin dhe zbritjen. Nëse pjesa e mbetur është zero dhe dividenti ka mbaruar, atëherë shembulli është bërë. Përndryshe, përsëritni hapat: prishni numrin, merrni numrin, shumëzoni, zbritni.

Si të zgjidhet pjesëtimi i gjatë nëse ka më shumë se një shifër në pjesëtues?

Vetë algoritmi përkon plotësisht me atë që u përshkrua më lart. Dallimi do të jetë numri i shifrave në dividentin jo të plotë. Tani duhet të ketë të paktën dy prej tyre, por nëse rezultojnë të jenë më pak se pjesëtuesi, atëherë supozohet se funksionon me tre shifrat e para.

Ka një nuancë tjetër në këtë ndarje. Fakti është se pjesa e mbetur dhe figura e bartur në të ndonjëherë nuk pjesëtohen me një pjesëtues. Pastaj supozohet të atribuohet një figurë më shumë në rend. Por në të njëjtën kohë, përgjigja duhet të jetë zero. Nëse numrat treshifrorë ndahen në një kolonë, atëherë mund të duhet të prishen më shumë se dy shifra. Pastaj futet rregulli: zerat në përgjigje duhet të jenë një më pak se numri i shifrave të hequra.

Ju mund të konsideroni një ndarje të tillë duke përdorur shembullin - 12082: 863.

I paplotësuari në të është numri 1208. Numri 863 vendoset në të vetëm një herë. Prandaj, si përgjigje, supozohet të vendoset 1 dhe të shkruhet 863 nën 1208.
Pas zbritjes, pjesa e mbetur është 345.
Atij ju duhet t'i prishni numrin 2.
Në numrin 3452, 863 përshtatet katër herë.
Katër duhet të shkruhen si përgjigje. Për më tepër, kur shumëzohet me 4, fitohet ky numër.
Pjesa e mbetur pas zbritjes është zero. Domethënë, ndarja ka përfunduar.

Përgjigja në shembull është 14.

Po sikur dividenti përfundon me zero?

Apo disa zero? Në këtë rast, fitohet një mbetje zero, dhe ka ende zero në divident. Mos u dëshpëroni, gjithçka është më e lehtë se sa mund të duket. Mjafton vetëm t'i atribuohen përgjigjes të gjitha zerot që mbetën të pandarë.

Për shembull, ju duhet të ndani 400 me 5. Dividenti jo i plotë është 40. Pesë vendoset në të 8 herë. Kjo do të thotë se përgjigja supozohet të shkruhet 8. Kur zbritet, nuk ka mbetje. Kjo do të thotë, ndarja ka mbaruar, por zero mbetet në divident. Do të duhet t'i shtohet përgjigjes. Kështu, pjesëtimi i 400 me 5 jep 80.

Po sikur të duhet të ndash një dhjetore?

Përsëri, ky numër duket si një numër natyror, nëse jo për presjen që ndan pjesën e plotë nga pjesa thyesore. Kjo sugjeron që ndarja e thyesave dhjetore në një kolonë është e ngjashme me atë të përshkruar më sipër.

Dallimi i vetëm do të jetë pikëpresja. Supozohet të përgjigjet menjëherë, sapo të hiqet shifra e parë nga pjesa thyesore. Në një mënyrë tjetër, mund të thuhet kështu: ndarja e pjesës së plotë ka përfunduar - vendosni presje dhe vazhdoni zgjidhjen më tej.

Kur zgjidhni shembuj për ndarjen në një kolonë me thyesa dhjetore, duhet të mbani mend se çdo numër zero mund t'i caktohet pjesës pas pikës dhjetore. Ndonjëherë kjo është e nevojshme për të plotësuar numrat deri në fund.

Pjesëtimi i dy numrave dhjetorë

Mund të duket e ndërlikuar. Por vetëm në fillim. Në fund të fundit, tashmë është e qartë se si të kryhet ndarja në një kolonë thyesash me një numër natyror. Pra, duhet ta reduktojmë këtë shembull në formën tashmë të njohur.

Bëje të lehtë. Ju duhet t'i shumëzoni të dy thyesat me 10, 100, 1000 ose 10000, ose ndoshta një milion nëse e kërkon detyra. Shumëzuesi supozohet të zgjidhet bazuar në numrin e zerave në pjesën dhjetore të pjesëtuesit. Kjo do të thotë, si rezultat, rezulton se do të duhet të ndani një pjesë me një numër natyror.

Dhe do të jetë në rastin më të keq. Në fund të fundit, mund të rezultojë që dividenti nga ky operacion bëhet një numër i plotë. Pastaj zgjidhja e shembullit me ndarje në një kolonë thyesash do të reduktohet në opsionin më të thjeshtë: veprimet me numra natyrorë.

Si shembull: 28.4 pjesëtuar me 3.2:

Së pari, ato duhet të shumëzohen me 10, pasi në numrin e dytë ka vetëm një shifër pas pikës dhjetore. Shumëzimi do të japë 284 dhe 32.
Ata supozohet të jenë të ndarë. Dhe menjëherë numri i plotë është 284 me 32.
Numri i parë që përputhet për përgjigjen është 8. Nga shumëzimi i tij jepet 256. Pjesa e mbetur është 28.
Ndarja e pjesës së plotë ka mbaruar dhe në përgjigje supozohet të vendoset një presje.
Shkatërroni në pjesën e mbetur 0.
Merrni 8 përsëri.
Pjesa e mbetur: 24. Shtoni një 0 tjetër në të.
Tani ju duhet të merrni 7.
Rezultati i shumëzimit është 224, pjesa e mbetur është 16.
Prisni një tjetër 0. Merrni 5 dhe merrni saktësisht 160. Pjesa e mbetur është 0.

Ndarja e përfunduar. Rezultati i shembullit 28.4:3.2 është 8.875.

Po sikur pjesëtuesi të jetë 10, 100, 0.1 ose 0.01?

Ashtu si me shumëzimin, këtu nuk nevojitet pjesëtimi i gjatë. Mjafton vetëm lëvizja e presjes në drejtimin e duhur për një numër të caktuar shifrash. Për më tepër, sipas këtij parimi, ju mund të zgjidhni shembuj si me numra të plotë ashtu edhe me thyesa dhjetore.

Pra, nëse duhet të pjesëtoni me 10, 100 ose 1000, atëherë presja zhvendoset në të majtë me aq shifra sa ka zero në pjesëtues. Kjo do të thotë, kur një numër pjesëtohet me 100, presja duhet të lëvizë majtas me dy shifra. Nëse dividenti është një numër natyror, atëherë supozohet se presja është në fund të tij.

Ky veprim prodhon të njëjtin rezultat sikur numri të shumëzohej me 0.1, 0.01 ose 0.001. Në këta shembuj, presja gjithashtu zhvendoset në të majtë me një numër shifrash të barabartë me gjatësinë e pjesës thyesore.

Kur pjesëtohet me 0.1 (etj.) ose shumëzohet me 10 (etj.), presja duhet të lëvizë djathtas me një shifër (ose dy, tre, në varësi të numrit të zerove ose gjatësisë së pjesës thyesore).

Vlen të përmendet se numri i shifrave të dhëna në divident mund të mos jetë i mjaftueshëm. Atëherë zerot që mungojnë mund të caktohen majtas (në pjesën e plotë) ose djathtas (pas pikës dhjetore).

Ndarja e thyesave periodike

Në këtë rast, nuk do të mund të merrni përgjigjen e saktë kur ndaheni në një kolonë. Si të zgjidhet një shembull nëse haset një thyesë me pikë? Këtu është e nevojshme të kalojmë në fraksione të zakonshme. Dhe pastaj kryeni ndarjen e tyre sipas rregullave të studiuara më parë.

Për shembull, ju duhet të ndani 0, (3) me 0.6. Pjesa e parë është periodike. Shndërrohet në thyesën 3/9, e cila pas zvogëlimit do të japë 1/3. Thyesa e dytë është dhjetori përfundimtar. Është edhe më e lehtë të shkruash një të zakonshme: 6/10, që është e barabartë me 3/5. Rregulli për pjesëtimin e thyesave të zakonshme parashikon zëvendësimin e pjesëtimit me shumëzim dhe pjesëtuesin me reciprocitetin e një numri. Kjo do të thotë, shembulli zbret në shumëzimin e 1/3 me 5/3. Përgjigja është 5/9.

Nëse shembulli ka thyesa të ndryshme...

Pastaj ka disa zgjidhje të mundshme. Së pari, mund të provoni të konvertoni një fraksion të zakonshëm në një dhjetor. Pastaj ndani tashmë dy dhjetore sipas algoritmit të mësipërm.

Së dyti, çdo thyesë dhjetore përfundimtare mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme. Thjesht nuk është gjithmonë i përshtatshëm. Më shpesh, fraksione të tilla rezultojnë të mëdha. Po, dhe përgjigjet janë të rënda. Prandaj, qasja e parë konsiderohet më e preferueshme.

§ 107. Mbledhja e thyesave dhjetore.

Mbledhja e numrave dhjetorë bëhet në të njëjtën mënyrë si mbledhja e numrave të plotë. Le ta shohim këtë me shembuj.

1) 0,132 + 2,354. Le të nënshkruajmë kushtet njëra nën tjetrën.

Këtu nga mbledhja e 2 mijëshave me 4 mijëshe u përftuan 6 mijëshe;
nga mbledhja e 3 qindësheve me 5 të qindtat, dolën 8 të qindtat;
nga mbledhja e 1 të dhjetës me 3 të dhjetat -4 të dhjetat dhe
nga shtimi i 0 numrave të plotë me 2 numra të plotë - 2 numra të plotë.

2) 5,065 + 7,83.

Nuk ka të mijta në mandatin e dytë, ndaj është e rëndësishme të mos bëni gabime kur nënshkruani termat nën njëri-tjetrin.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Këtu, kur mbledhim të mijëtat, marrim 21 mijëshe; shkruajmë 1 nën të mijtën dhe 2 i shtuam të qindtat, kështu që në vendin e qindtë morëm termat e mëposhtëm: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; në përmbledhje, ata japin 19 të qindtat, ne kemi nënshkruar 9 nën të qindtat, dhe 1 është llogaritur si e dhjeta, etj.

Kështu, gjatë mbledhjes së thyesave dhjetore duhet respektuar radha e mëposhtme: thyesat janë të nënshkruara njëra nën tjetrën në mënyrë që në të gjitha termat të jenë të njëjtat shifra njëra nën tjetrën dhe të gjitha presjet të jenë në të njëjtën kolonë vertikale; në të djathtë të numrave dhjetorë të disa termave, ata atribuojnë, të paktën mendërisht, një numër të tillë zero që të gjithë termat pas presjes dhjetore të kenë të njëjtin numër shifrash. Më pas, mbledhja kryhet me shifra, duke filluar nga ana e djathtë, dhe në sasinë që rezulton vendoset një presje në të njëjtën kolonë vertikale siç është në këto terma.

§ 108. Zbritja e thyesave dhjetore.

Zbritja e numrave dhjetorë bëhet në të njëjtën mënyrë si zbritja e numrave të plotë. Le ta tregojmë këtë me shembuj.

1) 9,87 - 7,32. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend në mënyrë që njësitë e së njëjtës shifër të jenë njëra nën tjetrën:

2) 16.29 - 4.75. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend, si në shembullin e parë:

Për të zbritur të dhjetat, duhej marrë një njësi e plotë nga 6 dhe ta ndante në të dhjetat.

3) 14.0213-5.350712. Le të nënshkruajmë subtrahend nën minuend:

Zbritja u krye si më poshtë: meqenëse nuk mund t'i zbresim 2 milionatat nga 0, duhet t'i referohemi shifrës më të afërt në të majtë, dmth, në njëqind-mijëzat, por ka edhe zero në vend të njëqind-mijëshave, kështu që marrim 1. dhjetëmijëja nga 3 dhjetëmijëshe dhe e ndajmë në njëqindmijë, marrim 10 qindmijë, nga të cilat 9 qindmijë mbesin në kategorinë e njëqindmijëshe, dhe 1qindmijëja është e grimcuar në të milionat, marrim 10 milionta. Kështu, në tre shifrat e fundit, kemi marrë: të miliontat 10, të njëqind-mijëzat 9, të dhjetë-mijëzat 2. Për qartësi dhe lehtësi më të madhe (për të mos harruar), këta numra shkruhen në krye të shifrave thyesore përkatëse të reduktuar. Tani mund të fillojmë të zbresim. Nga 10 milionta zbresim 2 milionta, marrim 8 milionta; zbresim 1 qindmijë nga 9 qindmijëshe, marrim 8 qindmijë etj.

Kështu, gjatë zbritjes së thyesave dhjetore, respektohet rendi i mëposhtëm: zbritja shënohet nën të reduktuar në mënyrë që të njëjtat shifra të jenë njëra nën tjetrën dhe të gjitha presjet të jenë në të njëjtën kolonë vertikale; në të djathtë, ata atribuojnë, të paktën mendërisht, në zero të reduktuara ose të zbritura në mënyrë që të kenë të njëjtin numër shifrash, pastaj zbresin me shifra, duke filluar nga ana e djathtë, dhe në ndryshimin që rezulton vendosin presje në kolona e njëjtë vertikale në të cilën është në reduktim dhe zbritje.

§ 109. Shumëzimi i thyesave dhjetore.

Shqyrtoni disa shembuj të shumëzimit të thyesave dhjetore.

Për të gjetur prodhimin e këtyre numrave, mund të arsyetojmë si vijon: nëse faktori rritet me 10 herë, atëherë të dy faktorët do të jenë numra të plotë dhe më pas mund t'i shumëzojmë sipas rregullave për shumëzimin e numrave të plotë. Por ne e dimë se kur një nga faktorët rritet disa herë, produkti rritet me të njëjtën sasi. Kjo do të thotë se numri që vjen nga shumëzimi i faktorëve të plotë, pra 28 me 23, është 10 herë më i madh se produkti i vërtetë, dhe për të marrë produktin e vërtetë, duhet të zvogëloni produktin e gjetur me 10 herë. Prandaj, këtu duhet të kryeni një shumëzim me 10 një herë dhe një pjesëtim me 10 një herë, por shumëzimi dhe pjesëtimi me 10 kryhet duke lëvizur presjen djathtas dhe majtas me një shenjë. Prandaj, duhet ta bëni këtë: në shumëzues, zhvendosni presjen në të djathtë me një shenjë, nga kjo do të jetë e barabartë me 23, atëherë duhet të shumëzoni numrat e plotë që rezultojnë:

Ky produkt është 10 herë më i madh se ai i vërtetë. Prandaj, duhet të zvogëlohet me 10 herë, për të cilën ne e zhvendosim presjen një karakter në të majtë. Kështu, ne marrim

28 2,3 = 64,4.

Për qëllime verifikimi, mund të shkruani një thyesë dhjetore me emërues dhe të kryeni një veprim sipas rregullit për shumëzimin e thyesave të zakonshme, d.m.th.

2) 12,27 0,021.

Dallimi midis këtij shembulli dhe atij të mëparshëm është se këtu të dy faktorët përfaqësohen me thyesa dhjetore. Por këtu, në procesin e shumëzimit, ne nuk do t'i kushtojmë vëmendje presjeve, domethënë do të rrisim përkohësisht shumëzuesin me 100 herë, dhe shumëzuesin me 1000 herë, gjë që do të rrisë produktin me 100,000 herë. Kështu, duke shumëzuar 1227 me 21, marrim:

1 227 21 = 25 767.

Duke marrë parasysh që produkti që rezulton është 100,000 herë më i madh se ai i vërtetë, tani duhet ta zvogëlojmë atë me 100,000 herë duke vendosur siç duhet një presje në të, atëherë marrim:

32,27 0,021 = 0,25767.

Le të kontrollojmë:

Kështu, për të shumëzuar dy thyesa dhjetore, mjafton, pa i kushtuar vëmendje presjeve, t'i shumëzojmë ato si numra të plotë dhe në prodhim të ndahen me presje në anën e djathtë aq shifra dhjetore sa kishte në shumëzues dhe në faktori së bashku.

Në shembullin e fundit, rezultati është një produkt me pesë shifra dhjetore. Nëse nuk kërkohet një saktësi e tillë më e madhe, atëherë bëhet rrumbullakimi i thyesës dhjetore. Kur rrumbullakosni, duhet të përdorni të njëjtin rregull që u tregua për numrat e plotë.

§ 110. Shumëzimi duke përdorur tabela.

Shumëzimi i numrave dhjetorë ndonjëherë mund të bëhet duke përdorur tabela. Për këtë qëllim, mund të përdorni, për shembull, tabelat e shumëzimit të numrave dyshifrorë, përshkrimi i të cilave u dha më herët.

1) Shumëzoni 53 me 1,5.

Ne do ta shumëzojmë 53 me 15. Në tabelë ky prodhim është i barabartë me 795. Ne gjetëm prodhimin e 53 me 15, por faktori ynë i dytë ishte 10 herë më i vogël, që do të thotë se produkti duhet të zvogëlohet për 10 herë, d.m.th.

53 1,5 = 79,5.

2) Shumëzoni 5.3 me 4.7.

Së pari, le të gjejmë produktin 53 me 47 në tabelë, do të jetë 2491. Por meqënëse shumëzuesin dhe shumëzuesin e kemi rritur gjithsej 100 herë, atëherë prodhimi që rezulton është 100 herë më i madh se sa duhet; kështu që ne duhet ta zvogëlojmë këtë produkt me një faktor prej 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Shumëzoni 0,53 me 7,4.

Së pari gjejmë në tabelë prodhimin e 53 me 74; kjo do të jetë 3922. Por meqënëse ne e kemi rritur shumëzuesin me 100 herë dhe shumëzuesin me 10 herë, prodhimi është rritur me 1000 herë; kështu që tani duhet ta zvogëlojmë atë me një faktor prej 1000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Pjesëtimi i numrave dhjetorë.

Ne do të shikojmë ndarjen dhjetore në këtë rend:

1. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër të plotë,

1. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një numër të plotë.

1) Ndani 2.46 me 2.

Pjesëtuam me 2 numra të parë të plotë, pastaj me të dhjetat dhe në fund me të qindtat.

2) Ndani 32.46 me 3.

32,46: 3 = 10,82.

Ndamë 3 dhjetëshe me 3, pastaj filluam të ndajmë 2 njësi me 3; meqenëse numri i njësive të dividentit (2) është më i vogël se pjesëtuesi (3), duhej të vendosnim 0 në herës; më tej, pjesës së mbetur rrënuam 4 të dhjetat dhe ndamë 24 të dhjetat me 3; mori privatisht 8 të dhjetat dhe në fund ndau 6 të qindtat.

3) Ndani 1.2345 me 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Këtu, në herës në radhë të parë, dolën zero numra të plotë, pasi një numër i plotë nuk është i pjesëtueshëm me 5.

4) Ndani 13.58 me 4.

E veçanta e këtij shembulli është se kur kemi marrë 9 të qindtat në mënyrë private, atëherë është gjetur një mbetje e barabartë me 2 të qindtat, ne e ndajmë këtë mbetje në të mijëshe, kemi marrë 20 të qindtat dhe e kemi çuar pjesëtimin deri në fund.

Rregulli. Ndarja e një thyese dhjetore me një numër të plotë kryhet në të njëjtën mënyrë si ndarja e numrave të plotë, dhe mbetjet që rezultojnë shndërrohen në thyesa dhjetore, gjithnjë e më shumë të vogla; ndarja vazhdon derisa pjesa e mbetur të jetë zero.

2. Pjesëtimi i një thyese dhjetore me një thyesë dhjetore.

1) Ndani 2.46 me 0.2.

Ne tashmë dimë se si të ndajmë një thyesë dhjetore me një numër të plotë. Le të mendojmë nëse ky rast i ri i ndarjes mund të reduktohet edhe në atë të mëparshëm? Në një kohë, ne konsideruam një veti të shquar të herësit, e cila konsiston në faktin se ai mbetet i pandryshuar ndërsa rrit ose zvogëlon dividentin dhe pjesëtuesin me të njëjtin numër herë. Ne do të kryenim lehtësisht pjesëtimin e numrave që na ofrohen nëse pjesëtuesi do të ishte një numër i plotë. Për ta bërë këtë, mjafton ta rrisni atë 10 herë, dhe për të marrë koeficientin e saktë, është e nevojshme të rritet dividenti me të njëjtin numër herë, domethënë 10 herë. Atëherë ndarja e këtyre numrave do të zëvendësohet me pjesëtimin e numrave të tillë:

dhe nuk ka nevojë për të bërë ndonjë ndryshim privatisht.

Le të bëjmë këtë ndarje:

Pra 2.46: 0.2 = 12.3.

2) Ndani 1.25 me 1.6.

Pjesëtuesin (1.6) e rrisim me 10 herë; në mënyrë që herësi të mos ndryshojë, e rrisim dividentin me 10 herë; 12 numra të plotë nuk janë të pjesëtueshëm me 16, kështu që ne shkruajmë në herësin 0 dhe pjesëtojmë 125 të dhjetat me 16, marrim 7 të dhjetat në herës dhe pjesa e mbetur është 13. 13 të dhjetat e ndajmë në të qindtat duke caktuar zero dhe 130 të qindtat e ndajmë me 16, etj. Kushtojini vëmendje sa vijon:

a) kur nuk fitohen numra të plotë në herës, atëherë në vend të tyre shkruhen zero numra të plotë;

b) kur pas marrjes së shifrës së dividendit në mbetje, fitohet një numër që nuk pjesëtohet me pjesëtuesin, atëherë në herës shkruhet zero;

c) kur, pasi të jetë hequr shifra e fundit e dividendit, pjesëtimi nuk përfundon, atëherë, duke i caktuar zero mbetjeve, pjesëtimi vazhdon;

d) nëse dividenti është një numër i plotë, atëherë kur pjesëtohet me një thyesë dhjetore, rritja e tij kryhet duke i caktuar zero.

Kështu, për të ndarë një numër me një thyesë dhjetore, duhet të hidhni një presje në pjesëtues, dhe më pas të rrisni dividentin aq herë sa u rrit pjesëtuesi kur u hodh presja në të, dhe më pas të kryeni ndarjen sipas rregulli i pjesëtimit të thyesës dhjetore me një numër të plotë.

§ 112. Herësi i përafërt.

Në paragrafin e mëparshëm kemi marrë parasysh ndarjen e thyesave dhjetore dhe në të gjithë shembujt që kemi zgjidhur, pjesëtimi është sjellë deri në fund, d.m.th., është marrë një herës i saktë. Megjithatë, në shumicën e rasteve herësi i saktë nuk mund të merret, pavarësisht se sa larg e zgjasim pjesëtimin. Këtu është një rast i tillë: Pjestoni 53 me 101.

Ne kemi marrë tashmë pesë shifra në herës, por ndarja nuk ka përfunduar ende dhe nuk ka shpresë se do të përfundojë ndonjëherë, pasi numrat që kemi takuar më parë fillojnë të shfaqen në pjesën e mbetur. Numrat do të përsëriten edhe në herës: padyshim, pas numrit 7, do të shfaqet numri 5, pastaj 2, e kështu me radhë pa fund. Në raste të tilla, ndarja ndërpritet dhe kufizohet në shifrat e para të herësit. Ky privat quhet të përafërta. Si të kryhet ndarja në këtë rast, do ta tregojmë me shembuj.

Le të kërkohet pjesëtimi i 25 me 3. Është e qartë se herësi i saktë, i shprehur si një numër i plotë ose thyesë dhjetore, nuk mund të merret nga një pjesëtim i tillë. Prandaj, ne do të kërkojmë një koeficient të përafërt:

25: 3 = 8 dhe mbetja 1

Koeficienti i përafërt është 8; është, natyrisht, më pak se herësi i saktë, sepse ka një mbetje prej 1. Për të marrë herësin e saktë, duhet t'i shtosh herësit të përafërt të gjetur, pra në 8, thyesën që rezulton nga pjesëtimi i pjesës së mbetur. , e barabartë me 1, me 3; do të jetë një thyesë 1/3. Kjo do të thotë se herësi i saktë do të shprehet si një numër i përzier 8 1 / 3 . Meqenëse 1/3 është një thyesë e duhur, pra një thyesë, më pak se një, atëherë, duke e hedhur poshtë, supozojmë gabim, e cila më pak se një. Privat 8 do herësi i përafërt deri në një me një pengesë. Nëse marrim 9 në vend të 8, atëherë lejojmë gjithashtu një gabim që është më pak se një, pasi nuk do të shtojmë një njësi të tërë, por 2/3. Një testament i tillë privat herësi i përafërt deri në një me tepricë.

Le të marrim një shembull tjetër tani. Le të kërkohet pjesëtimi i 27 me 8. Meqenëse këtu nuk do të marrim një herës të saktë të shprehur si numër i plotë, do të kërkojmë një herës të përafërt:

27: 8 = 3 dhe pjesa e mbetur 3.

Këtu gabimi është 3/8, është më i vogël se një, që do të thotë se herësi i përafërt (3) gjendet deri në një me një pengesë. Vazhdojmë ndarjen: pjesën e mbetur prej 3 e ndajmë në të dhjeta, marrim 30 të dhjetat; Le t'i ndajmë me 8.

Ne u futëm në privat në vend të dhjetat 3 dhe në pjesën e mbetur b të dhjetat. Nëse kufizohemi në numrin 3.3 në veçanti dhe hedhim pjesën e mbetur 6, atëherë do të lejojmë një gabim më pak se një të dhjetën. Pse? Sepse herësi i saktë do të fitohej kur t'i shtonim 3.3 rezultatin e pjesëtimit të 6 të dhjetave me 8; nga kjo ndarje do të ishte 6/80, që është më pak se një e dhjeta. (Kontrollo!) Kështu, nëse kufizohemi në të dhjetat në herës, atëherë mund të themi se kemi gjetur herësin saktë në një të dhjetën(me disavantazh).

Vazhdojmë ndarjen për të gjetur edhe një numër dhjetor. Për ta bërë këtë, ne ndajmë 6 të dhjetat në të qindtat dhe marrim 60 të qindtat; Le t'i ndajmë me 8.

Në privat në vendin e tretë rezultuan 7 dhe në pjesën e mbetur 4 të qindtat; nëse i hedhim, atëherë lejojmë një gabim më të vogël se një e qindta, sepse 4 të qindtat e pjesëtuara me 8 janë më pak se një e qindta. Në raste të tilla, herësi thuhet se gjendet. saktë në një të qindtën(me disavantazh).

Në shembullin që po shqyrtojmë tani, mund të merrni herësin e saktë, të shprehur si thyesë dhjetore. Për ta bërë këtë, mjafton të ndajmë pjesën e fundit, 4 të qindtat, në të mijtë dhe të ndajmë me 8.

Megjithatë, në shumicën dërrmuese të rasteve, është e pamundur të merret një koeficient i saktë dhe duhet të kufizohet në vlerat e tij të përafërta. Tani do të shqyrtojmë një shembull të tillë:

40: 7 = 5,71428571...

Pikat në fund të numrit tregojnë se ndarja nuk është përfunduar, domethënë barazia është e përafërt. Zakonisht barazia e përafërt shkruhet kështu:

40: 7 = 5,71428571.

Kemi marrë herësin me tetë shifra dhjetore. Por nëse nuk kërkohet një saktësi kaq e madhe, njeriu mund të kufizohet në të gjithë pjesën e herësit, d.m.th., në numrin 5 (më saktë, 6); për saktësi më të madhe, mund të merren parasysh të dhjetat dhe herësi të jetë i barabartë me 5,7; nëse për ndonjë arsye kjo saktësi është e pamjaftueshme, atëherë mund të ndalemi në të qindtat dhe të marrim 5,71, etj. Le të shkruajmë koeficientët individualë dhe t'i emërtojmë.

Koeficienti i parë i përafërt deri në një 6.

E dyta » » » deri në një të dhjetën 5.7.

E treta » » » deri në një të qindtën 5.71.

E katërta » » » deri në një të mijtën e 5.714.

Kështu, për të gjetur një herës të përafërt deri në disa, për shembull, në shifrën e 3-të dhjetore (d.m.th., deri në një të mijëtën), ndarja ndalet sapo të gjendet kjo shenjë. Në këtë rast, duhet mbajtur mend rregulli i përcaktuar në § 40.

§ 113. Problemet më të thjeshta për interes.

Pas studimit të thyesave dhjetore, do të zgjidhim edhe disa problema me përqindje.

Këto probleme janë të ngjashme me ato që zgjidhëm në departamentin e thyesave të zakonshme; por tani do t'i shkruajmë të qindtat në formën e thyesave dhjetore, domethënë pa një emërues të caktuar në mënyrë eksplicite.

Para së gjithash, duhet të jeni në gjendje të kaloni lehtësisht nga një fraksion i zakonshëm në një thyesë dhjetore me emërues 100. Për ta bërë këtë, duhet të ndani numëruesin me emëruesin:

Tabela më poshtë tregon se si një numër me simbol % (përqindje) zëvendësohet me një dhjetor me emërues 100:

Le të shqyrtojmë tani disa probleme.

1. Gjetja e përqindjeve të një numri të dhënë.

Detyra 1. Vetëm 1600 njerëz jetojnë në një fshat. Numri i fëmijëve të moshës shkollore është 25% e popullsisë së përgjithshme. Sa fëmijë të moshës shkollore janë në këtë fshat?

Në këtë problem, ju duhet të gjeni 25%, ose 0.25, nga 1600. Problemi zgjidhet duke shumëzuar:

1600 0,25 = 400 (fëmijë).

Prandaj, 25% e 1600 është 400.

Për një kuptim të qartë të kësaj detyre, është e dobishme të kujtojmë se për çdo njëqind të popullsisë ka 25 fëmijë të moshës shkollore. Prandaj, për të gjetur numrin e të gjithë fëmijëve të moshës shkollore, së pari mund të zbuloni se sa qindra janë në numrin 1600 (16), dhe më pas të shumëzoni 25 me numrin e qindra (25 x 16 = 400). Në këtë mënyrë ju mund të kontrolloni vlefshmërinë e zgjidhjes.

Detyra 2. Bankat e kursimeve u japin depozituesve 2% të të ardhurave në vit. Sa të ardhura në vit do të marrë një depozitues që ka depozituar: a) 200 rubla? b) 500 rubla? c) 750 rubla? d) 1000 rubla?

Në të katër rastet, për të zgjidhur problemin, do të jetë e nevojshme të llogaritet 0.02 nga shumat e treguara, d.m.th., secili prej këtyre numrave do të duhet të shumëzohet me 0.02. Le ta bejme:

a) 200 0,02 = 4 (rubla),

b) 500 0,02 = 10 (rubla),

c) 750 0,02 = 15 (rubla),

d) 1000 0,02 = 20 (rubla).

Secili prej këtyre rasteve mund të verifikohet nga konsideratat e mëposhtme. Bankat e kursimeve u japin depozituesve 2% të të ardhurave, pra 0.02 të shumës së vendosur në kursime. Nëse shuma do të ishte 100 rubla, atëherë 0.02 prej saj do të ishte 2 rubla. Kjo do të thotë që çdo njëqind i sjell depozituesit 2 rubla. të ardhura. Prandaj, në secilin prej rasteve të shqyrtuara, mjafton të kuptoni se sa qindra janë në një numër të caktuar dhe të shumëzoni 2 rubla me këtë numër qindra. Në shembullin a) qindra 2, pra

2 2 \u003d 4 (rubla).

Në shembullin d) qindra janë 10, që do të thotë

2 10 \u003d 20 (rubla).

2. Gjetja e një numri sipas përqindjes së tij.

Detyra 1. Në pranverë në shkollë u diplomuan 54 nxënës, që përbën 6% të numrit të përgjithshëm të nxënësve. Sa nxënës ishin në shkollë gjatë vitit të kaluar akademik?

Le të sqarojmë fillimisht kuptimin e këtij problemi. Në shkollë kanë diplomuar 54 nxënës, që është 6% e numrit të përgjithshëm të nxënësve, ose thënë ndryshe, 6 të qindtat (0,06) të të gjithë nxënësve në shkollë. Kjo do të thotë se ne e dimë pjesën e nxënësve të shprehur me numrin (54) dhe thyesën (0.06), dhe nga kjo thyesë duhet të gjejmë numrin e plotë. Kështu, para nesh është një problem i zakonshëm i gjetjes së një numri nga thyesa e tij (§ 90 f. 6). Problemet e këtij lloji zgjidhen me ndarje:

Kjo do të thotë se në shkollë kishte 900 nxënës.

Është e dobishme të kontrolloni probleme të tilla duke zgjidhur problemin e anasjelltë, dmth pas zgjidhjes së problemit, të paktën në mendjen tuaj, duhet të zgjidhni problemin e llojit të parë (gjetja e përqindjes së një numri të caktuar): merrni numrin e gjetur ( 900) siç është dhënë dhe gjeni përqindjen e treguar në problemin e zgjidhur prej tij, përkatësisht:

900 0,06 = 54.

Detyra 2. Familja shpenzon 780 rubla për ushqim gjatë muajit, që është 65% e të ardhurave mujore të babait. Përcaktoni të ardhurat e tij mujore.

Kjo detyrë ka të njëjtin kuptim si ajo e mëparshme. Ai jep një pjesë të të ardhurave mujore, të shprehura në rubla (780 rubla), dhe tregon se kjo pjesë është 65%, ose 0,65, e të ardhurave totale. Dhe e dëshiruara janë të gjitha fitimet:

780: 0,65 = 1 200.

Prandaj, fitimi i dëshiruar është 1200 rubla.

3. Gjetja e përqindjes së numrave.

Detyra 1. Biblioteka e shkollës ka gjithsej 6000 libra. Midis tyre janë 1200 libra për matematikën. Sa përqind e librave të matematikës përbëjnë numrin e përgjithshëm të librave në bibliotekë?

Ne kemi shqyrtuar tashmë (§97) këtë lloj problemi dhe kemi arritur në përfundimin se për të llogaritur përqindjen e dy numrave, duhet të gjeni raportin e këtyre numrave dhe ta shumëzoni atë me 100.

Në detyrën tonë, duhet të gjejmë përqindjen e numrave 1200 dhe 6000.

Së pari gjejmë raportin e tyre dhe më pas e shumëzojmë me 100:

Kështu, përqindja e numrave 1200 dhe 6000 është 20. Me fjalë të tjera, librat e matematikës përbëjnë 20% të numrit të përgjithshëm të të gjithë librave.

Për të kontrolluar, zgjidhim problemin e anasjelltë: gjejmë 20% të 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Detyra 2. Kombinati duhet të marrë 200 tonë qymyr. Tashmë janë dorëzuar 80 ton Sa përqind e qymyrit i është dorëzuar uzinës?

Ky problem pyet se sa përqind është një numër (80) i një tjetri (200). Raporti i këtyre numrave do të jetë 80/200. Le ta shumëzojmë me 100:

Kjo do të thotë se 40% e qymyrit është dorëzuar.

Gjeni shifrën e parë të herësit (rezultati i pjesëtimit). Për ta bërë këtë, ndani shifrën e parë të dividentit me pjesëtuesin. Shkruani rezultatin nën pjesëtuesin.

Në shembullin tonë, shifra e parë e dividendit është 3. Pjestoni 3 me 12. Meqenëse 3 është më pak se 12, atëherë rezultati i pjesëtimit do të jetë 0. Shkruani 0 nën pjesëtuesin - kjo është shifra e parë e herësit.

Shumëzoni rezultatin me pjesëtuesin. Shkruani rezultatin e shumëzimit nën shifrën e parë të dividentit, pasi ky është numri që sapo keni ndarë me pjesëtuesin.

Në shembullin tonë, 0 × 12 = 0, kështu që shkruani 0 nën 3.

Zbrisni rezultatin e shumëzimit nga shifra e parë e dividentit. Shkruani përgjigjen tuaj në një rresht të ri.

Në shembullin tonë: 3 - 0 = 3. Shkruani 3 direkt nën 0.

Lëvizni poshtë shifrën e dytë të dividentit. Për ta bërë këtë, shkruani shifrën tjetër të dividentit pranë rezultatit të zbritjes.

Në shembullin tonë, dividenti është 30. Shifra e dytë e dividentit është 0. Zhvendoseni atë poshtë duke shkruar 0 pranë 3 (rezultati i zbritjes). Do të merrni numrin 30.

Ndani rezultatin me një pjesëtues. Do të gjeni shifrën e dytë të privatit. Për ta bërë këtë, ndani numrin në vijën fundore me pjesëtuesin.

Në shembullin tonë, ndajeni 30 me 12. 30 ÷ 12 = 2 plus pak mbetje (sepse 12 x 2 = 24). Shkruani 2 pas 0 nën pjesëtuesin - kjo është shifra e dytë e koeficientit.
Nëse nuk mund të gjeni një shifër të përshtatshme, përsëritni shifrat derisa rezultati i shumëzimit të çdo shifre me një pjesëtues të jetë më i vogël se dhe më i afërt me numrin e fundit në kolonë. Në shembullin tonë, merrni parasysh numrin 3. Shumëzojeni atë me pjesëtuesin: 12 x 3 = 36. Duke qenë se 36 është më i madh se 30, numri 3 nuk është i përshtatshëm. Tani merrni parasysh numrin 2. 12 x 2 = 24. 24 është më pak se 30, kështu që numri 2 është zgjidhja e saktë.

Përsëritni hapat e mësipërm për të gjetur shifrën tjetër. Algoritmi i përshkruar përdoret në çdo problem të ndarjes së gjatë.

Shumëzoni herësin e dytë me pjesëtuesin: 2 x 12 = 24.
Shkruani rezultatin e shumëzimit (24) nën numrin e fundit në kolonën (30).
Zbrisni numrin më të vogël nga ai më i madh. Në shembullin tonë: 30 - 24 = 6. Shkruani rezultatin (6) në një rresht të ri.

Nëse kanë mbetur shifra në divident që mund të zhvendosen poshtë, vazhdoni procesin e llogaritjes. Përndryshe, vazhdoni në hapin tjetër.

Në shembullin tonë, ju keni lëvizur poshtë shifrës së fundit të dividentit (0). Pra, kaloni në hapin tjetër.

Nëse është e nevojshme, përdorni një pikë dhjetore për të zgjeruar dividentin. Nëse dividenti është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me pjesëtuesin, atëherë në rreshtin e fundit do të merrni numrin 0. Kjo do të thotë se problemi është zgjidhur, dhe përgjigja (në formën e një numri të plotë) shkruhet nën pjesëtuesin. Por nëse ndonjë shifër tjetër përveç 0 është në fund të kolonës, ju duhet të zgjeroni dividentin duke vendosur një pikë dhjetore dhe duke caktuar 0. Kujtoni se kjo nuk e ndryshon vlerën e dividentit.

Në shembullin tonë, numri 6 është në rreshtin e fundit. Prandaj, në të djathtë të 30 (dividend), shkruani një pikë dhjetore dhe më pas shkruani 0. Gjithashtu vendosni një pikë dhjetore pas shifrave të herësit të gjetur, të cilat i shkruani nën pjesëtues (mos shkruani asgjë pas kësaj presjeje akoma!) .

Përsëritni hapat e mësipërm për të gjetur shifrën tjetër. Gjëja kryesore është të mos harroni të vendosni një pikë dhjetore si pas dividentit ashtu edhe pas shifrave të gjetura të privatit. Pjesa tjetër e procesit është e ngjashme me procesin e përshkruar më sipër.

Në shembullin tonë, lëvizni poshtë 0 (që keni shkruar pas presjes dhjetore). Do të merrni numrin 60. Tani pjesëtoni këtë numër me pjesëtuesin: 60 ÷ 12 = 5. Shkruani 5 pas 2 (dhe pas presjes dhjetore) nën pjesëtuesin. Kjo është shifra e tretë e koeficientit. Pra, përgjigja përfundimtare është 2.5 (zero përballë 2 mund të injorohet).

Pjesëtimi me një numër dhjetor është i njëjtë me pjesëtimin me një numër natyror.

Rregulla për pjesëtimin e një numri me një thyesë dhjetore

Për të ndarë një numër me një thyesë dhjetore, është e nevojshme që si në dividend ashtu edhe në pjesëtues të zhvendoset presja në të djathtë aq shifra sa ka në pjesëtuesin pas presjes dhjetore. Pas kësaj, pjesëtojeni me një numër natyror.

Shembuj.

Kryeni pjesëtimin me dhjetore:

Për të ndarë me një thyesë dhjetore, duhet të zhvendosni presjen në të djathtë si në dividend ashtu edhe në pjesëtues, sa ka pas pikës dhjetore në pjesëtues, domethënë me një shenjë. Marrim: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Tani kryejmë ndarjen me një qoshe. Si rezultat, marrim: 35.1: 1.8 = 19.5.

2) 14,76: 3,6

Për të kryer ndarjen e thyesave dhjetore, si në dividend ashtu edhe në pjesëtues, zhvendoseni presjen në të djathtë me një shenjë: 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36. Tani kryejmë një numër natyror. Rezultati: 14.76: 3.6 = 4.1.

Për të kryer pjesëtimin me një thyesë dhjetore të një numri natyror, është e nevojshme që si në dividend ashtu edhe në pjesëtues të zhvendosen në të djathtë aq karaktere sa ka në pjesëtuesin pas presjes dhjetore. Meqenëse presja nuk është shkruar në pjesëtues në këtë rast, ne plotësojmë numrin e munguar të karaktereve me zero: 70: 1.75 \u003d 7000: 175. Ne ndajmë numrat natyrorë që rezultojnë me një cep: 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Për të ndarë një thyesë dhjetore në një tjetër, ne e lëvizim presjen në të djathtë si në dividend ashtu edhe në pjesëtues me aq shifra sa ka në pjesëtuesin pas presjes dhjetore, domethënë me tre shifra. Kështu, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Pjesëtimi me një thyesë dhjetore u zëvendësua nga pjesëtimi me një numër natyror. Ne ndajmë një cep. Kemi: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8