Si të gjeni zonën e një piramide të rregullt të cunguar. Piramida e cunguar

Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë një piramidë të cunguar, do të njihemi me piramidën e saktë të cunguar dhe do të studiojmë vetitë e tyre.

Le të kujtojmë konceptin e një piramide n-gonale duke përdorur shembullin e një piramide trekëndore. Jepet trekëndëshi ABC. Jashtë rrafshit të trekëndëshit merret një pikë P, e lidhur me kulmet e trekëndëshit. Sipërfaqja poliedrike që rezulton quhet piramidë (Fig. 1).

Oriz. 1. Piramida trekëndore

Le ta presim piramidën me një rrafsh paralel me rrafshin e bazës së piramidës. Shifra e përftuar ndërmjet këtyre rrafsheve quhet piramidë e cunguar (Fig. 2).

Oriz. 2. Piramida e cunguar

Elementet thelbësore:

Baza e sipërme;

Baza e poshtme ABC;

Fytyra anësore;

Nëse PH është lartësia e piramidës origjinale, atëherë është lartësia e piramidës së cunguar.

Vetitë e një piramide të cunguar rrjedhin nga metoda e ndërtimit të saj, përkatësisht nga paralelizmi i rrafsheve të bazave:

Të gjitha faqet anësore të një piramide të cunguar janë trapezoide. Konsideroni, për shembull, një fytyrë. Ka vetinë e rrafsheve paralele (duke qenë se rrafshet janë paralele, ato presin faqen anësore të piramidës origjinale ABP përgjatë vijave paralele), në të njëjtën kohë nuk janë paralele. Natyrisht, katërkëndëshi është një trapez, si të gjitha faqet anësore të një piramide të cunguar.

Raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët:

Kemi disa çifte trekëndëshash të ngjashëm me të njëjtin koeficient ngjashmërie. Për shembull, trekëndëshat dhe RAB janë të ngjashëm për shkak të paralelizmit të planeve dhe , koeficientit të ngjashmërisë:

Në të njëjtën kohë, trekëndëshat dhe RCS janë të ngjashëm me koeficientin e ngjashmërisë:

Natyrisht, koeficientët e ngjashmërisë për të tre palët e trekëndëshave të ngjashëm janë të barabartë, kështu që raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët.

Një piramidë e rregullt e cunguar është një piramidë e cunguar e përftuar duke prerë një piramidë të rregullt me një rrafsh paralel me bazën (Fig. 3).

Oriz. 3. Korrigjo piramidën e cunguar

Përkufizimi.

Një piramidë e rregullt quhet piramidë, në bazën e së cilës shtrihet një n-këndor i rregullt dhe kulmi është projektuar në qendër të këtij n-këndëshi (qendra e rrethit të brendashkruar dhe të rrethuar).

Në këtë rast, një katror shtrihet në bazën e piramidës, dhe kulmi është projektuar në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të saj. Piramida e rregullt katërkëndore e cunguar që rezulton ka ABCD - bazën e poshtme, - bazën e sipërme. Lartësia e piramidës origjinale - RO, piramida e cunguar - (Fig. 4).

Oriz. 4. Piramida e rregullt katërkëndore e cunguar

Përkufizimi.

Lartësia e një piramide të cunguar është një pingul i tërhequr nga çdo pikë e njërës bazë në rrafshin e bazës së dytë.

Apotema e piramidës origjinale është RM (M është mesi i AB), apotema e piramidës së cunguar është (Fig. 4).

Përkufizimi.

Apotema e një piramide të cunguar është lartësia e çdo fytyre anësore.

Është e qartë se të gjitha skajet anësore të piramidës së cunguar janë të barabarta me njëra-tjetrën, domethënë, faqet anësore janë trapezoide të barabarta izosceles.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës.

Vërtetim (për një piramidë të rregullt katërkëndore të cunguar - Fig. 4):

Pra, duhet të vërtetojmë:

Sipërfaqja anësore këtu do të përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore - trapezoideve. Meqenëse trapezoidët janë të njëjtë, kemi:

Sipërfaqja e një trapezi izoscelular është prodhimi i gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë, apotema është lartësia e trapezit. Ne kemi:

Q.E.D.

Për një piramidë n-gonale:

Ku n është numri i faqeve anësore të piramidës, a dhe b janë bazat e trapezit, është apotema.

Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar janë të barabarta me 3 cm dhe 9 cm, lartësia - 4 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore.

Oriz. 5. Ilustrim për problemin 1

Zgjidhje. Le të ilustrojmë gjendjen:

E dhënë: , ,

Vizatoni një vijë të drejtë MN përmes pikës O paralele me dy anët e bazës së poshtme, në mënyrë të ngjashme vizatoni një vijë të drejtë përmes pikës (Fig. 6). Meqenëse sheshet dhe konstruksionet janë paralele në bazat e piramidës së cunguar, marrim një trapez të barabartë me faqet anësore. Për më tepër, ana e saj anësore do të kalojë nga mesi i skajeve të sipërme dhe të poshtme të faqeve anësore dhe do të jetë mishërimi i një piramide të cunguar.

Oriz. 6. Ndërtime shtesë

Konsideroni trapezin që rezulton (Fig. 6). Në këtë trapez njihet baza e sipërme, baza e poshtme dhe lartësia. Kërkohet gjetja e faqes anësore, e cila është apotema e piramidës së cunguar. Vizatoni pingul me MN. Le ta heqim NQ pingul nga pika. Ne marrim se baza më e madhe është e ndarë në segmente prej tre centimetrash (). Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë, këmbët në të janë të njohura, ky është një trekëndësh egjiptian, me teoremën e Pitagorës ne përcaktojmë gjatësinë e hipotenuzës: 5 cm.

Tani ekzistojnë të gjithë elementët për përcaktimin e zonës së sipërfaqes anësore të piramidës:

Piramida përshkohet nga një rrafsh paralel me bazën. Duke përdorur shembullin e një piramide trekëndore, provoni se skajet anësore dhe lartësia e piramidës ndahen nga ky rrafsh në pjesë proporcionale.

Dëshmi. Le të ilustrojmë:

Oriz. 7. Ilustrim për problemën 2

Jepet piramida RABC. RO është lartësia e piramidës. Piramida shpërndahet nga një rrafsh, fitohet një piramidë e cunguar, për më tepër. Pika - pika e kryqëzimit të lartësisë së RO me rrafshin e bazës së piramidës së cunguar. Është e nevojshme të vërtetohet:

Çelësi i zgjidhjes është vetia e planeve paralele. Dy rrafshe paralele presin çdo rrafsh të tretë në mënyrë që vijat e kryqëzimit të jenë paralele. Nga këtu: . Paralelizmi i linjave përkatëse nënkupton praninë e katër palëve të trekëndëshave të ngjashëm:

Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve përkatëse. Një tipar i rëndësishëm është se koeficientët e ngjashmërisë për këta trekëndësha janë të njëjtë:

Q.E.D.

Një piramidë e rregullt trekëndore RABC me lartësi dhe anë të bazës shpërndahet nga një plan që kalon nga mesi i lartësisë PH paralel me bazën e ABC. Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të piramidës së cunguar që rezulton.

Zgjidhje. Le të ilustrojmë:

Oriz. 8. Ilustrimi për problemin 3

DIA është një trekëndësh i rregullt, H është qendra e këtij trekëndëshi (qendra e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar). RM është apotema e piramidës së dhënë. - apotema e piramidës së cunguar. Sipas vetive të rrafsheve paralele (dy plane paralele presin çdo rrafsh të tretë në mënyrë që vijat e kryqëzimit të jenë paralele), kemi disa çifte trekëndëshash të ngjashëm me koeficient të barabartë ngjashmërie. Në veçanti, ne jemi të interesuar në lidhjen:

Le të gjejmë NM. Kjo është rrezja e një rrethi të gdhendur në bazë, ne e dimë formulën përkatëse:

Tani, nga trekëndëshi kënddrejtë РНМ, sipas teoremës së Pitagorës, gjejmë RM - apotemën e piramidës origjinale:

Nga raporti fillestar:

Tani ne i dimë të gjithë elementët për gjetjen e sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar:

Pra, u njohëm me konceptet e një piramide të cunguar dhe një piramide të rregullt të cunguar, dhamë përkufizime bazë, morëm parasysh vetitë dhe vërtetuam teoremën mbi sipërfaqen anësore. Mësimi tjetër do të fokusohet në zgjidhjen e problemeve.

Bibliografi

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Gjeometria. Klasa 10-11: një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore (nivelet bazë dhe të profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, Rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
Sharygin I. F. Gjeometri. Klasa 10-11: Një libër shkollor për institucionet arsimore të përgjithshme / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet arsimore të përgjithshme me studim të thelluar dhe profil të matematikës / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 f.: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru().

Detyre shtepie

- Ky është një poliedron, i cili formohet nga baza e piramidës dhe një seksion paralel me të. Mund të themi se një piramidë e cunguar është një piramidë me një majë të prerë. Kjo shifër ka shumë veti unike:

Faqet anësore të piramidës janë trapezoide;
Brinjët anësore të një piramide të rregullt të cunguar janë me të njëjtën gjatësi dhe të prirur nga baza në të njëjtin kënd;
Bazat janë shumëkëndësha të ngjashëm;
Në një piramidë të rregullt të cunguar, fytyrat janë trapezoide identike izoscele, sipërfaqja e së cilës është e barabartë. Ata janë gjithashtu të prirur drejt bazës në një kënd.

Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar është shuma e sipërfaqeve të anëve të saj:

Meqenëse anët e piramidës së cunguar janë trapezoide, do të duhet të përdorni formulën për të llogaritur parametrat zona trapezoide. Për një piramidë të rregullt të cunguar, mund të zbatohet një formulë tjetër për llogaritjen e sipërfaqes. Meqenëse të gjitha anët, faqet dhe këndet e saj në bazë janë të barabarta, është e mundur të zbatohen perimetrat e bazës dhe apotemës, si dhe të nxirret zona përmes këndit në bazë.

Nëse, sipas kushteve në një piramidë të shkurtuar të rregullt, jepet apotema (lartësia e anës) dhe gjatësitë e brinjëve të bazës, atëherë sipërfaqja mund të llogaritet përmes gjysmëproduktit të shumës së perimetrave të bazat dhe apotema:

Le të shohim një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt pesëkëndore. Apotemë l\u003d 5 cm, gjatësia e fytyrës në bazën e madhe është a\u003d 6 cm, dhe fytyra është në bazën më të vogël b\u003d 4 cm. Llogaritni sipërfaqen e piramidës së cunguar.

Së pari, le të gjejmë perimetrat e bazave. Meqenëse na është dhënë një piramidë pesëkëndëshe, kuptojmë se bazat janë pesëkëndëshe. Kjo do të thotë se bazat janë një figurë me pesë anët identike. Gjeni perimetrin e bazës më të madhe:

Në të njëjtën mënyrë, gjejmë perimetrin e bazës më të vogël:

Tani mund të llogarisim sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar. Ne i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

Kështu, ne llogaritëm sipërfaqen e një piramide të rregullt të cunguar përmes perimetrit dhe apotemës.

Një mënyrë tjetër për të llogaritur sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt është formula përmes qosheve në bazë dhe zonës së këtyre bazave.

Le të shohim një shembull të llogaritjes. Mos harroni se kjo formulë vlen vetëm për një piramidë të rregullt të cunguar.

Le të jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Faqja e bazës së poshtme është a = 6 cm, dhe faqja e pjesës së sipërme b = 4 cm. Këndi dykëndor në bazë është β = 60°. Gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.

Së pari, le të llogarisim sipërfaqen e bazave. Meqenëse piramida është e rregullt, të gjitha faqet e bazave janë të barabarta me njëra-tjetrën. Duke qenë se baza është një katërkëndësh, kuptojmë se do të jetë e nevojshme të llogaritet sipërfaqe katrore. Është prodhim i gjerësisë dhe gjatësisë, por në katror, këto vlera janë të njëjta. Gjeni sipërfaqen e bazës më të madhe:

Tani ne përdorim vlerat e gjetura për të llogaritur sipërfaqen anësore.

Duke ditur disa formula të thjeshta, ne llogaritëm lehtësisht sipërfaqen e trapezit anësor të një piramide të cunguar përmes vlerave të ndryshme.

Ky mësim do t'ju ndihmojë të merrni një ide rreth temës "Piramida. Piramidë e rregullt dhe e cunguar. Në këtë mësim, ne do të njihemi me konceptin e një piramide të rregullt, do t'i japim një përkufizim. Më pas vërtetojmë teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt dhe teoremën në sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të cunguar.

Tema: Piramida

Mësimi: Piramida të rregullta dhe të cunguara

Përkufizimi: një piramidë e rregullt n-gonale është një piramidë baza e së cilës është një n-këndor i rregullt dhe lartësia është projektuar në qendër të këtij n-këndëshi (Fig. 1).

Oriz. një

Piramida e rregullt trekëndore

Për të filluar, merrni parasysh ∆ABC (Fig. 2), në të cilën AB=BC=CA (d.m.th., një trekëndësh i rregullt shtrihet në bazën e piramidës). Në një trekëndësh të rregullt, qendra e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar përkojnë dhe janë qendra e vetë trekëndëshit. Në këtë rast, qendra gjendet si më poshtë: gjejmë mesin e AB - C 1, vizatojmë segmentin SS 1, që është mediana, përgjysmuesja dhe lartësia; në mënyrë të ngjashme gjejmë pikën e mesit AC - B 1 dhe vizatojmë segmentin BB 1 . Kryqëzimi i BB 1 dhe CC 1 do të jetë pika O, e cila është qendra e ∆ABC.

Nëse lidhim qendrën e trekëndëshit O me majën e piramidës S, atëherë marrim lartësinë e piramidës SO ⊥ ABC, SO = h.

Duke lidhur pikën S me pikat A, B dhe C, marrim skajet anësore të piramidës.

Ne kemi marrë një piramidë të rregullt trekëndore SABC (Fig. 2).

Piramida. Piramida e cunguar

Piramida quhet shumëfaqësh, njëra nga fytyrat e të cilit është shumëkëndësh ( bazë ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (Fig. 15). Piramida quhet e saktë , nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe maja e piramidës është projektuar në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore në të cilën të gjitha skajet janë të barabarta katërkëndësh .

Brinjë anësore piramidë quhet ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida është distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi quhet apotemë . seksion diagonal Një pjesë e një piramide quhet një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Sipërfaqja anësore piramida quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja e plotë është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.

Teorema

1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.

2. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore kanë gjatësi të barabarta, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar pranë bazës.

3. Nëse në piramidë të gjitha faqet janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë.

Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula është e saktë:

ku V- vëllimi;

S kryesore- zona e bazës;

Hështë lartësia e piramidës.

Për një piramidë të rregullt, formulat e mëposhtme janë të vërteta:

ku fq- perimetri i bazës;

h a- apotemë;

H- lartësia;

S plot

Ana S

S kryesore- zona e bazës;

Vështë vëllimi i një piramide të rregullt.

piramidë e cunguar quhet pjesa e piramidës e mbyllur ndërmjet bazës dhe rrafshit prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Korrigjo piramidën e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt, e mbyllur midis bazës dhe një rrafshi prerës paralel me bazën e piramidës.

themelet piramidë e cunguar - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore - trapezoid. Lartësia piramidë e cunguar quhet distanca ndërmjet bazave të saj. Diagonale Një piramidë e cunguar është një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në të njëjtën faqe. seksion diagonal Një pjesë e një piramide të cunguar quhet një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Për një piramidë të cunguar, formulat janë të vlefshme:

(4)

ku S 1 , S 2 - zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;

S plotështë sipërfaqja e përgjithshme;

Ana Sështë sipërfaqja anësore;

H- lartësia;

Vështë vëllimi i piramidës së cunguar.

Për një piramidë të rregullt të cunguar, formula e mëposhtme është e vërtetë:

ku fq 1 , fq 2 - perimetra bazë;

h a- apotema e një piramide të rregullt të cunguar.

Shembulli 1 Në një piramidë të rregullt trekëndore, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes së skajit anësor me rrafshin e bazës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 18).

Piramida është e rregullt, që do të thotë se baza është një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh. Këndi dihedral në bazë është këndi i prirjes së faqes anësore të piramidës në rrafshin e bazës. Këndi linear do të jetë këndi a ndërmjet dy pingulave: d.m.th. Maja e piramidës është projektuar në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethit të rrethuar dhe rrethi i brendashkruar në trekëndësh ABC). Këndi i prirjes së brinjës anësore (për shembull SB) është këndi ndërmjet vetë skajit dhe projeksionit të tij në rrafshin bazë. Për brinjë SB ky kënd do të jetë këndi SBD. Për të gjetur tangjenten duhet të njihni këmbët KËSHTU QË dhe OB. Lëreni gjatësinë e segmentit BD eshte 3 a. pika O seksioni BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë KËSHTU QË: Nga gjejmë:

Përgjigje:

Shembulli 2 Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndëshe të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë cm dhe cm dhe lartësia është 4 cm.

Zgjidhje. Për të gjetur vëllimin e një piramide të cunguar, ne përdorim formulën (4). Për të gjetur sipërfaqet e bazave, duhet të gjeni anët e katrorëve të bazës, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Kjo do të thotë sipërfaqet e bazave dhe duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:

Përgjigje: 112 cm3.

Shembulli 3 Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore të cunguar, anët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 19).

Faqja anësore e kësaj piramide është një trapezoid isosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazat dhe lartësinë. Bazat jepen me kusht, nuk dihet vetëm lartësia. Gjeni nga ku A 1 E pingul nga një pikë A 1 në rrafshin e bazës së poshtme, A 1 D- pingul nga A 1 në AC. A 1 E\u003d 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Për gjetjen DE do të bëjmë një vizatim shtesë, në të cilin do të përshkruajmë një pamje të sipërme (Fig. 20). Pika O- projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih Fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregullështë rrezja e rrethit të brendashkruar dhe OMështë rrezja e rrethit të brendashkruar:

MK=DE.

Sipas teoremës së Pitagorës nga

Zona anësore e fytyrës:

Përgjigje:

Shembulli 4 Në bazën e piramidës shtrihet një trapez izoscelular, bazat e të cilit a dhe b (a> b). Çdo faqe anësore formon një kënd të barabartë me rrafshin e bazës së piramidës j. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCDështë e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.

Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pika O- projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SODështë projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin bazë. Sipas teoremës mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një figure të sheshtë, marrim:

Në mënyrë të ngjashme, do të thotë Kështu, problemi u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD. Vizatoni një trapezoid ABCD veçmas (Fig. 22). Pika Oështë qendra e një rrethi të gdhendur në një trapez.

Meqenëse një rreth mund të futet në një trapez, atëherë ose Nga teorema e Pitagorës kemi

Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë një piramidë të cunguar, do të njihemi me piramidën e saktë të cunguar dhe do të studiojmë vetitë e tyre.

Oriz. 1. Piramida trekëndore

Le ta presim piramidën me një rrafsh paralel me rrafshin e bazës së piramidës. Shifra e përftuar ndërmjet këtyre rrafsheve quhet piramidë e cunguar (Fig. 2).

Oriz. 2. Piramida e cunguar

Elementet thelbësore:

Baza e sipërme;

Baza e poshtme ABC;

Fytyra anësore;

Nëse PH është lartësia e piramidës origjinale, atëherë është lartësia e piramidës së cunguar.

Vetitë e një piramide të cunguar rrjedhin nga metoda e ndërtimit të saj, përkatësisht nga paralelizmi i rrafsheve të bazave:

Raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët:

Në të njëjtën kohë, trekëndëshat dhe RCS janë të ngjashëm me koeficientin e ngjashmërisë:

Natyrisht, koeficientët e ngjashmërisë për të tre palët e trekëndëshave të ngjashëm janë të barabartë, kështu që raporti i bazave është i njëjtë për të gjithë trapezoidët.

Një piramidë e rregullt e cunguar është një piramidë e cunguar e përftuar duke prerë një piramidë të rregullt me një rrafsh paralel me bazën (Fig. 3).

Oriz. 3. Korrigjo piramidën e cunguar

Përkufizimi.

Oriz. 4. Piramida e rregullt katërkëndore e cunguar

Përkufizimi.

Lartësia e një piramide të cunguar është një pingul i tërhequr nga çdo pikë e njërës bazë në rrafshin e bazës së dytë.

Apotema e piramidës origjinale është RM (M është mesi i AB), apotema e piramidës së cunguar është (Fig. 4).

Përkufizimi.

Apotema e një piramide të cunguar është lartësia e çdo fytyre anësore.

Është e qartë se të gjitha skajet anësore të piramidës së cunguar janë të barabarta me njëra-tjetrën, domethënë, faqet anësore janë trapezoide të barabarta izosceles.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës.

Vërtetim (për një piramidë të rregullt katërkëndore të cunguar - Fig. 4):

Pra, duhet të vërtetojmë:

Sipërfaqja anësore këtu do të përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore - trapezoideve. Meqenëse trapezoidët janë të njëjtë, kemi:

Sipërfaqja e një trapezi izoscelular është prodhimi i gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë, apotema është lartësia e trapezit. Ne kemi:

Q.E.D.

Për një piramidë n-gonale:

Ku n është numri i faqeve anësore të piramidës, a dhe b janë bazat e trapezit, është apotema.

Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore të cunguar janë të barabarta me 3 cm dhe 9 cm, lartësia - 4 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore.

Oriz. 5. Ilustrim për problemin 1

Zgjidhje. Le të ilustrojmë gjendjen:

E dhënë: , ,

Oriz. 6. Ndërtime shtesë

Tani ekzistojnë të gjithë elementët për përcaktimin e zonës së sipërfaqes anësore të piramidës:

Dëshmi. Le të ilustrojmë:

Oriz. 7. Ilustrim për problemën 2

Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve përkatëse. Një tipar i rëndësishëm është se koeficientët e ngjashmërisë për këta trekëndësha janë të njëjtë:

Q.E.D.

Zgjidhje. Le të ilustrojmë:

Oriz. 8. Ilustrimi për problemin 3

Le të gjejmë NM. Kjo është rrezja e një rrethi të gdhendur në bazë, ne e dimë formulën përkatëse:

Tani, nga trekëndëshi kënddrejtë РНМ, sipas teoremës së Pitagorës, gjejmë RM - apotemën e piramidës origjinale:

Nga raporti fillestar:

Tani ne i dimë të gjithë elementët për gjetjen e sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar:

Bibliografi

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Gjeometria. Klasa 10-11: një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore (nivelet bazë dhe të profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, Rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
Sharygin I. F. Gjeometri. Klasa 10-11: Një libër shkollor për institucionet arsimore të përgjithshme / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet arsimore të përgjithshme me studim të thelluar dhe profil të matematikës / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 f.: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.exponenta.ru().

Detyre shtepie