Në rastin e përgjithshëm, kjo detyrë përfshin një qasje krijuese, pasi nuk ka asnjë metodë universale për zgjidhjen e saj. Sidoqoftë, le të përpiqemi të japim disa sugjerime.
Në shumicën dërrmuese të rasteve, zbërthimi i polinomit në faktorë bazohet në pasojën e teoremës së Bezout, domethënë, rrënja gjendet ose zgjidhet dhe shkalla e polinomit zvogëlohet me një duke u pjesëtuar me. Polinomi që rezulton kërkohet për një rrënjë dhe procesi përsëritet deri në zgjerimin e plotë.
Nëse rrënja nuk mund të gjendet, atëherë përdoren metoda specifike të dekompozimit: nga grupimi deri te futja e termave shtesë reciprokisht ekskluzive.
Paraqitja e mëtejshme bazohet në aftësitë e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallëve më të larta me koeficientë të plotë.
Kllapa e faktorit të përbashkët.
Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë, kur termi i lirë është i barabartë me zero, domethënë, polinomi ka formën .
Natyrisht, rrënja e një polinomi të tillë është , domethënë, polinomi mund të përfaqësohet si .
Kjo metodë nuk është gjë tjetër veçse duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët.
Shembull.
Zbërtheni një polinom të shkallës së tretë në faktorë.
Vendimi.
Është e qartë se është rrënja e polinomit, d.m.th. X mund të vendoset në kllapa:
Gjeni rrënjët e një trinomi katror 
Kështu, 
Në krye të faqes
Faktorizimi i një polinomi me rrënjë racionale.
Së pari, merrni parasysh metodën e zgjerimit të një polinomi me koeficientët numër të plotë të formës, koeficienti në shkallën më të lartë është i barabartë me një.
Në këtë rast, nëse polinomi ka rrënjë të plota, atëherë ato janë pjesëtues të termit të lirë.
Shembull.
Vendimi.
Le të kontrollojmë nëse ka rrënjë të plota. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë pjesëtuesit e numrit -18
: . Kjo do të thotë, nëse polinomi ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër numrat e shkruar. Le t'i kontrollojmë këta numra në mënyrë sekuenciale sipas skemës së Hornerit. Komoditeti i tij qëndron edhe në faktin se në fund do të marrim edhe koeficientët e zgjerimit të polinomit: 
dmth, x=2 dhe x=-3 janë rrënjët e polinomit origjinal dhe ai mund të përfaqësohet si produkt:
Mbetet të zgjerohet trinomi katror.
Diskriminuesi i këtij trinomi është negativ, pra nuk ka rrënjë reale.
Përgjigje:
Koment:
në vend të skemës së Horner-it, mund të përdoret zgjedhja e një rrënjë dhe pjesëtimi pasues i një polinomi me një polinom.
Tani konsideroni zgjerimin e një polinomi me koeficientët numër të plotë të formës , dhe koeficienti në shkallën më të lartë nuk është i barabartë me një.
Në këtë rast, polinomi mund të ketë rrënjë fraksionale racionale.
Shembull.
Faktorizoni shprehjen.
Vendimi.
Duke ndryshuar variablin y=2x, kalojmë në një polinom me koeficient të barabartë me një në shkallën më të lartë. Për ta bërë këtë, së pari e shumëzojmë shprehjen me 4
.
Nëse funksioni që rezulton ka rrënjë të plota, atëherë ato janë ndër pjesëtuesit e termit të lirë. Le t'i shkruajmë ato:
Llogaritni në mënyrë sekuenciale vlerat e funksionit g(y) në këto pika deri në arritjen e zeros. 
Janë dhënë 8 shembuj të faktorizimit të polinomeve. Ato përfshijnë shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe bikuadratike, shembuj me polinome të përsëritura dhe shembuj me gjetjen e rrënjëve të numrave të plotë të polinomeve të shkallës së tretë dhe të katërt.
1. Shembuj me zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik
Shembulli 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Vendimi
Hiq x 2
për kllapa:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rrënjët e ekuacionit:
, .
.
Përgjigju
Shembulli 1.2
Faktorizimi i një polinomi të shkallës së tretë:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Vendimi
Ne nxjerrim x nga kllapat:
.
Zgjidhim ekuacionin kuadratik x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminues i saj është.
Meqenëse diskriminuesi është i barabartë me zero, rrënjët e ekuacionit janë shumëfish: ;
.
Nga këtu marrim zbërthimin e polinomit në faktorë:
.
Përgjigju
Shembulli 1.3
Faktorizimi i një polinomi të shkallës së pestë:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Vendimi
Hiq x 3
për kllapa:
.
Zgjidhim ekuacionin kuadratik x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminues i saj është.
Meqenëse diskriminuesi është më i vogël se zero, rrënjët e ekuacionit janë komplekse: ;
, .
Faktorizimi i një polinomi ka formën:
.
Nëse jemi të interesuar të faktorizojmë me koeficientë realë, atëherë:
.
Përgjigju
Shembuj të faktorizimit të polinomeve duke përdorur formula
Shembuj me polinome bikuadratike
Shembulli 2.1
Faktorizoni polinomin bikuadratik:
x 4 + x 2 - 20.
Vendimi
Zbatoni formulat:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).
;
.
Përgjigju
Shembulli 2.2
Faktorizimi i një polinomi që zvogëlohet në një biquadratik:
x 8 + x 4 + 1.
Vendimi
Zbatoni formulat:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):
;
;
.
Përgjigju
Shembulli 2.3 me polinom rekurziv
Faktorizimi i polinomit rekurziv:
.
Vendimi
Polinomi rekurziv ka një shkallë tek. Prandaj ka një rrënjë x = - 1
. Ne e ndajmë polinomin me x - (-1) = x + 1. Si rezultat, marrim:
.
Ne bëjmë një zëvendësim:
, ;
;
;
.
Përgjigju
Shembuj të faktorizimit të polinomeve me rrënjë të plota
Shembulli 3.1
Faktorizimi i një polinomi:
.
Vendimi
Supozoni ekuacionin
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Pra, ne kemi gjetur tre rrënjë:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Meqenëse polinomi origjinal është i shkallës së tretë, ai nuk ka më shumë se tre rrënjë. Meqenëse kemi gjetur tre rrënjë, ato janë të thjeshta. Pastaj
.
Përgjigju
Shembulli 3.2
Faktorizimi i një polinomi:
.
Vendimi
Supozoni ekuacionin
ka të paktën një rrënjë numër të plotë. Atëherë është pjesëtuesi i numrit 2
(një anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
-2, -1, 1, 2
.
Zëvendësoni këto vlera një nga një:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Nëse supozojmë se ky ekuacion ka një rrënjë numër të plotë, atëherë ai është pjesëtues i numrit 2
(një anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
1, 2, -1, -2
.
Zëvendësoni x = -1
:
.
Pra, ne kemi gjetur një rrënjë tjetër x 2
= -1
. Do të ishte e mundur, si në rastin e mëparshëm, të ndajmë polinomin me , por ne do të grupojmë termat:
.
Që nga ekuacioni x 2 + 2 = 0 nuk ka rrënjë reale, atëherë faktorizimi i polinomit ka formën.
Faktorizimi i polinomeve është një transformim identik, si rezultat i të cilit një polinom shndërrohet në një produkt të disa faktorëve - polinomeve ose monomëve.
Ka disa mënyra për të faktorizuar polinomet.
Metoda 1. Kllapa e faktorit të përbashkët.
Ky transformim bazohet në ligjin shpërndarës të shumëzimit: ac + bc = c(a + b). Thelbi i transformimit është që të veçohet faktori i përbashkët në dy komponentët në shqyrtim dhe "të vendoset jashtë" nga kllapat.
Le të faktorizojmë polinomin 28x 3 - 35x 4.
Vendimi.
1. Gjejmë një pjesëtues të përbashkët për elementet 28x3 dhe 35x4. Për 28 dhe 35 do të jetë 7; për x 3 dhe x 4 - x 3. Me fjalë të tjera, faktori ynë i përbashkët është 7x3.
2. Secilin prej elementeve e paraqesim si produkt faktorësh, njëri prej të cilëve
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Kllapa e faktorit të përbashkët
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
Metoda 2. Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. "Mjeshtëria" e zotërimit të kësaj metode është të vëreni në shprehje një nga formulat e shumëzimit të shkurtuar.
Le të faktorizojmë polinomin x 6 - 1.
Vendimi.
1. Në këtë shprehje mund të zbatojmë formulën e ndryshimit të katrorëve. Për ta bërë këtë, ne përfaqësojmë x 6 si (x 3) 2, dhe 1 si 1 2, d.m.th. 1. Shprehja do të marrë formën:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Për shprehjen që rezulton, mund të zbatojmë formulën për shumën dhe ndryshimin e kubeve:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Kështu që,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Grupimi. Metoda e grupimit konsiston në kombinimin e përbërësve të një polinomi në mënyrë të tillë që të jetë e lehtë të kryhen veprime mbi to (mbledhja, zbritja, nxjerrja e një faktori të përbashkët).
Faktorizojmë polinomin x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Vendimi.
1. Gruponi përbërësit në këtë mënyrë: i pari me të dytin dhe i treti me të katërtin.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. Në shprehjen që rezulton, nxjerrim faktorët e përbashkët nga kllapat: x 2 në rastin e parë dhe 5 në të dytin.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Ne nxjerrim faktorin e përbashkët x - 3 dhe marrim:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).
Kështu që,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).
Le të rregullojmë materialin.
Faktoroni polinomin a 2 - 7ab + 12b 2 .
Vendimi.
1. Monomin 7ab e paraqesim si shumë 3ab + 4ab. Shprehja do të marrë formën:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Le të hapim kllapat dhe të marrim:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Grupimi i përbërësve të polinomit në këtë mënyrë: i pari me të 2-tën dhe i 3-ti me të 4-tin. Ne marrim:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Le të nxjerrim faktorët e përbashkët:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Le të nxjerrim faktorin e përbashkët (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).
Kështu që,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Duke marrë parasysh shumëzimin e polinomeve, ne memorizuam disa formula, përkatësisht: formulat për (a + b)², për (a - b)², për (a + b) (a - b), për (a + b)³ dhe për (a – b)³.
Nëse një polinom i dhënë rezulton të përputhet me njërën nga këto formula, atëherë do të jetë e mundur të faktorizohet. Për shembull, polinomi a² - 2ab + b², ne e dimë, është i barabartë me (a - b)² [ose (a - b) (a - b), domethënë, ne arritëm të faktorizojmë a² - 2ab + b² në 2. faktorë]; gjithashtu
Shqyrtoni shembullin e dytë nga këta shembuj. Shohim që polinomi i dhënë këtu i përshtatet formulës së përftuar nga katrori i diferencës së dy numrave (katrori i numrit të parë, minus produktin e dy nga numri i parë dhe i dyti, plus katrorin e numrit të dytë): x 6 është katrori i numrit të parë, dhe për rrjedhojë, vetë numri i parë është x 3, katrori i numrit të dytë është termi i fundit i polinomit të dhënë, pra 1, vetë numri i dytë është, pra, gjithashtu 1; prodhimi i dy nga numri i parë dhe i dyti është termi -2x 3, sepse 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Prandaj, polinomi ynë u përftua duke katrorizuar diferencën midis numrave x 3 dhe 1, d.m.th. është i barabartë deri në (x 3 - 12 . Konsideroni një shembull tjetër të 4-të. Shohim që ky polinom a 2 b 2 - 25 mund të konsiderohet si ndryshimi i katrorëve të dy numrave, domethënë, katrori i numrit të parë është a 2 b 2, prandaj, vetë numri i parë është ab, katrori i numri i dytë është 25, pse vetë numri i dytë është 5. Prandaj, polinomi ynë mund të konsiderohet si i fituar duke shumëzuar shumën e dy numrave me ndryshimin e tyre, d.m.th.
(ab + 5) (ab - 5).
Ndonjëherë ndodh që në një polinom të caktuar termat të mos jenë në rendin me të cilin jemi mësuar, për shembull.
9a 2 + b 2 + 6ab - mendërisht ne mund të riorganizojmë termat e dytë dhe të tretë, dhe atëherë do të na bëhet e qartë se trinomi ynë = (3a + b) 2.
... (riorganizoni mendërisht termat e parë dhe të dytë).
25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 etj.
Konsideroni një polinom tjetër
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Shohim se termi i parë i tij është katrori i numrit a dhe termi i tretë është katrori i numrit 2b, por termi i dytë nuk është prodhimi i dyfishit të numrit të parë dhe i dyti, një prodhim i tillë do të ishte i barabartë me 2 a 2b = 4ab. Prandaj, është e pamundur të zbatohet formula për katrorin e shumës së dy numrave në këtë polinom. Nëse dikush ka shkruar se një 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, atëherë kjo do të ishte e gabuar - duhet të merrni parasysh me kujdes të gjitha kushtet e polinomit përpara se të aplikoni faktorizimin në të me formula.
40. Kombinimi i të dyja metodave. Ndonjëherë, gjatë zbërthimit të polinomeve në faktorë, është e nevojshme të kombinohet teknika e nxjerrjes së faktorit të përbashkët nga kllapat dhe teknika e aplikimit të formulave. Ketu jane disa shembuj:
1. 2a 3 – 2ab 2 . Së pari, nxjerrim faktorin e përbashkët 2a nga kllapat dhe marrim 2a (a 2 - b 2). Faktori a 2 - b 2, nga ana tjetër, zbërthehet sipas formulës në faktorë (a + b) dhe (a - b).
Ndonjëherë është e nevojshme të zbatohet metoda e zgjerimit me formula në mënyrë të përsëritur:
1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)
Shohim se faktori i parë a 2 + b 2 nuk përshtatet me asnjë nga formulat e njohura; për më tepër, duke kujtuar rastet e veçanta të pjesëtimit (Sek. 37), do të vërtetojmë se a 2 + b 2 (shuma e katrorëve të dy numrave) nuk faktorizohet fare. I dyti nga faktorët e marrë a 2 - b 2 (diferenca me katrorin e dy numrave) zbërthehet në faktorë (a + b) dhe (a - b). Kështu që,
41. Zbatimi i rasteve të veçanta të ndarjes. Bazuar në pikën 37, mund të shkruajmë menjëherë se, për shembull,
Merrni parasysh, duke përdorur shembuj specifik, se si të faktorizoni një polinom.
Ne do të zgjerojmë polinomet në përputhje me .
Polinome të faktorizimit:
Kontrolloni nëse ka një faktor të përbashkët. po, është e barabartë me 7cd. Le ta heqim nga kllapa:
Shprehja në kllapa përbëhet nga dy terma. Nuk ka më një faktor të përbashkët, shprehja nuk është një formulë për shumën e kubeve, që do të thotë se zbërthimi ka përfunduar.
Kontrolloni nëse ka një faktor të përbashkët. Nr. Polinomi përbëhet nga tre terma, kështu që ne kontrollojmë nëse ka një formulë katrore të plotë. Dy terma janë katrorët e shprehjeve: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², termi i tretë është i barabartë me dyfishin e prodhimit të këtyre shprehjeve: 2∙5x∙3y=30xy. Pra, ky polinom është një katror i përsosur. Meqenëse produkti i dyfishtë është me një shenjë minus, atëherë kjo është:
Ne kontrollojmë nëse është e mundur që faktori i përbashkët të hiqet nga kllapat. Ekziston një faktor i përbashkët, ai është i barabartë me a. Le ta heqim nga kllapa:
Ka dy terma në kllapa. Kontrollojmë nëse ka një formulë për ndryshimin e katrorëve apo ndryshimin e kubeve. a² është katrori i a, 1=1². Pra, shprehja në kllapa mund të shkruhet sipas formulës së ndryshimit të katrorëve:
Ekziston një faktor i përbashkët, ai është i barabartë me 5. E nxjerrim nga kllapat:
në kllapa janë tre terma. Kontrolloni nëse shprehja është një katror i përsosur. Dy terma janë katrorë: 16=4² dhe a² është katrori i a, termi i tretë është i barabartë me dyfishin e prodhimit të 4 dhe a: 2∙4∙a=8a. Prandaj, është një katror i përsosur. Meqenëse të gjithë termat janë me një shenjë "+", shprehja në kllapa është katrori i plotë i shumës:
Faktori i përbashkët -2x është hequr nga kllapat:
Në kllapa është shuma e dy termave. Kontrollojmë nëse shprehja e dhënë është shuma e kubeve. 64=4³, x³-kub x. Pra, binomi mund të zgjerohet sipas formulës:
Ekziston një faktor i përbashkët. Por, meqenëse polinomi përbëhet nga 4 anëtarë, ne fillimisht do ta nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat. Ne grupojmë termin e parë me të katërtin, në të dytën - me të tretën:
Nga kllapat e para nxjerrim faktorin e përbashkët 4a, nga i dyti - 8b:
Nuk ka ende një shumëzues të përbashkët. Për ta marrë atë, nga kllapat e dyta do të nxjerrim kllapat "-", ndërsa secila shenjë në kllapa do të ndryshojë në të kundërtën:
Tani marrim faktorin e përbashkët (1-3a) nga kllapat:
Në kllapat e dyta ka një faktor të përbashkët 4 (ky është i njëjti faktor që nuk e hoqëm nga kllapat në fillim të shembullit):
Meqenëse polinomi përbëhet nga katër terma, ne kryejmë grupimin. Seminari i parë grupohet me të dytin, i treti me të katërtin:
Nuk ka faktor të përbashkët në kllapat e para, por ekziston një formulë për ndryshimin e katrorëve, në kllapat e dyta faktori i përbashkët është -5:
Është shfaqur një faktor i përbashkët (4m-3n). Le ta heqim nga kllapa.