Pabarazitë katrore, shembuj, zgjidhje. Zgjidhja e pabarazive katrore duke përdorur metodën e intervalit

Mësim dhe prezantim me temën: "Pabarazitë katrore, shembuj zgjidhjesh"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Udhëzues elektronik i studimit “Gjeometria e qartë” për klasat 7-9
Kompleksi arsimor 1C: "Gjeometria, klasa 9"

Djema, ne tashmë dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike. Tani le të mësojmë se si të zgjidhim edhe pabarazitë katrore.
Pabarazi katroreështë një pabarazi e këtij lloji:

$ sëpatë ^ 2 + bx + c> 0 $.

Shenja e pabarazisë mund të jetë çdo, koeficientët a, b, c - çdo numër ($ a ≠ 0 $).
Të gjitha rregullat që përcaktuam për pabarazitë lineare funksionojnë edhe këtu. Përsëritini vetë këto rregulla!

Le të prezantojmë një rregull më të rëndësishëm:
Nëse trinomi $ ax ^ 2 + bx + c $ ka një diskriminues negativ, atëherë nëse zëvendësoni ndonjë vlerë të x, shenja e trinomit do të jetë e njëjtë me shenjën e koeficientit a.

Shembuj të zgjidhjes së pabarazisë katrore

mund të zgjidhet duke vizatuar grafikët ose duke vizatuar intervale. Le të shohim shembuj të zgjidhjeve të pabarazive.

Shembuj.
1. Zgjidh inekuacionin: $ x ^ 2-2x-8
Zgjidhja:
Gjeni rrënjët e ekuacionit $ x ^ 2-2x-8 = 0 $.
$ x_1 = 4 $ dhe $ x_2 = -2 $.

Le të ndërtojmë një grafik të ekuacionit kuadratik. Boshti i abshisave kryqëzohet në pikat 4 dhe -2.
Trinomi ynë katror merr vlera më të vogla se zero ku grafiku i funksionit ndodhet nën boshtin e abshisës.
Duke parë grafikun e funksionit, marrim përgjigjen: $ x ^ 2-2x-8 Përgjigje: $ -2

2. Zgjidhja e pabarazisë: $ 5x-6

Zgjidhja:
Shndërroni pabarazinë: $ -x ^ 2 + 5x-6 Ndajeni pabarazinë me minus një. Të mos harrojmë të ndryshojmë shenjën: $ x ^ 2-5x + 6> 0 $.
Gjeni rrënjët e trinomit: $ x_1 = 2 $ dhe $ x_2 = 3 $.

Le të ndërtojmë një grafik të ekuacionit kuadratik, boshti i abshisave kryqëzohet në pikat 2 dhe 3.


Trinomi ynë katror merr vlera më të mëdha se zero ku grafiku i funksionit ndodhet mbi boshtin e abshisës. Duke parë grafikun e funksionit, marrim përgjigjen: $ 5x-6 Përgjigje: $ x 3 $.

3. Zgjidheni pabarazinë: $ 2 ^ 2 + 2x + 1≥0 $.

Zgjidhja:
Le të gjejmë rrënjët e trinomit tonë, për këtë llogarisim diskriminuesin: $ D = 2 ^ 2-4 * 2 = -4 Diskriminuesi është më i vogël se zero. Le të përdorim rregullin që prezantuam në fillim. Shenja e pabarazisë do të jetë e njëjtë me shenjën e koeficientit të katrorit. Në rastin tonë, koeficienti është pozitiv, që do të thotë se ekuacioni ynë do të jetë pozitiv për çdo vlerë të x.
Përgjigje: Për të gjitha x, pabarazia është më e madhe se zero.

4. Zgjidh inekuacionin: $ x ^ 2 + x-2
Zgjidhja:
Le të gjejmë rrënjët e trinomit dhe t'i vendosim në vijën koordinative: $ x_1 = -2 $ dhe $ x_2 = 1 $.

Nëse $ x> 1 $ dhe $ x Nëse $ x> -2 $ dhe $ x Përgjigje: $ x> -2 $ dhe $ x

Probleme për zgjidhjen e mosbarazimeve katrore

Zgjidh pabarazitë:
a) $ x ^ 2-11x + 30 b) $ 2x + 15≥x ^ 2 $.
c) $ 3x ^ 2 + 4x + 3 d) $ 4x ^ 2-5x + 2> 0 $.

Pabarazia katrore - "FROM dhe TO".Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive katrore, e cila quhet hollësitë. Unë rekomandoj të studioni me kujdes materialin e artikullit pa humbur asgjë. Ju nuk do të jeni në gjendje ta zotëroni artikullin menjëherë, unë rekomandoj ta bëni atë në disa qasje, ka shumë informacion.

Përmbajtja:

Prezantimi. E rëndësishme!

Prezantimi. E rëndësishme!

Pabarazia katrore është një pabarazi e formës:

Nëse merrni një ekuacion kuadratik dhe zëvendësoni shenjën e barazimit me ndonjë nga sa më sipër, ju merrni një pabarazi kuadratike. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë t'i përgjigjesh pyetjes se në cilat vlera të x do të jetë e vërtetë kjo pabarazi. Shembuj:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Pabarazia katrore mund të specifikohet në mënyrë implicite, për shembull:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

Në këtë rast, është e nevojshme të kryhen transformime algjebrike dhe ta sjellin atë në formën standarde (1).

* Koeficientët mund të jenë edhe thyesorë edhe irracionalë, por shembuj të tillë janë të rrallë në kurrikulën shkollore dhe në detyrat USE nuk gjenden fare. Por mos u shqetësoni nëse, për shembull, takoni:

Kjo është gjithashtu një pabarazi katrore.

Së pari, ne do të shqyrtojmë një algoritëm të thjeshtë zgjidhjeje që nuk kërkon të kuptuarit se çfarë është një funksion kuadratik dhe si duket grafiku i tij në planin koordinativ në lidhje me boshtet e koordinatave. Nëse jeni në gjendje të mësoni përmendësh informacionin fort dhe për një kohë të gjatë, duke e përforcuar rregullisht me praktikë, atëherë algoritmi do t'ju ndihmojë. Gjithashtu, nëse, siç thonë ata, duhet të zgjidhni një pabarazi të tillë "menjëherë", atëherë algoritmi do t'ju ndihmojë. Duke e ndjekur atë, ju mund ta zbatoni lehtësisht vendimin.

Nëse jeni në shkollë, atëherë ju rekomandoj fuqimisht që të filloni të studioni artikullin nga pjesa e dytë, e cila tregon të gjithë pikën e zgjidhjes (shih më poshtë nga pika -). Nëse ka një kuptim të thelbit, atëherë nuk do të ketë nevojë të mos mësoni, të mos mësoni përmendësh algoritmin e specifikuar, lehtë mund të zgjidhni shpejt çdo pabarazi katrore.

Sigurisht, shpjegimi duhet të fillohet menjëherë me grafikun e funksionit kuadratik dhe shpjegimin e vetë kuptimit, por unë vendosa ta "ndërtoj" artikullin pikërisht kështu.

Një tjetër pikë teorike! Shikoni formulën për faktorizimin e një trinomi katror:

ku x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik sëpatë 2+ bx+ c = 0

* Për të zgjidhur pabarazinë katrore, do të jetë e nevojshme të faktorizohet trinomi katror.

Algoritmi i paraqitur më poshtë quhet edhe metoda e intervaleve. Është i përshtatshëm për zgjidhjen e pabarazive të formës f(x)>0, f(x)<0 , f(x) ≥0 dhef(x)≤0 ... Ju lutemi vini re se mund të ketë më shumë se dy faktorë, për shembull:

(x – 10) (x + 5) (x – 1) (x + 104) (x + 6) (x – 1)<0

Algoritmi për zgjidhjen. Metoda e intervaleve. Shembuj.

Jepet pabarazia sëpatë 2 + bx+ c> 0 (çdo shenjë).

1. Shkruani ekuacionin kuadratik sëpatë 2 + bx+ c = 0 dhe zgjidhin atë. marrim x 1 dhe x 2- rrënjët e ekuacionit kuadratik.

2. Zëvendësojmë në formulën (2) koeficientin a dhe rrënjët. :

a (x – x 1 )(x – x 2)> 0

3. Përcaktoni intervalet në vijën numerike (rrënjët e ekuacionit ndajnë boshtin numerik në intervale):

4. Përcaktoni "shenjat" në intervalet (+ ose -) duke zëvendësuar një vlerë arbitrare "x" nga çdo interval i marrë në shprehjen:

a (x – x 1 )(x – x 2)

dhe shënojini ato.

5. Mbetet vetëm për të shkruar intervalet me interes për ne, ato janë shënuar:

- shenjë "+", nëse pabarazia ishte "> 0" ose "≥0".

- shenjë "-" nëse pabarazia ishte "<0» или «≤0».

SHËNIM!!! Shenjat në vetë pabarazinë mund të jenë:

të rrepta janë ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Si ndikon kjo në rezultatin e vendimit?

Me shenja strikte të pabarazisë, kufijtë e intervalit NUK përfshihen në zgjidhje, ndërsa në përgjigje vetë intervali shkruhet në formën ( x 1 ; x 2 ) - kllapa.

Për shenjat jo të rrepta të pabarazisë, kufijtë e intervalit përfshihen në zgjidhje, dhe përgjigja shkruhet në formën [ x 1 ; x 2 ] - kllapa katrore.

* Kjo vlen jo vetëm për pabarazitë katrore. Kllapa katrore do të thotë që kufiri i vetë intervalit përfshihet në zgjidhje.

Këtë do ta shihni me shembuj. Le të zbërthejmë disa për të hequr të gjitha pyetjet në lidhje me këtë. Në teori, algoritmi mund të duket disi i ndërlikuar, në fakt, gjithçka është e thjeshtë.

SHEMBULL 1: Zgjidh x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Gjeni rrënjët:

Zëvendësoni koeficientin a

x 2 –60 x+500 = (x – 50) (x – 10)

Mosbarazimin e shkruajmë në formë (x-50) (x-10) ≤ 0

Rrënjët e ekuacionit ndajnë boshtin e numrave në intervale. Le t'i tregojmë ato në vijën numerike:

Ne morëm tre intervale (–∞; 10), (10; 50) dhe (50; + ∞).

Ne përcaktojmë "shenjat" në intervale, e bëjmë këtë duke zëvendësuar vlerat arbitrare të secilit interval të tyre të marrë në shprehjen (x - 50) (x - 10) dhe shikojmë korrespondencën e "shenjës" së marrë me shenjë në pabarazi (x-50) (x-10) ≤ 0:

në x = 2 (x – 50) (x – 10) = 384> 0 është e pasaktë

në x = 20 (x-50) (x-10) = –300 < 0 верно

në x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0 gabim

Zgjidhja është intervali.

Për të gjitha vlerat e x nga ky interval, pabarazia do të jetë e vërtetë.

* Ju lutemi vini re se ne kemi vendosur kllapa katrore.

Për x = 10 dhe x = 50, pabarazia do të jetë gjithashtu e vërtetë, domethënë, kufijtë përfshihen në zgjidhje.

Përgjigje: x∊

Përsëri:

- Kufijtë e intervalit PËRFSHIHEN në zgjidhjen e mosbarazimit kur kushti përmban shenjën ≤ ose ≥ (pabarazi jo e rreptë). Në këtë rast, në skicë, është zakon që rrënjët që rezultojnë të shfaqen me një rreth HATCHED.

- Kufijtë e intervalit NUK PËRFSHIREN në zgjidhjen e inekuacionit kur kushti përmban shenjën.< или >(pabarazi e rreptë). Në këtë rast, është e zakonshme të shfaqet rrënja në skicë me një rreth PASHATED.

SHEMBULL 2: Zgjidh x 2 + 4 x–21 > 0

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Gjeni rrënjët:

Zëvendësoni koeficientin a dhe rrënjët në formulën (2), marrim:

x 2 + 4 x–21 = (x – 3) (x + 7)

Mosbarazimin e shkruajmë në formë (x – 3) (x + 7)> 0.

Rrënjët e ekuacionit ndajnë boshtin e numrave në intervale. Le t'i shënojmë në vijën numerike:

* Pabarazia nuk është e rreptë, prandaj emërtimet e rrënjëve NUK janë të hijezuara. Mori tre intervale (–∞; –7), (–7; 3) dhe (3; + ∞).

Ne përcaktojmë "shenjat" në intervale, e bëjmë këtë duke zëvendësuar vlerat arbitrare të këtyre intervaleve në shprehjen (x – 3) (x + 7) dhe shikojmë korrespondencën me pabarazinë (x – 3) (x + 7)> 0:

në x = –10 (–10–3) (- 10 +7) = 39> 0 e vërtetë

në x = 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно

në x = 10 (10–3) (10 +7) = 119> 0 e vërtetë

Zgjidhja do të jetë dy intervale (–∞; –7) dhe (3; + ∞). Për të gjitha vlerat e x nga këto intervale, pabarazia do të jetë e vërtetë.

* Ju lutemi vini re se kemi vendosur kllapa. Për x = 3 dhe x = –7, pabarazia do të jetë e pasaktë - kufijtë nuk përfshihen në zgjidhje.

Përgjigje: x∊ (–∞; –7) U (3; + ∞)

SHEMBULL 3: Zgjidh – x 2 –9 x–20 > 0

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Gjeni rrënjët:

Zëvendësoni koeficientin a dhe rrënjët në formulën (2), marrim:

– x 2 –9 x–20 = - (x - (- 5)) (x - (- 4)) = - (x + 5) (x + 4)

Mosbarazimin e shkruajmë në formë - (x + 5) (x + 4)> 0.

Rrënjët e ekuacionit ndajnë boshtin e numrave në intervale. Shënim në vijën numerike:

* Pabarazia është e rreptë, prandaj, emërtimet e rrënjëve nuk janë të hijezuara. Mori tre intervale (–∞; –5), (–5; –4) dhe (–4; + ∞).

Ne përcaktojmë "shenja" në intervale, e bëjmë atë me zëvendësim në shprehje - (x + 5) (x + 4) vlerat arbitrare të këtyre intervaleve dhe shikoni korrespondencën me pabarazinë - (x + 5) (x + 4)> 0:

në x = –10 - (–10 + 5) (- 10 +4) = –30< 0 неверно

në x = –4,5 - (–4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 e vërtetë

në x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = –20< 0 неверно

Zgjidhja do të jetë intervali (–5; –4). Për të gjitha vlerat e "x" që i përkasin, pabarazia do të jetë e vërtetë.

* Ju lutemi vini re se kufijtë nuk përfshihen në zgjidhje. Për x = –5 dhe x = –4, pabarazia do të jetë e pasaktë.

KOMENT!

Kur zgjidhim një ekuacion kuadratik, mund të marrim një rrënjë ose nuk do të ketë rrënjë fare, atëherë kur përdoret verbërisht kjo metodë, mund të shfaqen vështirësi në përcaktimin e zgjidhjes.

Përmbledhje e vogël! Metoda është e mirë dhe e përshtatshme për t'u përdorur, veçanërisht nëse jeni të njohur me funksionin kuadratik dhe i njihni vetitë e grafikut të tij. Nëse jo, ju lutemi lexoni, le të vazhdojmë në seksionin tjetër.

Përdorimi i grafikut të një funksioni kuadratik. Rekomandoni!

Kuadratiku është një funksion i formës:

Grafiku i saj është një parabolë, degët e parabolës janë të drejtuara lart ose poshtë:

Grafiku mund të pozicionohet si më poshtë: ai mund të kalojë boshtin x në dy pika, mund ta prekë atë në një pikë (kulmi), nuk mund ta kalojë atë. Më shumë për këtë më vonë.

Tani le ta shohim këtë qasje me një shembull. I gjithë procesi i zgjidhjes përbëhet nga tre faza. Zgjidh pabarazinë x 2 +2 x –8 >0.

Hapi i parë

Zgjidhja e ekuacionit x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Gjeni rrënjët:

Ne morëm x 1 = 2 dhe x 2 = - 4.

Faza e dytë

Ndërtimi i një parabole y =x 2 +2 x–8 sipas pikave:

Pikat - 4 dhe 2 janë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe boshtit të kaut. Është kaq e thjeshtë! Cfare keni bere? E zgjidhëm ekuacionin kuadratik x 2 +2 x–8=0. Shikoni hyrjen e tij në këtë formë:

0 = x 2+ 2x - 8

Zero për ne është vlera e "y". Kur y = 0, marrim abshisat e pikave të prerjes së parabolës me boshtin x. Mund të themi se vlera zero "y" është boshti i oh.

Tani shikoni se cilat vlera të shprehjes x x 2 +2 x – 8 më shumë (ose më pak) zero? Sipas grafikut të parabolës, nuk është e vështirë të përcaktohet, siç thonë ata, gjithçka është në pamje të qartë:

1. Për x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 do të jetë pozitive.

2. Në –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 do të jetë negative.

3. Për x> 2, dega e parabolës shtrihet mbi boshtin x. Me x-në e treguar, tre-termi x 2 +2 x –8 do të jetë pozitive.

Faza e tretë

Me anë të parabolës, ne mund të shohim menjëherë se në çfarë x shprehja x 2 +2 x–8 më i madh se zero, i barabartë me zero, më i vogël se zero. Ky është thelbi i hapit të tretë të zgjidhjes, domethënë, për të parë dhe identifikuar fushat pozitive dhe negative në figurë. Krahasojmë rezultatin e marrë me pabarazinë origjinale dhe shkruajmë përgjigjen. Në shembullin tonë, është e nevojshme të përcaktohen të gjitha vlerat e x në të cilat shprehet x 2 +2 x–8 Mbi zero. Këtë e bëmë në fazën e dytë.

Mbetet për të shkruar përgjigjen.

Përgjigje: x∊ (–∞; –4) U (2; ∞).

Për ta përmbledhur: pasi të kemi llogaritur rrënjët e ekuacionit në hapin e parë, mund të shënojmë pikat e marra në boshtin x (këto janë pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin x). Më pas, ne ndërtojmë në mënyrë skematike një parabolë dhe tashmë mund ta shohim zgjidhjen. Pse skematike? Ne nuk kemi nevojë për një grafik të saktë matematikisht. Dhe imagjinoni, për shembull, nëse rrënjët janë 10 dhe 1500, përpiquni të ndërtoni një grafik të saktë në një fletë në një qelizë me një përmbledhje të tillë vlerash. Lind pyetja! Epo, i morëm rrënjët, mirë, i shënuam në boshtin oh, por skico vendndodhjen e vetë parabolës - me degë lart apo poshtë? Gjithçka është e thjeshtë këtu! Koeficienti në x 2 do t'ju tregojë:

- nëse është më e madhe se zero, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart.

- nëse është më pak se zero, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë.

Në shembullin tonë, është e barabartë me një, domethënë është pozitive.

*Shënim! Nëse pabarazia përmban një shenjë jo të rreptë, domethënë ≤ ose ≥, atëherë rrënjët në vijën numerike duhet të hijezohen, kjo në mënyrë konvencionale do të thotë që kufiri i vetë intervalit përfshihet në zgjidhjen e pabarazisë. Në këtë rast, rrënjët nuk janë të hijezuara (të hequra), pasi pabarazia jonë është e rreptë (ka një shenjë ">"). Për më tepër, në përgjigje, në këtë rast, vendosen kllapa, jo kllapa katrore (kufijtë nuk përfshihen në zgjidhje).

Është shkruar shumë, ka ngatërruar dikë, ndoshta. Por nëse zgjidhni të paktën 5 pabarazi duke përdorur parabola, atëherë nuk ka kufi për admirimin tuaj. Është kaq e thjeshtë!

Pra, me pak fjalë:

1. E shkruajmë pabarazinë dhe e çojmë në atë standard.

2. Shkruani ekuacionin kuadratik dhe zgjidhni atë.

3. Vizatoni boshtin x, shënoni rrënjët që rezultojnë, vizatoni skematikisht një parabolë, degëzohet lart nëse koeficienti në x 2 është pozitiv, ose degëzohet poshtë nëse është negativ.

4. Përcaktoni vizualisht fushat pozitive ose negative dhe shkruani përgjigjen e pabarazisë origjinale.

Le të shohim disa shembuj.

SHEMBULL 1: Zgjidh x 2 –15 x+50 > 0

Hapi i parë.

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Gjeni rrënjët:

Faza e dytë.

Ne ndërtojmë boshtin oh. Le të shënojmë rrënjët e marra. Meqenëse pabarazia jonë është e rreptë, ne nuk do t'i mbulojmë ato. Ne ndërtojmë skematikisht një parabolë, ajo ndodhet me degët e saj lart, pasi koeficienti në x 2 është pozitiv:

Faza e tretë.

Përcaktoni zonat vizualisht pozitive dhe negative, këtu i shënuam ato ngjyra të ndryshme për qartësi, nuk keni nevojë ta bëni këtë.

Ne e shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje: x∊ (–∞; 5) U (10; ∞).

* Shenja U tregon zgjidhjen e bashkimit. Në mënyrë figurative, mund ta shprehni kështu, zgjidhja është intervali "ky" DHE "ky".

SHEMBULL 2: Zgjidh – x 2 + x+20 ≤ 0

Hapi i parë.

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Gjeni rrënjët:

Faza e dytë.

Ne ndërtojmë boshtin oh. Le të shënojmë rrënjët e marra. Meqenëse pabarazia jonë nuk është e rreptë, ne hije përcaktimet e rrënjëve. Skematikisht ndërtojmë një parabolë, ajo ndodhet me degë poshtë, pasi koeficienti në x 2 është negativ (është i barabartë me –1):

Faza e tretë.

Përcaktoni zonat vizualisht pozitive dhe negative. Krahasoni me pabarazinë origjinale (shenja jonë ≤ 0). Pabarazia do të jetë e vërtetë për x ≤ - 4 dhe x ≥ 5.

Ne e shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje: x∊ (–∞; –4] U ∪ [\ frac (2) (3); ∞) \)

Pabarazitë katrore me diskriminues negativ dhe zero

Algoritmi i mësipërm funksionon kur diskriminuesi është më i madh se zero, domethënë ka rrënjë \ (2 \). Çfarë duhet bërë në raste të tjera? Për shembull, të tilla:

\ (1) x ^ 2 + 2x + 9> 0 \)	\ (2) x ^ 2 + 6x + 9≤0 \)	\ (3) -x ^ 2-4x-4> 0 \)	\ (4) -x ^ 2-64<0\)
\ (D = 4-36 = -32<0\)			\ (D = -4 \ cdot 64<0\)

Nëse \ (D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Kjo është shprehja:
\ (x ^ 2 + 2x + 9 \) është pozitive për çdo \ (x \), sepse \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \) - negative për çdo \ (x \), sepse \ (a = -1<0\)

Nëse \ (D = 0 \), atëherë trinomi katror për një vlerë \ (x \) është i barabartë me zero, dhe për të gjitha të tjerat ka një shenjë konstante, e cila përkon me shenjën e koeficientit \ (a \) .

Kjo është shprehja:
\ (x ^ 2 + 6x + 9 \) - është e barabartë me zero për \ (x = -3 \) dhe pozitive për të gjitha x të tjera, pasi \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-4x-4 \) - është e barabartë me zero për \ (x = -2 \) dhe negative për të gjithë të tjerët, sepse \ (a = -1<0\).

Si të gjejmë x për të cilin trinomi katror është i barabartë me zero? Ju duhet të zgjidhni ekuacionin përkatës kuadratik.

Me këtë informacion në mendje, le të zgjidhim pabarazitë katrore:

1) \ (x ^ 2 + 2x + 9> 0 \) \ (D = 4-36 = -32<0\)		Pabarazia, mund të thuhet, na shtron pyetjen: "për cilin \ (x \) është shprehja në të majtë më e madhe se zero?" Më lart, ne kemi zbuluar tashmë se për ndonjë. Në përgjigje, mund të shkruani kështu: "për çdo \ (x \)", por është më mirë të shprehni të njëjtën ide në gjuhën e matematikës.
Përgjigje: \ (x∈ (-∞; ∞) \)
2) \ (x ^ 2 + 6x + 9≤0 \) \ (D = 36-36 = 0 \)		Pyetja e pabarazisë: "për cilin \ (x \) shprehja në të majtë është më e vogël ose e barabartë me zero?" Nuk mund të jetë më pak se zero, por e barabartë me zero është mjaft. Dhe për të zbuluar se në çfarë pretendimi do të ndodhë kjo, ne do të zgjidhim ekuacionin përkatës kuadratik.
		Le të bashkojmë shprehjen tonë me \ (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 \).
		Tani vetëm sheshi na shqetëson. Le të mendojmë së bashku - cili numër në katror është zero? Zero! Kjo do të thotë që katrori i një shprehjeje është zero vetëm nëse vetë shprehja është zero.
\ (x + 3 = 0 \) \ (x = -3 \)		Ky numër do të jetë përgjigja.
Përgjigje: \ (- 3 \)
3) \ (- x ^ 2-4x-4> 0 \) \ (D = 16-16 = 0 \)		Kur shprehja në të majtë është më e madhe se zero? Siç u përmend më lart, shprehja në të majtë është ose negative ose e barabartë me zero, nuk mund të jetë pozitive. Pra, përgjigja nuk është kurrë. Le të shkruajmë "kurrë" në gjuhën e matematikës, duke përdorur simbolin "komplet bosh" - \ (∅ \).
Përgjigje: \ (x∈∅ \)
4) \ (- x ^ 2-64<0\) \ (D = -4 \ cdot 64<0\)		Kur shprehja në të majtë është më e vogël se zero? Eshte gjithmone. Kjo do të thotë se pabarazia vlen për çdo \ (x \).
Përgjigje: \ (x∈ (-∞; ∞) \)

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë ..."
Dhe për ata që janë "shumë të barabartë ...")

Çfarë "pabarazi katrore"? Nuk ka pyetje!) Nëse merrni ndonjë ekuacioni kuadratik dhe zëvendësoni shenjën në të "=" (e barabartë) me çdo ikonë pabarazie ( > ≥ < ≤ ≠ ), marrim një pabarazi katrore. Për shembull:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Epo, e kuptoni idenë ...)

Nuk është më kot që lidha ekuacione dhe pabarazi këtu. Çështja është se hapi i parë në zgjidhje ndonjë pabarazi katrore - të zgjidhë ekuacionin nga i cili është bërë kjo pabarazi. Për këtë arsye, pamundësia për të zgjidhur ekuacionet kuadratike çon automatikisht në një dështim të plotë të pabarazive. A është aludimi i qartë?) Nëse ka ndonjë gjë, shikoni se si të zgjidhni ndonjë ekuacion kuadratik. Gjithçka është e detajuar atje. Dhe në këtë mësim do të trajtojmë veçanërisht pabarazitë.

Pabarazia e gatshme për zgjidhje ka formën: në të majtë - një trinom katror sëpatë 2 + bx + c, në të djathtë - zero. Shenja e pabarazisë mund të jetë absolutisht çdo. Dy shembujt e parë janë këtu tashmë janë gati për një zgjidhje. Shembulli i tretë ende duhet të përgatitet.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi i menjëhershëm i vërtetimit. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Përkufizimi i pabarazisë katrore

Vërejtje 1

Pabarazi katror quhet sepse ndryshorja është në katror. Quhen edhe pabarazitë katrore pabarazitë e shkallës së dytë.

Shembulli 1

Shembull.

$ 7x ^ 2-18x + 3 0 $, $ 11z ^ 2 + 8 \ le 0 $ janë pabarazi katrore.

Siç mund ta shihni nga shembulli, jo të gjithë elementët e pabarazisë së formës $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ janë të pranishëm.

Për shembull, në pabarazinë $ \ frac (5) (11) y ^ 2 + \ sqrt (11) y> 0 $ nuk ka asnjë term të lirë (përmbledhja $ me $), dhe në pabarazinë $ 11z ^ 2 + 8 \ le 0 $ nuk ka term me koeficient $ b $. Pabarazi të tilla janë gjithashtu katrore, por quhen edhe pabarazitë katrore jo të plota... Thjesht do të thotë që koeficientët $ b $ ose $ c $ janë zero.

Metodat për zgjidhjen e pabarazive katrore

Kur zgjidhen pabarazitë katrore, përdoren metodat e mëposhtme themelore:

• grafik;
• metoda e intervaleve;
• alokimi i një katrori të një binomi.

Mënyra grafike

Vërejtje 2

Mënyra grafike për zgjidhjen e pabarazive katrore $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ (ose me shenjën $

Këto intervale janë duke zgjidhur pabarazinë e katrorit.

Metoda e ndarjes

Vërejtje 3

Metoda e intervaleve për zgjidhjen e pabarazive katrore të formës $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ (shenja e pabarazisë mund të jetë gjithashtu $

Zgjidhjet e pabarazisë së katrorit me shenjën $ "" $ - intervale pozitive, me shenja $ "≤" $ dhe $ "≥" $ - intervale negative dhe pozitive (përkatësisht), duke përfshirë pikat që u përgjigjen zerave të trinomit.

Zgjedhja e një katrori të një binomi

Metoda për zgjidhjen e një pabarazie katrore duke izoluar katrorin e një binomi konsiston në kalimin në një pabarazi ekuivalente të formës $ (x-n) ^ 2> m $ (ose me shenjën $

Pabarazitë që zvogëlohen në katror

Vërejtje 4

Shpesh, kur zgjidhen pabarazitë, ato duhet të reduktohen në pabarazitë katrore të formës $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ (shenja e pabarazisë mund të jetë gjithashtu pabarazi $ që zvogëlohen në ato katrore.

Vërejtje 5

Mënyra më e thjeshtë për të reduktuar pabarazitë në ato katrore është të riorganizoni termat në pabarazinë origjinale ose t'i transferoni ato, për shembull, nga ana e djathtë në të majtë.

Për shembull, kur transferojmë të gjithë termat e pabarazisë $ 7x> 6-3x ^ 2 $ nga ana e djathtë në të majtë, marrim një pabarazi katrore të formës $ 3x ^ 2 + 7x-6> 0 $.

Nëse i riorganizojmë termat në anën e majtë të pabarazisë $ 1,5y-2 + 5,3x ^ 2 \ ge 0 $ në rend zbritës të shkallës së ndryshores $ y $, atëherë kjo do të çojë në një ekuivalent pabarazia katrore e formës $ 5,3x ^ 2 + 1,5y-2 \ ge 0 $.

Kur zgjidhin pabarazitë racionale, ata shpesh përdorin reduktimin e tyre në pabarazi katrore. Në këtë rast, është e nevojshme të transferohen të gjithë termat në anën e majtë dhe të shndërrohet shprehja që rezulton në formën e një trinomi katror.

Shembulli 2

Shembull.

Zvogëloni pabarazinë 7 $ \ cdot (x + 0,5) \ cdot x> (3 + 4x) ^ 2-10x ^ 2 + 10 $ në katror.

Zgjidhje.

Ne i transferojmë të gjithë termat në anën e majtë të pabarazisë:

7 $ \ cdot (x + 0,5) \ cdot x- (3 + 4x) ^ 2 + 10x ^ 2-10> 0 $.

Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit dhe duke zgjeruar kllapat, ne thjeshtojmë shprehjen në anën e majtë të pabarazisë:

$ 7x ^ 2 + 3,5x-9-24x-16x ^ 2 + 10x ^ 2-10> 0 $;

$ x ^ 2-21,5x-19> 0 $.

Përgjigju: $ x ^ 2-21,5x-19> 0 $.