Për shembull, për trinomin \ (3x ^ 2 + 2x-7 \), diskriminuesi do të jetë \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). Dhe për trinomin \ (x ^ 2-5x + 11 \), do të jetë \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Diskriminuesi shënohet me shkronjën \ (D \) dhe përdoret shpesh gjatë zgjidhjes. Gjithashtu, nga vlera e diskriminuesit, mund të kuptoni se si duket grafiku përafërsisht (shih më poshtë).

Diskriminues dhe rrënjët e ekuacionit

Vlera diskriminuese tregon sasinë e ekuacionit kuadratik:
- nëse \ (D \) është pozitiv - ekuacioni do të ketë dy rrënjë;
- nëse \ (D \) është e barabartë me zero - vetëm një rrënjë;
- nëse \ (D \) është negative, nuk ka rrënjë.

Kjo nuk ka nevojë të mësohet, është e lehtë të arrihet në një përfundim të tillë, vetëm duke ditur se çfarë nga diskriminuesi (d.m.th., \ (\ sqrt (D) \) hyn në formulën për llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit: \ ( x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) dhe \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilin rast ...

Nëse diskriminuesi është pozitiv

Në këtë rast, rrënja e tij është një numër pozitiv, që do të thotë \ (x_ (1) \) dhe \ (x_ (2) \) do të jenë të ndryshme në kuptim, sepse në formulën e parë \ (\ sqrt (D) \) shtohet , dhe në të dytën, zbritet. Dhe ne kemi dy rrënjë të ndryshme.

Shembull : Gjeni rrënjët e ekuacionit \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Zgjidhje :

Përgjigju : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Nëse diskriminuesi është zero

Dhe sa rrënjë do të ketë nëse diskriminuesi është zero? Le të arsyetojmë.

Formulat rrënjësore duken kështu: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) dhe \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). Dhe nëse diskriminuesi është zero, atëherë rrënja e tij është gjithashtu zero. Pastaj rezulton:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Kjo do të thotë, vlerat e rrënjëve të ekuacionit do të jenë të njëjta, sepse shtimi ose zbritja e zeros nuk ndryshon asgjë.

Shembull : Gjeni rrënjët e ekuacionit \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Zgjidhje :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Ne shkruajmë koeficientët:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Llogaritni diskriminuesin me formulën \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Gjeni rrënjët e ekuacionit
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frak (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frak (4) (2) \) \ (= 2 \)		Ne morëm dy rrënjë identike, kështu që nuk ka kuptim t'i shkruajmë veçmas - i shkruajmë si një.

Përgjigju : \ (x = 2 \)

Me këtë program matematikor, mundeni zgjidhni ekuacionin kuadratik.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu shfaq procesin e zgjidhjes në dy mënyra:
- duke përdorur diskriminuesin
- duke përdorur teoremën e Vietës (nëse është e mundur).

Për më tepër, përgjigja shfaqet e saktë, jo e përafërt.
Për shembull, për ekuacionin \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), përgjigjja shfaqet në këtë formë:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ dhe jo si kjo: \ (x_1 = 0,247; \ katër x_2 = -0,05 \)

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, kur kontrollojnë njohuritë para provimit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju që të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me një zgjidhje të detajuar.

Në këtë mënyrë ju mund të zhvilloni mësimin tuaj dhe/ose mësimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një polinomi katror, ​​ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi katror

Çdo shkronjë latine mund të përdoret si variabël.
Për shembull: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore nga e tëra mund të ndahet ose me një pikë ose me presje.
Për shembull, mund të vendosni numra dhjetorë si kjo: 2.5x - 3.5x ^ 2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të përdoret si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga fraksioni me një ampersand: &
Hyrja: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultati: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Kur futni një shprehje mund të përdoren kllapa... Në këtë rast, kur zgjidhet një ekuacion kuadratik, shprehja e paraqitur fillimisht thjeshtohet.
Për shembull: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5v-10 & 1/2)

=0

Vendosni

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk ishin ngarkuar dhe programi mund të mos funksionojë.
Ndoshta e keni aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz që duan të zgjidhin problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Pas disa sekondash, zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Prisni ju lutem sekondë...

nëse ti vërejti një gabim në vendim, atëherë mund të shkruani për këtë në formularin e komenteve.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni dhe çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Ekuacioni kuadratik dhe rrënjët e tij. Ekuacionet kuadratike jo të plota

Secili prej ekuacioneve
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ katërkëndësh 8x ^ 2-7x = 0, \ katër x ^ 2- \ frak (4) (9) = 0 \)
ka formën
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë numra.
Në ekuacionin e parë a = -1, b = 6 dhe c = 1,4, në të dytin a = 8, b = -7 dhe c = 0, në të tretin a = 1, b = 0 dhe c = 4/9. Ekuacione të tilla quhen ekuacionet kuadratike.

Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \ (a \ neq 0 \).

Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b - koeficienti i dytë, dhe numri c - termi i lirë.

Në secilin prej ekuacioneve të formës ax 2 + bx + c = 0, ku \ (a \ neq 0 \), fuqia më e madhe e ndryshores x është katrori. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.

Vini re se një ekuacion kuadratik quhet gjithashtu një ekuacion i shkallës së dytë, pasi ana e majtë e tij është një polinom i shkallës së dytë.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti në x 2 është 1 ekuacioni kuadratik i reduktuar... Për shembull, ekuacionet kuadratike të reduktuara janë ekuacionet
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ katër x ^ 2-6x = 0, \ katër x ^ 2-8 = 0 \)

Nëse në ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0 të paktën njëri nga koeficientët b ose c është i barabartë me zero, atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacioni kuadratik jo i plotë... Pra, ekuacionet -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 janë ekuacione kuadratike jo të plota. Në të parën prej tyre b = 0, në të dytën c = 0, në të tretën b = 0 dhe c = 0.

Ekuacionet kuadratike jo të plota janë tre llojesh:
1) sëpatë 2 + c = 0, ku \ (c \ neq 0 \);
2) sëpatë 2 + bx = 0, ku \ (b \ neq 0 \);
3) sëpatë 2 = 0.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të secilit prej këtyre llojeve.

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 për \ (c \ neq 0 \), transferoni termin e tij të lirë në anën e djathtë dhe ndani të dy anët e ekuacionit me a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Shigjeta djathtas x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Meqenëse \ (c \ neq 0 \), atëherë \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Nëse \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

Nëse \ (- \ frac (c) (a) Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + bx = 0 me \ (b \ neq 0 \) faktorizoni anën e majtë të tij në faktorë dhe merrni ekuacionin
\ (x (sëpatë + b) = 0 \ Shigjeta djathtas \ majtas \ (\ fillojë (vargu) (l) x = 0 \\ sëpatë + b = 0 \ fund (vargu) \ djathtas. \ Shigjeta djathtas \ majtas \ (\ fillojë (vargu) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ fundi (vargu) \ djathtas. \)

Prandaj, një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 + bx = 0 për \ (b \ neq 0 \) ka gjithmonë dy rrënjë.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 = 0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 = 0 dhe për këtë arsye ka një rrënjë unike 0.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të shqyrtojmë tani se si zgjidhen ekuacionet kuadratike në të cilat të dy koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero.

E zgjidhim ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme dhe si rezultat marrim formulën për rrënjët. Atëherë kjo formulë mund të zbatohet për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0

Duke i pjesëtuar të dyja pjesët e tij me a, marrim ekuacionin ekuivalent të reduktuar kuadratik
\ (x ^ 2 + \ frak (b) (a) x + \ frak (c) (a) = 0 \)

Ne e transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorin e binomit:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ majtas (\ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2- \ majtas (\ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Shigjeta djathtas \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ majtas (\ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2 = \ majtas (\ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Shigjeta djathtas \) \ (\ majtas (x + \ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Shigjeta djathtas \ majtas (x + \ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Shigjeta djathtas \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Shigjeta djathtas \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Shprehja radikale quhet diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 (latinisht "diskriminues" është një diskriminues). Përcaktohet me shkronjën D, d.m.th.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Tani, duke përdorur shënimin e diskriminuesit, ne rishkruajmë formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), ku \ (D = b ^ 2-4ac \)

Është e qartë se:
1) Nëse D> 0, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
2) Nëse D = 0, atëherë ekuacioni kuadratik ka një rrënjë \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Nëse D Kështu, në varësi të vlerës së diskriminuesit, ekuacioni kuadratik mund të ketë dy rrënjë (për D> 0), një rrënjë (për D = 0) ose të mos ketë rrënjë (për D Kur zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, këshillohet të veprohet si më poshtë:
1) llogaritni diskriminuesin dhe krahasoni atë me zero;
2) nëse diskriminuesi është pozitiv ose i barabartë me zero, atëherë përdorni formulën e rrënjës, nëse diskriminuesi është negativ, atëherë shkruani se nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Ekuacioni i dhënë kuadratik ax 2 -7x + 10 = 0 ka rrënjët 2 dhe 5. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi është 10. Shohim që shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me të kundërtën shenjë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Çdo ekuacion kuadratik i dhënë që ka rrënjë ka këtë veti.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të dhënë është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

ato. Teorema e Vietës thotë se rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q = 0 kanë vetinë:
\ (\ majtas \ (\ fillojë (vargu) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ fundi (vargu) \ djathtas. \)

Kjo temë mund të duket e ndërlikuar në fillim për shkak të formulave të shumta të vështira. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë regjistrime të gjata, por edhe rrënjët gjenden përmes diskriminuesit. Janë tre formula të reja në total. Nuk është e lehtë të kujtosh. Kjo është e mundur vetëm pas zgjidhjes së shpeshtë të ekuacioneve të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e ekuacionit kuadratik

Këtu propozohet regjistrimi i qartë i tyre, kur së pari regjistrohet shkalla më e lartë dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur kushtet janë jashtë funksionit. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë shënimin. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto emërtime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në rekordin e mëposhtëm.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të shënohet kjo formulë me numrin një.

Kur jepet ekuacioni, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

• do të ketë dy rrënjë në zgjidhje;
• përgjigja është një numër;
• ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të mos jetë sjellë deri në fund, është e vështirë të kuptohet se cila prej opsioneve do të bjerë jashtë në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Detyrat mund të përmbajnë të dhënat e tyre të ndryshme. Ato nuk do të duken gjithmonë si një formulë e përgjithshme kuadratike. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është një ekuacion i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka ndryshe. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat në të cilët koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast, formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për një formë jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ka vetëm dy lloje, përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy dhe e dyta numri tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht nga formula për ekuacionin kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientëve në këtë formulë, mund të merrni numra me shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, rrënjët e ekuacionit kuadratik do të mungojnë. Nëse është e barabartë me zero, përgjigja do të jetë një.

Si zgjidhet një ekuacion i plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështje tashmë ka filluar. Sepse së pari duhet të gjesh diskriminuesin. Pasi të jetë konstatuar se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre dihet, duhet të përdorni formulat për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni këtë formulë.

Meqenëse përmban shenjën "±", do të ketë dy vlera. Shprehja e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet në një mënyrë tjetër.

Formula numër pesë. I njëjti regjistrim tregon se nëse diskriminuesi është zero, atëherë të dy rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike nuk është përpunuar ende, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë, ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Madje nuk ka nevojë për formula shtesë. Dhe nuk do t'ju duhen ato që tashmë janë regjistruar për diskriminuesin dhe të panjohurin.

Së pari, merrni parasysh ekuacionin jo të plotë numër dy. Në këtë barazi, supozohet që të merret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një faktor që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta fitohet duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni jo i plotë numër tre zgjidhet duke transferuar numrin nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë. Atëherë ju duhet të ndani me faktorin përpara të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më pas, janë shkruar disa veprime për t'ju ndihmuar të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet e pakujdesshme. Këto mangësi janë arsyeja e notave të dobëta gjatë studimit të temës së gjerë “Ekuacionet kuadratike (klasa 8)”. Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

• Së pari, duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Kjo do të thotë, fillimisht termi me shkallën më të lartë të ndryshores, dhe më pas - pa shkallën dhe i fundit - vetëm një numër.

• Nëse një minus shfaqet para koeficientit "a", atëherë mund të komplikojë punën për një fillestar për të studiuar ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe atë. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjitha termat do të ndryshojnë shenjën e tyre në të kundërtën.

• Në të njëjtën mënyrë, rekomandohet të hiqni qafe fraksionet. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur për të anuluar emëruesit.

Shembuj të

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet kuadratike të mëposhtme:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Ekuacioni i parë: x 2 - 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pas largimit nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pas transferimit të 30 në anën e djathtë të barazisë: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numra: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Ekuacioni i tretë: 15 - 2x - x 2 = 0. Në vijim, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë duke i rishkruar ato në formën standarde: - x 2 - 2x + 15 = 0. Tani është koha për të përdorur këshillën e dytë të dobishme dhe shumëzo gjithçka me minus një ... Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Sipas formulës së katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në faktin se duhet të sillni terma të ngjashëm përpara se të hapni kllapat. Në vend të së parës do të ketë një shprehje të tillë: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet ky rekord: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e tillë, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. U kthye në jo të plotë ... E ngjashme me të tashmë është konsideruar pak më e lartë. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.

Ne vazhdojmë të studiojmë temën " zgjidhjen e ekuacioneve". Tashmë jemi takuar me ekuacione lineare dhe po kalojmë për t'u njohur ekuacionet kuadratike.

Së pari, ne do të analizojmë se çfarë është një ekuacion kuadratik, si shkruhet ai në formë të përgjithshme dhe do të japim përkufizime përkatëse. Pas kësaj, duke përdorur shembuj, do të analizojmë në detaje se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Më pas kalojmë në zgjidhjen e ekuacioneve të plota, marrim formulën për rrënjët, njihemi me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik dhe shqyrtojmë zgjidhjet e shembujve tipikë. Së fundi, le të gjurmojmë marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Llojet e tyre

Së pari ju duhet të kuptoni qartë se çfarë është një ekuacion kuadratik. Prandaj, është logjike të fillojmë të flasim për ekuacionet kuadratike me përkufizimin e një ekuacioni kuadratik, si dhe përkufizimet përkatëse. Pas kësaj, ju mund të konsideroni llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike: të reduktuara dhe jo të reduktuara, si dhe ekuacione të plota dhe jo të plota.

Përkufizimi dhe shembuj të ekuacioneve kuadratike

Përkufizimi.

Ekuacioni kuadratikËshtë një ekuacion i formës a x 2 + b x + c = 0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a është jozero.

Le të themi menjëherë se ekuacionet kuadratike shpesh quhen ekuacione të shkallës së dytë. Kjo është për shkak se ekuacioni kuadratik është ekuacioni algjebrik shkallë e dytë.

Përkufizimi i shëndoshë na lejon të japim shembuj të ekuacioneve kuadratike. Pra, 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, etj. Janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi.

Numrat a, b dhe c quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik a x 2 + b x + c = 0, dhe koeficienti a quhet i pari, ose më i larti, ose koeficienti në x 2, b është koeficienti i dytë, ose koeficienti në x, dhe c është termi i lirë.

Për shembull, le të marrim një ekuacion kuadratik të formës 5x2 −2x3 = 0, këtu koeficienti kryesor është 5, koeficienti i dytë është −2, dhe ndërprerja është −3. Vini re se kur koeficientët b dhe / ose c janë negativ, si në shembullin e sapo dhënë, forma e shkurtër e ekuacionit kuadratik është 5 x 2 −2 x − 3 = 0, jo 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Vlen të përmendet se kur koeficientët a dhe / ose b janë të barabartë me 1 ose −1, atëherë ata zakonisht nuk janë të pranishëm në mënyrë eksplicite në ekuacionin kuadratik, gjë që është për shkak të veçorive të shkrimit të tillë. Për shembull, në një ekuacion kuadratik y 2 −y + 3 = 0, koeficienti kryesor është një, dhe koeficienti në y është −1.

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe jo të reduktuara dallohen në varësi të vlerës së koeficientit prijës. Le të japim përkufizimet përkatëse.

Përkufizimi.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është 1 ekuacioni kuadratik i reduktuar... Përndryshe ekuacioni kuadratik është i pareduktuar.

Sipas këtij përkufizimi, ekuacionet kuadratike x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, etj. - dhënë, në secilën prej tyre koeficienti i parë është i barabartë me një. Dhe 5 x 2 −x − 1 = 0, etj. - ekuacionet kuadratike të pareduktuara, koeficientët kryesorë të tyre janë të ndryshëm nga 1.

Nga çdo ekuacion kuadratik jo i reduktuar, duke i pjesëtuar të dyja pjesët e tij me koeficientin kryesor, mund të shkoni te ai i reduktuar. Ky veprim është një transformim ekuivalent, domethënë, ekuacioni kuadratik i reduktuar i marrë në këtë mënyrë ka të njëjtat rrënjë me ekuacionin kuadratik të pareduktuar origjinal, ose, si ai, nuk ka rrënjë.

Le të analizojmë me shembull se si kryhet kalimi nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembull.

Nga ekuacioni 3 x 2 + 12 x − 7 = 0, shkoni në ekuacionin përkatës të reduktuar kuadratik.

Zgjidhje.

Mjafton të ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me faktorin kryesor 3, ai është jozero, kështu që mund ta kryejmë këtë veprim. Kemi (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, që është e njëjtë, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, dhe përtej (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, prej nga. Pra, morëm ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili është ekuivalent me atë origjinal.

Përgjigje:

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik përmban kushtin a ≠ 0. Ky kusht është i nevojshëm në mënyrë që ekuacioni a x 2 + b x + c = 0 të jetë saktësisht kuadratik, pasi në a = 0 në fakt bëhet një ekuacion linear i formës b x + c = 0.

Sa i përket koeficientëve b dhe c, ata mund të jenë zero, si veçmas ashtu edhe së bashku. Në këto raste, ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.

Përkufizimi.

Quhet ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0 i paplotë nëse të paktën njëri nga koeficientët b, c është i barabartë me zero.

Nga ana tjetër

Përkufizimi.

Ekuacioni i plotë kuadratikËshtë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët janë jozero.

Këta emra nuk janë dhënë rastësisht. Kjo do të bëhet e qartë nga konsideratat e mëposhtme.

Nëse koeficienti b është i barabartë me zero, atëherë ekuacioni kuadratik merr formën a · x 2 + 0 · x + c = 0, dhe është ekuivalent me ekuacionin a · x 2 + c = 0. Nëse c = 0, domethënë, ekuacioni kuadratik ka formën a x 2 + b x + 0 = 0, atëherë ai mund të rishkruhet si x 2 + b x = 0. Dhe me b = 0 dhe c = 0, marrim ekuacionin kuadratik a · x 2 = 0. Ekuacionet që rezultojnë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e majta të tyre nuk përmbajnë as një term me ndryshore x, as një term të lirë ose të dyja. Prandaj emri i tyre - ekuacione kuadratike jo të plota.

Pra, ekuacionet x 2 + x + 1 = 0 dhe −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 janë shembuj të ekuacioneve të plota kuadratike, dhe x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Nga informacioni në paragrafin e mëparshëm rezulton se ka tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota:

• a · x 2 = 0, korrespondon me koeficientët b = 0 dhe c = 0;
• a x 2 + c = 0 kur b = 0;
• dhe a x 2 + b x = 0 kur c = 0.

Le të analizojmë me radhë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota të secilit prej këtyre llojeve.

a x 2 = 0

Le të fillojmë me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabartë me zero, domethënë me ekuacione të formës a · x 2 = 0. Ekuacioni a · x 2 = 0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 = 0, i cili përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dy pjesët e tij me një numër jozero a. Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 = 0 është zero, pasi 0 2 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet, në të vërtetë, për çdo numër jozero p, vlen pabarazia p 2> 0, nga ku rrjedh se për p ≠ 0 barazia p 2 = 0 nuk arrihet kurrë.

Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a · x 2 = 0 ka një rrënjë të vetme x = 0.

Si shembull, le të japim zgjidhjen e ekuacionit kuadratik jo të plotë −4 · x 2 = 0. Është ekuivalent me ekuacionin x 2 = 0, rrënja e vetme e tij është x = 0, prandaj, ekuacioni origjinal ka një rrënjë unike zero.

Një zgjidhje e shkurtër në këtë rast mund të formulohet si më poshtë:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Tani le të shqyrtojmë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota, në të cilat koeficienti b është i barabartë me zero, dhe c ≠ 0, domethënë ekuacionet e formës a x 2 + c = 0. Ne e dimë se transferimi i një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, është e mundur të kryhen transformimet ekuivalente të mëposhtme të ekuacionit kuadratik jo të plotë a x 2 + c = 0:

• lëvizni c në anën e djathtë, që jep ekuacionin a x 2 = -c,
• dhe ndajmë të dyja pjesët e tij me a, marrim.

Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij. Në varësi të vlerave të a dhe c, vlera e shprehjes mund të jetë negative (për shembull, nëse a = 1 dhe c = 2, atëherë) ose pozitive, (për shembull, nëse a = -2 dhe c = 6 , atëherë), nuk është e barabartë me zero, pasi sipas hipotezës c ≠ 0. Le të shqyrtojmë veçmas rastet dhe.

Nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ. Nga kjo rrjedh se kur, atëherë për çdo numër p barazia nuk mund të jetë e vërtetë.

Nëse, atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, nëse mbani mend, atëherë rrënja e ekuacionit menjëherë bëhet e qartë, është një numër, pasi. Është e lehtë të merret me mend se numri është gjithashtu rrënja e ekuacionit, në të vërtetë,. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, të cilat mund të tregohen, për shembull, me metodën kontradiktore. Le ta bejme.

Le të shënojmë rrënjët e ekuacionit të sapo tingëlluar si x 1 dhe −x 1. Supozoni se ekuacioni ka një rrënjë më shumë x 2 të ndryshme nga rrënjët e treguara x 1 dhe −x 1. Dihet se zëvendësimi i rrënjëve të tij në një ekuacion në vend të x e kthen ekuacionin në një barazi të vërtetë numerike. Për x 1 dhe −x 1 kemi, dhe për x 2 kemi. Vetitë e barazive numerike na lejojnë të kryejmë zbritjen term pas termi të barazive numerike të vërteta, kështu që zbritja e pjesëve përkatëse të barazive jep x 1 2 −x 2 2 = 0. Vetitë e veprimeve me numra ju lejojnë të rishkruani barazinë që rezulton si (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ne e dimë se prodhimi i dy numrave është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është zero. Prandaj, nga barazia e fituar rrjedh se x 1 - x 2 = 0 dhe / ose x 1 + x 2 = 0, e cila është e njëjtë, x 2 = x 1 dhe / ose x 2 = -x 1. Kështu arritëm në një kontradiktë, pasi në fillim thamë se rrënja e ekuacionit x 2 është e ndryshme nga x 1 dhe −x 1. Kjo dëshmon se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç dhe.

Le të përmbledhim informacionin e këtij artikulli. Ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 + c = 0 është ekuivalent me ekuacionin që

• nuk ka rrënjë nëse,
• ka dy rrënjë dhe nëse.

Shqyrtoni shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të formës a · x 2 + c = 0.

Le të fillojmë me ekuacionin kuadratik 9 x 2 + 7 = 0. Pas transferimit të termit të lirë në anën e djathtë të ekuacionit, ai do të marrë formën 9 · x 2 = -7. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9, arrijmë në. Meqenëse një numër negativ është marrë në anën e djathtë, ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik 9 · x 2 + 7 = 0 nuk ka rrënjë.

Zgjidh një tjetër ekuacion kuadratik jo të plotë −x 2 + 9 = 0. Zhvendoseni nëntën në të djathtë: −x 2 = −9. Tani i ndajmë të dyja anët me -1, marrim x 2 = 9. Në anën e djathtë është një numër pozitiv, nga i cili konkludojmë se ose. Pastaj shkruajmë përgjigjen përfundimtare: ekuacioni jo i plotë kuadratik −x 2 + 9 = 0 ka dy rrënjë x = 3 ose x = −3.

a x 2 + b x = 0

Mbetet të merremi me zgjidhjen e llojit të fundit të ekuacioneve kuadratike jo të plota për c = 0. Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 + b x = 0 ju lejon të zgjidhni metoda e faktorizimit... Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton të faktorizojmë faktorin e përbashkët x. Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni kuadratik jo i plotë origjinal në një ekuacion ekuivalent të formës x · (a · x + b) = 0. Dhe ky ekuacion është i barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve x = 0 dhe a x + b = 0, i fundit prej të cilëve është linear dhe ka një rrënjë x = -b / a.

Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 + b x = 0 ka dy rrënjë x = 0 dhe x = −b / a.

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen e një shembulli specifik.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Lëvizja e x nga kllapa jep ekuacionin. Është ekuivalente me dy ekuacione x = 0 dhe. Ne zgjidhim ekuacionin linear që rezulton:, dhe pasi pjesëtojmë numrin e përzier me një fraksion të zakonshëm, gjejmë. Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë x = 0 dhe.

Pas marrjes së praktikës së nevojshme, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla mund të shkruhen shkurtimisht:

Përgjigje:

x = 0,.

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ekziston një formulë rrënjësore për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Le të shkruajmë formula kuadratike: , ku D = b 2 −4 a c- të ashtuquajturat diskriminues kuadratik... Shënimi në thelb do të thotë këtë.

Është e dobishme të dihet se si është marrë formula e rrënjës dhe si zbatohet kur gjenden rrënjët e ekuacioneve kuadratike. Le ta kuptojmë.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Supozoni se duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Le të bëjmë disa transformime ekuivalente:

• Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me një numër jozero a, si rezultat marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar.
• Tani zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë të saj:. Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën.
• Në këtë fazë, është e mundur të kryhet transferimi i dy termave të fundit në anën e djathtë me shenjën e kundërt, që kemi.
• Dhe ne gjithashtu transformojmë shprehjen në anën e djathtë:.

Si rezultat, arrijmë në një ekuacion që është ekuivalent me ekuacionin kuadratik origjinal a x 2 + b x + c = 0.

Ne kemi zgjidhur tashmë ekuacione të ngjashme në formë në paragrafët e mëparshëm kur i analizuam ato. Kjo na lejon të nxjerrim përfundimet e mëposhtme në lidhje me rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje reale;
• nëse, atëherë ekuacioni ka formën, pra, prej nga është e dukshme rrënja e vetme e tij;
• nëse, atëherë ose, që është e njëjtë ose, domethënë, ekuacioni ka dy rrënjë.

Pra, prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit, dhe rrjedhimisht ekuacioni kuadratik origjinal, varet nga shenja e shprehjes në anën e djathtë. Nga ana tjetër, shenja e kësaj shprehje përcaktohet nga shenja e numëruesit, pasi emëruesi 4 · a 2 është gjithmonë pozitiv, domethënë shenja e shprehjes b 2 −4 · a · c. Kjo shprehje b 2 −4 a c u quajt diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik dhe shënohet me shkronjën D... Nga këtu, thelbi i diskriminuesit është i qartë - nga vlera dhe shenja e tij, konstatohet nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i tyre - një ose dy.

Duke iu rikthyer ekuacionit, rishkruajeni duke përdorur shënimin diskriminues:. Dhe ne nxjerrim përfundime:

• nëse D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• nëse D = 0, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë të vetme;
• më në fund, nëse D> 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë ose, të cilat për shkak të virtytit mund të rishkruhen në formën ose, dhe pasi t'i zgjerojmë dhe reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, marrim.

Pra kemi nxjerrë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ato kanë formën, ku diskriminuesi D llogaritet me formulën D = b 2 −4 · a · c.

Me ndihmën e tyre, me një diskriminues pozitiv, mund të llogaritni të dy rrënjët reale të ekuacionit kuadratik. Kur diskriminuesi është i barabartë me zero, të dyja formulat japin të njëjtën vlerë rrënjë që korrespondon me zgjidhjen e vetme të ekuacionit kuadratik. Dhe me një diskriminues negativ, kur përpiqemi të përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, përballemi me nxjerrjen e rrënjës katrore të një numri negativ, gjë që na nxjerr jashtë qëllimit të kurrikulës shkollore. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale, por ka një çift konjuguar kompleks rrënjët, të cilat mund të gjenden nga të njëjtat formula rrënjë të marra nga ne.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore, me të cilën mund të llogaritni vlerat e tyre. Por kjo ka të bëjë më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.

Sidoqoftë, në një kurs shkollor algjebër, zakonisht nuk bëhet fjalë për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që fillimisht të gjeni diskriminuesin përpara se të përdorni formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, sigurohuni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale) dhe vetëm pasi që llogaritin vlerat e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmë zgjidhës ekuacionesh kuadratike... Për të zgjidhur ekuacionin kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ju duhet:

• me formulën diskriminuese D = b 2 −4 · a · c njehsoni vlerën e tij;
• konkludojmë se ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
• llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit me formulën nëse D = 0;
• gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën rrënjësore nëse diskriminuesi është pozitiv.

Këtu thjesht vërejmë se kur diskriminuesi është i barabartë me zero, formula mund të përdoret gjithashtu, ajo do të japë të njëjtën vlerë si.

Mund të vazhdoni me shembuj të përdorimit të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Shqyrtoni zgjidhjet e tre ekuacioneve kuadratike me diskriminues pozitiv, negativ dhe zero. Duke u marrë me zgjidhjen e tyre, për analogji do të jetë e mundur të zgjidhet çdo ekuacion tjetër kuadratik. Le të fillojmë.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit x 2 + 2 x − 6 = 0.

Zgjidhje.

Në këtë rast, kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a = 1, b = 2 dhe c = -6. Sipas algoritmit, së pari ju duhet të llogaritni diskriminuesin, për këtë ne zëvendësojmë a, b dhe c të treguara në formulën diskriminuese, kemi D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Meqenëse 28> 0, domethënë, diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Ne i gjejmë duke përdorur formulën rrënjë, marrim, këtu mund të thjeshtoni shprehjet e marra duke bërë duke faktorizuar shenjën e rrënjës me zvogëlimin e mëvonshëm të fraksionit:

Përgjigje:

Le të kalojmë në shembullin tjetër tipik.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik −4x2 + 28x − 49 = 0.

Zgjidhje.

Fillojmë duke gjetur diskriminuesin: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Prandaj, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë të vetme, të cilën e gjejmë si, d.m.th.

Përgjigje:

x = 3,5.

Mbetet të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me diskriminues negativ.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Zgjidhje.

Këtu janë koeficientët e ekuacionit kuadratik: a = 5, b = 6 dhe c = 2. Duke i zëvendësuar këto vlera në formulën diskriminuese, kemi D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminuesi është negativ, prandaj ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale.

Nëse është e nevojshme të tregojmë rrënjë komplekse, atëherë zbatojmë formulën e njohur për rrënjët e ekuacionit kuadratik dhe kryejmë operacionet me numra kompleks:

Përgjigje:

nuk ka rrënjë të vërteta, rrënjët komplekse janë si më poshtë:.

Edhe një herë, vërejmë se nëse diskriminuesi i ekuacionit kuadratik është negativ, atëherë në shkollë ata zakonisht shkruajnë menjëherë një përgjigje në të cilën tregojnë se nuk ka rrënjë të vërteta dhe nuk gjenden rrënjë komplekse.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ku D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Le ta nxjerrim.

Le të themi se duhet të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës a x 2 + 2 n x + c = 0. Le të gjejmë rrënjët e tij duke përdorur formulën që njohim. Për ta bërë këtë, llogaritni diskriminuesin D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), dhe më pas përdorim formulën për rrënjët:

Le të shënojmë shprehjen n 2 - a · c si D 1 (nganjëherë shënohet me D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik të marrë në konsideratë me koeficientin e dytë 2 n merr formën , ku D 1 = n 2 - a · c.

Është e lehtë të shihet se D = 4 · D 1, ose D 1 = D / 4. Me fjalë të tjera, D 1 është pjesa e katërt e diskriminuesit. Është e qartë se shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D. Kjo do të thotë, shenja e D 1 është gjithashtu një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Pra, për të zgjidhur ekuacionin kuadratik me koeficientin e dytë 2 n, ju duhet

• Njehsoni D 1 = n 2 −a · c;
• Nëse D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Nëse D 1 = 0, atëherë llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit me formulën;
• Nëse D 1> 0, atëherë gjeni dy rrënjë reale sipas formulës.

Merrni parasysh zgjidhjen e një shembulli duke përdorur formulën rrënjësore të marrë në këtë paragraf.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik 5x2 −6x − 32 = 0.

Zgjidhje.

Koeficienti i dytë i këtij ekuacioni mund të paraqitet si 2 · (−3). Kjo do të thotë, ju mund ta rishkruani ekuacionin kuadratik origjinal në formën 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, këtu a = 5, n = −3 dhe c = −32, dhe të llogarisni pjesën e katërt të diskriminues: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Meqenëse vlera e tij është pozitive, ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën përkatëse të rrënjës:

Vini re se ishte e mundur të përdorej formula e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast, do të duhej të bëhej më shumë punë llogaritëse.

Përgjigje:

Thjeshtimi i pamjes së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë, para se të filloni llogaritjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik me formula, nuk është e dëmshme të bëni pyetjen: "A është e mundur të thjeshtohet forma e këtij ekuacioni?" Pajtohu që në aspektin e llogaritjeve do të jetë më e lehtë të zgjidhet ekuacioni kuadratik 11 · x 2 −4 · x − 6 = 0 sesa 1100 · x 2 −400 · x − 600 = 0.

Zakonisht, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik arrihet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dy pjesët e tij me një numër. Për shembull, në paragrafin e mëparshëm, ne arritëm të thjeshtojmë ekuacionin 1100x2 −400x − 600 = 0 duke i ndarë të dyja anët me 100.

Një transformim i ngjashëm kryhet me ekuacione kuadratike, koeficientët e të cilave nuk janë. Në këtë rast, të dy anët e ekuacionit zakonisht ndahen me vlerat absolute të koeficientëve të tij. Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 12 x 2 −42 x + 48 = 0. vlerat absolute të koeficientëve të tij: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6, arrijmë në ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

Dhe shumëzimi i të dy anëve të ekuacionit kuadratik zakonisht bëhet për të hequr qafe koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzimi kryhet nga emëruesit e koeficientëve të tij. Për shembull, nëse të dyja anët e ekuacionit kuadratik shumëzohen me LCM (6, 3, 1) = 6, atëherë ai do të marrë një formë më të thjeshtë x 2 + 4 x − 18 = 0.

Në përfundim të këtij paragrafi, vërejmë se pothuajse gjithmonë heqim qafe minusin në koeficientin kryesor të ekuacionit kuadratik, duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave, që korrespondon me shumëzimin (ose ndarjen) e të dy pjesëve me -1. Për shembull, zakonisht nga ekuacioni kuadratik −2x2 −3x + 7 = 0 kalon në zgjidhjen 2x2 + 3x − 7 = 0.

Lidhja midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e një ekuacioni në terma të koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni varësi të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të njohura dhe më të zbatueshme janë nga teorema e Vieta-s për formën dhe. Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjë të kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, me formën e ekuacionit kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, mund të thuhet menjëherë se shuma e rrënjëve të tij është 7/3, dhe produkti i rrënjëve është 22/3.

Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë marrëdhëniesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, ju mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik përmes koeficientëve të tij:.

Bibliografi.

• Algjebra: studim. për 8 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008 .-- 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, Fshirë. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 f.: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Diskriminuesi është një term i paqartë. Në këtë artikull, ne do të fokusohemi në diskriminuesin e një polinomi, i cili ju lejon të përcaktoni nëse një polinom i caktuar ka zgjidhje të vlefshme. Formula për një polinom katror gjendet në lëndën shkollore në algjebër dhe analizë. Si të gjeni diskriminuesin? Çfarë duhet për të zgjidhur ekuacionin?

Një polinom katror ose një ekuacion i shkallës së dytë quhet i * w ^ 2 + j * w + k e barabartë me 0, ku "i" dhe "j" janë koeficientët e parë dhe të dytë, përkatësisht, "k" është një konstante, e cila ndonjëherë quhet "anëtar i lirë", dhe "w" është një ndryshore. Rrënjët e tij do të jenë të gjitha vlerat e ndryshores në të cilën ajo kthehet në identitet. Një barazi e tillë mund të rishkruhet si prodhim i i, (w - w1) dhe (w - w2) i barabartë me 0. Në këtë rast, është e qartë se nëse koeficienti "i" nuk zhduket, atëherë funksioni në të majtë ana do të bëhet zero vetëm nëse x është w1 ose w2. Këto vlera janë rezultat i vendosjes së polinomit në zero.

Për të gjetur vlerën e një ndryshoreje në të cilën një polinom katror zhduket, përdoret një ndërtim ndihmës, i ndërtuar mbi koeficientët e tij dhe i quajtur diskriminues. Ky dizajn llogaritet sipas formulës D është e barabartë me j * j - 4 * i * k. Pse përdoret?

1. Ajo thotë nëse ka rezultate të vlefshme.
2. Ajo ndihmon në llogaritjen e tyre.

Si tregon kjo vlerë praninë e rrënjëve reale:

• Nëse është pozitive, atëherë mund të gjeni dy rrënjë në rangun e numrave realë.
• Nëse diskriminuesi është zero, atëherë të dyja zgjidhjet përkojnë. Mund të themi se ka vetëm një zgjidhje, dhe ajo është nga sfera e numrave realë.
• Nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë polinomi nuk ka rrënjë reale.

Opsionet e llogaritjes për sigurimin e materialit

Për shumën (7 * w ^ 2; 3 * w; 1) e barabartë me 0 ne llogarisim D sipas formulës 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 marrim -19. Një vlerë diskriminuese nën zero tregon se nuk ka rezultate në vijën reale.

Duke marrë parasysh 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 ekuivalente me 0, atëherë D llogaritet si (-3) në katror minus produktin e numrave (4; 2; 1) dhe është i barabartë me 9 - 8, domethënë 1. Një vlerë pozitive tregon dy rezultate në vijën reale.

Nëse marrim shumën (w ^ 2; 2 * w; 1) dhe barazojmë me 0, D llogaritet si dy në katror minus produktin e numrave (4; 1; 1). Kjo shprehje do të thjeshtohet në 4 - 4 dhe do të zhduket. Rezulton se rezultatet janë të njëjta. Nëse shikoni nga afër këtë formulë, bëhet e qartë se ky është një "katror i plotë". Prandaj, barazia mund të rishkruhet në formën (w + 1) ^ 2 = 0. U bë e qartë se rezultati në këtë problem është "-1". Në një situatë ku D është e barabartë me 0, ana e majtë e barazisë mund të paloset gjithmonë sipas formulës "katrori i shumës".

Përdorimi i diskriminuesit në llogaritjen e rrënjëve

Ky ndërtim ndihmës jo vetëm që tregon numrin e zgjidhjeve reale, por gjithashtu ndihmon në gjetjen e tyre. Formula e përgjithshme e llogaritjes për një ekuacion të shkallës së dytë është si më poshtë:

w = (-j +/- d) / (2 * i), ku d është diskriminuesi i fuqisë 1/2.

Supozoni se diskriminuesi është nën zero, atëherë d është imagjinar dhe rezultatet janë imagjinare.

D është zero, atëherë d e barabartë me D me fuqinë 1/2 është gjithashtu zero. Zgjidhje: -j / (2 * i). Duke marrë përsëri 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, gjejmë rezultate ekuivalente me -2 / (2 * 1) = -1.

Supozoni D> 0, pra d është një numër real, dhe përgjigja këtu ndahet në dy pjesë: w1 = (-j + d) / (2 * i) dhe w2 = (-j - d) / (2 * i) ... Të dy rezultatet do të jenë të vlefshme. Le të shohim 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Këtu diskriminuesi dhe d janë njësh. Rezulton se w1 është (3 + 1) pjesëtuar me (2 * 2) ose 1, dhe w2 është e barabartë me (3 - 1) pjesëtuar me 2 * 2 ose 1/2.

Rezultati i barazimit të një shprehje katrore me zero llogaritet sipas algoritmit:

1. Përcaktimi i numrit të vendimeve të vlefshme.
2. Llogaritja d = D ^ (1/2).
3. Gjetja e rezultatit sipas formulës (-j +/- d) / (2 * i).
4. Zëvendësimi i rezultatit të marrë në barazinë origjinale për testim.

Disa raste të veçanta

Në varësi të koeficientëve, zgjidhja mund të thjeshtohet disi. Natyrisht, nëse koeficienti përballë ndryshores në shkallën e dytë është i barabartë me zero, atëherë fitohet një barazi lineare. Kur koeficienti përballë ndryshores është në shkallën e parë zero, atëherë janë të mundshme dy opsione:

1. polinomi zbërthehet në diferencën e katrorëve me ndërprerje negative;
2. për një konstante pozitive, nuk mund të gjenden zgjidhje reale.

Nëse termi i lirë është zero, atëherë rrënjët do të jenë (0; -j)

Por ka edhe raste të tjera të veçanta që e bëjnë më të lehtë gjetjen e një zgjidhjeje.

Ekuacioni i reduktuar i shkallës së dytë

E dhëna quhet një katror i tillë me tre terma, ku koeficienti përballë termit kryesor është një. Për këtë situatë është e zbatueshme teorema e Vietës, e cila thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e ndryshores në fuqinë e parë shumëzuar me -1, dhe produkti i përgjigjet konstantës "k".

Prandaj, w1 + w2 është e barabartë me -j dhe w1 * w2 është e barabartë me k nëse koeficienti i parë është një. Për t'u siguruar që ky paraqitje është i saktë, ne mund të shprehim w2 = -j - w1 nga formula e parë dhe ta zëvendësojmë atë në barazinë e dytë w1 * (-j - w1) = k. Si rezultat, marrim barazinë origjinale w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Është e rëndësishme të theksohet që i * w ^ 2 + j * w + k = 0 mund të zvogëlohet duke e pjesëtuar me "i". Rezultati do të jetë: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, ku j1 është e barabartë me j / i dhe k1 është e barabartë me k / i.

Le të hedhim një vështrim në 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 tashmë të zgjidhur me rezultatet w1 = 1 dhe w2 = 1/2. Duhet ta ndajmë në gjysmë, si rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Le të kontrollojmë që kushtet e teoremës janë të vlefshme për rezultatet e gjetura: 1 + 1/2 = 3 /2 dhe 1 * 1/2 = 1/2.

Edhe faktori i dytë

Nëse faktori i një ndryshoreje me fuqinë e parë (j) pjesëtohet me 2, atëherë do të jetë e mundur të thjeshtohet formula dhe të kërkohet një zgjidhje në termat e një të katërtës së diskriminuesit D / 4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. marrim w = (-j +/- d / 2) / i, ku d / 2 = D / 4 me fuqinë 1/2.

Nëse i = 1, dhe koeficienti j është çift, atëherë zgjidhja do të jetë prodhimi i -1 dhe gjysma e koeficientit për ndryshoren w, plus / minus rrënjën e katrorit të kësaj gjysme minus konstanten "k". Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2/4 - k) ^ 1/2.

Diskriminues i rendit më të lartë

Diskriminuesi i trinomit të shkallës së dytë i konsideruar më sipër është rasti i veçantë më i përdorur. Në rastin e përgjithshëm, diskriminuesi i një polinomi është katrorët e shumëzuar të dallimeve të rrënjëve të këtij polinomi... Rrjedhimisht, diskriminuesi i barabartë me zero tregon praninë e të paktën dy zgjidhjeve të shumëfishta.

Konsideroni i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Le të themi se diskriminuesi është më i madh se zero... Kjo do të thotë se ka tre rrënjë në mbretëri. Në zero, ka shumë zgjidhje. Nëse D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Videoja jonë do t'ju tregojë në detaje rreth llogaritjes së diskriminuesit.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.