Shprehja e formës thirrur kombinim linear i vektorëve A 1, A 2,...,A n me shanse λ 1, λ 2 ,..., λ n.
Përcaktimi i varësisë lineare të një sistemi vektorësh
Sistemi vektorial A 1, A 2,...,A n thirrur varur në mënyrë lineare, nëse ka një grup numrash jo zero λ 1, λ 2 ,..., λ n, në të cilin kombinimi linear i vektorëve λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n e barabartë me vektorin zero, pra, sistemi i ekuacioneve: ka një zgjidhje jo zero.
Set numrash λ 1, λ 2 ,..., λ n është jo zero nëse të paktën një nga numrat λ 1, λ 2 ,..., λ n të ndryshme nga zero.
Përcaktimi i pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh
Shembulli 29.1Sistemi vektorial A 1, A 2,...,A n thirrur i pavarur në mënyrë lineare, nëse kombinimi linear i këtyre vektorëve λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n e barabartë me vektorin zero vetëm për një grup numrash zero λ 1, λ 2 ,..., λ n , pra, sistemi i ekuacioneve: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ka një zgjidhje unike zero.
Kontrolloni nëse një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare
Zgjidhje:
1. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh:
2. E zgjidhim duke përdorur metodën e Gausit. Transformimet Jordanano të sistemit janë dhënë në tabelën 29.1. Gjatë llogaritjes, anët e djathta të sistemit nuk shënohen pasi ato janë të barabarta me zero dhe nuk ndryshojnë gjatë transformimeve të Jordanit.
3. Nga tre rreshtat e fundit të tabelës shkruani një sistem të zgjidhur ekuivalent me atë origjinal sistemi:
4. Marrim zgjidhjen e përgjithshme të sistemit:
5. Pasi të keni vendosur vlerën e ndryshores së lirë x 3 =1 sipas gjykimit tuaj, marrim një zgjidhje të veçantë jo zero X=(-3,2,1).
Përgjigje: Kështu, për një grup numrash jozero (-3,2,1), kombinimi linear i vektorëve është i barabartë me vektorin zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prandaj, sistemi vektorial i varur në mënyrë lineare.
Vetitë e sistemeve vektoriale
Prona (1)
Nëse një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, atëherë të paktën njëri prej vektorëve zgjerohet në terma të të tjerëve dhe, anasjelltas, nëse të paktën njëri prej vektorëve të sistemit zgjerohet në terma të të tjerëve, atëherë sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare.
Prona (2)
Nëse ndonjë nënsistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, atëherë i gjithë sistemi është i varur linearisht.
Prona (3)
Nëse një sistem vektorësh është linearisht i pavarur, atëherë cilido nga nënsistemet e tij është linearisht i pavarur.
Prona (4)
Çdo sistem vektorësh që përmban një vektor zero është i varur në mënyrë lineare.
Prona (5)
Një sistem vektorësh m-dimensionale është gjithmonë i varur në mënyrë lineare nëse numri i vektorëve n është më i madh se dimensioni i tyre (n>m)
Baza e sistemit vektorial
Baza e sistemit vektorial A 1 , A 2 ,..., A n një nënsistem i tillë B 1 , B 2 ,...,B r quhet(secili nga vektorët B 1, B 2,..., B r është një nga vektorët A 1, A 2,..., A n), i cili plotëson kushtet e mëposhtme:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistemi i pavarur linear i vektorëve;
2. ndonjë vektor Një j sistemi A 1 , A 2 ,..., A n shprehet në mënyrë lineare nëpërmjet vektorëve B 1 , B 2 ,..., B rr— numri i vektorëve të përfshirë në bazë.
Teorema 29.1 Mbi bazën e njësive të një sistemi vektorësh.Nëse një sistem vektorësh m-dimensionale përmban m vektorë të ndryshëm njësi E 1 E 2 ,..., E m , atëherë ata përbëjnë bazën e sistemit.
Algoritmi për gjetjen e bazës së një sistemi vektorësh
Për të gjetur bazën e sistemit të vektorëve A 1 ,A 2 ,...,A n është e nevojshme:
- Krijoni një sistem homogjen ekuacionesh që korrespondojnë me sistemin e vektorëve A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- Sillni këtë sistem
Shembulli 8
Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë në hapësirën tredimensionale dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë.
Zgjidhja: Së pari, le të merremi me gjendjen. Sipas kushteve, jepen katër vektorë, dhe, siç mund ta shihni, ata tashmë kanë koordinata në një farë mase. Se çfarë është kjo bazë nuk na intereson. Dhe gjëja e mëposhtme është me interes: tre vektorë mund të formojnë një bazë të re. Dhe faza e parë përkon plotësisht me zgjidhjen e Shembullit 6; është e nevojshme të kontrollohet nëse vektorët janë vërtet të pavarur linearisht:
Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale: 
, që do të thotë se vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.
! E rëndësishme: koordinatat vektoriale Domosdoshmërisht shkruani në kolona përcaktor, jo në vargje. Përndryshe, do të ketë konfuzion në algoritmin e mëtejshëm të zgjidhjes.
Tani le të kujtojmë pjesën teorike: nëse vektorët formojnë një bazë, atëherë çdo vektor mund të zgjerohet në një bazë të caktuar në një mënyrë unike: , ku janë koordinatat e vektorit në bazë.
Meqenëse vektorët tanë përbëjnë bazën e hapësirës tre-dimensionale (kjo tashmë është vërtetuar), vektori mund të zgjerohet në një mënyrë unike mbi këtë bazë: 
, ku janë koordinatat e vektorit në bazë.
Sipas kushtit dhe kërkohet gjetja e koordinatave.
Për lehtësi shpjegimi, do t'i ndërroj pjesët: 
. Për ta gjetur atë, duhet të shkruani këtë koordinatë barazie-për-koordinata: 
Mbi çfarë baze vendosen koeficientët? Të gjithë koeficientët në anën e majtë transferohen saktësisht nga përcaktori 
, në anën e djathtë shkruhen koordinatat e vektorit.
Rezultati është një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura. Zakonisht zgjidhet nga Formulat e Cramer-it, shpesh edhe në deklaratën e problemit ekziston një kërkesë e tillë.
Përcaktori kryesor i sistemit tashmë është gjetur:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.
Ajo që vijon është çështje teknike: 
Kështu:
– zbërthimi i vektorit sipas bazës.
Përgjigje: 
Siç e kam theksuar tashmë, problemi është i natyrës algjebrike. Vektorët që u morën parasysh nuk janë domosdoshmërisht ata vektorë që mund të vizatohen në hapësirë, por, para së gjithash, vektorë abstraktë të kursit të algjebrës lineare. Për rastin e vektorëve dydimensionale, një problem i ngjashëm mund të formulohet dhe zgjidhet; zgjidhja do të jetë shumë më e thjeshtë. Sidoqoftë, në praktikë nuk kam hasur kurrë në një detyrë të tillë, prandaj e kam anashkaluar atë në pjesën e mëparshme.
I njëjti problem me vektorët tredimensionale për zgjidhje të pavarur:
Shembulli 9
Janë dhënë vektorët. Tregoni se vektorët formojnë një bazë dhe gjeni koordinatat e vektorit në këtë bazë. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Cramer.
Një zgjidhje e plotë dhe një mostër e përafërt e dizajnit përfundimtar në fund të mësimit.
Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë katër-dimensionale, pesë-dimensionale, etj. hapësira vektoriale, ku vektorët kanë përkatësisht 4, 5 ose më shumë koordinata. Për këto hapësira vektoriale ekziston edhe koncepti i varësisë lineare, pavarësia lineare e vektorëve, ekziston një bazë, duke përfshirë një bazë ortonormale, një zgjerim të një vektori në lidhje me një bazë. Po, hapësira të tilla nuk mund të vizatohen gjeometrikisht, por në to funksionojnë të gjitha rregullat, vetitë dhe teoremat e rasteve dy dhe tre dimensionale - algjebër e pastër. Në fakt, unë tashmë u tundova të flisja për çështje filozofike në artikull Derivatet e pjesshëm të një funksioni me tre ndryshore, e cila u shfaq më herët se ky mësim.
Dashuroni vektorët, dhe vektorët do t'ju duan!
Zgjidhje dhe përgjigje:
Shembulli 2: Zgjidhje: le të bëjmë një proporcion nga koordinatat përkatëse të vektorëve:
Përgjigje:
në
Shembulli 4: Dëshmi: Trapez Katërkëndësh quhet katërkëndësh në të cilin dy brinjë janë paralele dhe dy brinjët e tjera nuk janë paralele.
1) Le të kontrollojmë paralelizmin e anëve të kundërta dhe .
Le të gjejmë vektorët:
, që do të thotë se këta vektorë nuk janë kolinear dhe brinjët nuk janë paralele.
2) Kontrolloni paralelizmin e anëve të kundërta dhe .
Le të gjejmë vektorët:
Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:
, që do të thotë se këta vektorë janë kolinearë, dhe .
konkluzioni:
Dy anët e një katërkëndëshi janë paralele, por dy brinjët e tjera nuk janë paralele, që do të thotë se është një trapezoid sipas përkufizimit. Q.E.D.
Shembulli 5: Zgjidhje:
b) Le të kontrollojmë nëse ka një koeficient proporcionaliteti për koordinatat përkatëse të vektorëve:
Sistemi nuk ka zgjidhje, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinearë.
Dizajn më i thjeshtë:
– koordinatat e dyta dhe të treta nuk janë proporcionale, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear.
Përgjigje:
vektorët nuk janë kolinearë.
c) Shqyrtojmë vektorët për kolinearitet 
. Le të krijojmë një sistem:
Koordinatat përkatëse të vektorëve janë proporcionale, që do të thotë
Këtu dështon metoda e projektimit "foppish".
Përgjigje:
Shembulli 6: Zgjidhje: b) Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale (përcaktori zbulohet në rreshtin e parë):
, që do të thotë se vektorët janë të varur në mënyrë lineare dhe nuk përbëjnë bazën e hapësirës tredimensionale.
Përgjigju
: këta vektorë nuk përbëjnë bazë
Shembulli 9: Zgjidhja: Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat vektoriale:
Kështu, vektorët janë linearisht të pavarur dhe përbëjnë një bazë.
Le të paraqesim vektorin si një kombinim linear i vektorëve bazë:
Në mënyrë të koordinuar:
Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.
Përgjigje:Vektorët formojnë një bazë,
Matematikë e lartë për studentët me korrespondencë dhe më shumë >>>
(Shko në faqen kryesore)
Prodhimi i kryqëzuar i vektorëve.
Produkt i përzier i vektorëve
Në këtë mësim do të shikojmë dy operacione të tjera me vektorë: prodhim vektorial i vektorëve Dhe produkt i përzier i vektorëve. Është në rregull, ndonjëherë ndodh që për lumturi të plotë, përveç prodhim skalar i vektorëve, kërkohen gjithnjë e më shumë. Kjo është varësia ndaj vektorit. Mund të duket se po futemi në xhunglën e gjeometrisë analitike. Kjo eshte e gabuar. Në këtë pjesë të matematikës së lartë, përgjithësisht ka pak dru, përveç ndoshta mjaftueshëm për Pinokun. Në fakt, materiali është shumë i zakonshëm dhe i thjeshtë - vështirë se më i komplikuar se i njëjti produkt skalar, do të ketë edhe më pak detyra tipike. Gjëja kryesore në gjeometrinë analitike, siç do të jenë të bindur shumë ose tashmë janë bindur, është TË MOS BËNI GABIME NË LLOGARITJE. Përsëriteni si një magji dhe do të jeni të lumtur =)
Nëse vektorët shkëlqejnë diku larg, si rrufeja në horizont, nuk ka rëndësi, filloni me mësimin Vektorë për dummies për të rivendosur ose rifituar njohuritë bazë për vektorët. Lexuesit më të përgatitur mund të njihen me informacionin në mënyrë selektive; jam përpjekur të mbledh koleksionin më të plotë të shembujve që gjenden shpesh në punën praktike
Çfarë do t'ju bëjë të lumtur menjëherë? Kur isha i vogël, mund të mashtroja me dy apo edhe tre topa. Doli mirë. Tani nuk do t'ju duhet të mashtroni fare, pasi ne do ta shqyrtojmë vetëm vektorët hapësinorë, dhe vektorët e sheshtë me dy koordinata do të lihen jashtë. Pse? Kështu kanë lindur këto veprime - vektori dhe produkti i përzier i vektorëve janë përcaktuar dhe punojnë në hapësirën tredimensionale. Tashmë është më e lehtë!
Në gjeometri, një vektor kuptohet si një segment i drejtuar dhe vektorët e marrë nga njëri-tjetri nga përkthimi paralel konsiderohen të barabartë. Të gjithë vektorët e barabartë trajtohen si i njëjti vektor. Origjina e vektorit mund të vendoset në çdo pikë të hapësirës ose planit.
Nëse koordinatat e skajeve të vektorit janë dhënë në hapësirë: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), atëherë
= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)
Një formulë e ngjashme qëndron në aeroplan. Kjo do të thotë se vektori mund të shkruhet si një vijë koordinative. Veprimet mbi vektorët, si mbledhja dhe shumëzimi me një numër, në vargje kryhen në drejtim të komponentëve. Kjo bën të mundur zgjerimin e konceptit të një vektori, duke kuptuar një vektor si çdo varg numrash. Për shembull, zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare, si dhe çdo grup vlerash të ndryshoreve të sistemit, mund të shihet si një vektor.
Në vargjet me të njëjtën gjatësi, operacioni i mbledhjes kryhet sipas rregullit
(a 1 , a 2 , ... , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)
Shumëzimi i një vargu me një numër ndjek rregullin
l(a 1 , a 2 , ... , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)
Një grup vektorësh rreshtash me një gjatësi të caktuar n me veprimet e treguara të mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit me një numër formon një strukturë algjebrike të quajtur hapësirë lineare n-dimensionale.
Një kombinim linear i vektorëve është një vektor 
, ku λ 1 , ... , λ m– koeficientët arbitrarë.
Një sistem vektorësh quhet i varur linearisht nëse ekziston një kombinim linear i tij i barabartë me , në të cilin ka të paktën një koeficient jozero.
Një sistem vektorësh quhet linearisht i pavarur nëse në çdo kombinim linear të barabartë me , të gjithë koeficientët janë zero.
Kështu, zgjidhja e çështjes së varësisë lineare të një sistemi vektorësh reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit
x 1 + x 2 + … + x m = . (4)
Nëse ky ekuacion ka zgjidhje jo zero, atëherë sistemi i vektorëve është i varur në mënyrë lineare. Nëse zgjidhja zero është unike, atëherë sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur.
Për të zgjidhur sistemin (4), për qartësi, vektorët mund të shkruhen jo si rreshta, por si kolona.
Pastaj, pasi kemi kryer transformime në anën e majtë, arrijmë në një sistem ekuacionesh lineare ekuivalente me ekuacionin (4). Matrica kryesore e këtij sistemi formohet nga koordinatat e vektorëve origjinalë të renditur në kolona. Një kolonë me terma të lirë nuk nevojitet këtu, pasi sistemi është homogjen.
Baza sistemi i vektorëve (i fundëm ose i pafundëm, në veçanti, e gjithë hapësira lineare) është nënsistemi i tij i pavarur linear jo bosh, përmes të cilit mund të shprehet çdo vektor i sistemit.
Shembulli 1.5.2. Gjeni bazën e sistemit të vektorëve = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) dhe shprehni vektorët e mbetur përmes bazës.
Zgjidhje. Ne ndërtojmë një matricë në të cilën koordinatat e këtyre vektorëve janë të renditura në kolona. Kjo është matrica e sistemit x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Ne e zvogëlojmë matricën në formë hap pas hapi:
~ 
~ 
~
Baza e këtij sistemi vektorësh formohet nga vektorët , , , të cilëve u korrespondojnë elementët kryesorë të rreshtave, të theksuar në rrathë. Për të shprehur vektorin, zgjidhim ekuacionin x 1 + x 2 + x 4 = . Ai reduktohet në një sistem ekuacionesh lineare, matrica e të cilit merret nga origjinali duke riorganizuar kolonën që korrespondon me , në vend të kolonës së termave të lirë. Prandaj, kur reduktohet në një formë me shkallë, të njëjtat transformime si më sipër do të bëhen në matricë. Kjo do të thotë që ju mund të përdorni matricën që rezulton në një formë hap pas hapi, duke bërë rirregullimet e nevojshme të kolonave në të: ne vendosim kolonat me rrathë në të majtë të shiritit vertikal, dhe kolona që korrespondon me vektorin vendoset në të djathtë. të lokalit.
Ne gjejmë vazhdimisht:
x 4 = 0;
x 2 = 2;
x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;
Koment. Nëse është e nevojshme të shprehen disa vektorë përmes bazës, atëherë për secilin prej tyre ndërtohet një sistem përkatës ekuacionesh lineare. Këto sisteme do të ndryshojnë vetëm në kolonat e anëtarëve të lirë. Për më tepër, çdo sistem zgjidhet në mënyrë të pavarur nga të tjerët.
Ushtrimi 1.4. Gjeni bazën e sistemit të vektorëve dhe shprehni vektorët e mbetur përmes bazës:
a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);
b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);
c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).
Në një sistem të caktuar vektorësh, një bazë zakonisht mund të identifikohet në mënyra të ndryshme, por të gjitha bazat do të kenë të njëjtin numër vektorësh. Numri i vektorëve në bazën e një hapësire lineare quhet dimensioni i hapësirës. Për n-hapësirë lineare dimensionale n– ky është dimensioni i hapësirës, pasi kjo hapësirë ka një bazë standarde = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0 , ... , 1). Nëpërmjet kësaj baze çdo vektor = (a 1 , a 2 , ... , a n) shprehet si më poshtë:
= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =
A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .
Kështu, përbërësit në rreshtin e vektorit = (a 1 , a 2 , ... , a n) janë koeficientët e tij në zgjerimin përmes bazës standarde.
Linjat e drejta në një aeroplan
Detyra e gjeometrisë analitike është aplikimi i metodës së koordinatave në problemet gjeometrike. Kështu, problemi përkthehet në formë algjebrike dhe zgjidhet me anë të algjebrës.
Në artikullin mbi vektorët n-dimensionale, arritëm te koncepti i një hapësire lineare të krijuar nga një grup vektorësh n-dimensionale. Tani duhet të marrim parasysh koncepte po aq të rëndësishme, të tilla si dimensioni dhe baza e një hapësire vektoriale. Ato lidhen drejtpërdrejt me konceptin e një sistemi të pavarur linear të vektorëve, kështu që rekomandohet gjithashtu t'i kujtoni vetes bazat e kësaj teme.
Le të prezantojmë disa përkufizime.
Përkufizimi 1
Dimensioni i hapësirës vektoriale– një numër që korrespondon me numrin maksimal të vektorëve linearisht të pavarur në këtë hapësirë.
Përkufizimi 2
Baza e hapësirës vektoriale– një grup vektorësh të pavarur linearisht, të renditur dhe të barabartë në numër me dimensionin e hapësirës.
Le të shqyrtojmë një hapësirë të caktuar prej n-vektorësh. Dimensioni i tij është përkatësisht i barabartë me n. Le të marrim një sistem vektorësh n-njësi:
e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)
Ne i përdorim këta vektorë si përbërës të matricës A: do të jetë matricë njësi me dimension n me n. Renditja e kësaj matrice është n. Prandaj, sistemi vektorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) është linearisht i pavarur. Në këtë rast, është e pamundur të shtoni një vektor të vetëm në sistem pa cenuar pavarësinë e tij lineare.
Meqenëse numri i vektorëve në sistem është n, atëherë dimensioni i hapësirës së vektorëve n-dimensionale është n, dhe vektorët njësi janë e (1), e (2), . . . , e (n) janë baza e hapësirës së specifikuar.
Nga përkufizimi që rezulton mund të konkludojmë: çdo sistem vektorësh n-dimensionale në të cilin numri i vektorëve është më i vogël se n nuk është bazë e hapësirës.
Nëse ndërrojmë vektorin e parë dhe të dytë, marrim një sistem vektorësh e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Do të jetë gjithashtu baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale. Le të krijojmë një matricë duke marrë vektorët e sistemit që rezulton si rreshta të tij. Matrica mund të merret nga matrica e identitetit duke ndërruar dy rreshtat e parë, rangu i saj do të jetë n. Sistemi e (2) , e (1) , . . . , e(n) është linearisht i pavarur dhe është baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale.
Duke riorganizuar vektorë të tjerë në sistemin origjinal, marrim një bazë tjetër.
Ne mund të marrim një sistem të pavarur linearisht vektorësh jo njësi, dhe ai gjithashtu do të përfaqësojë bazën e një hapësire vektoriale n-dimensionale.
Përkufizimi 3
Një hapësirë vektoriale me dimension n ka aq baza sa ka sisteme linearisht të pavarura të vektorëve n-dimensionale të numrit n.
Aeroplani është një hapësirë dy-dimensionale - baza e tij do të jenë çdo dy vektorë jo-kolinearë. Baza e hapësirës tre-dimensionale do të jetë çdo tre vektorë joplanarë.
Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teorie duke përdorur shembuj specifikë.
Shembulli 1
Të dhënat fillestare: vektorët
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)
Është e nevojshme të përcaktohet nëse vektorët e specifikuar janë baza e një hapësire vektoriale tredimensionale.
Zgjidhje
Për të zgjidhur problemin, studiojmë sistemin e dhënë të vektorëve për varësinë lineare. Le të krijojmë një matricë, ku rreshtat janë koordinatat e vektorëve. Le të përcaktojmë rangun e matricës.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3
Rrjedhimisht, vektorët e specifikuar nga kushti i problemit janë linearisht të pavarur, dhe numri i tyre është i barabartë me dimensionin e hapësirës vektoriale - ata janë baza e hapësirës vektoriale.
Përgjigje: vektorët e treguar janë baza e hapësirës vektoriale.
Shembulli 2
Të dhënat fillestare: vektorët
a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)
Është e nevojshme të përcaktohet nëse sistemi i specifikuar i vektorëve mund të jetë baza e hapësirës tre-dimensionale.
Zgjidhje
Sistemi i vektorëve të specifikuar në deklaratën e problemit është i varur në mënyrë lineare, sepse numri maksimal i vektorëve të pavarur linearisht është 3. Kështu, sistemi i treguar i vektorëve nuk mund të shërbejë si bazë për një hapësirë vektoriale tredimensionale. Por vlen të përmendet se nënsistemi i sistemit origjinal a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) është një bazë.
Përgjigje: sistemi i treguar i vektorëve nuk është bazë.
Shembulli 3
Të dhënat fillestare: vektorët
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
A mund të jenë baza e hapësirës katërdimensionale?
Zgjidhje
Le të krijojmë një matricë duke përdorur koordinatat e vektorëve të dhënë si rreshta
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
Duke përdorur metodën Gaussian, ne përcaktojmë gradën e matricës:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4
Rrjedhimisht, sistemi i vektorëve të dhënë është linearisht i pavarur dhe numri i tyre është i barabartë me dimensionin e hapësirës vektoriale - ata janë baza e një hapësire vektoriale katërdimensionale.
Përgjigje: vektorët e dhënë janë baza e hapësirës katërdimensionale.
Shembulli 4
Të dhënat fillestare: vektorët
a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)
A formojnë ato bazën e një hapësire me dimension 4?
Zgjidhje
Sistemi origjinal i vektorëve është linearisht i pavarur, por numri i vektorëve në të nuk është i mjaftueshëm për t'u bërë baza e një hapësire katër-dimensionale.
Përgjigje: jo, ata nuk e bëjnë.
Zbërthimi i një vektori në një bazë
Le të supozojmë se vektorët arbitrarë e (1) , e (2) , . . . , e (n) janë baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale. Le t'u shtojmë atyre një vektor të caktuar n-dimensional x →: sistemi rezultues i vektorëve do të bëhet i varur në mënyrë lineare. Vetitë e varësisë lineare thonë se të paktën një nga vektorët e një sistemi të tillë mund të shprehet në mënyrë lineare përmes të tjerëve. Duke riformuluar këtë deklaratë, mund të themi se të paktën një nga vektorët e një sistemi të varur linear mund të zgjerohet në vektorët e mbetur.
Kështu, arritëm në formulimin e teoremës më të rëndësishme:
Përkufizimi 4
Çdo vektor i një hapësire vektoriale n-dimensionale mund të zbërthehet në mënyrë unike në një bazë.
Dëshmia 1
Le të vërtetojmë këtë teoremë:
le të vendosim bazën e hapësirës vektoriale n-dimensionale - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Le ta bëjmë sistemin të varur linearisht duke shtuar një vektor n-dimensional x → në të. Ky vektor mund të shprehet në mënyrë lineare në termat e vektorëve origjinalë e:
x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , ku x 1 , x 2 , . . . , x n - disa numra.
Tani vërtetojmë se një dekompozim i tillë është unik. Le të supozojmë se nuk është kështu dhe ka një tjetër dekompozim të ngjashëm:
x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ku x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - disa numra.
Le të zbresim nga ana e majtë dhe e djathtë e kësaj barazie, përkatësisht, anën e majtë dhe të djathtë të barazisë x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Ne marrim:
0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)
Sistemi i vektorëve bazë e (1) , e (2) , . . . , e(n) është linearisht i pavarur; sipas përkufizimit të pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh, barazia e mësipërme është e mundur vetëm kur të gjithë koeficientët janë (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) do të jetë e barabartë me zero. Nga e cila do të jetë e drejtë: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Dhe kjo dëshmon opsionin e vetëm për zbërthimin e një vektori në një bazë.
Në këtë rast, koeficientët x 1, x 2, . . . , x n quhen koordinatat e vektorit x → në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (n) .
Teoria e provuar e bën të qartë shprehjen "e dhënë një vektor n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . . . , x n)": një hapësirë vektoriale x → n-dimensionale merret parasysh dhe koordinatat e tij specifikohen në një bazë të caktuar. Është gjithashtu e qartë se i njëjti vektor në një bazë tjetër të hapësirës n-dimensionale do të ketë koordinata të ndryshme.
Merrni shembullin e mëposhtëm: supozoni se në një bazë të hapësirës vektoriale n-dimensionale është dhënë një sistem prej n vektorësh të pavarur linearisht
dhe gjithashtu jepet vektori x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).
Vektorët e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) në këtë rast janë edhe baza e kësaj hapësire vektoriale.
Supozojmë se është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e vektorit x → në bazën e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , e shënuar si x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.
Vektori x → do të përfaqësohet si më poshtë:
x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)
Le ta shkruajmë këtë shprehje në formë koordinative:
(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))
Barazia që rezulton është ekuivalente me një sistem prej n shprehjesh algjebrike lineare me n ndryshore lineare të panjohura x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:
x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n
Matrica e këtij sistemi do të ketë formën e mëposhtme:
e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)
Le të jetë kjo një matricë A, dhe kolonat e saj janë vektorë të një sistemi të pavarur linear të vektorëve e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rangu i matricës është n, dhe përcaktori i saj është jozero. Kjo tregon se sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike, të përcaktuar nga çdo metodë e përshtatshme: për shembull, metoda Cramer ose metoda e matricës. Në këtë mënyrë mund të përcaktojmë koordinatat x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → në bazën e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .
Le të zbatojmë teorinë e konsideruar në një shembull specifik.
Shembulli 6
Të dhënat fillestare: vektorët janë të specifikuar në bazë të hapësirës tredimensionale
e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)
Është e nevojshme të konfirmohet fakti se sistemi i vektorëve e (1), e (2), e (3) shërben gjithashtu si bazë e një hapësire të caktuar, si dhe të përcaktohen koordinatat e vektorit x në një bazë të caktuar.
Zgjidhje
Sistemi i vektorëve e (1), e (2), e (3) do të jetë baza e hapësirës tredimensionale nëse është linearisht i pavarur. Le ta zbulojmë këtë mundësi duke përcaktuar rangun e matricës A, rreshtat e së cilës janë vektorët e dhënë e (1), e (2), e (3).
Ne përdorim metodën Gaussian:
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
R a n k (A) = 3 . Kështu, sistemi i vektorëve e (1), e (2), e (3) është linearisht i pavarur dhe është një bazë.
Le të ketë vektori x → në bazë koordinatat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3. Marrëdhënia midis këtyre koordinatave përcaktohet nga ekuacioni:
x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)
Le të zbatojmë vlerat sipas kushteve të problemit:
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7
Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve duke përdorur metodën e Cramer:
∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
Kështu, vektori x → në bazën e (1), e (2), e (3) ka koordinata x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.
Përgjigje: x = (1 , 1 , 1)
Marrëdhënia ndërmjet bazave
Le të supozojmë se në një bazë të hapësirës vektoriale n-dimensionale jepen dy sisteme të pavarura linearisht vektorësh:
c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))
e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))
Këto sisteme janë gjithashtu baza të një hapësire të caktuar.
Le të jetë c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinatat e vektorit c (1) në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atëherë marrëdhënia koordinative do të jepet nga një sistem ekuacionesh lineare:
c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)
Sistemi mund të përfaqësohet si një matricë si më poshtë:
(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Le të bëjmë të njëjtën hyrje për vektorin c (2) me analogji:
(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Le të kombinojmë barazitë e matricës në një shprehje:
c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)
Ai do të përcaktojë lidhjen midis vektorëve të dy bazave të ndryshme.
Duke përdorur të njëjtin parim, është e mundur të shprehen të gjithë vektorët bazë e(1), e(2), . . . , e (3) përmes bazës c (1) , c (2) , . . . , c (n) :
e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)
Le të japim përkufizimet e mëposhtme:
Përkufizimi 5
Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) është matrica e tranzicionit nga baza e (1) , e (2) , . . . , e (3)
në bazën c (1) , c (2) , . . . , c (n) .
Përkufizimi 6
Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) është matrica e tranzicionit nga baza c (1) , c (2) , . . . , c(n)
në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (3) .
Nga këto barazi duket qartë se
c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
ato. matricat e tranzicionit janë reciproke.
Le të shohim teorinë duke përdorur një shembull specifik.
Shembulli 7
Të dhënat fillestare:është e nevojshme të gjendet matrica e tranzicionit nga baza
c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7 , 1)
e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)
Ju gjithashtu duhet të tregoni marrëdhënien midis koordinatave të një vektori arbitrar x → në bazat e dhëna.
Zgjidhje
1. Le të jetë T matrica e tranzicionit, atëherë barazia do të jetë e vërtetë:
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1
Shumëzoni të dyja anët e barazisë me
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
dhe marrim:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
2. Përcaktoni matricën e tranzicionit:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. Le të përcaktojmë marrëdhënien ndërmjet koordinatave të vektorit x → :
Le të supozojmë se në bazën c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektori x → ka koordinata x 1 , x 2 , x 3 , atëherë:
x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,
dhe në bazën e (1) , e (2) , . . . , e (3) ka koordinata x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, pastaj:
x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Sepse Nëse anët e majta të këtyre barazive janë të barabarta, ne mund të barazojmë edhe anët e djathta:
(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Shumëzoni të dyja anët në të djathtë me
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
dhe marrim:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Ne anen tjeter
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Barazimet e fundit tregojnë lidhjen ndërmjet koordinatave të vektorit x → në të dyja bazat.
Përgjigje: matrica e tranzicionit
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Koordinatat e vektorit x → në bazat e dhëna lidhen me relacionin:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Kur shqyrtuam konceptet e një vektori n-dimensionale dhe prezantuam operacionet mbi vektorët, zbuluam se grupi i të gjithë vektorëve n-dimensionale gjeneron një hapësirë lineare. Në këtë artikull do të flasim për konceptet më të rëndësishme të lidhura - dimensionin dhe bazën e një hapësire vektoriale. Ne do të shqyrtojmë gjithashtu teoremën mbi zgjerimin e një vektori arbitrar në një bazë dhe lidhjen midis bazave të ndryshme të hapësirës n-dimensionale. Le të shqyrtojmë në detaje zgjidhjet e shembujve tipikë.
Navigimi i faqes.
Koncepti i dimensionit të hapësirës vektoriale dhe bazës.
Konceptet e dimensionit dhe bazës së një hapësire vektoriale janë të lidhura drejtpërdrejt me konceptin e një sistemi të pavarur linear të vektorëve, kështu që nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë t'i referoheni artikullit Varësia lineare e një sistemi vektorësh, vetitë e varësisë lineare dhe pavarësisë. .
Përkufizimi.
Dimensioni i hapësirës vektorialeështë një numër i barabartë me numrin maksimal të vektorëve linearisht të pavarur në këtë hapësirë.
Përkufizimi.
Baza e hapësirës vektorialeështë një grup i renditur i vektorëve linearisht të pavarur të kësaj hapësire, numri i të cilëve është i barabartë me dimensionin e hapësirës.
Le të japim disa arsyetime bazuar në këto përkufizime.
Konsideroni hapësirën e vektorëve n-dimensionale.
Le të tregojmë se dimensioni i kësaj hapësire është n.
Le të marrim një sistem prej n vektorësh njësi të formës
Le t'i marrim këta vektorë si rreshta të matricës A. Në këtë rast, matrica A do të jetë një matricë identiteti e dimensionit n me n. Renditja e kësaj matrice është n (shih artikullin nëse është e nevojshme). Prandaj, sistemi i vektorëve 
është linearisht i pavarur dhe asnjë vektor i vetëm nuk mund t'i shtohet këtij sistemi pa cenuar pavarësinë e tij lineare. Meqenëse numri i vektorëve në sistem është e barabartë me n, atëherë dimensioni i hapësirës së vektorëve n-dimensionale është n, dhe vektorët njësi janë baza e kësaj hapësire.
Nga deklarata e fundit dhe përkufizimi i bazës mund të konkludojmë se çdo sistem vektorësh n-dimensionale, numri i vektorëve në të cilin është më i vogël se n, nuk është bazë.
Tani le të shkëmbejmë vektorin e parë dhe të dytë të sistemit . Është e lehtë të tregohet se sistemi rezultues i vektorëve 
është gjithashtu një bazë e një hapësire vektoriale n-dimensionale. Le të krijojmë një matricë duke marrë si rreshta vektorët e këtij sistemi. Kjo matricë mund të merret nga matrica e identitetit duke ndërruar rreshtin e parë dhe të dytë, prandaj renditja e saj do të jetë n. Kështu, një sistem prej n vektorësh është linearisht i pavarur dhe është baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale.
Nëse i rirregullojmë vektorët e tjerë të sistemit , atëherë marrim një bazë tjetër.
Nëse marrim një sistem të pavarur linearisht vektorësh jo njësi, atëherë ai është gjithashtu baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale.
Kështu, një hapësirë vektoriale me dimension n ka aq baza sa ka sisteme linearisht të pavarura të vektorëve n n-dimensionale.
Nëse flasim për një hapësirë vektoriale dy-dimensionale (d.m.th., për një plan), atëherë baza e saj është çdo dy vektorë jo-kolinearë. Baza e hapësirës tre-dimensionale është çdo tre vektorë joplanarë.
Le të shohim disa shembuj.
Shembull.
A janë vektorët baza e hapësirës vektoriale tredimensionale?
Zgjidhje.
Le të shqyrtojmë këtë sistem vektorësh për varësinë lineare. Për ta bërë këtë, le të krijojmë një matricë, rreshtat e së cilës do të jenë koordinatat e vektorëve dhe të gjejmë renditjen e saj: 
Pra, vektorët a, b dhe c janë linearisht të pavarur dhe numri i tyre është i barabartë me dimensionin e hapësirës vektoriale, prandaj janë baza e kësaj hapësire.
Përgjigje:
Po ata jane.
Shembull.
A mund të jetë një sistem vektorësh baza e një hapësire vektoriale?
Zgjidhje.
Ky sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare, pasi numri maksimal i vektorëve tredimensionale linearisht të pavarur është tre. Rrjedhimisht, ky sistem vektorësh nuk mund të jetë bazë e një hapësire vektoriale tredimensionale (edhe pse një nënsistem i sistemit origjinal të vektorëve është një bazë).
Përgjigje:
Jo ai nuk mundet.
Shembull.
Sigurohuni që vektorët 
mund të jetë baza e një hapësire vektoriale katërdimensionale.
Zgjidhje.
Le të krijojmë një matricë duke marrë vektorët origjinalë si rreshtat e saj: 
Le të gjejmë: 
Kështu, sistemi i vektorëve a, b, c, d është linearisht i pavarur dhe numri i tyre është i barabartë me dimensionin e hapësirës vektoriale, prandaj, a, b, c, d janë baza e tij.
Përgjigje:
Vektorët origjinalë janë me të vërtetë baza e hapësirës katër-dimensionale.
Shembull.
A formojnë vektorët bazën e një hapësire vektoriale të dimensionit 4?
Zgjidhje.
Edhe nëse sistemi origjinal i vektorëve është linearisht i pavarur, numri i vektorëve në të nuk është i mjaftueshëm për të qenë baza e një hapësire katërdimensionale (baza e një hapësire të tillë përbëhet nga 4 vektorë).
Përgjigje:
Jo, nuk ka.
Zbërthimi i një vektori sipas bazës së hapësirës vektoriale.
Lëri vektorë arbitrarë janë baza e një hapësire vektoriale n-dimensionale. Nëse atyre u shtojmë disa vektor n-dimensionale x, atëherë sistemi i vektorëve që rezulton do të jetë i varur në mënyrë lineare. Nga vetitë e varësisë lineare dimë se të paktën një vektor i një sistemi të varur linear shprehet në mënyrë lineare përmes të tjerëve. Me fjalë të tjera, të paktën një nga vektorët e një sistemi të varur linearisht zgjerohet në vektorët e mbetur.
Kjo na sjell në një teoremë shumë të rëndësishme.
Teorema.
Çdo vektor i një hapësire vektoriale n-dimensionale mund të zbërthehet në mënyrë unike në një bazë.
Dëshmi.
Le - baza e hapësirës vektoriale n-dimensionale. Le të shtojmë një vektor n-dimensional x këtyre vektorëve. Atëherë sistemi rezultues i vektorëve do të jetë i varur në mënyrë lineare dhe vektori x mund të shprehet në mënyrë lineare në terma të vektorëve : , ku janë disa numra. Kështu kemi marrë zgjerimin e vektorit x në lidhje me bazën. Mbetet për të vërtetuar se ky dekompozim është unik.
Le të supozojmë se ka një zbërthim tjetër, ku 
- disa numra. Le të zbresim nga anët e majta dhe të djathta të barazisë së fundit, përkatësisht anën e majtë dhe të djathtë të barazisë:
Që nga sistemi i vektorëve bazë është linearisht i pavarur, atëherë me përcaktimin e pavarësisë lineare të një sistemi vektorësh, barazia që rezulton është e mundur vetëm kur të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero. Prandaj, , e cila dëshmon veçantinë e zbërthimit të vektorit në lidhje me bazën.
Përkufizimi.
Koeficientët quhen koordinatat e vektorit x në bazë .
Pasi u njohëm me teoremën për zbërthimin e një vektori në një bazë, fillojmë të kuptojmë thelbin e shprehjes "na jepet një vektor n-dimensional 
" Kjo shprehje do të thotë se ne po shqyrtojmë një vektor të hapësirës vektoriale x n-dimensionale, koordinatat e të cilit janë të specifikuara në disa baza. Në të njëjtën kohë, kuptojmë se i njëjti vektor x në një bazë tjetër të hapësirës vektoriale n-dimensionale do të ketë koordinata të ndryshme nga .
Le të shqyrtojmë problemin e mëposhtëm.
Le të na jepet një sistem prej n vektorësh të pavarur linearisht në një bazë të hapësirës vektoriale n-dimensionale 
dhe vektor . Pastaj vektorët janë edhe baza e kësaj hapësire vektoriale.
Le të na duhet të gjejmë koordinatat e vektorit x në bazë . Le t'i shënojmë këto koordinata si .
Vektori x në bazë ka një ide. Le ta shkruajmë këtë barazi në formë koordinative:
Kjo barazi është ekuivalente me një sistem prej n ekuacionesh algjebrike lineare me n ndryshore të panjohura :
Matrica kryesore e këtij sistemi ka formën 
Le ta shënojmë me shkronjën A. Kolonat e matricës A paraqesin vektorë të një sistemi vektorësh të pavarur linearisht , pra rangu i kësaj matrice është n, prandaj përcaktorja e saj është jo zero. Ky fakt tregon se sistemi i ekuacioneve ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me çdo metodë, për shembull, ose.
Në këtë mënyrë do të gjenden koordinatat e kërkuara vektor x në bazë .
Le të shohim teorinë duke përdorur shembuj.
Shembull.
Në disa bazë të hapësirës vektoriale tre-dimensionale, vektorët 
Sigurohuni që sistemi i vektorëve të jetë gjithashtu bazë e kësaj hapësire dhe gjeni koordinatat e vektorit x në këtë bazë.
Zgjidhje.
Që një sistem vektorësh të jetë baza e një hapësire vektoriale tredimensionale, ai duhet të jetë linearisht i pavarur. Le ta zbulojmë këtë duke përcaktuar rangun e matricës A, rreshtat e së cilës janë vektorë. Le të gjejmë renditjen duke përdorur metodën Gaussian 
pra, Rank(A) = 3, që tregon pavarësinë lineare të sistemit të vektorëve.
Pra, vektorët janë baza. Le të ketë koordinata në këtë bazë vektori x. Më pas, siç e treguam më lart, lidhja ndërmjet koordinatave të këtij vektori jepet nga sistemi i ekuacioneve 
Duke zëvendësuar vlerat e njohura nga gjendja në të, marrim 
Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer: 
Kështu, vektori x në bazë ka koordinata 
.
Përgjigje:
Shembull.
Në disa baza 
të një hapësire vektoriale katërdimensionale, jepet një sistem i pavarur linearisht vektorësh 
Dihet se 
. Gjeni koordinatat e vektorit x në bazë .
Zgjidhje.
Që nga sistemi i vektorëve 
linearisht i pavarur nga kushti, atëherë është një bazë e hapësirës katër-dimensionale. Pastaj barazi do të thotë se vektori x në bazë ka koordinata. Le të shënojmë koordinatat e vektorit x në bazë Si .
Sistemi i ekuacioneve që përcaktojnë marrëdhëniet ndërmjet koordinatave të vektorit x në baza Dhe duket si 
Ne zëvendësojmë vlerat e njohura në të dhe gjejmë koordinatat e kërkuara: 
Përgjigje:
.
Marrëdhënia ndërmjet bazave.
Le të jepen dy sisteme të pavarura linearisht vektorësh në një bazë të një hapësire vektoriale n-dimensionale 
Dhe
pra janë edhe bazat e kësaj hapësire.
Nëse 
- koordinatat e vektorit në bazë , pastaj lidhja koordinative 
Dhe është dhënë nga një sistem ekuacionesh lineare (kemi folur për këtë në paragrafin e mëparshëm): 
, e cila në formë matrice mund të shkruhet si 
Në mënyrë të ngjashme për një vektor mund të shkruajmë 
Barazitë e mëparshme të matricës mund të kombinohen në një, e cila në thelb përcakton marrëdhënien midis vektorëve të dy bazave të ndryshme 
Në mënyrë të ngjashme, ne mund të shprehim të gjithë vektorët bazë përmes bazës 
:
Përkufizimi.
Matricë 
thirrur matrica e tranzicionit nga baza në bazë , atëherë barazia është e vërtetë 
Duke shumëzuar të dyja anët e kësaj barazie nga e djathta me
marrim 
Le të gjejmë matricën e tranzicionit, por nuk do të ndalemi në detaje në gjetjen e matricës së kundërt dhe shumëzimin e matricave (shih artikujt dhe nëse është e nevojshme): 
Mbetet për të gjetur marrëdhënien midis koordinatave të vektorit x në bazat e dhëna.
Le të ketë vektori x koordinata në bazë, atëherë 
dhe në bazë vektori x ka koordinata , atëherë 
Meqenëse anët e majta të dy barazive të fundit janë të njëjta, ne mund të barazojmë anët e djathta: 
Nëse i shumëzojmë të dyja anët në të djathtë me
atëherë marrim 
Ne anen tjeter 
(gjeni vetë matricën e kundërt).
Dy barazitë e fundit na japin marrëdhënien e kërkuar ndërmjet koordinatave të vektorit x në bazat dhe .
Përgjigje:
Matrica e tranzicionit nga baza në bazë ka formën 
;
koordinatat e vektorit x në baza dhe janë të lidhura nga relacionet 
ose .
Ne ekzaminuam konceptet e dimensionit dhe bazës së një hapësire vektoriale, mësuam të zbërthejmë një vektor në një bazë dhe zbuluam lidhjen midis bazave të ndryshme të hapësirës vektoriale n-dimensionale përmes matricës së tranzicionit.