Përkufizimi 7.1. Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh për të cilat shuma e distancave në dy pika fikse F 1 dhe F 2 është një konstante quhet elips.
Përkufizimi i një elipsi jep mënyrën e mëposhtme të ndërtimit të saj gjeometrikisht. Ne rregullojmë dy pika F 1 dhe F 2 në aeroplan dhe shënojmë një konstante jo negative me 2a. Le të jetë distanca ndërmjet pikave F 1 dhe F 2 e barabartë me 2c. Imagjinoni që një fije e pazgjatshme me gjatësi 2a është e fiksuar në pikat F 1 dhe F 2, për shembull, duke përdorur dy gjilpëra. Është e qartë se kjo është e mundur vetëm për një ≥ c. Duke e shtrirë fillin me laps, vizatoni një vijë, e cila do të jetë një elips (Fig. 7.1).
Pra, grupi i përshkruar nuk është bosh nëse a ≥ c. Për a = c, elipsa është një segment me skajet F 1 dhe F 2, dhe për c = 0, d.m.th. nëse pikat fikse të specifikuara në përkufizimin e një elipsi përkojnë, ai është një rreth me rreze a. Duke i hedhur poshtë këto raste të degjeneruara, ne do të supozojmë më tej, si rregull, se a> c> 0.
Pikat fikse F 1 dhe F 2 në përkufizimin 7.1 të elipsit (shih Fig. 7.1) quhen vatra të një elipsi, distanca ndërmjet tyre, e shënuar me 2c, është distancë fokale, dhe segmentet F 1 M dhe F 2 M që lidhin një pikë arbitrare M në elips me vatrat e saj janë rrezet fokale.
Forma e elipsës përcaktohet plotësisht nga distanca fokale | F 1 F 2 | = 2с dhe parametri a, dhe pozicioni i tij në aeroplan është një çift pikash F 1 dhe F 2.
Nga përkufizimi i një elipsi rezulton se ai është simetrik në lidhje me drejtëzën që kalon nëpër vatrat F 1 dhe F 2, si dhe në lidhje me drejtëzën që ndan segmentin F 1 F 2 në gjysmë dhe është pingul. për të (Fig. 7.2, a). Këto rreshta quhen sëpata elipsore... Pika O e kryqëzimit të tyre është qendra e simetrisë së elipsës dhe quhet qendra e elipsës, dhe pikat e kryqëzimit të elipsës me boshtet e simetrisë (pikat A, B, C dhe D në Fig. 7.2, a) - kulmet e elipsës.
Numri a quhet boshti gjysmë i madh i një elipsi, dhe b = √ (a 2 - c 2) është e saj aks gjysmë i vogël... Është e lehtë të shihet se për c> 0, boshti gjysmë i madh a është i barabartë me distancën nga qendra e elipsës me ato të kulmeve të saj që janë në të njëjtin bosht me pikat qendrore të elipsës (kulmet A dhe B në Fig. 7.2, a), dhe boshti gjysmë i vogël b është i barabartë me distancën nga elipsa qendrore në dy kulmet e tjera të saj (kulmet C dhe D në Fig. 7.2, a).
Ekuacioni i elipsit. Konsideroni në rrafsh disa elipsë me vatra në pikat F 1 dhe F 2, boshti kryesor 2a. Le të jetë 2c distanca fokale, 2c = | F 1 F 2 |
Le të zgjedhim një sistem koordinativ drejtkëndor Oxy në aeroplan, në mënyrë që origjina e tij të përkojë me qendrën e elipsës dhe vatrat të jenë në boshti i abshisave(Fig. 7.2, b). Ky sistem koordinativ quhet kanonike për elipsin në shqyrtim, dhe variablat përkatëse janë kanonike.
Në sistemin e zgjedhur të koordinatave, vatrat kanë koordinatat F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Duke përdorur formulën për distancën midis pikave, shkruajmë kushtin | F 1 M | + | F 2 M | = 2a në koordinata:
√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Ky ekuacion është i papërshtatshëm sepse përmban dy radikale katrore. Prandaj, ne e transformojmë atë. Zhvendoseni radikalin e dytë në ekuacionin (7.2) në anën e djathtë dhe katrore atë:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Pas hapjes së kllapave dhe zvogëlimit të termave të ngjashëm, marrim
√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx
ku ε = c / a. Ne përsërisim operacionin e katrorit për të hequr edhe radikalin e dytë: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ose, duke marrë parasysh vlerën e parametrit të futur ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Meqenëse a 2 - c 2 = b 2> 0, atëherë
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)
Ekuacioni (7.4) plotësohet nga koordinatat e të gjitha pikave që shtrihen në elips. Por gjatë nxjerrjes së këtij ekuacioni, u përdorën transformime joekuivalente të ekuacionit origjinal (7.2) - dy katrorë, duke hequr radikalet katrore. Katrorja e një ekuacioni është një transformim ekuivalent nëse të dyja anët përmbajnë vlera me të njëjtën shenjë, por ne nuk e kemi kontrolluar këtë në transformimet tona.
Ne mund të mos kontrollojmë ekuivalencën e transformimeve nëse marrim parasysh sa vijon. Një çift pikash F 1 dhe F 2, | F 1 F 2 | = 2c, në rrafsh përcakton një familje elipsësh me vatra në këto pika. Çdo pikë e rrafshit, me përjashtim të pikave të segmentit F 1 F 2, i përket ndonjë elipsi të familjes së specifikuar. Në këtë rast, nuk ka dy elipsa të kryqëzuara, pasi shuma e rrezeve fokale përcakton në mënyrë unike një elips të veçantë. Pra, familja e përshkruar e elipseve pa kryqëzime mbulon të gjithë rrafshin, me përjashtim të pikave të segmentit F 1 F 2. Konsideroni bashkësinë e pikave, koordinatat e të cilave plotësojnë barazimin (7.4) me një vlerë të caktuar të parametrit a. A mund të shpërndahet ky grup midis disa elipsave? Disa pika të grupit i përkasin një elipse me bosht gjysmë të madh a. Le të përmbajë ky grup një pikë të shtrirë në një elips me bosht gjysmë të madh a. Atëherë koordinatat e kësaj pike i binden ekuacionit
ato. ekuacionet (7.4) dhe (7.5) kanë zgjidhje të përbashkëta. Megjithatë, është e lehtë të shihet se sistemi
nuk ka zgjidhje për г ≠ a. Për ta bërë këtë, mjafton të përjashtoni, për shembull, x nga ekuacioni i parë:
i cili pas transformimeve çon në ekuacionin
e cila nuk ka zgjidhje për г ≠ a, pasi. Pra, (7.4) është ekuacioni i një elipsi me bosht gjysmë të madh a> 0 dhe bosht gjysmë të vogël b = √ (a 2 - c 2)> 0. Quhet ekuacioni kanonik i elipsit.
Pamje elipse. Metoda gjeometrike e ndërtimit të një elipsi të konsideruar më sipër jep një ide të mjaftueshme për pamjen e një elipsi. Por forma e elipsës mund të hetohet edhe me ndihmën e ekuacionit të saj kanonik (7.4). Për shembull, duke supozuar y ≥ 0, ne mund ta shprehim y në terma x: y = b√ (1 - x 2 / a 2), dhe, pasi kemi ekzaminuar këtë funksion, të ndërtojmë grafikun e tij. Ekziston një mënyrë tjetër për të ndërtuar një elips. Një rreth me rreze a me qendër në origjinën e sistemit kanonik të koordinatave të elipsës (7.4) përshkruhet nga ekuacioni x 2 + y 2 = a 2. Nëse e ngjeshim me një koeficient a / b> 1 përgjatë boshtet e ordinatave, atëherë ju merrni një kurbë që përshkruhet nga ekuacioni x 2 + (ya / b) 2 = a 2, domethënë një elips.
Vërejtje 7.1. Nëse i njëjti rreth është i ngjeshur me raportin a/b
Ekscentricitet elips... Raporti i distancës fokale të një elipsi me boshtin e saj kryesor quhet ekscentriciteti i elipsës dhe shënohen me ε. Për një elips të dhënë
ekuacioni kanonik (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Nëse në (7.4) parametrat a dhe b lidhen me pabarazinë a
Për c = 0, kur elipsa kthehet në një rreth, dhe ε = 0. Në raste të tjera, 0
Ekuacioni (7.3) është i barabartë me ekuacionin (7.4), pasi ekuacionet (7.4) dhe (7.2) janë ekuivalente. Prandaj, ekuacioni i elipsës është gjithashtu (7.3). Për më tepër, lidhja (7.3) është interesante në atë që jep një formulë të thjeshtë, pa radikale për gjatësinë | F 2 M | një nga rrezet fokale të pikës M (x; y) të elipsës: | F 2 M | = a + εx.
Një formulë e ngjashme për rrezen e dytë fokale mund të merret nga konsideratat e simetrisë ose duke përsëritur llogaritjet në të cilat radikali i parë transferohet në anën e djathtë, dhe jo i dyti, përpara katrorit të ekuacionit (7.2). Pra, për çdo pikë M (x; y) në elips (shih Fig. 7.2)
| F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7.6)
dhe secili prej këtyre ekuacioneve është një ekuacion për një elipsë.
Shembulli 7.1. Le të gjejmë ekuacionin kanonik të një elipsi me një bosht gjysmë të madh 5 dhe një ekscentricitet 0,8 dhe ta ndërtojmë atë.
Duke ditur boshtin gjysmë të madh të elipsës a = 5 dhe ekscentricitetin ε = 0,8, gjejmë boshtin e saj gjysmë të vogël b. Meqenëse b = √ (a 2 - c 2), dhe c = εa = 4, atëherë b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Prandaj ekuacioni kanonik ka formën x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Për të ndërtuar një elipsë, është e përshtatshme të vizatoni një drejtkëndësh të përqendruar në origjinën e sistemit të koordinatave kanonik, anët e të cilit janë paralele me boshtet e simetrisë së elipsës dhe të barabarta me boshtet e tij përkatëse (Fig. 7.4) . Ky drejtkëndësh kryqëzohet me
boshtet e elipsës në kulmet e saj A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), dhe vetë elipsa është brendashkruar në të. Në fig. 7.4, tregohen edhe vatrat e elipsës F 1,2 (± 4; 0).
Vetitë gjeometrike të elipsës. Ne rishkruajmë ekuacionin e parë në (7.6) si | F 1 M | = (a / ε - x) ε. Vini re se sasia a / ε - x për a> c është pozitive, pasi fokusi F 1 nuk i përket elipsit. Kjo vlerë është distanca në vijën e drejtë vertikale d: x = a / ε nga pika M (x; y) e shtrirë në të majtë të kësaj vije të drejtë. Ekuacioni i elipsit mund të shkruhet si
| F 1 M | / (a / ε - x) = ε
Do të thotë që kjo elipsë përbëhet nga ato pika M (x; y) të rrafshit për të cilat raporti i gjatësisë së rrezes fokale F 1 M me distancën në vijën e drejtë d është një vlerë konstante e barabartë me ε (Fig. 7.5).
Drejtëza d ka një "binjak" - vijën vertikale d", simetrike me d rreth qendrës së elipsës, e cila jepet nga ekuacioni x = -a / ε. Në lidhje me d, elipsa përshkruhet në në të njëjtën mënyrë si në lidhje me d. Të dy rreshtat d dhe d quhen elips direktrix... Drejtorët e elipsës janë pingul me boshtin e simetrisë së elipsës, në të cilën ndodhen vatrat e saj dhe janë të ndara nga qendra e elipsës në një distancë a / ε = a 2 / c (shih Fig. 7.5).
Distanca p nga direktriksi në fokusin më të afërt me të quhet parametri fokal i elipsës... Ky parametër është
p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c
Elipsa ka një tjetër veti të rëndësishme gjeometrike: rrezet fokale F 1 M dhe F 2 M bëjnë kënde të barabarta me tangjenten me elipsën në pikën M (Fig. 7.6).
Kjo pronë ka një kuptim të qartë fizik. Nëse një burim drite vendoset në fokusin F 1, atëherë rrezja që del nga ky fokus, pas reflektimit nga elipsi, do të shkojë përgjatë rrezes së dytë fokale, pasi pas reflektimit do të jetë në të njëjtin kënd me lakoren si përpara reflektimit. Kështu, të gjitha rrezet që dalin nga fokusi F 1 do të përqendrohen në fokusin e dytë F 2 dhe anasjelltas. Në bazë të këtij interpretimi quhet vetia e specifikuar Vetia optike e një elipsi.
11.1. Konceptet bazë
Konsideroni linjat e përcaktuara nga ekuacionet e shkallës së dytë në lidhje me koordinatat aktuale
Koeficientët e ekuacionit janë numra realë, por të paktën njëri nga numrat A, B ose C është jozero. Vija të tilla quhen vija (lakore) të rendit të dytë. Më poshtë do të përcaktohet se ekuacioni (11.1) përcakton një rreth, elips, hiperbolë ose parabolë në aeroplan. Përpara se të vazhdojmë me këtë deklaratë, le të studiojmë vetitë e kthesave të listuara.
11.2. Rretho
Kurba më e thjeshtë e rendit të dytë është një rreth. Kujtojmë se një rreth me rreze R me qendër në një pikë është bashkësia e të gjitha pikave Μ të rrafshit që plotësojnë kushtin. Le të ketë një pikë në një sistem koordinativ drejtkëndor koordinatat x 0, y 0 dhe - një pikë arbitrare të rrethit (shih Fig. 48).
Pastaj nga kushti marrim ekuacionin
(11.2)
Ekuacioni (11.2) plotësohet nga koordinatat e çdo pike të rrethit të dhënë dhe koordinatat e çdo pike që nuk shtrihet në rreth nuk plotësohen.
Quhet ekuacioni (11.2). ekuacioni kanonik i rrethit
Në veçanti, vendosja dhe, marrim ekuacionin e një rrethi me qendër në origjinë 
.
Ekuacioni i rrethit (11.2) pas shndërrimeve të thjeshta do të marrë formën. Kur krahasohet ky ekuacion me ekuacionin e përgjithshëm (11.1) të kurbës së rendit të dytë, është e lehtë të shihet se dy kushte janë të kënaqura për ekuacionin e rrethit:
1) koeficientët në x 2 dhe y 2 janë të barabartë me njëri-tjetrin;
2) nuk ka asnjë term që përmban prodhimin xy të koordinatave aktuale.
Merrni parasysh problemin e kundërt. Duke vendosur vlerat dhe në ekuacionin (11.1), marrim
Le ta transformojmë këtë ekuacion:
(11.4)
Prandaj rrjedh se ekuacioni (11.3) përcakton një rreth sipas kushtit 
... Qendra e saj është në pikën 
dhe rrezja
.
Nëse 
, atëherë ekuacioni (11.3) ka formën
.
Është i kënaqur me koordinatat e një pike të vetme 
... Në këtë rast, ata thonë: "rrethi është degjeneruar në një pikë" (ka një rreze zero).
Nëse 
, pastaj ekuacioni (11.4) dhe rrjedhimisht ekuacioni ekuivalent (11.3), nuk do të përcaktojë asnjë vijë, pasi ana e djathtë e ekuacionit (11.4) është negative, dhe e majta nuk është negative (të themi: "rrethi imagjinar").
11.3. Elipsa
Ekuacioni kanonik i elipsit
Elipsa quhet bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, shuma e largësive nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna të këtij rrafshi, të quajtur truket , ka një vlerë konstante më të madhe se distanca midis vatrave.
Ne i shënojmë fokuset me F 1 dhe F 2, distanca ndërmjet tyre në 2 c, dhe shuma e distancave nga një pikë arbitrare e elipsit në vatrën - pas 2 a(shih fig. 49). Sipas përkufizimit 2 a > 2c, d.m.th. a
> c.
Për të nxjerrë ekuacionin e elipsës, ne zgjedhim një sistem koordinativ në mënyrë që vatrat F 1 dhe F 2 shtrihej në bosht dhe origjina përkoi me pikën e mesit të segmentit F 1 F 2... Atëherë vatrat do të kenë këto koordinata: dhe.
Lë të jetë një pikë arbitrare e elipsës. Pastaj, sipas përkufizimit të një elipse, d.m.th.
Ky, në thelb, është ekuacioni i elipsës.
Ne e transformojmë ekuacionin (11.5) në një formë më të thjeshtë si më poshtë:
Sepse a>me, pastaj. Ne kemi vënë
(11.6)
Atëherë ekuacioni i fundit merr formën ose
(11.7)
Mund të vërtetohet se ekuacioni (11.7) është i barabartë me ekuacionin origjinal. Quhet ekuacioni kanonik i elipsit .
Elipsa është një kurbë e rendit të dytë.
Studimi i formës së një elipsi nga ekuacioni i saj
Le të vendosim formën e elipsës duke përdorur ekuacionin e saj kanonik.
1. Ekuacioni (11.7) përmban x dhe y vetëm në fuqi çift, prandaj, nëse një pikë i përket një elipse, atëherë edhe pikat ,, i përkasin asaj. Nga kjo rrjedh se elipsa është simetrike rreth boshteve dhe, si dhe rreth një pike të quajtur qendra e elipsës.
2. Gjeni pikat e prerjes së elipsës me boshtet koordinative. Duke vënë, gjejmë dy pika dhe, në të cilat boshti kryqëzon elipsin (shih Fig. 50). Duke vendosur në ekuacionin (11.7), gjejmë pikat e prerjes së elipsës me boshtin: dhe. Pikat A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 quhen kulmet e elipsës... Segmentet A 1 A 2 dhe B 1 B 2, si dhe gjatësitë e tyre 2 a dhe 2 b emërtohen në përputhje me rrethanat boshtet e mëdha dhe të vogla elips. Numrat a dhe b quhen përkatësisht të mëdha dhe të vogla gjysmë akset elips.
3. Nga ekuacioni (11.7) del se çdo term në anën e majtë nuk e kalon unitetin, d.m.th. pabarazitë dhe ose dhe. Prandaj, të gjitha pikat e elipsit janë brenda drejtkëndëshit të formuar nga vija të drejta.
4. Në ekuacionin (11.7) shuma e termave jonegativë dhe është e barabartë me një. Rrjedhimisht, me një rritje në një term, tjetri do të ulet, domethënë nëse rritet, atëherë zvogëlohet dhe anasjelltas.
Nga sa u tha del se elipsa ka formën e treguar në Fig. 50 (lakore e mbyllur ovale).
Mësoni më shumë rreth elipsës
Forma e elipsës varet nga raporti. Kur elipsa kthehet në një rreth, ekuacioni i elipsit (11.7) merr formën. Raporti përdoret shpesh si një karakteristikë e formës së një elipsi. Raporti i gjysmës së distancës midis vatrave me boshtin gjysmë të madh të elipsës quhet ekscentricitet i elipsës dhe o6o shënohet me shkronjën ε ("epsilon"):
dhe 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде
Nga kjo shihet se sa më pak ekscentriciteti i elipsës, aq më pak e rrafshuar është elipsa; nëse vendosim ε = 0, atëherë elipsa kthehet në rreth.
Le të jetë M (x; y) një pikë arbitrare e një elipsi me vatra F 1 dhe F 2 (shih Fig. 51). Gjatësitë e segmenteve F 1 M = r 1 dhe F 2 M = r 2 quhen rreze fokale të pikës Μ. Natyrisht,
Formulat e mëposhtme janë të vlefshme
Vijat e drejta quhen
Teorema 11.1. Nëse është distanca nga një pikë arbitrare e elipsit në një fokus, d është distanca nga e njëjta pikë në drejtimin që i korrespondon këtij fokusi, atëherë raporti është një vlerë konstante e barabartë me ekscentricitetin e elipsit:
Nga barazia (11.6) rrjedh se. Nëse, megjithatë, atëherë ekuacioni (11.7) përcakton një elipsë, boshti kryesor i së cilës shtrihet në boshtin Oy dhe boshti i vogël në boshtin Ox (shih Fig. 52). Fokuset e një elipsi të tillë janë në pikat dhe, ku 
.
11.4. Hiperbola
Ekuacioni kanonik i hiperbolës
Hiperbola quhet bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit, moduli i ndryshimit ndërmjet largësive nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna të këtij rrafshi, i quajtur truket , ka një vlerë konstante më të vogël se distanca midis vatrave.
Ne i shënojmë fokuset me F 1 dhe F 2 distanca ndërmjet tyre përmes 2c, dhe moduli i diferencës ndërmjet distancave nga secila pikë e hiperbolës deri te vatra 2a... A-parësore 2a < 2c, d.m.th. a < c.
Për të nxjerrë ekuacionin e hiperbolës, ne zgjedhim një sistem koordinativ në mënyrë që vatrat F 1 dhe F 2 shtrihej në bosht dhe origjina përkoi me pikën e mesit të segmentit F 1 F 2(shih fig. 53). Atëherë vatrat do të kenë koordinata dhe
Le të jetë një pikë arbitrare e hiperbolës. Pastaj, sipas përkufizimit të hiperbolës 
ose d.m.th.. Pas thjeshtimeve, siç u bë me nxjerrjen e ekuacionit të elipsës, marrim
ekuacioni kanonik i hiperbolës
(11.9)
(11.10)
Hiperbola është një vijë e rendit të dytë.
Studimi i formës së hiperbolës sipas ekuacionit të saj
Le të vendosim formën e hiperbolës duke përdorur ekuacionin e saj kakonik.
1. Ekuacioni (11.9) përmban x dhe y vetëm në fuqi çift. Rrjedhimisht, hiperbola është simetrike rreth boshteve dhe, si dhe rreth një pike të quajtur qendra e hiperbolës.
2. Gjeni pikat e prerjes së hiperbolës me boshtet koordinative. Duke vendosur në ekuacionin (11.9), gjejmë dy pika të prerjes së hiperbolës me boshtin: dhe. Duke vendosur (11.9), marrim atë që nuk mund të jetë. Rrjedhimisht, hiperbola nuk e pret boshtin Oy.
Pikët dhe quhen majat hiperbola, dhe segmenti
bosht real , seksioni - gjysmë boshti real hiperbolë.
Segmenti që lidh pikat quhet bosht imagjinar , numri b - gjysmë boshti imagjinar ... Drejtkëndësh me brinjë 2a dhe 2b thirrur drejtkëndëshi kryesor i hiperbolës .
3. Nga ekuacioni (11.9) del se vlera që duhet reduktuar nuk është më e vogël se një, pra ajo ose. Kjo do të thotë se pikat e hiperbolës janë të vendosura në të djathtë të drejtëzës (dega e djathtë e hiperbolës) dhe në të majtë të vijës së drejtë (dega e majtë e hiperbolës).
4. Nga barazimi (11.9) i hiperbolës shihet se kur rritet, atëherë edhe rritet. Kjo rrjedh nga fakti se diferenca mbetet konstante, e barabartë me një.
Nga sa u tha, rezulton se hiperbola ka formën e paraqitur në figurën 54 (një kurbë e përbërë nga dy degë të pakufishme).
Asimptotat e hiperbolës
Drejtëza L quhet asimptotë 
një kurbë K e pakufizuar nëse distanca d nga një pikë M e një lakore K deri në këtë vijë të drejtë priret në zero në një distancë të pakufizuar të një pike M përgjatë një kurbë K nga origjina. Figura 55 ilustron konceptin e një asimptote: drejtëza L është asimptota për kurbën K.
Le të tregojmë se hiperbola ka dy asimptota:
(11.11)
Meqenëse vijat e drejta (11.11) dhe hiperbola (11.9) janë simetrike në lidhje me boshtet e koordinatave, mjafton të merren parasysh vetëm ato pika të vijave të treguara që ndodhen në tremujorin e parë.
Merrni një pikë N në një vijë të drejtë që ka të njëjtën abshisë x si një pikë në hiperbolë 
(shih Fig. 56), dhe gjeni ndryshimin ΜΝ midis ordinatave të drejtëzës dhe degës së hiperbolës:
Siç mund ta shihni, kur x rritet, emëruesi i thyesës rritet; numëruesi është një konstante. Prandaj, gjatësia e segmentit 
ΜΝ priret në zero. Meqenëse ΜΝ është më e madhe se distanca d nga pika Μ në vijën e drejtë, atëherë d edhe më shumë priret në zero. Pra, vijat e drejta janë asimptota e hiperbolës (11.9).
Kur ndërtoni hiperbolën (11.9), këshillohet që fillimisht të ndërtoni drejtkëndëshin kryesor të hiperbolës (shih Fig. 57), të vizatoni vija të drejta që kalojnë nëpër kulmet e kundërta të këtij drejtkëndëshi - asimptotat e hiperbolës dhe të shënoni kulmet dhe , hiperbola.
Ekuacioni i hiperbolës barabrinjës.
asimptota e të cilit janë boshtet koordinative
Një hiperbolë (11.9) quhet barabrinjës nëse gjysmëboshtet e saj janë të barabarta (). Ekuacioni i saj kanonik
(11.12)
Asimptotat e hiperbolës barabrinjës kanë ekuacione dhe, për rrjedhojë, janë përgjysmues të këndeve koordinative.
Konsideroni ekuacionin e kësaj hiperbole në një sistem të ri koordinativ (shih Fig. 58), i marrë nga ai i vjetër duke rrotulluar boshtet e koordinatave me një kënd. Ne përdorim formulat për rrotullimin e boshteve të koordinatave:
Zëvendësoni vlerat e x dhe y në ekuacionin (11.12):
Ekuacioni i një hiperbole barabrinjës, për të cilën boshtet Ox dhe Oy janë asimptota, do të ketë formën.
Mësoni më shumë rreth hiperbolës
Ekscentricitet hiperbola (11.9) quhet raporti i distancës midis vatrave me madhësinë e boshtit real të hiperbolës, i shënuar me ε:
Meqenëse për hiperbolën, ekscentriciteti i hiperbolës është më i madh se një:. Ekscentriciteti karakterizon formën e hiperbolës. Në të vërtetë, nga barazia (11.10) rrjedh se d.m.th. dhe 
.
Nga kjo mund të shihet se sa më i ulët të jetë ekscentriciteti i hiperbolës, aq më i ulët është raporti i gjysmëboshteve të saj, dhe për rrjedhojë aq më i zgjatur është drejtkëndëshi kryesor i saj.
Ekscentriciteti i një hiperbole barabrinjës është. Vërtet,
Rrezet fokale 
dhe 
për pikat e degës së djathtë, hiperbolat kanë formën dhe, dhe për degën e majtë, 
dhe 
.
Vijat e drejta quhen direktriksa të hiperbolës. Meqenëse për hiperbolën ε> 1, atëherë. Kjo do të thotë që drejtimi i djathtë ndodhet midis qendrës dhe majës së djathtë të hiperbolës, dhe e majta është midis qendrës dhe majës së majtë.
Drejtorët e hiperbolës kanë të njëjtën veti si direktriksat e elipsit.
Lakorja e përcaktuar nga ekuacioni është gjithashtu një hiperbolë, boshti real 2b i së cilës ndodhet në boshtin Oy, dhe boshti imagjinar 2 a- në aksin Ox. Në figurën 59, është paraqitur me një vijë me pika.
Është e qartë se hiperbolat dhe kanë asimptota të zakonshme. Hiperbola të tilla quhen të konjuguara.
11.5. Parabola
Ekuacioni kanonik i parabolës
Një parabolë është bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh, secila prej të cilave është po aq e largët nga një pikë e caktuar, e quajtur fokus, dhe një vijë e caktuar e drejtë, e quajtur direktrix. Distanca nga fokusi F në drejtimin quhet parametri i parabolës dhe shënohet me p (p> 0).
Për të nxjerrë ekuacionin e parabolës, ne zgjedhim sistemin e koordinatave Oxy në mënyrë që boshti Ox të kalojë përmes fokusit F pingul me direktriksin në drejtim nga direktriksi në F, dhe origjina e koordinatave O ndodhet në mes midis fokusit dhe fokusit dhe direktriksi (shih Fig. 60). Në sistemin e përzgjedhur, fokusi F ka koordinata, dhe ekuacioni direktor ka formën, ose.
1. Në ekuacionin (11.13) ndryshorja y përfshihet në një fuqi çift, që do të thotë se parabola është simetrike rreth boshtit Ox; boshti Ox është boshti i simetrisë së parabolës.
2. Meqenëse ρ> 0, rrjedh nga (11.13) se. Rrjedhimisht, parabola ndodhet në të djathtë të boshtit Oy.
3. Për, kemi y = 0. Për rrjedhojë, parabola kalon përmes origjinës.
4. Ndërsa x rritet pafundësisht, moduli y gjithashtu rritet pafundësisht. Parabola ka formën (formën) e paraqitur në figurën 61. Pika O (0; 0) quhet maja e parabolës, segmenti FM = r quhet rrezja fokale e pikës M.
Ekuacionet,, ( p> 0) gjithashtu përcaktojnë parabolat, ato janë paraqitur në figurën 62
Është e lehtë të tregohet se grafiku i një trinomi katror, ku B dhe C janë çdo numër real, është një parabolë në kuptimin e përkufizimit të tij më sipër.
11.6. Ekuacioni i përgjithshëm i vijave të rendit të dytë
Ekuacionet e kurbave të rendit të dytë me boshtet e simetrisë paralele me boshtet koordinative
Le të gjejmë fillimisht ekuacionin e një elipse të përqendruar në një pikë, boshtet e simetrisë së së cilës janë paralele me boshtet koordinative Ox dhe Oy, dhe gjysmëboshtet janë, përkatësisht, të barabartë a dhe b... Vendosim në qendër të elipsës O 1 origjinën e sistemit të ri të koordinatave, boshtet e të cilit dhe gjysmëboshtet a dhe b(shih fig. 64):
Së fundi, parabolat e paraqitura në figurën 65 kanë ekuacionet përkatëse.
Ekuacioni
Ekuacionet e një elipse, hiperbole, parabole dhe ekuacioni i një rrethi pas transformimeve (hapni kllapat, zhvendosni të gjitha termat e ekuacionit në një drejtim, sillni terma të ngjashëm, vendosni emërtime të reja për koeficientët) mund të shkruhen duke përdorur një të vetme ekuacioni i formës
ku koeficientët A dhe C nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë.
Shtrohet pyetja: a përcakton ndonjë ekuacion i formës (11.14) një nga kthesat (rrethi, elipsi, hiperbola, parabola) e rendit të dytë? Përgjigja jepet nga teorema e mëposhtme.
Teorema 11.2... Ekuacioni (11.14) gjithmonë përcakton: ose një rreth (për A = C), ose një elips (për A C> 0), ose një hiperbolë (për A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Ekuacioni i përgjithshëm i rendit të dytë
Konsideroni tani një ekuacion të përgjithshëm të shkallës së dytë me dy të panjohura:
Ai ndryshon nga ekuacioni (11.14) nga prania e një termi me prodhimin e koordinatave (B1 0). Është e mundur, duke rrotulluar boshtet e koordinatave nëpër këndin a, të transformohet ky ekuacion në mënyrë që të mos ketë term me prodhimin e koordinatave në të.
Përdorimi i formulave të rrotullimit të boshteve
ne shprehim koordinatat e vjetra në terma të atyre të reja:
Le të zgjedhim këndin a në mënyrë që koeficienti në x "· y" të zhduket, domethënë, në mënyrë që barazia
Kështu, kur boshtet rrotullohen përmes këndit a, duke përmbushur kushtin (11.17), ekuacioni (11.15) reduktohet në ekuacionin (11.14).
Prodhimi: ekuacioni i përgjithshëm i rendit të dytë (11.15) përcakton kthesat e mëposhtme në rrafsh (me përjashtim të rasteve të degjenerimit dhe zbërthimit): një rreth, një elips, një hiperbolë, një parabolë.
Shënim: Nëse A = C, atëherë ekuacioni (11.17) humbet kuptimin e tij. Në këtë rast cos2α = 0 (shih (11.16)), pastaj 2α = 90 °, d.m.th., α = 45 °. Pra, kur A = C, sistemi i koordinatave duhet të rrotullohet 45 °.
Një elipsë është vendndodhja e pikave të rrafshit, shuma e distancave nga secila prej të cilave në dy pika të dhëna F_1, dhe F_2 është një vlerë konstante (2a) më e madhe se distanca (2c) midis këtyre pikave të dhëna (Figura 3.36, a). Ky përkufizim gjeometrik shpreh Vetia e elipsës fokale.
Vetia fokale e një elipsi
Pikat F_1 dhe F_2 quhen pika fokale të elipsës, distanca midis tyre është 2c = F_1F_2 - gjatësia fokale, mesi O i segmentit F_1F_2 - qendra e elipsës, numri 2a - gjatësia e kryesore boshti i elipsës (përkatësisht, numri a - boshti gjysmë i madh i elipsës). Segmentet F_1M dhe F_2M që lidhin një pikë arbitrare M të elipsës me vatrat e saj quhen rreze fokale të pikës M. Segmenti që lidh dy pika të elipsës quhet korda e elipsës.
Raporti e = \ frac (c) (a) quhet ekscentricitet i elipsit. Nga përkufizimi (2a> 2c) rezulton se 0 \ leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Përkufizimi gjeometrik i një elipsi, e cila shpreh vetinë e saj fokale, është ekuivalente me përkufizimin e saj analitik - një vijë e përcaktuar nga ekuacioni kanonik i një elipsi:
Në të vërtetë, ne prezantojmë një sistem koordinativ drejtkëndor (Figura 3.36, c). Qendra O e elipsës merret si origjinë e sistemit të koordinatave; vija e drejtë që kalon nëpër vatra (boshti fokal ose boshti i parë i elipsës) merret si bosht i abshisës (drejtimi pozitiv mbi të nga pika F_1 deri në pikën F_2); si ordinatë merret vija e drejtë pingul me boshtin vatër dhe që kalon nga qendra e elipsës (boshti i dytë i elipsës) (drejtimi në ordinatë zgjidhet në mënyrë që sistemi koordinativ drejtkëndor Oxy të jetë i drejtë).
Le të hartojmë ekuacionin e elipsës, duke përdorur përkufizimin e saj gjeometrik, i cili shpreh vetinë fokale. Në sistemin e zgjedhur të koordinatave, përcaktoni koordinatat e fokuseve F_1 (-c, 0), ~ F_2 (c, 0)... Për një pikë arbitrare M (x, y) që i përket një elipse, kemi:
\ vline \, \ shigjetë e sipërme (F_1M) \, \ vline \, + \ vline \, \ shigjetë e sipërme (F_2M) \, \ vline \, = 2a.
Duke shkruar këtë barazi në formë koordinative, marrim:
\ sqrt ((x + c) ^ 2 + y ^ 2) + \ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = 2a.
Ne e zhvendosim radikalin e dytë në anën e djathtë, në katror të dy anët e ekuacionit dhe japim terma të ngjashëm:
(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a \ sqrt ((xc) ^ 2 + y ^ 2) + (xc) ^ 2 + y ^ 2 ~ \ Shigjeta djathtas ~ 4a \ sqrt ((xc ) ^ 2 + y ^ 2) = 4a ^ 2-4cx.
Duke e pjesëtuar me 4, ne katrorë të dy anët e ekuacionit:
a ^ 2 (xc) ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 4-2a ^ 2cx + c ^ 2x ^ 2 ~ \ Shigjeta e majtë ~ (a ^ 2-c ^ 2) ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2).
Duke caktuar b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2)> 0, marrim b ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2b ^ 2... Duke i ndarë të dyja anët me një ^ 2b ^ 2 \ ne0, arrijmë në ekuacionin kanonik të elipsit:
\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1.
Prandaj, sistemi i zgjedhur i koordinatave është kanonik.
Nëse vatrat e elipsës përkojnë, atëherë elipsa është një rreth (Figura 3.36.6), pasi a = b. Në këtë rast, çdo sistem koordinativ drejtkëndor me origjinë në pikë do të jetë kanonik O \ equiv F_1 \ equiv F_2, një ekuacion x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 është ekuacioni i një rrethi me qendër në O dhe rrezja a.
Duke e kryer arsyetimin në rend të kundërt, mund të tregohet se të gjitha pikat, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin (3.49), dhe vetëm ato, i përkasin një lokaliteti pikash të quajtur elips. Me fjalë të tjera, përkufizimi analitik i një elipsi është ekuivalent me përkufizimin e tij gjeometrik, i cili shpreh vetinë fokale të elipsës.
Vetia e drejtorisë "Elipse".
Drejtpërdrejtë elipsore janë dy vija të drejta që shkojnë paralelisht me boshtin e ordinatave të sistemit të koordinatave kanonik në të njëjtën distancë \ frac (a ^ 2) (c) prej tij. Për c = 0, kur elipsa është një rreth, nuk ka direktriksa (mund të supozojmë se direktrikset janë pafundësisht të largëta).
Elipsa me ekscentricitet 0
Në të vërtetë, për shembull, për fokusin F_2 dhe drejtimin d_2 (Fig. 3.37.6), kushti \ frac (r_2) (\ rho_2) = e mund të shkruhet në formë koordinative:
\ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = e \ cdot \! \ majtas (\ frac (a ^ 2) (c) -x \ djathtas)
Heqja e irracionalitetit dhe zëvendësimi e = \ frac (c) (a), ~ a ^ 2-c ^ 2 = b ^ 2, arrijmë në ekuacionin kanonik të elipsës (3.49). Arsyetim i ngjashëm mund të kryhet për fokusin F_1 dhe directrix d_1 \ dy pika \ frac (r_1) (\ rho_1) = e.
Ekuacioni i një elipsi në një sistem koordinativ polar
Ekuacioni i elipsës në sistemin koordinativ polar F_1r \ varphi (Fig. 3.37, c dhe 3.37 (2)) ka formën
r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)
ku p = \ frac (b ^ 2) (a) është parametri fokal i elipsit.
Në të vërtetë, le të zgjedhim fokusin e majtë F_1 të elipsës si pol të sistemit të koordinatave polar, dhe rrezen F_1F_2 si bosht polar (Figura 3.37, c). Pastaj, për një pikë arbitrare M (r, \ varphi), sipas përkufizimit gjeometrik (vetia fokale) e një elipsi, kemi r + MF_2 = 2a. Ne shprehim distancën midis pikave M (r, \ varphi) dhe F_2 (2c, 0) (shih):
\ fill (përafruar) F_2M & = \ sqrt ((2c) ^ 2 + r ^ 2-2 \ cdot (2c) \ cdot r \ cos (\ varphi-0)) = \\ & = \ sqrt (r ^ 2 - 4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2). \ Fund (drejtuar)
Prandaj, në formën e koordinatave, ekuacioni i elipsës F_1M + F_2M = 2a ka formën
r + \ sqrt (r ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2) = 2 \ cdot a.
Ne sekretojmë radikalin, katror të dy anët e ekuacionit, e ndajmë me 4 dhe japim terma të ngjashëm:
r ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2 ~ \ Shigjeta e majtë ~ a \ cdot \! \ majtas (1- \ frac (c) (a) \ cdot \ cos \ varphi \ djathtas) \! \ cdot r = a ^ 2-c ^ 2.
Shprehni rrezen polare r dhe zëvendësojeni e = \ frac (c) (a), ~ b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2, ~ p = \ frac (b ^ 2) (a):
r = \ frac (a ^ 2-c ^ 2) (a \ cdot (1-e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Shigjeta e majta \ kuadrat r = \ frac (b ^ 2) (a \ cdot (1 -e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Shigjeta majtas \ katër r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),
Q.E.D.
Kuptimi gjeometrik i koeficientëve në ekuacionin e elipsit
Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të elipsës (shih Fig. 3.37, a) me boshtet e koordinatave (kulmet e zllipsës). Duke zëvendësuar y = 0 në ekuacion, gjejmë pikat e prerjes së elipsës me boshtin e abshisës (me boshtin fokal): x = \ pm a. Prandaj, gjatësia e segmentit të boshtit fokal të mbyllur brenda elipsit është 2a. Ky segment, siç u përmend më lart, quhet boshti kryesor i elipsës, dhe numri a quhet boshti kryesor i elipsës. Duke zëvendësuar x = 0, marrim y = \ pm b. Prandaj, gjatësia e segmentit të boshtit të dytë të elipsës, e mbyllur brenda elipsës, është e barabartë me 2b. Ky segment quhet bosht i vogël i elipsës, dhe numri b quhet bosht i vogël i elipsës.
Vërtet, b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2) \ leqslant \ sqrt (a ^ 2) = a, dhe barazia b = a fitohet vetëm në rastin c = 0, kur elipsa është rreth. Qëndrimi k = \ frac (b) (a) \ leqslant1 quhet raporti i ngjeshjes së elipsës.
Vërejtje 3.9
1. Vijat e drejta x = \ pm a, ~ y = \ pm b kufizojnë në planin koordinativ drejtkëndëshin kryesor, brenda të cilit ka një elips (shih Fig. 3.37, a).
2. Një elipsë mund të përkufizohet si vendndodhja e pikave të marra nga ngjeshja e një rrethi në diametrin e tij.
Në të vërtetë, le në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe Oxy ekuacioni i rrethit të ketë formën x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2. Kur kompresohet në boshtin e abshisës me një faktor 0 \ fillimi (rastet) x "= x, \\ y" = k \ cdot y. \ fundi (rastet) Duke zëvendësuar x = x "dhe y = \ frac (1) (k) y" në ekuacionin e rrethit, marrim ekuacionin për koordinatat e figurës M "(x", y ") të pikës M (x , y): (x ") ^ 2 + (\ majtas (\ frac (1) (k) \ cdot y" \ djathtas) \^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} meqenëse b = k \ cdot a. Ky është ekuacioni kanonik i elipsës. 3. Boshtet e koordinatave (sistemi i koordinatave kanonik) janë boshtet e simetrisë së elipsës (të quajtura boshtet kryesore të elipsës), dhe qendra e saj është qendra e simetrisë. Në të vërtetë, nëse pika M (x, y) i përket elipsës. atëherë të njëjtës elipsë i përkasin edhe pikat M "(x, -y) dhe M" "(- x, y), të cilat janë simetrike me pikën M në lidhje me boshtet koordinative. 4. Nga ekuacioni i elipsës në sistemin koordinativ polar r = \ frac (p) (1-e \ cos \ varphi)(shih Figurën 3.37, c), kuptimi gjeometrik i parametrit fokal është sqaruar - kjo është gjysma e gjatësisë së kordës së elipsit që kalon përmes fokusit të saj pingul me boshtin fokal (r = p në \ varphi = \ frac (\ pi) (2)). 5. Ekscentriciteti e karakterizon formën e një elipse, përkatësisht ndryshimin midis një elipsi dhe një rrethi. Sa më shumë e, aq më e zgjatur është elipsa dhe sa më afër zeros të jetë elipsa, aq më afër rrethit është elipsa (Figura 3.38, a). Në të vërtetë, duke marrë parasysh se e = \ frac (c) (a) dhe c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2, marrim e ^ 2 = \ frac (c ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2) = 1 - (\ majtas (\ frac (a) (b) \ djathtas ) \^2=1-k^2,
!} ku k është raporti i ngjeshjes së elipsës, 0 6. Ekuacioni \ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1 në një 7. Ekuacioni \ frac ((x-x_0) ^ 2) (a ^ 2) + \ frac ((y-y_0) ^ 2) (b ^ 2) = 1, ~ a \ geqslant b përcakton një elipsë me qendër në pikën O "(x_0, y_0), boshtet e së cilës janë paralele me boshtet e koordinatave (Fig. 3.38, c). Ky ekuacion reduktohet në atë kanonik duke përdorur përkthimin paralel (3.36). Për a = b = R ekuacioni (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = R ^ 2 përshkruan një rreth me rreze R të përqendruar në pikën O "(x_0, y_0). Ekuacioni parametrik i elipsit në sistemin koordinativ kanonik ka formën \ fill (rastet) x = a \ cdot \ cos (t), \\ y = b \ cdot \ sin (t), \ fund (rastet) 0 \ leqslant t<2\pi.
Në të vërtetë, duke i zëvendësuar këto shprehje me ekuacionin (3.49), arrijmë në identitetin kryesor trigonometrik \ cos ^ 2t + \ sin ^ 2t = 1. Shembulli 3.20. Vizatoni elips \ frac (x ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 në sistemin e koordinatave kanonik Oxy. Gjeni gjysmëboshtet, gjatësinë fokale, ekscentricitetin, raportin e ngjeshjes, parametrin fokal, ekuacionet direkte. Zgjidhje. Duke krahasuar ekuacionin e dhënë me atë kanonik, përcaktojmë gjysmëboshtet: a = 2 - boshti gjysmë i madh, b = 1 - boshti gjysmë i vogël i elipsës. Ne ndërtojmë drejtkëndëshin kryesor me brinjë 2a = 4, ~ 2b = 2 të përqendruar në origjinë (Figura 3.39). Duke marrë parasysh simetrinë e elipsit, ne e vendosim atë në drejtkëndëshin kryesor. Nëse është e nevojshme, përcaktoni koordinatat e disa pikave të elipsës. Për shembull, duke zëvendësuar x = 1 në ekuacionin e elipsit, marrim \ frac (1 ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 \ katërsh \ Shigjeta e majta \ katër y ^ 2 = \ frac (3) (4) \ kuadrat \ Shigjeta e majtë \ quad y = \ pm \ frac (\ sqrt (3)) (2). Prandaj, pikat me koordinata \ majtas (1; \, \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ djathtas) \ !, ~ \ majtas (1; \, - \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ djathtas)- i përkasin një elipsi. Llogaritni raportin e kompresimit k = \ frak (b) (a) = \ frak (1) (2); gjatësia fokale 2c = 2 \ sqrt (a ^ 2-b ^ 2) = 2 \ sqrt (2 ^ 2-1 ^ 2) = 2 \ sqrt (3); ekscentricitet e = \ frac (c) (a) = \ frac (\ sqrt (3)) (2); parametri fokal p = \ frac (b ^ 2) (a) = \ frac (1 ^ 2) (2) = \ frac (1) (2)... Ne përpilojmë ekuacionet direktore: x = \ pm \ frac (a ^ 2) (c) ~ \ Shigjeta djathtas majtas ~ x = \ pm \ frac (4) (\ sqrt (3)). Ligjërata për algjebër dhe gjeometri. Semestri 1. Leksioni 15. Elipsa. Kapitulli 15. Elipsa. pika 1. Përkufizimet bazë. Përkufizimi. Një elipsë quhet GMT e rrafshit, shuma e distancave të së cilës deri në dy pika fikse të planit, të quajtura vatra, është një vlerë konstante. Përkufizimi. Distanca nga një pikë arbitrare M e planit në fokusin e elipsit quhet rrezja fokale e pikës M. Legjenda: Sipas përkufizimit të një elipse, një pikë M është një pikë e një elipse nëse dhe vetëm nëse vini re, se Sipas përkufizimit të një elipsi, vatrat e saj janë pika fikse, kështu që distanca midis tyre është gjithashtu një vlerë konstante për një elips të caktuar. Përkufizimi. Distanca midis fokuseve të elipsës quhet gjatësi fokale. Përcaktimi: Jashtë trekëndëshit Le të shënojmë b një numër të barabartë me Përkufizimi. Qëndrimi quhet ekscentriciteti i elipses. Le të prezantojmë një sistem koordinativ në këtë plan, të cilin do ta quajmë kanonik për elipsën. Përkufizimi. Boshti në të cilin shtrihen vatrat e elipsës quhet bosht fokal. Le të ndërtojmë një PDSC kanonike për elipsin, shih Fig. 2. Ne zgjedhim boshtin fokal si bosht të abshisave dhe vizatojmë boshtin e ordinatave në mes të segmentit Pastaj vatrat kanë koordinata pika 2. Ekuacioni kanonik i një elipsi. Teorema. Në sistemin kanonik të koordinatave për elipsën, ekuacioni i elipsës ka formën: Dëshmi. Ne e kryejmë vërtetimin në dy faza. Në fazën e parë, do të vërtetojmë se koordinatat e çdo pike që shtrihet në elips plotësojnë ekuacionin (4). Në fazën e dytë, do të vërtetojmë se çdo zgjidhje e ekuacionit (4) jep koordinatat e një pike të shtrirë në një elips. Prandaj do të vijojë që ekuacioni (4) plotësohet nga ato dhe vetëm ato pika të planit koordinativ që shtrihen në elips. Nga kjo dhe nga përkufizimi i ekuacionit të lakores do të rrjedhë se ekuacioni (4) është ekuacioni i një elipsi. 1) Le të jetë pika M (x, y) pika e elipsës, d.m.th. shuma e rrezeve të saj fokale është 2a: Ne do të përdorim formulën për distancën midis dy pikave në planin koordinativ dhe do të përdorim këtë formulë për të gjetur rrezet fokale të një pike të caktuar M: Le të zhvendosim njërën rrënjë në anën e djathtë të barazisë dhe ta katrorojmë atë: Duke reduktuar, marrim: Ne japim të ngjashme, i zvogëlojmë me 4 dhe izolojmë radikalin: katrore Zgjeroni kllapat dhe shkurtojeni në prej nga marrim: Duke përdorur barazinë (2), marrim: Pjesëtimi i barazisë së fundit me 2) Tani le të plotësojnë një çift numrash (x, y) ekuacionin (4) dhe le të jetë M (x, y) pika përkatëse në planin koordinativ Oxy. Pastaj rrjedh nga (4): Ne e zëvendësojmë këtë barazi në shprehjen për rrezet fokale të pikës M: Këtu kemi përdorur barazinë (2) dhe (3). Kështu, Tani, vini re se barazia (4) nënkupton këtë Nga kjo, nga ana tjetër, rrjedh se Nga barazitë (5) rezulton se Teorema është vërtetuar. Përkufizimi. Ekuacioni (4) quhet ekuacioni kanonik i elipsës. Përkufizimi. Boshtet kanonike të koordinatave për një elipsë quhen boshtet kryesore të elipsës. Përkufizimi. Origjina e sistemit të koordinatave kanonik të elipsës quhet qendra e elipsës. f. 3. Vetitë e elipsës. Teorema. (Vetitë e elipsës.) 1. Në sistemin e koordinatave kanonik për elipsën, të gjitha pikat e elipsës janë në drejtkëndësh 2. Pikat shtrihen në 3. Një elipsë është një kurbë simetrike në lidhje me boshtet e tyre kryesore. 4. Qendra e elipsës është qendra e simetrisë së saj. Dëshmi. 1, 2) Menjëherë pason nga ekuacioni kanonik i elipsës. 3, 4) Le të jetë M (x, y) një pikë arbitrare e elipsës. Atëherë koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin (4). Por atëherë koordinatat e pikave plotësojnë gjithashtu barazimin (4), dhe, për rrjedhojë, janë pikat e elipsës, prej nga vijojnë pohimet e teoremës. Teorema është vërtetuar. Përkufizimi. Madhësia 2a quhet boshti kryesor i elipsës, sasia a quhet boshti gjysmë i madh i elipsës. Përkufizimi. Madhësia 2b quhet bosht i vogël i elipsës, sasia b quhet bosht i vogël i elipsës. Përkufizimi. Pikat e prerjes së elipsës me boshtet e saj kryesore quhen kulme të elipsës. Komentoni. Një elips mund të ndërtohet si më poshtë. Në aeroplan, në truket "ne godasim me çekiç përgjatë gozhdës" dhe lidhim mbi to një fije të gjatë Nga përkufizimi i ekscentricitetit del se Le të rregullojmë numrin a dhe le të priret numri c në zero. Pastaj në Le të përpiqemi tani pika 4. Ekuacionet parametrike të një elipsi. Teorema. Le te jete është ekuacionet parametrike të elipsës në sistemin koordinativ kanonik për elipsën. Dëshmi. Mjafton të vërtetohet se sistemi i ekuacioneve (6) është i barabartë me ekuacionin (4), d.m.th. ata kanë të njëjtin grup zgjidhjesh. 1) Le të jetë (x, y) një zgjidhje arbitrare e sistemit (6). Pjesëtojeni ekuacionin e parë me a, të dytin me b, në katror të dy ekuacionet dhe shtoni: ato. çdo zgjidhje (x, y) e sistemit (6) plotëson ekuacionin (4). 2) Anasjelltas, le të jetë çifti (x, y) zgjidhje e ekuacionit (4), d.m.th. Kjo barazi nënkupton që pika me koordinata Nga përkufizimi i sinusit dhe kosinusit rrjedh menjëherë se Teorema është vërtetuar. Komentoni. Një elipsë mund të merret si rezultat i "ngjeshjes" uniforme të një rrethi me rreze a në boshtin e abshisës. Le te jete Me këtë shndërrim, çdo pikë e rrethit "kalon" në një pikë tjetër të rrafshit, e cila ka të njëjtën abshisë, por një ordinatë më të vogël. Le të shprehim ordinatën e vjetër të pikës në terma të ordinatës së re: dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e rrethit: Nga këtu marrim: Prandaj rrjedh se nëse përpara transformimit të "ngjeshjes" pika M (x, y) shtrihej në një rreth, d.m.th. koordinatat e tij plotësuan ekuacionin e rrethit, pastaj pas shndërrimit të "ngjeshjes" kjo pikë "kaloi" në pikë f. 5. Tangjente me elipsin. Teorema. Le te jete Pastaj ekuacioni i tangjentes me këtë elipsë në pikë Dëshmi. Mjafton të merret në konsideratë rasti kur pika e tangjencës qëndron në tremujorin e parë ose të dytë të planit koordinativ: Ne përdorim ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit ku Zëvendësoni vlerën e gjetur të derivatit në ekuacionin tangjent (10): prej nga marrim: Kjo nënkupton: Ne e ndajmë këtë barazi me Mbetet të theksohet se Ekuacioni i drejtëzës tangjente (8) në pikën e tangjences që shtrihet në çerekun e tretë ose të katërt të planit koordinativ vërtetohet në mënyrë të ngjashme. Dhe së fundi, ne shohim lehtësisht se ekuacioni (8) jep ekuacionin e drejtëzës tangjente në pikat Teorema është vërtetuar. f. 6. Vetia e pasqyrës së një elipsi. Teorema. Tangjentja e elipsës ka kënde të barabarta me rrezet fokale të pikës tangjente. Le te jete Teorema thotë se Kjo barazi mund të interpretohet si barazia e këndeve të incidencës dhe reflektimit të një rreze drite nga një elipsë e emetuar nga fokusi i saj. Kjo veti quhet veti spekulare e një elipsi: Një rreze drite e emetuar nga fokusi i elipsës, pasi reflektohet nga pasqyra e elipsës, kalon nëpër një fokus tjetër të elipsës. Vërtetimi i teoremës. Për të vërtetuar barazinë e këndeve (11), vërtetojmë ngjashmërinë e trekëndëshave Ekuacioni parametrik i elipsit
- vatra të një elipsi, 
Janë rrezet fokale të pikës M.
- vlerë konstante. Kjo konstante zakonisht shënohet 2a:
.
(1)
.
.
vijon se 
, d.m.th.
.
, d.m.th.
.
(2)
(3)
pingul me boshtin fokal.
,
.
.
(4)
.
,
, prej nga marrim:
.
:
.
, fitojmë barazinë (4), kap.d.
.
.
... Po kështu, 
.
ose 
dhe që nga ajo kohë 
, atëherë pabarazia rrjedh nga kjo:
.
ose 
dhe
,
.
(5)
, d.m.th. pika M (x, y) është një pikë e një elipsi, ch.d.
,
.
... Më pas marrim një laps dhe e përdorim për të tërhequr fillin. Më pas e lëvizim plumbin e lapsit përgjatë rrafshit, duke u siguruar që filli të jetë i tendosur.
,
dhe 
... Në kufirin që marrim
ose 
- ekuacioni i rrethit.
... Pastaj 
,
dhe shohim se në kufi elipsa degjeneron në një segment të drejtë 
në shënimin në figurën 3.
- numra realë arbitrarë. Pastaj sistemi i ekuacioneve
,
(6)
.
.
shtrihet në një rreth me rreze njësi të përqendruar në origjinë, d.m.th. është një pikë e rrethit trigonometrik, e cila korrespondon me një kënd 
:
,
, ku 
, prej nga rrjedh se çifti (x, y) është zgjidhje e sistemit (6), p.a.
- ekuacioni i një rrethi me qendër në origjinë. "Tkurrja" e një rrethi në boshtin e abshisave nuk është gjë tjetër veçse një transformim i planit koordinativ, i kryer sipas rregullit të mëposhtëm. Për secilën pikë M (x, y) vendosim në korrespondencë një pikë të të njëjtit rrafsh 
, ku 
,
- raporti i "ngjeshjes".
.
.
(7)
koordinatat e së cilës plotësojnë ekuacionin e elipsit (7). Nëse duam të marrim ekuacionin e një elipsi me një bosht gjysmë të vogël b, atëherë duhet të marrim raportin e ngjeshjes
.
- pika arbitrare e elipsës
.
duket si:
.
(8)
... Ekuacioni i elipsës në gjysmëplanin e sipërm është:
.
(9)
në pikën 
:
- vlera e derivatit të këtij funksioni në pikë 
... Elipsa në tremujorin e parë mund të shihet si një grafik i funksionit (8). Le të gjejmë derivatin dhe vlerën e tij në pikën e tangjencës:
,
... Këtu kemi përdorur faktin se pika e prekjes 
është një pikë e një elipse dhe për këtë arsye koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin e një elipse (9), d.m.th.
.
,
:
.
që nga viti pikë 
i përket një elipse dhe koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin e saj.
,
:
ose 
, dhe 
ose 
.
- pika e prekjes, 
,
A janë rrezet fokale të pikës së tangjences, P dhe Q janë projeksionet e vatrave në tangjenten e tërhequr në elips në pikën 
.
.
(11)
dhe 
në të cilën anët 
dhe 
do të jenë të ngjashme. Meqenëse trekëndëshat janë drejtkëndëshe, mjafton të vërtetohet barazia