A mendoni se ka akoma kohë para provimit dhe do të keni kohë për t'u përgatitur? Ndoshta është kështu. Por në çdo rast, sa më parë një student fillon trajnimet, aq më me sukses i kalon provimet. Sot vendosëm t’i kushtojmë një artikull pabarazive logaritmike. Kjo është një nga detyrat, që do të thotë një mundësi për të marrë një pikë shtesë.
A e dini tashmë se çfarë është një logaritmi? Ne vërtet shpresojmë kështu. Por edhe nëse nuk keni një përgjigje për këtë pyetje, nuk është problem. Të kuptuarit se çfarë është një logaritmi është shumë e thjeshtë.
Pse saktësisht 4? Ju duhet të ngrini numrin 3 në një fuqi të tillë për të marrë 81. Kur të kuptoni parimin, mund të vazhdoni me llogaritjet më komplekse.
Ju kaluat pabarazitë disa vjet më parë. Dhe që nga ajo kohë, ato hasen vazhdimisht në matematikë. Nëse keni probleme në zgjidhjen e pabarazive, shihni pjesën përkatëse.
Tani që jemi njohur me konceptet veç e veç, le të vazhdojmë t'i shqyrtojmë ato në përgjithësi.
Pabarazia më e thjeshtë logaritmike.
Pabarazitë më të thjeshta logaritmike nuk janë të kufizuara në këtë shembull, ekzistojnë edhe tre, vetëm me shenja të ndryshme. Pse është e nevojshme kjo? Për të kuptuar më mirë sesi të zgjidhet pabarazia me logaritmet. Tani do të japim një shembull më të zbatueshëm, është akoma mjaft e thjeshtë, do të lëmë pabarazitë e ndërlikuara logaritmike për më vonë.
Si ta zgjidhim këtë? E gjitha fillon me ODZ. Vlen të dihet më shumë rreth saj, nëse gjithmonë dëshironi të zgjidhni lehtësisht çdo pabarazi.
Farë është ODU? ODZ për pabarazitë logaritmike
Shkurtesa qëndron për varg vlerash të vlefshme. Në detyrat për provim, kjo formulim shpesh shfaqet. ODZ është e dobishme për ju jo vetëm në rastin e pabarazive logaritmike.
Shikoni një shembull tjetër më lart. Ne do ta konsiderojmë DHS bazuar në të, në mënyrë që të kuptoni parimin, dhe zgjidhja e pabarazive logaritmike nuk shtron pyetje. Nga përkufizimi i logaritmit rrjedh që 2x + 4 duhet të jetë më i madh se zero. Në rastin tonë, kjo do të thotë më poshtë.
Sipas përcaktimit, ky numër duhet të jetë pozitiv. Zgjidhur pabarazinë e mësipërme. Kjo mund të bëhet edhe me gojë, këtu është e qartë se X nuk mund të jetë më pak se 2. Zgjidhja për pabarazinë do të jetë përcaktimi i diapazonit të vlerave të pranueshme.
Tani le të vazhdojmë drejt zgjidhjes së pabarazisë më të thjeshtë logaritmike.
Ne heqim logaritmet vetë nga të dy anët e pabarazisë. Whatfarë kemi lënë si rezultat? Pabarazi e thjeshtë.
Nuk është e vështirë ta zgjidhësh atë. X duhet të jetë më i madh se -0.5. Tani ne bashkojmë dy vlerat e fituara në sistem. Kështu,
Ky do të jetë diapazoni i vlerave të pranueshme për pabarazinë logaritmike të konsideruar.
Pse keni nevojë për ODZ fare? Kjo është një mundësi për të tretur përgjigje të pasakta dhe të pamundura. Nëse përgjigja nuk është brenda intervalit të vlerave të pranueshme, atëherë përgjigja thjesht nuk ka kuptim. Kjo vlen të kujtohet për një kohë të gjatë, pasi që në provim shpesh ka nevojë për të kërkuar ODZ, dhe kjo ka të bëjë jo vetëm me pabarazitë logaritmike.
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike
Zgjidhja përbëhet nga disa faza. Së pari, duhet të gjeni gamën e vlerave të vlefshme. Do të ketë dy vlera në ODZ, ne diskutuam më lart. Tjetra, ju duhet të zgjidhni vetë pabarazinë. Metodat e zgjidhjes janë si më poshtë:
- metoda e zëvendësimit të shumëzuesit;
- dekompozimi;
- metoda e racionalizimit.
Në varësi të situatës, ia vlen të përdorni një nga metodat e mësipërme. Le të shkojmë direkt te zgjidhja. Ne do të zbulojmë metodën më të popullarizuar që është e përshtatshme për zgjidhjen e detyrave të përdorimit në pothuajse të gjitha rastet. Tjetra, ne do të shikojmë në metodën e dekompozimit. Mund të ndihmojë nëse hasni pabarazi veçanërisht të ndërlikuara. Pra, algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë logaritmike.
Shembuj zgjidhjeje :
Ne nuk kemi marrë thjesht një pabarazi të tillë për asgjë! Kushtojini vëmendje bazës. Mos harroni: nëse është më e madhe se një, shenja mbetet e njëjtë kur gjendet rrezja e vlerave të pranueshme; përndryshe, shenja e pabarazisë duhet të ndryshohet.
Si rezultat, marrim pabarazinë:
Tani e sjellim anën e majtë në formën e ekuacionit të barabartë me zero. Në vend të shenjës "më pak" e vendosim "të barabartë", zgjidhim ekuacionin. Kështu, do ta gjejmë ODZ. Shpresojmë që të mos keni asnjë problem në zgjidhjen e një ekuacioni kaq të thjeshtë. Përgjigjet janë -4 dhe -2. Nuk janë të gjitha. Ju duhet t'i shfaqni këto pika në tabelë, vendosni "+" dhe "-". Needsfarë duhet të bëhet për këtë? Zëvendësoni numrat nga intervalet në shprehje. Aty ku vlerat janë pozitive, ne vendosim "+" atje.
përgjigje: x nuk mund të jetë më shumë se -4 dhe më pak se -2.
Ne gjetëm gamën e vlerave të vlefshme vetëm për anën e majtë, tani duhet të gjejmë gamën e vlerave të vlefshme për anën e djathtë. Kjo është shumë më e lehtë. Përgjigje: -2. Ne kryqëzojmë të dy zonat e fituara.
Dhe vetëm tani kemi filluar të adresojmë vetë pabarazinë.
Le ta thjeshtojmë atë sa më shumë që të jetë e mundur për ta bërë më të lehtë zgjidhjen.
Aplikoni metodën e ndarjes përsëri në zgjidhje. Le të lëmë llogaritjet, me të gjithçka është e qartë tashmë nga shembulli i mëparshëm. Përgjigjja.
Por kjo metodë është e përshtatshme nëse pabarazia logaritmike ka të njëjtën bazë.
Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive me baza të ndryshme përfshin uljen fillestare në një bazë. Pastaj ndiqni metodën e mësipërme. Por ka edhe një rast më të ndërlikuar. Konsideroni një nga llojet më të vështira të pabarazive logaritmike.
Pabarazitë logaritmike bazë të ndryshueshme
Si të zgjidhen pabarazitë me karakteristika të tilla? Po, dhe të tilla mund të gjenden në provim. Zgjidhja e pabarazive në mënyrën e mëposhtme do të jetë gjithashtu e dobishme për procesin tuaj arsimor. Le ta shohim hollësisht çështjen. Le ta hedhim poshtë teorinë, le të shkojmë direkt në praktikë. Për të zgjidhur pabarazitë logaritmike, mjafton të lexoni një herë një shembull.
Për të zgjidhur pabarazinë logaritmike të formës së paraqitur, është e nevojshme të ulni anën e djathtë në logaritëm me të njëjtën bazë. Parimi i ngjan tranzicioneve ekuivalente. Si rezultat, pabarazia do të duket kështu.
Në fakt, mbetet për të krijuar një sistem të pabarazive pa logaritme. Duke përdorur metodën e racionalizimit, ne kalojmë në një sistem ekuivalent të pabarazive. Do të kuptoni vetë rregullin kur zëvendësoni vlerat përkatëse dhe ndiqni ndryshimet e tyre. Sistemi do të ketë pabarazitë e mëposhtme.
Duke përdorur metodën e racionalizimit kur zgjidhni pabarazitë, duhet të mbani mend si vijon: është e nevojshme të zbritni një nga baza, x, me përcaktimin e logaritmit, zbritet nga të dy anët e pabarazisë (djathtas nga e majta), dy shprehje shumëzohen dhe vendosen nën shenjën origjinale në lidhje me zero.
Zgjidhja e mëtejshme kryhet me metodën e intervalit, gjithçka është e thjeshtë këtu. Shtë e rëndësishme për ju të kuptoni ndryshimet në metodat e zgjidhjes, atëherë gjithçka do të fillojë të funksionojë me lehtësi.
Ekzistojnë shumë nuanca në pabarazitë logaritmike. Më e thjeshta prej tyre janë mjaft të lehta për tu zgjidhur. Si të siguroheni që mund të zgjidhni secilën prej tyre pa probleme? Tashmë keni marrë të gjitha përgjigjet në këtë artikull. Tani keni një praktikë të gjatë para jush. Praktikoni vazhdimisht në zgjidhjen e një sërë problemesh brenda provimit dhe do të keni mundësi të merrni rezultatin më të lartë. Fat i mirë në biznesin tuaj të vështirë!
Midis gjithë larmisë së pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye rrallë thuhet në shkollë:
log k (x) f (x) log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) 0
Në vend të kutisë "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është që në të dy pabarazitë shenjat janë të njëjta.
Kështu që shpëtojmë nga logaritmet dhe e zvogëlojmë problemin në pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hedhni logaritmet, rrënjët shtesë mund të shfaqen. Për t'i ndërprerë ato, mjafton të gjesh gamën e vlerave të pranueshme. Nëse e keni harruar ODZ-in e logaritmit, ju rekomandoj ta përsërisni atë - shikoni "isfarë është logaritmi".
Do gjë që lidhet me gamën e vlerave të lejueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:
f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) 1.
Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të përmbushen njëkohësisht. Kur të gjeni gamën e vlerave të pranueshme, mbetet për ta kapërcyer atë me zgjidhjen e pabarazisë racionale - dhe përgjigja është e gatshme.
Një detyrë. Zgjidhja e pabarazisë:
Së pari, le të shkruajmë ODZ të logaritmit:
Dy pabarazitë e para përmbushen automatikisht, dhe e fundit duhet të përshkruhet. Meqenëse sheshi i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është zero, ne kemi:
x 2 + 1 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0) (0; + ∞). Tani ne zgjidhim pabarazinë kryesore:
Ne kryejmë kalimin nga një pabarazi logaritmike në atë racionale. Në pabarazinë origjinale ka një shenjë "më pak", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të jetë gjithashtu me një shenjë "më pak". Ne kemi:
(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
Zerot e kësaj shprehje: x \u003d 3; x \u003d −3; x \u003d 0. Për më tepër, x \u003d 0 është një rrënjë e shumëzimit të dytë, që do të thotë se kur kaloni nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:
Marrim x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Ky grup është plotësisht i përfshirë në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigjja.
Transformimi i pabarazive logaritmike
Shpesh pabarazia origjinale ndryshon nga ajo e mësipërme. Shtë e lehtë për të rregulluar atë sipas rregullave standarde për të punuar me logaritmet - shiko "Karakteristikat themelore të logaritmave". domethënë:
- Do numër mund të përfaqësohet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
- Shuma dhe ndryshimi i logaritmave me bazat e njëjta mund të zëvendësohen me një logaritëm.
Do të dëshiroja t'ju kujtoja edhe për gamën e vlerave të vlefshme. Meqenëse pabarazia origjinale mund të përmbajë disa logaritme, kërkohet të gjeni ODV për secilën prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e pabarazive logaritmike është si më poshtë:
- Gjeni ODV-në e çdo logaritmi të përfshirë në pabarazinë;
- Ulja e pabarazisë në atë standarde sipas formulave për shtimin dhe zbritjen e logaritmeve;
- Zgjidhni pabarazinë që rezulton sipas skemës së dhënë më lart.
Një detyrë. Zgjidhja e pabarazisë:
Le të gjejmë fushën e përkufizimit (ODZ) të logaritmit të parë:
Ne i zgjidhim me metodën e intervalit. Gjeni zerot e numëruesit:
3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.
Atëherë zerot e emëruesit:
x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.
Ne shënojmë zero dhe shenjat në shigjetën e koordinatave:
Marrim x ∈ (/ 2/3) ∪ (1; + ∞). Logaritmi i dytë i ODV do të jetë i njëjti. Mos e besoni - mund ta kontrolloni. Tani ne transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që të ketë një dy në bazë:
Siç mund ta shihni, treshet në bazë dhe përpara logaritmit janë kontraktuar. Mori dy logaritme me të njëjtën bazë. Ne i shtojmë ato:
log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
Mori pabarazinë standarde logaritmike. Ne shpëtojmë nga logaritmet me formula. Meqenëse pabarazia origjinale përmban një më pak se shenjë, shprehja racionale që rezulton gjithashtu duhet të jetë më pak se zero. Ne kemi:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Ne kemi dy grupe:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
- Përgjigja e kandidatit: x ∈ (−1; 3).
Mbetet për të kapërcyer këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:
Ne jemi të interesuar në kryqëzimin e grupeve, kështu që zgjedhim intervalet e mbushura në të dy shigjetat. Ne marrim x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.
Shpesh, kur zgjidhen pabarazitë logaritmike, hasen probleme me një bazë të ndryshueshme të logaritmit. Pra, një pabarazi e formës
është një pabarazi standarde e shkollës. Si rregull, për ta zgjidhur atë, përdoret një kalim në një grup ekuivalent të sistemeve:
Disavantazhi i kësaj metode është nevoja për të zgjidhur shtatë pabarazitë, duke mos llogaritur dy sisteme dhe një grup. Tashmë me funksionet e dhëna kuadratike, zgjidhja e një grupi mund të marrë kohë.
Mund të propozohet një mënyrë alternative, më pak e mundimshme për të zgjidhur këtë pabarazi standarde. Për këtë, ne marrim parasysh teoremën e mëposhtme.
Teorema 1. Le një funksion të vazhdueshëm në rritje në grupin X. Atëherë në këtë vendosur shenja e rritjes së funksionit do të përkojë me shenjën e rritjes së argumentit, d.m.th. ku 
.
Shënim: nëse një funksion ulës i vazhdueshëm në grupin X, atëherë.
Le t’i kthehemi pabarazisë. Le të shkojmë në logaritmin dhjetor (mund të shkoni në cilindo me një bazë konstante më të madhe se një).
Tani mund të përdorni teoremën, duke shënuar në numërues rritjen e funksioneve 
dhe në emërues. Kështu është e vërtetë
Si rezultat, numri i llogaritjeve që çojnë në përgjigje zvogëlohet me rreth gjysmën, gjë që jo vetëm që kursen kohë, por gjithashtu ju lejon të bëni potencialisht më pak gabime aritmetike dhe "pakujdesie".
Shembulli 1.
Duke e krahasuar me (1) që gjejmë 
, 
, .
Duke kaluar në (2) do të kemi:
Shembulli 2.
Duke e krahasuar me (1) gjejmë,,.
Duke kaluar në (2) do të kemi:
Shembulli 3.
Meqenëse ana e majtë e pabarazisë është një funksion në rritje për dhe 
, atëherë përgjigja është vendosur.
Seti i shembujve në të cilët mund të zbatohet Teorema 1 mund të zgjatet lehtësisht nëse merret parasysh Teorema 2.
Lë në set X funksionet ,,, janë përcaktuar, dhe në këtë vendosur shenjat dhe përkojnë, d.m.th. , atëherë do të jetë e drejtë.
Shembulli 4.
Shembulli 5.
Me qasjen standarde, shembulli zgjidhet sipas skemës: produkti është më pak se zero, kur faktorët janë të shenjave të kundërta. Ato. konsiderohet grupi i dy sistemeve të pabarazive, në të cilat, siç u tregua në fillim, çdo pabarazi ndahet në shtatë të tjerë.
Nëse marrim parasysh Teoremën 2, atëherë secili nga faktorët, duke marrë parasysh (2), mund të zëvendësohet nga një funksion tjetër që ka të njëjtën shenjë në këtë shembull O.D.Z.
Metoda e zëvendësimit të rritjes së një funksioni me një ngritje të argumentit, duke marrë parasysh Teoremën 2, rezulton të jetë shumë e përshtatshme kur zgjidhen problemet tipike C3 të provimit.
Shembulli 6.
Shembulli 7.
... Le të tregojmë. Marrim
... Vini re se zëvendësimi nënkupton:. Duke u kthyer në ekuacionin, ne kemi
.
Shembulli 8.
Në teoremat që përdorim, nuk ka asnjë kufizim në klasat e funksioneve. Në këtë artikull, për shembull, teoremat janë aplikuar në zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Disa shembuj të tjerë do të demonstrojnë premtimin e metodës për zgjidhjen e llojeve të tjera të pabarazive.