Shpesh, gjatë vërtetimit të teoremave, përdoret metoda e vërtetimit nga kontradikta. Thelbi i kësaj metode ndihmon për të kuptuar enigmën. Mundohuni ta zgjidhni atë.
Imagjinoni një vend në të cilin një personi të dënuar me vdekje i kërkohet të zgjedhë një nga dy letrat me pamje të ngjashme: njëra thotë "vdekje", tjetra thotë "jetë". Armiqtë shpifën për një banor të këtij vendi. Dhe që të mos kishte mundësi të shpëtonte, e bënë që në anën e pasme të të dyja fletëve, nga të cilat duhej të zgjidhte njërën, ishte shkruar “vdekja”. Këtë e morën vesh miqtë dhe e njoftuan të dënuarin. Ai kërkoi të mos i tregonte askujt për këtë. Ai nxori një nga copat e letrës. Dhe ai qëndroi për të jetuar. Si e bëri atë?
Përgjigju. I dënuari gëlltiti letrën e zgjedhur prej tij. Për të përcaktuar se çfarë shorti ra jashtë, gjyqtarët shikuan pjesën e mbetur të letrës. Në të ishte shkruar vdekja. Kjo vërtetoi se ai ishte me fat, ai nxori një copë letër ku shkruhej: "jeta".
Ashtu si në rastin për të cilin gjëegjëza tregon, gjatë vërtetimit janë të mundshme vetëm dy raste: është e mundur ... ose jo ... mundësia e dytë është e drejtë (copa e dytë letre thotë "jeta").
Vërtetimi me kontradiktë kryhet si më poshtë.
1) Përcaktoni se cilat opsione janë në parim të mundshme kur zgjidhni një problem ose provoni një teoremë. Mund të ketë dy opsione (për shembull, a nuk janë pingul vijat në fjalë); mund të ketë tre ose më shumë përgjigje (për shembull, cili është këndi i marrë: akut, i drejtë ose i mpirë).
2) Provojë. Se asnjë nga opsionet që duhet të hedhim poshtë nuk mund të përmbushet. (Për shembull, nëse duhet të vërtetojmë se drejtëzat janë pingule, shikojmë se çfarë ndodh nëse marrim parasysh drejtzat jo pingule. Si rregull, është e mundur të vërtetohet se në këtë rast ndonjë nga përfundimet bie ndesh me atë që është dhënë. në gjendje, dhe për këtë arsye është e pamundur.
3) Duke u bazuar në faktin se të gjitha përfundimet e padëshirueshme janë hedhur poshtë dhe vetëm një (e dëshirueshme) ka mbetur e pashqyrtuar, konkludojmë se është ai që është i saktë.
Le ta zgjidhim problemin duke përdorur prova me kontradiktë.
Jepet: drejtëzat a dhe b janë të tilla që çdo drejtëz që pret a e pret edhe b.
Duke përdorur metodën e vërtetimit "me kontradiktë", vërtetoni se a ll b.
Dëshmi.
Vetëm dy raste janë të mundshme:
1) drejtëzat a dhe b janë paralele (jetë);
2) drejtëzat a dhe b nuk janë paralele (vdekja).
Nëse është e mundur të përjashtohet rasti i padëshirueshëm, atëherë mbetet të konkludohet se ndodh i dyti nga të dy të mundshmet. Për të hequr rastin e padëshiruar, le të mendojmë se çfarë ndodh nëse linjat a dhe b kryqëzohen:
Sipas hipotezës, çdo drejtëz që pret a-në pret edhe b. Prandaj, nëse është e mundur të gjendet të paktën një drejtëz që pret a por nuk e pret b, ky rast duhet të hidhet poshtë. Ju mund të gjeni çdo numër të drejtëzash të tilla: mjafton të vizatoni një drejtëz a nëpër çdo pikë K, përveç pikës M një drejtëz KS paralele me b:
Meqenëse një nga dy rastet e mundshme është hedhur poshtë, mund të konkludoni menjëherëçfarë do b.
Ende keni pyetje? Nuk jeni i sigurt se si ta vërtetoni teoremën?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!
faqja e blogut, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Mësimi është projektuar për 2 akademi. orë.
Synimi: të eksplorojnë metoda të ndryshme të provave (arsyetimi përpara, arsyetimi kontradiktor dhe i kundërt) që ilustrojnë metodologjinë e arsyetimit. Konsideroni metodën e induksionit matematik.
Materiali teorik Metodat e evidentimit
Gjatë vërtetimit të teoremave përdoret argumentimi logjik. Evidenca në shkencat kompjuterike është një pjesë integrale e vërtetimit të algoritmit. Nevoja për provë lind kur duhet të vërtetojmë vërtetësinë e një deklarate të formës (AB). Ekzistojnë disa lloje standarde të provave, duke përfshirë këto:
Arsyetimi (prova) i drejtpërdrejtë.
Supozojmë se pohimi A është i vërtetë dhe tregon vlefshmërinë e B. Kjo metodë e provës përjashton situatën kur A është e vërtetë, dhe B është e gabuar, pasi është në këtë dhe vetëm në këtë rast që nënkuptimi (AB) merr një vlerë false (shih tabelën).
Kështu, prova e drejtpërdrejtë rrjedh nga shqyrtimi i argumenteve në vërtetimin e tezës, domethënë e vërteta e tezës justifikohet drejtpërdrejt nga argumentet. Skema e kësaj prove është si vijon: nga argumentet e dhëna (a, b, c,...) pason detyrimisht teza e provueshme q.
Dëshmia kryhet sipas këtij lloji në praktikën gjyqësore, në shkencë, në polemikë, në esetë e nxënësve të shkollës, në paraqitjen e materialit nga mësuesi etj.
Shembuj:
1. Mësuesi në orën e mësimit me vërtetim të drejtpërdrejtë të tezës “Populli është krijuesi i historisë”, tregon; Ne fillim se njerëzit janë krijuesit e pasurisë materiale, Së dyti, vërteton rolin e madh të masave në politikë, shpjegon se si në epokën moderne njerëzit po luftojnë aktivisht për paqen dhe demokracinë, së treti, shpalos rolin e saj të madh në krijimin e kulturës shpirtërore.
2. Në mësimet e kimisë, dëshmitë e drejtpërdrejta të ndezshmërisë së sheqerit mund të paraqiten në formën e një silogizmi kategorik: Të gjitha karbohidratet janë të ndezshme. Sheqeri është një karbohidrate. Sheqeri është i ndezshëm.
Në revistën moderne të modës Burda, teza "Zilia është rrënja e çdo të keqeje" vërtetohet me prova të drejtpërdrejta me argumentet e mëposhtme: "Zilia jo vetëm që helmon jetën e përditshme të njerëzve, por mund të çojë në pasoja më të rënda, prandaj, së bashku me xhelozinë. , zemërimi dhe urrejtja, padyshim që i përket tipareve më të këqija të karakterit. Duke u fshehur pa u vënë re, zilia dhemb thellë dhe me dhimbje. Një person e ka zili mirëqenien e të tjerëve, vuan nga njohuria se dikush është më me fat."
2. Arsyetimi i kundërt(provë) . Supozojmë se pohimi B është i rremë dhe tregon gabimin e A. Kjo është, në fakt, ne kontrollojmë drejtpërdrejt vërtetësinë e nënkuptimit ((jo B) (jo A)), i cili, sipas tabelës, është logjikisht ekuivalent për vërtetësinë e pohimit origjinal (AB).
3. Metoda "me kontradiktë".
Kjo metodë përdoret shpesh në matematikë. Le te jete a- një tezë ose teoremë për t'u vërtetuar. Ne supozojmë përkundrazi se a e rreme, pra e vertete nr(ose ). Nga supozimi 
ne nxjerrim pasoja që kundërshtojnë realitetin ose teoremat e vërtetuara më parë. Ne kemi 
, ku 
-
është false, që do të thotë se mohimi i tij është i vërtetë, d.m.th. 
,
e cila, sipas ligjit të logjikës klasike me dy vlera ( 
→a) jep a. Pra është e vërtetë a, siç kërkohet për të provuar.
Ka shumë shembuj të vërtetimit "me kontradiktë" në kursin e matematikës shkollore. Kështu, për shembull, vërtetohet një teoremë që nga një pikë që shtrihet jashtë një drejtëze, vetëm një pingul mund të hidhet në këtë drejtëz. Teorema e mëposhtme vërtetohet edhe me metodën "me kontradiktë": "Nëse dy drejtëza janë pingul me të njëjtin rrafsh, atëherë ato janë paralele". Vërtetimi i kësaj teoreme fillon drejtpërdrejt me fjalët: “Supozoni të kundërtën, pra që vijat AB dhe CD jo paralele”.
Prova "me kontradiktë" (në latinisht "reductio ad absurdum") karakterizohet nga fakti se vetë procesi i vërtetimit të një mendimi kryhet duke hedhur poshtë gjykimin e kundërt. Falsiteti i antitezës mund të vërtetohet duke vërtetuar faktin se ai është i papajtueshëm me gjykimin e vërtetë.
Në mënyrë tipike, kjo metodë demonstrohet qartë duke përdorur një formulë ku A është antiteza dhe B është e vërteta. Nëse në zgjidhje rezulton se prania e variablit A çon në rezultate të ndryshme nga B, atëherë falsiteti i A.
Prova "me kontradiktë" pa përdorur të vërtetën
Ekziston edhe një provë më e lehtë e falsitetit të "të kundërtës" - antiteza. Një rregull i tillë formule thotë: "Nëse, kur zgjidhet me ndryshoren A, lind një kontradiktë në formulë, A është e gabuar". Nuk ka rëndësi nëse antiteza është një propozim negativ apo pohues. Përveç kësaj, mënyra më e thjeshtë e vërtetimit me kontradiktë përmban vetëm dy fakte: teza dhe antiteza, e vërteta B nuk përdoret. Kjo thjeshton shumë procesin e provës.
Apagogjia
Në procesin e vërtetimit me kontradiktë (që quhet edhe "çon në absurd"), shpesh përdoret apagogjia. Kjo është një teknikë logjike, qëllimi i së cilës është të provojë pasaktësinë e çdo gjykimi në mënyrë që një kontradiktë të zbulohet drejtpërdrejt në të ose në pasojat që pasojnë prej tij. Një kontradiktë mund të shprehet në identitetin e objekteve dukshëm të ndryshme ose si përfundime: një lidhëz ose një çift B dhe jo B (e vërteta dhe jo e vërteta).
Shpesh përdoret teknika e provës kontradiktore. Në shumë raste, nuk është e mundur të vërtetohet pavërtetësia e gjykimit në një mënyrë tjetër. Përveç apagogjisë, ekziston edhe një formë paradoksale e provës me kontradiktë. Kjo formë është përdorur edhe në "Parimet" e Euklidit dhe përfaqëson rregullin e mëposhtëm: A konsiderohet e provuar nëse është e mundur të demonstrohet "e vërteta e falsitetit" A.
Kështu, procesi i vërtetimit me kontradiktë (quhet edhe provë indirekte dhe apogogjike) është si më poshtë. Parashtrohet një mendim, e kundërta, nga kjo antitezë rrjedhin pasoja, ndër të cilat kërkohet e rreme. Ata gjejnë prova se ka vërtet të rreme midis pasojave. Nga kjo arrihet në përfundimin se antiteza është e gabuar, dhe meqë antiteza është e gabuar, rrjedh një përfundim logjik se e vërteta përmbahet në tezë.
Teorema- Kjo është një deklaratë, vlefshmëria e së cilës përcaktohet me arsyetim. Vetë arsyetimi quhet vërtetimi i teoremës.
Teorema e anasjelltë për këtëËshtë një teoremë në të cilën kushti është përfundimi i kësaj teoreme, dhe përfundimi është kushti i saj. Për shembull: Teorema: Në një trekëndësh dykëndësh, këndet në bazë janë të barabarta. Teorema e kundërt: Nëse dy kënde në një trekëndësh janë të barabartë, atëherë ai është dykëndësh.
PasojaËshtë një pohim që rrjedh drejtpërdrejt nga teorema. Për shembull: pasojë nga teorema për lartësinë e një trekëndëshi dykëndësh është: Mesatarja e një trekëndëshi dykëndësh, të tërhequr në bazë, është lartësia dhe përgjysmuesja.
Vërtetim me kontradiktëështë si më poshtë:
1) Bëhet supozimi i kundërt me atë që duhet vërtetuar.
2) Më pas, duke u nisur nga supozimi, me anë të arsyetimit, vijnë në kundërshtim ose me një kusht ose me një fakt të njohur.
3) Bazuar në kontradiktën që rezulton, konstatohet se supozimi është i pasaktë, që do të thotë se ajo që kërkohet të vërtetohet është e vërtetë.
Një shenjë e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë përgjatë hipotenuzës dhe këmbës.
Nëse hipotenuza dhe këmbëza e një trekëndëshi kënddrejtë janë përkatësisht të barabarta me hipotenuzën dhe këmbën e një trekëndëshi tjetër kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të barabartë.
E dhënë :
DAVS - pr / ug
ВС = В 1 С 1
Provoj:
DABS = DA 1 B 1 C 1
Dëshmi:
1. Zbatohet në DABS në DА 1 В 1 С 1, në mënyrë që kulmi A të kombinohet me kulmin A1, kulmi B me kulmin B 1, dhe kulmet C dhe C 1 të jenë në anët e kundërta të drejtëzës AB. .
2. Meqenëse AB = A 1 B 1 Þ ato do të përkojnë.
3. РСА 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 РСА 1 С 1 - të zgjeruara dhe pikat С, А 1 dhe С 1 - shtrihen në një vijë të drejtë.
4. Konsideroni DСВС 1 - р / б (BC = В 1 С 1 sipas kushtit) Þ ЛС = ЛС 1 (sipas vetisë)
5. Kështu, DABS = DА 1 В 1 С 1 - përgjatë hipotenuzës dhe këndit akut. (h.t.d.)
Numri i biletës 9.
Vija të drejta pingule. pingul me një vijë të drejtë.
Vija të drejta pingule- këto janë dy drejtëza që kur kryqëzohen formojnë katër kënde të drejta.(Tregoni në foto)
pingul me një vijë të drejtë -është një segment i rënë nga një pikë në një vijë të drejtë në një kënd të drejtë. Pika e kryqëzimit të një segmenti të drejtëzit dhe një drejtëze quhet baza e pingules (trego në figurë)
Teorema:
1) Nga një pikë që nuk shtrihet në një vijë të drejtë, mund të vizatoni një pingul me këtë vijë të drejtë dhe, për më tepër, vetëm një.
2) Dy drejtëza pingul me të njëjtën drejtëz nuk priten.
Shenja e një trekëndëshi dykëndësh.
Nëse dy kënde në një trekëndësh janë të barabartë, atëherë ai është dykëndësh.
E dhënë:
PA = ∠C
Provoj:
DAVS - r / w
Dëshmi:
1. Kopjoni mendërisht DABS dhe kthejeni kopjen - marrim DСВА.
2. Le të imponojmë DСВА në DABS, në mënyrë që kulmi C i kopjes të përputhet me kulmin A të DABS.
3. Meqenëse lA = lC (sipas hipotezës), kopjet lA dhe lC të trekëndëshit kur mbivendosen do të përkojnë, po kështu kopjet lC dhe lA të trekëndëshit përkojnë kur mbivendosen.
4. Segmenti CB i kopjes do të mbivendoset në rrezen AB të trekëndëshit dhe segmenti AB i kopjes do të mbivendoset mbi rrezen CB të trekëndëshit.
5. Meqenëse dy drejtëza mund të kenë vetëm një pikë të përbashkët të kryqëzimit ⇒
m. B 1 përkon me pikën B dhe ⇒ AB do të kombinohet me CB ⇒ AB = CB
6. Nga fakti që AB = SV ⇒ sipas përcaktimit të ΔABS - izosceles (h.t.d.)
Numri i biletës 10.
Trekëndëshi dykëndësh.
Trekëndëshi, në të cilën dy anët janë të barabarta, quhet izosceles. Quhen anët e barabarta anët anësore dhe pala e tretë është bazë... (trego në foto)
Vetia e trekëndëshit izosceles: Në një trekëndësh dykëndësh këndet në bazë janë të barabarta (Tregoni në figurë)
Shenja e trekëndëshit izosceles: Nëse dy kënde në një trekëndësh janë të barabartë, atëherë ai është dykëndësh. (trego në foto)
Teorema mbi lartësinë e një trekëndëshi dykëndësh: Lartësia e një trekëndëshi dykëndësh, të tërhequr nga baza, është mesatarja dhe përgjysmuesja. (trego në foto)
Pasojat e teoremës mbi lartësinë e një trekëndëshi dykëndësh:
1) Mesatarja e një trekëndëshi dykëndësh, të tërhequr në bazë, është lartësia dhe përgjysmimi. (trego në foto)
2) Përgjysmuesja e një trekëndëshi dykëndësh të tërhequr nga baza, është lartësia dhe mesatarja. (trego në foto)
Në fjalorin shpjegues të termave matematikore, jepet një përkufizim për një vërtetim të teoremës së kundërt, e kundërta e teoremës së kundërt. “Vërtetimi me kontradiktë është një metodë e vërtetimit të një teoreme (propozimi), e cila konsiston në vërtetimin jo të vetë teoremës, por ekuivalentit të saj (ekuivalentit), e kundërt me teoremën e anasjelltë (të kundërt me të kundërtën). Një vërtetim me kontradiktë përdoret sa herë që teorema e drejtpërdrejtë është e vështirë për t'u vërtetuar, dhe e kundërta është më e lehtë për t'u vërtetuar. Kur provohet me kontradiktë, përfundimi i teoremës zëvendësohet me mohimin e saj dhe me arsyetim arrihet në mohimin e kushtit, d.m.th. në një kontradiktë, në të kundërtën (e kundërta e asaj që jepet; ky reduktim në absurditet vërteton teoremën."
Vërtetimi me kontradiktë është shumë i zakonshëm në matematikë. Vërtetimi me kontradiktë bazohet në ligjin e të tretës së përjashtuar, që është ai i dy pohimeve (pohimeve) A dhe A (mohimi A) njëri prej tyre është i vërtetë dhe tjetri është i rremë."/ Fjalor shpjegues i termave matematikore: Udhëzues për mësuesit / O. V. Manturov [dhe të tjerë]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Arsimi, 1965.- 539 f.: ill.-C.112 /.
Nuk do të ishte më mirë të deklarohej hapur se metoda e të provuarit me kontradiktë nuk është një metodë matematikore, megjithëse përdoret në matematikë, se është një metodë logjike dhe i përket logjikës. A është e pranueshme të thuhet se një provë me kontradiktë "përdoret sa herë që teorema e drejtpërdrejtë është e vështirë të vërtetohet", kur në fakt përdoret nëse dhe vetëm nëse nuk ka zëvendësim për të?
Karakterizimi i marrëdhënies së teoremave të drejtpërdrejta dhe të anasjellta me njëra-tjetrën meriton vëmendje të veçantë. “Teorema e kundërt për një teoremë të caktuar (ose për një teoremë të caktuar) është një teoremë në të cilën kushti është përfundimi, dhe përfundimi është kushti i teoremës së dhënë. Kjo teoremë në raport me teoremën e kundërt quhet teorema e drejtpërdrejtë (origjinale). Në të njëjtën kohë, teorema e kundërt me teoremën e kundërt do të jetë teorema e dhënë; prandaj teorema e drejtpërdrejtë dhe e kundërt quhen reciproke të anasjellta. Nëse teorema e drejtpërdrejtë (e dhënë) është e vërtetë, atëherë teorema e kundërt nuk është gjithmonë e vërtetë. Për shembull, nëse një katërkëndësh është një romb, atëherë diagonalet e tij janë reciproke pingule (teorema e drejtpërdrejtë). Nëse diagonalet në katërkëndësh janë reciproke pingule, atëherë katërkëndëshi është një romb - kjo nuk është e vërtetë, domethënë, teorema e kundërt nuk është e vërtetë./ Fjalor shpjegues i termave matematikore: Udhëzues për mësuesit / O. V. Manturov [dhe të tjerë]; ed. V. A. Ditkina.- M .: Arsimi, 1965.- 539 f.: ill.-C.261 /.
Kjo karakteristikë e marrëdhënies ndërmjet teoremës së drejtpërdrejtë dhe të kundërt nuk merr parasysh faktin që kushti i teoremës së drejtpërdrejtë merret si i dhënë, pa prova, në mënyrë që të mos garantohet korrektësia e saj. Kushti i teoremës së kundërt nuk merret si i dhënë, pasi është përfundimi i teoremës së vërtetuar të drejtpërdrejtë. Korrektësia e tij dëshmohet nga vërtetimi i teoremës së drejtpërdrejtë. Ky ndryshim thelbësor logjik midis kushteve të teoremës së drejtpërdrejtë dhe të kundërt rezulton të jetë vendimtar në pyetjen se cilat teorema mund dhe cilat nuk mund të vërtetohen me një metodë logjike me kontradiktë.
Le të supozojmë se ka një teoremë të drejtpërdrejtë në mendje, e cila mund të vërtetohet me metodën e zakonshme matematikore, por është e vështirë. Le ta formulojmë atë në formë të përgjithshme në një formë të shkurtër si më poshtë: nga A duhet E ... Simboli A kushti i dhënë i teoremës, i pranuar pa prova, ka rëndësi. Simboli E kuptimi i përfundimit të teoremës, i cili kërkohet të vërtetohet.
Teoremën e drejtpërdrejtë do ta vërtetojmë me kontradiktë, logjike metodë. Një metodë logjike përdoret për të vërtetuar një teoremë që ka jo matematikore gjendje, dhe logjike gjendje. Mund të merret nëse kushti matematikor i teoremës nga A duhet E , plotësohet me kusht të kundërt nga A nuk pason E .
Si rezultat, ne morëm një kusht logjik kontradiktor të teoremës së re, e cila përmban dy pjesë: nga A duhet E dhe nga A nuk pason E ... Kushti rezultues i teoremës së re korrespondon me ligjin logjik të mesit të përjashtuar dhe korrespondon me vërtetimin e teoremës me metodën kontradiktore.
Sipas ligjit, një pjesë e një kushti kundërshtues është e rreme, një pjesë tjetër është e vërtetë dhe e treta përjashtohet. Vërtetimi me kontradiktë ka detyrën dhe synimin e vet për të përcaktuar saktësisht se cila pjesë e dy pjesëve të kushtit të teoremës është e gabuar. Posa të përcaktohet pjesa e rreme e kushtit do të përcaktohet se pjesa tjetër është pjesa e vërtetë dhe e treta përjashtohet.
Sipas fjalorit shpjegues të termave matematikore, "Prova është arsyetimi, gjatë të cilit vërtetohet e vërteta ose falsiteti i çdo thënie (gjykimi, thënie, teoreme)".... Dëshmi nga kontradikta ka arsyetim, gjatë të cilit vërtetohet falsitet(absurditeti) i përfundimit që del nga i rremë kushtet e teoremës që vërtetohet.
E dhënë: nga A duhet E dhe nga A nuk pason E .
Provoj: nga A duhet E .
Dëshmi: Kushti logjik i teoremës përmban një kontradiktë që duhet zgjidhur. Kundërshtimi i kushtit duhet të gjejë zgjidhjen e tij në vërtetimin dhe rezultatin e tij. Rezultati rezulton i rremë me arsyetim të përsosur dhe pa gabime. Me arsyetim logjikisht të saktë, arsyeja për përfundimin e rremë mund të jetë vetëm një kusht kontradiktor: nga A duhet E dhe nga A nuk pason E .
Nuk ka asnjë dyshim se njëra pjesë e kushtit është e rreme, ndërsa tjetra në këtë rast është e vërtetë. Të dyja pjesët e kushtit kanë të njëjtën origjinë, pranohen si të dhëna, supozohen, po aq të mundshme, po aq të pranueshme etj. Gjatë arsyetimit logjik nuk u gjet asnjë veçori e vetme logjike që do të dallonte njërën pjesë të kushtit nga tjetra. . Prandaj, në të njëjtën masë mund të jetë nga A duhet E dhe ndoshta nga A nuk pason E ... deklaratë nga A duhet E ndoshta i rremë, pastaj deklarata nga A nuk pason E do të jetë e vërtetë. deklaratë nga A nuk pason E mund të jetë i rremë, atëherë deklarata nga A duhet E do të jetë e vërtetë.
Për rrjedhojë, është e pamundur të vërtetohet teorema e drejtpërdrejtë me kontradiktë.
Tani do të vërtetojmë të njëjtën teoremë të drejtpërdrejtë me metodën e zakonshme matematikore.
E dhënë: A .
Provoj: nga A duhet E .
Dëshmi.
1. Nga A duhet B
2. Nga B duhet V (nga teorema e provuar më parë)).
3. Nga V duhet G (nga teorema e provuar më parë).
4. Nga G duhet D (nga teorema e provuar më parë).
5. Nga D duhet E (nga teorema e provuar më parë).
Bazuar në ligjin e tranzicionit, nga A duhet E ... Teorema e drejtpërdrejtë vërtetohet me metodën e zakonshme.
Le të ketë teorema e drejtpërdrejtë e vërtetuar të ketë teoremën e saktë të kundërt: nga E duhet A .
Le ta vërtetojmë me të zakonshmen matematikore metodë. Vërtetimi i teoremës së kundërt mund të shprehet simbolikisht në formën e një algoritmi të veprimeve matematikore.
E dhënë: E
Provoj: nga E duhet A .
Dëshmi.
!. Nga E duhet D
1. Nga D duhet G (nga teorema e kundërt e vërtetuar më parë).
2. Nga G duhet V (nga teorema e kundërt e vërtetuar më parë).
3. Nga V nuk pason B (teorema e kundërt nuk është e vërtetë). Kjo është arsyeja pse nga B nuk pason A .
Në këtë situatë, nuk ka kuptim të vazhdohet vërtetimi matematikor i teoremës së kundërt. Arsyeja e situatës është logjike. Është e pamundur të zëvendësohet teorema e gabuar e kundërt me ndonjë gjë. Rrjedhimisht, kjo teoremë e kundërt nuk mund të vërtetohet me metodën e zakonshme matematikore. E gjithë shpresa është për vërtetimin e kësaj teoreme të kundërt me metodën e kontradiktës.
Për ta vërtetuar atë duke kundërshtuar metodën, kërkohet të zëvendësohet kushti i saj matematikor me një kusht logjik kontradiktor, i cili përmban në kuptimin e tij dy pjesë - të rreme dhe të vërtetë.
Teorema e kundërt deklaron: nga E nuk pason A ... Gjendja e saj E , nga i cili del përfundimi A , është rezultat i vërtetimit të teoremës së drejtpërdrejtë me metodën e zakonshme matematikore. Ky kusht duhet të ruhet dhe të plotësohet me deklaratën nga E duhet A ... Si rezultat i mbledhjes, merret një kusht kontradiktor i teoremës së re të kundërt: nga E duhet A dhe nga E nuk pason A ... Bazuar në këtë logjikisht kusht kontradiktor, teorema e kundërt mund të vërtetohet me anë të së saktës logjike arsyetimi vetëm, dhe vetëm, logjike me metodën e kontradiktës. Në vërtetimin me kontradiktë, çdo veprim dhe veprim matematikor janë në varësi të atyre logjike dhe për këtë arsye nuk llogariten.
Në pjesën e parë të deklaratës kontradiktore nga E duhet A gjendje E u vërtetua me vërtetimin e teoremës së drejtpërdrejtë. Në pjesën e dytë nga E nuk pason A gjendje E u supozua dhe u pranua pa prova. Disa prej tyre njëra është e rreme dhe tjetra është e vërtetë. Kërkohet të vërtetohet se cila prej tyre është e rreme.
Ne e vërtetojmë me anë të së saktës logjike arsyetoni dhe zbuloni se rezultati i tij është një përfundim i rremë, absurd. Arsyeja për përfundimin logjik të rremë është kushti logjik kontradiktor i teoremës, i cili përmban dy pjesë - të rreme dhe të vërtetë. Vetëm një deklaratë mund të jetë një pjesë e rreme nga E nuk pason A , në të cilën E u pranua pa prova. Kjo është se si ajo ndryshon nga E miratimi nga E duhet A , që vërtetohet me vërtetimin e teoremës së drejtpërdrejtë.
Prandaj, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë: nga E duhet A , siç kërkohet për të provuar.
Prodhimi: vetëm teorema e kundërt vërtetohet me metodë logjike me kontradiktë, e cila ka një teoremë të drejtpërdrejtë të vërtetuar me metodë matematikore dhe që nuk mund të vërtetohet me metodë matematikore.
Përfundimi që rezulton fiton një rëndësi të jashtëzakonshme në lidhje me metodën e provës me kontradiktë të teoremës së Fermatit të Madh. Shumica dërrmuese e përpjekjeve për ta vërtetuar atë nuk bazohen në metodën e zakonshme matematikore, por në metodën logjike të vërtetimit me kontradiktë. Prova e Teoremës së Madhe të Fermatit të Wiles nuk bën përjashtim.
Me fjalë të tjera, Gerhard Frey sugjeroi që ekuacioni i teoremës së Fermatit të madh x n + y n = z n
, ku n> 2
, ka zgjidhje në numra të plotë pozitivë. Këto zgjidhje janë, sipas supozimit të Frey-t, zgjidhje të ekuacionit të tij
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, e cila jepet nga kurba e saj eliptike.
Andrew Wiles e pranoi këtë zbulim të jashtëzakonshëm nga Frey dhe me ndihmën e tij matematikore metoda vërtetoi se kjo gjetje, pra kurba eliptike e Frey, nuk ekziston. Prandaj, nuk ka ekuacion dhe zgjidhjet e tij, të cilat jepen nga një kurbë eliptike inekzistente, Prandaj, Wiles duhet të kishte pranuar përfundimin se ekuacioni i teoremës së Fermatit të Madh dhe vetë teorema e Fermatit nuk ekzistojnë. Megjithatë, ai bëri një përfundim më modest se ekuacioni i Teoremës së Fermatit të Madh nuk ka zgjidhje në numra të plotë pozitivë.
Mund të jetë një fakt i pakundërshtueshëm që Wiles pranoi një supozim që është saktësisht i kundërt në kuptim me atë që thuhet nga Teorema e Fundit e Fermatit. Ai e detyron Wiles-in të provojë teoremën e fundit të Fermatit me kontradiktë. Ne do të ndjekim shembullin e tij dhe do të shohim se çfarë del nga ky shembull.
Teorema e fundit e Fermatit thotë se ekuacioni x n + y n = z n , ku n> 2
Sipas metodës logjike të vërtetimit me kontradiktë, ky pohim ruhet, merret si i dhënë pa provë dhe më pas plotësohet me pohimin e kundërt në kuptim: ekuacioni. x n + y n = z n , ku n> 2 , ka zgjidhje në numra të plotë pozitivë.
Deklarata e pretenduar gjithashtu pranohet si e dhënë, pa prova. Të dy pohimet, të konsideruara nga këndvështrimi i ligjeve bazë të logjikës, janë njësoj të vlefshme, të barabarta dhe po aq të mundshme. Përmes arsyetimit të saktë, kërkohet të vërtetohet se cila prej tyre është e rreme, në mënyrë që të vërtetohet se pohimi tjetër është i vërtetë.
Arsyetimi i saktë përfundon me një përfundim të rremë, absurd, arsyeja logjike e të cilit mund të jetë vetëm kushti kontradiktor i teoremës që vërtetohet, e cila përmban dy pjesë të kuptimit të kundërt. Ato ishin arsyeja logjike e përfundimit absurd, rezultat i vërtetimit me kontradiktë.
Sidoqoftë, gjatë arsyetimit logjikisht të saktë, nuk u gjet asnjë shenjë e vetme me të cilën do të ishte e mundur të përcaktohet se cila deklaratë e veçantë është e rreme. Mund të jetë pohimi: ekuacioni x n + y n = z n , ku n> 2 , ka zgjidhje në numra të plotë pozitivë. Në të njëjtën bazë, mund të jetë pohimi: ekuacioni x n + y n = z n , ku n> 2 , nuk ka zgjidhje në numra të plotë pozitiv.
Si rezultat i arsyetimit, mund të ketë vetëm një përfundim: Teorema e fundit e Fermatit nuk mund të vërtetohet me kontradiktë.
Do të ishte një çështje krejtësisht tjetër nëse Teorema e fundit e Fermatit do të ishte një teoremë e kundërt që ka një teoremë të drejtpërdrejtë të provuar me metodën e zakonshme matematikore. Në këtë rast, mund të vërtetohet me kontradiktë. Dhe meqenëse është një teoremë e drejtpërdrejtë, vërtetimi i saj duhet të bazohet jo në metodën logjike të vërtetimit me kontradiktë, por në metodën e zakonshme matematikore.
Sipas D. Abrarov, më i famshmi i matematikanëve modernë rusë, akademiku V. I. Arnold, reagoi ndaj provës së Wiles "në mënyrë aktive skeptike". Akademiku tha: "Kjo nuk është matematikë e vërtetë - matematika e vërtetë është gjeometrike dhe e fortë në lidhje me fizikën." (Citate nga: Abrarov D. "Teorema e Fermat: fenomeni i provave të Wiles"). Deklarata e akademikut shpreh vetë thelbin e vërtetimit jomatematikor të Wiles të teoremës së Fermatit të Madh.
Me kontradiktë është e pamundur të vërtetohet as që ekuacioni i teoremës së Fermatit të Madh nuk ka zgjidhje, as që ka zgjidhje. Gabimi i Wiles nuk është matematikor, por logjik - përdorimi i provës me kontradiktë ku përdorimi i tij nuk ka kuptim dhe nuk vërteton teoremën e Fermatit të Madh.
Teorema e fundit e Fermatit nuk vërtetohet duke përdorur metodën e zakonshme matematikore nëse përmban dhënë: ekuacioni x n + y n = z n , ku n> 2 , nuk ka zgjidhje në numra të plotë pozitiv, dhe nëse në të kërkohet të provojë: ekuacioni x n + y n = z n , ku n> 2 , nuk ka zgjidhje në numra të plotë pozitiv. Në këtë formë, nuk ka një teoremë, por një tautologji pa kuptim.